Arcsin sinx graf. Inverzne trigonometrijske funkcije, njihovi grafovi i formule

Inverzne trigonometrijske funkcije(kružne funkcije, lučne funkcije) - matematičke funkcije koje su inverzne trigonometrijskim funkcijama.

arcsinus(označeno kao arcsin x; arcsin x- ovo je kut grijeh njemu ravnih x).

arcsinus (y = arcsin x) - inverzna trigonometrijska funkcija na grijeh (x = sin y), koji ima domenu i skup vrijednosti . Drugim riječima, vraća kut prema njegovoj vrijednosti grijeh.

Funkcija y=sin x kontinuirana je i ograničena duž cijele brojevne crte. Funkcija y=arcsin x- strogo povećava.

Svojstva funkcije arcsin.

Arkusinus dijagrama.

Dobivanje funkcije arcsin.

Postoji funkcija y = sinx. Kroz cijelo svoje područje definicije on je po komadima monoton, dakle inverzna korespondencija y = arcsin x nije funkcija. Stoga razmatramo segment na kojem se samo povećava i uzima svaku vrijednost raspona vrijednosti - . Jer za funkciju y = sinx na intervalu se sve vrijednosti funkcije dobivaju samo s jednom vrijednošću argumenta, što znači da na tom intervalu postoji inverzna funkcija y = arcsin x, čiji je graf simetričan grafu funkcije y = sinx na relativno ravnom segmentu y = x.

Zadaci vezani uz inverzne trigonometrijske funkcije često se nude na završnim ispitima u školi i na prijamnim ispitima na nekim sveučilištima. Detaljno proučavanje ove teme moguće je ostvariti samo u okviru izborne nastave ili izbornih kolegija. Predloženi tečaj osmišljen je tako da što potpunije razvije sposobnosti svakog učenika i poboljša njegovu matematičku pripremu.

Tečaj traje 10 sati:

1. Funkcije arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x (4 sata).

2.Operacije na inverznim trigonometrijskim funkcijama (4 sata).

3. Inverzne trigonometrijske operacije na trigonometrijskim funkcijama (2 sata).

Lekcija 1 (2 sata) Tema: Funkcije y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arcctg x.

Cilj: cjelovito pokrivanje ove problematike.

1. Funkcija y = arcsin x.

a) Za funkciju y = sin x na segmentu postoji inverzna (jednoznačna) funkcija koju smo se dogovorili nazvati arcsinus i označiti je na sljedeći način: y = arcsin x. Graf inverzne funkcije je simetričan grafu glavne funkcije u odnosu na simetralu I - III koordinatnih kutova.

Svojstva funkcije y = arcsin x.

1) Domena definicije: segment [-1; 1];

2) Područje promjene: segment;

3) Funkcija y = arcsin x neparan: arcsin (-x) = - arcsin x;

4) Funkcija y = arcsin x je monotono rastuća;

5) Graf siječe osi Ox, Oy u ishodištu.

Primjer 1. Nađi a = arcsin. Ovaj se primjer može detaljno formulirati na sljedeći način: pronađite argument a, koji leži u rasponu od do, čiji je sinus jednak.

Riješenje. Postoji bezbroj argumenata čiji je sinus jednak , na primjer: itd. Ali nas zanima samo argument koji je na segmentu. Ovo bi bio argument. Dakle, .

Primjer 2. Pronađite .Riješenje. Raspravljajući na isti način kao u primjeru 1, dobivamo .

b) usmene vježbe. Pronađite: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin 0. Primjer odgovora: , jer . Imaju li smisla izrazi: ; arcsin 1,5; ?

c) Poredajte uzlaznim redoslijedom: arcsin, arcsin (-0,3), arcsin 0,9.

II. Funkcije y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x (slično).

Lekcija 2 (2 sata) Tema: Inverzne trigonometrijske funkcije, njihovi grafovi.

Svrha: u ovoj lekciji potrebno je razviti vještine određivanja vrijednosti trigonometrijske funkcije, u konstruiranju grafova inverznih trigonometrijskih funkcija pomoću D (y), E (y) i potrebnih transformacija.

U ovoj lekciji dovršite vježbe koje uključuju pronalaženje domene definicije, domene vrijednosti funkcija tipa: y = arcsin, y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos.

Treba konstruirati grafove funkcija: a) y = arcsin 2x; b) y = 2 arcsin 2x; c) y = arcsin;

d) y = arcsin; e) y = arcsin; e) y = arcsin; g) y = | arcsin | .

Primjer. Nacrtajmo y = arccos

U svoju domaću zadaću možete uključiti sljedeće vježbe: izgraditi grafove funkcija: y = arccos, y = 2 arcctg x, y = arccos | x | .

Grafovi inverznih funkcija

Lekcija br. 3 (2 sata) Tema:

Operacije na inverznim trigonometrijskim funkcijama.

Cilj: proširiti matematičko znanje (ovo je važno za one koji upisuju specijalnosti s povećanim zahtjevima za matematičko obrazovanje) uvođenjem osnovnih odnosa za inverzne trigonometrijske funkcije.

Materijal za lekciju.

Neke jednostavne trigonometrijske operacije na inverznim trigonometrijskim funkcijama: sin (arcsin x) = x, i xi? 1; cos (arcos x) = x, i xi? 1; tg (arctg x)= x , x I R; ctg (arcctg x) = x , x I R.

Vježbe.

a) tg (1,5 + arctg 5) = - ctg (arctg 5) = .

ctg (arctg x) = ; tg (arcctg x) = .

b) cos ( + arcsin 0,6) = - cos (arcsin 0,6). Neka je arcsin 0,6 = a, sin a = 0,6;

cos (arcsin x) = ; sin (arccos x) = .

Napomena: ispred korijena stavljamo znak “+” jer a = arcsin x zadovoljava .

c) sin (1,5 + arcsin).Odgovor: ;

d) ctg ( + arctg 3).Odgovor: ;

e) tg ( – arcctg 4).Odgovor: .

e) cos (0,5 + arccos). Odgovor: .

Izračunati:

a) grijeh (2 arctan 5) .

Neka je arctan 5 = a, tada je sin 2 a = ili grijeh (2 arctan 5) = ;

b) cos ( + 2 arcsin 0,8).Odgovor: 0,28.

c) arctg + arctg.

Neka je a = arctg, b = arctg,

tada je tg(a + b) = .

d) sin (arcsin + arcsin).

e) Dokažite da je za sve x I [-1; 1] pravi arcsin x + arccos x = .

Dokaz:

arcsin x = – arccos x

sin (arcsin x) = sin ( – arccos x)

x = cos (arccos x)

Da biste to sami riješili: sin (arccos), cos (arcsin), cos (arcsin ()), sin (arctg (- 3)), tg (arccos), ctg (arccos).

Za kućno rješenje: 1) sin (arcsin 0,6 + arctan 0); 2) arcsin + arcsin ; 3) ctg ( – arccos 0,6); 4) cos (2 arcctg 5) ; 5) sin (1,5 – arcsin 0,8); 6) arctg 0,5 – arctg 3.

Lekcija br. 4 (2 sata) Tema: Operacije nad inverznim trigonometrijskim funkcijama.

Cilj: U ovoj lekciji pokazati korištenje omjera u transformaciji složenijih izraza.

Materijal za lekciju.

ORALNO:

a) sin (arccos 0,6), cos (arcsin 0,8);

b) tg (luk 5), ctg (luk 5);

c) sin (arctg -3), cos (arcstg());

d) tg (arccos), ctg (arccos()).

PISANO:

1) cos (arcsin + arcsin + arcsin).

2) cos (arctg 5–arccos 0,8) = cos (arctg 5) cos (arctg 0,8) + sin (arctg 5) sin (arctg 0,8) =

3) tg ( - arcsin 0,6) = - tg (arcsin 0,6) =

4)

Samostalni rad pomoći će u utvrđivanju razine ovladanosti gradivom.

1) tg (luk 2 – luk g) 2) cos( - arctan2) 3) arcsin + arccos	1) cos (arcsin + arcsin) 2) sin (1.5 - arctan 3) 3) arcctg3 – arcctg 2

Za domaća zadaća možemo predložiti:

1) ctg (luk + luk + luk + luk); 2) sin 2 (arctg 2 – arcctg ()); 3) sin (2 arctg + tan ( arcsin )); 4) grijeh(2 arctg); 5) tg ( (arcsin ))

Lekcija br. 5 (2 sata) Tema: Inverzne trigonometrijske operacije na trigonometrijskim funkcijama.

Cilj: formirati razumijevanje učenika o inverznim trigonometrijskim operacijama na trigonometrijskim funkcijama, s fokusom na povećanje razumijevanja teorije koja se proučava.

Pri proučavanju ove teme pretpostavlja se da je opseg teorijskog materijala koji treba zapamtiti ograničen.

Materijal lekcije:

Možete početi učiti novi materijal proučavanjem funkcije y = arcsin (sin x) i iscrtavanjem njezina grafikona.

3. Svaki x I R je pridružen y I, tj.<= y <= такое, что sin y = sin x.

4. Funkcija je neparna: sin(-x) = - sin x; arcsin(sin(-x)) = - arcsin(sin x).

6. Graf y = arcsin (sin x) na:

a) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .

b)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо

sin y = sin ( – x) = sin x , 0<= - x <= .

Tako,

Nakon što smo konstruirali y = arcsin (sin x) na , nastavljamo simetrično oko ishodišta na [- ; 0], s obzirom na neparnost ove funkcije. Koristeći periodičnost, nastavljamo duž cijelog brojevnog pravca.

Zatim zapišite neke odnose: arcsin (sin a) = a if<= a <= ; arccos (cos a ) = a ako je 0<= a <= ; arctg (tg a) = a ako< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .

I napravite sljedeće vježbe:a) arccos(sin 2).Odgovor: 2 - ; b) arcsin (cos 0,6).Odgovor: - 0,1; c) arctg (tg 2).Odgovor: 2 - ;

d) arcctg(tg 0,6).Odgovor: 0,9; e) arccos (cos ( - 2)).Odgovor: 2 - ; e) arcsin (sin ( - 0,6)). Odgovor: - 0,6; g) arctg (tg 2) = arctg (tg (2 - )). Odgovor: 2 - ; h) arcctg (tg 0,6). Odgovor: - 0,6; - arctan x; e) arccos + arccos

Uz funkcije sin, cos, tg i ctg uvijek idu arksinus, arkosinus, arktangens i arkotangens. Jedna je posljedica druge, a parovi funkcija jednako su važni za rad s trigonometrijskim izrazima.

Razmotrite crtež jedinične kružnice, koji grafički prikazuje vrijednosti trigonometrijskih funkcija.

Ako izračunamo lukove OA, arcos OC, arctg DE i arcctg MK, tada će svi oni biti jednaki vrijednosti kuta α. Donje formule odražavaju odnos između osnovnih trigonometrijskih funkcija i njihovih odgovarajućih lukova.

Da bismo razumjeli više o svojstvima arkusina, potrebno je razmotriti njegovu funkciju. Raspored ima oblik asimetrične krivulje koja prolazi kroz koordinatni centar.

Svojstva arkusina:

Ako usporedimo grafove grijeh I arcsin, dvije trigonometrijske funkcije mogu imati zajednička načela.

arc kosinus

Arccos broja je vrijednost kuta α, čiji je kosinus jednak a.

Zavoj y = arcos x zrcali arcsin x graf, s jedinom razlikom što prolazi kroz točku π/2 na OY osi.

Pogledajmo detaljnije funkciju ark kosinusa:

1. Funkcija je definirana na intervalu [-1; 1].
2. ODZ za arccos - .
3. Graf se u cijelosti nalazi u prvoj i drugoj četvrtini, a sama funkcija nije niti parna niti neparna.
4. Y = 0 na x = 1.
5. Krivulja se cijelom dužinom smanjuje. Neka svojstva ark kosinusa podudaraju se s kosinusnom funkcijom.

Neka svojstva ark kosinusa podudaraju se s kosinusnom funkcijom.

Možda će školarci takvo "detaljno" proučavanje "lukova" smatrati nepotrebnim. Međutim, inače neki elementarni standardni ispitni zadaci mogu dovesti studente u slijepu ulicu.

Vježba 1. Označite funkcije prikazane na slici.

Odgovor: riža. 1 – 4, sl. 2 – 1.

U ovom primjeru naglasak je na sitnicama. Tipično, učenici su vrlo nepažljivi prema konstrukciji grafova i izgledu funkcija. Doista, zašto pamtiti vrstu krivulje ako se uvijek može iscrtati pomoću izračunatih točaka. Ne zaboravite da će u uvjetima testiranja vrijeme potrošeno na crtanje jednostavnog zadatka biti potrebno za rješavanje složenijih zadataka.

Arktangens

Arctg brojevi a su vrijednost kuta α tako da je njegov tangens jednak a.

Ako uzmemo u obzir arktangentni graf, možemo istaknuti sljedeća svojstva:

1. Graf je beskonačan i definiran na intervalu (- ∞; + ∞).
2. Arktangens je neparna funkcija, dakle, arctan (- x) = - arctan x.
3. Y = 0 na x = 0.
4. Krivulja raste kroz cijelo područje definicije.

Izložimo kratku komparativnu analizu tg x i arctg x u obliku tablice.

Arkotangens

Arcctg broja - uzima vrijednost α iz intervala (0; π) tako da mu je kotangens jednak a.

Svojstva ark kotangens funkcije:

1. Interval definiranja funkcije je beskonačan.
2. Raspon prihvatljivih vrijednosti je interval (0; π).
3. F(x) nije ni paran ni neparan.
4. Cijelom dužinom graf funkcije pada.

Vrlo je jednostavno usporediti ctg x i arctg x, samo trebate napraviti dva crteža i opisati ponašanje krivulja.

Zadatak 2. Povežite graf i oblik zapisa funkcije.

Ako logično razmišljamo, iz grafova je jasno da obje funkcije rastu. Stoga obje slike prikazuju određenu arctan funkciju. Iz svojstava arktangensa poznato je da je y=0 pri x = 0,

Odgovor: riža. 1 – 1, sl. 2 – 4.

Trigonometrijski identiteti arcsin, arcos, arctg i arcctg

Prethodno smo već identificirali odnos između lukova i osnovnih funkcija trigonometrije. Ta se ovisnost može izraziti nizom formula koje omogućuju izražavanje, na primjer, sinusa argumenta kroz njegov arksinus, arkosinus ili obrnuto. Poznavanje takvih identiteta može biti korisno pri rješavanju konkretnih primjera.

Također postoje odnosi za arctg i arcctg:

Još jedan koristan par formula postavlja vrijednost za zbroj arcsin i arcos, kao i arcctg i arcctg istog kuta.

Primjeri rješavanja problema

Zadaci trigonometrije mogu se podijeliti u četiri skupine: izračunati numeričku vrijednost određenog izraza, konstruirati graf zadane funkcije, pronaći njezinu domenu definicije ili ODZ i izvršiti analitičke transformacije za rješavanje primjera.

Prilikom rješavanja prve vrste problema morate se pridržavati sljedećeg akcijskog plana:

Pri radu s grafovima funkcija glavno je poznavanje njihovih svojstava i izgleda krivulje. Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi i nejednadžbi zahtijeva tablice identiteta. Što više formula učenik zapamti, lakše će pronaći odgovor na zadatak.

Recimo da na Jedinstvenom državnom ispitu trebate pronaći odgovor za jednadžbu poput:

Ako ispravno transformirate izraz i dovedete ga u željeni oblik, rješavanje je vrlo jednostavno i brzo. Prvo, pomaknimo arcsin x na desnu stranu jednakosti.

Ako se sjećate formule arcsin (sin α) = α, onda možemo svesti potragu za odgovorima na rješavanje sustava dviju jednadžbi:

Ograničenje na model x proizašlo je, opet iz svojstava arcsin: ODZ za x [-1; 1]. Kada je a ≠0, dio sustava je kvadratna jednadžba s korijenima x1 = 1 i x2 = - 1/a. Kada je a = 0, x će biti jednako 1.

Budući da su trigonometrijske funkcije periodične, njihove inverzne funkcije nisu jedinstvene. Dakle, jednadžba y = grijeh x, za zadano , ima beskonačno mnogo korijena. Doista, zbog periodičnosti sinusa, ako je x takav korijen, onda je i takav x + 2πn(gdje je n cijeli broj) također će biti korijen jednadžbe. Tako, inverzne trigonometrijske funkcije su višeznačne. Radi lakšeg rada s njima, uvodi se pojam njihovih glavnih značenja. Razmotrimo, na primjer, sinus: y = grijeh x. Ako argument x ograničimo na interval , onda na njemu funkcija y = grijeh x monotono raste. Stoga ima jedinstvenu inverznu funkciju, koja se naziva arcsinus: x = arcsin y.

Ako nije drugačije navedeno, pod inverznim trigonometrijskim funkcijama podrazumijevamo njihove glavne vrijednosti, koje su određene sljedećim definicijama.

arkusinus ( y = arcsin x) je inverzna funkcija sinusa ( x = siny
Arkus kosinus ( y = arccos x) je inverzna funkcija kosinusa ( x = jer y), ima domenu definicije i skup vrijednosti.
Arktangens ( y = arctan x) je inverzna funkcija tangensa ( x = tg y), ima domenu definicije i skup vrijednosti.
arkotangens ( y = arcctg x) je inverzna funkcija kotangensa ( x = ctg y), ima domenu definicije i skup vrijednosti.

Grafovi inverznih trigonometrijskih funkcija

Grafovi inverznih trigonometrijskih funkcija dobivaju se iz grafova trigonometrijskih funkcija zrcalnom refleksijom u odnosu na pravac y = x. Vidi odjeljke Sinus, kosinus, Tangens, kotangens.

y = arcsin x

y = arccos x

y = arctan x

y = arcctg x

Osnovne formule

Ovdje treba obratiti posebnu pozornost na intervale za koje formule vrijede.

arcsin(sin x) = x na
sin(arcsin x) = x
arccos(cos x) = x na
cos(arccos x) = x

arctan(tg x) = x na
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = x na
ctg(arcctg x) = x

Formule koje povezuju inverzne trigonometrijske funkcije

Vidi također: Derivacija formula za inverzne trigonometrijske funkcije

Formule zbroja i razlike

kod ili

kod i

kod i

kod ili

kod i

kod i

na

na

na

na

na

na

na

na

na

na

Reference:
U. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente, “Lan”, 2009.

(kružne funkcije, lučne funkcije) - matematičke funkcije koje su inverzne trigonometrijskim funkcijama.

arc kosinus, inverzna funkcija na cos (x = cos y), y = arccos x je definiran na i ima mnogo vrijednosti. Drugim riječima, vraća kut prema njegovoj vrijednosti cos.

arc kosinus(oznaka: arccos x; arccos x je kut čiji je kosinus jednak x i tako dalje).

Funkcija y = cos x kontinuirana je i ograničena duž cijele brojevne crte. Funkcija y = arccos x strogo opada.

Svojstva funkcije arcsin.

Dobivanje funkcije arccos.

S obzirom na funkciju y = cos x. U cijeloj svojoj domeni definicije, on je po komadu monoton i, prema tome, inverzna korespondencija y = arccos x nije funkcija. Stoga ćemo razmotriti segment na kojem se strogo smanjuje i uzima sve svoje vrijednosti - . Na ovom segmentu y = cos x opada strogo monotono i uzima sve svoje vrijednosti samo jednom, što znači da postoji inverzna funkcija na segmentu y = arccos x, čiji je graf simetričan grafu y = cos x na relativno ravnom segmentu y = x.