Okomite ravnine označavaju okomitost dviju ravnina. Stereometrija
Definicija. Diedralni kut je lik kojeg čine pravac a i dvije poluravnine sa zajedničkim rubom a, a ne pripadaju istoj ravnini.
Definicija. Stupanjska mjera diedralnog kuta je stupanjska mjera bilo kojeg od njegovih linearnih kutova.
Definicija. Dvije ravnine koje se sijeku nazivaju se okomitima ako je kut između njih 90o.
Oznaka okomitosti dviju ravnina.
Svojstva.
- U kvadru su svih šest stranica pravokutnici.
- Svi diedarski kutovi kvadra su pravi kutovi
- Kvadrat dijagonale pravokutnog paralelopipeda jednak je zbroju kvadrata njegove tri dimenzije.
Zadaci i testovi na temu "Tema 7. "Dvostrani kut. Okomitost ravnina."
- Diedralni kut. Okomitost ravnina
- Okomitost pravca i ravnine - Okomitost pravaca i ravnine, 10. razred
Lekcija: 1 Zadaci: 10 Testovi: 1
- Okomito i koso. Kut između pravca i ravnine - Okomitost pravaca i ravnine, 10. razred
Lekcije: 2 zadatka: 10 testova: 1
- Paralelnost ravnina - Paralelnost pravaca i ravnina, 10. razred
Lekcija: 1 Zadaci: 8 Testovi: 1
- Okomite linije - Osnovne geometrijske informacije 7. razred
Lekcija: 1 Zadaci: 17 Testovi: 1
Gradivo o temi sažima i sistematizira informacije koje poznajete iz planimetrije o okomitosti ravnih crta. Uputno je proučavanje teorema o odnosu paralelnosti i okomitosti pravaca i ravnina u prostoru, te gradiva o okomitosti i nagnutosti kombinirati sa sustavnim ponavljanjem odgovarajućeg gradiva iz planimetrije.
Rješenja gotovo svih računskih problema svode se na primjenu Pitagorinog poučka i njegovih posljedica. U mnogim zadacima mogućnost uporabe Pitagorinog poučka ili njegovih korolara opravdava se teoremom o tri okomice ili svojstvima paralelnosti i okomitosti ravnina.
Ova lekcija će pomoći onima koji žele razumjeti temu "Znak okomitosti dviju ravnina." Na početku ćemo ponoviti definiciju diedarskog i pravocrtnog kuta. Zatim ćemo razmotriti koje se ravnine nazivaju okomitima, te dokazati znak okomitosti dviju ravnina.
Tema: Okomitost pravca i ravnine
Lekcija: Znak okomitosti dviju ravnina
Definicija. Diedralni kut je lik kojeg tvore dvije poluravnine koje ne pripadaju istoj ravnini i njihov zajednički pravac a (a je brid).
Riža. 1
Promotrimo dvije poluravnine α i β (slika 1). Zajednička im je granica l. Taj se lik naziva diedralni kut. Dvije ravnine koje se sijeku tvore četiri diedra sa zajedničkim bridom.
Diedralni kut se mjeri svojim linearnim kutom. Odaberemo proizvoljnu točku na zajedničkom bridu l diedarskog kuta. U poluravninama α i β iz ove točke povučemo okomice a i b na pravac l i dobijemo linearni kut dvostranog kuta.
Pravci a i b tvore četiri kuta jednaka φ, 180° - φ, φ, 180° - φ. Podsjetimo se da je kut između ravnih linija najmanji od ovih kutova.
Definicija. Kut između ravnina je najmanji od diedarskih kutova koje čine te ravnine. φ je kut između ravnina α i β, ako
Definicija. Dvije ravnine koje se sijeku nazivaju se okomitima (međusobno okomitima) ako je kut između njih 90°.
Riža. 2
Na bridu l odabrana je proizvoljna točka M (slika 2). Povucimo dva okomita pravca MA = a i MB = b na brid l u ravnini α, odnosno u ravnini β. Dobili smo kut AMB. Kut AMB je linearni kut diedralnog kuta. Ako je kut AMB 90°, tada se ravnine α i β nazivaju okomitima.
Pravac b je konstrukcijski okomit na pravac l. Pravac b je okomit na pravac a jer je kut između ravnina α i β 90°. Utvrdimo da je pravac b okomit na dva pravca a i l koji se sijeku iz ravnine α. To znači da je pravac b okomit na ravninu α.
Slično možemo dokazati da je pravac a okomit na ravninu β. Pravac a je konstrukcijski okomit na pravac l. Pravac a je okomit na pravac b jer je kut između ravnina α i β 90°. Utvrdimo da je pravac a okomit na dva pravca b i l koji se sijeku iz ravnine β. To znači da je pravac a okomit na ravninu β.
Ako jedna od dviju ravnina prolazi pravcem okomitim na drugu ravninu, tada su te ravnine okomite.
Dokazati:
Riža. 3
Dokaz:
Neka se ravnine α i β sijeku duž pravca AC (slika 3). Da bismo dokazali da su ravnine međusobno okomite, potrebno je konstruirati linearni kut između njih i pokazati da je taj kut 90°.
Pravac AB okomit je na ravninu β, a time i na pravac AC koji leži u ravnini β.
Nacrtajmo pravac AD okomit na pravac AC u ravnini β. Tada je BAD linearni kut diedralnog kuta.
Pravac AB okomit je na ravninu β, a time i na pravac AD koji leži u ravnini β. To znači da je linearni kut BAD 90°. To znači da su ravnine α i β okomite, što je i trebalo dokazati.
Ravnina okomita na pravac po kojem se sijeku dvije zadane ravnine okomita je na svaku od tih ravnina (slika 4).
Dokazati:
Riža. 4
Dokaz:
Pravac l okomit je na ravninu γ, a ravnina α prolazi kroz pravac l. To znači da su prema okomitosti ravnina ravnine α i γ okomite.
Pravac l okomit je na ravninu γ, a ravnina β prolazi kroz pravac l. To znači da su prema okomitosti ravnina ravnine β i γ okomite.
TRANSKRIPT TEKSTA LEKCIJE:
Ideja ravnine u prostoru omogućuje nam da dobijemo, na primjer, površinu stola ili zida. Međutim, stol ili zid imaju konačne dimenzije, a ravnina se proteže izvan svojih granica u beskonačnost.
Razmotrimo dvije ravnine koje se sijeku. Kada se sijeku, tvore četiri diedra sa zajedničkim bridom.
Prisjetimo se što je diedralni kut.
U stvarnosti se susrećemo s predmetima koji imaju oblik diedralnog kuta: na primjer, malo otvorena vrata ili poluotvoreni fascikl.
Kada se dvije ravnine alfa i beta sijeku, dobivamo četiri diedrala. Neka je jedan od diedralnih kutova jednak (phi), tada je drugi jednak (1800 -), treći, četvrti (1800 -).
Razmotrimo slučaj kada je jedan od kutova diedra 900.
Tada su svi diedarski kutovi u ovom slučaju jednaki 900.
Uvedimo definiciju okomitih ravnina:
Dvije ravnine nazivamo okomitima ako je diedarski kut između njih 90°.
Kut između ravnine sigma i epsilon je 90 stupnjeva, što znači da su ravnine okomite
Navedimo primjere okomitih ravnina.
Zid i strop.
Bočni zid i ploča stola.
Formulirajmo znak okomitosti dviju ravnina:
TEOREM: Ako jedna od dvije ravnine prolazi pravcem okomitim na drugu ravninu, tada su te ravnine okomite.
Dokažimo ovaj znak.
Prema uvjetu, poznato je da pravac AM leži u ravnini α, pravac AM je okomit na ravninu β,
Dokažite: ravnine α i β su okomite.
Dokaz:
1) Ravnine α i β sijeku se po pravoj liniji AR, a AM je AR, jer je AM prema uvjetu β, odnosno AM je okomita na bilo koju ravninu koja leži u ravnini β.
2) Povucimo ravnu liniju AT okomitu na AP u ravnini β.
Dobivamo kut TAM - linearni kut diedralnog kuta. Ali kut TAM = 90°, budući da je MA β. Dakle, α β.
Q.E.D.
Iz znaka okomitosti dviju ravnina imamo važan korolar:
KOROLAR: ravnina okomita na pravac po kojem se sijeku dvije ravnine okomita je na svaku od tih ravnina.
Odnosno: ako je α∩β=s i γ s, onda su γ α i γ β.
Dokažimo ovaj korolar: ako je gama ravnina okomita na pravac c, tada je, na temelju paralelnosti dviju ravnina, gama okomita na alfu. Isto tako, gama je okomita na beta
Preformulirajmo ovaj korolar za diedralni kut:
Ravnina koja prolazi kroz linearni kut diedarskog kuta okomita je na brid i plohe tog diedralnog kuta. Drugim riječima, ako smo konstruirali linearni kut diedralnog kuta, tada je ravnina koja prolazi kroz njega okomita na brid i plohe tog diedralnog kuta.
Zadano je: ΔABC, C = 90°, AC leži u ravnini α, kut između ravnina α i ABC = 60°, AC = 5 cm, AB = 13 cm.
Nađi: udaljenost od točke B do ravnine α.
1) Konstruirajmo VC α. Tada je KS projekcija sunca na ovu ravninu.
2) BC AC (po uvjetu), što znači, prema teoremu triju okomica (TPP), KS AC. Dakle, VSK je linearni kut diedarskog kuta između ravnine α i ravnine trokuta ABC. To jest, VSK = 60 °.
3) Iz ΔBCA prema Pitagorinom teoremu:
Odgovor VK jednak je 6 korijena od tri cm
Praktična uporaba (primijenjena priroda) okomitosti dviju ravnina.
Okomitost u prostoru može imati:
1. Dvije ravne linije
3. Dvije ravnine
Pogledajmo redom ova tri slučaja: sve definicije i iskaze teorema koji se na njih odnose. A zatim ćemo raspravljati o vrlo važnom teoremu o tri okomice.
Okomitost dviju linija.
Definicija:
Možete reći: i meni su otkrili Ameriku! Ali upamtite da u svemiru nije sve isto kao u avionu.
Na ravnini mogu biti okomite samo sljedeće linije (koje se sijeku):
Ali dvije ravne crte mogu biti okomite u prostoru čak i ako se ne sijeku. Izgled:
pravac je okomit na pravac, iako se s njim ne siječe. Kako to? Prisjetimo se definicije kuta između ravnih linija: da biste pronašli kut između linija koje se sijeku i, morate povući ravnu liniju kroz proizvoljnu točku na liniji a. I tada će kut između i (po definiciji!) biti jednak kutu između i.
Sjećaš li se? Pa, u našem slučaju, ako se ispostavi da su ravne linije i okomite, onda moramo smatrati da su ravne linije i okomite.
Za potpunu jasnoću, pogledajmo primjer. Neka bude kocka. A od vas se traži da pronađete kut između linija i. Ove linije se ne sijeku - one se sijeku. Da bismo pronašli kut između i, nacrtajmo.
Zbog činjenice da je to paralelogram (pa čak i pravokutnik!), Ispada da. A zbog činjenice da je kvadrat, ispada da. Pa to znači.
Okomitost pravca i ravnine.
Definicija:
Evo slike:
pravac je okomit na ravninu ako je okomit na sve, sve prave u ovoj ravnini: i, i, i, i čak! I milijardu drugih izravnih!
Da, ali kako onda uopće možete provjeriti okomitost u ravnoj liniji iu ravnini? Dakle, život nije dovoljan! Ali na našu sreću, matematičari su nas spasili od noćne more beskonačnosti izumom znak okomitosti pravca i ravnine.
Formulirajmo:
Ocijenite koliko je super:
ako postoje samo dvije ravne crte (i) u ravnini na koju je pravac okomita, tada će se ta pravac odmah pokazati okomitom na ravninu, odnosno na sve ravne crte u ovoj ravnini (uključujući neke ravne linija koja stoji sa strane). Ovo je vrlo važan teorem, pa ćemo i njegovo značenje nacrtati u obliku dijagrama.
I pogledajmo ponovno primjer.
Neka nam je dan pravilan tetraedar.
Zadatak: dokažite to. Reći ćete: to su dvije ravne linije! Kakve veze ima okomitost pravca i ravnine?!
Ali pogledaj:
označimo sredinu ruba i nacrtajmo i. Ovo su medijani u i. Trokuti su pravilni i...
Evo ga, čudo: ispada da, budući da i. I dalje, svim ravnim linijama u ravnini, što znači i. Oni su to dokazali. A najvažnija točka bila je upravo uporaba znaka okomitosti pravca i ravnine.
Kad su ravnine okomite
Definicija:
Odnosno (za više detalja vidi temu “diedralni kut”) dvije su ravnine (i) okomite ako se pokaže da je kut između dviju okomica (i) na presjek tih ravnina jednak. A postoji teorem koji povezuje pojam okomitih ravnina s pojmom okomitosti u prostoru pravca i ravnine.
Ovaj teorem se zove
Kriterij za okomitost ravnina.
Formulirajmo:
Kao i uvijek, dekodiranje riječi "tada i samo tada" izgleda ovako:
- Ako, tada prolazi kroz okomicu na.
- Ako prolazi kroz okomitu na, onda.
(naravno, ovdje smo avioni).
Ovaj je teorem jedan od najvažnijih u stereometriji, ali, nažalost, i jedan od najtežih za primjenu.
Stoga morate biti vrlo oprezni!
Dakle, formulacija:
I opet dešifriranje riječi "tada i samo tada". Teorem tvrdi dvije stvari odjednom (pogledajte sliku):
pokušajmo primijeniti ovaj teorem da riješimo problem.
Zadatak: dana je pravilna šesterokutna piramida. Pronađite kut između linija i.
Riješenje:
Zbog činjenice da u pravilnoj piramidi vrh, kada se projicira, pada u središte baze, ispada da je ravna linija projekcija ravne linije.
Ali znamo da je u pravilnom šesterokutu. Primjenjujemo teorem o tri okomice:
I pišemo odgovor: .
OKOMITOST RAVNIH CRTA U PROSTORU. UKRATKO O GLAVNOM
Okomitost dviju linija.
Dva su pravca u prostoru okomita ako između njih postoji kut.
Okomitost pravca i ravnine.
Pravac je okomit na ravninu ako je okomit na sve pravce u toj ravnini.
Okomitost ravnina.
Ravnine su okomite ako je diedarski kut između njih jednak.
Kriterij za okomitost ravnina.
Dvije su ravnine okomite ako i samo ako jedna od njih prolazi kroz okomicu na drugu ravninu.
Teorem tri okomite:
Pa tema je gotova. Ako čitate ove retke, znači da ste vrlo cool.
Jer samo 5% ljudi je u stanju svladati nešto samostalno. A ako pročitate do kraja, onda ste u ovih 5%!
Sada ono najvažnije.
Razumjeli ste teoriju o ovoj temi. I, ponavljam, ovo... ovo je jednostavno super! Već si bolji od velike većine svojih vršnjaka.
Problem je što to možda neće biti dovoljno...
Za što?
Za uspješno položen Jedinstveni državni ispit, za upis na proračun na fakultet i, ŠTO JE NAJVAŽNIJE, za život.
Neću te uvjeravati ni u što, samo ću jedno reći...
Ljudi koji su stekli dobro obrazovanje zarađuju puno više od onih koji ga nisu stekli. Ovo je statistika.
Ali to nije glavna stvar.
Glavno da su SRETNIJI (postoje takve studije). Možda zato što se pred njima otvara mnogo više prilika i život postaje svjetliji? ne znam...
Ali razmislite sami...
Što je potrebno da biste bili bolji od drugih na Jedinstvenom državnom ispitu i na kraju bili... sretniji?
USPORITE SE RJEŠAVANJEM ZADATAKA NA OVU TEMU.
Tijekom ispita nećete tražiti teoriju.
Trebat će vam rješavati probleme protiv vremena.
A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje napraviti glupu pogrešku ili jednostavno nećete imati vremena.
To je kao u sportu - trebaš ponoviti mnogo puta da bi sigurno pobijedio.
Pronađite kolekciju gdje god želite, obavezno s rješenjima, detaljnom analizom i odluči, odluči, odluči!
Možete koristiti naše zadatke (neobavezno) i mi ih, naravno, preporučujemo.
Kako biste se bolje snašli u našim zadacima, morate pomoći produžiti vijek trajanja udžbenika YouClever koji upravo čitate.
Kako? Postoje dvije mogućnosti:
- Otključajte sve skrivene zadatke u ovom članku -
- Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka udžbenika - Kupite udžbenik - 899 RUR
Da, imamo 99 takvih članaka u našem udžbeniku i odmah se otvara pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima.
Pristup svim skrivenim zadacima omogućen je CIJELI život stranice.
U zaključku...
Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati na teoriji.
“Razumijem” i “Mogu riješiti” potpuno su različite vještine. Trebate oboje.
Pronađite probleme i riješite ih!
Ako jedna od dvije ravnine prolazi pravcem okomitim na drugu ravninu, tada su zadane ravnine okomite () (slika 28)
α – ravnina, V– pravac okomit na njega, β – ravnina koja prolazi kroz pravac V, I S– pravac po kojem se sijeku ravnine α i β.
Posljedica. Ako je ravnina okomita na presjek dviju zadanih ravnina, onda je okomita na svaku od tih ravnina.
Problem 1. Dokažite da se kroz bilo koju točku pravca u prostoru mogu povući dva različita pravca okomita na nju.
Dokaz:
Prema aksiomu ja postoji točka koja nije na liniji A. Prema teoremu 2.1, kroz točku U i izravni A možemo nacrtati ravninu α. (Sl. 29) Prema teoremu 2.3 kroz točku A u α ravnini možemo povući ravnu liniju A. Prema aksiomu C 1, postoji točka S, ne pripada α. Prema teoremu 15.1 kroz točku S i izravni A možemo nacrtati ravninu β. U ravnini β, prema teoremu 2.3, kroz točku a možemo povući ravnu liniju s A. Po konstrukciji, pravci b i c imaju samo jednu zajedničku točku A a oba su okomita
Zadatak 2. Gornji krajevi dva okomito stojeća stupa, međusobno razmaknutih 3,4 m, povezani su prečkom. Visina jednog stupa je 5,8 m, a drugog 3,9 m. Odredi duljinu prečke.
AC= 5,8 m, VD= 3,9 m, AB- ? (Sl. 30)
AE = AC – CE = AC – BD= 5,8 – 3,9 = 1,9 (m)
Po Pitagorinom teoremu iz ∆ AEV dobivamo:
AB 2 = AE 2 + EB 2 = AE 2 + CD 2 = ( 1,9) 2 + (3,4) 2 = 15,17 (m2)
AB= = 3,9 (m)
Zadaci
Cilj. Naučite analizirati u najjednostavnijim slučajevima međusobni dogovor objekata u prostoru, koristiti planimetrijske činjenice i metode pri rješavanju stereometrijskih problema.
1. Dokažite da kroz bilo koju točku pravca u prostoru možete povući pravac okomit na nju.
2. Pravci AB, AC i AD okomiti su u parovima. Pronađite segment CD ako:
1) AB = 3 cm , Sunce= 7 cm, OGLAS= 1,5 cm;
2) VD= 9 cm, OGLAS= 5 cm, Sunce= 16 cm;
3) AB = b, BC = a, AD = d;
4) VD = s, VS = a, AD = d
3. Točka A je udaljena a iz vrhova jednakostraničnog trokuta sa stranicom A. Odredite udaljenost od točke A do ravnine trokuta.
4. Dokažite da ako je pravac paralelan s ravninom, onda su sve njegove točke na istoj udaljenosti od ravnine.
5. Telefonska žica duljine 15 m rastegnuta je od telefonskog stupa, gdje je pričvršćena na visini od 8 m od površine tla, do kuće, gdje je pričvršćena na visini od 20 m. Odredi udaljenost između kuće i stupa, pod pretpostavkom da žica ne popušta.
6. Iz neke točke u ravninu povučene su dvije kose kosine jednake 10 cm i 17 cm. Razlika projekcija tih kosina je 9 cm. Odredi projekcije kosih kosina.
7. Iz neke točke u ravninu povučene su dvije kose, od kojih je jedna veća od druge za 26 cm. Nagnute projekcije su 12 cm i 40 cm.Odredite nagnute.
8. Iz točke u ravninu povučene su dvije kose crte. Odredi duljine kosih dužina ako su u omjeru 1:2, a projekcije kosih pravaca su 1 cm i 7 cm.
9. Iz točke u ravninu povučene su dvije kose kosine od 23 cm i 33 cm. Nađi
udaljenost od ove točke do ravnine ako su kose projekcije u omjeru 2:3.
10. Odredite udaljenost od sredine dužine AB do ravnine koja ne siječe tu dužinu ako su udaljenosti točaka a i B do ravnine: 1) 3,2 cm i 5,3 cm;7,4 cm i 6,1 cm; 3) a i c.
11. Riješite prethodni zadatak uz uvjet da dužina AB siječe ravninu.
12. Isječak duljine 1 m siječe ravninu, a krajevi su mu udaljeni od ravnine 0,5 m i 0,3 m. Odredi duljinu projekcije isječka na ravninu.
13. Iz točaka A i B spuštene su okomice na ravninu. Odredi udaljenost između točaka A i B ako su okomice 3 m i 2 m, razmak između njihovih osnovica 2,4 m, a dužina AB ne siječe ravninu.
14. Iz točaka A i B, koje leže u dvije okomite ravnine, spuštene su okomice AC i BD na presjecište ravnina. Odredi duljinu dužine AB ako je: 1) AC = 6 m, BD = 7 m, CD = 6 m; 2) AC = 3 m, VD = 4 m, CD = 12 m; 3) AD = 4 m, BC = 7 m, CD = 1 m; 4) AD = BC = 5 m, CD = 1 m; 4) AC = a, BD = b, CD = c; 5) AD = a, BC = b, CD = c.
15. Iz vrhova A i B jednakostraničnog trokuta ABC vraćene su okomice AA 1 i BB 1 na ravninu trokuta. Odredite udaljenost od vrha C do sredine segmenta A 1 B 1 ako je AB = 2 m, CA 1 = 3 m, CB 1 = 7 m i segment A 1 B 1 ne siječe ravninu trokuta.
16. Iz vrhova A i B šiljastih kutova pravokutnog trokuta ABC podignute su okomice AA 1 i BB 1 na ravninu trokuta. Odredite udaljenost od vrha C do sredine segmenta A 1 B 1 ako je A 1 C = 4 m, AA 1 = 3 m, CB 1 = 6 m, BB 1 = 2 m i segment A 1 B 1 se ne siječe. ravnina trokuta.
