Kako nacrtati okomitu simetralu u trokutu. Četiri divne točke trokuta

U trokutu se nalaze četiri tzv divne bodove: točka presjeka medijana. Sjecište simetrala, sjecište visina i sjecište simetrala. Razmotrimo svaki od njih.

Sjecište središnjica trokuta

Teorem 1

Na sjecištu središnjica trokuta: Medijane trokuta sijeku se u jednoj točki i dijele sjecište u omjeru $2:1$ počevši od vrha.

Dokaz.

Razmotrite trokut $ABC$, gdje je $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ njegova središnja vrijednost. Budući da središnje stranice dijele popola. Razmotrimo srednju liniju $A_1B_1$ (slika 1).

Slika 1. Medijane trokuta

Prema teoremu 1, $AB||A_1B_1$ i $AB=2A_1B_1$, stoga $\kut ABB_1=\kut BB_1A_1,\ \kut BAA_1=\kut AA_1B_1$. Stoga su trokuti $ABM$ i $A_1B_1M$ slični prema prvom kriteriju sličnosti trokuta. Zatim

Slično tome, dokazano je da

Teorem je dokazan.

Sjecište simetrala trokuta

Teorem 2

Na sjecištu simetrala trokuta: Simetrale trokuta sijeku se u jednoj točki.

Dokaz.

Promotrimo trokut $ABC$, gdje su $AM,\ BP,\ CK$ njegove simetrale. Neka je točka $O$ sjecište simetrala $AM\ i\ BP$. Iz ove točke povucite okomito na stranice trokuta (slika 2).

Slika 2. Simetrale trokuta

Teorem 3

Svaka točka simetrale neproširenog kuta jednako je udaljena od njegovih stranica.

Prema teoremu 3, imamo: $OX=OZ,\ OX=OY$. Stoga $OY=OZ$. Dakle, točka $O$ je jednako udaljena od stranica kuta $ACB$ pa leži na njegovoj simetrali $CK$.

Teorem je dokazan.

Sjecište simetrala okomitih trokuta

Teorem 4

Simetrale stranica trokuta sijeku se u jednoj točki.

Dokaz.

Neka je dan trokut $ABC$, $n,\ m,\ p$ njegove simetrale okomica. Neka je točka $O$ sjecište simetrala $n\ i\ m$ (sl. 3).

Slika 3. Simetrale okomica trokuta

Za dokaz nam je potreban sljedeći teorem.

Teorem 5

Svaka točka simetrale okomice na isječak jednako je udaljena od krajeva zadanog isječka.

Prema teoremu 3, imamo: $OB=OC,\ OB=OA$. Stoga $OA=OC$. To znači da je točka $O$ jednako udaljena od krajeva dužice $AC$ i stoga leži na njezinoj simetrali $p$.

Teorem je dokazan.

Točka sjecišta visina trokuta

Teorem 6

Visine trokuta ili njihovi produžeci sijeku se u jednoj točki.

Dokaz.

Razmotrimo trokut $ABC$, gdje je $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ njegova visina. Povucite crtu kroz svaki vrh trokuta paralelnu sa stranicom nasuprot vrhu. Dobivamo novi trokut $A_2B_2C_2$ (slika 4).

Slika 4. Visine trokuta

Kako su $AC_2BC$ i $B_2ABC$ paralelogrami sa zajedničkom stranicom, onda je $AC_2=AB_2$, odnosno točka $A$ je polovište stranice $C_2B_2$. Slično dobivamo da je točka $B$ polovište stranice $C_2A_2$, a točka $C$ polovište stranice $A_2B_2$. Iz konstrukcije imamo $(CC)_1\bot A_2B_2,\ (BB)_1\bot A_2C_2,\ (AA)_1\bot C_2B_2$. Stoga su $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ simetrale okomica trokuta $A_2B_2C_2$. Zatim, prema teoremu 4, imamo da se visine $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ sijeku u jednoj točki.

Srednja okomita (središnja okomica ili posrednica) je ravna crta okomita na zadani segment i prolazi kroz njegovo središte.

Svojstva

p_a=\tfrac(2aS)(a^2+b^2-c^2), p_b=\tfrac(2bS)(a^2+b^2-c^2), p_c=\tfrac(2cS)( a^2-b^2+c^2), gdje indeks označava stranu na koju je povučena okomica, S je površina trokuta, a također se pretpostavlja da su stranice povezane nejednakostima a \geqslant b \geqslant c. p_a\geq p_b i p_c\geq p_b. Drugim riječima, za trokut, najmanja okomita simetrala odnosi se na srednji segment.

Napišite recenziju na članak "Srednja okomica"

Bilješke

Odlomak koji karakterizira simetralu okomice

Kutuzov je, prestajući žvakati, iznenađeno zurio u Wolzogena, kao da ne razumije što mu se govori. Wolzogen, primijetivši uzbuđenje des alten Herrna, [starog gospodina (njemački)], rekao je sa smiješkom:
- Nisam smatrao da imam pravo skrivati ​​od vašeg gospodstva ono što sam vidio ... Trupe su u potpunom neredu ...
- Jesi li vidio? Jesi li vidio? .. - vikao je namršteno Kutuzov, brzo ustajući i napredujući prema Wolzogenu. “Kako se usuđuješ... kako se usuđuješ...!” vikao je, praveći prijeteće geste tresući ruke i gušeći se. - Kako se usuđujete, dragi gospodine, to mi govoriti. Ti ne znaš ništa. Recite generalu Barclayu od mene da su njegovi podaci netočni i da pravi tok bitke znam ja, vrhovni zapovjednik, bolje nego on.
Wolzogen je htio nešto prigovoriti, ali ga je Kutuzov prekinuo.
- Neprijatelj je odbijen na lijevom i poražen na desnom krilu. Ako niste dobro vidjeli, dragi gospodine, onda si ne dopustite govoriti ono što ne znate. Molim vas, otiđite do generala Barclaya i prenesite mu moju neizostavnu namjeru da sutra napadnem neprijatelja - strogo je rekao Kutuzov. Svi su šutjeli, a čuo se jedan težak uzdah zadihanog starog generala. - Odbijeni posvuda, na čemu hvala Bogu i našoj hrabroj vojsci. Neprijatelj je poražen, i sutra ćemo ga istjerati sa svete ruske zemlje, - reče Kutuzov prekrstivši se; i odjednom briznula u plač. Wolzogen je, slegnuvši ramenima i iskrivivši usne, tiho zakoračio u stranu, čudeći se uber diese Eingenommenheit des alten Herrn. [o ovoj tiraniji staroga gospodina. (Njemački)]
"Da, evo ga, moj heroj", rekao je Kutuzov debeljuškastom, lijepom crnokosom generalu, koji je u to vrijeme ulazio u humak. Bio je to Rajevski, koji je cijeli dan proveo na glavnoj točki Borodinskog polja.
Rajevski je izvijestio da su trupe čvrsto na svojim mjestima i da se Francuzi više ne usuđuju napadati. Saslušavši ga, Kutuzov reče na francuskom:
– Vous ne pensez donc pas comme lesautres que nous sommes obliges de nous retirer? [Dakle, ne mislite, kao i ostali, da se trebamo povući?] Dokazi teorema o svojstvima kružnice opisane oko trokuta

Sredina okomita na segment

Definicija 1. Sredina okomita na segment zove se ravna linija okomita na ovaj segment i prolazi njegovom sredinom (slika 1).

Teorem 1. Svaka točka simetrale okomice na segment je na istoj udaljenosti od krajeva ovaj segment.

Dokaz . Promotrimo proizvoljnu točku D koja leži na simetrali okomice na dužicu AB (slika 2) i dokažimo da su trokuti ADC i BDC jednaki.

Doista, ovi su trokuti pravokutni trokuti čiji su kraci AC i BC jednaki, a kraci DC zajednički. Iz jednakosti trokuta ADC i BDC slijedi jednakost odsječaka AD i DB. Teorem 1 je dokazan.

Teorem 2 (Obrnuto na teorem 1). Ako je točka na istoj udaljenosti od krajeva segmenta, tada ona leži na simetrali okomici na taj segment.

Dokaz . Dokažimo teorem 2 metodom "kontradikcijom". U tu svrhu pretpostavimo da je neka točka E na istoj udaljenosti od krajeva odsječka, ali ne leži na simetrali okomice na taj odsječak. Dovedimo ovu pretpostavku do kontradikcije. Razmotrimo najprije slučaj kada točke E i A leže na suprotnim stranama simetrale okomice (slika 3). U ovom slučaju dužina EA siječe simetralu okomice u nekoj točki koju ćemo označiti slovom D.

Dokažimo da je dužina AE duža od dužice EB. Stvarno,

Dakle, u slučaju kada točke E i A leže na suprotnim stranama simetrale okomice, dobili smo kontradikciju.

Sada razmotrimo slučaj kada točke E i A leže na istoj strani simetrale okomice (slika 4). Dokažimo da je dužina EB duža od dužice AE. Stvarno,

Rezultirajuća kontradikcija dovršava dokaz teorema 2

Kružnica koja opisuje trokut

Definicija 2. Kružnica koja opisuje trokut, nazovite krug koji prolazi kroz sva tri vrha trokuta (slika 5). U ovom slučaju trokut se zove trokut upisan u krug ili upisani trokut.

Svojstva kruga opisanog trokutu. Sinusni teorem

LikSlikaVlasništvo
Srednje okomice
na stranice trokuta		 sijeku u jednoj točki .

Centar opisan oko šiljastog trokuta kružniceCentar opisan o oštrokutni unutra trokut.
Centar kružnica opisana pravokutnom trokutuSredište opisanog o pravokutan polovište hipotenuze .
Centar opisan oko tupokutnog trokuta krugaCentar opisan o tupi krug trokut leži vani trokut.

,
Kvadrat trokut

S= 2R 2 grijeh A grijeh B grijeh C ,
Polumjer opisane kružnice

Za svaki trokut vrijedi jednakost:
Srednje okomice na stranice trokuta

Sve okomite simetrale nacrtana na stranice proizvoljnog trokuta, sijeku u jednoj točki .
Kružnica koja opisuje trokut

Svaki trokut može se opisati kružnicom. . Središte kružnice opisane oko trokuta je točka u kojoj se sijeku sve simetrale povučene na stranice trokuta.
Središte kružnice opisane oko oštrokutnog trokuta

Centar opisan o oštrokutni krug trokut leži unutra trokut.
Središte kružnice opisane pravokutnom trokutu

Središte opisanog o pravokutan krug trokut je polovište hipotenuze .
Središte kruga opisanog oko tupokutnog trokuta

Centar opisan o tupi krug trokut leži vani trokut.

Za svaki trokut vrijede jednakosti (sinusni teorem):

,

gdje su a, b, c stranice trokuta, A, B, C kutovi trokuta, R je polumjer opisane kružnice.
Površina trokuta

Za svaki trokut vrijedi jednakost:

S= 2R 2 grijeh A grijeh B grijeh C ,

gdje su A, B, C kutovi trokuta, S je površina trokuta, R je polumjer opisane kružnice.
Polumjer opisane kružnice

Za svaki trokut vrijedi jednakost:

gdje su a, b, c stranice trokuta, S je površina trokuta, R je polumjer opisane kružnice.

Dokazi teorema o svojstvima kružnice opisane oko trokuta

Teorem 3. Sve srednje okomice povučene na stranice proizvoljnog trokuta sijeku se u jednoj točki.

Dokaz . Promotrimo dvije simetrale povučene na stranice AC i AB trokuta ABC i označimo točku njihova sjecišta slovom O (slika 6).

Budući da točka O leži na simetrali na odsječak AC , tada prema teoremu 1 vrijedi jednakost.

  • Dajte ideju o novoj klasi problema - izgradnji geometrijski oblici pomoću šestara i ravnala bez podjela mjerila.
  • Uvedite pojam GMT.
  • Dajte definiciju simetrale okomice, naučite je graditi i dokažite pojam o simetrali okomice, kao i njen inverz.
  • Koristeći računalni sustav za crtanje Compass-3D izvoditi geometrijske konstrukcije koje je preporučljivo provoditi na tečaju geometrije pomoću šestara i ravnala.

    • Handout (Prilog br. 1)

    Zadaci za građenje šestarom i ravnalom bez podjela najčešće se rješavaju prema određenoj shemi:

    ja Analiza: Shematski nacrtati željenu figuru i uspostaviti veze između podataka problema i željenih elemenata.

    II. zgrada: Po planu grade šestarom i ravnalom.

    III. Dokaz: Dokažite da konstruirana figura zadovoljava uvjete zadatka.

    IV. Studija: Provedite studiju, za sve podatke, ima li problem rješenje i ako ima, koliko rješenja (ne provodite u svim problemima).

    Evo nekoliko primjera elementarnih konstrukcijskih zadataka koje ćemo razmotriti:

    1. Odvojite segment jednak ovom (ranije proučen).

    2. Konstrukcija simetrale okomice na segment:

    • konstruirati polovište zadanog segmenta;
    • konstruirati pravac koji prolazi zadanom točkom i okomit je na zadani pravac (točka može i ne mora ležati na zadanom pravcu).

    3. Konstrukcija simetrale kuta.

    4. Konstrukcija kuta jednakog zadanom.

    Srednja okomica na segment.

    Definicija: Simetrala odsječka je pravac koji prolazi središtem odsječka i okomit je na njega.

    Zadatak: "Konstruiraj simetralu okomice na isječak." Prezentacija

    O - sredina AB

    Opis konstrukcije ( slajd broj 4):

    Greda a; A - početak grede

    Opseg (A; r =m)

    Zaokruži a = B; AB = m

    Krug 1 (A; r 1 > m/2)

    Krug 2 (B; r 1)

    Zaokruži 1 Zaokruži 2 =

    MN ; MN AB =0, (MN = L)

    gdje je MN AB, O središte AB

    III. Dokaz(slajd broj 5, 6)

    1. Razmotrite AMN i BNM:

    AM = MB=BN=AN=r 2 , stoga je AM = BN , AN = BM MN zajednička stranica

    (Slika 3)

    Dakle, AMN = BNM (na 3 strane),

    Slijedom toga

    1= 2 (po definiciji jednako)

    3= 4 (po definiciji jednako)

    2. MAN i NBM su jednakokračni (po definiciji) ->

    1 \u003d 4 i 3 \u003d 2 (po svojstvu jednakokračnog)

    3. Iz točaka 1 i 2 -> 1 = 3 dakle MO je simetrala jednakokračnog AMB

    4. Time smo dokazali da je MN simetrala okomice na dužicu AB

    IV. Studija

    Ovaj problem ima jedinstveno rješenje, jer Svaki segment ima samo jedno središte, a kroz zadanu točku može se povući jedan pravac okomit na zadanu.

    Definicija: Geometrijski skup točaka (GMT) je skup točaka koje imaju neko svojstvo. (prilog br. 2)

    Vama poznato GMT:

    1. Okomita simetrala isječka je skup točaka jednako udaljenih od krajeva isječka.
    2. Simetrala kuta - skup točaka jednako udaljenih od stranica kuta

    Pa dokažimo teorem:

    Teorem: "Svaka točka simetrale okomice na segment jednako je udaljena od krajeva tog segmenta."

    (Slika 4)

    Zadano: AB; MO - simetrala okomice

    Dokažite: AM = VM

    Dokaz:

    1. MO - simetrala okomice (prema uvjetu) -> O - središte segmenta AB, MOAB

    2. Razmotrite AMO i WMO - pravokutni

    MO - zajednička noga

    		 AO \u003d VO (O - sredina AB) -\u003e AMO \u003d BMO (na 2 noge) -\u003e AM \u003d VM (prema definiciji jednakih trokuta, kao odgovarajućih strana)

    Q.E.D

    Domaća zadaća: “Dokazati teorem obrnut zadanom”

    Teorem: "Svaka točka jednako udaljena od krajeva segmenta leži na okomitoj simetrali na ovaj segment."

    (Slika 5)

    Zadano: AB; MA=MV

    Dokazati: Točka M leži na simetrali okomice

    Dokaz:

    Da. MO - Simetrala okomice koja sadrži sve točke jednako udaljene od krajeva segmenta.

    Svojstvo simetrala okomica na stranice trokuta

    Oni se sijeku u jednoj točki i ta točka je središte kružnice opisane oko trokuta, proučavat ćemo u osmom razredu.

    Radionica

    Materijalno tehnička oprema:

    Distribucija: 29 574 KB

    OS: Windows 9x/2000/XP

    Web stranica: http://www.ascon.ru

    Sada ćemo konstrukciju prenijeti u grafičko okruženje računala (slajd broj 7)

    Potrebno je primijeniti prethodno stečena znanja i vještine konkretan zadatak. Vidjet ćete da vam konstrukcija neće oduzeti više vremena nego konstrukcija u bilježnici. Između ostalog, zanimljivo je vidjeti kako računalno okruženje izvršava ljudske naredbe za izgradnju ravnih figura. Pred vama je prilog br. 3 u kojem su detaljno opisani vaši koraci izgradnje. Učitajte program i otvorite novi crtež ( slajd broj 8, 9).

    Nacrtajte geometrijske objekte navedene u uvjetu zadatka: zraku a počevši od točke ALI a segment je jednak m– proizvoljna duljina ( slajd broj 10).

    Unesite oznaku grede, segmenta, početka grede u crtež pomoću kartice "Alati" tekst.

    Konstruirajte kružnicu s polumjerom jednakim segmentu m sa središtem u vrhu zadanom točkom ALI (slajd broj 11).

    m sa središtem u vrhu danoj točki A ( slajd №12, 13).

    Konstruirajte krug s polumjerom jednakim segmentu većem od 1/2 m Da biste to učinili, odaberite stavku " Između 2 boda” (slajd №14, 15, 16).

    Kroz sjecišta kružnica M i N nacrtaj liniju ( slajd №17,18).

    Rabljene knjige:

    1. Ugrinovich N.D. “Informatika. Osnovni tečaj” 7. razred. - M.: BINOM - 2008 - 175 str.
    2. Ugrinovich N.D. “Radionica informatike i informacijska tehnologija". Tutorial. - M.: BINOM, 2004-2006. -
    3. Ugrinovich N.D. “Nastava predmeta “Informatika i ICT” u razredima osnovne i srednje škole 8-11 M.: Laboratorij znanja BINOM, 2008. - 180 str.
    4. Ugrinovich ND Računalna radionica na CD-ROM-u. - M.: BINOM, 2004-2006.
    5. Boguslavsky A.A., Tretyak T.M. Farafonov A.A. “Kompas - 3D v 5.11-8.0 Radionica za početnike” - M .: SOLON - PRESS, 2006 - 272 str.
    6. Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., et al “Geometrija 7-9. Udžbenik za srednje škole "- M: Obrazovanje 2006 - 384 str.
    7. Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., et al “Proučavanje geometrije razreda 7-9. Smjernice za udžbenik "- M: Obrazovanje 1997 - 255 str.
    8. Afanas'eva T.L., Tapilina L.A. “Planovi lekcija za udžbenik za 8. razred Atanasyan L.S.” - Volgograd "Učitelj" 2010, 166 str.

    Primjena br. 1

    Plan rješavanja zadataka o konstrukciji šestara i ravnala.

    1. Analiza.
    2. Izgradnja.
    3. Dokaz.
    4. Studija.

    Obrazloženje

    1. Prilikom provođenja analize shematski se nacrta tražena slika i uspostavi veza između podataka zadatka i traženih elemenata.
    2. Prema planu, konstrukcija se izvodi šestarom i ravnalom.
    3. Oni dokazuju da konstruirana figura zadovoljava uvjete problema.
    4. Provedite studiju: za bilo koji podatak, ima li problem rješenje, i ako ima, koliko rješenja?

    Primjeri elementarnih konstrukcijskih zadataka

    1. Odvojite segment jednak zadanom.
    2. Konstruirajte simetralu okomice na isječak.
    3. Konstruirajte polovište odsječka.
    4. Konstruirajte pravac koji prolazi kroz zadanu točku, okomit na zadani pravac (Točka može i ne mora ležati na zadanom pravcu).
    5. Konstruiraj simetralu kuta.
    6. Konstruiraj kut jednak zadanom.

    Aplikacija №2

    Geografsko mjesto točaka (GMT) je skup točaka koje imaju neko svojstvo.

    Primjeri GMT-a:

    1. Okomita simetrala isječka je skup točaka jednako udaljenih od krajeva isječka.
    2. Kružnica je skup točaka jednako udaljenih od zadane točke – središta kružnice.
    3. Simetrala kuta je skup točaka jednako udaljenih od stranica kuta.

    Svaka točka simetrale okomice na segment jednako je udaljena od krajeva tog segmenta.

    U prethodnoj lekciji razmatrali smo svojstva simetrale kuta, zatvorenog u trokut i slobodnog. Trokut obuhvaća tri kuta, a za svaki od njih sačuvana su razmatrana svojstva simetrale.

    Teorema:

    Simetrale AA 1, BB 1, CC 1 trokuta sijeku se u jednoj točki O (slika 1).

    Riža. 1. Ilustracija za teorem

    Dokaz:

    Promotrimo prve dvije simetrale BB 1 i SS 1 . Sjeku se, sjecišna točka O postoji. Da bismo to dokazali, pretpostavimo suprotno: neka se zadane simetrale ne sijeku, u tom slučaju su paralelne. Tada je pravac BC sekanta i zbroj kutova , To proturječi činjenici da je u cijelom trokutu zbroj kutova .

    Dakle, točka O presjecišta dviju simetrala postoji. Razmotrite njegova svojstva:

    Točka O leži na simetrali kuta , što znači da je jednako udaljena od njegovih stranica BA i BC. Ako je OK okomita na BC, OL okomita na BA, tada su duljine tih okomica jednake -. Također, točka O leži na simetrali kuta i jednako je udaljena od njegovih stranica CB i CA, okomice OM i OK su jednake.

    Dobili smo sljedeće jednakosti:

    , odnosno sve tri okomice spuštene iz točke O na stranice trokuta međusobno su jednake.

    Zanima nas jednakost okomica OL i OM. Ova jednakost kaže da je točka O jednako udaljena od stranica kuta, pa leži na njegovoj simetrali AA 1.

    Dakle, dokazali smo da se sve tri simetrale trokuta sijeku u jednoj točki.

    Osim toga, trokut se sastoji od tri segmenta, što znači da trebamo razmotriti svojstva jednog segmenta.

    Dan je segment AB. Svaki segment ima sredinu i kroz njega se može povući okomica - označavamo je s p. Dakle, p je simetrala okomice.

    Riža. 2. Ilustracija za teorem

    Bilo koja točka koja leži na okomitoj simetrali jednako je udaljena od krajeva odsječka.

    Dokažite to (slika 2).

    Dokaz:

    Razmotrite trokute i . Oni su pravokutni i jednaki, jer imaju zajedničku katetu OM, a katete od AO i OB su po uvjetu jednake, pa imamo dva pravokutna trokuta koja su jednaka po dvije katete. Slijedi da su i hipotenuze trokuta jednake, odnosno, što je trebalo dokazati.

    Obratni teorem je istinit.

    Svaka točka jednako udaljena od krajeva segmenta leži na okomitoj simetrali na ovaj segment.

    Zadan je odsječak AB, simetrala na njega je p, točka M je jednako udaljena od krajeva odsječka. Dokažite da točka M leži na simetrali odsječka (sl. 3).

    Riža. 3. Ilustracija za teorem

    Dokaz:

    Razmotrimo trokut. Jednakokračan je, kao po stanju. Promotrimo medijan trokuta: točka O je središte baze AB, OM je središte. Prema svojstvu jednakokračnog trokuta, središnja povučena njegovoj osnovici je i visina i simetrala. Otuda slijedi da . Ali pravac p također je okomit na AB. Znamo da se na točku O može povući jedna okomica na dužinu AB, što znači da se pravci OM i p poklapaju, pa iz toga slijedi da točka M pripada pravcu p, što je i trebalo dokazati.

    Izravni i inverzni teorem mogu se generalizirati.

    Točka leži na simetrali odsječka ako i samo ako je jednako udaljena od krajeva tog odsječka.

    Dakle, ponavljamo da postoje tri segmenta u trokutu i da je svojstvo simetrale okomice primjenjivo na svaki od njih.

    Teorema:

    Simetrale okomica trokuta sijeku se u jednoj točki.

    Zadan je trokut. Okomito na njegove stranice: P 1 na stranicu BC, P 2 na stranicu AC, P 3 na stranicu AB.

    Dokažite da se okomice R 1 , R 2 i R 3 sijeku u točki O (slika 4).

    Riža. 4. Ilustracija za teorem

    Dokaz:

    Promotrimo dvije srednje okomice P 2 i P 3 , one se sijeku, sjecišna točka O postoji. Dokažimo ovu činjenicu kontradikcijom - neka su okomice P 2 i P 3 paralelne. Tada je kut ravan, što je u suprotnosti s činjenicom da je zbroj triju kutova trokuta . Dakle, postoji točka O presjeka dviju od tri simetrale okomitih. Svojstva točke O: leži na simetrali stranice AB, što znači da je jednako udaljena od krajeva dužice AB:. Također leži na simetrali okomici na stranu AC, pa . Dobili smo sljedeće jednakosti.

    Slični postovi