Geometrijski oblici koji nisu poligoni. pravilan poligon
Tijekom geometrije proučavamo svojstva geo-met-ri-che-sky figura i već smo pogledali najjednostavnije od njih: trokutasti-ni-ki i okolinu. Istodobno, raspravljamo o tome hoće li i konkretni slučajevi ovih figura, kao što su pravokutni, jednako siromašni-ren i pravokutni trokut-no-ki. Sada je vrijeme da razgovaramo o općenitijim i složenijim fi-gu-rah - mnogo-uglja-no-kah.
Uz privatni slučaj mnogo-ugljen-ni-kov već znamo - ovo je trokut (vidi sliku 1).
Riža. 1. Trokut-nick
U samom nazivu već je ispod-cher-ki-va-et-sya da je fi-gu-ra, netko ima tri ugla. Uz-va-tel-ali, u puno ugljena može ih biti mnogo, t.j. više od tri. Na primjer, slika peterokutnog nicka (vidi sliku 2), t.j. fi-gu-ru s pet kutova-la-mi.
Riža. 2. Pet-coal-nick. Vi-daleko-li-više-ugljen-nadimak
Definicija.Poligon- fi-gu-ra, koji se sastoji od nekoliko točaka (više od dvije) i odgovara odgovoru na th kov, netko-rye ih nakon-to-va-tel-ali kombinira-ed-nya-yut. Ove točke su on-zy-va-yut-sya top-shi-on-mi puno ugljena-no-ka, ali od-rezanje - sto-ro-na-mi. U isto vrijeme, dvije susjedne strane ne leže na istoj pravoj liniji i dvije nesusjedne strane se ne re-se-ka-yut-sya.
Definicija.Desno naprijed višestruki nadimak- ovo je konveksni poli-ugljen-nick, za nekoga-ro-go sve strane i kutovi su jednaki.
Bilo koji poligon de-la-et ravninu u dvije regije: unutarnju i vanjsku. Unutarnje-ren-ny područje je također od-no-syat do puno ugljena.
Drugim riječima, na primjer, kada govore o pet-coal-ni-ke, misle i na cijelo njegovo unutarnje područje i na granični tsu. A do unutarnjeg-ren-it regije od-no-syat-sya i svih točaka, neki-raž leže unutar puno-uglja-no-ka, t.j. točka je također od-no-sjedi-Xia do pet-uglja-no-ku (vidi sliku 2).
Mnogo-ugljen-no-ki se još uvijek ponekad naziva n-ugljen-no-ka-mi, kako bi se naglasilo da je to uobičajen slučaj-čaj na-nešto-nepoznatog-od- -broj uglova (n komada).
Definicija. Pe-ri-metar mnogo-ugljen-no-ka- zbroj duljina stranica multi-coal-no-ka.
Sada trebate znati-znati s pogledima mnogo-ugljen-no-kov. Oni de-lyat-xia na ti-glomazni i ne glomazan. Na primjer, poli-ugljen nick, prikazan na Sl. 2, is-la-et-sya you-bump-ly, a na Sl. 3 nebunch-lym.
Riža. 3. Nekonveksni poli-ugljen-nick
2. Konveksni i nekonveksni poligoni
Definiranje le 1. Poligon na-zy-va-et-sya ti prdiš, ako je kada je pro-ve-de-nii izravan kroz bilo koju od svojih strana, cjelina poligon leži samo sto-ro-bunar od ove ravne crte. Nevy-puk-ly-mi yav-la-yut-sya sve ostalo puno ugljena.
Lako je zamisliti da kada proširite bilo koju stranu pet-uglja-no-ka na Sl. 2 on je sav ok-zhet-sya sto-ro-dobro iz ovog ravnog rudnika, t.j. on je ispupčen. Ali kada je pro-ve-de-nii ravno u četiri-you-rech-coal-no-ke na Sl. 3, već vidimo da ga ona dijeli na dva dijela, t.j. on nije glomazan.
Ali postoji još jedan def-de-le-nie you-pump-lo-sti a lot-of-coal-no-ka.
Opré-de-le-nie 2. Poligon na-zy-va-et-sya ti prdiš, ako kada odaberete bilo koje dvije njegove unutarnje točke i kada ih povežete iz usjeka, sve točke iz usjeka su također unutarnje -no-mi point-ka-mi much-coal-no-ka.
Demonstracija korištenja ove definicije de-le-tiona može se vidjeti na primjeru građenja iz rezova na Sl. 2 i 3.
Definicija. Dia-go-na-lew mnogo-ugljen-no-ka-za-va-et-sya bilo koji od-re-zok, spajajući dva ne spajajući njegove vrhove.
3. Teorem o zbroju unutarnjih kutova konveksnog n-kuta
Za opis svojstava poligona postoje dvije važne teorije o njihovim kutovima: teo-re-ma o zbroju unutarnjih kutova vi-gomila-lo-go-mnogo-uglja-no-ka i teo-re-ma o zbroju vanjskih kutova. Pogledajmo ih.
Teorema. Na zbroj unutarnjih kutova ti-beam-lo-go-many-coal-no-ka (n-ugljen-no-ka).
Gdje je broj njegovih uglova (strana).
Do-for-tel-stvo 1. Slika-ra-zima na Sl. 4 konveksan n-ugao-nadimak.
Riža. 4. You-bump-ly n-angle-nick
S vrha pro-mi-dem sve moguće dija-go-on-bilo. Dijele n-kut-nick na trokut-no-ka, jer svaka od strana je multi-coal-no-ka-ra-zu-et trokut-nick, osim stranica koje se nalaze uz vrh gume. Iz crteža je lako vidjeti da će zbroj kutova svih ovih trokuta biti točno jednak zbroju unutarnjih kutova n-kut-no-ka. Budući da je zbroj kutova bilo kojeg trokuta-no-ka -, onda je zbroj unutarnjih kutova n-ugla-no-ka:
Do-ka-za-tel-stvo 2. Moguće je i još jedno do-ka-za-tel-stvo ovog teo-re-mi. Slika analognog n-ugla na Sl. 5 i povežite bilo koju njegovu unutarnju točku sa svim vrhovima.
Mi-be-či-bilo raz-bi-e-ne n-ugao-no-ka na n trokut-ni-kov (koliko strana, toliko trokuta-ni-kov ). Zbroj svih njihovih kutova jednak je zbroju unutarnjih kutova multi-coal-none i zbroju kutova u unutarnjoj točki, a to je kut. Imamo:
Q.E.D.
Prije-za-ali.
Prema do-ka-zan-noy teo-re-me, jasno je da zbroj kutova n-coal-no-ka ovisi o broju njegovih stranica (od n). Na primjer, u trokutu-ne-ke, i zbroj kutova. U četiri-vi-reh-ugljen-ni-ke, a zbroj kutova - itd.
4. Teorem o zbroju vanjskih kutova konveksnog n-kuta
Teorema. O zbroju vanjskih kutova vi-beam-lo-go-many-coal-no-ka (n-ugljen-no-ka).
Gdje je broj njegovih kutova (strana), a, ..., su vanjski kutovi.
Dokaz. Slika-ra-zim konveksni n-kut-nick na Sl. 6 i označavaju njezin unutarnji i vanjski kut.
Riža. 6. Vi ste konveksni n-coal-nick s oznakom vanjski-ni-kutovi-la-mi
Jer vanjski kut je spojen s unutarnjim kutom kao susjedni, tada 
a slično i za ostale vanjske kutove. Zatim:
Tijekom pre-ob-ra-zo-va-niy, koristili smo-zo-va-lagali smo već to-ka-zan-my theo-re-mine o zbroju unutarnjih kutova n-angle-no-ka .
Prije-za-ali.
Iz pre-ka-zan-noy teo-re-slijedimo in-te-res-ny činjenicu da je zbroj vanjskih kutova konveksnog-lo-tog n-ugla jednak 
od broja njegovih uglova (strana). Usput, ovisno o zbroju unutarnjih kutova.
Nadalje, radit ćemo više frakcijski s posebnim slučajem puno ugljena-no-kov - che-you-rekh-coal-no-ka-mi. U sljedećoj lekciji upoznat ćemo takav fi-gu-roj kao što je par-ral-le-lo-gram i razgovarati o njegovim svojstvima.
IZVOR
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/mnogougolniki
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie/pryamougolnye-treugolniki
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie/treugolniki-2
http://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2013/10/10/mnogougolniki-urok-v-8-class
https://im0-tub-ru.yandex.net/i?id=daa2ea7bbc3c92be3a29b22d8106e486&n=33&h=190&w=144
Predmet, dob učenika: geometrija, 9. razred
Svrha lekcije: proučavanje vrsta poligona.
Zadatak učenja: ažurirati, proširiti i generalizirati znanje učenika o poligonima; formirati ideju o "komponentama" poligona; provesti studiju broja sastavnih elemenata pravilnih poligona (od trokuta do n-kuta);
Razvojni zadatak: razvijati sposobnost analize, uspoređivanja, zaključivanja, razvijanje računalnih sposobnosti, usmenog i pisanog matematičkog govora, pamćenja, kao i samostalnosti u misaonim i učnim aktivnostima, sposobnost rada u parovima i skupinama; razvijati istraživačke i obrazovne aktivnosti;
Odgojni zadatak: njegovati samostalnost, aktivnost, odgovornost za zadani zadatak, ustrajnost u postizanju cilja.
Tijekom nastave: na ploči je napisan citat
“Priroda govori jezikom matematike, slova ovog jezika... matematičke figure.” G. Gallilei
Na početku sata razred se dijeli u radne skupine (u našem slučaju podjela na grupe od po 4 osobe - broj članova grupe jednak je broju grupa pitanja).
1. Faza poziva-
Ciljevi:
a) ažuriranje znanja učenika o temi;
b) buđenje interesa za temu koja se proučava, motivacija svakog učenika za aktivnosti učenja.
Prijem: Igra "Vjerujete li da...", organizacija rada s tekstom.
Oblici rada: frontalni, grupni.
“Vjeruješ li da…”
1. ... riječ "poligon" označava da svi likovi ove obitelji imaju "mnogo kutova"?
2. … pripada li trokut velikoj obitelji poligona koji se ističu među mnogim različitim geometrijskim oblicima na ravnini?
3. …je li kvadrat pravilan osmerokut (četiri strane + četiri ugla)?
Danas ćemo u lekciji govoriti o poligonima. Saznajemo da je ovaj lik omeđen zatvorenom izlomljenom linijom, koja zauzvrat može biti jednostavna, zatvorena. Razgovarajmo o tome da su poligoni ravni, pravilni, konveksni. Jedan od ravnih poligona je trokut koji vam je već dugo poznat (učenicima možete pokazati plakate koji prikazuju poligone, isprekidanu liniju, pokazati ih različite vrste, također možete koristiti TSO).
2. Faza razumijevanja
Svrha: dobivanje novih informacija, njihovo razumijevanje, odabir.
Prijem: cik-cak.
Oblici rada: individualni->par->grupni.
Svaka skupina dobiva tekst na temu nastavnog sata, a tekst je koncipiran na način da sadrži kako učenicima već poznate, tako i potpuno nove informacije. Uz tekst učenici dobivaju pitanja na koja odgovore moraju pronaći u ovom tekstu.
Poligoni. Vrste poligona.
Tko još nije čuo za tajanstveni Bermudski trokut, gdje brodovi i avioni nestaju bez traga? Ali trokut koji nam je poznat iz djetinjstva prepun je mnogo zanimljivih i tajanstvenih stvari.
Osim vrsta trokuta koji su nam već poznati, podijeljenih stranicama (skalenasti, jednakokračni, jednakostranični) i kutovima (ostrokutni, tupokutni, pravokutni), trokut pripada velikoj obitelji poligona koji se razlikuju od mnogih različiti geometrijski oblici na ravnini.
Riječ "poligon" označava da sve figure ove obitelji imaju "mnogo uglova". Ali to nije dovoljno za karakterizaciju figure.
Izlomljena crta A 1 A 2 ... A n je lik koji se sastoji od točaka A 1, A 2, ... A n i odsječaka A 1 A 2, A 2 A 3, ... koji ih spajaju. Točke se nazivaju vrhovima polilinije, a segmenti karike polilinije. (Sl. 1)
Izlomljena linija naziva se jednostavnom ako nema samosjecišta (sl. 2,3).
Izlomljena linija naziva se zatvorena ako joj se krajevi podudaraju. Duljina izlomljene linije je zbroj duljina njezinih karika (slika 4).
Jednostavna zatvorena izlomljena crta naziva se poligon ako njezine susjedne veze ne leže na istoj pravoj liniji (slika 5.).
Zamijenite u riječ "poligon" umjesto dijela "mnogo" određeni broj, na primjer 3. Dobit ćete trokut. Ili 5. Zatim - pentagon. Imajte na umu da kutova ima koliko i stranica, pa bi se ove figure mogle nazvati višestranim.
Vrhovi polilinije nazivaju se vrhovi poligona, a veze polilinije se nazivaju stranice poligona.
Poligon dijeli ravninu na dva područja: unutarnju i vanjsku (slika 6.).
Ravni poligon ili poligonalna regija je konačni dio ravnine omeđen poligonom.
Dva vrha poligona koji su krajevi iste stranice nazivaju se susjedima. Vrhovi koji nisu krajevi jedne strane nisu susjedni.
Mnogokut s n vrhova i stoga n stranica naziva se n-kut.
Iako je najmanji broj stranica poligona 3. Ali trokuti, spajajući se jedan s drugim, mogu tvoriti druge oblike, koji su zauzvrat također poligoni.
Segmenti koji povezuju nesusjedne vrhove poligona nazivaju se dijagonale.
Poligon se naziva konveksan ako leži u jednoj poluravni u odnosu na bilo koji pravac koji sadrži njegovu stranu. U ovom slučaju smatra se da sama ravna linija pripada poluravni.
Kut konveksnog poligona u danom vrhu je kut koji čine njegove strane koje se konvergiraju u tom vrhu.
Dokažimo teorem (o zbroju kutova konveksnog n-kuta): Zbroj kutova konveksnog n-kuta jednak je 180 0 *(n - 2).
Dokaz. U slučaju n=3 teorem vrijedi. Neka je A 1 A 2 …A n zadani konveksni poligon i n>3. Nacrtajmo u njemu dijagonale (iz jednog vrha). Kako je poligon konveksan, te ga dijagonale dijele na n - 2 trokuta. Zbroj kutova poligona jednak je zbroju kutova svih ovih trokuta. Zbroj kutova svakog trokuta je 180 0, a broj tih trokuta je n - 2. Prema tome, zbroj kutova konveksnog n - kuta A 1 A 2 ... A n je 180 0 * ( n - 2). Teorem je dokazan.
Vanjski kut konveksnog poligona u danom vrhu je kut koji je susjedan unutarnjem kutu poligona u tom vrhu.
Konveksni mnogokut naziva se pravilnim ako su sve strane jednake i svi kutovi jednaki.
Dakle, kvadrat se može nazvati drugačije - pravilni četverokut. Jednakostranični trokuti su također pravilni. Takve figure već dugo zanimaju majstore koji su ukrašavali zgrade. Napravili su prekrasne uzorke, na primjer, na parketu. Ali nisu se svi pravilni poligoni mogli koristiti za formiranje parketa. Parket se ne može formirati od pravilnih osmerokuta. Činjenica je da svaki kut ima jednak 135 0. A ako je bilo koja točka vrh dva takva osmerokuta, tada će imati 270 0, a treći osmerokut ne može stati: 360 0 - 270 0 \u003d 90 0. Ali dovoljno za kvadrat. Stoga je moguće presavijati parket od pravilnih osmerokuta i kvadrata.
Zvijezde su točne. Naša zvijezda petokraka je pravilna peterokutna zvijezda. A ako zarotirate kvadrat oko središta za 45 0, dobit ćete pravilnu osmerokutnu zvijezdu.
1 grupa
Što je isprekidana linija? Objasniti što su vrhovi i veze polilinije.
Koja se izlomljena linija naziva jednostavnom?
Koja se izlomljena linija naziva zatvorena?
Što je poligon? Kako se nazivaju vrhovi poligona? Koje su stranice poligona?
2 grupa
Što je ravan poligon? Navedite primjere poligona.
Što je n-gon?
Objasni koji su vrhovi poligona susjedni, a koji nisu.
Kolika je dijagonala poligona?
3 grupa
Što je konveksni poligon?
Objasni koji su kutovi poligona vanjski, a koji unutarnji?
Što je pravilan poligon? Navedite primjere pravilnih mnogokuta.
4 grupa
Koliki je zbroj kutova konveksnog n-kuta? Dokaži.
Učenici rade s tekstom, traže odgovore na postavljena pitanja, nakon čega se formiraju stručne grupe u kojima se radi na istim temama: učenici ističu glavnu stvar, sastavljaju popratni sažetak, iznose informacije u jednom od grafičke forme. Po završetku rada učenici se vraćaju u svoje radne skupine.
3. Faza refleksije -
a) procjena njihovog znanja, izazov na sljedeći korak znanja;
b) razumijevanje i prisvajanje primljenih informacija.
Prijem: istraživački rad.
Oblici rada: individualni->par->grupni.
Radne skupine su stručnjaci za odgovore na svaki od dijelova predloženih pitanja.
Vraćajući se radnoj skupini, stručnjak upoznaje ostale članove skupine s odgovorima na njihova pitanja. U skupini se odvija razmjena informacija svih članova radne skupine. Tako se u svakoj radnoj skupini, zahvaljujući radu stručnjaka, formira opća ideja o temi koja se proučava.
Istraživački rad učenika – popunjavanje tablice.
| Pravilni poligoni | Crtanje | Broj strana | Broj vrhova | Zbroj svih unutarnjih kutova | Mjera stupnja int. kut | Mjera stupnja vanjskog kuta | Broj dijagonala |
| A) trokut | |||||||
| B) četverokut | |||||||
| B) petozidni | |||||||
| D) šesterokut | |||||||
| E) n-kut |
Rješavanje zanimljivih zadataka na temu lekcije.
- U četverokutu povucite crtu tako da ga dijeli na tri trokuta.
- Koliko stranica ima pravilan mnogokut čiji je svaki unutarnji kut jednak 135 0 ?
- U određenom poligonu svi su unutarnji kutovi međusobno jednaki. Može li zbroj unutarnjih kutova ovog poligona biti: 360 0 , 380 0 ?
Sažimanje lekcije. Snimanje domaće zadaće.
Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.
Prikupljanje i korištenje osobnih podataka
Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju određena osoba ili povezanost s njim.
Od vas se može tražiti da unesete svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.
Slijedi nekoliko primjera vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.
Koje osobne podatke prikupljamo:
- Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite podatke, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu e-pošte itd.
Kako koristimo vaše osobne podatke:
- Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo i obavijestimo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
- S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke kako bismo vam poslali važne obavijesti i komunikacije.
- Također možemo koristiti osobne podatke za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
- Ako sudjelujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti podatke koje nam date za upravljanje takvim programima.
Otkrivanje trećim stranama
Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim stranama.
Iznimke:
- Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudskim redom, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva vladine agencije na teritoriju Ruske Federacije - otkrijte svoje osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno zbog sigurnosnih, provedbenih ili drugih razloga javnog interesa.
- U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.
Zaštita osobnih podataka
Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.
Održavanje vaše privatnosti na razini tvrtke
Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima komuniciramo o privatnosti i sigurnosnoj praksi i strogo provodimo praksu privatnosti.
U ovoj lekciji ćemo pokrenuti novu temu i uvesti novi koncept za nas - "poligon". Pogledat ćemo osnovne pojmove povezane s poligonima: stranice, vrhovi, kutovi, konveksnost i nekonveksnost. Onda ćemo dokazati ključne činjenice kao što je teorem o zbroju unutarnjih kutova poligona, teorem o zbroju vanjskih kutova poligona. Kao rezultat toga, približit ćemo se proučavanju posebnih slučajeva poligona, koji će se razmatrati u budućim lekcijama.
Tema: četverokuti
Lekcija: Poligoni
Tijekom geometrije proučavamo svojstva geometrijskih oblika i već smo razmotrili najjednostavnije od njih: trokute i krugove. Istodobno, raspravljali smo i o posebnim posebnim slučajevima ovih figura, kao što su pravokutni, jednakokračni i pravilni trokuti. Sada je vrijeme da razgovaramo o općenitijim i složenijim oblicima - poligona.
S posebnim slučajem poligona već smo upoznati - ovo je trokut (vidi sliku 1).
Riža. 1. Trokut
Već sam naziv naglašava da se radi o figuri koja ima tri ugla. Stoga, u poligon može ih biti mnogo, t.j. više od tri. Na primjer, nacrtajmo peterokut (vidi sliku 2), t.j. lik s pet uglova.
Riža. 2. Pentagon. Konveksni poligon
Definicija.Poligon- lik koji se sastoji od nekoliko točaka (više od dvije) i odgovarajućeg broja segmenata koji ih povezuju u seriju. Te se točke nazivaju vrhovima poligon, i segmenti - stranke. U ovom slučaju, dvije susjedne stranice ne leže na istoj pravoj liniji niti se dvije nesusjedne stranice ne sijeku.
Definicija.pravilan poligon je konveksan poligon u kojem su sve strane i kutovi jednaki.
Bilo koji poligon dijeli ravninu na dva područja: unutarnju i vanjsku. Interijer se također naziva poligon.
Drugim riječima, na primjer, kada govore o peterokutu, misle i na cijelo njegovo unutarnje područje i na njegovu granicu. A unutarnje područje također uključuje sve točke koje leže unutar poligona, t.j. točka također pripada peterokutu (vidi sl. 2).
Poligoni se ponekad nazivaju i n-kutovima kako bi se naglasilo da se razmatra opći slučaj s nekim nepoznatim brojem uglova (n komada).
Definicija. Opseg poligona je zbroj duljina stranica mnogokuta.
Sada se trebamo upoznati s vrstama poligona. Dijele se na konveksan i nekonveksan. Na primjer, poligon prikazan na sl. 2 je konveksan, a na Sl. 3 nekonveksna.
Riža. 3. Nekonveksni poligon
Definicija 1. Poligon pozvao konveksan, ako pri povlačenju ravne linije kroz bilo koju od njezinih strana, cijeli poligon leži samo s jedne strane ove linije. nekonveksan su svi ostali poligona.
Lako je zamisliti da pri proširenju bilo koje strane peterokuta na Sl. 2 sve će to biti s jedne strane ove ravne linije, t.j. on je konveksan. Ali kada crtate ravnu liniju kroz četverokut na Sl. 3 već vidimo da ga dijeli na dva dijela, t.j. on je nekonveksan.
Ali postoji još jedna definicija konveksnosti poligona.
Definicija 2. Poligon pozvao konveksan ako su pri odabiru bilo koje dvije njegove unutarnje točke i povezivanju sa segmentom sve točke segmenta također unutarnje točke poligona.
Demonstracija korištenja ove definicije može se vidjeti na primjeru konstruiranja segmenata na Sl. 2 i 3.
Definicija. dijagonala Poligon je svaki segment koji spaja dva nesusjedna vrha.
Za opis svojstava poligona postoje dva najvažnija teorema o njihovim kutovima: teorem o zbroju unutarnjih kutova konveksnog poligona i teorem o zbroju vanjskih kutova konveksnog poligona. Razmotrimo ih.
Teorema. O zbroju unutarnjih kutova konveksnog poligona (n-gon).
Gdje je broj njegovih kutova (strana).
Dokaz 1. Prikažimo na Sl. 4 konveksan n-kut.
Riža. 4. Konveksni n-kut
Nacrtajte sve moguće dijagonale iz vrha. Dijele n-kut na trokute, jer svaka strana poligona tvori trokut, osim stranica koje su susjedne vrhu. Sa slike je lako vidjeti da će zbroj kutova svih ovih trokuta biti jednak zbroju unutarnjih kutova n-kuta. Budući da je zbroj kutova bilo kojeg trokuta , tada je zbroj unutarnjih kutova n-kuta:
Q.E.D.
Dokaz 2. Moguć je i drugi dokaz ovog teorema. Nacrtajmo sličan n-kut na sl. 5 i povežite bilo koju njegovu unutarnju točku sa svim vrhovima.
Riža. 5.
Dobili smo podjelu n-kuta na n trokuta (koliko strana, toliko trokuta). Zbroj svih njihovih kutova jednak je zbroju unutarnjih kutova poligona i zbroju kutova u unutarnjoj točki, a to je kut. Imamo:
Q.E.D.
Provjereno.
Prema dokazanom teoremu, vidi se da zbroj kutova n-kuta ovisi o broju njegovih stranica (na n). Na primjer, u trokutu, a zbroj kutova je . U četverokutu, a zbroj kutova - itd.
Teorema. O zbroju vanjskih kutova konveksnog poligona (n-gon).
Gdje je broj njegovih uglova (strana), a , ..., su vanjski kutovi.
Dokaz. Nacrtajmo konveksni n-kut na sl. 6 i označavaju njezin unutarnji i vanjski kut.
Riža. 6. Konveksni n-kut s označenim vanjskim kutovima
Jer vanjski kut je spojen s unutarnjim kao susjedni, tada 
a slično i za ostale vanjske kutove. Zatim:
Tijekom transformacija koristili smo se već dokazanim teoremom o zbroju unutarnjih kutova n-kuta.
Provjereno.
Iz dokazanog teorema slijedi zanimljiva činjenica da je zbroj vanjskih kutova konveksnog n-kuta 
na broj njegovih kutova (stranica). Usput, za razliku od zbroja unutarnjih kutova.
Bibliografija
- Aleksandrov A.D. itd. Geometrija, 8. razred. - M.: Obrazovanje, 2006.
- Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometrija, 8. razred. - M.: Obrazovanje, 2011.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometrija, 8. razred. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.
- Profmeter.com.ua ().
- Narod.ru ().
- Xvatit.com().
Domaća zadaća
Dio ravnine omeđen zatvorenom izlomljenom linijom naziva se poligon.
Segmenti ove izlomljene linije nazivaju se stranke poligon. AB, BC, CD, DE, EA (slika 1) - stranice poligona ABCDE. Zbroj svih stranica mnogokuta naziva se njegovim perimetar.
Poligon se zove konveksan, ako se nalazi na jednoj strani bilo koje svoje strane, proteže se neograničeno izvan oba vrha.
Poligon MNPKO (slika 1) neće biti konveksan, budući da se nalazi na više od jedne strane prave KP.
Razmotrit ćemo samo konveksne poligone.
Kutovi koje čine dvije susjedne stranice poligona nazivaju se njegovim unutarnje uglovi i njihovi vrhovi - vrhovi poligona.
Odsječak koji povezuje dva nesusjedna vrha poligona naziva se dijagonala poligona.
AC, AD - dijagonale poligona (slika 2).
Kutovi koji se nalaze uz unutarnje kutove poligona nazivaju se vanjskim kutovima poligona (slika 3.).
Ovisno o broju kutova (strana), poligon se naziva trokut, četverokut, peterokut itd.
Za dva poligona se kaže da su jednaka ako se mogu preklopiti.
Upisani i opisani poligoni
Ako svi vrhovi poligona leže na kružnici, tada se poligon naziva upisana u krug, i krug opisano blizu poligona (sl.).
Ako su sve strane poligona tangente na kružnicu, tada se poligon naziva opisano oko kruga, a krug se zove upisana u poligon (sl.).
Sličnost poligona
Dva istoimena poligona nazivaju se sličnima ako su kutovi jednog od njih jednaki kutovima drugog, a slične stranice poligona su proporcionalne.
Poligoni s istim brojem stranica (kutova) nazivaju se istoimeni poligoni.
Stranice sličnih mnogokuta nazivaju se sličnima ako spajaju vrhove odgovarajućih jednakih kutova (sl.).
Tako, na primjer, da bi poligon ABCDE bio sličan poligonu A'B'C'D'E', potrebno je da: E = ∠E' i, osim toga, AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A' .
Omjer perimetra sličnih poligona
Prvo razmotrite svojstvo niza jednakih omjera. Imajmo, na primjer, relacije: 2 / 1 = 4 / 2 = 6 / 3 = 8 / 4 =2.
Nađimo zbroj prethodnih članova ovih relacija, zatim - zbroj njihovih sljedećih članova i nađemo omjer primljenih suma, dobivamo:
$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$
Isto ćemo dobiti ako uzmemo neke druge relacije, na primjer: 2 / 3 = 4 / 6 = 6 / 9 = 8 / 12 = 10 / 15 = 2 / 3 i onda pronađemo omjer tih zbroja , dobivamo:
$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$
U oba slučaja, zbroj prethodnih članova niza jednakih relacija povezan je sa zbrojem sljedećih članova istog niza, kao što je prethodni član bilo kojeg od tih odnosa povezan s njegovim sljedećim.
Ovo svojstvo smo zaključili razmatrajući niz brojčanih primjera. Može se zaključiti strogo i u općem obliku.
Sada razmotrite omjer opsega sličnih poligona.
Neka je mnogokut ABCDE sličan poligonu A'B'C'D'E' (sl.).
Iz sličnosti ovih poligona proizlazi da
AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A'
Na temelju svojstva niza jednakih odnosa koje smo izveli možemo zapisati:
Zbroj prethodnih članova relacija koje smo uzeli je obod prvog poligona (P), a zbroj sljedećih članova ovih relacija je obod drugog poligona (P '), dakle P / P ' = AB / A'B '.
Stoga, perimetri sličnih poligona povezani su kao njihove odgovarajuće stranice.
Omjer površina sličnih poligona
Neka su ABCDE i A'B'C'D'E' slični poligoni (sl.).
Poznato je da ΔABC ~ ΔA'B'C' ΔACD ~ ΔA'C'D' i ΔADE ~ ΔA'D'E'.
Osim,
;
Budući da su drugi omjeri ovih proporcija jednaki, što proizlazi iz sličnosti poligona, onda
Koristeći svojstvo niza jednakih omjera, dobivamo:
Ili 
gdje su S i S' površine ovih sličnih poligona.
Stoga, površine sličnih poligona su povezane kao kvadrati sličnih stranica.
Rezultirajuća formula može se pretvoriti u ovaj oblik: S / S '= (AB / A'B ') 2
Područje proizvoljnog poligona
Neka je potrebno izračunati površinu proizvoljnog četverokuta ABDC (slika).
Nacrtajmo u njemu dijagonalu, na primjer AD. Dobivamo dva trokuta ABD i ACD čije površine možemo izračunati. Zatim nalazimo zbroj površina ovih trokuta. Rezultirajući zbroj će izraziti površinu zadanog četverokuta.
Ako trebate izračunati površinu peterokuta, nastavljamo na isti način: izvlačimo dijagonale iz jednog od vrhova. Dobivamo tri trokuta čije površine možemo izračunati. Tako možemo pronaći površinu ovog peterokuta. Isto radimo kada izračunavamo površinu bilo kojeg poligona.
Područje projekcije poligona
Podsjetimo da je kut između pravca i ravnine kut između danog pravca i njegove projekcije na ravninu (slika).
Teorema. Površina ortogonalne projekcije poligona na ravninu jednaka je površini projiciranog poligona pomnoženoj s kosinusom kuta kojeg čine ravnina poligona i ravnina projekcije.
Svaki se poligon može podijeliti na trokute, čiji je zbroj površina jednak površini poligona. Stoga je dovoljno dokazati teorem za trokut.
Neka se ΔABC projicira na ravninu R. Razmotrimo dva slučaja:
a) jedna od stranica ΔABS paralelna je s ravninom R;
b) nijedna stranica ΔABC nije paralelna R.
Smatrati prvi slučaj: neka [AB] || R.
Povucite kroz (AB) ravninu R 1 || R i projicirati ortogonalno ΔABC na R 1 i dalje R(riža.); dobivamo ΔABC 1 i ΔA’B’C’.
Prema svojstvu projekcije, imamo ΔABC 1 (cong) ΔA’B’C’, pa stoga
S ∆ ABC1 = S ∆ A'B'C'
Nacrtajmo ⊥ i odsječak D 1 C 1 . Tada je ⊥, a \(\overbrace(CD_1C_1)\) = φ kut između ravnine ΔABC i ravnine R jedan . Tako
S ∆ ABC1 = 1 / 2 | AB | | C 1 D 1 | = 1 / 2 | AB | | CD 1 | cos φ = S ∆ ABC cos φ
i, prema tome, S Δ A'B'C' = S Δ ABC cos φ.
Prijeđimo na razmatranje drugi slučaj. Nacrtaj avion R 1 || R kroz taj vrh ΔAVS, udaljenost od koje je do ravnine R najmanji (neka je vrh A).
Dizajnirajmo ΔABC na ravnini R 1 i R(riža.); neka su njegove projekcije ΔAB 1 C 1 odnosno ΔA’B’C’.
Neka (BC) ∩ str 1 = D. Tada
S Δ A'B'C' = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ
Ostali materijali
