Što znači više vrijednosti funkcije? Raspon funkcije (skup vrijednosti funkcije)

g = x 3

y =| x|

y =

E( g) = [- 1, 1]

E( g) = (– ∞, + ∞)

E( g) = (– ∞, + ∞)

E( g) = (– ∞, + ∞)

E( g) = (0, + ∞)

Uvođenje algoritma za rješavanje problema pronalaženja skupa vrijednosti trigonometrijskih funkcija.

Pogledajmo kako možemo primijeniti svoje postojeće iskustvo na različite zadatke uključene u opcije objedinjenog ispita.

1. Pronalaženje vrijednosti funkcija za zadanu vrijednost argumenta.

Primjer. Odredite vrijednost funkcije y = 2 cos(π/2+ π/4 ) – 1, Ako x = -π/2.

Riješenje.

= –
– 1.

2. Pronalaženje raspona vrijednosti trigonometrijskih funkcija


Riješenje.

1≤ grijehx≤ 1

2 ≤ 2 grijehx≤ 2

9 ≤ 11+2grijehx≤ 13

3 ≤
+2∙ grijeh x ≤
, tj. E (y) = .

Zapišimo cjelobrojne vrijednosti funkcije na intervalu. Ovo je broj 3.

Odgovor: 3.

• 
  Pronađite skup vrijednosti funkcije na= grijeh 2 x+6sin x + 10.

• 
  Pronađite skup vrijednosti funkcije: na = grijeh 2 X - 6 grijeh x + 8 . (na svoju ruku)

na= grijeh 2 X- 2 3 grijehx + 3 2 - 3 2 + 8,

na= (grijehX- 3) 2 -1.

E ( grijehx) = [-1;1];

E ( grijehx -3) = [-4;-2];

E ( grijehx -3) 2 = ;

E ( na) = .

Odgovor: .

• 
  Pronađite najmanju vrijednost funkcije na= cos 2 x+ 2 sin x – 2.

Možemo li pronaći skup vrijednosti ove funkcije? (Ne.)

Što treba učiniti? (Svesti na jednu funkciju.)

Kako to učiniti? (Koristite formulu cos 2 x= 1-grijeh 2 x.)

Tako, na= 1-grijeh 2 x+ 2 sin x –2,

g= -grijeh 2 x+ 2 sin x –1,

na= -(grijeh x –1) 2 .

Pa, sada možemo pronaći skup vrijednosti i odabrati najmanju.

1 ≤ grijeh x ≤ 1,

2 ≤ grijeh x – 1 ≤ 0,

0 ≤ (sin x – 1) 2 ≤ 4,

4 ≤ -(sin x -1) 2 ≤ 0.

To znači da najmanja vrijednost funkcije na Ime= –4. Odgovor: -4.

• 
  Pronađite umnožak najveće i najmanje vrijednosti funkcije

Riješenje.

na= 1-cos 2 x+cos x + 1,5,

na= -cos 2 x+ 2∙0,5∙cos x - 0,25 + 2,75,

na= -(cos x- 0,5) 2 + 2,75.

E(cos x) = [-1;1],

E(cos x – 0,5) = [-1,5;0,5],

E(cos x – 0,5) 2 = ,

E(-(cos x-0,5) 2) = [-2,25;0],

E( na) = .

Najveća vrijednost funkcije na naib= 2,75; najmanja vrijednost na Ime= 0,5. Nađimo umnožak najveće i najmanje vrijednosti funkcije:

na naib ∙na Ime = 0,5∙2,75 = 1,375.

Odgovor: 1.375.

Prepišimo funkciju u obliku na =,

na =
,

Pronađimo sada skup vrijednosti funkcije.

E(grijeh x) = [-1, 1],

E(6 sin x) = [-6, 6],

E(6 sin x + 1) = [-5, 7],

E((6sin x + 1) 2) = ,

E(– (6sin x + 1) 2) = [-49, 0],

E(– (6sin x + 1) 2 + 64) = ,

E( g) = [
, 8].

Nađimo zbroj cjelobrojnih vrijednosti funkcije: 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30.

Odgovor: 30.

1)
to je x pripada prvoj četvrtini.

2)

Stoga 2 x pripadaju drugoj četvrtini.

3) U drugoj četvrtini funkcija sinusa opada i kontinuirana je. To znači da ova funkcija
preuzima sve vrijednosti iz
prije

4) Izračunajmo ove vrijednosti:

Odgovor :
.

1) Budući da sinus uzima vrijednosti od -1 do 1, tada skup vrijednosti razlike
. Kada se pomnoži sa
ovaj segment će ići u segment
.

2) Arkus kosinus je monotono opadajuća i kontinuirana funkcija. To znači da je skup vrijednosti izraza segment
.

3) Kada se ovaj segment pomnoži sa dobivamo
.

Odgovor:
.

Budući da je arktangens rastuća funkcija, onda
.

2) Pri povećanju x iz
prije argument 2 x povećava se od
prije . Budući da sinus raste u takvom intervalu, funkcija
uzima vrijednosti iz
do 1.

3) Pri povećanju od prije
argument 2 x povećava se od prije
. Budući da sinus opada na takvom intervalu, tada funkcija
uzima vrijednosti iz
do 1.

4) Koristeći formulu koja izražava sinus kroz tangens polukuta, nalazimo da

.

To znači da je željeni skup vrijednosti unija segmenata
I
, odnosno segment
.

Odgovor:
.
Ova tehnika (uvođenje pomoćnog kuta) koristi se za pronalaženje skupa vrijednosti funkcija oblika

na= a sin x + b cos x ili na= grijeh (Rx) + b cos (Rx).

• 
  Pronađite skup vrijednosti funkcije

Riješenje.

Pronađimo vrijednost
=
= 25.

Transformirajmo izraz

15 sin 2x + 20 cos 2x = 25 (
) = 25 () =

25 grijeha (2x + ), gdje je cos = , grijeh =.

Skup vrijednosti funkcije y = sin (2x + ): -1 grijeh (2x + ) 1.

Tada je skup vrijednosti izvorne funkcije -25 25 grijeha (2x + ) 25.

Odgovor: [-25; 25].
3. Zadaci nalaženja najveće i najmanje vrijednosti funkcije na intervalu.

• 
  Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije na= stg x na segmentu [π/4; π/2].

Funkcija na= stg x opada na intervalu [π/4; π/2], dakle, funkcija će poprimiti najmanju vrijednost kada x =π/2, tj na(π/2) = stg π/2 = 0; a najveća vrijednost je kod x=π/4, tj na(π/4) = stg π/4 = 1.

Odgovor: 1, 0.

Selektirajmo u jednakosti
cijeli dio: .

Slijedi da je graf funkcije f(x) ili hiperbola (a≠ 0) ili pravac bez točke.

Štoviše, ako je; 2a) i (2a;
) i, ako je a > 0, monotono raste na tim zrakama.

Ako je a = 0, tada je f(x) = -2 kroz cijelu domenu definicije x ≠ 0. Stoga je očito da tražene vrijednosti parametra nisu jednake nuli.

Budući da nas zanimaju vrijednosti funkcije samo na intervalu [-1; 1], tada je klasifikacija situacija određena činjenicom da se asimptota x = 2a hiperbole (a≠0) nalazi u odnosu na ovaj segment.

Slučaj 1. Sve točke u intervalu [-1; 1] nalaze se desno od vertikalne asimptote x = 2a, tj. kada je 2a

Slučaj 2. Vertikalna asimptota siječe interval [-1; 1], a funkcija opada (kao u slučaju 1), odnosno kada

Slučaj 3. Vertikalna asimptota siječe interval [-1; 1] i funkcija raste, odnosno -1

.

Slučaj 4. Sve točke u intervalu [-1; 1] nalaze se lijevo od okomite asimptote, odnosno 1 a > . i drugo
Tehnika 4 . Izražavanje x kroz y. (Traženje domene inverzne funkcije)

Prijem 5. Pojednostavljivanje formule koja definira razlomačko-racionalnu funkciju

Prijem 6. Pronalaženje više vrijednosti kvadratne funkcije(nalaženjem vrha parabole i utvrđivanjem ponašanja njezinih grana).

Prijem 7. Uvođenje pomoćnog kuta za pronalaženje skupa vrijednosti nekih trigonometrijskih funkcija.

Stranica 1

Ovisnost jedne varijable o drugoj naziva se funkcionalna ovisnost. Varijabla ovisnosti g iz varijable x nazvao funkcija, ako je svaka vrijednost x odgovara jednoj vrijednosti g.

Oznaka:

Varijabilna x naziva nezavisna varijabla ili argument, i varijabla g- ovisan. To kažu g je funkcija od x. Značenje g, što odgovara navedenoj vrijednosti x, nazvao vrijednost funkcije.

Sve vrijednosti koje prihvaća x, obrazac domena funkcije; sve vrijednosti koje su potrebne g, obrazac skup vrijednosti funkcije.

Oznake:

D(f)- vrijednosti argumenata. E(f)- vrijednosti funkcije. Ako je funkcija dana formulom, tada se smatra da se domena definicije sastoji od svih vrijednosti varijable za koje ova formula ima smisla.

Grafikon funkcije je skup svih točaka na koordinatnoj ravnini čije su apscise jednake vrijednostima argumenta, a ordinate jednake odgovarajućim vrijednostima funkcije. Ako neka vrijednost x=x 0 odgovara višestrukim vrijednostima (ne samo jednoj) g, tada takvo dopisivanje nije funkcija. Da bi skup točaka na koordinatnoj ravnini bio graf određene funkcije, potrebno je i dovoljno da bilo koji pravac paralelan s osi Oy siječe graf u najviše jednoj točki.

Metode za specificiranje funkcije

1) Funkcija se može postaviti analitički u obliku formule. Na primjer,

2) Funkcija se može specificirati tablicom od mnogo parova (x; y).

3) Funkcija se može odrediti grafički. Vrijednosni parovi (x; y) prikazani su na koordinatnoj ravnini.

Monotonost funkcije

Funkcija f(x) nazvao povećavajući se na zadanom numeričkom intervalu, ako većoj vrijednosti argumenta odgovara veća vrijednost funkcije. Zamislite da se određena točka pomiče po grafu slijeva nadesno. Tada će se činiti da se točka "penje" na grafikonu.

Funkcija f(x) nazvao smanjujući se na zadanom numeričkom intervalu, ako manja vrijednost funkcije odgovara većoj vrijednosti argumenta. Zamislite da se određena točka pomiče po grafu slijeva nadesno. Tada će se činiti da se točka "kotrlja" niz grafikon.

Poziva se funkcija koja samo raste ili samo opada na zadanom numeričkom intervalu monoton na ovom intervalu.

Nule funkcije i intervali konstantnog predznaka

Vrijednosti x, na kojem y=0, nazvao funkcijske nule. To su apscise točaka presjeka grafa funkcije s osi Ox.

Takvi rasponi vrijednosti x, na kojem funkcija ima vrijednosti g nazivaju se ili samo pozitivni ili samo negativni intervali konstantnog predznaka funkcije.

Parne i neparne funkcije

Ravnomjerna funkcija
1) Područje definicije je simetrično u odnosu na točku (0; 0), tj. ako je točka a pripada domeni definicije, zatim točka -a također spada u domenu definicije.
2) Za bilo koju vrijednost x f(-x)=f(x)
3) Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na os Oy.

Čudna funkcija ima sljedeća svojstva:
1) Područje definicije je simetrično u odnosu na točku (0; 0).
2) za bilo koju vrijednost x, koji pripada domeni definicije, jednakosti f(-x)=-f(x)
3) Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište (0; 0).

Nije svaka funkcija parna ili neparna. Funkcije opći pogled nisu ni parni ni neparni.

Periodične funkcije

Funkcija f naziva se periodičnim ako postoji broj takav da za bilo koji x iz domene definicije jednakost f(x)=f(x-T)=f(x+T). T je period funkcije.

Svaka periodična funkcija ima beskonačan broj perioda. U praksi se obično uzima u obzir najmanji pozitivni period.

Vrijednosti periodične funkcije ponavljaju se nakon intervala jednakog razdoblju. Ovo se koristi prilikom konstruiranja grafikona.

D(f)- one vrijednosti koje argument može poprimiti, tj. domena funkcije.

E(f)- one vrijednosti koje funkcija može poprimiti, tj. skup vrijednosti funkcije.

Metode za pronalaženje raspona funkcija.

sekvencijalno pronalaženje vrijednosti argumenata složene funkcije;

metoda procjene/graničenja;

korištenje svojstava neprekidnosti i monotonosti funkcije;

uporaba derivata;

korištenje najveće i najmanje vrijednosti funkcije;

grafička metoda;

metoda unosa parametara;

metoda inverzne funkcije.

Pogledajmo neke od njih.

Korištenje derivata

Opći pristup pronalaženje skupa vrijednosti kontinuirane funkcije f(x) sastoji se od pronalaženja najveće i najmanje vrijednosti funkcije f(x) u njezinoj domeni (ili dokazivanja da jedna ili obje ne postoje).

U slučaju da trebate pronaći skupove vrijednosti funkcije na segmentu:

pronaći izvod zadane funkcije f "(x);

pronaći kritične točke funkcije f(x) i odabrati one koje pripadaju tom segmentu;

izračunati vrijednosti funkcije na krajevima segmenta i na odabranim kritičnim točkama;

među pronađenim vrijednostima odaberite najmanju i najveću vrijednost;

Između ovih vrijednosti nalazi se skup vrijednosti funkcije.

Ako je domena funkcije interval, tada se koristi ista shema, ali umjesto vrijednosti na krajevima, koriste se granice funkcije jer argument teži prema krajevima intervala. Granične vrijednosti od nisu uključene u skup vrijednosti.

Metoda granica/rezultata

Da biste pronašli skup vrijednosti funkcije, prvo pronađite skup vrijednosti argumenata, a zatim pronađite odgovarajuće najmanje i najveće vrijednosti funkcije funkcije. Pomoću nejednakosti određuju se granice.

Bit je procijeniti kontinuiranu funkciju odozdo i odozgo te dokazati da funkcija doseže donju i gornju granicu procjene. U ovom slučaju, podudarnost skupa vrijednosti funkcije s intervalom od donje granice procjene do gornje određena je kontinuitetom funkcije i nedostatkom drugih vrijednosti za nju.

Svojstva kontinuirane funkcije

Druga mogućnost je transformirati funkciju u kontinuiranu monotonu, a zatim se pomoću svojstava nejednakosti procjenjuje skup vrijednosti novodobivene funkcije.

Sekvencijalno pronalaženje vrijednosti argumenata složene funkcije

Na temelju sekvencijalnog traženja skupa vrijednosti posrednih funkcija od kojih je funkcija sastavljena

Rasponi vrijednosti osnovnih elementarnih funkcija

Primjeri

Pronađite skup vrijednosti funkcije:

Korištenje derivata

Nalazimo domenu definicije: D(f)=[-3;3], jer $9-x^(2)\geq 0$

Pronađite izvod: $f"(x)=-\frac(x)(\sqrt(9-x^(2)))$

f"(x) = 0 ako je x = 0. f"(x) ne postoji ako je $\sqrt(9-x^(2))=0$, odnosno za x = ±3. Dobivamo tri kritične točke: x 1 = –3, x 2 = 0, x 3 = 3, od kojih se dvije podudaraju s krajevima segmenta. Izračunajmo: f(–3) = 0, f(0) = 3, f(3) = 0. Dakle, najmanja vrijednost f(x) je 0, najveća vrijednost je 3.

Odgovor: E(f) = .

NE koristi izvedenicu

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije:

Od $
f(x) = 1-\cos^(2)(x)+\cos(x)-\frac(1)(2) =
= 1-\frac(1)(2)+\frac(1)(4)-(\cos^(2)(x)-2\cdot\cos(x)\cdot\frac(1)(2) +(\frac(1)(2))^2) =
= \frac(3)(4)-(\cos(x)-\frac(1)(2))^(2) $ , tada:

$f(x)\leq \frac(3)(4)$ za sve x;

$f(x)\geq \frac(3)(4)-(\frac(3)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$ za sve x(jer $|\cos (x)|\leq 1$);

$f(\frac(\pi)(3))= \frac(3)(4)-(\cos(\frac(\pi)(3))-\frac(1)(2))^(2 )=\frac(3)(4)$;

$f(\pi)= \frac(3)(4)-(\cos(\pi)-\frac(1)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$;

Odgovor: $\frac(3)(4)$ i $-\frac(3)(2)$

Ako ovaj problem riješite pomoću derivacija, morat ćete prevladati prepreke vezane uz činjenicu da funkcija f(x) nije definirana na segmentu, već na cijelom brojevnom pravcu.

Korištenje metode granica/procjena

Iz definicije sinusa slijedi, $-1\leq\sin(x)\leq 1$. Zatim ćemo koristiti svojstva numeričkih nejednakosti.

$-4\leq - 4\sin(x)\leq 4$, (pomnožena sva tri dijela dvostruke nejednadžbe s -4);

$1\leq 5 - 4\sin(x)\leq 9$ (dodano trima dijelovima dvostruke nejednadžbe 5);

Budući da je ova funkcija kontinuirana u cijeloj domeni definicije, skup njezinih vrijednosti nalazi se između najmanje i najveće vrijednosti u cijeloj domeni definicije, ako ih ima.

U ovom slučaju, skup vrijednosti funkcije $y = 5 - 4\sin(x)$ je skup .

Iz nejednakosti $$ \\ -1\leq\cos(7x)\leq 1 \\ -5\leq 5\cos(x)\leq 5 $$ dobivamo procjenu $$\\ -6\leq y\ leq 6 $ $

Pri x = p i x = 0, funkcija poprima vrijednosti -6 i 6, tj. doseže donju i gornju granicu procjene. Kao linearna kombinacija kontinuiranih funkcija cos(7x) i cos(x), funkcija y je kontinuirana na cijelom brojevnom pravcu, dakle, po svojstvu kontinuirane funkcije, poprima sve vrijednosti od -6 do 6 uključujući , i samo njih, budući da su zbog nejednakosti $- 6\leq y\leq 6$ njegove druge vrijednosti nemoguće.

Prema tome, E(y) = [-6;6].

$$ \\ -1\leq\sin(x)\leq 1 \\ 0\leq\sin^(2)(x)\leq 1 \\ 0\leq2\sin^(2)(x)\leq 2 \\ 1\leq1+2\sin^(2)(x)\leq 3 $$ Odgovor: E(f) = .

$$ \\ -\infty< {\rm tg}\, x < +\infty \\ 0 \leq {\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 3 \leq 3+{\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 2^{3} \leq 2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} < +\infty \\ -\infty < -2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -8 \\ -\infty < 3-2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -5 $$ Ответ: E(f) = (–∞; -5].

$$ \\ -\infty< \lg{x} < +\infty \\ 0 \leq \lg^{2}{x} < +\infty \\ -\infty < -\lg^{2}{x} \leq 0 \\ -\infty < 16-\lg^{2}{x} \leq 16 \\ 0 \leq \sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 4 \\ 2 \leq 2+\sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 6 $$ Ответ: E(f) = .

Transformirajmo izraz $$ \\ \sin(x) + \cos(x) = \sin(x) + \sin(\frac(\pi)(2) - x) = \\ 2\sin\left ( (\ frac(x + \frac(\pi)(2) - x)(2)) \desno)\cos\lijevo ((\frac(x + \frac(\pi)(2) + x)(2 )) \desno) \\ = 2\sin(\frac(\pi)(4))cos(x +\frac(\pi)(4)) = \sqrt(2)cos(x +\frac(\ pi) (4)) $$.

Iz definicije kosinusa slijedi $$ \\ -1\leq\cos(x)\leq 1; \\ -1\leq \cos((x + \frac(\pi)(4)))\leq 1; \\ -\sqrt(2)\leq \sqrt(2)\cos((x +\frac(\pi)(4)))\leq\sqrt(2); $$

Budući da je ova funkcija kontinuirana u cijeloj domeni definicije, skup njezinih vrijednosti nalazi se između njezine najmanje i najveće vrijednosti, ako ih ima, skup vrijednosti funkcije $y =\sqrt(2)\cos((x +\frac(\pi)(4 )))$ je skup $[-\sqrt(2);\sqrt(2)]$.

$$\\ E(3^(x)) = (0;+∞), \\ E(3^(x)+ 1) = (1;+∞), \\ E(-(3^(x) )+ 1)^(2) = (-∞;-1), \\ E(5 – (3^(x)+1)^(2)) = (-∞;4) $$

Označimo $t = 5 – (3^(x)+1)^(2)$, gdje je -∞≤t≤4. Dakle, problem se svodi na pronalaženje skupa vrijednosti funkcije $y = \log_(0,5)(t)$ na zraku (-∞;4). Budući da je funkcija $y = \log_(0,5)(t)$ definirana samo za t > 0, tada se njen skup vrijednosti na zraku (-∞;4) podudara sa skupom vrijednosti funkcije na intervalu (0;4), koji predstavlja sjecište zrake (-∞;4) s područjem definicije (0;+∞) logaritamske funkcije. Na intervalu (0;4) ova funkcija je kontinuirana i padajuća. Pri t > 0 teži +∞, a pri t = 4 poprima vrijednost -2, pa je E(y) = (-2, +∞).

Koristimo tehniku ​​koja se temelji na grafičkom prikazu funkcije.

Nakon transformacije funkcije imamo: y 2 + x 2 = 25, te y ≥ 0, |x| ≤ 5.

Treba podsjetiti da je $x^(2)+y^(2)=r^(2)$ jednadžba kruga polumjera r.

Pod ovim ograničenjima, graf ove jednadžbe je gornji polukrug sa središtem u ishodištu i polumjerom jednakim 5. Očito je E(y) = .

Odgovor: E(y) = .

Reference

Raspon funkcija u Zadaci Jedinstvenog državnog ispita, Minyuk Irina Borisovna

Savjeti za pronalaženje skupa vrijednosti funkcije, Belyaeva I., Fedorova S.

Pronalaženje skupa vrijednosti funkcije

Kako riješiti zadatke iz matematike na prijemnom ispitu, I.I.Melnikov, I.N.Sergeev

Funkcija je model. Definirajmo X kao skup vrijednosti nezavisne varijable // neovisno znači bilo koje.

Funkcija je pravilo uz pomoć kojega se za svaku vrijednost nezavisne varijable iz skupa X može pronaći jedinstvena vrijednost zavisne varijable. // tj. za svaki x postoji jedan y.

Iz definicije proizlazi da postoje dva pojma - nezavisna varijabla (koju označavamo s x i može poprimiti bilo koju vrijednost) i zavisna varijabla (koju označavamo s y ili f (x) i izračunava se iz funkcije kada zamijenimo x).

NA PRIMJER y=5+x

1. Neovisno je x, što znači da uzimamo bilo koju vrijednost, neka je x=3

2. Sada izračunajmo y, što znači y=5+x=5+3=8. (y ovisi o x, jer koji god x zamijenimo, dobivamo isti y)

Kaže se da varijabla y funkcionalno ovisi o varijabli x i označava se na sljedeći način: y = f (x).

NA PRIMJER.

1.y=1/x. (naziva se hiperbola)

2. y=x^2. (naziva se parabola)

3.y=3x+7. (zvana ravna linija)

4. y= √ x. (zvana grana parabole)

Neovisna varijabla (koju označavamo s x) naziva se argument funkcije.

Funkcijska domena

Skup svih vrijednosti koje argument funkcije ima naziva se domena funkcije i označava se D(f) ili D(y).

Uzmite u obzir D(y) za 1.,2.,3.,4.

1. D (y)= (∞; 0) i (0;+∞) //cijeli skup realnih brojeva osim nule.

2. D (y)= (∞; +∞)//sav broj realnih brojeva

3. D (y)= (∞; +∞)//sav broj realnih brojeva

4. D (y)= )