Kako odrediti skup vrijednosti funkcije. Raspon funkcija u USE problemima
Ovisnost jedne varijable o drugoj naziva se funkcionalna ovisnost. Varijabla ovisnosti g iz varijable x nazvao funkcija, ako je svaka vrijednost x odgovara jednoj vrijednosti g.
Oznaka:
Varijabilna x naziva nezavisna varijabla ili argument, i varijabla g- ovisan. To kažu g je funkcija od x. Značenje g, što odgovara navedenoj vrijednosti x, nazvao vrijednost funkcije.
Sve vrijednosti koje prihvaća x, obrazac domena funkcije; sve vrijednosti koje su potrebne g, obrazac skup vrijednosti funkcije.
Oznake: 
D(f)- vrijednosti argumenata. E(f)- vrijednosti funkcije. Ako je funkcija dana formulom, tada se smatra da se domena definicije sastoji od svih vrijednosti varijable za koje ova formula ima smisla.
Grafikon funkcije je skup svih točaka na koordinatnoj ravnini čije su apscise jednake vrijednostima argumenta, a ordinate jednake odgovarajućim vrijednostima funkcije. Ako neka vrijednost x=x 0 odgovara višestrukim vrijednostima (ne samo jednoj) g, tada takvo dopisivanje nije funkcija. Da bi skup točaka na koordinatnoj ravnini bio graf određene funkcije, potrebno je i dovoljno da bilo koja ravna linija paralelna s osi Oy siječe graf najviše u jednoj točki.
Metode za specificiranje funkcije
1) Funkcija se može postaviti analitički u obliku formule. Na primjer, 
2) Funkcija se može specificirati tablicom od mnogo parova (x; y).
3) Funkcija se može odrediti grafički. Vrijednosni parovi (x; y) prikazani su na koordinatnoj ravnini.
Monotonost funkcije
Funkcija f(x) nazvao povećavajući se na zadanom numeričkom intervalu, ako većoj vrijednosti argumenta odgovara veća vrijednost funkcije. Zamislite da se određena točka pomiče po grafu slijeva nadesno. Tada će se činiti da se točka "penje" na grafikonu.
Funkcija f(x) nazvao smanjujući se na zadanom numeričkom intervalu, ako manja vrijednost funkcije odgovara većoj vrijednosti argumenta. Zamislite da se određena točka pomiče po grafu slijeva nadesno. Tada će se činiti da se točka "kotrlja" niz grafikon.
Poziva se funkcija koja samo raste ili samo opada na zadanom numeričkom intervalu monoton na ovom intervalu.
Nule funkcije i intervali konstantnog predznaka
Vrijednosti x, na kojem y=0, nazvao funkcijske nule. To su apscise točaka presjeka grafa funkcije s osi Ox.
Takvi rasponi vrijednosti x, na kojem funkcija ima vrijednosti g nazivaju se ili samo pozitivni ili samo negativni intervali konstantnog predznaka funkcije.
Parne i neparne funkcije
Ravnomjerna funkcija
1) Područje definicije je simetrično u odnosu na točku (0; 0), tj. ako je točka a pripada domeni definicije, zatim točka -a također spada u domenu definicije.
2) Za bilo koju vrijednost x f(-x)=f(x)
3) Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na os Oy.
Čudna funkcija ima sljedeća svojstva:
1) Područje definicije je simetrično u odnosu na točku (0; 0).
2) za bilo koju vrijednost x, koji pripada domeni definicije, jednakosti f(-x)=-f(x)
3) Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište (0; 0).
Nije svaka funkcija parna ili neparna. Funkcije opći pogled nisu ni parni ni neparni.
Periodične funkcije
Funkcija f naziva se periodičnim ako postoji broj takav da za bilo koji x iz domene definicije jednakost f(x)=f(x-T)=f(x+T). T je period funkcije.
Svaka periodična funkcija ima beskonačan broj perioda. U praksi se obično uzima u obzir najmanji pozitivni period.
Vrijednosti periodične funkcije ponavljaju se nakon intervala jednakog razdoblju. Ovo se koristi prilikom konstruiranja grafikona.
Često, u sklopu rješavanja problema, moramo tražiti mnoge vrijednosti funkcije na domeni definicije ili segmentu. Na primjer, to treba učiniti prilikom rješavanja različiti tipovi nejednakosti, procjene izraza itd.
Kao dio ovog materijala, reći ćemo vam što je raspon vrijednosti funkcije, dati glavne metode pomoću kojih se može izračunati i analizirati probleme različitim stupnjevima poteškoće. Radi jasnoće, pojedine odredbe su ilustrirane grafikonima. Nakon čitanja ovog članka dobit ćete sveobuhvatno razumijevanje raspona funkcije.
Počnimo s osnovnim definicijama.
Definicija 1
Skup vrijednosti funkcije y = f (x) na određenom intervalu x je skup svih vrijednosti koje ova funkcija poprima iteracijom preko svih vrijednosti x ∈ X.
Definicija 2
Raspon vrijednosti funkcije y = f (x) je skup svih njezinih vrijednosti koje ona može uzeti pri pretraživanju vrijednosti x iz raspona x ∈ (f).
Raspon vrijednosti određene funkcije obično se označava s E (f).
Imajte na umu da koncept skupa vrijednosti funkcije nije uvijek identičan njezinom rasponu vrijednosti. Ovi koncepti će biti ekvivalentni samo ako se interval vrijednosti x pri pronalaženju skupa vrijednosti podudara s domenom definicije funkcije.
Također je važno razlikovati raspon vrijednosti od raspona prihvatljivih vrijednosti varijable x za izraz na desnoj strani y = f (x). Raspon dopuštenih vrijednosti x za izraz f (x) bit će domena definicije ove funkcije.
Ispod je ilustracija koja prikazuje neke primjere. Plave linije su grafikoni funkcija, crvene linije su asimptote, crvene točke i linije na ordinatnoj osi su rasponi funkcija.
Očito, raspon vrijednosti funkcije može se dobiti projiciranjem grafa funkcije na O y os. Štoviše, može predstavljati jedan broj ili skup brojeva, segment, interval, otvorenu zraku, uniju numeričkih intervala itd.
Pogledajmo glavne načine pronalaženja raspona vrijednosti funkcije.
Počnimo s definiranjem skupa vrijednosti kontinuirane funkcije y = f (x) na određenom segmentu označenom [ a ; b ] . Znamo da funkcija koja je kontinuirana na određenom segmentu na njemu postiže svoj minimum i maksimum, odnosno najveći m a x x ∈ a ; b f (x) i najmanja vrijednost m i n x ∈ a ; b f (x) . To znači da dobivamo segment m i n x ∈ a ; bf(x); m a x x ∈ a ; b f (x) , koji će sadržavati skupove vrijednosti izvorne funkcije. Zatim sve što trebamo učiniti je pronaći naznačene minimalne i maksimalne točke na ovom segmentu.
Uzmimo problem u kojem trebamo odrediti raspon vrijednosti arkusina.
Primjer 1
Stanje: pronađite raspon vrijednosti y = a r c sin x .
Riješenje
U općem slučaju, domena definicije arkusina nalazi se na segmentu [ - 1 ; 1 ] . Na njoj trebamo odrediti najveću i najmanju vrijednost navedene funkcije.
y " = a r c sin x " = 1 1 - x 2
Znamo da će derivacija funkcije biti pozitivna za sve vrijednosti x koje se nalaze u intervalu [ - 1 ; 1 ], odnosno kroz cijelu domenu definicije, arksinus funkcija će rasti. To znači da će imati najmanju vrijednost kada je x jednako - 1, a najveću vrijednost je kada je x jednako 1.
m i n x ∈ - 1; 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - π 2 m a x x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin 1 = π 2
Dakle, raspon vrijednosti funkcije arkusina bit će jednak E (a r c sin x) = - π 2; π 2.
Odgovor: E (a r c sin x) = - π 2 ; π 2
Primjer 2
Stanje: izračunati raspon vrijednosti y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 na zadanom intervalu [ 1 ; 4 ] .
Riješenje
Sve što trebamo učiniti je izračunati najveću i najmanju vrijednost funkcije u zadanom intervalu.
Za određivanje ekstremnih točaka potrebno je napraviti sljedeće izračune:
y " = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 " = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1; 4 i l i 4 x 2 - 15 x + 12 = 0 D = - 15 2 - 4 4 12 = 33 x 2 = 15 - 33 8 ≈ 1. 16 ∈ 1 ; 4 ; x 3 = 15 + 33 8 ≈ 2 .59 ∈ 1 ; 4
Pronađimo sada vrijednosti zadane funkcije na krajevima segmenta i točkama x 2 = 15 - 33 8; x 3 = 15 + 33 8:
y (1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 512 ≈ 2. 08 y 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 · 15 + 33 8 3 + 6 · 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 y (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32
To znači da će skup vrijednosti funkcije biti određen segmentom 117 - 165 33 512; 32.
Odgovor: 117 - 165 33 512 ; 32 .
Prijeđimo na pronalaženje skupa vrijednosti kontinuirane funkcije y = f (x) u intervalima (a; b) i a; + ∞ , - ∞ ; b, - ∞; + ∞ .
Počnimo s određivanjem najveće i najmanje točke, kao i intervala povećanja i opadanja na zadanom intervalu. Nakon toga trebat ćemo izračunati jednostrane granice na krajevima intervala i/ili granice u beskonačnosti. Drugim riječima, moramo odrediti ponašanje funkcije pod zadanim uvjetima. Za to imamo sve potrebne podatke.
Primjer 3
Stanje: izračunajte raspon funkcije y = 1 x 2 - 4 na intervalu (- 2 ; 2) .
Riješenje
Odredi najveću i najmanju vrijednost funkcije na zadanom segmentu
y " = 1 x 2 - 4 " = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2)
Dobili smo maksimalnu vrijednost jednaku 0, budući da se u ovoj točki mijenja predznak funkcije i graf se počinje smanjivati. Pogledajte ilustraciju:
To jest, y (0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 će biti maksimalne vrijednosti funkcije.
Sada odredimo ponašanje funkcije za x koja teži - 2 na desnoj strani i + 2 na lijevoj strani. Drugim riječima, nalazimo jednostrana ograničenja:
lim x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 · 1 + 0 = - ∞ lim x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = - ∞
Ispada da će se vrijednosti funkcije povećati od minus beskonačnosti do - 1 4 kada se argument promijeni od - 2 do 0. A kada se argument promijeni s 0 na 2, vrijednosti funkcije se smanjuju prema minus beskonačnosti. Posljedično, skup vrijednosti dane funkcije na intervalu koji nam je potreban bit će (- ∞ ; - 1 4 ] .
Odgovor: (- ∞ ; - 1 4 ] .
Primjer 4
Stanje: označiti skup vrijednosti y = t g x na zadanom intervalu - π 2; π 2.
Riješenje
Znamo da je u općem slučaju derivacija tangensa - π 2; π 2 će biti pozitivan, odnosno funkcija će rasti. Odredimo sada kako se funkcija ponaša unutar zadanih granica:
lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞
Dobili smo povećanje vrijednosti funkcije od minus beskonačno do plus beskonačno kada se argument promijeni od - π 2 do π 2, te možemo reći da će skup rješenja ove funkcije biti skup svih realnih brojeva .
Odgovor: - ∞ ; + ∞ .
Primjer 5
Stanje: odredite raspon funkcije prirodnog logaritma y = ln x.
Riješenje
Znamo da je ova funkcija definirana za pozitivne vrijednosti argumenta D (y) = 0; + ∞ . Derivacija na zadanom intervalu bit će pozitivna: y " = ln x " = 1 x . To znači da se funkcija na njemu povećava. Zatim trebamo definirati jednostranu granicu za slučaj kada argument teži 0 (na desnoj strani) i kada x ide u beskonačnost:
lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞
Otkrili smo da će vrijednosti funkcije rasti od minus beskonačnosti do plus beskonačnosti kako se vrijednosti x mijenjaju od nule do plus beskonačnosti. To znači da je skup svih realnih brojeva raspon vrijednosti funkcije prirodnog logaritma.
Odgovor: skup svih realnih brojeva je raspon vrijednosti funkcije prirodnog logaritma.
Primjer 6
Stanje: odredi raspon funkcije y = 9 x 2 + 1 .
Riješenje
Ova je funkcija definirana pod uvjetom da je x realan broj. Izračunajmo najveću i najmanju vrijednost funkcije, kao i intervale njezina povećanja i smanjenja:
y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0
Kao rezultat, utvrdili smo da će se ova funkcija smanjiti ako je x ≥ 0; povećati ako je x ≤ 0 ; ima maksimalnu točku y (0) = 9 0 2 + 1 = 9 s varijablom jednakom 0.
Pogledajmo kako se funkcija ponaša u beskonačnosti:
lim x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0
Iz zapisa je jasno da će se vrijednosti funkcije u ovom slučaju asimptotski približiti 0.
Ukratko: kada se argument promijeni od minus beskonačnosti do nule, vrijednosti funkcije se povećavaju od 0 do 9. Kada se vrijednosti argumenata promijene od 0 do plus beskonačno, odgovarajuće vrijednosti funkcije smanjit će se od 9 do 0. To smo prikazali na slici:
To pokazuje da će raspon vrijednosti funkcije biti interval E (y) = (0 ; 9 ]
Odgovor: E (y) = (0 ; 9 ]
Ako trebamo odrediti skup vrijednosti funkcije y = f (x) na intervalima [ a ; b) , (a ; b ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; b ] , tada ćemo morati provesti potpuno ista istraživanja. Za sada nećemo analizirati ove slučajeve: susrest ćemo ih kasnije u problema.
Ali što ako je domena definiranja određene funkcije unija nekoliko intervala? Zatim moramo izračunati skupove vrijednosti na svakom od ovih intervala i kombinirati ih.
Primjer 7
Stanje: odredite koji će biti raspon vrijednosti y = x x - 2 .
Riješenje
Budući da nazivnik funkcije ne treba okrenuti na 0, tada je D (y) = - ∞; 2 ∪ 2 ; + ∞ .
Počnimo s definiranjem skupa vrijednosti funkcije na prvom segmentu - ∞; 2, što je otvorena greda. Znamo da će funkcija na njoj opasti, odnosno da će derivacija te funkcije biti negativna.
lim x → 2 - 0 x x - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ x x - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0
Zatim, u slučajevima kada se argument mijenja prema minus beskonačnosti, vrijednosti funkcije će se asimptotski približavati 1. Ako se vrijednosti x mijenjaju od minus beskonačno do 2, tada će se vrijednosti smanjiti od 1 do minus beskonačno, tj. funkcija na ovom segmentu će uzeti vrijednosti iz intervala - ∞; 1 . Iz naših razmatranja isključujemo jedinstvo, budući da ga vrijednosti funkcije ne dosežu, već mu se samo asimptotski približavaju.
Za otvorenu gredu 2; + ∞ izvodimo potpuno iste radnje. Funkcija na njemu također se smanjuje:
lim x → 2 + 0 x x - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x x - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0
Vrijednosti funkcije na danom segmentu određene su skupom 1; + ∞ . To znači da će raspon vrijednosti koje trebamo za funkciju navedenu u uvjetu biti unija skupova - ∞ ; 1 i 1; + ∞ .
Odgovor: E (y) = - ∞; 1 ∪ 1; + ∞ .
To se može vidjeti na grafikonu:
Poseban slučaj su periodične funkcije. Njihov raspon vrijednosti podudara se sa skupom vrijednosti na intervalu koji odgovara razdoblju ove funkcije.
Primjer 8
Stanje: odredite raspon vrijednosti sinusa y = sin x.
Riješenje
Sinus je periodična funkcija i njezin period je 2 pi. Uzmite segment 0; 2 π i vidjeti koji će biti skup vrijednosti na njemu.
y " = (sin x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z
Unutar 0; 2 π funkcija će imati točke ekstrema π 2 i x = 3 π 2 . Izračunajmo koliko će vrijednosti funkcije biti jednake u njima, kao i na granicama segmenta, a zatim izaberimo najveću i najmanju vrijednost.
y (0) = sin 0 = 0 y π 2 = sin π 2 = 1 y 3 π 2 = sin 3 π 2 = - 1 y (2 π) = sin (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π sin x = sin 3 π 2 = - 1, max x ∈ 0; 2 π sin x = sin π 2 = 1
Odgovor: E (sin x) = - 1; 1 .
Ako trebate znati raspone funkcija kao što su potencije, eksponencijalne, logaritamske, trigonometrijske, inverzne trigonometrijske, tada vam savjetujemo da ponovno pročitate članak o osnovnim elementarnim funkcijama. Teorija koju ovdje predstavljamo omogućuje nam da provjerimo tamo navedene vrijednosti. Preporučljivo ih je naučiti jer su često potrebni pri rješavanju problema. Ako poznajete raspone osnovnih funkcija, lako ćete pronaći raspone funkcija koji se geometrijskom transformacijom dobivaju iz elementarnih.
Primjer 9
Stanje: odredite raspon vrijednosti y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 .
Riješenje
Znamo da je segment od 0 do pi raspon arc kosinusa. Drugim riječima, E (a r c cos x) = 0; π ili 0 ≤ a r c cos x ≤ π . Funkciju a r c cos x 3 + 5 π 7 možemo dobiti iz ark kosinusa pomicanjem i rastezanjem duž O x osi, ali takve nam transformacije neće dati ništa. To znači 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ π .
Funkcija 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 može se dobiti iz arc kosinusa a r c cos x 3 + 5 π 7 istezanjem duž ordinatne osi, tj. 0 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . Konačna transformacija je pomak duž O y osi za 4 vrijednosti. Kao rezultat toga, dobivamo dvostruku nejednakost:
0 - 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4
Otkrili smo da će raspon vrijednosti koje trebamo biti jednak E (y) = - 4; 3 π - 4 .
Odgovor: E (y) = - 4; 3 π - 4 .
Zapisat ćemo još jedan primjer bez objašnjenja jer potpuno je sličan prethodnom.
Primjer 10
Stanje: izračunajte koliki će biti raspon funkcije y = 2 2 x - 1 + 3.
Riješenje
Prepišimo funkciju navedenu u uvjetu kao y = 2 · (2 x - 1) - 1 2 + 3. Za funkciju snage y = x - 1 2 raspon vrijednosti bit će definiran na intervalu 0; + ∞, tj. x - 1 2 > 0 . U ovom slučaju:
2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3
Dakle, E(y) = 3; + ∞ .
Odgovor: E(y) = 3; + ∞ .
Sada pogledajmo kako pronaći raspon vrijednosti funkcije koja nije kontinuirana. Da bismo to učinili, moramo podijeliti cijelo područje u intervale i pronaći skupove vrijednosti u svakom od njih, a zatim kombinirati ono što smo dobili. Da biste to bolje razumjeli, savjetujemo vam da pregledate glavne vrste prijelomnih točaka funkcija.
Primjer 11
Stanje: data je funkcija y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3. Izračunajte njegov raspon vrijednosti.
Riješenje
Ova funkcija je definirana za sve vrijednosti x. Analizirajmo ga za kontinuitet s vrijednostima argumenta jednakim - 3 i 3:
lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 sin x 2 - 4 = 2 sin - 3 2 - 4 = - 2 sin 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim x → - 3 - 0 f (x) ≠ lim x → - 3 + 0 f (x)
Neuklonjiv diskontinuitet prve vrste imamo kada je vrijednost argumenta - 3. Kako joj se približavamo, vrijednosti funkcije teže - 2 sin 3 2 - 4 , a kako x teži - 3 s desne strane, vrijednosti će težiti - 1 .
lim x → 3 - 0 f (x) = lim x → 3 - 0 (- 1) = 1 lim x → 3 + 0 f (x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞
U točki 3 imamo neuklonjiv diskontinuitet druge vrste. Kada funkcija teži njoj, njezine vrijednosti se približavaju - 1, kada teže istoj točki s desne strane - do minus beskonačnosti.
To znači da je cijela domena definicije ove funkcije podijeljena na 3 intervala (- ∞ ; - 3 ], (- 3 ; 3 ], (3 ; + ∞).
U prvom od njih dobili smo funkciju y = 2 sin x 2 - 4. Kako je - 1 ≤ sin x ≤ 1, dobivamo:
1 ≤ sin x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2
To znači da je na danom intervalu (- ∞ ; - 3 ] skup vrijednosti funkcije [- 6 ; 2 ] .
Na poluintervalu (- 3; 3 ], rezultat je konstantna funkcija y = - 1. Prema tome, cijeli skup njegovih vrijednosti u ovom slučaju bit će sveden na jedan broj - 1.
Na drugom intervalu 3 ; + ∞ imamo funkciju y = 1 x - 3 . Opada jer je y " = - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:
lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0
To znači da je skup vrijednosti izvorne funkcije za x > 3 skup 0; + ∞ . Sada kombinirajmo rezultate: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; + ∞ .
Odgovor: E (y) = - 6; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; + ∞ .
Rješenje je prikazano na grafikonu:
Primjer 12
Uvjet: postoji funkcija y = x 2 - 3 e x. Odredite skup njegovih vrijednosti.
Riješenje
Definiran je za sve vrijednosti argumenata koji su realni brojevi. Odredimo u kojim intervalima će ova funkcija rasti, a u kojim padati:
y " = x 2 - 3 e x " = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x
Znamo da će derivacija postati 0 ako je x = - 1 i x = 3. Postavimo ove dvije točke na os i saznajmo koje će predznake imati derivacija na dobivenim intervalima.
Funkcija će se smanjiti za (- ∞ ; - 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞) i povećati za [ - 1 ; 3]. Minimalni bod će biti - 1, maksimalni - 3.
Pronađimo sada odgovarajuće vrijednosti funkcije:
y (- 1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3
Pogledajmo ponašanje funkcije u beskonačnosti:
lim x → - ∞ x 2 - 3 e x = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 e x = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 - 3 " e x " = lim x → + ∞ 2 x e x = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x " (e x) " = 2 lim x → + ∞ 1 e x = 2 1 + ∞ = + 0
Za izračun druge granice korišteno je L'Hopitalovo pravilo. Prikažimo napredak našeg rješenja na grafikonu.
Pokazuje da će se vrijednosti funkcije smanjiti od plus beskonačno do - 2 e kada se argument promijeni od minus beskonačno do - 1. Ako se promijeni od 3 do plus beskonačno, tada će se vrijednosti smanjiti od 6 e - 3 do 0, ali 0 neće biti dostignuta.
Dakle, E(y) = [ - 2 e ; + ∞) .
Odgovor: E(y) = [ - 2 e ; + ∞)
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Mnogi problemi navode nas na traženje skupa funkcijskih vrijednosti na određenom segmentu ili kroz cijelu domenu definiranja. Takvi zadaci uključuju razna vrednovanja izraza i rješavanje nejednadžbi.
U ovom ćemo članku definirati raspon vrijednosti funkcije, razmotriti metode za njezino pronalaženje i detaljno analizirati rješenje primjera od jednostavnijih do složenijih. Sav će materijal biti opremljen grafičkim ilustracijama radi jasnoće. Stoga je ovaj članak detaljan odgovor na pitanje kako pronaći raspon funkcije.
Definicija.
Skup vrijednosti funkcije y = f(x) na intervalu X je skup svih vrijednosti funkcije koje ona uzima kada ponavlja sve .
Definicija.
Raspon funkcije y = f(x) je skup svih vrijednosti funkcije koje ona uzima kada iterira preko svih x iz domene definicije.
Raspon funkcije je označen kao E(f) .
Raspon funkcije i skup vrijednosti funkcije nisu ista stvar. Smatrat ćemo ove koncepte ekvivalentnima ako se interval X pri pronalaženju skupa vrijednosti funkcije y = f(x) podudara s domenom definicije funkcije.
Također, nemojte brkati raspon funkcije s varijablom x za izraz s desne strane jednakosti y=f(x) . Raspon dopuštenih vrijednosti varijable x za izraz f(x) je domena definiranja funkcije y=f(x).
Na slici je prikazano nekoliko primjera.
Grafikoni funkcija prikazani su debelim plavim linijama, tanke crvene linije su asimptote, crvene točke i linije na Oy osi pokazuju raspon vrijednosti odgovarajuće funkcije.
Kao što vidite, raspon vrijednosti funkcije dobiva se projiciranjem grafa funkcije na y-os. To može biti jedan broj (prvi slučaj), skup brojeva (drugi slučaj), segment (treći slučaj), interval (četvrti slučaj), otvorena zraka (peti slučaj), unija (šesti slučaj), itd. .
Dakle, što trebate učiniti da pronađete raspon vrijednosti funkcije?
Počnimo s najjednostavnijim slučajem: pokazat ćemo kako odrediti skup vrijednosti kontinuirane funkcije y = f(x) na segmentu.
Poznato je da funkcija kontinuirana na intervalu na njemu postiže svoje maksimalne i minimalne vrijednosti. Dakle, skup vrijednosti izvorne funkcije na segmentu bit će segment 
. Prema tome, naš zadatak se svodi na pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije na segmentu.
Na primjer, pronađimo raspon vrijednosti funkcije arkusina.
Primjer.
Odredite raspon funkcije y = arcsinx .
Riješenje.
Područje definicije arkusina je segment [-1; 1] . Nađimo najveću i najmanju vrijednost funkcije na ovom segmentu. 
Derivacija je pozitivna za sve x iz intervala (-1; 1), odnosno arksinus funkcije raste u cijeloj domeni definicije. Prema tome, najmanju vrijednost dobiva pri x = -1, a najveću pri x = 1. 
Dobili smo raspon funkcije arkusina 
.
Primjer.
Pronađite skup vrijednosti funkcije 
na segmentu.
Riješenje.
Nađimo najveću i najmanju vrijednost funkcije na zadanom segmentu.
Odredimo točke ekstrema koje pripadaju segmentu: 
Izračunavamo vrijednosti izvorne funkcije na krajevima segmenta iu točkama 
:
Stoga je skup vrijednosti funkcije na intervalu interval 
.
Sada ćemo pokazati kako pronaći skup vrijednosti kontinuirane funkcije y = f(x) u intervalima (a; b) , .
Prvo se određuju točke ekstrema, ekstremi funkcije, intervali rasta i opadanja funkcije na zadanom intervalu. Zatim izračunavamo krajeve intervala i (ili) granice u beskonačnosti (to jest, proučavamo ponašanje funkcije na granicama intervala ili u beskonačnosti). Ova informacija je dovoljna da se pronađe skup vrijednosti funkcije na takvim intervalima.
Primjer.
Definirajte skup vrijednosti funkcije na intervalu (-2; 2) .
Riješenje.
Nađimo točke ekstrema funkcije koje padaju na interval (-2; 2): 
Točka x = 0 je maksimalna točka, budući da derivacija prolaskom kroz nju mijenja predznak iz plusa u minus, a graf funkcije ide od rastućeg prema padajućem. 
postoji odgovarajući maksimum funkcije.
Otkrijmo ponašanje funkcije dok x teži -2 s desne strane i kada x teži 2 s lijeve strane, odnosno nalazimo jednostrane granice: 
Što smo dobili: kada se argument promijeni s -2 na nulu, vrijednosti funkcije rastu od minus beskonačnosti do minus jedne četvrtine (maksimum funkcije pri x = 0), kada se argument promijeni s nule na 2, vrijednosti funkcije opadaju do minus beskonačnosti. Dakle, skup vrijednosti funkcije na intervalu (-2; 2) je .
Primjer.
Odredite skup vrijednosti funkcije tangente y = tgx na intervalu.
Riješenje.
Derivacija funkcije tangente na intervalu je pozitivna 
, što ukazuje na povećanje funkcije. Proučimo ponašanje funkcije na granicama intervala: 
Dakle, kada se argument promijeni s na, vrijednosti funkcije rastu od minus beskonačno do plus beskonačno, odnosno skup vrijednosti tangente na ovom intervalu je skup svih realnih brojeva.
Primjer.
Nađite raspon funkcije prirodnog logaritma y = lnx.
Riješenje.
Funkcija prirodnog logaritma definirana je za pozitivne vrijednosti argument 
. Na tom intervalu derivacija je pozitivna 
, to ukazuje na povećanje funkcije na njemu. Nađimo jednostranu granicu funkcije dok argument teži nuli s desne strane i granicu kada x teži plus beskonačno: 
Vidimo da kako se x mijenja od nule do plus beskonačno, vrijednosti funkcije rastu od minus beskonačno do plus beskonačno. Stoga je raspon funkcije prirodnog logaritma cijeli skup realnih brojeva.
Primjer.
Riješenje.
Ova je funkcija definirana za sve prave vrijednosti x. Odredimo točke ekstrema, kao i intervale rasta i opadanja funkcije. 
Posljedično, funkcija opada na , raste na , x = 0 je maksimalna točka, 
odgovarajući maksimum funkcije.
Pogledajmo ponašanje funkcije u beskonačnosti: 
Dakle, u beskonačnosti se vrijednosti funkcije asimptotski približavaju nuli.
Saznali smo da kada se argument promijeni od minus beskonačno do nule (maksimalna točka), vrijednosti funkcije rastu od nule do devet (do maksimuma funkcije), a kada se x promijeni od nule do plus beskonačno, funkcija vrijednosti se smanjuju od devet do nule.
Pogledajte shematski crtež.
Sada je jasno vidljivo da je raspon vrijednosti funkcije .
Pronalaženje skupa vrijednosti funkcije y = f(x) na intervalima zahtijeva slično istraživanje. Nećemo se sada detaljnije zadržavati na ovim slučajevima. Ponovno ćemo ih susresti u primjerima u nastavku.
Neka je domena definicije funkcije y = f(x) unija nekoliko intervala. Pri pronalaženju raspona vrijednosti takve funkcije određuju se skupovi vrijednosti na svakom intervalu i uzima njihova unija.
Primjer.
Pronađite raspon funkcije.
Riješenje.
Nazivnik naše funkcije ne smije ići na nulu, tj.
Prvo, pronađimo skup vrijednosti funkcije na otvorenoj zraci.
Derivacija funkcije 
negativan na tom intervalu, odnosno funkcija na njemu opada. 
Otkrili smo da, kako argument teži minus beskonačnosti, vrijednosti funkcije asimptotski se približavaju jedinici. Kada se x promijeni od minus beskonačnosti do dva, vrijednosti funkcije se smanjuju od jedan do minus beskonačnosti, odnosno na intervalu koji se razmatra funkcija poprima skup vrijednosti. Ne uključujemo jedinicu, budući da je vrijednosti funkcije ne dosežu, već joj samo asimptotski teže na minus beskonačnosti.
Slično postupamo za otvorenu gredu.
U tom intervalu funkcija također opada. 
Skup vrijednosti funkcije na ovom intervalu je skup.
Dakle, željeni raspon vrijednosti funkcije je unija skupova i .
Grafička ilustracija.
Posebnu pozornost treba obratiti na periodične funkcije. Raspon vrijednosti periodičnih funkcija podudara se sa skupom vrijednosti na intervalu koji odgovara razdoblju ove funkcije.
Primjer.
Nađite raspon sinusne funkcije y = sinx.
Riješenje.
Ova funkcija je periodična s periodom od dva pi. Uzmimo segment i definirajmo skup vrijednosti na njemu. 
Segment sadrži dvije ekstremne točke i .
Izračunavamo vrijednosti funkcije u tim točkama i na granicama segmenta odabiremo najmanju i najveću vrijednost: 
Stoga, 
.
Primjer.
Pronađite raspon funkcije 
.
Riješenje.
Znamo da je raspon arc kosinusa segment od nule do pi, tj. 
ili u drugom postu. Funkcija 
može se dobiti iz arccosx pomicanjem i istezanjem duž apscisne osi. Takve transformacije ne utječu na raspon vrijednosti, stoga, 
. Funkcija 
dobiven od protežući se tri puta duž osi Oy, tj. 
. I posljednji stupanj transformacije je pomak od četiri jedinice prema dolje duž ordinate. To nas dovodi do dvostruke nejednakosti 
Dakle, potreban raspon vrijednosti je 
.
Navedimo rješenje drugog primjera, ali bez objašnjenja (nisu potrebna jer su potpuno slična).
Primjer.
Definirajte raspon funkcija 
.
Riješenje.
Zapišimo izvornu funkciju u obliku 
. Raspon vrijednosti funkcije snage je interval. To je, . Zatim 
Stoga, 
.
Da bismo dovršili sliku, trebali bismo govoriti o pronalaženju raspona vrijednosti funkcije koja nije kontinuirana na domeni definicije. U ovom slučaju domenu definicije dijelimo na intervale po prijelomnim točkama i na svakoj od njih nalazimo skupove vrijednosti. Kombiniranjem dobivenih skupova vrijednosti dobivamo raspon vrijednosti izvorne funkcije. Preporučujemo da zapamtite 3 s lijeve strane, vrijednosti funkcije teže minus jedan, a kako x teži 3 s desne strane, vrijednosti funkcije teže plus beskonačno.
Dakle, domenu definiranja funkcije dijelimo na tri intervala.
Na intervalu imamo funkciju 
. Od tad 
Dakle, skup vrijednosti izvorne funkcije na intervalu je [-6;2] .
Na poluintervalu imamo konstantnu funkciju y = -1. To jest, skup vrijednosti izvorne funkcije na intervalu sastoji se od jednog elementa.
Funkcija je definirana za sve važeće vrijednosti argumenata. Nađimo intervale porasta i opadanja funkcije.
Derivacija nestaje pri x=-1 i x=3. Označimo te točke na brojevnom pravcu i odredimo predznake derivacija na dobivenim intervalima. 
Funkcija se smanjuje za 
, povećava se za [-1; 3] , x=-1 minimalni bod, x=3 maksimalni bod.
Izračunajmo odgovarajući minimum i maksimum funkcije: 
Provjerimo ponašanje funkcije u beskonačnosti: 
Druga granica je izračunata pomoću .
Napravimo shematski crtež.
Kada se argument promijeni s minus beskonačnosti na -1, vrijednosti funkcije se smanjuju s plus beskonačnosti na -2e, kada se argument promijeni s -1 na 3, vrijednosti funkcije rastu s -2e na, kada se argument promijeni s 3 do plus beskonačno, vrijednosti funkcije se smanjuju od nule, ali ne dosežu nulu.
Funkcija je jedan od najvažnijih matematičkih pojmova.
Definicija: Ako je svakom broju iz određenog skupa x pridružen jedan broj y, tada se kaže da je funkcija y(x) definirana na tom skupu. U ovom slučaju, x se naziva nezavisna varijabla ili argument, a y se naziva zavisna varijabla ili vrijednost funkcije ili jednostavno funkcija.
Za varijablu y također se kaže da je funkcija varijable x.
Označivši podudaranje slovom, na primjer f, zgodno je napisati: y=f (x), odnosno vrijednost y dobiva se iz argumenta x pomoću podudaranja f. (Pročitajte: y je jednako f od x.) Simbol f (x) označava vrijednost funkcije koja odgovara vrijednosti argumenta jednakog x.
Primjer 1. Neka je funkcija dana formulom y=2x 2 –6. Tada možemo napisati da je f(x)=2x 2 –6. Pronađimo vrijednosti funkcije za vrijednosti x jednake, na primjer, 1; 2,5;–3; tj. nalazimo f(1), f(2.5), f(–3):
f(1)=2 1 2 –6=–4;
f(2,5)=2 2,5 2 –6=6,5;
f(–3)=2 (–3) 2 –6= 12.
Imajte na umu da se u zapisu oblika y=f (x) umjesto f koriste druga slova: g itd.
Definicija: Domena funkcije su sve vrijednosti x za koje funkcija postoji.
Ako je funkcija navedena formulom, a njena domena definicije nije navedena, tada se smatra da se domena definicije funkcije sastoji od svih vrijednosti argumenta za koje formula ima smisla.
Drugim riječima, domena funkcije dana formulom su sve vrijednosti argumenta osim onih koje rezultiraju radnjama koje ne možemo izvršiti. Na ovaj trenutak poznajemo samo dvije takve akcije. Ne možemo dijeliti s nulom i ne možemo izvaditi kvadratni korijen iz negativnog broja.
Definicija: Sve vrijednosti koje zavisna varijabla poprima čine raspon funkcije.
Područje definiranja funkcije koja opisuje stvarni proces ovisi o specifičnim uvjetima njegovog odvijanja. Na primjer, ovisnost duljine l željezne šipke o temperaturi zagrijavanja t izražava se formulom, gdje je l 0 početna duljina šipke, a koeficijent linearnog širenja. Ova formula ima smisla za bilo koju vrijednost t. Međutim, područje definiranja funkcije l=g(t) je interval od nekoliko desetaka stupnjeva, za koji vrijedi zakon linearnog širenja.
Primjer.
Navedite raspon funkcija y = arcsinx.
Riješenje.
Područje definiranja arcsinusa je segment [-1; 1]
. Nađimo najveću i najmanju vrijednost funkcije na ovom segmentu.
Izvedenica je pozitivna za sve x iz intervala (-1; 1)
, tj. funkcija arksinusa raste u cijeloj domeni definicije. Stoga najmanju vrijednost uzima kada x = -1, a najveći na x = 1.
Dobili smo raspon funkcije arkusina 
.
Pronađite skup vrijednosti funkcije 
na segmentu
.
Riješenje.
Nađimo najveću i najmanju vrijednost funkcije na zadanom segmentu.
Odredimo točke ekstrema koje pripadaju segmentu
:
D(f)- one vrijednosti koje argument može poprimiti, tj. domena funkcije.
E(f)- one vrijednosti koje funkcija može poprimiti, tj. skup vrijednosti funkcije.
Metode za pronalaženje raspona funkcija.
sekvencijalno pronalaženje vrijednosti složeni argumenti funkcije;
metoda procjene/graničenja;
korištenje svojstava neprekidnosti i monotonosti funkcije;
uporaba derivata;
korištenje najveće i najmanje vrijednosti funkcije;
grafička metoda;
metoda unosa parametara;
metoda inverzne funkcije.
Pogledajmo neke od njih.
Korištenje derivata
Opći pristup pronalaženje skupa vrijednosti kontinuirane funkcije f(x) sastoji se od pronalaženja najveće i najmanje vrijednosti funkcije f(x) u njezinoj domeni (ili dokazivanja da jedna ili obje ne postoje).
U slučaju da trebate pronaći skupove vrijednosti funkcije na segmentu:
pronaći izvod zadane funkcije f "(x);
pronaći kritične točke funkcije f(x) i odabrati one koje pripadaju tom segmentu;
izračunati vrijednosti funkcije na krajevima segmenta i na odabranim kritičnim točkama;
među pronađenim vrijednostima odaberite najmanju i najveću vrijednost;
Između ovih vrijednosti nalazi se skup vrijednosti funkcije.
Ako je domena funkcije interval, tada se koristi ista shema, ali umjesto vrijednosti na krajevima, koriste se granice funkcije jer argument teži prema krajevima intervala. Granične vrijednosti od nisu uključene u skup vrijednosti.
Metoda granica/rezultata
Da biste pronašli skup vrijednosti funkcije, prvo pronađite skup vrijednosti argumenata, a zatim pronađite odgovarajuće najmanje i najveće vrijednosti funkcije funkcije. Pomoću nejednakosti određuju se granice.
Bit je procijeniti kontinuiranu funkciju odozdo i odozgo te dokazati da funkcija doseže donju i gornju granicu procjene. U ovom slučaju, podudarnost skupa vrijednosti funkcije s intervalom od donje granice procjene do gornje određena je kontinuitetom funkcije i nedostatkom drugih vrijednosti za nju.
Svojstva kontinuirane funkcije
Druga mogućnost je transformirati funkciju u kontinuiranu monotonu, a zatim se pomoću svojstava nejednakosti procjenjuje skup vrijednosti novodobivene funkcije.
Sekvencijalno pronalaženje vrijednosti argumenata složene funkcije
Na temelju sekvencijalnog traženja skupa vrijednosti posrednih funkcija od kojih je funkcija sastavljena
Rasponi vrijednosti osnovnih elementarnih funkcija
| Funkcija | Višestruka značenja |
|---|---|
| $y = kx+ b$ | E(y) = (-∞;+∞) |
| $y = x^(2n)$ | E(y) = |
| $y = \cos(x)$ | E(y) = [-1;1] |
| $y = (\rm tg)\, x$ | E(y) = (-∞;+∞) |
| $y = (\rm ctg)\, x$ | E(y) = (-∞;+∞) |
| $y = \arcsin(x)$ | E(y) = [-π/2; π/2] |
| $y = \arccos(x)$ | E(y) = |
| $y = (\rm arctan)\, x$ | E(y) = (-π/2; π/2) |
| $y = (\rm arcctg)\, x$ | E(y) = (0; π) |
Primjeri
Pronađite skup vrijednosti funkcije:
Korištenje derivata
Nalazimo domenu definicije: D(f)=[-3;3], jer $9-x^(2)\geq 0$
Pronađite izvod: $f"(x)=-\frac(x)(\sqrt(9-x^(2)))$
f"(x) = 0 ako je x = 0. f"(x) ne postoji ako je $\sqrt(9-x^(2))=0$, odnosno za x = ±3. Dobivamo tri kritične točke: x 1 = –3, x 2 = 0, x 3 = 3, od kojih se dvije podudaraju s krajevima segmenta. Izračunajmo: f(–3) = 0, f(0) = 3, f(3) = 0. Dakle, najmanja vrijednost f(x) je 0, najveća vrijednost je 3.
Odgovor: E(f) = .
NE koristi izvedenicu
Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije:
Od $
f(x) = 1-\cos^(2)(x)+\cos(x)-\frac(1)(2) =
= 1-\frac(1)(2)+\frac(1)(4)-(\cos^(2)(x)-2\cdot\cos(x)\cdot\frac(1)(2) +(\frac(1)(2))^2) =
= \frac(3)(4)-(\cos(x)-\frac(1)(2))^(2) $ , tada:
$f(x)\leq \frac(3)(4)$ za sve x;
$f(x)\geq \frac(3)(4)-(\frac(3)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$ za sve x(jer $|\cos (x)|\leq 1$);
$f(\frac(\pi)(3))= \frac(3)(4)-(\cos(\frac(\pi)(3))-\frac(1)(2))^(2 )=\frac(3)(4)$;
$f(\pi)= \frac(3)(4)-(\cos(\pi)-\frac(1)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$;
Odgovor: $\frac(3)(4)$ i $-\frac(3)(2)$
Ako ovaj problem riješite pomoću derivacija, morat ćete prevladati prepreke vezane uz činjenicu da funkcija f(x) nije definirana na segmentu, već na cijelom brojevnom pravcu.
Korištenje metode granica/procjena
Iz definicije sinusa slijedi, $-1\leq\sin(x)\leq 1$. Zatim ćemo koristiti svojstva numeričkih nejednakosti.
$-4\leq - 4\sin(x)\leq 4$, (pomnožena sva tri dijela dvostruke nejednadžbe s -4);
$1\leq 5 - 4\sin(x)\leq 9$ (dodano trima dijelovima dvostruke nejednadžbe 5);
Budući da je ova funkcija kontinuirana u cijeloj domeni definicije, skup njezinih vrijednosti nalazi se između najmanje i najveće vrijednosti u cijeloj domeni definicije, ako ih ima.
U ovom slučaju, skup vrijednosti funkcije $y = 5 - 4\sin(x)$ je skup .
Iz nejednakosti $$ \\ -1\leq\cos(7x)\leq 1 \\ -5\leq 5\cos(x)\leq 5 $$ dobivamo procjenu $$\\ -6\leq y\ leq 6 $ $
Pri x = p i x = 0, funkcija poprima vrijednosti -6 i 6, tj. doseže donju i gornju granicu procjene. Kao linearna kombinacija kontinuiranih funkcija cos(7x) i cos(x), funkcija y je kontinuirana na cijelom brojevnom pravcu, dakle, po svojstvu kontinuirane funkcije, poprima sve vrijednosti od -6 do 6 uključujući , i samo njih, budući da su zbog nejednakosti $- 6\leq y\leq 6$ njegove druge vrijednosti nemoguće.
Prema tome, E(y) = [-6;6].
$$ \\ -1\leq\sin(x)\leq 1 \\ 0\leq\sin^(2)(x)\leq 1 \\ 0\leq2\sin^(2)(x)\leq 2 \\ 1\leq1+2\sin^(2)(x)\leq 3 $$ Odgovor: E(f) = .
$$ \\ -\infty< {\rm tg}\, x < +\infty \\ 0 \leq {\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 3 \leq 3+{\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 2^{3} \leq 2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} < +\infty \\ -\infty < -2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -8 \\ -\infty < 3-2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -5 $$ Ответ: E(f) = (–∞; -5].
$$ \\ -\infty< \lg{x} < +\infty \\ 0 \leq \lg^{2}{x} < +\infty \\ -\infty < -\lg^{2}{x} \leq 0 \\ -\infty < 16-\lg^{2}{x} \leq 16 \\ 0 \leq \sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 4 \\ 2 \leq 2+\sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 6 $$ Ответ: E(f) = .
Transformirajmo izraz $$ \\ \sin(x) + \cos(x) = \sin(x) + \sin(\frac(\pi)(2) - x) = \\ 2\sin\left ( (\ frac(x + \frac(\pi)(2) - x)(2)) \desno)\cos\lijevo ((\frac(x + \frac(\pi)(2) + x)(2 )) \desno) \\ = 2\sin(\frac(\pi)(4))cos(x +\frac(\pi)(4)) = \sqrt(2)cos(x +\frac(\ pi) (4)) $$.
Iz definicije kosinusa slijedi $$ \\ -1\leq\cos(x)\leq 1; \\ -1\leq \cos((x + \frac(\pi)(4)))\leq 1; \\ -\sqrt(2)\leq \sqrt(2)\cos((x +\frac(\pi)(4)))\leq\sqrt(2); $$
Budući da je ova funkcija kontinuirana u cijeloj domeni definicije, skup njezinih vrijednosti nalazi se između njezine najmanje i najveće vrijednosti, ako ih ima, skup vrijednosti funkcije $y =\sqrt(2)\cos((x +\frac(\pi)(4 )))$ je skup $[-\sqrt(2);\sqrt(2)]$.
$$\\ E(3^(x)) = (0;+∞), \\ E(3^(x)+ 1) = (1;+∞), \\ E(-(3^(x) )+ 1)^(2) = (-∞;-1), \\ E(5 – (3^(x)+1)^(2)) = (-∞;4) $$
Označimo $t = 5 – (3^(x)+1)^(2)$, gdje je -∞≤t≤4. Dakle, problem se svodi na pronalaženje skupa vrijednosti funkcije $y = \log_(0,5)(t)$ na zraku (-∞;4). Budući da je funkcija $y = \log_(0,5)(t)$ definirana samo za t > 0, tada se njen skup vrijednosti na zraku (-∞;4) podudara sa skupom vrijednosti funkcije na intervalu (0;4), koji predstavlja sjecište zrake (-∞;4) s područjem definicije (0;+∞) logaritamske funkcije. Na intervalu (0;4) ova funkcija je kontinuirana i padajuća. Pri t > 0 teži +∞, a pri t = 4 poprima vrijednost -2, pa je E(y) = (-2, +∞).
Koristimo tehniku koja se temelji na grafičkom prikazu funkcije.
Nakon transformacije funkcije imamo: y 2 + x 2 = 25, te y ≥ 0, |x| ≤ 5.
Treba podsjetiti da je $x^(2)+y^(2)=r^(2)$ jednadžba kruga polumjera r.
Pod ovim ograničenjima, graf ove jednadžbe je gornji polukrug sa središtem u ishodištu i polumjerom jednakim 5. Očito je E(y) = .
Odgovor: E(y) = .
Reference
Područje značaja funkcija u problemima Jedinstvenog državnog ispita, Irina Borisovna Minyuk
Savjeti za pronalaženje skupa vrijednosti funkcije, Belyaeva I., Fedorova S.
Pronalaženje skupa vrijednosti funkcije
Kako riješiti zadatke iz matematike na prijemnom ispitu, I.I.Melnikov, I.N.Sergeev
