Riješite nejednadžbe metodom intervala online s rješenjem. Linearne nejednakosti

Oblik ax 2 + bx + 0 0, gdje (umjesto znaka > može, naravno, biti bilo koji drugi znak nejednakosti). Imamo sve teorijske činjenice potrebne za rješavanje takvih nejednakosti, koje ćemo sada provjeriti.

Primjer 1. Riješite nejednakost:

a) x 2 - 2x - 3 > 0; b) x 2 - 2x - 3< 0;
c) x 2 - 2x - 3 > 0; d) x 2 - 2x - 3< 0.
Riješenje,

a) Razmotrite parabolu y \u003d x 2 - 2x - 3 prikazanu na sl. 117.

Riješiti nejednakost x 2 - 2x - 3 > 0 - to znači odgovoriti na pitanje za koje su vrijednosti x ordinate točaka parabole pozitivne.

Primjećujemo da je y > 0, tj. da se graf funkcije nalazi iznad x-ose, na x< -1 или при х > 3.

Dakle, rješenja nejednakosti su sve točke otvorenog greda(- 00 , - 1), kao i sve točke otvorenog snopa (3, +00).

Koristeći znak U (znak unije skupova), odgovor se može napisati na sljedeći način: (-00 , - 1) U (3, +00). Međutim, odgovor se može napisati i ovako:< - 1; х > 3.

b) Nejednakost x 2 - 2x - 3< 0, или у < 0, где у = х 2 - 2х - 3, также можно решить с помощью рис. 117: raspored nalazi se ispod x-ose ako je -1< х < 3. Поэтому решениями данного неравенства служат все точки интервала (- 1, 3).

c) Nejednadžba x 2 - 2x - 3 > 0 razlikuje se od nejednadžbe x 2 - 2x - 3 > 0 po tome što odgovor mora uključivati ​​i korijene jednadžbe x 2 - 2x - 3 = 0, tj. točke x = - 1

i x \u003d 3. Dakle, rješenja ove nestroge nejednakosti su sve točke grede (-00, - 1], kao i sve točke grede.

Praktični matematičari obično kažu ovo: zašto mi, rješavajući nejednakost ax 2 + bx + c > 0, pažljivo gradimo graf parabole kvadratne funkcije

y \u003d ax 2 + bx + c (kao što je učinjeno u primjeru 1)? Dovoljno je napraviti shematsku skicu grafa, za koju samo trebate pronaći korijenje kvadratni trinom (točka presjeka parabole s osi x) i odredi kamo su usmjerene grane parabole - gore ili dolje. Ova shematska skica dat će vizualnu interpretaciju rješenja nejednakosti.

Primjer 2 Riješite nejednakost - 2x 2 + 3x + 9< 0.
Riješenje.

1) Pronađite korijene kvadratnog trinoma - 2x 2 + Zx + 9: x 1 \u003d 3; x 2 \u003d - 1,5.

2) Parabola, koja služi kao graf funkcije y \u003d -2x 2 + Zx + 9, siječe x-os u točkama 3 i - 1,5, a grane parabole usmjerene su prema dolje, budući da je stariji koeficijent- negativan broj - 2. Na sl. 118 je skica grafa.

3) Koristeći sl. 118, zaključujemo:< 0 на тех промежутках оси х, где график расположен ниже оси х, т.е. на открытом луче (-оо, -1,5) или на открытом луче C, +оо).
Odgovor: x< -1,5; х > 3.

Primjer 3 Riješite nejednakost 4x 2 - 4x + 1< 0.
Riješenje.

1) Iz jednadžbe 4x 2 - 4x + 1 = 0 nalazimo.

2) Kvadratni trinom ima jedan korijen; to znači da parabola koja služi kao graf kvadratnog trinoma ne siječe os x, već je dodiruje u točki. Grane parabole usmjerene su prema gore (slika 119.)

3) Koristeći geometrijski model prikazan na sl. 119, utvrđujemo da je navedena nejednakost zadovoljena samo u točki, budući da su za sve ostale vrijednosti x ordinate grafa pozitivne.
Odgovor: .
Vjerojatno ste primijetili da je zapravo, u primjerima 1, 2, 3, dobro definirano algoritam rješavajući kvadratne nejednadžbe, formalizirat ćemo ga.

Algoritam za rješavanje kvadratne nejednadžbe ax 2 + bx + 0 0 (ax 2 + bx + c< 0)

Prvi korak ovog algoritma je pronaći korijene kvadratnog trinoma. Ali korijeni možda ne postoje, pa što učiniti? Tada je algoritam neprimjenjiv, što znači da je potrebno drugačije zaključivati. Ključ za ove argumente daju sljedeći teoremi.

Drugim riječima, ako D< 0, а >0, tada je nejednakost ax 2 + bx + c > 0 zadovoljena za sve x; naprotiv, nejednakost ax 2 + bx + c< 0 не имеет решений.
Dokaz. raspored funkcije y \u003d ax 2 + bx + c je parabola čije su grane usmjerene prema gore (budući da je a > 0) i koja ne siječe os x, budući da kvadratni trinom po uvjetu nema korijena. Grafikon je prikazan na sl. 120. Vidimo da se za sve x graf nalazi iznad osi x, što znači da je za sve x zadovoljena nejednakost ax 2 + bx + c > 0, što je trebalo dokazati.

Drugim riječima, ako D< 0, а < 0, то неравенство ах 2 + bх + с < 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах 2 + bх + с >0 nema rješenja.

Dokaz. Graf funkcije y \u003d ax 2 + bx + c je parabola, čije su grane usmjerene prema dolje (budući da je a< 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 121. Видим, что при всех х график расположен ниже оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах 2 + bх + с < 0, что и требовалось доказать.

Primjer 4. Riješite nejednakost:

a) 2x 2 - x + 4 > 0; b) -x 2 + Zx - 8 > 0.

a) Pronađite diskriminant kvadratnog trinoma 2x 2 - x + 4. Imamo D \u003d (-1) 2 - 4 2 4 \u003d - 31< 0.
Stariji koeficijent trinoma (broj 2) je pozitivan.

Dakle, prema teoremu 1, za sve x, nejednakost 2x 2 - x + 4 > 0 je zadovoljena, tj. rješenje zadane nejednadžbe je cjelina (-00, + 00).

b) Pronađite diskriminant kvadratnog trinoma - x 2 + Zx - 8. Imamo D \u003d Z2 - 4 (- 1) (- 8) \u003d - 23< 0. Старший коэффициент трехчлена (число - 1) отрицателен. Следовательно, по теореме 2, при всех х выполняется неравенство - х 2 + Зx - 8 < 0. Это значит, что неравенство - х 2 + Зх - 8 0 не выполняется ни при каком значении х, т. е. заданное неравенство не имеет решений.

Odgovor: a) (-00, + 00); b) nema rješenja.

U sljedećem primjeru upoznat ćemo se s drugim načinom zaključivanja koji se koristi u rješavanju kvadratnih nejednadžbi.

Primjer 5 Riješite nejednakost 3x 2 - 10x + 3< 0.
Riješenje. Faktorizirajmo kvadratni trinom 3x 2 - 10x + 3. Korijeni trinoma su brojevi 3 i, stoga, koristeći ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2), dobivamo Zx 2 - 10x + 3 \u003d 3 (x - 3) (x - )
Na brojevnoj liniji bilježimo korijene tročlana: 3 i (slika 122).

Neka je x > 3; tada je x-3>0 i x->0, pa je umnožak 3(x - 3)(x - ) pozitivan. Dalje, neka< х < 3; тогда x-3< 0, а х- >0. Dakle, umnožak 3(x-3)(x-) je negativan. Konačno, neka x<; тогда x-3< 0 и x- < 0. Но в таком случае произведение
3(x -3)(x -) je pozitivno.

Sumirajući obrazloženje, dolazimo do zaključka: predznaci kvadratnog trinoma Zx 2 - 10x + 3 se mijenjaju kao što je prikazano na sl. 122. Zanima nas za koji x kvadratni trinom poprima negativne vrijednosti. Od sl. 122 zaključujemo: kvadratni trinom 3x 2 - 10x + 3 uzima negativne vrijednosti za bilo koju vrijednost x iz intervala (, 3)
Odgovor (, 3), ili< х < 3.

Komentar. Metoda zaključivanja koju smo primijenili u primjeru 5 obično se naziva metodom intervala (ili metodom intervala). Aktivno se koristi u matematici za rješavanje racionalno nejednakosti. U 9. razredu ćemo detaljnije proučavati intervalnu metodu.

Primjer 6. Na kojim vrijednostima parametra p je kvadratna jednadžba x 2 - 5x + p 2 = 0:
a) ima dva različita korijena;

b) ima jedan korijen;

c) nema -korijena?

Riješenje. Broj korijena kvadratne jednadžbe ovisi o predznaku njezine diskriminate D. U ovom slučaju nalazimo D \u003d 25 - 4p 2.

a) Kvadratna jednadžba ima dva različita korijena, ako je D> 0, onda se problem svodi na rješavanje nejednadžbe 25 - 4p 2 > 0. Oba dijela ove nejednadžbe pomnožimo s -1 (sjetimo se da promijenimo predznak nejednadžbe). Dobivamo ekvivalentnu nejednakost 4p 2 - 25< 0. Далее имеем 4 (р - 2,5) (р + 2,5) < 0.

Znaci izraza 4(p - 2,5) (p + 2,5) prikazani su na sl. 123.

Zaključujemo da je nejednakost 4(p - 2.5)(p + 2.5)< 0 выполняется для всех значений р из интервала (-2,5; 2,5). Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет два различных корня.

b) kvadratna jednadžba ima jedan korijen ako je D 0.
Kao što smo gore naveli, D = 0 pri p = 2,5 ili p = -2,5.

Za ove vrijednosti parametra p ova kvadratna jednadžba ima samo jedan korijen.

c) Kvadratna jednadžba nema korijena ako je D< 0. Решим неравенство 25 - 4р 2 < 0.

Dobivamo 4p 2 - 25 > 0; 4 (p-2,5) (p + 2,5)> 0, odakle (vidi sliku 123) p< -2,5; р >2.5. Za ove vrijednosti parametra p ova kvadratna jednadžba nema korijen.

Odgovor: a) na p (-2,5, 2,5);

b) pri p = 2,5 ili p = -2,5;
c) na r< - 2,5 или р > 2,5.

Mordkovich A. G., Algebra. 8. razred: Proc. za opće obrazovanje institucije - 3. izd., dovršeno. - M.: Mnemosyne, 2001. - 223 str.: ilustr.

Pomozite učeniku online, Matematika za 8. razred preuzimanje, kalendarsko-tematsko planiranje

Što trebate znati o ikonama nejednakosti? Nejednakosti ikona više (> ), ili manje (< ) se zovu strog. Sa ikonama više ili jednako (≥ ), manje ili jednako (≤ ) se zovu nestrogi. Ikona nejednak (≠ ) stoji samostalno, ali morate cijelo vrijeme rješavati primjere s takvom ikonom. I hoćemo.)

Sama ikona nema puno utjecaja na proces rješenja. Ali na kraju rješenja, pri odabiru konačnog odgovora, značenje ikone pojavljuje se u punoj snazi! Kao što ćemo vidjeti u nastavku, u primjerima. Ima nekih šala...

Nejednakosti, kao i jednakosti, jesu vjerni i nevjerni. Ovdje je sve jednostavno, bez trikova. Recimo 5 > 2 je točna nejednakost. 5 < 2 je netočna.

Takva priprema radi za nejednakosti bilo koje vrste i jednostavno do užasa.) Samo trebate ispravno izvesti dvije (samo dvije!) elementarne radnje. Ove radnje su svima poznate. Ali, što je tipično, dovratnici u tim radnjama su glavna pogreška u rješavanju nejednakosti, da... Stoga se ove radnje moraju ponoviti. Ove radnje nazivaju se ovako:

Identitetske transformacije nejednakosti.

Identitetske transformacije nejednakosti vrlo su slične transformacijama identiteta jednadžbi. Zapravo, to je glavni problem. Razlike su klizile mimo glave i ... stigle.) Stoga ću te razlike posebno istaknuti. Dakle, prva identična transformacija nejednakosti:

1. Isti broj ili izraz može se dodati (oduzeti) oba dijela nejednadžbe. Bilo koji. Znak nejednakosti se neće promijeniti.

U praksi se ovo pravilo primjenjuje kao prijenos pojmova s ​​lijeve strane nejednadžbe na desnu stranu (i obrnuto) s promjenom predznaka. Promjenom predznaka pojma, a ne nejednakosti! Pravilo jedan na jedan isto je kao i pravilo za jednadžbe. Ali sljedeće identične transformacije u nejednačinama značajno se razlikuju od onih u jednadžbama. Stoga ih ističem crvenom bojom:

2. Oba dijela nejednakosti mogu se pomnožiti (podijeliti) istimpozitivanbroj. Za bilo kojepozitivan Neće se promijeniti.

3. Oba dijela nejednakosti mogu se pomnožiti (podijeliti) istimnegativan broj. Za bilo kojenegativanbroj. Znak nejednakosti iz ovogapromijenit će se u suprotno.

Sjećate se (nadate se...) da se jednadžba može pomnožiti/podijeliti s bilo čim. I za bilo koji broj, i za izraz s x. Sve dok nije nula. On, jednadžba, od ovoga nije ni vruć ni hladan.) Ne mijenja se. Ali nejednakosti su osjetljivije na množenje/dijeljenje.

Dobar primjer za dugo pamćenje. Zapisujemo nejednakost koja ne izaziva sumnje:

5 > 2

Pomnožite obje strane sa +3, dobivamo:

15 > 6

Ima li prigovora? Nema prigovora.) A ako oba dijela izvorne nejednakosti pomnožimo sa -3, dobivamo:

15 > -6

A ovo je čista laž.) Potpuna laž! Zavaravanje naroda! Ali čim se znak nejednakosti obrne, sve dolazi na svoje mjesto:

15 < -6

O lažima i prijevari - ne kunem se samo.) "Zaboravio sam promijeniti znak nejednakosti..."- ovo je Dom greška u rješavanju nejednačina. Ovo beznačajno i nekomplicirano pravilo povrijedilo je tolike ljude! Koji su zaboravili ...) Pa kunem se. Možda se sjetite...)

Oni koji su posebno pažljivi primijetit će da se nejednakost ne može pomnožiti izrazom s x. Poštovanje pažljivo!) A zašto ne? Odgovor je jednostavan. Ne znamo predznak ovog izraza s x. Može biti pozitivan, negativan... Dakle, ne znamo koji znak nejednakosti staviti nakon množenja. Promijeniti ili ne? nepoznato. Naravno, ovo ograničenje (zabrana množenja / dijeljenja nejednakosti izrazom s x) može se zaobići. Ako ti stvarno treba. Ali ovo je tema za druge lekcije.

To su sve identične transformacije nejednakosti. Da vas još jednom podsjetim da rade za bilo koji nejednakosti. A sada možete prijeći na određene vrste.

Linearne nejednakosti. Rješenje, primjeri.

Linearne nejednadžbe nazivaju se nejednadžbama u kojima je x u prvom stupnju i nema dijeljenja s x. Tip:

x+3 > 5x-5

Kako se rješavaju te nejednakosti? Vrlo ih je lako riješiti! Naime: uz pomoć smanjujemo najzbunjeniju linearnu nejednakost ravno na odgovor. To je cijelo rješenje. Istaknut ću glavne točke rješenja. Da biste izbjegli glupe pogreške.)

Rješavamo ovu nejednakost:

x+3 > 5x-5

Rješavamo na isti način kao i linearnu jednadžbu. s jedinom razlikom:

Obratite pozornost na znak nejednakosti!

Prvi korak je najčešći. S x - lijevo, bez x - desno ... Ovo je prva identična transformacija, jednostavna i bez problema.) Samo ne zaboravite promijeniti znakove prenesenih članova.

Znak nejednakosti je sačuvan:

x-5x > -5-3

Predstavljamo slične.

Znak nejednakosti je sačuvan:

4x > -8

Ostaje primijeniti posljednju identičnu transformaciju: podijeliti oba dijela s -4.

Podijelite po negativan broj.

Predznak nejednakosti bit će obrnut:

x < 2

Ovo je odgovor.

Tako se rješavaju sve linearne nejednakosti.

Pažnja! Točka 2 je nacrtana bijelom bojom, t.j. neobojen. Prazno iznutra. To znači da ona nije uključena u odgovor! Namjerno sam je nacrtao tako zdravu. Takva točka (prazna, nije zdrava!)) u matematici se zove izbijena točka.

Preostali brojevi na osi mogu se označiti, ali nisu potrebni. Izvanredni brojevi koji nisu povezani s našom nejednakošću mogu biti zbunjujući, da ... Samo trebate zapamtiti da povećanje brojeva ide u smjeru strelice, t.j. brojevi 3, 4, 5 itd. su nadesno dvojke i brojevi 1, 0, -1 itd. - nalijevo.

Nejednakost x < 2 - strog. X je striktno manji od dva. Kada ste u nedoumici, provjera je jednostavna. Zamjenjujemo sumnjiv broj u nejednakosti i mislimo: "Dva je manje od dva? Naravno da nije!" Točno. Nejednakost 2 < 2 krivo. Dvojka nije dobra za odgovor.

Je li samac dovoljno dobar? Naravno. Manje ... I nula je dobra, i -17, i 0,34 ... Da, svi brojevi koji su manji od dva su dobri! Pa čak 1,9999 .... Barem malo, ali manje!

Tako sve te brojeve označavamo na brojevnoj osi. Kako? Ovdje postoje opcije. Prva opcija je valjenje. Prelazimo mišem preko slike (ili dodirujemo sliku na tabletu) i vidimo da je područje kuglica x koje odgovaraju x uvjetu zasjenjeno < 2 . To je sve.

Razmotrimo drugu opciju u drugom primjeru:

x ≥ -0,5

Nacrtajte os, označite broj -0,5. Kao ovo:

Jeste li primijetili razliku?) Pa da, teško je ne primijetiti... Ova točka je crna! Prefarbano. To znači da je -0,5 uključeno u odgovor. Evo, usput, provjeravanje i zbuniti nekoga. Zamjenjujemo:

-0,5 ≥ -0,5

Kako to? -0,5 nije ništa više od -0,5! Ima još ikona...

U redu je. U ne-strogo nejednakosti, sve što odgovara ikoni je prikladno. I jednaki stane i više dobro. Stoga je -0,5 uključeno u odgovor.

Dakle, na osi smo označili -0,5, ostaje označiti sve brojeve koji su veći od -0,5. Ovaj put označavam raspon prikladnih x vrijednosti okova(od riječi luk) umjesto izlijeganja. Zadržite pokazivač miša iznad slike i pogledajte ovaj luk.

Nema posebne razlike između šrafure i lukova. Učinite kako učitelj kaže. Ako nema učitelja, nacrtajte ruke. U složenijim zadacima šrafiranje je manje očito. Možete se zbuniti.

Ovako se crtaju linearne nejednakosti na osi. Prelazimo na sljedeću singularnost nejednakosti.

Napiši odgovor za nejednakosti.

Bilo je dobro u jednadžbama.) Pronašli smo x i zapisali odgovor, na primjer: x \u003d 3. U nejednakostima postoje dva oblika pisanja odgovora. Jedan - u obliku konačne nejednakosti. Dobro za jednostavne slučajeve. Na primjer:

x< 2.

Ovo je potpuni odgovor.

Ponekad je potrebno napisati istu stvar, ali u drugom obliku, kroz numeričke praznine. Tada unos počinje izgledati vrlo znanstveno):

x ∈ (-∞; 2)

Ispod ikone ∈ skrivajući riječ "pripada".

Unos glasi ovako: x pripada intervalu od minus beskonačnosti do dva ne uključujući. Sasvim logično. X može biti bilo koji broj od svih mogućih brojeva od minus beskonačnost do dva. Dvostruki X ne može biti, što nam govori riječ "ne uključujući".

Gdje je u odgovoru to "ne uključujući"? Ova činjenica je navedena u odgovoru. krug zagrada odmah iza dvojke. Kada bi se uključila dvojka, zagrada bi bila kvadrat. Evo ga: ]. Sljedeći primjer koristi takvu zagradu.

Zapišimo odgovor: x ≥ -0,5 kroz intervale:

x ∈ [-0,5; +∞)

Čita: x pripada intervalu od minus 0,5, uključujući, do plus beskonačnost.

Infinity se nikada ne može uključiti. To nije broj, to je simbol. Stoga, u takvim unosima, beskonačnost uvijek koegzistira sa zagradama.

Ovaj oblik snimanja prikladan je za složene odgovore koji se sastoje od nekoliko praznina. Ali – samo za konačne odgovore. U međurezultatima, gdje se očekuje daljnje rješenje, bolje je koristiti uobičajeni oblik, u obliku jednostavne nejednakosti. O tome ćemo se pozabaviti u relevantnim temama.

Popularni zadaci s nejednakostima.

Same linearne nejednakosti su jednostavne. Stoga zadaci često postaju teži. Dakle, misliti da je bilo potrebno. Ovo, ako iz navike, nije baš ugodno.) Ali je korisno. Pokazat ću primjere takvih zadataka. Ne da ih ti učiš, to je suvišno. I kako se ne bi bojali pri susretu sa sličnim primjerima. Malo razmišljanja - i sve je jednostavno!)

1. Pronađite bilo koja dva rješenja nejednakosti 3x - 3< 0

Ako nije baš jasno što učiniti, zapamtite glavno pravilo matematike:

Ako ne znate što učiniti, učinite što možete!

x < 1

Pa što? Ništa posebno. Što nas pitaju? Od nas se traži da pronađemo dva specifična broja koja su rješenje nejednakosti. Oni. odgovara odgovoru. Dva bilo koji brojevima. Zapravo, ovo je neugodno.) Par 0 i 0,5 je prikladan. Par -3 i -8. Da, ovih parova je beskonačan broj! Koji je točan odgovor?!

Odgovaram: sve! Bilo koji par brojeva, od kojih je svaki manji od jedan, bio bi točan odgovor. Napišite što želite. Idemo dalje.

2. Riješite nejednakost:

4x - 3 ≠ 0

Ovakvi poslovi su rijetki. Ali, kao pomoćne nejednakosti, kod pronalaženja ODZ-a, na primjer, ili kod pronalaženja domene funkcije, nailaze se cijelo vrijeme. Takva linearna nejednadžba može se riješiti kao obična linearna jednadžba. Samo svugdje, osim znaka "=" ( jednaki) stavi znak " ≠ " (nejednak). Dakle, doći ćete do odgovora, sa znakom nejednakosti:

x ≠ 0,75

U više teški primjeri bolje je to učiniti na drugi način. Neka nejednakost bude jednaka. Kao ovo:

4x - 3 = 0

Mirno riješite to kako vas uči i dobijte odgovor:

x = 0,75

Glavna stvar, na samom kraju, kada zapisujemo konačni odgovor, nije zaboraviti da smo pronašli x, što daje jednakost. I trebamo - nejednakost. Stoga nam jednostavno ne treba ovaj X.) I moramo ga zapisati ispravnom ikonom:

x ≠ 0,75

Ovaj pristup rezultira manjim brojem pogrešaka. Oni koji rješavaju jednadžbe na stroju. A za one koji ne rješavaju jednadžbe, nejednakosti su zapravo beskorisne ...) Još jedan primjer popularnog zadatka:

3. Nađite najmanje cjelobrojno rješenje nejednadžbe:

3(x - 1) < 5x + 9

Prvo, jednostavno rješavamo nejednakost. Otvaramo zagrade, prenosimo, dajemo slične ... Dobivamo:

x > - 6

Nije li se dogodilo!? Jeste li slijedili znakove? I iza znakova članova, i iza znaka nejednakosti...

Zamislimo se opet. Moramo pronaći određeni broj koji odgovara i odgovoru i uvjetu "najmanji cijeli broj". Ako vam odmah ne sinu, možete jednostavno uzeti bilo koji broj i shvatiti ga. Dva je veća od minus šest? Naravno! Postoji li odgovarajući manji broj? Naravno. Na primjer, nula je veća od -6. A još manje? Trebamo najmanji mogući! Minus tri je više od minus šest! Već možete uhvatiti uzorak i prestati glupo slagati brojeve, zar ne?)

Uzimamo broj bliži -6. Na primjer, -5. Odgovor izvršen, -5 > - 6. Možete li pronaći drugi broj manji od -5, ali veći od -6? Možete, na primjer, -5,5 ... Stanite! Rečeno nam je cijeli riješenje! Ne kotrlja -5,5! Što je s minus šest? Eee! Nejednakost je stroga, minus 6 nije manje od minus 6!

Dakle, točan odgovor je -5.

Nadam se da je sve jasno s izborom vrijednosti iz općeg rješenja. Još jedan primjer:

4. Riješite nejednakost:

7 < 3x+1 < 13

Kako! Takav izraz se zove trostruka nejednakost. Strogo govoreći, ovo je skraćeni zapis sustava nejednakosti. Ali još uvijek morate riješiti takve trostruke nejednakosti u nekim zadacima ... To se rješava bez ikakvih sustava. Po istim identičnim transformacijama.

Potrebno je pojednostaviti, dovesti ovu nejednakost na čisti X. Ali... Što kamo prenijeti!? Ovdje je vrijeme da zapamtite da je pomicanje lijevo-desno skraćeni oblik prva identična transformacija.

ALI duga forma zvuči ovako: Možete dodati/oduzeti bilo koji broj ili izraz u oba dijela jednadžbe (nejednakost).

Ovdje postoje tri dijela. Stoga ćemo primijeniti identične transformacije na sva tri dijela!

Dakle, riješimo se onoga u srednjem dijelu nejednakosti. Od cijelog središnjeg dijela oduzmite jednu. Kako se nejednakost ne bi promijenila, od preostala dva dijela oduzimamo jedan. Kao ovo:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

Već bolje, zar ne?) Ostaje podijeliti sva tri dijela na tri:

2 < x < 4

To je sve. Ovo je odgovor. X može biti bilo koji broj od dva (ne uključujući) do četiri (ne uključujući). Ovaj odgovor se također piše u intervalima, takvi će unosi biti u kvadratnim nejednadžbama. Tu su najčešća stvar.

Na kraju lekcije ponovit ću ono najvažnije. Uspjeh u rješavanju linearnih nejednadžbi ovisi o sposobnosti transformacije i pojednostavljenja linearnih jednadžbi. Ako u isto vrijeme slijedi znak nejednakosti, neće biti problema. Što ti želim. nema problema.)

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje s trenutnom provjerom. Učenje - sa zanimanjem!)

možete se upoznati s funkcijama i izvedenicama.

Danas, prijatelji, neće biti šmrcova i sentimenta. Umjesto toga, poslat ću vas u bitku s jednim od najstrašnijih protivnika u tečaju algebre od 8. do 9. razreda bez daljnjih pitanja.

Da, sve ste dobro razumjeli: govorimo o nejednakostima s modulom. Pogledat ćemo četiri osnovne tehnike pomoću kojih ćete naučiti riješiti oko 90% ovih problema. Što je s ostalih 10%? Pa, o njima ćemo u zasebnoj lekciji. :)

Međutim, prije nego što analiziram bilo kakve trikove, želio bih se podsjetiti na dvije činjenice koje već morate znati. Inače riskirate da uopće ne razumijete gradivo današnje lekcije.

Ono što već trebate znati

Kapetan Evidence, takoreći, nagovještava da za rješavanje nejednakosti s modulom morate znati dvije stvari:

1. Kako se rješavaju nejednakosti?
2. Što je modul.

Počnimo s drugom točkom.

Definicija modula

Ovdje je sve jednostavno. Postoje dvije definicije: algebarska i grafička. Počnimo s algebrom:

Definicija. Modul broja $x$ je ili sam broj, ako nije negativan, ili broj nasuprot njemu, ako je izvorni $x$ još uvijek negativan.

Napisano je ovako:

\[\lijevo| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

razgovarajući prostim jezikom, modul je "broj bez minusa". I upravo u toj dvojnosti (negdje ne morate ništa raditi s izvornim brojem, ali negdje morate ukloniti neki minus) i leži sva poteškoća za studente početnike.

Postoji i geometrijska definicija. To je također korisno znati, ali ćemo se na njega pozivati ​​samo u složenim i nekim posebnim slučajevima, gdje je geometrijski pristup prikladniji od algebarskog (spoiler: ne danas).

Definicija. Neka je točka $a$ označena na realnoj liniji. Zatim modul $\left| x-a \right|$ je udaljenost od točke $x$ do točke $a$ na ovoj liniji.

Ako nacrtate sliku, dobit ćete nešto poput ovoga:

Definicija grafičkog modula

Na ovaj ili onaj način, njegovo ključno svojstvo odmah slijedi iz definicije modula: modul broja je uvijek nenegativna vrijednost. Ova činjenica bit će crvena nit koja se provlači kroz cijelu našu današnju priču.

Rješenje nejednačina. Metoda razmaka

Sada se pozabavimo nejednakostima. Ima ih jako puno, ali naša je zadaća sada moći riješiti barem najjednostavnije od njih. One koje se svode na linearne nejednakosti, kao i na metodu intervala.

Imam dva velika tutorijala na ovu temu (usput, vrlo, JAKO korisna - preporučujem proučavanje):

1. Intervalna metoda za nejednakosti (posebno pogledajte video);
2. Razlomno-racionalne nejednakosti vrlo su opsežna lekcija, ali nakon nje više nećete imati pitanja.

Ako sve ovo znate, ako vas fraza "prijeđimo s nejednakosti na jednadžbu" ne tjera na maglovitu želju da se ubijete o zid, onda ste spremni: dobrodošli u pakao na glavnu temu lekcije. :)

1. Nejednadžbe oblika "Modul manji od funkcije"

Ovo je jedan od najčešćih zadataka s modulima. Potrebno je riješiti nejednakost oblika:

\[\lijevo| f\desno| \ltg\]

Bilo što može djelovati kao funkcije $f$ i $g$, ali obično su to polinomi. Primjeri takvih nejednakosti:

\[\početi(poravnati) & \lijevo| 2x+3\desno| \ltx+7; \\ & \lijevo| ((x)^(2))+2x-3 \desno|+3\lijevo(x+1 \desno) \lt 0; \\ & \lijevo| ((x)^(2))-2\lijevo| x \desno|-3 \desno| \lt 2. \\\end(poravnati)\]

Svi su riješeni doslovno u jednom redu prema shemi:

\[\lijevo| f\desno| \lt g\Strelica desno -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(poravnati) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(poravnati) \točno točno)\]

Lako je vidjeti da smo se riješili modula, ali umjesto toga dobivamo dvostruku nejednakost (ili, što je isto, sustav dviju nejednakosti). Ali ovaj prijelaz uzima u obzir apsolutno sve moguće probleme: ako je broj ispod modula pozitivan, metoda radi; ako je negativan, još uvijek radi; pa čak i s najneadekvatnijom funkcijom umjesto $f$ ili $g$, metoda će i dalje raditi.

Naravno, postavlja se pitanje: nije li lakše? Nažalost, ne možete. To je cijela poanta modula.

Ali dosta filozofiranja. Riješimo par problema:

Zadatak. Riješite nejednakost:

\[\lijevo| 2x+3\desno| \ltx+7\]

Riješenje. Dakle, imamo klasičnu nejednakost oblika "modul je manji od" - čak se nema što transformirati. Radimo prema algoritmu:

\[\početi(poravnati) & \lijevo| f\desno| \lt g\Strelica desno -g \lt f \lt g; \\ & \lijevo| 2x+3\desno| \lt x+7\Strelica udesno -\lijevo(x+7 \desno) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\kraj (poravnati)\]

Nemojte žuriti otvarati zagrade kojima prethodi "minus": sasvim je moguće da ćete zbog žurbe napraviti uvredljivu pogrešku.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\lijevo\( \početak(poravnati) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(poravnati) \desno.\]

\[\lijevo\( \početak(poravnati) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(poravnati) \desno.\]

\[\lijevo\( \begin(poravnati) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(poravnati) \desno.\]

Problem je sveden na dvije elementarne nejednakosti. Njihova rješenja bilježimo na paralelnim realnim pravima:

Raskrižje mnogih

Presjek ovih skupova bit će odgovor.

Odgovor: $x\in \lijevo(-\frac(10)(3);4 \desno)$

Zadatak. Riješite nejednakost:

\[\lijevo| ((x)^(2))+2x-3 \desno|+3\lijevo(x+1 \desno) \lt 0\]

Riješenje. Ovaj zadatak je malo teži. Za početak, izoliramo modul pomicanjem drugog člana udesno:

\[\lijevo| ((x)^(2))+2x-3 \desno| \lt -3\lijevo(x+1 \desno)\]

Očito, opet imamo nejednakost u obliku "modul je manji", pa se modula rješavamo prema već poznatom algoritmu:

\[-\lijevo(-3\lijevo(x+1 \desno) \desno) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\lijevo(x+1 \desno)\]

Pažnja: netko će reći da sam ja pomalo perverznjak sa svim ovim zagradama. Ali još jednom vas podsjećam da je naš ključni cilj točno riješiti nejednakost i dobiti odgovor. Kasnije, kada savršeno savladate sve što je opisano u ovoj lekciji, možete se izopačiti kako želite: otvarati zagrade, dodavati minuse itd.

I za početak, samo se riješimo dvostrukog minusa s lijeve strane:

\[-\left(-3\left(x+1 \desno) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\lijevo(x+1\desno)\]

Sada otvorimo sve zagrade u dvostrukoj nejednadžbi:

Prijeđimo na dvostruku nejednakost. Ovaj put će izračuni biti ozbiljniji:

\[\lijevo\( \begin(poravnati) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(poravnati) \desno.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( poravnati)\desno.\]

Obje nejednakosti su kvadratne i rješavaju se intervalnom metodom (zato i kažem: ako ne znate što je to, bolje je još ne preuzimati module). Prelazimo na jednadžbu u prvoj nejednadžbi:

\[\begin(poravnati) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\lijevo(x+5 \desno)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\kraj (poravnaj)\]

Kao što vidite, rezultat se pokazao kao nepotpuna kvadratna jednadžba, koja je elementarno riješena. Sada se pozabavimo drugom nejednakošću sustava. Tu morate primijeniti Vietin teorem:

\[\begin(poravnati) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \lijevo(x-3 \desno)\lijevo(x+2 \desno)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\kraj (poravnaj)\]

Dobivene brojeve označavamo na dvije paralelne linije (odvojeno za prvu nejednakost i odvojeno za drugu):

Opet, budući da rješavamo sustav nejednakosti, zanima nas presjek zasjenjenih skupova: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Ovo je odgovor.

Odgovor: $x\in \lijevo(-5;-2 \desno)$

Mislim da je nakon ovih primjera shema rješenja vrlo jasna:

1. Izolirajte modul pomicanjem svih ostalih pojmova na suprotnu stranu nejednakosti. Tako dobivamo nejednakost oblika $\left| f\desno| \ltg$.
2. Riješite ovu nejednakost tako da se riješite modula kako je gore opisano. U nekom trenutku bit će potrebno prijeći s dvostruke nejednadžbe na sustav dva neovisna izraza od kojih se svaki već može zasebno rješavati.
3. Konačno, ostaje samo križati rješenja ova dva nezavisna izraza – i to je to, dobit ćemo konačan odgovor.

Sličan algoritam postoji za nejednakosti sljedećeg tipa, kada je modul veći od funkcije. Međutim, postoji nekoliko ozbiljnih "ali". Sada ćemo razgovarati o tim "ali".

2. Nejednakosti oblika "Modul je veći od funkcije"

izgledaju ovako:

\[\lijevo| f\desno| \gt g\]

Slično prethodnom? Čini se. Ipak, takvi se zadaci rješavaju na potpuno drugačiji način. Formalno, shema je sljedeća:

\[\lijevo| f\desno| \gt g\Strelica udesno \left[ \begin(poravnati) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(poravnati) \desno.\]

Drugim riječima, razmatramo dva slučaja:

1. Prvo, jednostavno zanemarimo modul - rješavamo uobičajenu nejednakost;
2. Tada, zapravo, otvaramo modul sa predznakom minus, a zatim oba dijela nejednadžbe pomnožimo sa −1, sa predznakom.

U ovom slučaju, opcije se kombiniraju s uglastim zagradama, t.j. Imamo kombinaciju dva zahtjeva.

Obratite pažnju još jednom: pred nama nije sustav, nego agregat, dakle u odgovoru se skupovi kombiniraju, a ne sijeku. Ovo je temeljna razlika u odnosu na prethodni paragraf!

Općenito, mnogi studenti imaju veliku zbrku sa sindikatima i raskrižjima, pa pogledajmo ovo pitanje jednom zauvijek:

• "∪" je znak spajanja. Zapravo, ovo je stilizirano slovo "U", iz koje nam je došlo engleskog jezika i skraćenica je za "Union", t.j. "Udruge".
• "∩" je znak raskrižja. Ovo sranje nije došlo niotkuda, već se samo pojavilo kao opozicija "∪".

Da bi bilo još lakše zapamtiti, samo dodajte noge ovim znakovima kako biste napravili naočale (samo me nemojte optuživati ​​da sada promičem ovisnost o drogama i alkoholizmu: ako ozbiljno proučavate ovu lekciju, onda ste već ovisnik o drogama):

Razlika između presjeka i unije skupova

Prevedeno na ruski, to znači sljedeće: unija (kolekcija) uključuje elemente iz oba skupa, dakle, ne manje od svakog od njih; ali raskrižje (sustav) uključuje samo one elemente koji su i u prvom skupu i u drugom. Stoga, presjek skupova nikada nije veći od izvornih skupova.

Pa je postalo jasnije? To je odlično. Idemo dalje na praksu.

Zadatak. Riješite nejednakost:

\[\lijevo| 3x+1 \desno| \gt 5-4x\]

Riješenje. Djelujemo prema shemi:

\[\lijevo| 3x+1 \desno| \gt 5-4x\Strelica desno \lijevo[ \početak(poravnati) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\lijevo(5-4x \desno) \\\end(poravnati) \ pravo.\]

Rješavamo svaku populacijsku nejednakost:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(poravnati) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(poravnati) \desno.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Svaki rezultirajući skup označavamo na brojevnoj liniji, a zatim ih kombiniramo:

Unija skupova

Očito je odgovor $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Odgovor: $x\in \lijevo(\frac(4)(7);+\infty \desno)$

Zadatak. Riješite nejednakost:

\[\lijevo| ((x)^(2))+2x-3 \desno| \gtx\]

Riješenje. Dobro? Ne, sve je isto. Od nejednadžbe s modulom prelazimo na skup dviju nejednakosti:

\[\lijevo| ((x)^(2))+2x-3 \desno| \gt x\Strelica desno \levo[ \begin(poravnati) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\kraj (poravnaj) \desno.\]

Rješavamo svaku nejednakost. Nažalost, korijeni tamo neće biti jako dobri:

\[\begin(poravnati) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\ &D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\kraj (poravnaj)\]

U drugoj nejednakosti ima i malo igre:

\[\begin(poravnati) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\ &D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\kraj (poravnaj)\]

Sada ove brojeve trebamo označiti na dvije osi - jednu os za svaku nejednakost. Međutim, morate označiti točke ispravnim redoslijedom: što je broj veći, to se točka dalje pomiče udesno.

I ovdje čekamo postavljanje. Ako je sve jasno s brojevima $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (članovi u brojniku prvog razlomak su manji od članova u brojniku drugog , pa je i zbroj manji), s brojevima $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ također neće biti poteškoća (pozitivan broj očito negativniji), ali s zadnjim parom sve nije tako jednostavno. Što je veće: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ ili $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Raspored točaka na brojevnim pravcima i, zapravo, odgovor ovisit će o odgovoru na ovo pitanje.

Pa da usporedimo:

\[\begin(matrica) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrica)\]

Izolirali smo korijen, dobili nenegativne brojeve na obje strane nejednakosti, tako da imamo pravo kvadrirati obje strane:

\[\begin(matrica) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrica)\]

Mislim da nije pametno da $4\sqrt(13) \gt 3$, dakle $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, konačno će točke na osi biti raspoređene ovako:

Slučaj ružnih korijena

Podsjetim da rješavamo skup, pa će odgovor biti unija, a ne sjecište zasjenjenih skupova.

Odgovor: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \desno)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\desno)$

Kao što vidite, naša shema izvrsno funkcionira i za jednostavne i za vrlo teške zadatke. Jedina "slaba točka" u ovom pristupu je da trebate ispravno usporediti iracionalne brojeve (i vjerujte mi: to nisu samo korijeni). Ali posebna (i vrlo ozbiljna lekcija) bit će posvećena pitanjima usporedbe. I idemo dalje.

3. Nejednakosti s nenegativnim "repovima"

Tako smo došli do najzanimljivijeg. To su nejednakosti oblika:

\[\lijevo| f\desno| \gt\lijevo| g\desno|\]

Općenito govoreći, algoritam o kojem ćemo sada govoriti vrijedi samo za modul. Radi u svim nejednačinama gdje su zajamčeni nenegativni izrazi s lijeve i desne strane:

Što učiniti s tim zadacima? Samo zapamti:

U nejednakostima s nenegativnim repovima obje se strane mogu podići na bilo koju prirodnu moć. Neće biti dodatnih ograničenja.

Prije svega, zanimat će nas kvadratura - spaljuje module i korijene:

\[\begin(poravnati) & ((\lijevo(\lijevo| f \desno| \desno))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\lijevo(\sqrt(f) \desno))^(2))=f. \\\kraj (poravnaj)\]

Samo nemojte ovo brkati s uzimanjem korijena kvadrata:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\lijevo| f \desno|\ne f\]

Napravljene su bezbrojne pogreške kada je student zaboravio instalirati modul! Ali ovo je sasvim druga priča (to su, takoreći, iracionalne jednadžbe), pa nećemo sada ulaziti u to. Bolje da riješimo nekoliko problema:

Zadatak. Riješite nejednakost:

\[\lijevo| x+2 \desno|\ge \lijevo| 1-2x \desno|\]

Riješenje. Odmah primjećujemo dvije stvari:

1. Ovo je nestroga nejednakost. Točke na brojevnoj liniji bit će izbušene.
2. Obje strane nejednakosti očito su nenegativne (ovo je svojstvo modula: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Stoga možemo kvadrirati obje strane nejednadžbe da bismo se riješili modula i riješili problem koristeći uobičajenu intervalnu metodu:

\[\begin(poravnati) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\lijevo(x+2 \desno))^(2))\ge ((\lijevo(2x-1 \desno))^(2)). \\\kraj (poravnaj)\]

U zadnjem koraku sam se malo prevario: promijenio sam slijed pojmova, koristeći paritet modula (zapravo, pomnožio sam izraz $1-2x$ s −1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ desno)\desno)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \desno)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \desno)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Rješavamo metodom intervala. Prijeđimo s nejednakosti na jednadžbu:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\kraj (poravnaj)\]

Pronađene korijene označavamo na brojevnoj liniji. Još jednom: sve točke su zasjenjene jer izvorna nejednakost nije stroga!

Riješite se znaka modula

Podsjetim za posebno tvrdoglave: uzimamo predznake iz posljednje nejednadžbe, koja je zapisana prije nego što se prijeđe na jednadžbu. I slikamo preko područja potrebnih u istoj nejednakosti. U našem slučaju, ovo je $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

OK, sada je sve gotovo. Problem riješen.

Odgovor: $x\in \lijevo[ -\frac(1)(3);3 \desno]$.

Zadatak. Riješite nejednakost:

\[\lijevo| ((x)^(2))+x+1 \desno|\le \lijevo| ((x)^(2))+3x+4 \desno|\]

Riješenje. Sve radimo isto. Neću komentirati - samo pogledajte slijed radnji.

Kvadratirajmo:

\[\begin(poravnati) & ((\lijevo(\lijevo| ((x)^(2))+x+1 \desno| \desno))^(2))\le ((\lijevo(\lijevo | ((x)^(2))+3x+4 \desno| \desno))^(2)); \\ & ((\lijevo(((x)^(2))+x+1 \desno))^(2))\le ((\lijevo(((x)^(2))+3x+4 \desno))^(2)); \\ & ((\lijevo(((x)^(2))+x+1 \desno))^(2))-((\lijevo(((x)^(2))+3x+4 \ desno))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \desno)\puta \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \desno)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \desno)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Metoda razmaka:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Desna strelica x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Strelica desno D=16-40 \lt 0\Strelica desno \varnothing . \\\kraj (poravnaj)\]

Na brojevnoj liniji postoji samo jedan korijen:

Odgovor je cijeli niz

Odgovor: $x\in \lijevo[ -1,5;+\infty \desno)$.

Mala napomena o zadnjem zadatku. Kao što je jedan od mojih učenika točno primijetio, oba izraza podmodula u ovoj nejednakosti očito su pozitivna, pa se znak modula može izostaviti bez štete po zdravlje.

Ali to je već sasvim druga razina razmišljanja i drugačiji pristup – uvjetno se može nazvati metodom posljedica. O njemu - u zasebnoj lekciji. A sada prijeđimo na završni dio današnje lekcije i razmotrimo univerzalni algoritam koji uvijek radi. Čak i kada su svi dosadašnji pristupi bili nemoćni. :)

4. Način nabrajanja opcija

Što ako svi ovi trikovi ne uspiju? Ako se nejednakost ne svodi na nenegativne repove, ako je nemoguće izolirati modul, ako uopće bol-tuga-čežnja?

Tada na scenu stupa “teška artiljerija” sve matematike – metoda prebrojavanja. S obzirom na nejednakosti s modulom, to izgleda ovako:

1. Napišite sve izraze podmodula i izjednačite ih s nulom;
2. Riješite dobivene jednadžbe i na jednom brojevnom pravcu označite pronađene korijene;
3. Ravna linija će biti podijeljena na nekoliko dijelova, unutar kojih svaki modul ima fiksni predznak i stoga se nedvosmisleno širi;
4. Riješite nejednakost na svakom takvom odjeljku (možete zasebno razmotriti granične korijene dobivene u stavku 2 - radi pouzdanosti). Kombinirajte rezultate - ovo će biti odgovor. :)

Pa, kako? Slab? Lako! Samo na dulje vrijeme. Pogledajmo u praksi:

Zadatak. Riješite nejednakost:

\[\lijevo| x+2 \desno| \lt\lijevo| x-1 \desno|+x-\frac(3)(2)\]

Riješenje. Ovo sranje se ne svodi na nejednakosti poput $\left| f\desno| \lt g$, $\lijevo| f\desno| \gt g$ ili $\lijevo| f\desno| \lt\lijevo| g \right|$, pa idemo naprijed.

Zapisujemo izraze podmodula, izjednačavamo ih s nulom i pronalazimo korijene:

\[\begin(align) & x+2=0\Strelica desno x=-2; \\ & x-1=0\Strelica desno x=1. \\\kraj (poravnaj)\]

Ukupno imamo dva korijena koja dijele brojevnu liniju na tri dijela, unutar kojih se svaki modul otkriva na jedinstven način:

Dijeljenje brojevnog pravca nulama submodularnih funkcija

Razmotrimo svaki odjeljak zasebno.

1. Neka je $x \lt -2$. Tada su oba izraza podmodula negativna, a izvorna nejednakost se prepisuje na sljedeći način:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(poravnati)\]

Dobili smo prilično jednostavno ograničenje. Presijecimo ga s izvornom pretpostavkom da je $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align) \right.\Strelica desno x\in \varnothing \]

Očito, varijabla $x$ ne može istovremeno biti manja od −2, ali veća od 1,5. U ovom području nema rješenja.

1.1. Razmotrimo odvojeno granični slučaj: $x=-2$. Zamijenimo ovaj broj u izvornu nejednakost i provjerimo: vrijedi li?

\[\begin(poravnaj) & ((\lijevo. \lijevo| x+2 \desno| \lt \left| x-1 \desno|+x-1,5 \desno|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \lijevo| -3 \desno|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\Strelica desno \varništa . \\\kraj (poravnaj)\]

Očito nas je lanac izračuna doveo do pogrešne nejednakosti. Stoga je izvorna nejednakost također netočna, a $x=-2$ nije uključeno u odgovor.

2. Neka je sada $-2 \lt x \lt 1$. Lijevi modul će se već otvoriti s "plusom", ali desni je još uvijek s "minusom". Imamo:

\[\begin(poravnati) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(poravnati)\]

Opet se križamo s izvornim zahtjevom:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Strelica desno x\in \varnothing \]

I opet, prazan skup rješenja, budući da nema brojeva koji su manji od −2,5 i veći od −2.

2.1. I opet poseban slučaj: $x=1$. Zamjenjujemo u izvornu nejednakost:

\[\begin(poravnaj) & ((\lijevo. \lijevo| x+2 \desno| \lt \left| x-1 \desno|+x-1,5 \desno|)_(x=1)) \\ & \lijevo| 3\desno| \lt\lijevo| 0 \right|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Strelica desno \varništa . \\\kraj (poravnaj)\]

Slično kao u prethodnom "posebnom slučaju", broj $x=1$ očito nije uključen u odgovor.

3. Posljednji dio retka: $x \gt 1$. Ovdje su svi moduli prošireni znakom plus:

\[\početak(poravnati) & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x \gt 4,5 \\ \end(poravnati)\ ]

I opet siječemo pronađeni skup s izvornim ograničenjem:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Strelica desno x\in \left(4,5;+\infty) \pravo)\]

Konačno! Pronašli smo interval, koji će biti odgovor.

Odgovor: $x\in \lijevo(4,5;+\infty \desno)$

Na kraju, jedna napomena koja bi vas mogla spasiti od glupih pogrešaka pri rješavanju stvarnih problema:

Rješenja nejednadžbi s modulima obično su neprekidni skupovi na brojevnoj liniji – intervali i segmenti. Izolirane točke su puno rjeđe. I još rjeđe, događa se da se granice rješenja (kraj segmenta) poklapaju s granicom raspona koji se razmatra.

Prema tome, ako granice (ti isti “posebni slučajevi”) nisu uključene u odgovor, tada gotovo sigurno neće biti uključena ni područja lijevo-desno od ovih granica. I obrnuto: granica unesena kao odgovor, što znači da će neka područja oko nje također biti odgovori.

Imajte to na umu kada provjeravate svoja rješenja.

Zdravo! Dragi moji studenti, u ovom članku ćemo naučiti kako riješiti eksponencijalne nejednakosti .

Koliko god vam se eksponencijalna nejednakost činila kompliciranom, nakon nekih transformacija (o njima ćemo malo kasnije), sve nejednakosti svode se na rješavanje najjednostavnijih eksponencijalnih nejednakosti:

a x > b, a x< b i a x ≥ b, a x ≤ b.

Pokušajmo shvatiti kako se takve nejednakosti rješavaju.

Razmotrit ćemo rješenje stroge nejednakosti. Jedina razlika u rješavanju nestrogih nejednakosti je u tome što su dobiveni odgovarajući korijeni uključeni u odgovor.

Neka je potrebno riješiti nejednakost oblika i f(x) > b, gdje a>1 i b>0.

Pogledajte shemu za rješavanje takvih nejednakosti (slika 1):

Pogledajmo sada konkretan primjer. Riješite nejednakost: 5 x - 1 > 125.

Budući da je 5 > 1 i 125 > 0, onda
x - 1 > log 5 125, tj
x - 1 > 3,
x > 4.

Odgovor: (4; +∞) .

Koje je rješenje ove nejednakosti? i f(x) >b, ako 0 i b>0?

Dakle, dijagram na slici 2

Primjer: Riješite nejednakost (1/2) 2x - 2 ≥ 4

Primjenom pravila (slika 2) dobivamo
2x - 2 ≤ log 1/2 4,
2x - 2 ≤ -2,
2x ≤ 0,
x ≤ 0.

Odgovor: (–∞; 0] .

Razmotrimo opet istu nejednakost i f(x) > b, ako a>0 i b<0 .

Dakle, dijagram na slici 3:

Primjer rješavanja nejednakosti (1/3) x + 2 > -9. Kao što primjećujemo, bez obzira koji broj zamijenimo za x, (1/3) x + 2 je uvijek veći od nule.

Odgovor: (–∞; +∞) .

Kako se rješavaju nejednakosti oblika? a f(x)< b , gdje a>1 i b>0?

Dijagram na slici 4:

I sljedeći primjer: 3 3 – x ≥ 8.
Budući da je 3 > 1 i 8 > 0, onda
3 - x\u003e log 3 8, tj
-x > log 3 8 - 3,
x< 3 – log 3 8.

Odgovor: (0; 3–log 3 8) .

Kako promijeniti rješenje nejednakosti a f(x)< b , u 0 i b>0?

Dijagram na slici 5:

I sljedeći primjer: Riješite nejednakost 0,6 2x - 3< 0,36 .

Slijedeći dijagram na slici 5, dobivamo
2x - 3 > log 0,6 0,36,
2x - 3 > 2,
2x > 5,
x > 2,5

Odgovor: (2,5; +∞) .

Razmotrimo posljednju shemu za rješavanje nejednakosti oblika a f(x)< b , u a>0 i b<0 prikazano na slici 6:

Na primjer, riješimo nejednakost:

Primjećujemo da je bez obzira kojim brojem zamijenimo x, lijeva strana nejednadžbe uvijek veća od nule, au našem slučaju ovaj izraz je manji od -8, tj. a nula znači da nema rješenja.

Odgovor: nema rješenja.

Znajući kako se rješavaju najjednostavnije eksponencijalne nejednakosti, možemo prijeći na rješavanje eksponencijalnih nejednakosti.

Primjer 1

Pronađite najveću cjelobrojnu vrijednost x koja zadovoljava nejednakost

Budući da je 6 x veće od nule (za nijedan x nazivnik ide na nulu), pomnožimo obje strane nejednakosti sa 6 x, dobićemo:

440 - 2 6 2x > 8, dakle
– 2 6 2x > 8 – 440,
– 2 6 2x > – 332,
6 2x< 216,
2x< 3,

x< 1,5. Наибольшее целое число из помежутка (–∞; 1,5) это число 1.

Odgovor: 1.

Primjer 2.

Riješite nejednakost 2 2 x – 3 2 x + 2 ≤ 0

Označimo 2 x s y, dobivamo nejednakost y 2 - 3y + 2 ≤ 0, rješavamo ovu kvadratnu nejednakost.

y 2 - 3y +2 = 0,
y 1 = 1 i y 2 = 2.

Grane parabole su usmjerene prema gore, nacrtajmo graf:

Tada će rješenje nejednadžbe biti nejednakost 1< у < 2, вернемся к нашей переменной х и получим неравенство 1< 2 х < 2, решая которое и найдем ответ 0 < x < 1.

Odgovor: (0; 1) .

Primjer 3. Riješite nejednakost 5x+1 – 3x+2< 2·5 x – 2·3 x –1
Sakupi izraze s istim bazama u jednom dijelu nejednadžbe

5 x +1 – 2 5 x< 3 x +2 – 2·3 x –1

Izvadimo nejednakost na lijevoj strani zagrada 5 x , a na desnoj strani nejednadžbe 3 x i dobijemo nejednakost

5 x (5 - 2)< 3 х (9 – 2/3),
3 5 x< (25/3)·3 х

Oba dijela nejednadžbe podijelimo izrazom 3 3 x, predznak nejednakosti se neće promijeniti, budući da je 3 3 x pozitivan broj, dobivamo nejednakost:

x< 2 (так как 5/3 > 1).

Odgovor: (–∞; 2) .

Ako imate pitanja o rješavanju eksponencijalnih nejednakosti ili želite vježbati rješavanje sličnih primjera, prijavite se na moje lekcije. Učiteljica Valentina Galinevskaya.

stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, potrebna je poveznica na izvor.

rješenje nejednakosti u načinu rada na liniji riješenje gotovo svaku zadanu nejednakost na liniji. Matematički nejednakosti na internetu riješiti matematiku. Brzo pronađite rješenje nejednakosti u načinu rada na liniji. Stranica www.site vam omogućuje da pronađete riješenje gotovo svaka danost algebarski, trigonometrijski ili transcendentna nejednakost na internetu. Kada proučavate gotovo bilo koji dio matematike u različitim fazama, morate odlučiti nejednakosti na internetu. Da biste odmah dobili odgovor, i što je najvažnije točan odgovor, potreban vam je resurs koji vam to omogućuje. Hvala www.site riješiti nejednakost online trajat će nekoliko minuta. Glavna prednost www.site kod rješavanja matematičkih nejednakosti na internetu- je brzina i točnost izdanog odgovora. Stranica je u stanju riješiti bilo koje algebarske nejednakosti online, trigonometrijske nejednakosti online, transcendentalne nejednakosti na internetu, kao i nejednakosti s nepoznatim parametrima u načinu rada na liniji. nejednakosti služe kao moćan matematički aparat rješenja praktični zadaci. Uz pomoć matematičke nejednakosti moguće je izraziti činjenice i odnose koji na prvi pogled mogu izgledati zbunjujuće i složene. nepoznate količine nejednakosti može se pronaći formuliranjem problema u matematički jezik u obliku nejednakosti i odlučiti primljeni zadatak u načinu rada na liniji na web stranici www.site. Bilo koji algebarska nejednakost, trigonometrijska nejednakost ili nejednakosti koji sadrži transcendentalno lako vam nudi odlučiti online i dobiti pravi odgovor. Proučavajući prirodne znanosti, neminovno se susreće s potrebom rješenje nejednačina. U tom slučaju, odgovor mora biti točan i mora biti primljen odmah u modu na liniji. Stoga, za rješavati matematičke nejednakosti online preporučamo stranicu www.site koja će postati vaš nezamjenjiv kalkulator rješavati algebarske nejednakosti online, trigonometrijske nejednakosti online, kao i transcendentalne nejednakosti na internetu ili nejednakosti s nepoznatim parametrima. Za praktične probleme pronalaženja intravolskih rješenja raznih matematičke nejednakosti resurs www.. Rješavanje nejednakosti na internetu sami, korisno je provjeriti primljeni odgovor pomoću online rješenje nejednakosti na web stranici www.site. Nejednakost je potrebno ispravno zapisati i odmah dobiti online rješenje, nakon čega ostaje samo usporediti odgovor s vašim rješenjem nejednakosti. Provjera odgovora neće potrajati više od minute, dovoljno riješiti nejednakost online i usporedite odgovore. To će vam pomoći da izbjegnete greške u odluka i na vrijeme ispraviti odgovor rješavanje nejednakosti online da li algebarski, trigonometrijski, transcendentan ili nejednakost s nepoznatim parametrima.