Mit jelent a függvényértékek halmaza? Funkciótartomány (függvényértékek halmaza)

y = x 3

y=| x|

y=

E( y) = [- 1, 1]

E( y) = (– ∞, + ∞)

E( y) = (– ∞, + ∞)

E( y) = (– ∞, + ∞)

E( y) = (0, + ∞)

Egy algoritmus bevezetése a trigonometrikus függvények értékkészletének megtalálására szolgáló problémák megoldására.

Lássuk, hogyan tudjuk tapasztalatainkat felhasználni egy-egy vizsga opciói között szereplő különféle feladatok megoldására.

1. Az argumentum adott értékéhez tartozó függvényértékek megkeresése.

Példa. Határozzuk meg az y = 2 függvény értékét! kötözősaláta(π/2+ π/4 ) – 1, ha x = -π/2.

Megoldás.

= –
– 1.

2. A trigonometrikus függvények tartományának meghatározása


Megoldás.

1≤ bűnx≤ 1

2 ≤ 2 bűnx≤ 2

9 ≤ 11+2bűnx≤ 13

3 ≤
+2∙ bűn x ≤
, azaz E (y) = .

Írjuk ki a függvény egész értékeit az intervallumra. Ez a szám a 3.

Válasz: 3.

• 
  Keresse meg a függvényértékek halmazát nál nél= bűn 2 x+6sin x + 10.

• 
  Keresse meg a függvényértékek halmazát: nál nél = bűn 2 X - 6 bűn x + 8 . (egyedül)

nál nél= bűn 2 X- 2  3 bűnx + 3 2 - 3 2 + 8,

nál nél= (bűnX- 3) 2 -1.

E ( bűnx) = [-1;1];

E ( bűnx -3) = [-4;-2];

E ( bűnx -3) 2 = ;

E ( nál nél) = .

Válasz: .

• 
  Keresse meg egy függvény legkisebb értékét nál nél= cos 2 x+2sin x – 2.

Találhatunk értékkészletet ehhez a függvényhez? (Nem.)

Mit kell tenni? (Egy funkcióra csökkentve.)

Hogyan kell csinálni? (Használja a cos 2 képletet x= 1-bűn 2 x.)

Így, nál nél= 1-bűn 2 x+2sin x –2,

y= -sin 2 x+2sin x –1,

nál nél= -(sin x –1) 2 .

Nos, most megtalálhatjuk az értékeket, és kiválaszthatjuk közülük a legkisebbet.

1 ≤ bűn x ≤ 1,

2 ≤ bűn x – 1 ≤ 0,

0 ≤ (sin x – 1) 2 ≤ 4,

4 ≤ -(sin x -1) 2 ≤ 0.

Tehát a függvény legkisebb értéke nál nél bérel= -4. Válasz: -4.

• 
  Keresse meg egy függvény legnagyobb és legkisebb értékének szorzatát

Megoldás.

nál nél= 1-cos 2 x+ cos x + 1,5,

nál nél= -cos 2 x+ 2∙0,5∙költség x - 0,25 + 2,75,

nál nél= -(cos x- 0,5) 2 + 2,75.

E(cos x) = [-1;1],

E(cos x – 0,5) = [-1,5;0,5],

E(cos x – 0,5) 2 = ,

E(-(cos x-0,5) 2) = [-2,25;0],

E( nál nél) = .

A függvény legnagyobb értéke nál nél naib= 2,75; legkisebb érték nál nél bérel= 0,5. Keressük meg a függvény legnagyobb és legkisebb értékének szorzatát:

nál nél naib ∙nál nél bérel = 0,5∙2,75 = 1,375.

Válasz: 1.375.

Írjuk át a függvényt a formába nál nél =,

nál nél =
,

Most keressük meg a függvény értékkészletét.

E(sin x) = [-1, 1],

E(6sin x) = [-6, 6],

E(6sin x + 1) = [-5, 7],

E((6sin x + 1) 2) = ,

E(– (6sin x + 1) 2) = [-49, 0],

E(– (6sin x + 1) 2 + 64) = ,

E( y) = [
, 8].

Keressük meg a függvény egész értékeinek összegét: 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30.

Válasz: 30.

1)
vagyis x az első negyedévhez tartozik.

2)

Ezért a 2 x a második negyedévhez tartoznak.

3) A második negyedévben a szinuszfüggvény csökken és folyamatos. Tehát ez a funkció
innen veszi az összes értéket
előtt

4) Számítsa ki ezeket az értékeket:

Válasz :
.

1) Mivel egy szinusz értéket vesz fel -1-től 1-ig, akkor a különbségértékek halmaza
. Ha megszorozzuk
ez a szegmens a szegmensbe fog kerülni
.

2) Az arccosine monoton csökkenő és folytonos függvény. Ezért a kifejezés értékkészlete egy szegmens
.

3) Ha ezt a szegmenst megszorozzuk kapunk
.

Válasz:
.

Mivel az arctangens növekvő függvény, akkor
.

2) Növekedéskor x tól től
előtt érv 2 x től növekszik
előtt . Mivel egy ilyen intervallumon a szinusz növekszik, a függvény
értékeket vesz át
1-ig.

3) Amikor tól növekszik előtt
érv 2 x től növekszik előtt
. Mivel a szinusz ilyen intervallumon csökken, a függvény
értékeket vesz át
1-ig.

4) A szinust a félszög érintőjével kifejező képlet segítségével azt kapjuk, hogy

.

Ezért a kívánt értékkészlet a szegmensek egyesítése
és
, vagyis a szegmens
.

Válasz:
.
Ezt a technikát (segédszög bevezetése) arra használják, hogy megtalálják az űrlap függvényeinek értékkészletét

nál nél= a sin x + b cos x vagy nál nél= bűn(Rx) + bcos(Rx).

• 
  Keresse meg a függvényértékek halmazát

Megoldás.

Keressük az értéket
=
= 25.

Alakítsuk át a kifejezést

15 sin 2x + 20 cos 2x = 25 (
) = 25 () =

25 sin (2x + ), ahol cos = , bűn =.

A függvényértékek halmaza y \u003d sin (2x + ): -1 bűn (2x + ) 1.

Ezután az eredeti függvény értékkészlete -25 25 sin (2x + ) 25.

Válasz: [-25; 25].
3. Feladatok a függvény legnagyobb és legkisebb értékének megtalálásához az intervallumon.

• 
  Keresse meg egy függvény legnagyobb és legkisebb értékét nál nél= ctg x szakaszon [π/4; π/2].

Funkció nál nél= ctg x csökken a szakaszon [π/4; π/2], ezért a függvény a legkisebb értéket veszi fel x =π/2, azaz nál nél(π/2) = сtg π/2 = 0; és a legnagyobb érték at x=π/4, azaz nál nél(π/4) = сtg π/4 = 1.

Válasz: 1, 0.

Külön egyenlőségben
egész rész: .

Ebből következik, hogy az f(x) függvény grafikonja vagy hiperbola (а≠ 0), vagy pont nélküli egyenes.

Sőt, ha a; 2a) és (2a;
) és ha a > 0, monoton növekszik ezeken a sugarakon.

Ha a \u003d 0, akkor f (x) \u003d -2 a teljes definíciós tartományban x ≠ 0. Ezért nyilvánvaló, hogy a paraméter kívánt értékei nem egyenlők nullával.

Mivel minket csak a függvény értékei érdekelnek a [-1; 1], akkor a helyzetek osztályozását az határozza meg, hogy a hiperbola x = 2a aszimptotája (a≠0) ehhez a szegmenshez képest helyezkedik el.

1. eset. A [-1; 1] az x = 2a függőleges aszimptotától jobbra, azaz amikor 2a

2. eset. A függőleges aszimptota metszi a [-1; 1], és a függvény csökken (mint az 1. esetben), azaz mikor

3. eset. A függőleges aszimptota metszi a [-1; 1] és a függvény növekszik, azaz -1

.

4. eset. A [-1; intervallum összes pontja; 1] a függőleges aszimptotától balra, azaz 1 a > . és a második
Recepció 4 . x kifejezése y-ban. (Az inverz függvény tartományának megkeresése)

Recepció 5. A tört racionális függvényt definiáló képlet egyszerűsítése

Recepció 6. A másodfokú függvények értékkészletének megtalálása (a parabola csúcsának megtalálásával és ágai viselkedésének meghatározásával).

Recepció 7. Segédszög bevezetése néhány trigonometrikus függvény értékkészletének megtalálásához.

1 oldal

Egyik változónak a másiktól való függését nevezzük funkcionális függőség. Változó függőség y változóból x hívott funkció, ha minden érték x egyetlen értéknek felel meg y.

Kijelölés:

változó x független változónak, ill érv, és a változó y- függő. Azt mondják y függvénye x. Jelentése y az adott értéknek megfelelő x, hívott függvény értéke.

Minden érték, amire szüksége van x, forma funkció hatóköre; az összes szükséges értéket y, forma függvényértékek halmaza.

Megnevezések:

D(f)- érvértékek. E(f)- függvényértékek. Ha a függvényt egy képlet adja meg, akkor úgy tekintjük, hogy a definíciós tartomány a változó összes értékéből áll, amelyre ennek a képletnek van értelme.

Függvénygrafikon a koordinátasíkon lévő összes pont halmazát hívják, amelynek abszcisszái egyenlők az argumentum értékeivel, az ordináták pedig a függvény megfelelő értékeivel. Ha valamilyen érték x=x0 több értéknek felel meg (nem csak egy) y, akkor az ilyen megfeleltetés nem függvény. Ahhoz, hogy a koordinátasík ponthalmaza valamilyen függvény grafikonja legyen, szükséges és elegendő, hogy az Oy tengellyel párhuzamos bármely egyenes legfeljebb egy pontban metszi a gráfot.

A funkció beállításának módjai

1) A funkció beállítható elemzőleg képlet formájában. Például,

2) A függvény sok párból álló táblázattal definiálható (x; y).

3) A funkció grafikusan állítható be. Értékpárok (x; y) a koordinátasíkon jelenik meg.

Funkció monotonitás

Funkció f(x) hívott növekvő adott numerikus intervallumon, ha az argumentum nagyobb értéke a függvény nagyobb értékének felel meg. Képzelje el, hogy egy bizonyos pont balról jobbra mozog a grafikonon. Ezután a pont mintegy "felfelé mászik" a diagramon.

Funkció f(x) hívott fogyó adott numerikus intervallumon, ha az argumentum nagyobb értéke a függvény kisebb értékének felel meg. Képzelje el, hogy egy bizonyos pont balról jobbra mozog a grafikonon. Ekkor a pont úgymond "legurul" a diagramon.

Egy adott numerikus intervallumon csak növekvő vagy csak csökkenő függvényt hívunk meg monoton ezen az intervallumon.

Függvény nullák és állandósági intervallumok

Értékek x, ahol y=0, nak, nek hívják függvény nullák. Ezek a függvény grafikonjának az x tengellyel való metszéspontjainak abszcisszán.

Ilyen értéktartományok x, amelyen a függvény értékei y vagy csak pozitív vagy csak negatív hívják a függvény előjelállandóságának intervallumai.

Páros és páratlan függvények

Egyenletes funkció
1) A definíciós tartomány szimmetrikus a (0; 0) ponthoz képest, vagyis ha a pont a a definíció tartományába tartozik, akkor a pont -a szintén a definíció tartományába tartozik.
2) Bármilyen értékre x f(-x)=f(x)
3) Egy páros függvény grafikonja szimmetrikus az Oy tengelyre.

páratlan függvény a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
1) A definíciós tartomány a (0; 0) ponthoz képest szimmetrikus.
2) bármilyen értékre x, amely a definíció, az egyenlőség tartományába tartozik f(-x)=-f(x)
3) Egy páratlan függvény grafikonja szimmetrikus az origóhoz (0; 0).

Nem minden függvény páros vagy páratlan. Funkciók Általános nézet sem nem párosak, sem nem páratlanok.

Periodikus funkciók

Funkció f periodikusnak nevezzük, ha létezik olyan szám, amely bármely esetén x a definíció tartományából az egyenlőség f(x)=f(x-T)=f(x+T). T a függvény periódusa.

Minden periodikus függvénynek végtelen számú periódusa van. A gyakorlatban általában a legkisebb pozitív időszakot veszik figyelembe.

A periódusos függvény értékei a periódussal megegyező intervallum után ismétlődnek. Ezt grafikonok készítésekor használják.

D(f)- azok az értékek, amelyeket az érvelés felvehet, pl. funkció hatóköre.

E(f)- azokat az értékeket, amelyeket a függvény felvehet, pl. függvényértékek halmaza.

A függvénytartományok megtalálásának módszerei.

komplex függvényargumentumok értékeinek szekvenciális keresése;

pontozási/határozási módszer;

a függvény folytonossági és monotonitási tulajdonságainak felhasználása;

származékos termék használata;

a függvény legnagyobb és legkisebb értékének felhasználása;

grafikus módszer;

paraméterbevezetési módszer;

inverz függvény módszer.

Nézzünk meg néhányat közülük.

A derivált használata

Általános megközelítés egy f(x) folytonos függvény értékkészletének megtalálásához meg kell találni az f(x) függvény legnagyobb és legkisebb értékét a tartományában (vagy annak bizonyítását, hogy az egyik vagy mindkettő nem létezik) .

Ha meg kell találnia egy függvény értékkészletét a szegmensen:

keressük meg az adott f "(x) függvény deriváltját;

keresse meg az f(x) függvény kritikus pontjait, és válassza ki azokat, amelyek az adott szakaszhoz tartoznak;

kiszámítja a függvény értékeit a szegmens végén és a kiválasztott kritikus pontokon;

a talált értékek közül válassza ki a legkisebb és legnagyobb értéket;

A függvényértékek halmaza ezen értékek között jön létre.

Ha a funkció hatóköre az intervallum, akkor ugyanazt a sémát használjuk, de a végén lévő értékek helyett a függvény határait használják, amikor az argumentum az intervallum végére irányul. A tól származó határértékek nem szerepelnek az értékkészletben.

Határ/pontszám módszer

A függvényértékek készletének megtalálásához először keresse meg az argumentumértékek készletét, majd keresse meg a függvényfüggvény megfelelő minimális és maximális értékét. Egyenlőtlenségek felhasználásával - határozza meg a határokat.

A lényeg az, hogy a folytonos függvényt alulról és felülről becsüljük, és bizonyítsuk, hogy a függvény eléri a becslések alsó és felső határát. Ebben az esetben a függvény értékkészletének egybeesését a becslés alsó határától a felső értékig terjedő intervallummal a függvény folytonossága és más értékek hiánya határozza meg.

A folytonos függvény tulajdonságai

Egy másik lehetőség, hogy a függvényt folytonos monoton függvénysé alakítjuk, majd az egyenlőtlenségek tulajdonságait felhasználva megbecsüljük az újonnan kapott függvény értékkészletét.

Komplex függvényargumentumok értékeinek szekvenciális keresése

A függvényt alkotó köztes függvények értékkészletének szekvenciális keresése alapján

Alapvető elemi függvények tartományai

Példák

Keresse meg a függvényértékek halmazát:

A derivált használata

Keresse meg a definíciós tartományt: D(f)=[-3;3], mert $9-x^(2)\geq 0$

Keresse meg a derivált: $f"(x)=-\frac(x)(\sqrt(9-x^(2)))$

f"(x) = 0, ha x = 0. f"(x) nem létezik, ha $\sqrt(9-x^(2))=0$ azaz x = ±3 esetén. Három kritikus pontot kapunk: x 1 \u003d -3, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d 3, amelyek közül kettő egybeesik a szegmens végével. Számítsuk ki: f(–3) = 0, f(0) = 3, f(3) = 0. Így f(x) legkisebb értéke 0, legnagyobb értéke 3.

Válasz: E(f) = .

NEM használ derivált

Keresse meg a függvény legnagyobb és legkisebb értékét:

$ óta
f(x) = 1-\cos^(2)(x)+\cos(x)-\frac(1)(2) =
= 1-\frac(1)(2)+\frac(1)(4)-(\cos^(2)(x)-2\cdot\cos(x)\cdot\frac(1)(2) +(\frac(1)(2))^2) =
= \frac(3)(4)-(\cos(x)-\frac(1)(2))^(2) $ , majd:

$f(x)\leq \frac(3)(4)$ minden x-re;

$f(x)\geq \frac(3)(4)-(\frac(3)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$ minden x(mert $|\cos (x)|\leq 1$);

$f(\frac(\pi)(3))= \frac(3)(4)-(\cos(\frac(\pi)(3))-\frac(1)(2))^(2 )=\frac(3)(4)$;

$f(\pi)= \frac(3)(4)-(\cos(\pi)-\frac(1)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$;

Válasz: $\frac(3)(4)$ és $-\frac(3)(2)$

Ha ezt a problémát deriváltak segítségével oldja meg, akkor le kell győznie azokat az akadályokat, amelyek azzal a ténnyel járnak, hogy az f (x) függvény nem egy szakaszon, hanem a teljes valós egyenesen van definiálva.

A határok/becslések módszerével

A szinusz definíciójából következik, hogy $-1\leq\sin(x)\leq 1$. Ezután a numerikus egyenlőtlenségek tulajdonságait használjuk.

$-4\leq - 4\sin(x)\leq 4$, (szorozzuk meg a kettős egyenlőtlenség mindhárom részét -4-gyel);

$1\leq 5 - 4\sin(x)\leq 9$ (hozzáadva az 5-ös kettős egyenlőtlenség három részéhez);

Mivel ez a függvény a teljes definíciós tartományon folytonos, értékkészlete a legkisebb és a legnagyobb értéke között van a teljes definíciós tartományban, ha van ilyen.

Ebben az esetben a $y = 5 - 4\sin(x)$ függvény értékkészlete a halmaz.

A $$ \\ -1\leq\cos(7x)\leq 1 \\ -5\leq 5\cos(x)\leq 5 $$ egyenlőtlenségekből megkapjuk a $$\\ -6\leq y\ becslést leq 6 $ $

x = p és x = 0 esetén a függvény a -6 és 6 értéket veszi fel, azaz. eléri az alsó és felső határt. A cos(7x) és cos(x) folytonos függvények lineáris kombinációjaként az y függvény a teljes számtengely mentén folytonos, tehát a folytonos függvény tulajdonsága alapján minden értéket felvesz -6-tól 6-ig, és csak ők, mivel a $- 6\leq y\leq 6$ egyenlőtlenségek miatt más értékek nem lehetségesek számára.

Ezért E(y) = [-6;6].

$$ \\ -1\leq\sin(x)\leq 1 \\ 0\leq\sin^(2)(x)\leq 1 \\ 0\leq2\sin^(2)(x)\leq 2 \\ 1\leq1+2\sin^(2)(x)\leq 3 $$ Válasz: E(f) = .

$$ \\ -\infty< {\rm tg}\, x < +\infty \\ 0 \leq {\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 3 \leq 3+{\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 2^{3} \leq 2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} < +\infty \\ -\infty < -2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -8 \\ -\infty < 3-2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -5 $$ Ответ: E(f) = (–∞; -5].

$$ \\ -\infty< \lg{x} < +\infty \\ 0 \leq \lg^{2}{x} < +\infty \\ -\infty < -\lg^{2}{x} \leq 0 \\ -\infty < 16-\lg^{2}{x} \leq 16 \\ 0 \leq \sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 4 \\ 2 \leq 2+\sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 6 $$ Ответ: E(f) = .

Alakítsuk át a $$ \\ \sin(x) + \cos(x) = \sin(x) + \sin(\frac(\pi)(2) - x) = \\ 2\sin\left kifejezést ((\ frac(x + \frac(\pi)(2) - x)(2)) \right)\cos\left ((\frac(x + \frac(\pi)(2) + x)( 2)) \right) \\ = 2\sin(\frac(\pi)(4))cos(x +\frac(\pi)(4)) = \sqrt(2)cos(x +\frac( \pi) (4)) $$.

A koszinusz definíciójából következik: $$ \\ -1\leq\cos(x)\leq 1; \\ -1\leq \cos((x + \frac(\pi)(4)))\leq 1; \\ -\sqrt(2)\leq \sqrt(2)\cos((x +\frac(\pi)(4)))\leq\sqrt(2); $$

Mivel ez a függvény a teljes definíciós tartományon folytonos, ezért értékkészlete a legkisebb és a legnagyobb értéke, ha van, a $y =\sqrt(2)\ függvény értékkészlete közé van zárva. cos((x +\frac(\pi)(4 )))$ a $[-\sqrt(2);\sqrt(2)]$ halmaz.

$$\\ E(3^(x)) = (0;+∞), \\ E(3^(x)+ 1) = (1;+∞), \\ E(-(3^(x) )+ 1)^(2) = (-∞;-1), \\ E(5 – (3^(x)+1)^(2)) = (-∞;4) $$

Jelölje $t = 5 – (3^(x)+1)^(2)$, ahol -∞≤t≤4. Így a probléma a $y = \log_(0,5)(t)$ függvény értékkészletének megtalálására a (-∞;4) sugáron redukálódik. Mivel a $y = \log_(0,5)(t)$ függvény csak t > 0 esetén van definiálva, a sugáron lévő értékkészlete (-∞;4) egybeesik a függvény értékkészletével. függvény a (0;4) intervallumon, amely a sugár (-∞;4) metszéspontja a logaritmikus függvény definíciós tartományával (0;+∞). A (0;4) intervallumon ez a függvény folyamatos és csökkenő. t > 0 esetén +∞, t = 4 esetén pedig -2 értéket vesz fel, tehát E(y) = (-2, +∞).

Egy függvény grafikus ábrázolásán alapuló technikát használunk.

A függvény transzformációi után a következőt kapjuk: y 2 + x 2 = 25, és y ≥ 0, |x| ≤ 5.

Emlékeztetni kell arra, hogy $x^(2)+y^(2)=r^(2)$ az r sugarú kör egyenlete.

E megkötések mellett ennek az egyenletnek a grafikonja a felső félkör, amelynek középpontja az origóban van, és a sugár egyenlő 5-tel. Nyilvánvaló, hogy E(y) = .

Válasz: E(y) = .

Hivatkozások

A benne lévő funkciók köre HASZNÁLJON feladatokat, Minyuk Irina Borisovna

Tippek a függvényértékek készletének megtalálásához, Belyaeva I., Fedorova S.

A függvényértékek halmazának megkeresése

Hogyan lehet matematikai problémákat megoldani a felvételi vizsgákon, I. I. Melnikov, I. N. Szergejev

A funkció a modell. Definiáljuk X-et egy független változó értékeinek halmazaként // a független bármely.

A függvény egy olyan szabály, amellyel az X halmaz független változójának minden értékéhez megtalálhatjuk a függő változó egyetlen értékét. // azaz minden x-re van egy y.

A definícióból következik, hogy két fogalom létezik - egy független változó (amit x-szel jelölünk, és tetszőleges értéket vehet fel) és egy függő változó (amit y-val vagy f-vel (x) jelölünk, és a függvényből számítjuk ki, amikor behelyettesítjük x).

PÉLDA y=5+x

1. Független x, tehát tetszőleges értéket veszünk fel, legyen x = 3

2. és most kiszámítjuk az y-t, tehát y \u003d 5 + x \u003d 5 + 3 \u003d 8. (y függ x-től, mert ami x-et behelyettesítjük, olyan y-t kapunk)

Azt mondjuk, hogy az y változó funkcionálisan függ az x változótól, és ezt a következőképpen jelöljük: y = f (x).

PÉLDÁUL.

1.y=1/x. (hiperbolának hívják)

2. y=x^2. (úgynevezett parabola)

3.y=3x+7. (úgynevezett egyenes)

4. y \u003d √ x. (a parabola ágának nevezik)

A független változót (amelyet x-szel jelölünk) a függvény argumentumának nevezzük.

Funkció hatóköre

Az összes érték halmazát, amelyet egy függvényargumentum felvesz, a függvény tartományának nevezzük, és D(f) vagy D(y) jelöli.

Tekintsük D(y)-t 1.,2.,3.,4-re.

1. D (y)= (∞; 0) és (0;+∞) //a valós számok teljes halmaza a nulla kivételével.

2. D (y) \u003d (∞; +∞) / / az összes valós szám

3. D (y) \u003d (∞; +∞) / / az összes valós szám

4. D (y) \u003d)