Polinomok - Módszertani útmutató. Önálló megoldási feladatok

Meghatározás 3.3. egytagú olyan kifejezésnek nevezzük, amely számok, változók és hatványok természetes kitevőjű szorzata.

Például az egyes kifejezések
,
egy monom.

Azt mondják, hogy a monomiálisnak van standard nézet , ha eleve csak egy numerikus tényezőt tartalmaz, és benne azonos változók minden szorzata egy fokkal van ábrázolva. A szabványos formában írt monom numerikus tényezőjét ún monomiális együttható . A monom mértéke az összes változójának kitevőinek összege.

Meghatározás 3.4. polinom monomiálisok összegének nevezzük. A polinomot alkotó monomokat úna polinom tagjai .

Hasonló kifejezéseket - a polinomban lévő monomokat - nevezzük a polinom hasonló tagjai .

Meghatározás 3.5. Szabványos alakú polinom polinomnak nevezzük, amelyben minden tag szabványos formában van írva, és hasonló kifejezéseket adunk meg.A standard alakú polinom foka Nevezze meg monomjai közül a legnagyobb hatványt.

Például a 4. fokozat standard alakjának polinomja.

Műveletek monomokon és polinomokon

A polinomok összege és különbsége átalakítható standard alakú polinommá. Ha két polinomot adunk össze, akkor az összes tagját felírjuk, és hasonló kifejezéseket adunk meg. Kivonáskor a kivonandó polinom összes tagjának előjele megfordul.

Például:

A polinom tagjai csoportokra oszthatók és zárójelek közé tehetők. Mivel ez a transzformáció azonos a zárójelek kiterjesztésével, a következőket állapítjuk meg: zárójel szabály: ha a zárójelek elé pluszjelet teszünk, akkor a zárójelben lévő összes kifejezést a jeleivel együtt írjuk; ha a zárójelek elé mínusz jelet teszünk, akkor minden zárójelbe tett kifejezést ellentétes előjellel írunk.

Például,

Polinom polinommal való szorzásának szabálya: egy polinom egy polinommal való szorzásához elegendő az egyik polinom minden tagját megszorozni a másik polinom minden tagjával, és összeadni a kapott szorzatokat.

Például,

Meghatározás 3.6. Polinom egy változóban fokon a forma kifejezésének nevezzük

Ahol
- bármilyen hívott szám polinomiális együtthatók , és
,egy nem negatív egész szám.

Ha
, akkor az együttható hívott a polinom vezető együtthatója
, monomiális
- övé rangidős, korelnök , együttható – ingyenes tag .

Ha változó helyett polinomba
helyettesítsünk valós számmal , akkor az eredmény egy valós szám
, ami az úgynevezett polinom érték
nál nél
.

Meghatározás 3.7. Szám hívottpolinom gyök
, Ha
.

Tekintsük egy polinom polinommal való osztását, ahol
És - egész számok. Az osztás akkor lehetséges, ha az osztható polinom foka
nem kisebb, mint az osztópolinom foka
, vagyis
.

Polinom felosztása
polinomhoz
,
, két ilyen polinom megtalálását jelenti
És
, nak nek

Ugyanakkor a polinom
fokon
hívott hányados polinom ,
– maradék ,
.

Megjegyzés 3.2. Ha osztó
–nem nullpolinom, akkor osztás
tovább
,
, mindig megvalósítható, és a hányados és a maradék egyedileg meghatározott.

Megjegyzés 3.3. Abban az esetben, ha
mindenkinek , vagyis

mondjuk ez egy polinom
teljesen megosztott(vagy megosztani)polinomhoz
.

A polinomok felosztása a többértékű számok felosztásához hasonlóan történik: először az osztható polinom felső tagját elosztjuk az osztópolinom idősebb tagjával, majd ezen tagok osztásának hányadosával, amely lesz a felső tag. hányados polinomból, megszorozzuk az osztópolinommal, és a kapott szorzatot kivonjuk az osztható polinomból. Ennek eredményeként egy polinomot kapunk - az első maradékot, amelyet ugyanúgy elosztunk az osztópolinommal, és megtaláljuk a hányados polinom második tagját. Ezt a folyamatot addig folytatjuk, amíg nulla maradékot nem kapunk, vagy a maradék polinom foka kisebb, mint az osztópolinom foka.

Ha egy polinomot osztunk binomimmal, használhatjuk a Horner-sémát.

Horner séma

Legyen szükséges a polinom felosztása

binomiálissá
. Jelölje polinomként az osztás hányadosát

a maradék pedig az . Jelentése , polinomok együtthatói
,
és a maradék a következő formában írjuk:

Ebben a sémában az egyes együtthatók
,
,
, …,az alsó sor előző számából kapjuk meg a számmal való megszorzással és a kapott eredményhez hozzáadjuk a kívánt együttható feletti felső sor megfelelő számát. Ha bármilyen végzettség hiányzik a polinomból, akkor a megfelelő együttható nullával egyenlő. Miután meghatároztuk az együtthatókat a fenti séma szerint, felírjuk a hányadost

és az osztás eredménye, ha
,

vagy ,

Ha
,

3.1. Tétel. Annak érdekében, hogy egy redukálhatatlan tört (

,

)volt a polinom gyöke
egész együtthatókkal, szükséges, hogy a szám volt a szabad kifejezés osztója , és a szám - a legmagasabb együttható osztója .

Tétel 3.2. (Bezout tétele ) Maradék polinom felosztásából
binomiálissá
egyenlő a polinom értékével
nál nél
, vagyis
.

Polinom felosztásánál
binomiálissá
egyenlőség van nálunk

Különösen azért igaz
, vagyis
.

Példa 3.2. Oszd el
.

Megoldás. Alkalmazzuk Horner sémáját:

Ennélfogva,

Példa 3.3. Oszd el
.

Megoldás. Alkalmazzuk Horner sémáját:

Ennélfogva,

,

Példa 3.4. Oszd el
.

Megoldás.

Ennek eredményeként azt kapjuk

Példa 3.5. Feloszt
tovább
.

Megoldás. Végezzük el a polinomok oszlopos osztását:

Akkor kapunk

.

Néha hasznos egy polinomot két vagy több polinom egyenlő szorzataként ábrázolni. Az ilyen azonos transzformációt ún egy polinom faktorizálása . Tekintsük az ilyen lebontás főbb módjait.

A közös tényezőt zárójelből kivéve. Ahhoz, hogy egy polinomot a közös tényező zárójelekből való kivetésével faktorizáljunk, a következőkre van szükség:

1) Keresse meg a közös tényezőt. Ehhez, ha a polinom összes együtthatója egész szám, akkor a polinom összes együtthatójának legnagyobb modulo közös osztóját tekintjük a közös tényező együtthatójának, és a polinom összes tagjában szereplő minden változót úgy vesszük a legmagasabb kitevője ebben a polinomban;

2) keresse meg egy adott polinom közös tényezővel való osztásának hányadosát;

3) írja fel a közös tényező és a kapott hányados szorzatát!

tagok csoportosítása. A polinom csoportosítási módszerrel történő faktorokra bontása során tagjait két vagy több csoportra osztják úgy, hogy mindegyik szorzattá alakítható, és a kapott szorzatoknak közös tényezője lenne. Ezt követően az újonnan transzformált tagok közös tényezőjének zárójelbe tételének módszerét alkalmazzuk.

Rövidített szorzóképletek alkalmazása. Azokban az esetekben, amikor a felbontandó polinom faktorizált, bármely rövidített szorzási képlet jobb oldalának alakja, faktorizálása a megfelelő, eltérő sorrendben írt képlet használatával érhető el.

Hadd

, akkor a következők igazak. rövidített szorzóképletek:

Mert :
Ha páratlan ( ):
Newton binomiális: Ahol - kombinációinak száma Által .

Új segédtagok bevezetése. Ez a módszer abból áll, hogy a polinomot egy másik, vele azonos, de eltérő számú tagot tartalmazó polinomra cseréljük úgy, hogy két ellentétes tagot vezetünk be, vagy bármely tagot lecserélünk a vele azonos monomok összegére. A csere úgy történik, hogy a kapott polinomra a tagok csoportosításának módszere alkalmazható.

Példa 3.6..

Megoldás. A polinom minden tagja tartalmaz egy közös tényezőt
. Ennélfogva,.

Válasz: .

Példa 3.7.

Megoldás. Külön csoportosítjuk az együtthatót tartalmazó kifejezéseket , és a tartalmazó tagok . A csoportok közös tényezőit zárójelbe véve a következőket kapjuk:

.

Válasz:
.

Példa 3.8. Tényezősítsünk egy polinomot
.

Megoldás. A megfelelő rövidített szorzási képlet segítségével a következőket kapjuk:

Válasz: .

Példa 3.9. Tényezősítsünk egy polinomot
.

Megoldás. A csoportosítási módszer és a megfelelő rövidített szorzási képlet segítségével a következőket kapjuk:

.

Válasz: .

3.10. példa. Tényezősítsünk egy polinomot
.

Megoldás. Cseréljük tovább
, csoportosítsa a tagokat, alkalmazza a rövidített szorzási képleteket:

.

Válasz:
.

Példa 3.11. Tényezősítsünk egy polinomot

Megoldás. Mert ,
,
, Azt

Az óra témája:

Polinomok egy változóban.

11. évfolyam

Matematika tanár

Kazantseva M.V.

MBOU "110. számú középiskola"

Tekintsük a polinomokat:

2x 2 – 11x +12

– 14x 5 + 3x 2 – 6x+7

x 6 + 11

Ezek a polinomok szabványos formában vannak felírva.

A szabványos polinom nem tartalmaz ilyen kifejezéseket, és a kifejezések hatványai szerint csökkenő sorrendben van megírva.

P(x)= a P x P +a n–1 x n–1 +a n–2 x n–2 +

+… + a 2 x 2 + a 1 x + a 0

Ahol A 0 , A 1 , A 2 …. A P – néhány szám, és A P  0, p 

A P x P – a polinom idősebb tagja

A P – együttható nál nél idősebb

tag

P – polinom foka

A 0 – a polinom szabad tagja

P(x)= a P x P +a n–1 x n–1 +a n–2 x n–2 +

+… + a 2 x 2 + a 1 x + a 0

Ha

A P =1 ,

majd a polinom P (x) - redukált

Példa: x+3; x 5 +3x 2 -4

A P ≠1 ,

majd a polinom P (x) - redukálatlan

Példa: 2x 2 +x; -0,5x 7 +3x 3 -11

1. tétel:

Két polinom ( normál nézet) azonosak, ha hatványaik egyenlőek, és az együtthatók egyenlők x azonos hatványai mellett.

1. feladat

Keresse meg az a és b számokat, ha polinom x 3 + 6x 2 + fejsze + b egyenlő a binomiális kockájával x + 2

Műveletek polinomokkal:

1. Összeadás és kivonás.

Két különböző fokú polinom összeadásakor (kivonásakor) egy olyan polinomot kapunk, amelynek foka megegyezik a rendelkezésre álló fokok közül a legnagyobbkal.

2. feladat

Keresse meg a polinomok összegét!

x+3 és -0,5x 5 +3x 2 -4

Műveletek polinomokkal:

1. Összeadás és kivonás.

Két azonos fokú polinom összeadásakor (kivonásakor) azonos vagy kisebb fokú polinomot kapunk.

3. feladat

Keresse meg az összeget és a különbséget polinomok

2x 3 +3x 2 -x és -2x 3 +3x-4

Műveletek polinomokkal:

2. Műalkotás.

Ha a p(x) polinomnak a legmagasabb m foka, az s(x) polinomnak pedig az n foka, akkor a szorzatuk p(x)∙ s(x) m+n foka.

4. feladat

Keress egy darabot polinomok

x+3 és -0,5x 5 +3x 2 -4

Műveletek polinomokkal:

3. Hatványozás.

Ha egy m fokú p(x) polinomot n fokra emelünk, akkor mn fokú polinomot kapunk.

5. feladat

Polinom emelése

-0,5x 5 +3x 2 -4 négyzet alakú

Műveletek polinomokkal:

4. A polinom osztása polinom.

Ha a p(x) polinom osztható egy nem nulla s(x) polinommal, ha van olyan q(x) polinom, amelyre az azonosság érvényes:

p(x) = s(x) q(x)

p(x) – osztható (vagy többszörös)

s(x) - osztó

q(x) -hányados

Sarokkal való felosztás módja

Polinom felosztása 8x 2 +10x–3 polinomhoz 2x+3

2x+3

– 3

8x 2 +10x–3

–

8x 2 +12x

– 1

4x

– 2x

–

– 2x–3

0

6. feladat

Polinom felosztása 6x 3 +7x 2 – 6x +1 polinomhoz 3x -1

7. feladat

Polinom felosztása x 3 – 3x 2 + 5x - 15 polinomhoz x - 3

8. feladat

Polinom felosztása x 4 + 4 polinomhoz x 2 + 2x + 2

lecke a témában: "A polinom fogalma és meghatározása. A polinom standard alakja"

Kiegészítő anyagok
Kedves felhasználók, ne felejtsék el meghagyni észrevételeiket, visszajelzéseiket, javaslataikat. Az összes anyagot egy vírusirtó program ellenőrzi.

Oktatási segédanyagok és szimulátorok az "Integral" online áruházban a 7. osztály számára
Elektronikus tankönyv a tankönyvről Yu.N. Makarychev
Elektronikus tankönyv a tankönyvről Sh.A. Alimova

Srácok, már tanulmányoztátok a monomokat a következő témakörben: A monom szabványos formája. Definíciók. Példák. Foglaljuk össze az alapvető definíciókat.

Egytagú- számok és változók szorzatából álló kifejezés. A változók természetes hatványra emelhetők. A monom nem tartalmaz más műveletet, kivéve a szorzást.

A monom szabványos formája- egy ilyen forma, amikor az együttható (numerikus tényező) van az első helyen, ezt követi a különböző változók fokozatai.

Hasonló monomok vagy azonos monomiumok, vagy olyan monomiumok, amelyek egy tényezőben különböznek egymástól.

A polinom fogalma

A polinom a monomihoz hasonlóan egy bizonyos típusú matematikai kifejezések általánosított neve. Korábban is találkoztunk már ilyen általánosításokkal. Például: „összeg”, „termék”, „hatványozás”. Amikor „számok különbségét” halljuk, eszünkbe sem jut a szorzás vagy osztás gondolata. Ezenkívül a polinom egy szigorúan meghatározott forma kifejezése.

Polinom definíció

Polinom a monomok összege.

A polinomot alkotó monomokat ún a polinom tagjai. Ha két tag van, akkor binomimmal van dolgunk, ha három, akkor trinomiálissal. Ha több kifejezést mondunk - egy polinom.

Példák polinomokra.

1) 2ab + 4cd (binomiális);

2) 4ab + 3cd + 4x (trinomiális);

3) 4a 2 b 4 + 4c 8 d 9 + 2xy 3;

3c 7 d 8 - 2b 6 c 2 d + 7xy - 5xy 2 .

Nézzük meg közelebbről az utolsó kifejezést. Definíció szerint a polinom a monomok összege, de az utolsó példában nem csak összeadjuk, hanem ki is vonjuk a monomokat.
A tisztázás érdekében nézzünk egy kis példát.

Írjuk fel a kifejezést a + b - c(egyezzünk meg a ≥ 0, b ≥ 0 és c ≥ 0), és válaszoljon a kérdésre: az összeg vagy a különbség? Nehéz megmondani.
Valóban, ha a kifejezést így írjuk át a + b + (-c), két pozitív és egy negatív tag összegét kapjuk.
Ha megnézi a példánkat, akkor pontosan a 3, - 2, 7, -5 együtthatójú monomok összegével állunk szemben. A matematikában van egy "algebrai összeg" kifejezés. Így a polinom definíciója "algebrai összeget" jelent.

De a 3a: b + 7 alak polinommal való rekordja nem azért van, mert a 3a: b nem monomiális.
A 3b + 2a * (c 2 + d) jelölés szintén nem polinom, mivel a 2a * (c 2 + d) nem monomiális. Ha kinyitja a zárójeleket, akkor a kapott kifejezés egy polinom lesz.
3b + 2a * (c 2 + d) = 3b + 2ac 2 + 2ad.

A polinom mértéke tagjainak legmagasabb foka.
Az a 3 b 2 + a 4 polinomnak az ötödik foka van, mivel az a 3 b 2 monom foka 2 + 3 \u003d 5, az a 4 monomié pedig 4.

A polinom standard alakja

Az a polinom, amely nem rendelkezik hasonló tagokkal, és a polinomi tagok fokozatai szerint csökkenő sorrendben van felírva, standard alakú polinom.

A polinom szabványos formára kerül az írás túlzott nehézkességének megszüntetése és a vele végzett további műveletek egyszerűsítése érdekében.

Valóban, miért írjunk például egy hosszú kifejezést 2b 2 + 3b 2 + 4b 2 + 2a 2 + a 2 + 4 + 4, ha rövidebbre is írható, mint 9b 2 + 3a 2 + 8.

A polinom szabványos formába állításához a következőkre lesz szüksége:
1. az összes tagját a szabványos űrlapra hozza,
2. adjunk hozzá hasonló (azonos vagy eltérő numerikus együtthatójú) kifejezéseket. Ezt az eljárást gyakran ún hasonlót hozva.

Példa.
Állítsa be az aba + 2y 2 x 4 x + y 2 x 3 x 2 + 4 + 10a 2 b + 10 polinomot szabványos alakba.

Megoldás.

a 2 b + 2 x 5 y 2 + x 5 y 2 + 10a 2 b + 14 = 11a 2 b + 3 x 5 y 2 + 14.

Határozzuk meg a kifejezést alkotó monomiumok fokszámait, és rendezzük őket csökkenő sorrendbe.
11a 2 b harmadfokú, 3 x 5 y 2 hetedfokú, 14 nulla fokozatú.
Tehát az első helyre 3 x 5 y 2-t (7. fok), a másodikba - 12a 2 b-t (3. fok), a harmadikba - 14-et (nulla fok) teszünk.
Ennek eredményeként egy 3x 5 y 2 + 11a 2 b + 14 standard alakú polinomot kapunk.

Példák önmegoldásra

Hozd a polinomokat szabványos alakba.

1) 4b 3 aa - 5x 2 y + 6ac - 2b 3 a 2 - 56 + ac + x 2 y + 50 * (2 a 2 b 3 - 4x 2 y + 7ac - 6);

2) 6a 5 b + 3x 2 y + 45 + x 2 y + ab - 40 * (6a 5 b + 4xy + ab + 5);

3) 4ax 2 + 5bc - 6a - 24bc + xx 4 x (5ax 6 - 19bc - 6a);

4) 7abc 2 + 5acbc + 7ab 2 - 6bab + 2cabc (14abc 2 + ab 2).

Levelező iskola 7. évfolyam. 2. számú feladat.

Módszertani kézikönyv 2. sz.

Témák:

Polinomok. Polinomok összege, különbsége és szorzata;

Egyenletek és feladatok megoldása;

Polinomok faktorizálása;

Rövidített szorzóképletek;

Önálló megoldási feladatok.

Polinomok. Polinomok összege, különbsége és szorzata.

Meghatározás. polinom monomok összegének nevezzük.

Meghatározás. A polinomot alkotó monomokat ún a polinom tagjai.

Egy monom szorzata polinommal .

Egy monomi polinommal való szorzásához meg kell szorozni ezt a monomot a polinom minden tagjával, és össze kell adni a kapott szorzatokat.

Polinom szorzása polinommal .

Egy polinom egy polinommal való szorzásához meg kell szorozni az egyik polinom minden tagját a másik polinom minden tagjával, és össze kell adni a kapott szorzatokat.

Példák a feladatok megoldására:

Egyszerűsítse a kifejezést:

Megoldás.

Megoldás:

Mivel a feltétel szerint az együttható at akkor nullának kell lennie

Válasz: -1.

Egyenletek és feladatok megoldása.

Meghatározás . Változót tartalmazó egyenlőséget nevezünk egy változó egyenlet vagy egyenlet egy ismeretlennel.

Meghatározás . Az egyenlet gyöke (az egyenlet megoldása) annak a változónak az értéke, amelynél az egyenlet valódi egyenlőséggé válik.

Egy egyenlet megoldása egy gyökérhalmaz megtalálását jelenti.

Meghatározás. Típusegyenlet
, Ahol x változó, a És b - néhány számot egy változós lineáris egyenletnek nevezünk.

Meghatározás.

Egy csomó A lineáris egyenlet gyökerei:

Példák problémamegoldásra:

A megadott 7-es szám az egyenlet gyöke:

Megoldás:

Tehát x=7 az egyenlet gyöke.

Válasz: Igen.

Oldja meg az egyenleteket:

Megoldás:
Válasz: -12		Válasz: -0,4

A mólótól 12 km/h-s sebességgel indult el egy hajó a város felé, majd fél óra múlva egy gőzhajó 20 km/h-s sebességgel indult el ebbe az irányba. Mekkora a távolság a mólótól a városig, ha a gőzös 1,5 órával korábban érkezett a városba, mint a hajó?

Megoldás:

Legyen x a kikötő és a város távolsága.

	Sebesség (km/h)	Idő (h)	Út (km)
Hajó
gőzös

A probléma állapotától függően a hajó 2 órával több időt töltött, mint a gőzös (mivel a gőzös fél órával később hagyta el a mólót és 1,5 órával korábban ért a városba, mint a hajó).

Készítsük el és oldjuk meg az egyenletet:

60 km - a távolság a mólótól a városig.

Válasz: 60 km.

A téglalap hosszát 4 cm-rel csökkentjük, és négyzetet kapunk, amelynek területe 12 cm²-rel kisebb, mint a téglalap területe. Keresse meg a téglalap területét.

Megoldás:

Legyen x a téglalap oldala.

	Hossz	Szélesség	Négyzet
Téglalap			x(x-4)
Négyzet			(x-4) (x-4)

A probléma feltétele szerint egy négyzet területe 12 cm²-rel kisebb, mint egy téglalap területe.

Készítsük el és oldjuk meg az egyenletet:

7 cm a téglalap hossza.

(cm²) a téglalap területe.

Válasz: 21 cm².

A turisták három napja haladtak a tervezett útvonalon. Az első napon a tervezett útvonal 35%-át tettek meg, a másodikon - 3 km-rel többet, mint az elsőn, a harmadikon pedig - a maradék 21 km-t. Mekkora az útvonal hossza?

Megoldás:

Legyen x a teljes útvonal hossza.

	1 nap	2 nap	3 nap
Úthossz		0,35x+3
Az út teljes hossza x km volt.

Így összeállítjuk és megoldjuk az egyenletet:

0,35x+0,35x+21=x

0,7x+21=x

0,3x=21

A teljes útvonal 70 km hosszan.

Válasz: 70 km.

Polinomok faktorizálása.

Meghatározás . Egy polinomnak két vagy több polinom szorzataként való ábrázolását faktorizációnak nevezzük.

A közös tényezőt zárójelből kivéve .

Példa :

Csoportosítási módszer .

A csoportosítást úgy kell végezni, hogy minden csoportnak legyen egy közös tényezője, ráadásul az egyes csoportokban a közös tényező zárójelből való kiemelése után a kapott kifejezéseknek is közös tényezővel kell rendelkezniük.

Példa :

Rövidített szorzóképletek.

Két kifejezés különbségének és összegének szorzata egyenlő e kifejezések négyzeteinek különbségével.

Két kifejezés összegének négyzete egyenlő az első kifejezés négyzetével, plusz az első és a második kifejezés szorzatának kétszerese, plusz a második kifejezés négyzete. megoldásokat. 1. Osztáskor keresse meg a maradékot polinom x6 - 4x4 + x3 ... nem rendelkezik döntéseket, A döntéseket a második az (1; 2) és (2; 1) párok. Válasz: (1; 2) , (2; 1). Feladatok Mert független megoldásokat. Oldja meg a rendszert...

• Példaértékű algebrai tanterv és az elemzés kezdetei 10-11. osztály számára (profilszint) Magyarázó megjegyzés

  Program

  Minden bekezdés megadja a kívánt számot feladatokat Mert független megoldásokat a komplexitás növekedésének sorrendjében. ... dekompozíciós algoritmus polinom a binomiális hatványaiban; polinomokösszetett együtthatókkal; polinomok igazival...

• Választható kurzus „Nem szabványos feladatok megoldása. 9. osztály „Matektanár végezte

  választható tárgy

  Az egyenlet ekvivalens a Р(х) = Q(X) egyenlettel, ahol Р(х) és Q(x) néhány polinomok egy x változóval Q(x) balra mozgatása... = . VÁLASZ: x1=2, x2=-3, xs=, x4=. FELADATOK FOR FÜGGETLEN MEGOLDÁSOK. Oldja meg a következő egyenleteket: x4 - 8x...

• Választható program matematikából 8. évfolyamnak

  Program

  Algebra tétel, Vieta tétel Mert négyzet trinomikus és Mert polinom tetszőleges fokozat, a racionális tétel... cucc. Nem csak a lista feladatokat Mert független megoldásokat, hanem a sweep modell elkészítésének feladata is...