Az a egyenes metszi a két metsző egyenes egyikét. A vonalak típusai

az l1 és l2 egyeneseket metszőnek nevezzük, ha nem egy síkban fekszenek. Legyen a és b ezen egyenesek irányvektorai, az M1 és M2 pont pedig az l1 és l2 egyenesekhez tartozik.

Ekkor az a, b, M1M2> vektorok nem egysíkúak, ezért vegyes szorzatuk nem egyenlő nullával, azaz (a, b, M1M2>) =/= 0. Ez fordítva is igaz: ha (a, b, M1M2> ) =/= 0, akkor az a, b, M1M2> vektorok nem egysíkúak, következésképpen az l1 és l2 egyenesek nem egy síkban fekszenek, azaz metszik egymást. Így két egyenes metszi egymást, ha ill. csak akkor, ha feltétel(a, b, M1M2>) =/= 0, ahol a és b az egyenesek irányvektorai, M1 és M2 pedig az adott egyenesekhez tartozó pontok. Az (a, b, M1M2>) = 0 feltétel szükséges és elégséges feltétele annak, hogy az egyenesek egy síkban feküdjenek. Ha az egyeneseket kanonikus egyenleteik adják

akkor a = (a1; a2; a3), b = (b1; b2; b3), M1 (x1; y1; z1), M2 (x2; y2; z2) és a (2) feltétel a következőképpen íródik:

A metsző vonalak közötti távolság

ez a távolság az egyik ferde vonal és a vele párhuzamos, a másik egyenesen átmenő sík között. A ferde vonalak távolsága az egyik ferde vonal valamely pontjától a másik egyenesen átmenő síkig terjedő távolság. az első sor.

26. Ellipszis definíciója, kanonikus egyenlet. A kanonikus egyenlet levezetése. Tulajdonságok.

Az ellipszis egy síkban található azon pontok helye, amelyeknél a sík két fókuszált F1 és F2 pontja távolságának összege, amelyet fókusznak nevezünk, állandó érték. Ez nem zárja ki az ellipszis fókuszpontjainak egybeesését. koordináta olyan rendszer, amelynél az ellipszist az egyenlet (az ellipszis kanonikus egyenlete) írja le:

Olyan ellipszist ír le, amelynek középpontja az origóban van, és amelynek tengelyei egybeesnek a koordinátatengelyekkel.

Ha a jobb oldalon van egy mínuszjelű egység, akkor a kapott egyenlet:

képzeletbeli ellipszist ír le. Egy ilyen ellipszist nem lehet valós síkban ábrázolni, jelöljük a fókuszokat F1-nek és F2-nek, a köztük lévő távolságot pedig 2c-vel, az ellipszis tetszőleges pontjától a fókuszpontokig mért távolságok összegét pedig 2a-val.

Az ellipszis egyenlet levezetéséhez az Oxy koordinátarendszert választjuk úgy, hogy az F1 és F2 fókuszok az Ox tengelyen helyezkedjenek el, és a koordináták origója egybeessen az F1F2 szakasz közepével. Ekkor a fókuszpontok a következő koordinátákkal rendelkeznek: u Legyen M(x; y) az ellipszis tetszőleges pontja. Ekkor az ellipszis definíciója szerint, i.e.

Ez valójában egy ellipszis egyenlete.

27. Hiperbola definíciója, kanonikus egyenlet. A kanonikus egyenlet levezetése. Tulajdonságok

A hiperbola egy síkban lévő pontok lokusza, amelyre a sík két rögzített pontja F1 és F2 távolsága közötti különbség abszolút értéke állandó. Legyen M(x;y) tetszőleges pont a hiperbola. Ekkor a hiperbola definíciója szerint |MF 1 – MF 2 |=2a vagy MF 1 – MF 2 =±2a,

28. Parabola definíciója, kanonikus egyenlet. A kanonikus egyenlet levezetése. Tulajdonságok. A parabola egy olyan sík GMT-értéke, amelynél a sík valamely rögzített F pontjának távolsága megegyezik valamely rögzített egyenes távolságával, amely szintén a vizsgált síkban található. F a parabola fókusza; a rögzített egyenes a parabola irányítója. r=d,

r=; d=x+p/2; (x-p/2) 2 +y 2 = (x+p/2) 2; x 2 -xp + p 2 / 4 + y 2 \u003d x 2 + px + p 2 / 4; y 2 =2px;

Tulajdonságok: 1. A parabolának van egy szimmetriatengelye (a parabola tengelye); 2.Minden

a parabola az Oxy-sík jobb oldali félsíkjában p>0-nál, a bal oldalon található

ha p<0. 3.Директриса параболы, определяемая каноническим уравнением, имеет уравнение x= -p/2.

"

Ha a térben két egyenesnek van közös pontja, akkor azt mondjuk, hogy ez a két egyenes metszi egymást. A következő ábrán az a és b egyenesek az A pontban metszik egymást. Az a és c egyenesek nem metszik egymást.

Bármely két egyenesnek vagy csak egy közös pontja van, vagy nincs közös pontja.

Párhuzamos vonalak

A térben lévő két egyenest párhuzamosnak nevezzük, ha egy síkban fekszenek és nem metszik egymást. A párhuzamos vonalak kijelöléséhez használjon speciális ikont - ||.

Az a||b jelölés azt jelenti, hogy az a egyenes párhuzamos a b egyenessel. A fenti ábrán az a és c egyenesek párhuzamosak.

Párhuzamos egyenes tétel

A tér bármely pontján, amely nem egy adott egyenesen fekszik, az adott egyenessel párhuzamos egyenes halad át, ráadásul csak egy.

Keresztezett vonalak

Két, ugyanabban a síkban fekvő egyenes metszi egymást vagy párhuzamos lehet. De a térben két egyenesnek nem kell ugyanahhoz a síkhoz tartoznia. Két különböző síkban helyezkedhetnek el.

Nyilvánvaló, hogy a különböző síkban elhelyezkedő egyenesek nem metszik egymást, és nem párhuzamos egyenesek. Két olyan egyenest nevezünk, amelyek nem esnek ugyanabban a síkban keresztező vonalak.

A következő ábrán két egymást metsző a és b egyenes látható, amelyek különböző síkban helyezkednek el.

Előjel és a ferde vonalak tétele

Ha a két egyenes közül az egyik egy bizonyos síkban fekszik, és a másik egyenes egy olyan pontban metszi ezt a síkot, amely nem az első egyenesen fekszik, akkor ezek az egyenesek ferdeek.

Egyenes keresztezési tétel: a két egymást metsző egyenesen a másik egyenessel párhuzamos sík halad át, ráadásul csak egy.

Így megvizsgáltuk a vonalak térbeli kölcsönös elrendezésének minden lehetséges esetét. Csak három van belőlük.

1. A vonalak metszik egymást. (Azaz egyetlen közös pontjuk van.)

2. Az egyenesek párhuzamosak. (Azaz nincs közös pontjuk, és egy síkban fekszenek.)

3. Az egyenesek metszik egymást. (Azaz különböző síkban helyezkednek el.)

Tétel. Ha egy egyenes egy adott síkban fekszik, és egy másik egyenes ezt a síkot olyan pontban metszi, amely nem tartozik az első egyeneshez, akkor ez a két egyenes metszi egymást. A metsző vonalak jele Bizonyítás. Legyen az a vonal egy síkban, és a b egyenes metsze a síkot egy olyan B pontban, amely nem tartozik az a egyeneshez. Ha az a és b egyenesek ugyanabban a síkban fekszenek, akkor a B pont is ebben a síkban feküdne. Mivel csak egy sík halad át az egyenesen és egy pont ezen az egyenesen kívül, ennek a síknak síknak kell lennie. De akkor a b egyenes egy síkban feküdne, ami ellentmond a feltételnek. Ezért az a és b egyenesek nem fekszenek ugyanabban a síkban, azaz. fajtákat keresztez.

Hány olyan ferde vonalpár van, amely egy szabályos háromszög prizma éleit tartalmazza? Megoldás: Minden alapélhez három él metszi egymást. Minden oldalélhez két él metszi egymást. Ezért a ferde vonalpárok kívánt száma az 5. gyakorlat

Hány olyan ferde vonalpár van, amely egy szabályos hatszögletű prizma éleit tartalmazza? Megoldás: Minden alapél 8 pár metsző egyenesben vesz részt. Mindegyik oldalél 8 pár metsző egyenesben vesz részt. Ezért a ferde vonalpárok kívánt száma a 6. gyakorlat

Előadás: Metsző, párhuzamos és ferde vonalak; vonalak merőlegessége

metsző vonalak

Ha több egyenes van a síkon, akkor előbb-utóbb vagy tetszőlegesen, vagy derékszögben metszik egymást, vagy párhuzamosak lesznek. Vessünk egy pillantást az egyes esetekre.

A metsző egyenesek azok az egyenesek, amelyeknek legalább egy metszéspontja van.

Felmerülhet a kérdés, hogy legalább egy egyenes miért nem metszi egymást kétszer vagy háromszor. Igazad van! De a vonalak teljesen egybeeshetnek egymással. Ebben az esetben végtelen számú közös pont lesz.

Párhuzamosság

Párhuzamos meg lehet nevezni azokat a vonalakat, amelyek soha nem metszik egymást, még a végtelenben sem.

Más szóval, párhuzamosak azok, amelyeknek nincs egyetlen közös pontjuk. Kérjük, vegye figyelembe, hogy ez a meghatározás csak akkor érvényes, ha az egyenesek ugyanabban a síkban vannak, de ha nincs közös pontjuk, különböző síkban vannak, akkor metszőnek tekintjük őket.

Példák párhuzamos vonalakra az életben: a monitor képernyőjének két ellentétes széle, vonalak a notebookokban, valamint sok más négyzet, téglalap és egyéb formájú rész.

Ha írásban akarják megmutatni, hogy az egyik egyenes párhuzamos a másodikkal, akkor a következő a||b jelölést kell használni. Ez a jelölés azt mondja, hogy az a egyenes párhuzamos a b egyenessel.

A téma tanulmányozásakor fontos megérteni még egy állítást: a sík egy olyan pontján keresztül, amely nem tartozik egy adott egyeneshez, egyetlen párhuzamos egyenes húzható. De figyelj, a korrekció ismét a gépen van. Ha a háromdimenziós teret vesszük figyelembe, akkor végtelen számú vonalat lehet rajzolni, amelyek nem metszik egymást, hanem metszik egymást.

A fent leírt állítást ún párhuzamos egyenesek axiómája.

Függőlegesség

Közvetlen vonalak csak akkor hívhatók meg, ha merőleges ha 90 fokos szögben metszik egymást.

A térben az egyenes egy bizonyos pontján keresztül végtelen számú merőleges egyenes húzható. Ha azonban síkról beszélünk, akkor az egyenes egy pontján keresztül egyetlen merőleges egyenest húzhatunk.

Keresztezett vonalak. Metsző

Ha egyes egyenesek egy ponton tetszőleges szögben metszik egymást, akkor hívhatók keresztezés.

Minden ferde vonalnak van függőleges és szomszédos szöge.

Ha a két metsző egyenes által alkotott szögek egyik oldala közös, akkor szomszédosnak nevezzük őket:

A szomszédos szögek 180 fokosak.