Tekintsük a sokszöget, hogy milyen alakzatokra van felosztva. szabályos sokszög

Mi az a sokszög? A sokszögek típusai. POLYGON, lapos geometriai alakzat, amelynek három vagy több oldala három vagy több pontban (csúcsban) metszi egymást. Meghatározás. A sokszög minden oldalról zárt szaggatott vonallal határolt geometriai alakzat, amely három vagy több szakaszból (linkből) áll. A háromszög határozottan sokszög. A sokszög olyan alakzat, amelynek öt vagy több sarka van.

Meghatározás. A négyszög egy lapos geometriai alakzat, amely négy pontból (a négyszög csúcsaiból) és négy sorosan összekötő szakaszból (a négyszög oldalaiból) áll.

A téglalap olyan négyszög, amelynek minden derékszöge van. Az oldalak vagy csúcsok száma szerint nevezik el őket: TRIANGLE (háromoldalú); NÉGYSZÖG (négyoldalas); PENTAGON (ötoldalas) stb. Az elemi geometriában M. oldalnak nevezett egyenesekkel határolt alak. Azokat a pontokat, ahol az oldalak metszik, csúcsoknak nevezzük. Egy sokszögnek több mint három sarka van. Tehát elfogadták vagy megegyeztek.

A háromszög háromszög. És a négyszög szintén nem sokszög, és nem is nevezik négyszögnek - ez vagy négyzet, vagy rombusz, vagy trapéz. Az a tény, hogy a három oldalú és három sarkú sokszög saját "háromszög" elnevezéssel rendelkezik, nem fosztja meg sokszög státuszától.

Nézze meg, mi a "POLYGON" más szótárakban:

Megtudjuk, hogy ezt az ábrát egy zárt szaggatott vonal határolja, ami viszont lehet egyszerű, zárt. Beszéljünk arról, hogy a sokszögek laposak, szabályosak, konvexek. Ki ne hallott volna a titokzatos Bermuda-háromszögről, ahol hajók és repülők tűnnek el nyomtalanul? De a gyermekkorunkból ismerős háromszög sok érdekes és titokzatos dologgal tele van.

Bár természetesen a három szögből álló figura is sokszögnek tekinthető

De ez nem elég az alak jellemzéséhez. Az A1A2…An szaggatott vonal az A1,A2,…An pontokból és az ezeket összekötő A1A2, A2A3,… szakaszokból álló ábra. Egy egyszerű zárt szaggatott vonalat sokszögnek nevezünk, ha szomszédos láncszemei ​​nem ugyanazon az egyenesen fekszenek (5. ábra). A „sokszög” szóban a „sok” rész helyett írjon be egy adott számot, például 3. Egy háromszöget kap. Vegyük észre, hogy annyi szög van, ahány oldal, ezért ezeket az ábrákat nyugodtan nevezhetjük többoldalúnak.

Legyen А1А2…А n egy adott konvex sokszög és n>3. Rajzolj bele (egy csúcsból) átlókat

Mindegyik háromszög szögeinek összege 1800, és ezeknek a háromszögeknek a száma n - 2. Ezért egy konvex n - gon A1A2 ... A n szögeinek összege 1800 * (n - 2). A tétel bizonyítást nyert. Egy konvex sokszög külső szöge egy adott csúcsban a sokszögnek az adott csúcsban lévő belső szögével szomszédos szög.

Egy négyszögben húzz egy vonalat úgy, hogy az három háromszögre osztja

Egy négyszögnek soha nincs három csúcsa ugyanazon az egyenesen. A "sokszög" szó azt jelzi, hogy ennek a családnak minden figurájának "sok sarka" van. A szaggatott vonalat egyszerűnek nevezzük, ha nincsenek önmetszéspontjai (2,3. ábra).

A szaggatott vonal hossza a láncszemei ​​hosszának összege (4. ábra). n=3 esetben a tétel igaz. Tehát a négyzetet másképp nevezhetjük - szabályos négyszögnek. Az ilyen figurák régóta érdeklik az épületeket díszítő mestereket.

A csúcsok száma megegyezik az oldalak számával. A szaggatott vonalat zártnak nevezzük, ha végei egybeesnek. Tőlük szerezték be gyönyörű minták pl parkettára. Ötágú csillagunk szabályos ötszögletű csillag.

De nem minden szabályos sokszög használható parketta kialakítására. Nézzünk meg közelebbről kétféle sokszöget: egy háromszöget és egy négyszöget. Szabályos sokszögnek nevezzük azt a sokszöget, amelyben minden belső szög egyenlő. A sokszögeket oldalai vagy csúcsai száma alapján nevezik el.

Ebben a leckében egy új témát indítunk, és egy új fogalmat vezetünk be számunkra - egy "sokszöget". Megnézzük a sokszögekhez kapcsolódó alapfogalmakat: oldalak, csúcsok, sarkok, konvexitás és nem-konvexitás. Aztán bebizonyítjuk legfontosabb tényeket mint például a sokszög belső szögösszeg tétele, a sokszög külső szögösszeg tétele. Ennek eredményeként közel kerülünk a sokszögek speciális eseteinek tanulmányozásához, amelyekre a jövőbeni leckéken is szó lesz.

Téma: Négyszögek

Tanulság: Sokszögek

A geometria során a geometriai formák tulajdonságait tanulmányozzuk, és már figyelembe vettük a legegyszerűbbeket: a háromszögeket és a köröket. Ugyanakkor tárgyaltuk ezen alakzatok speciális speciális eseteit is, mint például a derékszögű, az egyenlő szárú és a szabályos háromszögek. Itt az ideje, hogy általánosabb és összetettebb formákról beszéljünk - sokszögek.

Különleges tokkal sokszögek már ismerjük – ez egy háromszög (lásd 1. ábra).

Rizs. 1. Háromszög

Már maga a név is hangsúlyozza, hogy ez egy olyan figura, amelynek három sarka van. Ezért be poligon sok lehet belőlük, pl. több mint három. Például rajzoljunk egy ötszöget (lásd 2. ábra), i.e. öt sarkú figura.

Rizs. 2. Pentagon. Konvex sokszög

Meghatározás.Poligon- több pontból (kettőnél több) és az ezeket sorba kötődő szegmensek megfelelő számából álló ábra. Ezeket a pontokat ún csúcsok sokszög és szakaszok - a felek. Ebben az esetben nincs két szomszédos oldal ugyanazon az egyenesen, és nincs két nem szomszédos oldal sem metszi egymást.

Meghatározás.szabályos sokszög egy konvex sokszög, amelyben minden oldal és szög egyenlő.

Bármi poligon két részre osztja a síkot: belső és külső. A belső teret ún poligon.

Más szóval, amikor például egy ötszögről beszélnek, akkor a teljes belső régióját és a határát is jelentik. És a belső területbe beletartozik minden olyan pont is, amely a sokszögön belül található, pl. a pont is az ötszöghöz tartozik (lásd 2. ábra).

A sokszögeket néha n-szögeknek is nevezik, hogy hangsúlyozzák, hogy az általános esetet, amikor valamilyen ismeretlen számú sarkaik (n darab) vannak, mérlegeljük.

Meghatározás. Sokszög kerülete a sokszög oldalai hosszának összege.

Most meg kell ismerkednünk a sokszögek típusaival. Osztva vannak konvexÉs nem domború. ábrán látható sokszög például. A 2. ábra konvex, és a 2. ábrán látható. 3 nem domború.

Rizs. 3. Nem konvex sokszög

1. definíció. Poligon hívott konvex, ha bármelyik oldalán keresztül egyenes vonal húzásakor a teljes poligon ennek a vonalnak csak az egyik oldalán fekszik. nem domború az összes többi sokszögek.

Könnyen elképzelhető, hogy amikor az ötszög bármelyik oldalát meghosszabbítjuk a 1. ábrán. 2 mindez ennek az egyenesnek az egyik oldalán lesz, azaz. ő domború. Ám amikor egyenes vonalat húzunk a négyszögön keresztül az ábrán. 3 már látjuk, hogy két részre osztja, i.e. ő nem domború.

De van egy másik definíció is a sokszög konvexitására.

2. definíció. Poligon hívott konvex ha bármely két belső pontjának kiválasztásakor és egy szakaszhoz kapcsolásakor a szakasz minden pontja egyben a sokszög belső pontja is.

Ennek a definíciónak a használatának demonstrációja látható a szegmensek felépítésének példáján az ábrán. 2. és 3.

Meghatározás. Átlós A sokszög bármely szakasz, amely két nem szomszédos csúcsot köt össze.

A sokszögek tulajdonságainak leírásához két legfontosabb tétel van a szögeikről: konvex sokszög belső szögösszeg tételÉs konvex sokszög külső szögösszeg tétel. Tekintsük őket.

Tétel. Egy konvex sokszög belső szögeinek összegéről (n-gon).

Hol van a szögeinek (oldalainak) száma.

1. bizonyítás. Ábrázoljuk az ábrán. 4 konvex n-szög.

Rizs. 4. Konvex n-szög

Rajzolja le az összes lehetséges átlót a csúcsból. Háromszögekre osztják az n-szöget, mert a sokszög minden oldala egy háromszöget alkot, kivéve a csúcsgal szomszédos oldalakat. Az ábrán jól látható, hogy ezen háromszögek szögeinek összege éppen egyenlő lesz az n-szög belső szögeinek összegével. Mivel bármely háromszög szögeinek összege , akkor egy n-szög belső szögeinek összege:

Q.E.D.

2. bizonyítás. Ennek a tételnek egy másik bizonyítása is lehetséges. Rajzoljunk egy hasonló n-szöget az ábrán. 5 és csatlakoztassa bármelyik belső pontját az összes csúcshoz.

Rizs. öt.

Egy n-szögű partíciót kaptunk n háromszögre (hány oldal, annyi háromszög). Az összes szögük összege egyenlő a sokszög belső szögeinek összegével és a belső pontban lévő szögek összegével, és ez a szög. Nekünk van:

Q.E.D.

Igazolt.

A bizonyított tétel szerint belátható, hogy egy n-szög szögeinek összege függ oldalainak számától (n-en). Például egy háromszögben, és a szögek összege . Egy négyszögben, és a szögek összege - stb.

Tétel. Egy konvex sokszög külső szögeinek összegéről (n-gon).

Hol van a sarkainak (oldalainak) száma, és a , ... a külső sarkok.

Bizonyíték. Rajzoljunk egy konvex n-szöget az ábrán. 6, és jelölje belső és külső szögeit.

Rizs. 6. Konvex n-szög jelölt külső sarkokkal

Mivel a külső sarok szomszédosként kapcsolódik a belsőhöz, majd és hasonlóan más külső sarkokhoz. Azután:

A transzformációk során az n-szög belső szögeinek összegére vonatkozó, már bevált tételt alkalmaztuk.

Igazolt.

A bizonyított tételből az következik Érdekes tény hogy egy konvex n-szög külső szögeinek összege az szögeinek (oldalainak) számáról. Egyébként a belső szögek összegével ellentétben.

Bibliográfia

1. Aleksandrov A.D. stb Geometria, 8. évfolyam. - M.: Oktatás, 2006.
2. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometria, 8. osztály. - M.: Oktatás, 2011.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometria, 8. osztály. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Profmeter.com.ua ().
2. Narod.ru ().
3. Xvatit.com().

Házi feladat

1. § A háromszög fogalma

Ebben a leckében olyan alakzatokkal ismerkedhet meg, mint a háromszög és a sokszög.

Ha három olyan pontot, amelyek nem ugyanazon az egyenesen vannak, szakaszokkal kötünk össze, akkor háromszöget kapunk. A háromszögnek három csúcsa és három oldala van.

Mielőtt Ön egy ABC háromszög, három csúcsa (A pont, B pont és C pont) és három oldala (AB, AC és CB) van.

Egyébként ugyanazokat az oldalakat másképp nevezhetjük:

AB=BA, AC=CA, CB=BC.

A háromszög oldalai három szöget zárnak be a háromszög csúcsaiban. A képen A szög, B szög, C szög látható.

Így a háromszög egy geometriai alakzat, amelyet három szakasz alkot, amelyek három pontot kötnek össze, amelyek nem egy egyenesen helyezkednek el.

2. § A sokszög fogalma és típusai

A háromszögeken kívül vannak négyszögek, ötszögek, hatszögek stb. Egyszóval sokszögnek nevezhetők.

A képen a DMKE négyszög látható.

A D, M, K és E pontok a négyszög csúcsai.

A DM, MK, KE, ED szakaszok ennek a négyszögnek az oldalai. Csakúgy, mint egy háromszög esetében, a négyszög oldalai négy sarkot alkotnak a csúcsoknál, kitaláltad, innen a név - négyszög. Ennél a négyszögnél az ábrán látható a D szög, az M szög, a K szög és az E szög.

Milyen négyszögeket ismersz már?

Négyzet és téglalap! Mindegyiknek négy sarka és négy oldala van.

A sokszög másik típusa az ötszög.

Az O, P, X, Y, T pontok az ötszög csúcsai, a TO, OP, PX, XY, YT szakaszok pedig ennek az ötszögnek az oldalai. Az ötszögnek öt sarka és öt oldala van.

Szerinted egy hatszögnek hány sarka és hány oldala van? Így van, hat! Hasonló módon érvelve megmondhatjuk, hogy egy adott sokszögnek hány oldala, csúcsa vagy szöge van. És arra a következtetésre juthatunk, hogy a háromszög is sokszög, amelynek pontosan három szöge, három oldala és három csúcsa van.

Így ebben a leckében olyan fogalmakkal ismerkedhetett meg, mint a háromszög és a sokszög. Megtudtuk, hogy a háromszögnek 3 csúcsa, 3 oldala és 3 szöge van, a négyszögnek 4 csúcsa, 4 oldala és 4 szöge, az ötszögnek 5 oldala, 5 csúcsa, 5 szöge stb.

A felhasznált irodalom listája:

1. Matematika 5. osztály. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I. és mások, 31. kiadás, ster. - M: 2013.
2. Didaktikai anyagok matematikából 5. évfolyam. Szerző - Popov M.A. - 2013-as év
3. Hiba nélkül számolunk. Önvizsgálati munka matematika 5-6. évfolyamon. Szerző - Minaeva S.S. - 2014-es év
4. Didaktikai anyagok matematikából 5. évfolyam. Szerzők: Dorofeev G.V., Kuznetsova L.V. - 2010
5. Ellenőrző és önálló munkavégzés matematikából 5. évfolyam. Szerzők - Popov M.A. - 2012-es év
6. Matematika. 5. évfolyam: tankönyv. általános iskolai tanulók számára. intézmények / I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich. - 9. kiadás, Sr. - M.: Mnemosyne, 2009

A sík zárt szaggatott vonallal határolt részét sokszögnek nevezzük.

Ennek a szaggatott vonalnak a szakaszait ún a felek poligon. AB, BC, CD, DE, EA (1. ábra) - az ABCDE sokszög oldalai. Egy sokszög összes oldalának összegét nevezzük annak kerülete.

A sokszög ún konvex, ha bármelyik oldalának egyik oldalán helyezkedik el, mindkét csúcson túl korlátlanul kiterjesztve.

Az MNPKO sokszög (1. ábra) nem lesz konvex, mivel a KP egyenes több mint egy oldalán található.

Csak a konvex sokszögeket fogjuk figyelembe venni.

A sokszög két szomszédos oldala által alkotott szögeket sokszögének nevezzük belső sarkai és tetejük - sokszög csúcsai.

A sokszög két nem szomszédos csúcsát összekötő szakaszt a sokszög átlójának nevezzük.

AC, AD - a sokszög átlói (2. ábra).

A sokszög belső sarkaival szomszédos sarkokat a sokszög külső sarkainak nevezzük (3. ábra).

A sokszöget a szögek (oldalak) számától függően háromszögnek, négyszögnek, ötszögnek stb.

Két sokszöget egyenlőnek mondunk, ha egymásra rakhatók.

Beírt és körülírt sokszögek

Ha egy sokszög minden csúcsa egy körön fekszik, akkor a sokszöget hívjuk felírva körbe, és a körbe leírta a sokszög közelében (ábra).

Ha egy sokszög minden oldala érinti a kört, akkor a sokszöget nevezzük leírta a kör körül, és a kört hívják felírva sokszögbe (ábra).

Sokszögek hasonlósága

Két azonos nevű sokszöget hasonlónak nevezünk, ha az egyik szöge egyenlő a másik szögeivel, és a sokszögek hasonló oldalai arányosak.

Az azonos számú oldallal (szögekkel) rendelkező sokszögeket azonos nevű sokszögeknek nevezzük.

A hasonló sokszögek oldalait hasonlónak nevezzük, ha megfelelően egyenlő szögű csúcsokat kötnek össze (ábra).

Tehát például ahhoz, hogy az ABCDE sokszög hasonló legyen az A'B'C'D'E' sokszöghez, szükséges, hogy: E = ∠E' és ezen kívül AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A' .

Hasonló sokszögek kerületi aránya

Először is vegyük figyelembe az egyenlő arányok sorozatának tulajdonságát. Legyünk például relációk: 2 / 1 = 4 / 2 = 6 / 3 = 8 / 4 =2.

Keressük meg ezeknek a relációknak az előző tagjainak összegét, majd - a következő tagjaik összegét és keressük meg a kapott összegek arányát, kapjuk:

$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$

Ugyanezt kapjuk, ha számos más relációt veszünk, például: 2 / 3 = 4 / 6 = 6 / 9 = 8 / 12 = 10 / 15 = 2 / 3, majd megkeressük ezeknek az összegeknek az arányát, kapunk:

$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$

Mindkét esetben egy egyenlő relációsorozat előző tagjainak összege összefügg ugyanazon sorozat következő tagjainak összegével, mivel ezen relációk bármelyikének előző tagja kapcsolódik a következőhöz.

Ezt a tulajdonságot számos numerikus példa figyelembevételével következtettük. Szigorúan és általános formában levezethető.

Most nézzük meg a hasonló sokszögek kerületének arányát.

Legyen az ABCDE sokszög hasonló az A'B'C'D'E' sokszöghez (ábra).

E sokszögek hasonlóságából következik, hogy

AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A'

Az általunk levezetett egyenlő relációk sorozatának tulajdonsága alapján felírhatjuk:

Az általunk felvett összefüggések előző tagjainak összege az első sokszög kerülete (P), ezen relációk következő tagjainak összege pedig a második sokszög kerülete (P '), tehát P / P ' = AB / A'B'.

Következésképpen, a hasonló sokszögek kerületei a megfelelő oldalaikként kapcsolódnak egymáshoz.

Hasonló sokszögek területének aránya

Legyenek ABCDE és A'B'C'D'E' hasonló sokszögek (ábra).

Ismeretes, hogy ΔABC ~ ΔA'B'C' ΔACD ~ ΔA'C'D' és ΔADE ~ ΔA'D'E'.

Kívül,

;

Mivel ezeknek az arányoknak a második arányai egyenlőek, ami a sokszögek hasonlóságából következik, akkor

Az egyenlő arányok sorozatának tulajdonságát felhasználva a következőket kapjuk:

Vagy

ahol S és S' ezeknek a hasonló sokszögeknek a területei.

Következésképpen, a hasonló sokszögek területei a hasonló oldalak négyzeteihez kapcsolódnak.

A kapott képlet a következő alakra konvertálható: S / S '= (AB / A'B') 2

Egy tetszőleges sokszög területe

Legyen szükséges egy tetszőleges ABDC négyszög területének kiszámítása (ábra).

Rajzoljunk bele egy átlót, például AD. Két ABD és ACD háromszöget kapunk, amelyek területeit ki tudjuk számítani. Ezután megtaláljuk e háromszögek területének összegét. A kapott összeg kifejezi az adott négyszög területét.

Ha ki kell számítania egy ötszög területét, akkor ugyanúgy járunk el: átlókat rajzolunk az egyik csúcsból. Három háromszöget kapunk, amelyek területét ki tudjuk számítani. Így megtaláljuk ennek az ötszögnek a területét. Ugyanezt tesszük bármely sokszög területének kiszámításakor.

Sokszög vetítési terület

Emlékezzünk vissza, hogy az egyenes és a sík közötti szög az adott egyenes és a síkra való vetülete közötti szög (ábra).

Tétel. A sokszög síkra merőleges vetületének területe egyenlő a kivetített sokszög területével, megszorozva a sokszög síkja és a vetítési sík által alkotott szög koszinuszával.

Minden sokszög háromszögekre osztható, amelyek területeinek összege megegyezik a sokszög területével. Ezért elegendő a háromszög tételének bizonyítása.

Legyen ΔABC vetítve a síkra R. Tekintsünk két esetet:

a) az egyik ΔABS oldal párhuzamos a síkkal R;

b) egyik ΔABC oldal sem párhuzamos R.

Fontolgat első eset: legyen [AB] || R.

Rajzoljon át az (AB) síkon R 1 || Rés merőlegesen ΔABC-t vetítenek rá R 1 és tovább R(rizs.); ΔABC 1-et és ΔA’B’C’-t kapunk.

A vetületi tulajdonság alapján ΔABC 1 (cong) ΔA’B’C’, ezért

S ∆ ABC1 = S ∆ A'B'C'

Rajzoljuk meg ⊥ és a D 1 C 1 szakaszt. Ekkor ⊥, a \(\overbrace(CD_1C_1)\) = φ az ΔABC sík és a sík közötti szög R egy . Ezért

S ∆ ABC1 = 1 / 2 | AB | | C 1 D 1 | = 1/2 | AB | | CD 1 | cos φ = S ∆ ABC cos φ

és ezért S Δ A'B'C' = S Δ ABC cos φ.

Térjünk át a mérlegelésre második eset. Rajzolj egy síkot R 1 || R azon a ΔАВС csúcson keresztül, amely távolság a síktól R a legkisebb (legyen az A csúcs).

Tervezzük meg az ΔABC-t a síkon R 1 és R(rizs.); vetületei legyenek rendre ΔAB 1 C 1 és ΔA’B’C’.

Legyen (BC) ∩ p 1 = D. Akkor

S Δ A'B'C' = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ

Más anyagok