Kaj pomeni nabor funkcijskih vrednosti. Obseg funkcij (nabor funkcijskih vrednosti)

y = x 3

y=| x|

y=

E( y) = [- 1, 1]

E( y) = (– ∞, + ∞)

E( y) = (– ∞, + ∞)

E( y) = (– ∞, + ∞)

E( y) = (0, + ∞)

Uvedba algoritma za reševanje problemov za iskanje niza vrednosti trigonometričnih funkcij.

Poglejmo, kako lahko svoje izkušnje uporabimo za različne naloge, vključene v možnosti za en sam izpit.

1. Iskanje vrednosti funkcij za dano vrednost argumenta.

Primer. Poiščite vrednost funkcije y = 2 cos(π/2+ π/4 ) – 1, če x = -π/2.

Odločitev.

= –
– 1.

2. Iskanje obsega trigonometričnih funkcij


Odločitev.

1≤ grehX≤ 1

2 ≤ 2 grehX≤ 2

9 ≤ 11+2grehX≤ 13

3 ≤
+2∙ greh x ≤
, tj. E (y) = .

Zapišemo cele vrednosti funkcije na intervalu. Ta številka je 3.

Odgovor: 3.

• 
  Poiščite niz funkcijskih vrednosti pri= greh 2 X+6sin X + 10.

• 
  Poiščite niz funkcijskih vrednosti: pri = greh 2 X - 6 greh x + 8 . (sam)

pri= greh 2 X- 2 3 grehx + 3 2 - 3 2 + 8,

pri= (grehX- 3) 2 -1.

E ( grehX) = [-1;1];

E ( grehX -3) = [-4;-2];

E ( grehX -3) 2 = ;

E ( pri) = .

Odgovor: .

• 
  Poiščite najmanjšo vrednost funkcije pri= cos 2 x+2greh x – 2.

Ali lahko najdemo nabor vrednosti za to funkcijo? (Ne.)

Kaj je treba storiti? (Zmanjšano na eno funkcijo.)

Kako narediti? (Uporabite formulo cos 2 x= 1-greh 2 x.)

torej pri= 1-greh 2 x+2greh x –2,

y= -greh 2 x+2greh x –1,

pri= -(greh x –1) 2 .

No, zdaj lahko najdemo nabor vrednosti in izberemo najmanjšo od njih.

1 ≤ greh x ≤ 1,

2 ≤ greh x – 1 ≤ 0,

0 ≤ (greh x – 1) 2 ≤ 4,

4 ≤ -(greh x -1) 2 ≤ 0.

Torej najmanjša vrednost funkcije pri najeti= -4. Odgovor: -4.

• 
  Poiščite zmnožek največje in najmanjše vrednosti funkcije

Odločitev.

pri= 1-cos 2 x+ cos x + 1,5,

pri= -cos 2 x+ 2∙0,5∙cos x - 0,25 + 2,75,

pri= -(cos x- 0,5) 2 + 2,75.

E (cos x) = [-1;1],

E (cos x – 0,5) = [-1,5;0,5],

E (cos x – 0,5) 2 = ,

E(-(cos x-0,5) 2) = [-2,25;0],

E( pri) = .

Največja vrednost funkcije pri naib= 2,75; najmanjša vrednost pri najeti= 0,5. Poiščimo produkt največje in najmanjše vrednosti funkcije:

pri naib ∙pri najeti = 0,5∙2,75 = 1,375.

Odgovor: 1.375.

Prepišimo funkcijo v obrazec pri =,

pri =
,

Zdaj poiščemo nabor vrednosti funkcije.

E (greh x) = [-1, 1],

E(6sin x) = [-6, 6],

E(6sin x + 1) = [-5, 7],

E((6sin x + 1) 2) = ,

E(– (6 sin x + 1) 2) = [-49, 0],

E(– (6 sin x + 1) 2 + 64) = ,

E( y) = [
, 8].

Poiščimo vsoto celih vrednosti funkcije: 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30.

Odgovor: 30.

1)
tj X spada v prvo četrtletje.

2)

Zato, 2 X spadajo v drugo četrtletje.

3) V drugi četrtini se sinusna funkcija zmanjša in je neprekinjena. Torej ta funkcija
prevzame vse vrednosti iz
prej

4) Izračunajte te vrednosti:

Odgovori :
.

1) Ker ima sinus vrednosti od -1 do 1, potem je nabor vrednosti razlike
. Ko se pomnoži z
ta segment bo šel v segment
.

2) Arkosinus je monotono padajoča in neprekinjena funkcija. Zato je nabor vrednosti izraza segment
.

3) Ko pomnožite ta segment z dobimo
.

odgovor:
.

Ker je tangenta loka naraščajoča funkcija, potem
.

2) Pri povečanju X od
prej argument 2 X poveča od
prej . Ker se sinus na takem intervalu poveča, funkcija
prevzame vrednosti iz
do 1.

3) Pri povečanju od prej
argument 2 X poveča od prej
. Ker se sinus na takšnem intervalu zmanjša, funkcija
prevzame vrednosti iz
do 1.

4) S formulo, ki izraža sinus v smislu tangenta polovičnega kota, ugotovimo, da

.

Zato je želeni niz vrednosti unija segmentov
in
, torej segment
.

odgovor:
.
Ta tehnika (Uvedba pomožnega kota) se uporablja za iskanje niza vrednosti funkcij obrazca

pri= a sin x + b cos x oz pri= greh (Rx) + bcos(Rx).

• 
  Poiščite niz funkcijskih vrednosti

Odločitev.

Poiščimo vrednost
=
= 25.

Preobrazimo izraz

15 sin 2x + 20 cos 2x = 25 (
) = 25 () =

25 greh (2x + ), kjer je cos = , greh =.

Nabor funkcijskih vrednosti y \u003d sin (2x + ): -1 greh (2x + ) 1.

Nato nabor vrednosti prvotne funkcije -25 25 greh (2x + ) 25.

Odgovori: [-25; 25].
3. Naloge za iskanje največje in najmanjše vrednosti funkcije na intervalu.

• 
  Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije pri= ctg X na odseku [π/4; π/2].

Funkcija pri= ctg X pada na odseku [π/4; π/2], zato bo funkcija zavzela najmanjšo vrednost pri x =π/2, tj pri(π/2) = сtg π/2 = 0; in največja vrednost je pri x=π/4, to je pri(π/4) = сtg π/4 = 1.

Odgovor: 1, 0.

Ločeno v enakosti
cel del:.

Iz tega sledi, da je graf funkcije f(x) bodisi hiperbola (а≠ 0) bodisi ravna črta brez točke.

Poleg tega, če a; 2a) in (2a;
) in če je a > 0, monotono narašča na teh žarkih.

Če je a \u003d 0, potem f (x) \u003d -2 v celotni domeni definicije x ≠ 0. Zato je očitno, da želene vrednosti parametra niso enake nič.

Ker nas zanimajo samo vrednosti funkcije na segmentu [-1; 1], potem je razvrstitev situacij določena z dejstvom, da se asimptota x = 2a hiperbole (a≠0) nahaja glede na ta segment.

Primer 1. Vse točke intervala [-1; 1] so desno od navpične asimptote x = 2a, to je, ko je 2a

Primer 2. Navpična asimptota seka interval [-1; 1], funkcija pa se zmanjša (kot v primeru 1), torej ko

Primer 3. Navpična asimptota seka interval [-1; 1] in funkcija narašča, to je -1

.

Primer 4. Vse točke intervala [-1; 1] so levo od navpične asimptote, to je 1 a > . in drugič
Sprejem 4 . Izražanje x v smislu y. (Iskanje domene inverzne funkcije)

Sprejem 5. Poenostavitev formule, ki definira frakcijsko racionalno funkcijo

Sprejem 6. Iskanje niza vrednosti kvadratnih funkcij (z iskanjem vrha parabole in ugotavljanjem narave obnašanja njenih vej).

Sprejem 7. Uvedba pomožnega kota za iskanje niza vrednosti nekaterih trigonometričnih funkcij.

stran 1

Imenuje se odvisnost ene spremenljivke od druge funkcionalna odvisnost. Odvisnost spremenljivke y iz spremenljivke x poklical funkcijo, če je vsaka vrednost x se ujema z eno samo vrednostjo y.

Oznaka:

spremenljivka x imenujemo neodvisna spremenljivka oz prepir in spremenljivka y- odvisen. To pravijo y je funkcija x. Pomen y ki ustreza dani vrednosti x, klical vrednost funkcije.

Vse vrednote, ki jih potrebuje x, oblika obseg funkcije; vse vrednosti, ki jih ima y, oblika niz funkcijskih vrednosti.

Oznake:

D(f)- vrednosti argumentov. E(f)- funkcijske vrednosti. Če je funkcija podana s formulo, potem se šteje, da je domena definicije sestavljena iz vseh vrednosti spremenljivke, za katere je ta formula smiselna.

Funkcijski graf kliče se množica vseh točk na koordinatni ravnini, katerih abscise so enake vrednostim argumenta, ordinate pa so enake ustreznim vrednostim funkcije. Če je kakšna vrednost x=x0 ujemanje z več vrednostmi (ne samo z eno) y, potem takšna korespondenca ni funkcija. Da je množica točk koordinatne ravnine graf neke funkcije, je potrebno in zadostno, da se katera koli ravna črta, vzporedna z osjo Oy, seka z grafom v največ eni točki.

Načini nastavitve funkcije

1) Funkcijo je mogoče nastaviti analitično v obliki formule. na primer

2) Funkcijo je mogoče definirati s tabelo številnih parov (x; y).

3) Funkcijo je mogoče nastaviti grafično. Vrednostni pari (x; y) prikazano na koordinatni ravnini.

Monotonost funkcije

Funkcija f(x) poklical naraščajoče na danem številčnem intervalu, če večja vrednost argumenta ustreza večji vrednosti funkcije. Predstavljajte si, da se določena točka premika vzdolž grafa od leve proti desni. Potem se bo točka nekako "povzpela" na grafikon.

Funkcija f(x) poklical upada na danem številčnem intervalu, če večja vrednost argumenta ustreza manjši vrednosti funkcije. Predstavljajte si, da se določena točka premika vzdolž grafa od leve proti desni. Potem se bo točka tako rekoč "skotalila" po grafikonu.

Pokliče se funkcija, ki se v določenem številčnem intervalu samo povečuje ali zmanjšuje monotono na tem intervalu.

Funkcijske ničle in intervali konstantnosti

Vrednote X, pri katerem y=0, se imenuje ničle funkcije. To so abscise presečišč grafa funkcije z osjo x.

Takšni razponi vrednosti x, na katerem so vrednosti funkcije y se imenujejo samo pozitivni ali samo negativni intervali konstantnosti predznaka funkcije.

Sode in lihe funkcije

Enakomerna funkcija
1) Območje definicije je simetrično glede na točko (0; 0), to je, če je točka a spada v področje definicije, nato pa točka -a spada tudi v področje definicije.
2) Za katero koli vrednost x f(-x)=f(x)
3) Graf sode funkcije je simetričen glede na os Oy.

čudna funkcija ima naslednje lastnosti:
1) Območje definicije je simetrično glede na točko (0; 0).
2) za katero koli vrednost x, ki spada v področje definicije, enakosti f(-x)=-f(x)
3) Graf lihe funkcije je simetričen glede na izvor (0; 0).

Ni vsaka funkcija soda ali liha. Funkcije splošni pogled niso niti sode niti lihe.

Periodične funkcije

Funkcija f se imenuje periodična, če obstaja število, tako da za katero koli x iz domene definicije enakost f(x)=f(x-T)=f(x+T). T je obdobje funkcije.

Vsaka periodična funkcija ima neskončno število obdobij. V praksi se običajno upošteva najmanjše pozitivno obdobje.

Vrednosti periodične funkcije se ponovijo po intervalu, enakem obdobju. To se uporablja pri risanju grafov.

D(f)- tiste vrednosti, ki jih lahko prevzame argument, t.j. obseg funkcije.

E(f)- tiste vrednosti, ki jih funkcija lahko sprejme, t.j. niz funkcijskih vrednosti.

Metode za iskanje obsegov funkcij.

zaporedno iskanje vrednosti kompleksnih funkcijskih argumentov;

metoda točkovanja/meje;

uporaba lastnosti kontinuitete in monotonosti funkcije;

uporaba izpeljanke;

z uporabo največje in najmanjše vrednosti funkcije;

grafična metoda;

metoda uvajanja parametrov;

metoda inverzne funkcije.

Razmislimo o nekaterih od njih.

Uporaba izpeljanke

Splošni pristop najti nabor vrednosti neprekinjene funkcije f(x) je najti največjo in najmanjšo vrednost funkcije f(x) v njeni domeni (ali dokazati, da ena ali obe ne obstajata) .

Če morate najti nabor vrednosti funkcije na segmentu:

poišči izvod dane funkcije f "(x);

poišči kritične točke funkcije f(x) in izberi tiste, ki pripadajo danemu segmentu;

izračunajte vrednosti funkcije na koncih segmenta in na izbranih kritičnih točkah;

med najdenimi vrednostmi izberite najmanjšo in največjo vrednost;

Nabor funkcijskih vrednosti je sklenjen med temi vrednostmi.

Če je obseg funkcije interval, potem se uporablja ista shema, vendar se namesto vrednosti na koncih uporabljajo meje funkcije, ko argument teži k koncem intervala. Mejne vrednosti od niso vključene v nabor vrednosti.

Metoda meja/rezultat

Če želite poiskati nabor vrednosti funkcij, najprej poiščite nabor vrednosti argumentov, nato pa poiščite ustrezne minimalne in največje vrednosti funkcijske funkcije. Uporaba neenakosti - določite meje.

Bistvo je oceniti neprekinjeno funkcijo od spodaj in od zgoraj in dokazati, da funkcija doseže spodnjo in zgornjo mejo ocen. V tem primeru je sovpadanje nabora vrednosti funkcije z intervalom od spodnje meje ocene do zgornje določene z neprekinjenostjo funkcije in odsotnostjo drugih vrednosti zanjo.

Lastnosti neprekinjene funkcije

Druga možnost je pretvorba funkcije v neprekinjeno monotono funkcijo, nato pa se z uporabo lastnosti neenakosti oceni nabor vrednosti na novo pridobljene funkcije.

Zaporedno iskanje vrednosti argumentov kompleksne funkcije

Na podlagi zaporednega iskanja niza vrednosti vmesnih funkcij, ki sestavljajo funkcijo

Obseg osnovnih elementarnih funkcij

Primeri

Poiščite niz funkcijskih vrednosti:

Uporaba izpeljanke

Poiščite domeno definicije: D(f)=[-3;3], ker $9-x^(2)\geq 0$

Poiščite izpeljanko: $f"(x)=-\frac(x)(\sqrt(9-x^(2)))$

f"(x) = 0, če je x = 0. f"(x) ne obstaja, če je $\sqrt(9-x^(2))=0$, tj. za x = ±3. Dobimo tri kritične točke: x 1 = -3, x 2 = 0, x 3 \u003d 3, od katerih dve sovpadata s konci segmenta. Izračunajmo: f(–3) = 0, f(0) = 3, f(3) = 0. Tako je najmanjša vrednost f(x) 0, največja vrednost 3.

Odgovor: E(f) = .

NE uporablja izpeljanke

Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije:

Od $
f(x) = 1-\cos^(2)(x)+\cos(x)-\frac(1)(2) =
= 1-\frac(1)(2)+\frac(1)(4)-(\cos^(2)(x)-2\cdot\cos(x)\cdot\frac(1)(2) +(\frac(1)(2))^2) =
= \frac(3)(4)-(\cos(x)-\frac(1)(2))^(2) $ , potem:

$f(x)\leq \frac(3)(4)$ za vse x;

$f(x)\geq \frac(3)(4)-(\frac(3)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$ za vse x(ker $|\cos (x)|\leq 1$);

$f(\frac(\pi)(3))= \frac(3)(4)-(\cos(\frac(\pi)(3))-\frac(1)(2))^(2 )=\frac(3)(4)$;

$f(\pi)= \frac(3)(4)-(\cos(\pi)-\frac(1)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$;

Odgovor: $\frac(3)(4)$ in $-\frac(3)(2)$

Če to težavo rešite s pomočjo izpeljank, boste morali premagati ovire, povezane z dejstvom, da funkcija f (x) ni definirana na segmentu, temveč na celotni realni črti.

Uporaba metode meje/ocene

Iz definicije sinusa sledi, da je $-1\leq\sin(x)\leq 1$. Nato uporabimo lastnosti numeričnih neenakosti.

$-4\leq - 4\sin(x)\leq 4$, (vse tri dele dvojne neenakosti pomnožimo z -4);

$1\leq 5 - 4\sin(x)\leq 9$ (dodano trem delom dvojne neenakosti 5);

Ker je ta funkcija neprekinjena v celotni domeni definicije, je nabor njenih vrednosti med njeno najmanjšo in največjo vrednostjo v celotni domeni definicije, če obstaja.

V tem primeru je množica vrednosti funkcije $y = 5 - 4\sin(x)$ .

Iz neenakosti $$ \\ -1\leq\cos(7x)\leq 1 \\ -5\leq 5\cos(x)\leq 5 $$ dobimo oceno $$\\ -6\leq y\ leq 6 $ $

Za x = p in x = 0 funkcija prevzame vrednosti -6 in 6, tj. doseže spodnjo in zgornjo mejo. Kot linearna kombinacija neprekinjenih funkcij cos(7x) in cos(x) je funkcija y neprekinjena vzdolž celotne številske osi, tako da zaradi lastnosti neprekinjene funkcije vzame vse vrednosti od -6 do vključno 6 in samo njih, saj so zaradi neenakosti $- 6\leq y\leq 6$ druge vrednosti zanj nemogoče.

Zato je E(y) = [-6;6].

$$ \\ -1\leq\sin(x)\leq 1 \\ 0\leq\sin^(2)(x)\leq 1 \\ 0\leq2\sin^(2)(x)\leq 2 \\ 1\leq1+2\sin^(2)(x)\leq 3 $$ Odgovor: E(f) = .

$$ \\ -\infty< {\rm tg}\, x < +\infty \\ 0 \leq {\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 3 \leq 3+{\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 2^{3} \leq 2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} < +\infty \\ -\infty < -2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -8 \\ -\infty < 3-2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -5 $$ Ответ: E(f) = (–∞; -5].

$$ \\ -\infty< \lg{x} < +\infty \\ 0 \leq \lg^{2}{x} < +\infty \\ -\infty < -\lg^{2}{x} \leq 0 \\ -\infty < 16-\lg^{2}{x} \leq 16 \\ 0 \leq \sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 4 \\ 2 \leq 2+\sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 6 $$ Ответ: E(f) = .

Pretvorimo izraz $$ \\ \sin(x) + \cos(x) = \sin(x) + \sin(\frac(\pi)(2) - x) = \\ 2\sin\left ((\ frac(x + \frac(\pi)(2) - x)(2)) \desno)\cos\left ((\frac(x + \frac(\pi)(2) + x)( 2)) \desno) \\ = 2\sin(\frac(\pi)(4))cos(x +\frac(\pi)(4)) = \sqrt(2)cos(x +\frac( \pi) (4)) $$.

Definicija kosinusa implicira $$ \\ -1\leq\cos(x)\leq 1; \\ -1\leq \cos((x + \frac(\pi)(4)))\leq 1; \\ -\sqrt(2)\leq \sqrt(2)\cos((x +\frac(\pi)(4)))\leq\sqrt(2); $$

Ker je ta funkcija neprekinjena na celotni domeni definicije, je nabor njenih vrednosti zaprt med najmanjšo in največjo vrednostjo, če obstaja, nabor vrednosti funkcije $y =\sqrt(2)\ cos((x +\frac(\pi)(4 )))$ je množica $[-\sqrt(2);\sqrt(2)]$.

$$\\ E(3^(x)) = (0;+∞), \\ E(3^(x)+ 1) = (1;+∞), \\ E(-(3^(x) )+ 1)^(2) = (-∞;-1), \\ E(5 – (3^(x)+1)^(2)) = (-∞;4) $$

Označimo $t = 5 – (3^(x)+1)^(2)$, kjer je -∞≤t≤4. Tako se problem zmanjša na iskanje niza vrednosti funkcije $y = \log_(0,5)(t)$ na žarku (-∞;4). Ker je funkcija $y = \log_(0,5)(t)$ definirana samo za t > 0, njen nabor vrednosti na žarku (-∞;4) sovpada z nizom vrednosti funkcija na intervalu (0;4), ki predstavlja presečišče žarka (-∞;4) z domeno definicije (0;+∞) logaritemske funkcije. Na intervalu (0;4) je ta funkcija neprekinjena in padajoča. Pri t > 0 teži k +∞, pri t = 4 pa prevzame vrednost -2, zato E(y) = (-2, +∞).

Uporabljamo tehniko, ki temelji na grafični predstavitvi funkcije.

Po transformacijah funkcije imamo: y 2 + x 2 = 25 in y ≥ 0, |x| ≤ 5.

Spomnimo se, da je $x^(2)+y^(2)=r^(2)$ enačba kroga s polmerom r.

Pod temi omejitvami je graf te enačbe zgornji polkrog s središčem na izhodišču in polmer enak 5. Očitno je, da je E(y) = .

Odgovor: E(y) = .

Reference

Obseg funkcij v UPORABA nalog, Minyuk Irina Borisovna

Nasveti za iskanje niza funkcijskih vrednosti, Belyaeva I., Fedorova S.

Iskanje niza funkcijskih vrednosti

Kako reševati probleme iz matematike na sprejemnih izpitih, I. I. Melnikov, I. N. Sergeev

Funkcija je model. Definirajmo X kot niz vrednosti neodvisne spremenljivke // neodvisno pomeni poljubno.

Funkcija je pravilo, po katerem lahko za vsako vrednost neodvisne spremenljivke iz množice X najdemo edino vrednost odvisne spremenljivke. // tj. za vsak x obstaja en y.

Iz definicije izhaja, da obstajata dva pojma - neodvisna spremenljivka (ki jo označujemo z x in ima lahko poljubno vrednost) in odvisna spremenljivka (ki jo označujemo z y ali f (x) in se izračuna iz funkcije, ko nadomestimo x).

NA PRIMER y=5+x

1. Neodvisen je x, zato vzamemo poljubno vrednost, naj bo x = 3

2. in zdaj izračunamo y, torej y \u003d 5 + x \u003d 5 + 3 = 8. (y je odvisen od x, ker s katerim x nadomestimo, dobimo takšen y)

Pravimo, da je spremenljivka y funkcionalno odvisna od spremenljivke x in to označimo takole: y = f (x).

NPR.

1.y=1/x. (imenovana hiperbola)

2. y=x^2. (imenovana parabola)

3.y=3x+7. (imenovana ravna črta)

4. y \u003d √ x. (imenovana veja parabole)

Neodvisna spremenljivka (ki jo označujemo z x) se imenuje argument funkcije.

Obseg funkcije

Nabor vseh vrednosti, ki jih prevzame argument funkcije, se imenuje domena funkcije in je označen z D(f) ali D(y).

Upoštevajte D(y) za 1.,2.,3.,4.

1. D (y)= (∞; 0) in (0;+∞) //celoten niz realnih števil razen nič.

2. D (y) \u003d (∞; +∞) / / vsa številna realna števila

3. D (y) \u003d (∞; +∞) / / vsa številna realna števila

4. D (y) \u003d)