Kako definirati niz funkcijskih vrednosti. Obseg funkcij v nalogah izpita
Imenuje se odvisnost ene spremenljivke od druge funkcionalna odvisnost. Odvisnost spremenljivke y iz spremenljivke x poklical funkcijo, če je vsaka vrednost x se ujema z eno samo vrednostjo y.
Oznaka:
spremenljivka x imenujemo neodvisna spremenljivka oz prepir in spremenljivka y- odvisen. To pravijo y je funkcija x. Pomen y ki ustreza dani vrednosti x, klical vrednost funkcije.
Vse vrednote, ki jih potrebuje x, oblika obseg funkcije; vse vrednosti, ki jih ima y, oblika niz funkcijskih vrednosti.
Oznake: 
D(f)- vrednosti argumentov. E(f)- funkcijske vrednosti. Če je funkcija podana s formulo, potem se šteje, da je domena definicije sestavljena iz vseh vrednosti spremenljivke, za katere je ta formula smiselna.
Funkcijski graf kliče se množica vseh točk na koordinatni ravnini, katerih abscise so enake vrednostim argumenta, ordinate pa so enake ustreznim vrednostim funkcije. Če je kakšna vrednost x=x0 ujemanje z več vrednostmi (ne samo z eno) y, potem takšna korespondenca ni funkcija. Da je množica točk koordinatne ravnine graf neke funkcije, je potrebno in zadostno, da se katera koli ravna črta, vzporedna z osjo Oy, seka z grafom v največ eni točki.
Načini nastavitve funkcije
1) Funkcijo je mogoče nastaviti analitično v obliki formule. na primer 
2) Funkcijo je mogoče definirati s tabelo številnih parov (x; y).
3) Funkcijo je mogoče nastaviti grafično. Vrednostni pari (x; y) prikazano na koordinatni ravnini.
Monotonost funkcije
Funkcija f(x) poklical naraščajoče na danem številčnem intervalu, če večja vrednost argumenta ustreza večji vrednosti funkcije. Predstavljajte si, da se določena točka premika vzdolž grafa od leve proti desni. Potem se bo točka nekako "povzpela" na grafikon.
Funkcija f(x) poklical upada na danem številčnem intervalu, če večja vrednost argumenta ustreza manjši vrednosti funkcije. Predstavljajte si, da se določena točka premika vzdolž grafa od leve proti desni. Potem se bo točka tako rekoč "skotalila" po grafikonu.
Pokliče se funkcija, ki se v določenem številčnem intervalu samo povečuje ali zmanjšuje monotono na tem intervalu.
Funkcijske ničle in intervali konstantnosti
Vrednote X, pri katerem y=0, se imenuje ničle funkcije. To so abscise presečišč grafa funkcije z osjo x.
Takšni razponi vrednosti x, na katerem so vrednosti funkcije y se imenujejo samo pozitivni ali samo negativni intervali konstantnosti predznaka funkcije.
Sode in lihe funkcije
Enakomerna funkcija
1) Območje definicije je simetrično glede na točko (0; 0), to je, če je točka a spada v področje definicije, nato pa točka -a spada tudi v področje definicije.
2) Za katero koli vrednost x f(-x)=f(x)
3) Graf sode funkcije je simetričen glede na os Oy.
čudna funkcija ima naslednje lastnosti:
1) Območje definicije je simetrično glede na točko (0; 0).
2) za katero koli vrednost x, ki spada v področje definicije, enakosti f(-x)=-f(x)
3) Graf lihe funkcije je simetričen glede na izvor (0; 0).
Ni vsaka funkcija soda ali liha. Funkcije splošni pogled niso niti sode niti lihe.
Periodične funkcije
Funkcija f se imenuje periodična, če obstaja število, tako da za katero koli x iz domene definicije enakost f(x)=f(x-T)=f(x+T). T je obdobje funkcije.
Vsaka periodična funkcija ima neskončno število obdobij. V praksi se običajno upošteva najmanjše pozitivno obdobje.
Vrednosti periodične funkcije se ponovijo po intervalu, enakem obdobju. To se uporablja pri risanju grafov.
Pogosto moramo v okviru reševanja problemov iskati niz vrednosti funkcije na domeni definicije ali na segmentu. Na primer, to je treba storiti pri reševanju različni tipi neenakosti, ocene izrazov itd.
Kot del tega gradiva vam bomo povedali, kakšen je obseg funkcije, navedli glavne metode, s katerimi jo je mogoče izračunati, in analizirali naloge različne stopnje težave. Zaradi jasnosti so posamezne pozicije prikazane z grafi. Po branju tega članka boste imeli celovito razumevanje obsega funkcije.
Začnimo z osnovnimi definicijami.
Opredelitev 1
Nabor vrednosti funkcije y = f (x) na nekem intervalu x je množica vseh vrednosti, ki jih ta funkcija prevzame pri iteraciji po vseh vrednostih x ∈ X.
Opredelitev 2
Obseg funkcije y = f (x) je množica vseh njenih vrednosti, ki jih lahko sprejme pri iteraciji vrednosti x iz območja x ∈ (f).
Obseg neke funkcije je običajno označen z E (f) .
Upoštevajte, da koncept nabora vrednosti funkcije ni vedno enak območju njenih vrednosti. Ti koncepti bodo enakovredni le, če obseg vrednosti x pri iskanju nabora vrednosti sovpada z domeno funkcije.
Prav tako je pomembno razlikovati med obsegom in obsegom spremenljivke x za izraz na desni strani y = f (x) . Območje sprejemljivih vrednosti x za izraz f (x) bo območje definicije te funkcije.
Spodaj je ilustracija, ki prikazuje nekaj primerov. Modre črte so grafi funkcij, rdeče so asimptote, rdeče pike in črte na osi y so obsegi funkcije.
Očitno je razpon funkcije mogoče dobiti s projiciranjem grafa funkcije na os O y . Hkrati je lahko eno samo število ali niz številk, segment, interval, odprt žarek, unija številskih intervalov itd.
Razmislite o glavnih načinih za iskanje obsega funkcije.
Začnimo z definiranjem niza vrednosti neprekinjene funkcije y = f (x) na določenem segmentu, označenem z [ a ; b] . Vemo, da funkcija, ki je na določenem intervalu neprekinjena, doseže na njem svoj minimum in maksimum, torej maksimum m a x x ∈ a ; b f (x) in najmanjšo vrednost m i n x ∈ a ; b f (x) . Tako dobimo odsek m i n x ∈ a ; bf(x) ; m a x x ∈ a ; b f (x) , ki bo vseboval nize vrednosti prvotne funkcije. Nato moramo le najti določene minimalne in največje točke na tem segmentu.
Vzemimo problem, pri katerem je treba določiti razpon vrednosti arcsinusa.
Primer 1
Pogoj: poiščite območje y = a r c sin x .
Odločitev
V splošnem primeru se domena definicije arcsinusa nahaja na intervalu [-1; ena]. Na njem moramo določiti največjo in najmanjšo vrednost podane funkcije.
y "= a r c sin x" = 1 1 - x 2
Vemo, da bo izpeljanka funkcije pozitivna za vse vrednosti x, ki se nahajajo v intervalu [-1; 1 ] , to pomeni, da se bo v celotnem območju definicije arcsinusna funkcija povečala. To pomeni, da bo vzel najmanjšo vrednost, ko je x enak - 1, in največjo - ko je x enak 1.
m i n x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - π 2 m a x x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin 1 = π 2
Tako bo obseg arcsinusne funkcije enak E (a r c sin x) = - π 2 ; π 2 .
odgovor: E (a r c sin x) \u003d - π 2; π 2
Primer 2
Pogoj: izračunaj razpon y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 na danem segmentu [ 1 ; 4] .
Odločitev
Vse, kar moramo storiti, je izračunati največjo in najmanjšo vrednost funkcije v danem intervalu.
Za določitev ekstremnih točk je potrebno izvesti naslednje izračune:
y "= x 4 - 5 x 3 + 6 x 2" = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1; 4 in l in 4 x 2 - 15 x + 12 = 0 D = - 15 2 - 4 4 12 = 33 x 2 = 15 - 33 8 ≈ 1. 16 ∈ 1 ;4 ;x3 = 15 + 338 ≈ 2,59 ∈ 1;4
Zdaj poiščimo vrednosti dane funkcije na koncih segmenta in točkah x 2 = 15 - 33 8 ; x 3 \u003d 15 + 33 8:
y (1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 ≈ 512 2 . 08 y 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 15 + 33 8 3 + 6 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 y (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32
To pomeni, da bo nabor funkcijskih vrednosti določen s segmentom 117 - 165 33 512 ; 32 .
odgovor: 117 - 165 33 512 ; 32 .
Pojdimo na iskanje niza vrednosti neprekinjene funkcije y = f (x) v intervalih (a ; b) in a ; + ∞ , - ∞ ; b , -∞ ; +∞ .
Začnimo z določitvijo največje in najmanjše točke, pa tudi intervalov povečanja in zmanjšanja v danem intervalu. Po tem bomo morali izračunati enostranske omejitve na koncih intervala in/ali omejitve na neskončnost. Z drugimi besedami, določiti moramo obnašanje funkcije v danih pogojih. Za to imamo vse potrebne podatke.
Primer 3
Pogoj: izračunaj obseg funkcije y = 1 x 2 - 4 na intervalu (- 2 ; 2) .
Odločitev
Določite največjo in najmanjšo vrednost funkcije v danem intervalu
y "= 1 x 2 - 4" = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2)
Dobili smo največjo vrednost 0 , saj se na tej točki spremeni predznak funkcije in graf se začne zmanjševati. Glej ilustracijo:
To pomeni, da bo y (0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 največje vrednosti funkcije.
Zdaj definirajmo obnašanje funkcije za x, ki se nagiba k - 2 na desni strani in + 2 na levi strani. Z drugimi besedami, najdemo enostranske omejitve:
lim x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 1 + 0 = - ∞ lim x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = -∞
Dobili smo, da se vrednosti funkcije povečajo iz minus neskončnosti na -14, ko se argument spremeni iz -2 v 0. In ko se argument spremeni iz 0 v 2, se vrednosti funkcije zmanjšajo proti minus neskončnosti. Zato bo nabor vrednosti dane funkcije na intervalu, ki ga potrebujemo, (- ∞ ; - 1 4 ] .
odgovor: (- ∞ ; - 1 4 ] .
Primer 4
Stanje: navedite niz vrednosti y = t g x na danem intervalu - π 2 ; π 2 .
Odločitev
Vemo, da je na splošno izvod tangente v - π 2; π 2 bo pozitiven, to pomeni, da se bo funkcija povečala. Zdaj pa definirajmo, kako se funkcija obnaša znotraj danih meja:
lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞
Dobili smo povečanje vrednosti funkcije z minus neskončnosti na plus neskončnost, ko se argument spremeni iz - π 2 v π 2, in lahko rečemo, da bo množica rešitev te funkcije množica vseh realnih številke.
odgovor: - ∞ ; + ∞ .
Primer 5
Pogoj: določi, kolikšen je obseg funkcije naravnega logaritma y = ln x .
Odločitev
Vemo, da je ta funkcija definirana za pozitivne vrednosti argumenta D (y) = 0 ; +∞ . Izvod na danem intervalu bo pozitiven: y " = ln x " = 1 x . To pomeni, da se funkcija na njem povečuje. Nato moramo definirati enostransko mejo za primer, ko gre argument na 0 (na desni strani) in ko gre x v neskončnost:
lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞
Ugotovili smo, da se bodo vrednosti funkcije povečale od minus neskončnosti do plus neskončnosti, ko se vrednosti x spremenijo iz nič v plus neskončnost. To pomeni, da je množica vseh realnih števil obseg funkcije naravnega logaritma.
odgovor: množica vseh realnih števil je obseg funkcije naravnega logaritma.
Primer 6
Pogoj: določi, koliko je območje funkcije y = 9 x 2 + 1 .
Odločitev
Ta funkcija je definirana pod pogojem, da je x realno število. Izračunajmo največjo in najmanjšo vrednost funkcije, pa tudi intervale njenega povečanja in zmanjšanja:
y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0
Kot rezultat smo ugotovili, da se bo ta funkcija zmanjšala, če je x ≥ 0; povečati, če je x ≤ 0; ima največjo točko y (0) = 9 0 2 + 1 = 9, ko je spremenljivka 0 .
Poglejmo, kako se funkcija obnaša v neskončnosti:
lim x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = +0
Iz zapisa je razvidno, da se bodo vrednosti funkcije v tem primeru asimptotično približale 0.
Če povzamemo: ko se argument spremeni iz minus neskončnosti na nič, se vrednosti funkcije povečajo z 0 na 9. Ko se vrednosti argumentov gibljejo od 0 do plus neskončnost, se bodo ustrezne vrednosti funkcije zmanjšale z 9 na 0. To smo upodobili na sliki:
Kaže, da bo obseg funkcije interval E (y) = (0 ; 9 ]
odgovor: E (y) = (0; 9)
Če moramo določiti nabor vrednosti funkcije y = f (x) na intervalih [ a ; b) , (a ; b ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; b ] , potem bomo morali izvesti popolnoma enake študije. Teh primerov še ne bomo analizirali: srečali jih bomo kasneje v težavah .
Kaj pa, če je domena določene funkcije združitev več intervalov? Nato moramo izračunati nize vrednosti na vsakem od teh intervalov in jih združiti.
Primer 7
Pogoj: določi, kakšen bo obseg y = x x - 2.
Odločitev
Ker se imenovalec funkcije ne sme spremeniti v 0 , potem je D (y) = - ∞ ; 2 ∪ 2 ; +∞ .
Začnimo z definiranjem nabora funkcijskih vrednosti na prvem segmentu - ∞; 2, ki je odprt žarek. Vemo, da se bo funkcija na njej zmanjšala, to pomeni, da bo izpeljanka te funkcije negativna.
lim x → 2 - 0 x x - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ x x - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0
Potem se bodo v tistih primerih, ko se argument spremeni proti minus neskončnosti, vrednosti funkcije asimptotično približale 1. Če se vrednosti x spremenijo iz minus neskončnosti na 2, se bodo vrednosti zmanjšale z 1 na minus neskončnost, t.j. funkcija na tem segmentu bo vzela vrednosti iz intervala - ∞; ena . Enost izključujemo iz našega sklepanja, saj je vrednosti funkcije ne dosežejo, ampak se ji le asimptotično približujejo.
Za odprt žarek 2 ; + ∞ izvajamo popolnoma enaka dejanja. Funkcija na njem se tudi zmanjšuje:
lim x → 2 + 0 x x - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x x - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0
Vrednosti funkcije na tem segmentu so določene z nizom 1; +∞ . To pomeni, da bo obseg vrednosti funkcije, določene v pogoju, ki ga potrebujemo, unija množic - ∞; 1 in 1; +∞ .
odgovor: E (y) = - ∞ ; 1 ∪ 1 ; +∞ .
To je mogoče videti na grafikonu:
Poseben primer so periodične funkcije. Njihovo območje vrednosti sovpada z nizom vrednosti na intervalu, ki ustreza obdobju te funkcije.
Primer 8
Pogoj: določi razpon sinusa y = sin x .
Odločitev
Sinus se nanaša na periodično funkcijo, njena doba pa je 2 pi. Vzamemo odsek 0; 2 π in poglejte, kakšen bo nabor vrednosti na njem.
y " = (sin x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z
znotraj 0; 2 π bo imela funkcija skrajne točke π 2 in x = 3 π 2 . Izračunajmo, kakšni bodo vrednosti funkcije v njih, pa tudi na mejah segmenta, po katerem izberemo največjo in najmanjšo vrednost.
y (0) = sin 0 = 0 y π 2 = sin π 2 = 1 y 3 π 2 = sin 3 π 2 = - 1 y (2 π) = sin (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π sin x = sin 3 π 2 = - 1 , max x ∈ 0 ; 2 π sinx \u003d sin π 2 = 1
odgovor: E (sinx) = - 1; ena .
Če morate poznati obsege funkcij, kot so eksponentna, eksponentna, logaritemska, trigonometrična, inverzna trigonometrična, potem vam svetujemo, da ponovno preberete članek o osnovnih elementarnih funkcijah. Teorija, ki jo predstavljamo tukaj, nam omogoča, da preizkusimo tam navedene vrednosti. Zaželeno je, da se jih naučite, saj so pogosto potrebni pri reševanju problemov. Če poznate obsege glavnih funkcij, lahko preprosto najdete obsege funkcij, ki jih pridobite iz osnovnih z geometrijsko transformacijo.
Primer 9
Pogoj: določimo območje y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 .
Odločitev
Vemo, da je odsek od 0 do pi obseg inverznega kosinusa. Z drugimi besedami, E (a r c cos x) = 0 ; π ali 0 ≤ a r c cos x ≤ π . Funkcijo a r c cos x 3 + 5 π 7 lahko dobimo iz ločnega kosinusa tako, da ga premaknemo in raztegnemo vzdolž osi O x, vendar nam takšne transformacije ne bodo dale ničesar. Zato je 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ π .
Funkcijo 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 lahko dobimo iz inverznega kosinusa a r c cos x 3 + 5 π 7 z raztezanjem vzdolž y-osi, t.j. 0 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . Končna transformacija je premik vzdolž osi O y za 4 vrednosti. Kot rezultat dobimo dvojno neenakost:
0 - 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4
Dobili smo, da bo obseg, ki ga potrebujemo, enak E (y) = - 4 ; 3 pi-4.
odgovor: E (y) = -4; 3 pi-4.
Napišimo še en primer brez pojasnil, ker je popolnoma podoben prejšnjemu.
Primer 10
Pogoj: izračunaj, kakšen bo obseg funkcije y = 2 2 x - 1 + 3 .
Odločitev
Prepišimo funkcijo, dano v pogoju, kot y = 2 · (2 x - 1) - 1 2 + 3 . Za funkcijo moči y = x - 1 2 bo območje definirano na intervalu 0 ; + ∞ , tj. x - 1 2 > 0 . V tem primeru:
2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3
Torej E (y) = 3; +∞ .
odgovor: E (y) = 3; +∞ .
Zdaj pa poglejmo, kako najti obseg funkcije, ki ni zvezna. Če želite to narediti, moramo celotno območje razdeliti na intervale in na vsakem od njih poiskati nize vrednosti, nato pa združiti, kar imamo. Da bi to bolje razumeli, vam svetujemo, da pregledate glavne vrste prelomnih točk funkcij.
Primer 11
Pogoj: podana funkcija y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3 . Izračunajte njegov razpon.
Odločitev
Ta funkcija je definirana za vse vrednosti x. Analizirajmo ga za kontinuiteto z vrednostmi argumenta, enakimi - 3 in 3:
lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 sin x 2 - 4 = 2 sin - 3 2 - 4 = - 2 sin 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim x → - 3 - 0 f (x) ≠ lim x → - 3 + 0 f (x)
Imamo nepopravljivo diskontinuiteto prve vrste z vrednostjo argumenta -3. Ko se ji približate, se vrednosti funkcije nagibajo k - 2 sin 3 2 - 4 in ko se x nagiba k - 3 na desni strani, bodo vrednosti težile k - 1.
lim x → 3 - 0 f(x) = lim x → 3 - 0 (- 1) = 1 lim x → 3 + 0 f(x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞
V točki 3 imamo neprekinjeno diskontinuiteto druge vrste. Ko se funkcija nagiba k njej, se njene vrednosti približajo - 1, medtem ko se nagibajo k isti točki na desni - na minus neskončnost.
To pomeni, da je celotno področje definicije te funkcije razdeljeno na 3 intervale (- ∞ ; - 3 ] , (- 3 ; 3 ] , (3 ; + ∞) ).
Na prvem od njih smo dobili funkcijo y \u003d 2 sin x 2 - 4. Ker je - 1 ≤ sin x ≤ 1 , dobimo:
1 ≤ sin x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2
To pomeni, da je na tem intervalu (- ∞ ; - 3 ] nabor vrednosti funkcije [ - 6 ; 2 ] .
Na polovičnem intervalu (- 3 ; 3 ] dobimo konstantno funkcijo y = - 1. Posledično se bo celoten niz njenih vrednosti v tem primeru zmanjšal na eno število - 1.
Na drugem intervalu 3 ; + ∞ imamo funkcijo y = 1 x - 3 . Upada, ker je y" = - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:
lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0
Zato je množica vrednosti prvotne funkcije za x > 3 množica 0; +∞ . Zdaj pa združimo rezultate: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; +∞ .
odgovor: E (y) = -6; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; +∞ .
Rešitev je prikazana na grafu:
Primer 12
Pogoj: obstaja funkcija y = x 2 - 3 e x . Določite nabor njegovih vrednosti.
Odločitev
Definiran je za vse vrednosti argumentov, ki so realna števila. Ugotovimo, v katerih intervalih se bo ta funkcija povečala in v katerih se bo zmanjšala:
y "= x 2 - 3 e x" = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x
Vemo, da bo izpeljanka postala 0, če je x = -1 in x = 3. Ti dve točki postavimo na os in ugotovimo, kakšne predznake bo imela izpeljanka na nastalih intervalih.
Funkcija se bo zmanjšala za (- ∞ ; - 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞) in povečala za [ - 1 ; 3]. Najmanjša točka bo - 1 , največja - 3 .
Zdaj poiščimo ustrezne vrednosti funkcije:
y (- 1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3
Poglejmo obnašanje funkcije v neskončnosti:
lim x → - ∞ x 2 - 3 e x = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 e x = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 - 3 "e x" = lim x → + ∞ 2 x e x = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x "(e x)" = 2 lim x → + ∞ 1 e x = 2 1 + ∞ = + 0
Za izračun druge meje je bilo uporabljeno L'Hopitalovo pravilo. Našo rešitev narišemo na graf.
Kaže, da se bodo vrednosti funkcije zmanjšale iz plus neskončnosti na -2 e, ko se argument spremeni iz minus neskončnosti na -1. Če se spremeni iz 3 v plus neskončnost, se bodo vrednosti zmanjšale s 6 e - 3 na 0, vendar 0 ne bo dosežena.
Tako je E (y) = [ - 2 e ; +∞) .
odgovor: E (y) = [-2 e; +∞)
Če opazite napako v besedilu, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter
Številne naloge nas vodijo k iskanju niza funkcijskih vrednosti na določenem segmentu ali na celotni domeni definicije. Takšne naloge vključujejo različne ocene izrazov, reševanje neenakosti.
V tem članku bomo opredelili obseg funkcije, razmislili o metodah za njeno iskanje in podrobno analizirali rešitev primerov od preprostih do bolj zapletenih. Vse gradivo bo zaradi jasnosti opremljeno z grafičnimi ilustracijami. Ta članek je torej podroben odgovor na vprašanje, kako najti obseg funkcije.
Opredelitev.
Množica vrednosti funkcije y = f(x) na intervalu X imenujemo množico vseh vrednosti funkcije, ki jih prevzame pri ponavljanju vseh .
Opredelitev.
Obseg funkcije y = f(x) se imenuje množica vseh vrednosti funkcije, ki jih prevzame pri iteraciji po vseh x iz domene definicije.
Obseg funkcije je označen kot E(f) .
Obseg funkcije in nabor vrednosti funkcije nista ista stvar. Ti koncepti se bodo šteli za enakovredne, če interval X pri iskanju niza vrednosti funkcije y = f(x) sovpada z domeno funkcije.
Prav tako ne zamenjujte obsega funkcije s spremenljivko x za izraz na desni strani enačbe y=f(x) . Območje dovoljenih vrednosti spremenljivke x za izraz f(x) je območje definicije funkcije y=f(x).
Slika prikazuje nekaj primerov.
Grafi funkcij so prikazani s krepko modrimi črtami, tanke rdeče črte so asimptote, rdeče pike in črte na osi Oy prikazujejo obseg ustrezne funkcije.
Kot lahko vidite, se obseg funkcije dobi s projiciranjem grafa funkcije na os y. Lahko je eno število (prvi primer), niz številk (drugi primer), segment (tretji primer), interval (četrti primer), odprt žarek (peti primer), unija (šesti primer) itd. .
Torej, kaj morate storiti, da najdete obseg funkcije.
Začnimo z najpreprostejšim primerom: pokazali bomo, kako določiti nabor vrednosti neprekinjene funkcije y = f(x) na intervalu.
Znano je, da neprekinjena funkcija na segmentu doseže na njem največjo in najmanjšo vrednost. Tako bo nabor vrednosti prvotne funkcije na segmentu segment 
. Zato je naša naloga zmanjšana na iskanje največje in najmanjše vrednosti funkcije na intervalu.
Na primer, poiščimo obseg funkcije arcsinus.
Primer.
Določite obseg funkcije y = arcsinx.
Odločitev.
Domena definicije arcsinusa je segment [-1; ena] . Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije na tem segmentu. 
Izvod je pozitiven za vse x iz intervala (-1; 1) , to pomeni, da se arksinusna funkcija povečuje na celotni domeni definicije. Zato vzame najmanjšo vrednost pri x = -1 in največjo pri x = 1. 
Dobili smo obseg funkcije arcsinusa 
.
Primer.
Poiščite niz funkcijskih vrednosti 
na segmentu.
Odločitev.
Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije na danem segmentu.
Določimo ekstremne točke, ki pripadajo segmentu: 
Izračunamo vrednosti prvotne funkcije na koncih segmenta in v točkah 
:
Zato je nabor vrednosti funkcije na segmentu segment 
.
Zdaj bomo pokazali, kako najti množico vrednosti neprekinjene funkcije y = f(x) v intervalih (a; b), .
Najprej določimo točke ekstrema, ekstreme funkcije, intervale naraščanja in padanja funkcije na danem intervalu. Nato izračunamo na koncih intervala in (ali) meje v neskončnosti (to pomeni, da preučimo obnašanje funkcije na mejah intervala ali na neskončnosti). Te informacije so dovolj za iskanje niza funkcijskih vrednosti v takšnih intervalih.
Primer.
Določite nabor funkcijskih vrednosti na intervalu (-2; 2).
Odločitev.
Poiščimo ekstremne točke funkcije, ki padejo na interval (-2; 2): 
Dot x = 0 je največja točka, saj izpeljanka pri prehodu skozi njo spremeni predznak iz plusa v minus, graf funkcije pa gre od naraščajočega k padajočemu. 
je ustrezen maksimum funkcije.
Ugotovimo obnašanje funkcije, ko se x nagiba k -2 na desni in ko x teži k 2 na levi, torej najdemo enostranske omejitve: 
Kaj smo dobili: ko se argument spremeni iz -2 v nič, se vrednosti funkcije povečajo iz minus neskončnosti na minus eno četrtino (največ funkcije pri x = 0), ko se argument spremeni iz nič na 2, se funkcija vrednosti se zmanjšajo na minus neskončnost. Tako je niz funkcijskih vrednosti na intervalu (-2; 2) .
Primer.
Določite nabor vrednosti tangentne funkcije y = tgx na intervalu.
Odločitev.
Izvod tangentne funkcije na intervalu je pozitiven 
, kar kaže na povečanje funkcije. Preučujemo obnašanje funkcije na mejah intervala: 
Tako, ko se argument spremeni iz do, se vrednosti funkcije povečajo iz minus neskončnosti na plus neskončnost, to je nabor tangentnih vrednosti v tem intervalu množica vseh realnih števil.
Primer.
Poiščite obseg funkcije naravnega logaritma y = lnx.
Odločitev.
Funkcija naravnega logaritma je definirana za pozitivne vrednosti prepir 
. Na tem intervalu je izvod pozitiven 
, to kaže na povečanje funkcije na njem. Poiščimo enostransko mejo funkcije, saj se argument nagiba k nič z desne in mejo, ko x teži k plus neskončnosti: 
Vidimo, da ko se x spremeni iz nič v plus neskončnost, se vrednosti funkcije povečajo iz minus neskončnosti na plus neskončnost. Zato je obseg funkcije naravnega logaritma celoten niz realnih števil.
Primer.
Odločitev.
Ta funkcija je definirana za vse resnične vrednosti x . Določimo točke ekstrema, pa tudi intervale naraščanja in padanja funkcije. 
Zato se funkcija zmanjša pri , raste pri , x = 0 je največja točka, 
ustrezni maksimum funkcije.
Poglejmo obnašanje funkcije v neskončnosti: 
Tako se v neskončnosti vrednosti funkcije asimptotično približujejo nič.
Ugotovili smo, da ko se argument spremeni iz minus neskončnosti v nič (največja točka), se vrednosti funkcije povečajo z nič na devet (do maksimuma funkcije), in ko se x spremeni iz nič v plus neskončnost, se vrednosti funkcije se zmanjšajo z devet na nič.
Oglejte si shematsko risbo.
Zdaj je jasno razvidno, da je obseg funkcije .
Iskanje niza vrednosti funkcije y = f(x) na intervalih zahteva podobne študije. Zdaj se ne bomo podrobneje zadrževali na teh primerih. Videli jih bomo v spodnjih primerih.
Naj bo domena funkcije y = f(x) unija več intervalov. Pri iskanju obsega takšne funkcije se določijo nizi vrednosti na vsakem intervalu in se vzame njihova zveza.
Primer.
Poiščite obseg funkcije.
Odločitev.
Imenovalec naše funkcije ne sme iti na nič, to je.
Najprej poiščimo nabor vrednosti funkcije na odprtem žarku.
Izpeljanka funkcije 
je na tem intervalu negativna, to pomeni, da se funkcija na njem zmanjša. 
Ugotovili smo, da se, ko se argument nagiba k minus neskončnosti, vrednosti funkcije asimptotično približujejo enoti. Ko se x spremeni iz minus neskončnosti v dve, se vrednosti funkcije zmanjšajo z ena na minus neskončnost, to pomeni, da na obravnavanem intervalu funkcija prevzame niz vrednosti. Enote ne vključujemo, saj je vrednosti funkcije ne dosežejo, ampak se le asimptotično nagibajo k njej pri minus neskončnosti.
Podobno ravnamo z odprtim žarkom.
Funkcija se na tem intervalu tudi zmanjša. 
Nabor funkcijskih vrednosti na tem intervalu je niz.
Tako je želeni obseg funkcijskih vrednosti unija množic in .
Grafična ilustracija.
Ločeno se moramo osredotočiti na periodične funkcije. Obseg periodičnih funkcij sovpada z nizom vrednosti na intervalu, ki ustreza obdobju te funkcije.
Primer.
Poiščite obseg sinusne funkcije y = sinx.
Odločitev.
Ta funkcija je periodična s periodo dveh pi. Vzemimo segment in na njem definiramo nabor vrednosti. 
Segment vsebuje dve točki ekstrema in .
Izračunamo vrednosti funkcije na teh točkah in na mejah segmenta izberemo najmanjšo in največjo vrednost: 
zato 
.
Primer.
Poiščite obseg funkcije 
.
Odločitev.
Vemo, da je obseg arkosinusa segment od nič do pi, tj. 
ali v drugi objavi. Funkcija 
je mogoče dobiti iz arccosx s premikanjem in raztezanjem vzdolž osi x. Takšne transformacije ne vplivajo na obseg, zato 
. Funkcija 
prihaja iz trikrat se razteza vzdolž osi Oy, tj. 
. In zadnja stopnja transformacije je premik za štiri enote navzdol vzdolž osi y. To nas pripelje do dvojne neenakosti 
Tako je želeni razpon vrednosti 
.
Rešimo še en primer, vendar brez pojasnil (niso potrebni, saj so si popolnoma podobni).
Primer.
Določite obseg funkcij 
.
Odločitev.
Izvirno funkcijo zapišemo v obrazec 
. Obseg eksponentne funkcije je interval . tj, . Potem 
zato 
.
Za popolno sliko bi morali govoriti o iskanju obsega funkcije, ki ni neprekinjen na domeni definicije. V tem primeru je področje definicije razdeljeno s prelomnimi točkami na intervale in na vsakem od njih najdemo nize vrednosti. Z združevanjem dobljenih nizov vrednosti dobimo obseg vrednosti prvotne funkcije. Priporočamo, da si zapomnite 3 na levi, vrednosti funkcije se nagibajo k minus ena, in ko se x nagiba k 3 na desni, se vrednosti funkcije nagibajo k plus neskončnosti.
Tako je področje definicije funkcije razdeljeno na tri intervale.
Na intervalu imamo funkcijo 
. Od takrat 
Tako je nabor vrednosti prvotne funkcije na intervalu [-6;2] .
Na polovičnem intervalu imamo konstantno funkcijo y = -1 . To pomeni, da je nabor vrednosti prvotne funkcije na intervalu sestavljen iz enega samega elementa.
Funkcija je definirana za vse veljavne vrednosti argumenta. Ugotovite intervale povečanja in zmanjšanja funkcije.
Izvod izgine pri x=-1 in x=3. Te točke označimo na realni osi in na dobljenih intervalih določimo predznake odvoda. 
Funkcija se zmanjša za 
, se poveča za [-1; 3] , x=-1 najmanjša točka, x=3 največja točka.
Izračunamo ustrezne minimalne in maksimalne funkcije: 
Preverimo obnašanje funkcije v neskončnosti: 
Druga meja je bila izračunana iz .
Naredimo shematsko risbo.
Ko se argument spremeni iz minus neskončnosti na -1, se vrednosti funkcije zmanjšajo iz plus neskončnost na -2e, ko se argument spremeni iz -1 v 3, se vrednosti funkcije povečajo iz -2e na, ko se argument spremeni iz 3 do plus neskončnost, vrednosti funkcije se zmanjšajo z na nič, vendar ne dosežejo nič.
Funkcija je eden najpomembnejših matematičnih konceptov.
Definicija: Če je vsakemu številu iz neke množice x dodeljena ena sama številka y, potem rečemo, da je funkcija y(x) podana na tej množici. V tem primeru se x imenuje neodvisna spremenljivka ali argument, y pa odvisna spremenljivka ali vrednost funkcije ali samo funkcija.
Rečeno je tudi, da je spremenljivka y funkcija spremenljivke x.
Če ujemanje označimo z neko črko, na primer f, je priročno zapisati: y=f (x), torej vrednost y dobimo iz argumenta x z uporabo ujemanja f. (Preberi: y je enak f iz x.) Simbol f (x) označuje vrednost funkcije, ki ustreza vrednosti argumenta, ki je enak x.
Primer 1 Naj bo funkcija podana s formulo y=2x 2 –6. Potem lahko zapišemo, da je f(x)=2x 2 –6. Najdimo vrednosti funkcije za vrednosti x, ki so enake na primer 1; 2,5;–3; tj. najdi f(1), f(2,5), f(–3):
f(1)=2 1 2 –6=–4;
f(2,5)=2 2,5 2 –6=6,5;
f(–3)=2 (–3) 2 –6= 12.
Upoštevajte, da se pri zapisu oblike y=f (x) namesto f uporabljajo druge črke: g itd.
Definicija: Domena funkcije je vseh x vrednosti, za katere funkcija obstaja.
Če je funkcija podana s formulo in njena domena ni določena, se šteje, da je domena funkcije sestavljena iz vseh vrednosti argumenta, za katerega je formula smiselna.
Z drugimi besedami, obseg funkcije, ki jo poda formula, so vse vrednosti argumenta, razen tistih, ki vodijo do dejanj, ki jih ne moremo izvesti. Na ta trenutek poznamo le dve takšni akciji. Ne moremo deliti z nič in ne moremo vzeti kvadratnega korena negativnega števila.
Definicija: Vse vrednosti, ki jih prevzame odvisna spremenljivka, tvorijo obseg funkcije.
Področje definicije funkcije, ki opisuje dejanski proces, je odvisno od specifičnih pogojev njegovega nastopa. Na primer, odvisnost dolžine l železne palice od temperature segrevanja t je izražena s formulo, kjer je l 0 začetna dolžina palice in je koeficient linearne ekspanzije. Ta formula je smiselna za vse vrednosti t. Vendar je področje definicije funkcije l=g(t) interval več deset stopinj, za katerega velja zakon linearne ekspanzije.
Primer.
Določite obseg funkcij y=arcsinx.
Odločitev.
Domena definicije arcsinusa je segment [-1; 1]
. Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije na tem segmentu.
Izpeljanka je pozitivna za vse x iz intervala (-1; 1)
, to pomeni, da se arcsinusna funkcija poveča na celotnem področju definicije. Zato ima najmanjšo vrednost pri x=-1, največji pa pri x=1.
Dobili smo obseg funkcije arcsinusa 
.
Poiščite niz funkcijskih vrednosti 
na segmentu
.
Odločitev.
Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije na danem segmentu.
Določimo ekstremne točke, ki pripadajo segmentu
:
D(f)- tiste vrednosti, ki jih lahko prevzame argument, t.j. obseg funkcije.
E(f)- tiste vrednosti, ki jih funkcija lahko sprejme, t.j. niz funkcijskih vrednosti.
Metode za iskanje obsegov funkcij.
zaporedno iskanje vrednot zapleteni argumenti funkcije;
metoda točkovanja/meje;
uporaba lastnosti kontinuitete in monotonosti funkcije;
uporaba izpeljanke;
z uporabo največje in najmanjše vrednosti funkcije;
grafična metoda;
metoda uvajanja parametrov;
metoda inverzne funkcije.
Razmislimo o nekaterih od njih.
Uporaba izpeljanke
Splošni pristop najti nabor vrednosti neprekinjene funkcije f(x) je najti največjo in najmanjšo vrednost funkcije f(x) v njeni domeni (ali dokazati, da ena ali obe ne obstajata) .
Če morate najti nabor vrednosti funkcije na segmentu:
poišči izvod dane funkcije f "(x);
poišči kritične točke funkcije f(x) in izberi tiste, ki pripadajo danemu segmentu;
izračunajte vrednosti funkcije na koncih segmenta in na izbranih kritičnih točkah;
med najdenimi vrednostmi izberite najmanjšo in največjo vrednost;
Nabor funkcijskih vrednosti je sklenjen med temi vrednostmi.
Če je obseg funkcije interval, potem se uporablja ista shema, vendar se namesto vrednosti na koncih uporabljajo meje funkcije, ko argument teži k koncem intervala. Mejne vrednosti od niso vključene v nabor vrednosti.
Metoda meja/rezultat
Če želite poiskati nabor vrednosti funkcij, najprej poiščite nabor vrednosti argumentov, nato pa poiščite ustrezne minimalne in največje vrednosti funkcijske funkcije. Uporaba neenakosti - določite meje.
Bistvo je oceniti neprekinjeno funkcijo od spodaj in od zgoraj in dokazati, da funkcija doseže spodnjo in zgornjo mejo ocen. V tem primeru je sovpadanje nabora vrednosti funkcije z intervalom od spodnje meje ocene do zgornje določene z neprekinjenostjo funkcije in odsotnostjo drugih vrednosti zanjo.
Lastnosti neprekinjene funkcije
Druga možnost je pretvorba funkcije v neprekinjeno monotono funkcijo, nato pa se z uporabo lastnosti neenakosti oceni nabor vrednosti na novo pridobljene funkcije.
Zaporedno iskanje vrednosti argumentov kompleksne funkcije
Na podlagi zaporednega iskanja niza vrednosti vmesnih funkcij, ki sestavljajo funkcijo
Obseg osnovnih elementarnih funkcij
| Funkcija | Veliko vrednot |
|---|---|
| $y = kx+ b$ | E(y) = (-∞;+∞) |
| $y = x^(2n)$ | E(y) = |
| $y = \cos(x)$ | E(y) = [-1;1] |
| $y = (\rmtg)\, x$ | E(y) = (-∞;+∞) |
| $y = (\rm ctg)\, x$ | E(y) = (-∞;+∞) |
| $y = \arcsin(x)$ | E(y) = [-π/2; π/2] |
| $y = \arccos(x)$ | E(y) = |
| $y = (\rm arctg)\, x$ | E(y) = (-π/2; π/2) |
| $y = (\rm arcctg)\, x$ | E(y) = (0; π) |
Primeri
Poiščite niz funkcijskih vrednosti:
Uporaba izpeljanke
Poiščite domeno definicije: D(f)=[-3;3], ker $9-x^(2)\geq 0$
Poiščite izpeljanko: $f"(x)=-\frac(x)(\sqrt(9-x^(2)))$
f"(x) = 0, če je x = 0. f"(x) ne obstaja, če je $\sqrt(9-x^(2))=0$, tj. za x = ±3. Dobimo tri kritične točke: x 1 = -3, x 2 = 0, x 3 \u003d 3, od katerih dve sovpadata s konci segmenta. Izračunajmo: f(–3) = 0, f(0) = 3, f(3) = 0. Tako je najmanjša vrednost f(x) 0, največja vrednost 3.
Odgovor: E(f) = .
NE uporablja izpeljanke
Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije:
Od $
f(x) = 1-\cos^(2)(x)+\cos(x)-\frac(1)(2) =
= 1-\frac(1)(2)+\frac(1)(4)-(\cos^(2)(x)-2\cdot\cos(x)\cdot\frac(1)(2) +(\frac(1)(2))^2) =
= \frac(3)(4)-(\cos(x)-\frac(1)(2))^(2) $ , potem:
$f(x)\leq \frac(3)(4)$ za vse x;
$f(x)\geq \frac(3)(4)-(\frac(3)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$ za vse x(ker $|\cos (x)|\leq 1$);
$f(\frac(\pi)(3))= \frac(3)(4)-(\cos(\frac(\pi)(3))-\frac(1)(2))^(2 )=\frac(3)(4)$;
$f(\pi)= \frac(3)(4)-(\cos(\pi)-\frac(1)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$;
Odgovor: $\frac(3)(4)$ in $-\frac(3)(2)$
Če to težavo rešite s pomočjo izpeljank, boste morali premagati ovire, povezane z dejstvom, da funkcija f (x) ni definirana na segmentu, temveč na celotni realni črti.
Uporaba metode meje/ocene
Iz definicije sinusa sledi, da je $-1\leq\sin(x)\leq 1$. Nato uporabimo lastnosti numeričnih neenakosti.
$-4\leq - 4\sin(x)\leq 4$, (vse tri dele dvojne neenakosti pomnožimo z -4);
$1\leq 5 - 4\sin(x)\leq 9$ (dodano trem delom dvojne neenakosti 5);
Ker je ta funkcija neprekinjena v celotni domeni definicije, je nabor njenih vrednosti med njeno najmanjšo in največjo vrednostjo v celotni domeni definicije, če obstaja.
V tem primeru je množica vrednosti funkcije $y = 5 - 4\sin(x)$ .
Iz neenakosti $$ \\ -1\leq\cos(7x)\leq 1 \\ -5\leq 5\cos(x)\leq 5 $$ dobimo oceno $$\\ -6\leq y\ leq 6 $ $
Za x = p in x = 0 funkcija prevzame vrednosti -6 in 6, tj. doseže spodnjo in zgornjo mejo. Kot linearna kombinacija neprekinjenih funkcij cos(7x) in cos(x) je funkcija y neprekinjena vzdolž celotne številske osi, tako da zaradi lastnosti neprekinjene funkcije vzame vse vrednosti od -6 do vključno 6 in samo njih, saj so zaradi neenakosti $- 6\leq y\leq 6$ druge vrednosti zanj nemogoče.
Zato je E(y) = [-6;6].
$$ \\ -1\leq\sin(x)\leq 1 \\ 0\leq\sin^(2)(x)\leq 1 \\ 0\leq2\sin^(2)(x)\leq 2 \\ 1\leq1+2\sin^(2)(x)\leq 3 $$ Odgovor: E(f) = .
$$ \\ -\infty< {\rm tg}\, x < +\infty \\ 0 \leq {\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 3 \leq 3+{\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 2^{3} \leq 2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} < +\infty \\ -\infty < -2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -8 \\ -\infty < 3-2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -5 $$ Ответ: E(f) = (–∞; -5].
$$ \\ -\infty< \lg{x} < +\infty \\ 0 \leq \lg^{2}{x} < +\infty \\ -\infty < -\lg^{2}{x} \leq 0 \\ -\infty < 16-\lg^{2}{x} \leq 16 \\ 0 \leq \sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 4 \\ 2 \leq 2+\sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 6 $$ Ответ: E(f) = .
Pretvorimo izraz $$ \\ \sin(x) + \cos(x) = \sin(x) + \sin(\frac(\pi)(2) - x) = \\ 2\sin\left ((\ frac(x + \frac(\pi)(2) - x)(2)) \desno)\cos\left ((\frac(x + \frac(\pi)(2) + x)( 2)) \desno) \\ = 2\sin(\frac(\pi)(4))cos(x +\frac(\pi)(4)) = \sqrt(2)cos(x +\frac( \pi) (4)) $$.
Definicija kosinusa implicira $$ \\ -1\leq\cos(x)\leq 1; \\ -1\leq \cos((x + \frac(\pi)(4)))\leq 1; \\ -\sqrt(2)\leq \sqrt(2)\cos((x +\frac(\pi)(4)))\leq\sqrt(2); $$
Ker je ta funkcija neprekinjena na celotni domeni definicije, je nabor njenih vrednosti zaprt med najmanjšo in največjo vrednostjo, če obstaja, nabor vrednosti funkcije $y =\sqrt(2)\ cos((x +\frac(\pi)(4 )))$ je množica $[-\sqrt(2);\sqrt(2)]$.
$$\\ E(3^(x)) = (0;+∞), \\ E(3^(x)+ 1) = (1;+∞), \\ E(-(3^(x) )+ 1)^(2) = (-∞;-1), \\ E(5 – (3^(x)+1)^(2)) = (-∞;4) $$
Označimo $t = 5 – (3^(x)+1)^(2)$, kjer je -∞≤t≤4. Tako se problem zmanjša na iskanje niza vrednosti funkcije $y = \log_(0,5)(t)$ na žarku (-∞;4). Ker je funkcija $y = \log_(0,5)(t)$ definirana samo za t > 0, njen nabor vrednosti na žarku (-∞;4) sovpada z nizom vrednosti funkcija na intervalu (0;4), ki predstavlja presečišče žarka (-∞;4) z domeno definicije (0;+∞) logaritemske funkcije. Na intervalu (0;4) je ta funkcija neprekinjena in padajoča. Pri t > 0 teži k +∞, pri t = 4 pa prevzame vrednost -2, zato E(y) = (-2, +∞).
Uporabljamo tehniko, ki temelji na grafični predstavitvi funkcije.
Po transformacijah funkcije imamo: y 2 + x 2 = 25 in y ≥ 0, |x| ≤ 5.
Spomnimo se, da je $x^(2)+y^(2)=r^(2)$ enačba kroga s polmerom r.
Pod temi omejitvami je graf te enačbe zgornji polkrog s središčem na izhodišču in polmer enak 5. Očitno je, da je E(y) = .
Odgovor: E(y) = .
Reference
Obseg funkcij v nalogah enotnega državnega izpita, Minyuk Irina Borisovna
Nasveti za iskanje niza funkcijskih vrednosti, Belyaeva I., Fedorova S.
Iskanje niza funkcijskih vrednosti
Kako reševati probleme iz matematike na sprejemnih izpitih, I. I. Melnikov, I. N. Sergeev
