ev Belirtmek, bildirmek

Fonksiyonun grafiği bir saniye x karedir. Fonksiyon Grafiği

İki değişken x, y ile y = kx + m formu. Doğru, bu denklemde (bu matematiksel modelde) görünen x, y değişkenleri eşitsiz olarak kabul edildi: x, herhangi bir şeye bakılmaksızın herhangi bir değer ekleyebildiğimiz bağımsız bir değişkendir (argüman); y, bağımlı değişkendir çünkü değeri, x'in hangi değerinin seçildiğine bağlıdır. Ama sonra doğal bir soru ortaya çıkıyor: Matematiksel modeller aynı planın, ancak y'nin x ile ifade edildiği, y \u003d kx + m formülüne göre değil, başka bir şekilde mi? Cevap açık: elbette yapıyorlar. Örneğin, x bir karenin kenarı ve y ise onun
alan, sonra y - x 2 . x küpün kenarı ve y hacmi ise, y x3'tür. Alanı 100 cm2 olan bir dikdörtgenin bir kenarı x, diğer kenarı ise y ise. Bu nedenle, matematikte y-kx + m modelini incelemekle sınırlı kalmamaları doğaldır, kişinin hem y \u003d x 2 modelini hem de y \u003d x 3 modelini ve modelini ve birçok modelini incelemesi gerekir. aynı yapıya sahip diğer modeller: eşitliğin sol tarafında y değişkeni ve sağda - x değişkenli bir ifade. Bu tür modeller için, "doğrusal" sıfatı çıkarılarak "fonksiyon" terimi korunur.

Bu bölümde, y = x 2 fonksiyonunu ele alıyoruz ve onu inşa ediyoruz. takvim.

Bağımsız değişken x'e birkaç spesifik değer verelim ve bağımlı değişken y'nin karşılık gelen değerlerini hesaplayalım (y \u003d x 2 formülünü kullanarak):

x \u003d 0 ise, y \u003d O 2 \u003d 0;
x \u003d 1 ise, o zaman y \u003d I 2 \u003d 1;
x = 2 ise y = 2 2 = 4;
x \u003d 3 ise, y \u003d Z 2 \u003d 9;
x \u003d - 1 ise, y \u003d (- I 2) - 1;
x \u003d - 2 ise, y \u003d (- 2) 2 \u003d 4;
x \u003d - 3 ise, y \u003d (- Z) 2 \u003d 9;
Kısacası, aşağıdaki tabloyu derledik:

X	0	1	2	3	-1	-2	-3
saat	0	1	4	9	1	4	9

Bulunan noktaları (0; 0), (1; 1), (2; 4), 93; 9), (-1; 1), (- 2; 4), (- 3; 9), xOy koordinat düzleminde (Şek. 54, a).

Bu noktalar belirli bir doğru üzerinde bulunur, onu çizelim (Şek. 54, b). Bu doğruya parabol denir.

Tabii ki, ideal olarak, x argümanına tüm olası değerleri vermek, y değişkeninin karşılık gelen değerlerini hesaplamak ve elde edilen noktaları (x; y) çizmek gerekir. O zaman program kesinlikle doğru, kusursuz olurdu. Ancak bu gerçekçi değil, çünkü bu tür sonsuz sayıda nokta var. Bu nedenle, matematikçiler şunu yapar: sonlu bir nokta kümesi alırlar, onları temel alırlar. koordinat uçağı ve bu noktaların hangi çizgiyi çizdiğini görün. Bu çizginin konturları oldukça net görünüyorsa (örneğin, § 28'den örnek 1'de yaptığımız gibi), o zaman bu çizgi çizilir. Hatalar mümkün mü? Onsuz olmaz. Bu nedenle, hatalardan kaçınmanın yolları olması için matematiği daha derinden incelemek gerekir.

Şekil 54'e bakarak bir parabolün geometrik özelliklerini tanımlamaya çalışalım.

Her şeyden önce, simetriye sahip olduğu için parabolün oldukça güzel göründüğünü not ediyoruz. Gerçekten de, x eksenine paralel herhangi bir çizgiyi x ekseninin üzerine çizersek, bu doğru parabol ile y ekseninden eşit uzaklıkta, ancak zıt taraflarında bulunan iki noktada kesişecektir (Şekil 55). . Bu arada, Şekil 54'te işaretlenen noktalar için de aynı şey söylenebilir, ancak:

(1; 1) ve (- 1; 1); (2; 4) ve (-2; 4); C; 9) ve (-3; 9).

y ekseninin y=x2 parabolünün simetri ekseni olduğu veya parabolün y eksenine göre simetrik olduğu söylenir.

ikinci olarak, simetri ekseninin, parabolü, genellikle parabolün dalları olarak adlandırılan iki parçaya böldüğünü fark ederiz.

Üçüncüsü, parabolün, her iki dalın da buluştuğu ve parabolün simetri ekseni üzerinde uzanan tekil bir noktasına sahip olduğunu not ediyoruz - nokta (0; 0). Özelliği göz önüne alındığında, ona özel bir isim verildi - parabolün tepesi.

Dördüncü parabolün bir dalı üstte başka bir dala bağlandığında, bu sorunsuz, kesintisiz gerçekleşir; parabol, olduğu gibi, apsis eksenine karşı "bastırır". Genellikle derler ki: parabol x eksenine dokunuyor.

Şimdi Şekil 54'e bakarak y \u003d x 2 fonksiyonunun bazı özelliklerini açıklamaya çalışalım.

Her şeyden önce, x = 0 için y - 0, x > 0 ve x için y > 0 olduğunu fark ettik.< 0.

İkincisi, y adını not edin. = 0, naib yokken.

Üçüncüsü, kiriş üzerinde y \u003d x 2 fonksiyonunun azaldığını fark ediyoruz (-° °, 0] - bu x değerleri için, parabol boyunca soldan sağa hareket ederek “tepeden aşağı iniyoruz” (bkz. 55) Fonksiyon y \u003d x 2 kiriş üzerinde artar;
b) [- 3, - 1.5] segmentinde;
c) [- 3, 2] aralığında.

Karar,

a) Bir y \u003d x 2 parabol oluşturalım ve bunun segmentten x değişkeninin değerlerine karşılık gelen kısmını seçelim (Şek. 56). Grafiğin seçilen kısmı için naim'de buluyoruz. = 1 (x = 1 için), y maks. = 9 (x = 3 için).

b) Bir parabol y \u003d x 2 oluşturalım ve segmentinden x değişkeninin değerlerine karşılık gelen kısmını seçelim [-3, -1.5] (Şek. 57). Grafiğin seçilen kısmı için y adını buluyoruz. \u003d 2.25 (x \u003d - 1.5'te), y maks. = 9 (x = - 3'te).

c) Bir y \u003d x 2 parabol oluşturalım ve bunun segmentinden x değişkeninin değerlerine karşılık gelen kısmını seçelim [-3, 2] (Şek. 58). Grafiğin seçilen kısmı için y max = 0 (x = 0'da), y max buluyoruz. = 9 (x = - 3'te).

Tavsiye. Her seferinde y - x 2 fonksiyonunu nokta nokta çizmemek için kalın kağıttan bir parabol şablonu kesin. Bununla, çok hızlı bir şekilde bir parabol çizebileceksiniz.

Yorum. Size bir parabol şablonu hazırlamanızı önererek, y \u003d x 2 işlevinin haklarını olduğu gibi eşitleriz ve doğrusal fonksiyon y = kx + m. Sonuçta, doğrusal bir fonksiyonun grafiği düz bir çizgidir ve düz bir çizgiyi göstermek için sıradan bir cetvel kullanılır - bu, y \u003d kx + m fonksiyonunun grafiğinin şablonu. Öyleyse, y \u003d x 2 işlevi için bir grafik şablonunuz da olsun.

Örnek 2 y \u003d x 2 parabolünün ve y - x + 2 çizgisinin kesişme noktalarını bulun.

Karar. Bir koordinat sisteminde bir y \u003d x 2 parabol inşa edelim, düz bir çizgi y \u003d x + 2 (Şek. 59). A ve B noktalarında kesişirler ve çizime göre bu A ve B noktalarının koordinatlarını bulmak zor değildir: A noktası için elimizde: x \u003d - 1, y \u003d 1 ve B noktası için biz sahip: x - 2, y \u003d 4.

Cevap: y \u003d x 2 parabolü ve y \u003d x + 2 düz çizgisi iki noktada kesişir: A (-1; 1) ve B (2; 4).

Önemli Not.Şimdiye kadar, bir çizim yardımıyla oldukça cesurca sonuçlar çıkardık. Ancak matematikçiler çizimlere çok fazla güvenmezler. Şekil 59'da bir parabol ve bir doğrunun kesiştiği iki noktayı bulduktan ve şekli kullanarak bu noktaların koordinatlarını belirledikten sonra, bir matematikçi genellikle kendini kontrol eder: (-1; 1) noktası aslında hem doğrunun üzerinde hem de üzerinde mi? parabol; (2; 4) noktası gerçekten hem doğrunun hem de parabolün üzerinde mi?

Bunu yapmak için, düz bir çizgi denkleminde ve bir parabol denkleminde A ve B noktalarının koordinatlarını değiştirmeniz ve ardından her iki durumda da doğru eşitliğin sağlanacağından emin olmanız gerekir. Örnek 2'de her iki durumda da doğru eşitlikler elde edilecektir. Böyle bir kontrol, özellikle çizimin doğruluğundan şüphe duyulduğunda yapılır.

Sonuç olarak, fizikçiler ve matematikçiler tarafından ortaklaşa keşfedilen ve kanıtlanan parabolün ilginç bir özelliğine dikkat çekiyoruz.

Parabol y \u003d x 2'yi bir ekran, yansıtıcı bir yüzey olarak kabul edersek ve bir noktaya bir ışık kaynağı yerleştirirsek, ekranın parabolünden yansıyan ışınlar paralel bir ışık ışını oluşturur (Şekil 60). ). Noktaya parabolün odağı denir. Bu fikir otomobillerde kullanılır: farın yansıtıcı yüzeyi paraboliktir ve ampul odağa yerleştirilir - o zaman fardan gelen ışık yeterince uzağa gider.

Matematikte takvim temalı planlama, videoçevrimiçi matematikte, Okulda matematik indir

A. V. Pogorelov, 7-11. sınıflar için Geometri, Eğitim kurumları için ders kitabı

ders içeriği ders özeti destek çerçeve ders sunum hızlandırıcı yöntemler etkileşimli teknolojiler Uygulama görevler ve alıştırmalar kendi kendine muayene çalıştayları, eğitimler, vakalar, görevler ev ödevi tartışma soruları öğrencilerden retorik sorular İllüstrasyonlar ses, video klipler ve multimedya fotoğraflar, resimler grafikler, tablolar, mizah şemaları, fıkralar, şakalar, çizgi roman benzetmeleri, sözler, bulmacalar, alıntılar Eklentiler özetler makaleler meraklı hile sayfaları için çipler ders kitapları temel ve ek terimler sözlüğü diğer Ders kitaplarını ve dersleri geliştirmekders kitabındaki hataları düzeltme ders kitabındaki bir parçanın güncellenmesi derste yenilik unsurlarının eskimiş bilgileri yenileriyle değiştirmesi Sadece öğretmenler için mükemmel dersler tartışma programının metodolojik önerileri için takvim planı Entegre Dersler

Bir fonksiyon grafiği, bir fonksiyonun koordinat düzlemindeki davranışının görsel bir temsilidir. Grafikler, fonksiyonun kendisinden belirlenemeyen bir fonksiyonun çeşitli yönlerini anlamaya yardımcı olur. Birçok işlevin grafiklerini oluşturabilirsiniz ve bunların her birine belirli bir formül verilecektir. Herhangi bir işlevin grafiği belirli bir algoritmaya göre oluşturulur (belirli bir işlevin grafiğini çizme sürecini tam olarak unuttuysanız).

adımlar

Doğrusal Bir Fonksiyonu Çizmek

Fonksiyonun lineer olup olmadığını belirleyin. Doğrusal bir fonksiyon, formun bir formülü ile verilir. F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b) veya y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(örneğin, ) ve grafiği düz bir çizgidir. Böylece formül, herhangi bir üs, kök işareti ve benzeri olmaksızın bir değişken ve bir sabit (sabit) içerir. Benzer bir forma sahip bir fonksiyon verildiğinde, böyle bir fonksiyonu çizmek oldukça basittir. İşte diğer doğrusal fonksiyon örnekleri:

Y ekseninde bir noktayı işaretlemek için bir sabit kullanın.(b) sabiti grafiğin Y ekseni ile kesiştiği noktanın “y” koordinatıdır yani “x” koordinatı 0 olan bir noktadır. , sonra y = b (sabit). Örneğimizde y = 2x + 5 (\displaystyle y=2x+5) sabit 5'tir, yani Y ekseni ile kesişme noktası (0,5) koordinatlarına sahiptir. Bu noktayı koordinat düzleminde çizin.

Doğrunun eğimini bulun. Değişkenin çarpanına eşittir. Örneğimizde y = 2x + 5 (\displaystyle y=2x+5)"x" değişkeni ile 2 faktörüdür; dolayısıyla eğim 2'dir. Eğim, düz çizginin X eksenine olan eğim açısını belirler, yani eğim ne kadar büyük olursa, fonksiyon o kadar hızlı artar veya azalır.

Eğimi kesir olarak yazın. Eğim, eğim açısının tanjantına, yani dikey mesafenin (düz bir doğru üzerinde iki nokta arasındaki) yatay mesafeye (aynı noktalar arasındaki) oranına eşittir. Örneğimizde eğim 2, yani dikey mesafe 2 ve yatay mesafe 1 diyebiliriz. Bunu bir kesir olarak yazın: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).

Eğim negatif ise fonksiyon azalıyor.

Doğrunun Y ekseniyle kesiştiği noktadan dikey ve yatay mesafeleri kullanarak ikinci bir nokta çizin. Doğrusal bir fonksiyon iki nokta kullanılarak çizilebilir. Örneğimizde, Y ekseni ile kesişme noktasının koordinatları (0,5); bu noktadan 2 boşluk yukarı ve sonra 1 boşluk sağa hareket ettirin. Bir noktayı işaretleyin; (1,7) koordinatlarına sahip olacaktır. Şimdi düz bir çizgi çizebilirsiniz.

İki noktadan geçen düz bir çizgi çizmek için bir cetvel kullanın. Hatalardan kaçınmak için üçüncü noktayı bulun, ancak çoğu durumda grafik iki nokta kullanılarak oluşturulabilir. Böylece doğrusal bir fonksiyon çizdiniz.

Koordinat düzleminde nokta çizme
1. Bir fonksiyon tanımlayın. Fonksiyon f(x) olarak gösterilir. "y" değişkeninin tüm olası değerlerine işlevin aralığı denir ve "x" değişkeninin tüm olası değerlerine işlevin alanı denir. Örneğin, y = x+2, yani f(x) = x+2 fonksiyonunu düşünün.
  
  Kesişen iki dik çizgi çizin. Yatay çizgi X ekseni, dikey çizgi Y eksenidir.
  
  Koordinat eksenlerini etiketleyin. Her ekseni eşit parçalara ayırın ve numaralandırın. Eksenlerin kesişme noktası 0'dır. X ekseni için: pozitif sayılar sağda (0'dan) ve negatif sayılar solda çizilir. Y ekseni için: pozitif sayılar üstte (0'dan itibaren) ve negatif sayılar altta çizilir.
  
  "x" değerlerinden "y" değerlerini bulun.Örneğimizde f(x) = x+2. Karşılık gelen "y" değerlerini hesaplamak için belirli "x" değerlerini bu formülde değiştirin. Karmaşık bir fonksiyon verilmişse, denklemin bir tarafında "y"yi izole ederek basitleştirin.
  - -1: -1 + 2 = 1
  - 0: 0 +2 = 2
  - 1: 1 + 2 = 3
2. Koordinat düzleminde noktalar çizin. Her bir koordinat çifti için aşağıdakileri yapın: x ekseninde karşılık gelen değeri bulun ve dikey bir çizgi (noktalı çizgi) çizin; y ekseninde karşılık gelen değeri bulun ve yatay bir çizgi (noktalı çizgi) çizin. İki noktalı çizginin kesişme noktasını işaretleyin; böylece, bir grafik noktası çizdiniz.
  
  Noktalı çizgileri silin. Bunu, tüm grafik noktalarını koordinat düzleminde çizdikten sonra yapın. Not: f(x) = x fonksiyonunun grafiği koordinatların merkezinden geçen düz bir çizgidir [koordinatlı nokta (0,0)]; f(x) = x + 2 grafiği f(x) = x doğrusuna paralel, ancak iki birim yukarı kaydırılmış ve bu nedenle (0,2) koordinatlı noktadan geçen bir doğrudur (çünkü sabit 2'dir) .
Karmaşık bir fonksiyonun çizimi

Daha önce, örneğin doğrusal olan diğer işlevleri inceledik, standart biçimini hatırlayalım:

dolayısıyla bariz temel fark - lineer fonksiyonda X birinci derecede duruyor ve incelemeye başladığımız bu yeni fonksiyonda, X ikinci derecede duruyor.

Doğrusal bir fonksiyonun grafiğinin düz bir çizgi olduğunu ve göreceğimiz gibi bir fonksiyonun grafiğinin parabol adı verilen bir eğri olduğunu hatırlayın.

Formülün nereden geldiğini bularak başlayalım. Açıklama şudur: Bize bir kenarı olan bir kare verilirse a, sonra alanını aşağıdaki gibi hesaplayabiliriz:

Karenin kenar uzunluğunu değiştirirsek alanı da değişir.

Böylece, fonksiyonun çalışılmasının nedenlerinden biri verilmiştir.

değişken olduğunu hatırlayın X fiziksel yorumda bağımsız bir değişken veya argümandır, örneğin zaman olabilir. Mesafe, aksine, bağımlı bir değişkendir, zamana bağlıdır. Bağımlı bir değişken veya işlev bir değişkendir de.

Bu, her bir değerin uyduğu yazışma yasasıdır. X tek bir değere eşlenmiş de.

Herhangi bir uygunluk yasası, argümandan fonksiyona benzersizlik gereksinimini karşılamalıdır. Fiziksel bir yorumda, bu, mesafenin zamana bağımlılığı örneğinde oldukça açık görünüyor: zamanın her anında başlangıç noktasından belirli bir uzaklıktayız ve aynı anda t anında her ikisinin birden olması imkansız. Yolculuğun başlangıcından 10 ve 20 kilometre.

Aynı zamanda, her bir fonksiyon değerine birkaç argüman değeri ile ulaşılabilir.

Bu yüzden, fonksiyonun bir grafiğini oluşturmamız, bunu yapmak için bir tablo yapmamız gerekiyor. Daha sonra grafiğe göre fonksiyonu ve özelliklerini inceleyiniz. Ancak grafiği çizmeden önce bile, fonksiyonun biçimine göre özellikleri hakkında bir şeyler söyleyebiliriz: Açıktır ki, de negatif değerler alamaz çünkü

O halde bir tablo yapalım:

Pirinç. 1

Grafikten aşağıdaki özellikleri not etmek kolaydır:

eksen de grafiğin simetri eksenidir;

Parabolün tepesi noktadır (0; 0);

İşlevin yalnızca negatif olmayan değerleri kabul ettiğini görüyoruz;

olduğu aralıkta fonksiyon azalıyor, ancak fonksiyonun arttığı aralıkta;

Fonksiyon, tepe noktasındaki en küçük değeri alır, ;

Fonksiyonun maksimum değeri yoktur;

örnek 1

Koşul:

Karar:

kadarıyla X belirli bir aralıkta koşullu olarak değişir, aralıkta arttığı ve değiştiği fonksiyon hakkında söyleyebiliriz. Fonksiyonun bu aralıkta bir minimum değeri ve bir maksimum değeri vardır.

Pirinç. 2. y = x 2 , x ∈ fonksiyonunun grafiği

Örnek 2

Koşul: Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini bulun:

Karar:

X aralıkta değişir, yani de while aralığında azalır ve while aralığında artar.

Yani değişimin sınırları X ve değişimin sınırları de yani bu aralıkta fonksiyonun hem minimum değeri hem de maksimum değeri vardır.

Pirinç. 3. y = x 2 , x ∈ [-3; 2]

Bir fonksiyonun aynı değerine, argümanın birkaç değeri ile ulaşılabileceğini gösterelim.

Daha önce, örneğin doğrusal olan diğer işlevleri inceledik, standart biçimini hatırlayalım:

dolayısıyla bariz temel fark - lineer fonksiyonda X birinci derecede duruyor ve incelemeye başladığımız bu yeni fonksiyonda, X ikinci derecede duruyor.

Doğrusal bir fonksiyonun grafiğinin düz bir çizgi olduğunu ve göreceğimiz gibi bir fonksiyonun grafiğinin parabol adı verilen bir eğri olduğunu hatırlayın.

Formülün nereden geldiğini bularak başlayalım. Açıklama şudur: Bize bir kenarı olan bir kare verilirse a, sonra alanını aşağıdaki gibi hesaplayabiliriz:

Karenin kenar uzunluğunu değiştirirsek alanı da değişir.

Böylece, fonksiyonun çalışılmasının nedenlerinden biri verilmiştir.

Bu, her bir değerin uyduğu yazışma yasasıdır. X tek bir değere eşlenmiş de.

Aynı zamanda, her bir fonksiyon değerine birkaç argüman değeri ile ulaşılabilir.

O halde bir tablo yapalım:

Pirinç. 1

Grafikten aşağıdaki özellikleri not etmek kolaydır:

eksen de grafiğin simetri eksenidir;

Parabolün tepesi noktadır (0; 0);

İşlevin yalnızca negatif olmayan değerleri kabul ettiğini görüyoruz;

olduğu aralıkta fonksiyon azalıyor, ancak fonksiyonun arttığı aralıkta;

Fonksiyon, tepe noktasındaki en küçük değeri alır, ;

Fonksiyonun maksimum değeri yoktur;

örnek 1

Koşul:

Karar:

Pirinç. 2. y = x 2 , x ∈ fonksiyonunun grafiği

Örnek 2

Koşul: Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini bulun:

Karar:

X aralıkta değişir, yani de while aralığında azalır ve while aralığında artar.

Yani değişimin sınırları X ve değişimin sınırları de yani bu aralıkta fonksiyonun hem minimum değeri hem de maksimum değeri vardır.

Pirinç. 3. y = x 2 , x ∈ [-3; 2]

Bir fonksiyonun aynı değerine, argümanın birkaç değeri ile ulaşılabileceğini gösterelim.

Fonksiyonun grafiği bir saniye x karedir. Fonksiyon Grafiği

adımlar

Doğrusal Bir Fonksiyonu Çizmek

Koordinat düzleminde nokta çizme

Karmaşık bir fonksiyonun çizimi