Bir üçgende dik açıortay nasıl çizilir. Üçgenin dört harika noktası

Bir üçgende dört dikkate değer nokta vardır: medyanların kesişme noktası. Ortaortayların kesişme noktası, yüksekliklerin kesişme noktası ve dik açıortayların kesişme noktası. Her birini düşünelim.

Bir üçgenin medyanlarının kesişme noktası

teorem 1

Bir üçgenin medyanlarının kesişiminde: Bir üçgenin ortancaları bir noktada kesişir ve kesişme noktasını tepe noktasından başlayarak 2:1$ oranında böler.

Kanıt.

$(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ onun medyanı olduğu $ABC$ üçgenini düşünün. Medyanlar kenarları ikiye böldüğü için. $A_1B_1$ orta çizgisini düşünün (Şekil 1).

Şekil 1. Bir üçgenin medyanları

Teorem 1'e göre, $AB||A_1B_1$ ve $AB=2A_1B_1$, dolayısıyla $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. Dolayısıyla $ABM$ ve $A_1B_1M$ üçgenleri, birinci üçgen benzerlik kriterine göre benzerdir. O zamanlar

Benzer şekilde, kanıtlanmıştır ki

Teorem kanıtlanmıştır.

Bir üçgenin açıortaylarının kesişme noktası

Teorem 2

Bir üçgenin bisektörlerinin kesişiminde: Üçgenin açıortayları bir noktada kesişir.

Kanıt.

$AM,\ BP,\ CK$ açıortayı olduğu $ABC$ üçgenini düşünün. $O$ noktası, $AM\ ve\ BP$ açıortaylarının kesişme noktası olsun. Bu noktadan üçgenin kenarlarına dik çizin (Şekil 2).

Şekil 2. Bir üçgenin açıortayları

teorem 3

Genişletilmemiş bir açının açıortayının her noktası, kenarlarından eşit uzaklıktadır.

Teorem 3'e göre: $OX=OZ,\ OX=OY$. Dolayısıyla $OY=OZ$. Dolayısıyla $O$ noktası, $ACB$ açısının kenarlarından eşit uzaklıktadır ve bu nedenle onun açıortayı $CK$ üzerindedir.

Teorem kanıtlanmıştır.

Bir üçgenin dik açıortaylarının kesişme noktası

teorem 4

Bir üçgenin kenarlarının dik açıortayları bir noktada kesişir.

Kanıt.

Bir $ABC$ üçgeni, onun dik açıortayı $n,\ m,\ p$ verilsin. $O$ noktası, $n\ ve\ m$ dik açıortaylarının kesişme noktası olsun (Şekil 3).

Şekil 3. Bir üçgenin dik açıortayları

Kanıt için aşağıdaki teoreme ihtiyacımız var.

teorem 5

Bir doğru parçasına dik açıortayın her noktası, verilen doğru parçasının uçlarından eşit uzaklıktadır.

Teorem 3'e göre, elimizde: $OB=OC,\ OB=OA$ var. Dolayısıyla $OA=OC$. Bu, $O$ noktasının $AC$ segmentinin uçlarından eşit uzaklıkta olduğu ve dolayısıyla onun dik açıortayı $p$ üzerinde bulunduğu anlamına gelir.

Teorem kanıtlanmıştır.

Üçgenin yüksekliklerinin kesişme noktası

Teorem 6

Bir üçgenin yükseklikleri veya uzantıları bir noktada kesişir.

Kanıt.

$(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ üçgeninin yüksekliği olduğu $ABC$ üçgenini düşünün. Köşenin karşısındaki kenara paralel üçgenin her bir köşesi boyunca bir çizgi çizin. Yeni bir $A_2B_2C_2$ üçgeni elde ediyoruz (Şekil 4).

Şekil 4. Bir üçgenin yükseklikleri

$AC_2BC$ ve $B_2ABC$ ortak bir kenarı olan paralelkenarlar olduğundan, $AC_2=AB_2$, yani $A$ noktası, $C_2B_2$ kenarının orta noktasıdır. Benzer şekilde, $B$ noktasının $C_2A_2$ kenarının orta noktası ve $C$ noktasının da $A_2B_2$ kenarının orta noktası olduğunu elde ederiz. Yapımdan şu $(CC)_1\bot A_2B_2,\ (BB)_1\bot A_2C_2,\ (AA)_1\bot C_2B_2$'a sahibiz. Dolayısıyla $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$, $A_2B_2C_2$ üçgeninin dik açıortaylarıdır. Ardından, Teorem 4'e göre, $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ yüksekliklerinin bir noktada kesiştiğini elde ederiz.

orta dik (medyan dik veya medyatriks) verilen doğru parçasına dik olan ve orta noktasından geçen düz bir çizgidir.

Özellikleri

p_a=\tfrac(2aS)(a^2+b^2-c^2), p_b=\tfrac(2bS)(a^2+b^2-c^2), p_c=\tfrac(2cS)( a^2-b^2+c^2), alt simge, dikeyin çizildiği tarafı gösterdiğinde, Süçgenin alanıdır ve ayrıca kenarların eşitsizliklerle ilişkili olduğu varsayılır. a \geqslant b \geqslant c. p_a\geq p_b Ve p_c\geq p_b. Başka bir deyişle, bir üçgen için en küçük medyan dik, orta segmenti ifade eder.

"Orta Dikey" makalesi hakkında bir inceleme yazın

notlar

Dikey bisektörü karakterize eden bir alıntı

Kutuzov, çiğnemek için durdu, Wolzogen'e ne söylendiğini anlamamış gibi şaşkınlıkla baktı. Wolzogen, des alten Herrn'in [yaşlı beyefendi (Almanca)] heyecanını fark ederek bir gülümsemeyle şunları söyledi:
- Gördüklerimi lordunuzdan saklamaya hakkım olduğunu düşünmedim... Birlikler tam bir kargaşa içinde...
- Gördün? Gördün mü? .. - Kutuzov kaşlarını çatarak bağırdı, hızla ayağa kalktı ve Wolzogen'e doğru ilerledi. "Nasıl cüret edersin... nasıl cüret edersin...!" diye bağırdı, titreyen elleriyle ve boğularak tehditkar hareketler yaparak. - Bunu bana söylemeye nasıl cüret edersin, sevgili efendim. Hiçbir şey bilmiyorsun. General Barclay'e benden verdiği bilgilerin yanlış olduğunu ve savaşın gerçek seyrinin, başkomutan tarafından ondan daha iyi bilindiğini söyleyin.
Wolzogen bir şeye itiraz etmek istedi ama Kutuzov onun sözünü kesti.
- Düşman soldan püskürtülür ve sağdan yenilir. İyi görmediyseniz, sevgili efendim, o zaman bilmediğiniz şeyi söylemenize izin vermeyin. Lütfen General Barclay'e gidin ve yarın düşmana saldırmak için vazgeçilmez niyetimi ona iletin, ”dedi Kutuzov sert bir şekilde. Herkes sessizdi ve nefes nefese kalan yaşlı generalin tek bir ağır nefesi duyulabiliyordu. - Tanrı'ya ve cesur ordumuza teşekkür ettiğim her yerde püskürtüldü. Düşman yenildi ve yarın onu kutsal Rus topraklarından çıkaracağız, - dedi Kutuzov, haç çıkararak; ve aniden gözyaşlarına boğuldu. Wolzogen, omuzlarını silkip dudaklarını bükerek sessizce kenara çekildi ve uber diese Eingenommenheit des alten Herrn'i merak etti. [yaşlı beyefendinin bu zorbalığı üzerine. (Almanca)]
Kutuzov, o sırada höyüğün içine giren tombul, yakışıklı siyah saçlı generale “Evet, işte burada, benim kahramanım” dedi. Bütün günü Borodino sahasının ana noktasında geçiren Raevsky'ydi.
Raevsky, birliklerin yerlerini sağlam bir şekilde aldığını ve Fransızların artık saldırmaya cesaret edemediğini bildirdi. Onu dinledikten sonra Kutuzov Fransızca şöyle dedi:
– Emeklilik için en uygun zaman dilimleri mi? [Yani diğerleri gibi geri çekilmemiz gerektiğini düşünmüyorsunuz?] Bir üçgen etrafında çevrelenmiş bir dairenin özelliklerine ilişkin teoremlerin kanıtları

Segmente orta dik

tanım 1. Segmente orta dik bu parçaya dik olan ve ortasından geçen düz bir çizgiye denir (Şekil 1).

Teorem 1. Segmente dik açıortayın her noktası uçlardan aynı uzaklıkta bu segment.

Kanıt . AB doğru parçasına dik açıortay üzerinde rastgele bir D noktası düşünün (Şekil 2) ve ADC ve BDC üçgenlerinin eşit olduğunu kanıtlayın.

Gerçekten de bu üçgenler, AC ve BC bacakları eşit, DC bacakları ortak olan dik açılı üçgenlerdir. ADC ve BDC üçgenlerinin eşitliğinden, AD ve DB segmentlerinin eşitliği gelir. Teorem 1 kanıtlandı.

Teorem 2 (Teorem 1'in Tersi). Bir nokta bir doğru parçasının uçlarından aynı uzaklıktaysa, bu doğru parçasına dik açıortayda bulunur.

Kanıt . Teorem 2'yi “çelişkiyle” yöntemiyle kanıtlayalım. Bu amaçla, bir E noktasının doğru parçasının uçlarından aynı uzaklıkta olduğunu, ancak bu doğru parçasına dik açıortayda yer almadığını varsayalım. Bu varsayımı bir çelişkiye getirelim. İlk önce, E ve A noktalarının dik açıortayın zıt taraflarında olduğu durumu ele alalım (Şekil 3). Bu durumda, EA segmenti, D harfi ile göstereceğimiz bir noktada dik açıortay ile kesişir.

AE doğru parçasının EB parçasından daha uzun olduğunu ispatlayalım. Yok canım,

Böylece, dik açıortayın zıt taraflarında E ve A noktalarının bulunduğu durumda bir çelişki elde etmiş oluyoruz.

Şimdi, E ve A noktalarının dik açıortayın aynı tarafında yer aldığı durumu ele alalım (Şekil 4). EB doğru parçasının AE doğru parçasından daha uzun olduğunu ispatlayalım. Yok canım,

Ortaya çıkan çelişki Teorem 2'nin kanıtını tamamlıyor

Bir üçgeni çevreleyen daire

tanım 2. Bir üçgeni çevreleyen bir daire, üçgenin üç köşesinden geçen daireyi çağırın (Şekil 5). Bu durumda üçgen denir bir daire içinde yazılı bir üçgen veya yazılı üçgen.

Bir üçgen etrafında çevrelenmiş bir dairenin özellikleri. sinüs teoremi

FigürResimMülk
orta dikmeler
üçgenin kenarlarına		 bir noktada kesişmek .

merkez bir dairenin dar bir üçgeni ile çevrelenmişMerkez hakkında anlatılan dar açılı içeri üçgen.
merkez bir dik üçgen etrafında çevrelenmiş daireHakkında açıklanan merkezi dikdörtgen hipotenüsün orta noktası .
merkez bir dairenin geniş bir üçgeni etrafında çevrelenmişMerkez hakkında anlatılan geniş daire üçgen yalan dışarıda üçgen.

,
Alan üçgen

S= 2r 2 günah A günah B günah C ,
Sınırlı çemberin yarıçapı

Herhangi bir üçgen için eşitlik doğrudur:
Bir üçgenin kenarlarına orta dikler

Tüm dik açıortaylar keyfi bir üçgenin kenarlarına çizilmiş, bir noktada kesişmek .
Bir üçgeni çevreleyen daire

Herhangi bir üçgen bir daire ile çevrelenebilir. . Üçgenin çevresine çizilen dairenin merkezi, üçgenin kenarlarına çizilen tüm dik açıortayların kesiştiği noktadır.
Akut bir üçgen etrafında çevrelenmiş bir dairenin merkezi

Merkez hakkında anlatılan dar açılı daire üçgen yalan içeri üçgen.
Bir dik üçgen etrafında çevrelenmiş bir dairenin merkezi

Hakkında açıklanan merkezi dikdörtgen daire üçgeni hipotenüsün orta noktası .
Geniş bir üçgen etrafında çevrelenmiş bir dairenin merkezi

Merkez hakkında anlatılan geniş daire üçgen yalan dışarıda üçgen.

Herhangi bir üçgen için eşitlikler geçerlidir (sinüs teoremi):

,

a, b, c üçgenin kenarları, A, B, C üçgenin açıları, R çevrelenmiş dairenin yarıçapıdır.
Bir üçgenin alanı

Herhangi bir üçgen için eşitlik doğrudur:

S= 2r 2 günah A günah B günah C ,

A, B, C üçgenin açılarıdır, S üçgenin alanıdır, R, çevrelenmiş dairenin yarıçapıdır.
Sınırlı çemberin yarıçapı

Herhangi bir üçgen için eşitlik doğrudur:

a, b, c üçgenin kenarlarıdır, S üçgenin alanıdır, R, çevrelenmiş dairenin yarıçapıdır.

Bir üçgen etrafında çevrelenmiş bir dairenin özelliklerine ilişkin teoremlerin kanıtları

Teorem 3. Rasgele bir üçgenin kenarlarına çizilen tüm orta dikmeler bir noktada kesişir.

Kanıt . ABC üçgeninin AC ve AB kenarlarına çizilen iki dik açıortay düşünün ve bunların kesişme noktalarını O harfi ile belirtin (Şekil 6).

O noktası AC doğru parçasına dik açıortay üzerinde bulunduğundan, o zaman Teorem 1'e göre eşitlik geçerlidir.

  • Yeni bir problem sınıfı hakkında fikir vermek için - ölçek bölmeleri olmayan bir pusula ve cetvel kullanarak geometrik şekillerin inşası.
  • GMT kavramını tanıtın.
  • Dik açıortayın bir tanımını verin, nasıl oluşturulacağını öğretin ve dik açıortay hakkındaki terimi ve bunun tersini kanıtlayın.
  • Pusula-3D bilgisayar çizim sistemini kullanarak, bir pusula ve cetvel kullanarak bir geometri kursunda yapılması önerilen geometrik yapıları gerçekleştirin.

    • Bildiri (Ek No. 1)

    Bir pusula ve bölmesiz bir cetvelle inşa etme sorunları genellikle belirli bir şemaya göre çözülür:

    İ. analiz: İstenilen şekli şematik olarak çizin ve problem verileri ile istenen elemanlar arasında bağlantılar kurun.

    II. Bina: Plana göre pusula ve cetvelle inşa ederler.

    III. Kanıt: Oluşturulan şeklin problemin koşullarını sağladığını kanıtlayın.

    IV. Ders çalışma: Herhangi bir veri için problemin bir çözümü olup olmadığı ve varsa kaç çözümü olduğu (tüm problemlerde uygulanmaz) için bir çalışma yapın.

    İşte ele alacağımız bazı temel inşaat görevleri örnekleri:

    1. Buna eşit bir parça ayırın (daha önce incelendi).

    2. Segmente dik açıortay inşaatı:

    • verilen parçanın orta noktasını oluşturun;
    • verilen bir noktadan geçen ve verilen bir doğruya dik olan bir doğru oluşturun (bir nokta belirli bir doğru üzerinde olabilir veya olmayabilir).

    3. Açıortayın yapısı.

    4. Verilen bir açıya eşit bir açının oluşturulması.

    Segmente dik medyan.

    Tanım: Bir doğru parçasının dik açıortayı, doğru parçasının orta noktasından geçen ve doğru parçasına diktir.

    Görev: "Dikey bisektörü segmente oluşturun." Sunum

    O - AB'nin ortası

    İnşaat açıklaması ( 4 numaralı slayt):

    Işın bir; A - ışının başlangıcı

    Çevre (A; r =m)

    Daire a = B; AB = m

    Daire 1 (A; r 1 > m/2)

    Daire 2 (B; r 1)

    Daire 1 Daire 2 =

    MN ; MN AB =0, (MN = L)

    burada MN AB, O, AB'nin orta noktasıdır

    III. Kanıt(slayt numarası 5, 6)

    1. AMN ve BNM'yi düşünün:

    AM = MB=BN=AN=r 2 , bu nedenle AM ​​= BN , AN = BM MN ortak taraftır

    (Figür 3)

    Bu nedenle, AMN = BNM (3 tarafta),

    sonuç olarak

    1= 2 (tanım gereği eşittir)

    3= 4 (tanım gereği eşittir)

    2. MAN ve NBM ikizkenardır (tanım gereği) ->

    1 \u003d 4 ve 3 \u003d 2 (ikizkenarların özelliğine göre)

    3. Nokta 1 ve 2'den -> 1 = 3 bu nedenle MO, ikizkenar AMB'nin açıortayıdır.

    4. Böylece MN'nin AB doğru parçasına dik açıortay olduğunu kanıtladık.

    IV. Ders çalışma

    Bu sorunun benzersiz bir çözümü var, çünkü Herhangi bir doğru parçasının yalnızca bir orta noktası vardır ve verilen bir noktadan geçene dik olan tek bir doğru çizilebilir.

    Tanım: Geometrik bir nokta kümesi (GMT), bazı özelliklere sahip bir nokta kümesidir. (Ek No. 2)

    GMT tarafından bilinen:

    1. Bir doğru parçasının dik açıortayı, parçanın uçlarından eşit uzaklıkta bulunan noktalar kümesidir.
    2. Bir açının açıortay - açının kenarlarından eşit uzaklıkta bir dizi nokta

    O halde teoremi ispatlayalım:

    Teorem: "Bir doğru parçasına dik açıortayın her noktası bu parçanın uçlarından eşit uzaklıktadır."

    (Şekil 4)

    Verilen: AB; MO - dik açıortay

    Kanıtlayın: AM = VM

    Kanıt:

    1. MO - dik açıortay (koşula göre) -> O - AB, MOAB segmentinin orta noktası

    2. AMO ve WMO'yu düşünün - dikdörtgen

    MO - ortak bacak

    		 AO \u003d VO (O - AB'nin ortası) -\u003e AMO \u003d BMO (2 ayak üzerinde) -\u003e AM \u003d VM (eşit üçgenlerin tanımına göre, karşılık gelen taraflar olarak)

    Q.E.D.

    Ödev: “Teoremi verilen teoremin tersini kanıtlayın”

    Teorem: "Bir doğru parçasının uçlarından eşit uzaklıkta olan her nokta, bu doğru parçasına dik açıortayda bulunur."

    (Şekil 5)

    Verilen: AB; MA=OG

    İspat et: M noktası dik açıortay üzerinde yer alır

    Kanıt:

    O. MO - segmentin uçlarından eşit uzaklıkta tüm noktaları içeren dik açıortay.

    Bir üçgenin kenarlarına dik açıortayların özelliği

    Bir noktada kesişirler ve bu nokta üçgenin etrafındaki çemberin merkezidir, sekizinci sınıfta çalışacağız.

    Atölye

    Malzeme ve teknik ekipman:

    Dağıtım: 29.574 KB

    İşletim Sistemi: Windows 9x/2000/XP

    Web sitesi: http://www.ascon.ru

    Şimdi yapımı bilgisayarın grafik ortamına aktaracağız. (slayt numarası 7)

    Önceden edinilen bilgi ve beceriler belirli bir göreve uygulanmalıdır. İnşaatın sizi bir defterdeki inşaattan daha fazla zaman almayacağını göreceksiniz. Diğer şeylerin yanı sıra, bilgisayar ortamının düzlemsel figürler oluşturmak için insan komutlarını nasıl yürüttüğünü görmek ilginçtir. Sizden önce, yapım adımlarınızın ayrıntılı olarak açıklandığı Ek No. 3'tür. Programı yükleyin ve yeni bir çizim açın ( 8 numaralı slayt, 9).

    Problem koşulunda belirtilen geometrik nesneleri çizin: ray fakat noktadan başlayarak FAKAT ve segment eşittir m- keyfi uzunluk ( 10 numaralı slayt).

    Sekmeyi kullanarak kirişin, segmentin, kirişin başlangıcını çizime girin "Enstrümanlar" Metin.

    Parçaya eşit yarıçaplı bir daire oluşturun m belirli bir nokta tarafından tepe noktasında ortalanmış FAKAT (11 numaralı slayt).

    m A noktasında verilen tepe noktasında ortalanmış ( slayt №12, 13).

    Yarıçapı 1/2'den büyük bir doğru parçasına eşit olan bir daire oluşturun m Bunu yapmak için " öğesini seçin. 2 puan arası” (slayt №14, 15, 16).

    Dairelerin kesişme noktalarından M ve N bir çizgi çiz ( slayt №17,18).

    Kullanılmış Kitaplar:

    1. Ugrinovich N.D. “Bilişim. Temel kurs” 7. Sınıf. - E.: BİNOM - 2008 - 175 s.
    2. Ugrinovich N.D. “Bilişim ve Bilgi Teknolojileri Çalıştayı”. öğretici. - E.: BİNOM, 2004-2006. -
    3. Ugrinovich N.D. “İlköğretim ve lise 8-11 M. sınıflarında “Bilişim ve BİT” dersinin öğretimi M.: BINOM Bilgi Laboratuvarı, 2008. - 180 s.
    4. Ugrinovich ND Bilgisayar atölyesi CD-ROM'da. - E.: BİNOM, 2004-2006.
    5. Boguslavsky A.A., Tretyak T.M. Farafonov A.A. “Pusula - 3D v 5.11-8.0 Yeni başlayanlar için atölye çalışması” - M.: SOLON - BASIN, 2006 - 272 s.
    6. Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., ve diğerleri “Geometri 7-9. Ortaokullar için ders kitabı "- M: Eğitim 2006 - 384 s.
    7. Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., ve diğerleri “7-9. Ders kitabı için yönergeler "- M: Eğitim 1997 - 255 s.
    8. Afanas'eva T.L., Tapilina L.A. “Atanasyan L.S. 8. sınıf ders kitabı için ders planları.” - Volgograd "Öğretmen" 2010, 166 s.

    1 Numaralı Başvuru

    Pusula ve cetvel yapımındaki sorunları çözmeyi planlayın.

    1. Analiz.
    2. İnşaat.
    3. Kanıt.
    4. Ders çalışma.

    Açıklama

    1. Analiz yapılırken gerekli şekil şematik olarak çizilir ve görev verileri ile gerekli elemanlar arasında bağlantı kurulur.
    2. Plana göre inşaat pergel ve cetvelle yapılıyor.
    3. Oluşturulan şeklin problemin koşullarını karşıladığını kanıtlarlar.
    4. Bir araştırma yapın: Herhangi bir veri için sorunun bir çözümü var mı ve varsa kaç çözümü var?

    Temel inşaat görevlerine örnekler

    1. Verilene eşit bir parça ayırın.
    2. Bir parçaya dik bir açıortay oluşturun.
    3. Segmentin orta noktasını oluşturun.
    4. Verilen doğruya dik olarak verilen noktadan geçen bir doğru oluşturun (Nokta verilen doğru üzerinde olabilir veya olmayabilir).
    5. Bir açıortay oluşturun.
    6. Verilen açıya eşit bir açı oluşturun.

    Uygulama №2

    Noktaların yeri (GMT), bazı özelliklere sahip bir dizi noktadır.

    GMT örnekleri:

    1. Bir doğru parçasının dik açıortayı, parçanın uçlarından eşit uzaklıkta bulunan noktalar kümesidir.
    2. Bir daire, verilen bir noktadan - dairenin merkezinden - eşit uzaklıkta bulunan bir dizi noktadır.
    3. Bir açının açıortay, açının kenarlarından eşit uzaklıkta bulunan noktalar kümesidir.

    Bir doğru parçasına dik açıortayın her noktası bu parçanın uçlarından eşit uzaklıktadır.

    Bir önceki derste, bir açının açıortayının özelliklerini hem üçgen içinde hem de serbest olarak ele aldık. Üçgen üç açı içerir ve her biri için açıortayın dikkate alınan özellikleri korunur.

    teorem:

    Üçgenin AA 1, BB 1, CC 1 açıortayları bir O noktasında kesişir (Şekil 1).

    Pirinç. 1. Teoremin gösterimi

    Kanıt:

    İlk iki açıortay BB 1 ve СС 1'i ele alalım. Kesişirler, kesişme noktası O vardır. Bunu kanıtlamak için tam tersini varsayalım: verilen açıortaylar kesişmesin, bu durumda paraleldirler. O halde BC doğrusu bir kesen ve açıların toplamıdır. bu, üçgenin bütününde açıların toplamının olduğu gerçeğiyle çelişir.

    Böylece, iki açıortayın kesiştiği O noktası vardır. Özelliklerini düşünün:

    O noktası açıortayı üzerinde yer alır, yani BA ve BC kenarlarından eşit uzaklıktadır. OK, BC'ye dikse, OL BA'ya dikse, bu diklerin uzunlukları -'ye eşittir. Ayrıca, O noktası açının açıortayı üzerinde yer alır ve CB ve CA kenarlarından eşit uzaklıktadır, OM ve OK dikmeleri eşittir.

    Aşağıdaki eşitlikleri elde ettik:

    yani O noktasından üçgenin kenarlarına bırakılan üç dikmenin hepsi birbirine eşittir.

    OL ve OM diklerinin eşitliği ile ilgileniyoruz. Bu eşitlik, O noktasının açının kenarlarından eşit uzaklıkta olduğunu, dolayısıyla AA 1 ortay üzerinde bulunduğunu söyler.

    Böylece, bir üçgenin üç bisektörünün hepsinin bir noktada kesiştiğini kanıtladık.

    Ek olarak, üçgen üç parçadan oluşur, bu da tek bir parçanın özelliklerini dikkate almamız gerektiği anlamına gelir.

    AB segmenti verilir. Herhangi bir segmentin bir ortası vardır ve içinden bir dik çizilebilir - onu p ile gösteririz. Böylece p dik açıortaydır.

    Pirinç. 2. Teoremin gösterimi

    Dik açıortay üzerinde bulunan herhangi bir nokta, parçanın uçlarından eşit uzaklıktadır.

    Bunu kanıtlayın (Şekil 2).

    Kanıt:

    Üçgenleri düşünün ve . Dikdörtgendirler ve eşittirler, çünkü ortak bir OM bacağına sahiptirler ve AO ve OB'nin bacakları koşul olarak eşittir, bu nedenle, iki ayakta eşit iki dik açılı üçgenimiz var. Buradan, üçgenlerin hipotenüslerinin de eşit olduğu, yani kanıtlanması gerektiği sonucu çıkar.

    Ters teoremi doğrudur.

    Bir doğru parçasının uçlarından eşit uzaklıkta bulunan her nokta, bu parçaya dik açıortay üzerinde yer alır.

    AB parçası verilmiştir, ona dik açıortay p'dir, M noktası parçanın uçlarından eşit uzaklıktadır. M noktasının doğru parçasına dik açıortay üzerinde olduğunu kanıtlayın (Şekil 3).

    Pirinç. 3. Teoremin gösterimi

    Kanıt:

    Bir üçgen düşünelim. Duruma göre ikizkenardır. Üçgenin medyanını düşünün: O noktası AB tabanının orta noktasıdır, OM medyanıdır. Bir ikizkenar üçgenin özelliğine göre, tabanına çizilen medyan hem yükseklik hem de açıortaydır. Dolayısıyla bunu takip eder. Ancak p doğrusu AB'ye de diktir. AB doğru parçasına tek bir dikin O noktasına çizilebileceğini biliyoruz, bu da OM ve p doğrularının çakıştığı anlamına gelir, dolayısıyla M noktasının p doğrusuna ait olduğu ve bunun kanıtlanması gerektiği sonucu çıkar.

    Doğrudan ve ters teoremler genelleştirilebilir.

    Bir nokta, ancak ve ancak bu doğru parçasının uçlarından eşit uzaklıktaysa, doğru parçasının dik açıortayı üzerinde bulunur.

    Böylece, bir üçgende üç parça olduğunu ve dik açıortayın özelliğinin her birine uygulanabilir olduğunu tekrarlıyoruz.

    teorem:

    Bir üçgenin dik açıortayları bir noktada kesişir.

    Bir üçgen verilir. Kenarlarına dik: P 1 BC tarafına, P 2 AC tarafına, P 3 AB tarafına.

    Р 1 , Р 2 ve Р 3 diklerinin O noktasında kesiştiğini kanıtlayın (Şek. 4).

    Pirinç. 4. Teoremin gösterimi

    Kanıt:

    P 2 ve P 3 orta dikmelerini ele alalım, kesişirler, O kesişim noktası vardır. Bu gerçeği çelişkiyle kanıtlayalım - P 2 ve P 3 dikleri paralel olsun. O zaman açı düzdür, bu da bir üçgenin üç açısının toplamının . Böylece, üç dik açıortaydan ikisinin kesiştiği bir O noktası vardır. O noktasının özellikleri: AB kenarına dik açıortay üzerinde bulunur, bu da AB: parçasının uçlarından eşit uzaklıkta olduğu anlamına gelir. Aynı zamanda AC kenarına dik açıortay üzerinde bulunur, yani . Aşağıdaki eşitlikleri elde ettik.

    benzer gönderiler