Denklem 2'yi çözün 4. Doğrusal denklemleri örneklerle çözme
7. sınıf matematik dersinde ilk olarak öğrencilerle tanışırlar. iki değişkenli denklemler, ancak bunlar yalnızca iki bilinmeyenli denklem sistemleri bağlamında incelenir. Bu nedenle, onları sınırlayan denklemin katsayılarına belirli koşulların getirildiği bir takım problemler gözden kayboluyor. Ayrıca, USE materyallerinde ve giriş sınavlarında bu tür problemlere daha sık rastlanmasına rağmen, “Doğal veya tam sayılarda bir denklemi çözme” gibi problem çözme yöntemleri de göz ardı edilmektedir.
Hangi denklem iki değişkenli denklem olarak adlandırılır?
Örneğin, 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 veya xy = 12 denklemleri iki değişkenli denklemlerdir.
2x - y = 1 denklemini göz önünde bulundurun. x = 2 ve y = 3'te gerçek bir eşitliğe dönüşür, bu nedenle bu değişken değer çifti, söz konusu denklemin bir çözümüdür.
Böylece, iki değişkenli herhangi bir denklemin çözümü, sıralı çiftler (x; y) kümesidir, bu denklemin gerçek bir sayısal eşitliğe dönüştüğü değişkenlerin değerleri.
İki bilinmeyenli bir denklem şunları yapabilir:
fakat) tek bir çözümü var.Örneğin, x 2 + 5y 2 = 0 denkleminin tek bir çözümü vardır (0; 0);
B) birden fazla çözümü var.Örneğin (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0'ın 4 çözümü vardır: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);
içinde) çözümleri yok.Örneğin, x 2 + y 2 + 1 = 0 denkleminin çözümü yoktur;
G) sonsuz sayıda çözümü vardır.Örneğin, x + y = 3. Bu denklemin çözümleri toplamı 3 olan sayılar olacaktır. Bu denklemin çözüm kümesi (k; 3 - k) şeklinde yazılabilir, burada k herhangi bir gerçek sayıdır.
İki değişkenli denklemleri çözmenin ana yöntemleri, ifadelerin faktörlere ayrıştırılmasına, tam karenin seçilmesine, ikinci dereceden bir denklemin özelliklerinin kullanılmasına, ifadelerin sınırlılığına ve değerlendirme yöntemlerine dayanan yöntemlerdir. Denklem, kural olarak, bilinmeyenleri bulmak için bir sistemin elde edilebileceği bir forma dönüştürülür.
çarpanlara ayırma
örnek 1
Denklemi çözün: xy - 2 = 2x - y.
Çözüm.
Faktoring amacıyla terimleri gruplandırıyoruz:
(xy + y) - (2x + 2) = 0. Her bir parantezden ortak çarpanı çıkarın:
y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;
(x + 1)(y - 2) = 0.
y = 2, x herhangi bir gerçek sayıdır veya x = -1, y herhangi bir gerçek sayıdır.
Böylece, cevap (x; 2), x € R ve (-1; y), y € R şeklindeki tüm çiftlerdir.
Negatif olmayan sayıların sıfıra eşitliği
Örnek 2
Denklemi çözün: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).
Çözüm.
gruplandırma:
(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12y + 9) = 0. Şimdi her parantez kare fark formülü kullanılarak daraltılabilir.
(3x - 2) 2 + (2y - 3) 2 = 0.
Negatif olmayan iki ifadenin toplamı, yalnızca 3x - 2 = 0 ve 2y - 3 = 0 ise sıfırdır.
Yani x = 2/3 ve y = 3/2.
Cevap: (2/3; 3/2).
Evrim metodu
Örnek 3
Denklemi çözün: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) = 2.
Çözüm.
Her parantezde tam kareyi seçin:
((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Tahmin 
parantez içindeki ifadelerin anlamı.
(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 ve (y - 2) 2 + 2 ≥ 2, bu durumda denklemin sol tarafı her zaman en az 2'dir. Eşitlik şu durumlarda mümkündür:
(x + 1) 2 + 1 = 1 ve (y - 2) 2 + 2 = 2, yani x = -1, y = 2.
Cevap: (-1; 2).
İkinci dereceden iki değişkenli denklemleri çözmek için başka bir yöntemle tanışalım. Bu yöntem, denklemin şu şekilde kabul edilmesidir. bazı değişkenlere göre kare.
Örnek 4
Denklemi çözün: x 2 - 6x + y - 4√y + 13 = 0.
Çözüm.
Denklemi x'e göre ikinci dereceden bir denklem olarak çözelim. Diskriminantı bulalım:
D = 36 - 4(y - 4√y + 13) = -4y + 16√y - 16 = -4(√y - 2) 2 . Denklemin yalnızca D = 0 ise, yani y = 4 ise bir çözümü olacaktır. y'nin değerini orijinal denklemde yerine koyarız ve x = 3 olduğunu buluruz.
Cevap: (3; 4).
Genellikle iki bilinmeyenli denklemlerde değişkenler üzerindeki kısıtlamalar.
Örnek 5
Denklemi tam sayılarda çözün: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.
Çözüm.
Denklemi x 2 = -5y 2 + 20x + 2 biçiminde yeniden yazalım. Ortaya çıkan denklemin sağ tarafı, 5'e bölündüğünde 2 kalanını verir. Bu nedenle, x 2, 5'e bölünemez. 5 ile bölünemeyen bir sayının 1 veya 4 kalanını verir. Bu nedenle eşitlik imkansızdır ve çözümü yoktur.
Cevap: kök yok.
Örnek 6
Denklemi çözün: (x 2 - 4|x| + 5) (y 2 + 6y + 12) = 3.
Çözüm.
Her bir parantez içindeki tam kareleri seçelim:
((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Denklemin sol tarafı her zaman 3'e eşit veya büyüktür. |x| ise eşitlik mümkündür. – 2 = 0 ve y + 3 = 0. Böylece x = ± 2, y = -3.
Cevap: (2; -3) ve (-2; -3).
Örnek 7
Denklemi sağlayan her bir negatif tam sayı (x; y) çifti için
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, toplamı (x + y) hesaplayın. En küçük miktarı cevaplayın.
Çözüm.
Tam kareleri seçin:
(x 2 - 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;
(x - y) 2 + (y + 2) 2 = 37. x ve y tamsayı olduğu için kareleri de tam sayıdır. 37'ye eşit iki tamsayının karelerinin toplamı 1 + 36'yı toplarsak elde ederiz. Bu nedenle:
(x - y) 2 = 36 ve (y + 2) 2 = 1 
(x - y) 2 = 1 ve (y + 2) 2 = 36.
Bu sistemleri çözerek ve x ve y'nin negatif olduğunu dikkate alarak çözümler buluyoruz: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).
Cevap: -17.
İki bilinmeyenli denklemleri çözerken zorluk yaşıyorsanız umutsuzluğa kapılmayın. Biraz pratikle, herhangi bir denklemde ustalaşabileceksiniz.
Sormak istediğiniz bir şey var mı? İki değişkenli denklemleri nasıl çözeceğinizi bilmiyor musunuz?
Bir öğretmenden yardım almak için - kaydolun.
İlk ders ücretsiz!
site, materyalin tamamen veya kısmen kopyalanmasıyla, kaynağa bir bağlantı gereklidir.
Köşeli parantezleri açıp benzer terimleri azalttıktan sonra şu şekli alan bir bilinmeyenli denklem
balta + b = 0 a ve b rasgele sayılar olduğunda denir Doğrusal Denklem bir bilinmeyenle. Bugün bu lineer denklemlerin nasıl çözüleceğini bulacağız.
Örneğin, tüm denklemler:
2x + 3 \u003d 7 - 0,5x; 0.3x = 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - doğrusal.
Denklemi gerçek bir eşitliğe dönüştüren bilinmeyenin değerine denir. karar veya denklemin kökü .
Örneğin, 3x + 7 \u003d 13 denkleminde bilinmeyen x yerine 2 sayısını değiştirirsek, 3 2 + 7 \u003d 13 doğru eşitliğini elde ederiz. Bu, x \u003d 2 değerinin çözüm olduğu anlamına gelir. veya denklemin kökü.
Ve x \u003d 3 değeri, 3x + 7 \u003d 13 denklemini 3 2 + 7 ≠ 13'ten beri gerçek bir eşitliğe dönüştürmez. Bu nedenle, x \u003d 3 değeri denklemin bir çözümü veya kökü değildir.
Herhangi bir lineer denklemin çözümü, formun denklemlerinin çözümüne indirgenir.
balta + b = 0.
Serbest terimi denklemin sol tarafından sağ tarafa aktarıyoruz, b'nin önündeki işareti tersine değiştirirken,
a ≠ 0 ise, x = – b/a .
örnek 1 3x + 2 =11 denklemini çözün.
Denklemin sol tarafından 2'yi sağa kaydırıyoruz, 2'nin önündeki işareti tersine değiştirirken,
3x \u003d 11 - 2.
Çıkarma yapalım o zaman
3x = 9.
x'i bulmak için, ürünü bilinen bir faktöre bölmeniz gerekir, yani,
x = 9:3.
Yani x = 3 değeri denklemin çözümü veya köküdür.
Cevap: x = 3.
a = 0 ve b = 0 ise, sonra 0x \u003d 0 denklemini alırız. Bu denklemin sonsuz sayıda çözümü vardır, çünkü herhangi bir sayıyı 0 ile çarparken 0 alırız, ancak b de 0'dır. Bu denklemin çözümü herhangi bir sayıdır.
Örnek 2 5(x - 3) + 2 = 3 (x - 4) + 2x - 1 denklemini çözün.
Parantezleri genişletelim:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.
5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.
İşte benzer üyeler:
0x = 0.
Cevap: x herhangi bir sayıdır.
a = 0 ve b ≠ 0 ise, sonra 0x = - b denklemini elde ederiz. Bu denklemin çözümü yoktur, çünkü herhangi bir sayıyı 0 ile çarparken 0 elde ederiz, ancak b ≠ 0 olur.
Örnek 3 x + 8 = x + 5 denklemini çözün.
Bilinmeyenleri içeren terimleri sol tarafta, serbest terimleri sağ tarafta gruplayalım:
x - x \u003d 5 - 8.
İşte benzer üyeler:
0x = - 3.
Cevap: Çözüm yok.
Üzerinde Şekil 1 lineer denklemi çözme şeması gösterilmiştir
Tek değişkenli denklemleri çözmek için genel bir şema oluşturalım. Örnek 4'ün çözümünü düşünün.
Örnek 4 denklemi çözelim
1) Denklemin tüm terimlerini paydaların en küçük ortak katı olan 12 ile çarpın.
2) İndirgemeden sonra şunu elde ederiz:
4 (x - 4) + 3 2 (x + 1) - 12 = 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)
3) Bilinmeyen ve boş üyeler içeren üyeleri ayırmak için parantezleri açın:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.
4) Bir kısımda bilinmeyenleri içeren terimleri, diğerinde ise serbest terimleri gruplandırıyoruz:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.
5) İşte benzer üyeler:
- 22x = - 154.
6) - 22'ye bölün, şunu elde ederiz:
x = 7.
Gördüğünüz gibi, denklemin kökü yedidir.
Genel olarak, böyle denklemler aşağıdaki gibi çözülebilir:
a) denklemi bir tamsayı biçimine getirmek;
b) parantezleri açın;
c) denklemin bir kısmında bilinmeyeni içeren terimleri ve diğer kısmında serbest terimleri gruplandırın;
d) benzer üyeleri getirmek;
e) Benzer terimler getirilerek elde edilen aх = b biçimindeki bir denklemi çözer.
Ancak, bu şema her denklem için gerekli değildir. Daha basit birçok denklemi çözerken, birinciden değil ikinciden başlamak gerekir ( Örnek vermek. 2), üçüncü ( Örnek vermek. 13) ve hatta beşinci aşamadan, örnek 5'te olduğu gibi.
Örnek 5 2x = 1/4 denklemini çözün.
Bilinmeyen x \u003d 1/4: 2'yi buluyoruz,
x = 1/8 .
Ana durum sınavında karşılaşılan bazı lineer denklemlerin çözümünü düşünün.
Örnek 6 Denklem 2 (x + 3) = 5 - 6x'i çözün.
2x + 6 = 5 - 6x
2x + 6x = 5 - 6
Cevap: - 0.125
Örnek 7 Denklemi çözün - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7.
– 30 + 18x = 8x – 7
18x - 8x = - 7 +30
Cevap: 2.3
Örnek 8 Denklemi çözün
3(3x - 4) = 4 7x + 24
9x - 12 = 28x + 24
9x - 28x = 24 + 12
Örnek 9 f(x + 2) = 3 7 ise f(6)'yı bulun
Çözüm
f(6)'yı bulmamız gerektiğinden ve f (x + 2) bildiğimizden,
o zaman x + 2 = 6.
x + 2 = 6 lineer denklemini çözüyoruz,
x \u003d 6 - 2, x \u003d 4 alıyoruz.
x = 4 ise
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27
Cevap: 27.
Hala sorularınız varsa, denklemlerin çözümünü daha iyi anlama arzusu varsa, TAKVİM'deki derslerime kaydolun. Sana yardım etmekten memnun olacağım!
TutorOnline ayrıca öğretmenimiz Olga Alexandrovna'nın hem lineer denklemleri hem de diğerlerini anlamanıza yardımcı olacak yeni bir eğitim videosunu izlemenizi önerir.
site, materyalin tamamen veya kısmen kopyalanmasıyla, kaynağa bir bağlantı gereklidir.
İki tür denklem çözme sistemini analiz edeceğiz:
1. Sistemin ikame yöntemiyle çözümü.
2. Sistemin denklemlerini terim terim toplama (çıkarma) yoluyla sistemin çözümü.
Denklem sistemini çözmek için ikame yöntemi basit bir algoritma izlemeniz gerekir:
1. Biz ifade ederiz. Herhangi bir denklemden bir değişken ifade ederiz.
2. Değiştirin. Ortaya çıkan değeri, ifade edilen değişken yerine başka bir denklemde değiştiririz.
3. Ortaya çıkan denklemi bir değişkenle çözüyoruz. Sisteme bir çözüm buluyoruz.
Çözmek için terim terim toplama (çıkarma) ile sistem gerekli:
1. Aynı katsayıları yapacağımız bir değişken seçin.
2. Denklemleri toplar veya çıkarırız, sonuç olarak tek değişkenli bir denklem elde ederiz.
3. Elde edilen lineer denklemi çözüyoruz. Sisteme bir çözüm buluyoruz.
Sistemin çözümü, fonksiyonun grafiklerinin kesişim noktalarıdır.
Örnekler kullanarak sistemlerin çözümünü ayrıntılı olarak ele alalım.
Örnek 1:
Yerine koyma yöntemiyle çözelim
Denklem sistemini ikame yöntemiyle çözme2x+5y=1 (1 denklem)
x-10y=3 (2. denklem)
1. Ekspres
İkinci denklemde katsayısı 1 olan bir x değişkeni olduğu görülebilir, dolayısıyla x değişkenini ikinci denklemden ifade etmenin en kolay olduğu ortaya çıkıyor.
x=3+10y
2. İfade ettikten sonra ilk denklemde x değişkeni yerine 3 + 10y yerine koyuyoruz.
2(3+10y)+5y=1
3. Ortaya çıkan denklemi bir değişkenle çözüyoruz.
2(3+10y)+5y=1 (parantezleri açın)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0.2
Denklem sisteminin çözümü, grafiklerin kesişim noktalarıdır, bu nedenle x ve y'yi bulmamız gerekiyor, çünkü kesişme noktası x ve y'den oluşuyor.X'i bulalım, ifade ettiğimiz ilk paragrafta y'yi orada yerine koyuyoruz.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1
İlk etapta puan yazmak gelenekseldir, x değişkenini ve ikinci sırada y değişkenini yazarız.
Cevap: (1; -0.2)
Örnek #2:
Terim terim toplama (çıkarma) ile çözelim.
Bir denklem sistemini toplama yöntemiyle çözme3x-2y=1 (1 denklem)
2x-3y=-10 (2. denklem)
1. Bir değişken seçin, diyelim ki x'i seçtik. İlk denklemde, x değişkeninin katsayısı 3, ikincisinde - 2. Katsayıları aynı yapmamız gerekiyor, bunun için denklemleri çarpma veya herhangi bir sayıya bölme hakkımız var. İlk denklemi 2 ile, ikinci denklemi 3 ile çarparız ve toplam 6 katsayısını elde ederiz.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. İlk denklemden ikinciyi çıkararak x değişkeninden kurtulun.Doğrusal denklemi çözün.
__6x-4y=2
5y=32 | :beş
y=6.4
3. x'i bulun. Bulunan y'yi herhangi bir denklemde yerine koyarız, diyelim ki ilk denklemde.
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6
Kesişme noktası x=4.6 olacaktır; y=6.4
Cevap: (4.6; 6.4)
Sınavlara ücretsiz hazırlanmak ister misiniz? çevrimiçi öğretmen bedava. Şaka yapmıyorum.
