Ters fonksiyon. Teori ve uygulama C 3 ters fonksiyon seçeneği 2

Bir y=f(x) fonksiyonu olsun, X onun tanım bölgesidir, Y ise değer aralığıdır. Her x 0 'nın tek bir y 0 =f(x 0), y 0 Y değerine karşılık geldiğini biliyoruz.

Her y'nin (veya onun  1 parçasının) aynı zamanda X'ten gelen tek bir x'e karşılık geldiği ortaya çıkabilir.

Daha sonra  bölgesinde (veya   kısmında) x=y fonksiyonunun y=f(x) fonksiyonunun ters fonksiyonu olarak tanımlandığını söylüyorlar.

Örneğin:

X =(); Y=$

Bu fonksiyon $X$ aralığında azalan ve sürekli olduğundan, o zaman $Y=$ aralığında da azalan ve bu aralıkta süreklidir (Teorem 1).

$x$'ı hesaplayalım:

\ \

Uygun $x$'ı seçin:

Cevap: ters fonksiyon $y=-\sqrt(x)$.

Ters fonksiyonları bulma problemleri

Bu bölümde bazı temel fonksiyonlar için ters fonksiyonları ele alacağız. Sorunları yukarıda verilen şemaya göre çözeceğiz.

Örnek 2

$y=x+4$ fonksiyonu için ters fonksiyonu bulun

$y=x+4$ denkleminden $x$'ı bulalım:

Örnek 3

$y=x^3$ fonksiyonu için ters fonksiyonu bulun

Çözüm.

Fonksiyon tüm tanım bölgesi boyunca artan ve sürekli olduğundan, Teorem 1'e göre üzerinde ters sürekli ve artan bir fonksiyon vardır.

$y=x^3$ denkleminden $x$'ı bulalım:

$x$'ın uygun değerlerini bulma

Değer bizim durumumuza uygundur (çünkü tanımın alanı tüm sayılardır)

Değişkenleri yeniden tanımlayalım, ters fonksiyonun şu şekilde olduğunu elde edelim:

Örnek 4

$$ aralığında $y=cosx$ fonksiyonu için ters fonksiyonu bulun

Çözüm.

$X=\left$ kümesinde $y=cosx$ fonksiyonunu düşünün. $X$ kümesinde süreklidir ve azalmaktadır ve $X=\left$ kümesini $Y=[-1,1]$ kümesine eşler, dolayısıyla ters sürekli monoton fonksiyonun varlığına ilişkin teoreme göre, $y=cosx$ fonksiyonu $ Y$ kümesinde bir ters fonksiyon vardır, bu da $Y=[-1,1]$ kümesinde sürekli ve artandır ve $[-1,1]$ kümesini eşler $\left$ kümesine.

$y=cosx$ denkleminden $x$'ı bulalım:

$x$'ın uygun değerlerini bulma

Değişkenleri yeniden tanımlayalım, ters fonksiyonun şu şekilde olduğunu elde edelim:

Örnek 5

$y=tgx$ fonksiyonunun $\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ aralığında ters fonksiyonunu bulun.

Çözüm.

$X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ kümesindeki $y=tgx$ fonksiyonunu düşünün. $X$ kümesinde süreklidir ve artmaktadır ve $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ kümesini $Y kümesine eşler =R$, bu nedenle, ters sürekli monoton fonksiyonun varlığına ilişkin teoreme göre, $Y$ kümesindeki $y=tgx$ işlevi, $Y$ kümesinde de sürekli ve artan bir ters fonksiyona sahiptir. $ ve $R$ kümesini $\left(- \frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ kümesine eşler

$y=tgx$ denkleminden $x$'yi bulalım:

$x$'ın uygun değerlerini bulma

Değişkenleri yeniden tanımlayalım, ters fonksiyonun şu şekilde olduğunu elde edelim:

Belirli bir f fonksiyonu ve onun argümanının belirli bir değeri verildiğinde, bu noktada fonksiyonun değerini hesaplamanın gerekli olduğu bir problemle zaten karşılaştık. Ancak bazen ters problemle yüzleşmeniz gerekir: bilinen bir f fonksiyonu ve onun belirli değeri y olduğunda, fonksiyonun belirli bir y değerini aldığı argümanın değerini bulmak.

Her değerini kendi tanım kümesindeki tek bir noktada alan fonksiyona tersinir fonksiyon denir. Örneğin, doğrusal bir fonksiyon şöyle olabilir: tersinir fonksiyon. Ancak ikinci dereceden fonksiyon veya sinüs fonksiyonu tersinir fonksiyonlar olmayacaktır. Çünkü bir fonksiyon aynı değeri farklı argümanlarla alabilir.

Ters fonksiyon

F'nin keyfi bir tersinir fonksiyon olduğunu varsayalım. Kendi y0 değerlerinin tanım kümesindeki her sayı, x0 tanım kümesinden yalnızca bir sayıya karşılık gelir, öyle ki f(x0) = y0.

Şimdi her x0 değerini bir y0 değeriyle ilişkilendirirsek yeni bir fonksiyon elde ederiz. Örneğin, f(x) = k * x + b doğrusal fonksiyonu için g(x) = (x - b)/k fonksiyonu bunun tersi olacaktır.

Eğer bazı işlevler G her noktada X Ters çevrilebilir fonksiyonun değer aralığı f, f(y) = x olacak şekilde bir değer alırsa, o zaman fonksiyon deriz G- f'nin ters bir fonksiyonu vardır.

Eğer bize ters çevrilebilir bir f fonksiyonunun grafiği verilirse, o zaman ters fonksiyonun bir grafiğini oluşturmak için aşağıdaki ifadeyi kullanabiliriz: f fonksiyonunun grafiği ve onun ters fonksiyonu g, düzlüğe göre simetrik olacaktır. y = x denklemiyle belirtilen çizgi.

Eğer bir g fonksiyonu bir f fonksiyonunun tersi ise, o zaman g fonksiyonu tersinir bir fonksiyon olacaktır. Ve f fonksiyonu g fonksiyonunun tersi olacaktır. Genellikle iki fonksiyonun f ve g'nin karşılıklı olarak birbirinin tersi olduğu söylenir.

Aşağıdaki şekil f ve g fonksiyonlarının karşılıklı olarak birbirine ters grafiklerini göstermektedir.

Aşağıdaki teoremi türetelim: Eğer bir f fonksiyonu belirli bir A aralığında artarsa ​​(veya azalırsa), o zaman tersinirdir. F fonksiyonunun değer aralığında tanımlanan ters g fonksiyonu aynı zamanda artan (veya buna uygun olarak azalan) bir fonksiyondur. Bu teorem denir ters fonksiyon teoremi.