Çokgen olmayan geometrik şekiller. düzgün çokgen

Geometri sırasında, geo-met-ri-che-sky figürlerinin özelliklerini inceliyoruz ve bunların en basitine zaten baktık: üçgen-ni-ki ve çevre. Aynı zamanda, bu şekillerin dikdörtgen, eşit-fakir-ren ve dik üçgen-no-ki gibi özel durumları ve olup olmadığını tartışıyoruz. Şimdi daha genel ve karmaşık fi-gu-rah hakkında konuşma zamanı - çok-kömür-hayır-kah.

Özel bir dava ile çok-kömür-ni-kov biz zaten biliyoruz - bu bir üçgen (bkz. Şekil 1).

Pirinç. 1. Üçgen takma

Adının kendisinde, fi-gu-ra olduğu zaten cher-ki-va-et-sya'nın altında, birinin üç köşesi var. Va-tel-yanında ama, içinde çok fazla kömür birçoğu olabilir, yani. üçten fazla. Örneğin, beş kömürlü bir nickin görüntüsü (bkz. Şekil 2), yani. beş açı-la-mi ile fi-gu-ru.

Pirinç. 2. Beş kömürlü. Sen-far-ly-çok-kömür-takma adı

Tanım.Çokgen- fi-gu-ra, birkaç noktadan (ikiden fazla) oluşan ve inci kov'un cevabına karşılık gelen, birileri onları va-tel-ama birleştirilmiş-ed-nya-yut'tan sonra çavdar. Bu noktalar on-zy-va-yut-sya üst shi-on-miçok fazla kömür yok, ama kesimden - yüz-ro-on-mi. Aynı zamanda, hiçbir iki bitişik kenar aynı düz çizgi üzerinde bulunmaz ve bitişik olmayan iki kenar da re-se-ka-yut-sya yapmaz.

Tanım.Sağ ileri çoklu kömür takma adı- bu dışbükey bir poli-kömür nickidir, biri-ro-go için tüm taraflar ve açılar eşittir.

Hiç çokgen düzlemi iki bölgeye ayırın: iç ve dış. iç-ren-ny alanı da-but-syat'tan çok fazla kömür.

Yani örneğin beşli kömür-ni-keden bahsettiklerinde hem onun tüm iç bölgesini hem de border tsu'yu kastediyorlar. Ve no-syat-sya'dan bölgenin iç-ren-it'ine ve tüm noktalara, bir miktar çavdar, bir sürü-kömür-no-ka içinde, yani. nokta aynı zamanda Xia'dan beş-kömür-no-ku'ya kadardır (bkz. Şekil 2).

Bilinmeyen-bir-bir-bir-bir-şeyin-üzerinde-çay yaygın olduğunu vurgulamak için, bir çok-kömür-no-ki hala bazen n-coal-no-ka-mi olarak adlandırılır. -köşe sayısı (n adet).

Tanım. Pe-ri-metre çok-kömür-no-ka- çok-kömür-no-ka'nın kenarlarının uzunluklarının toplamı.

Şimdi çok-kömür-hayır-kov'un görüşleri ile bilmek-bilmek gerekiyor. onlar de-lyat-xia hantal ve hacimli olmayan. Örneğin, Şekil 2'de gösterilen bir poli-kömür çentiği. 2, is-la-et-sya you-bump-ly ve Şekil 1'de. 3 demet lym.

Pirinç. 3. Dışbükey olmayan poli-kömür nick

2. Dışbükey ve dışbükey olmayan çokgenler

Dosyaları tanımlama 1. Çokgen na-zy-va-et-sya osuruk, pro-ve-de-nii yanlarından herhangi biri boyunca doğrudan olduğunda, bütün çokgen bu düz çizgiden sadece yüz ro-kuyu uzanıyor. Nevy-puk-ly-mi yav-la-yut-sya geri kalan her şey çok fazla kömür.

Şekil 5'teki beş kömürsüz ka'nın herhangi bir tarafını uzatırken hayal etmek kolaydır. 2 bu düz madenden tamamen ok-zhet-sya yüz ro-kuyu, yani. o şişkin. Ancak, pro-ve-de-nii, Şekil 4'te dört-sen-kömür-no-ke'de düz olduğunda. 3, zaten onu ikiye böldüğünü görüyoruz, yani. o hantal değil.

Ama başka bir def-de-le-nie you-pompa-lo-sti çok-kömür-no-ka var.

Opré-de-les-nie 2. Çokgen na-zy-va-et-sya osuruk, dahili noktalarından herhangi ikisini seçtiğinizde ve bunları bir kesimden bağladığınızda, bir kesimdeki tüm noktalar da dahili -no-mi nokta-ka-mi çok-kömür-hayır-ka'dır.

Bu silme tanımının kullanımının bir gösterimi, Şekil 2'deki kesiklerden bina örneğinde görülebilir. 2 ve 3.

Tanım. Dia-go-na-lew birçok-kömür-no-ka-za-va-et-sya herhangi bir gelen-zok, üstlerini birleştirmeyen ikisini birbirine bağlar.

3. Bir dışbükey n-gonun iç açılarının toplamına ilişkin teorem

Çokgenlerin özelliklerini açıklamak için açılarıyla ilgili iki önemli teori vardır: theo-re-ma you-demet-lo-go-many-coal-no-ka'nın iç açılarının toplamı hakkında ve dış açıların toplamı hakkında teo-re-ma. Onlara bir bakalım.

Teorem. you-beam-lo-go-many-coal-no-ka'nın iç açılarının toplamında (n-kömür-no-ka).

Köşelerinin (yanların) sayısı nerede.

Do-for-tel-stvo 1. Resim-ra-kış, Şek. 4 dışbükey n-açı-takma ad.

Pirinç. 4. Sen-çarpıcı, n-açı-nick

En baştan, olası tüm dia-go-on-olmalarını destekliyoruz. n-açı-nick'i bir üçgen-açı-no-ka'ya bölerler, çünkü yanların her biri, lastiğin tepesine bitişik kenarlar hariç, çoklu kömür-no-ka-ra-zu-et üçgen şeklindedir. Tüm bu üçgenlerin açılarının toplamının, n-açı-ni-ka'nın iç açılarının toplamına tam olarak eşit olacağını ri-sun-ku'dan görmek kolaydır. Herhangi bir üçgen-no-ka'nın açılarının toplamı - olduğundan, o zaman n-no-ka-açısının iç açılarının toplamı:

Do-ka-for-tel-stvo 2. Bu theo-re-we'nin bir başka do-ka-for-tel-stvo'su da mümkündür. Şekil 1'deki benzer bir n açısının görüntüsü. 5 ve iç noktalarından herhangi birini tüm köşelere bağlayın.

Biz-ki-olup olmayacağız raz-bi-e-ne n-açı-no-ka üzerinde n üçgen-ni-kov (kaç taraf, çok fazla üçgen-ni-kov ). Tüm açılarının toplamı, çoklu kömür-yokunun iç açılarının toplamına ve iç noktadaki açıların toplamına eşittir ve bu açıdır. Sahibiz:

Q.E.D.

Ama öncesi için.

Do-ka-zan-noy teo-re-me'ye göre, n-kömür-no-ka açılarının toplamının, kenarlarının sayısına (n'den) bağlı olduğu açıktır. Örneğin, bir üçgen-ne-ke ve açıların toplamı. Dört-sen-kömür-ni-ke ve açıların toplamı - vb.

4. Bir dışbükey n-gonun dış açılarının toplamına ilişkin teorem

Teorem. you-beam-lo-go-many-coal-no-ka'nın dış açılarının toplamı hakkında (n-kömür-no-ka).

Açılarının (kenarların) sayısı nerede ve ..., dış açılar.

Kanıt. Şekil-ra-zim dışbükey n-açı-nick, Şek. 6 ve iç ve dış açılarını gösterir.

Pirinç. 6. Dış-ni-köşeler-la-mi ataması ile dışbükey bir n-kömür-nick'siniz

Çünkü dış köşe iç köşeye bitişik olarak bağlanır, ardından ve benzer şekilde dış köşelerin geri kalanı için. Sonra:

Pre-ob-ra-zo-va-niy sırasında, iç açıların toplamı hakkında-zo-va-lied zaten to-ka-zan-my teo-re-mine kullandık n-açı-no-ka .

Ama öncesi için.

Ön-ka-zan-noy teorisinden, dışbükey-lo-th n-açısının dış açılarının toplamının eşit olduğu in-te-res-ny gerçeğini takip ediyoruz. köşelerinin (yanların) sayısından. Bu arada, iç açıların toplamına bağlı olarak.

Ayrıca, belirli bir çok kömür-no-kov - che-you-rekh-coal-no-ka-mi vakasıyla daha fraksiyonel olarak çalışacağız. Bir sonraki derste, par-ral-le-lo-gram gibi bir fi-gu-sürüyle tanışacağız ve özelliklerini tartışacağız.

KAYNAK

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/mnogougolniki

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie/pryamougolnye-treugolniki

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie/treugolniki-2

http://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2013/10/10/mnogougolniki-urok-v-8-class

https://im0-tub-ru.yandex.net/i?id=daa2ea7bbc3c92be3a29b22d8106e486&n=33&h=190&w=144

Konu, öğrencilerin yaşı: geometri, 9. sınıf

Dersin amacı: çokgen türlerinin incelenmesi.

Öğrenme görevi: öğrencilerin çokgenlerle ilgili bilgilerini güncellemek, genişletmek ve genelleştirmek; bir çokgenin "bileşenleri" hakkında bir fikir oluşturmak; düzenli çokgenlerin kurucu elemanlarının sayısı hakkında bir çalışma yapmak (üçgenden n-gon'a);

Geliştirme görevi: analiz etme, karşılaştırma, sonuç çıkarma, hesaplama becerilerini geliştirme, sözlü ve yazılı matematiksel konuşma, hafıza, ayrıca düşünme ve öğrenme faaliyetlerinde bağımsızlık, çiftler ve gruplar halinde çalışma yeteneği; araştırma ve eğitim faaliyetleri geliştirmek;

Eğitim görevi: bağımsızlık, etkinlik, verilen görev için sorumluluk, hedefe ulaşmada azim geliştirmek.

Dersler sırasında: tahtaya bir alıntı yazılır

"Doğa matematiğin dilini konuşur, bu dilin harflerini... matematiksel figürleri." G. Gallilei

Dersin başında, sınıf çalışma gruplarına ayrılır (bizim durumumuzda, her biri 4 kişilik gruplara bölünme - grup üyelerinin sayısı soru gruplarının sayısına eşittir).

1. Çağrı aşaması-

Hedefler:

a) öğrencilerin konuyla ilgili bilgilerini güncellemek;

b) çalışılan konuya olan ilginin uyanması, her öğrencinin öğrenme etkinlikleri için motivasyonu.

Resepsiyon: Oyun "Buna inanıyor musunuz ...", metinle çalışmanın organizasyonu.

Çalışma biçimleri: önden, grup.

"Buna inanıyor musun…."

1. ... "çokgen" kelimesi, bu ailenin tüm figürlerinin "birçok köşesi" olduğunu mu gösterir?

2. … üçgen, bir düzlemdeki birçok farklı geometrik şekil arasında öne çıkan geniş bir çokgen ailesine mi ait?

3. …kare normal bir sekizgen midir (dört kenar + dört köşe)?

Bugün derste çokgenler hakkında konuşacağız. Bu rakamın, sırayla basit, kapalı olabilen kapalı bir kesik çizgi ile sınırlandığını öğreniyoruz. Çokgenlerin düz, düzgün, dışbükey olduğu gerçeğinden bahsedelim. Düz çokgenlerden biri uzun süredir aşina olduğunuz bir üçgendir (öğrencilere çokgen tasvir eden posterler, kesik çizgi gösterebilir, onlara gösterebilirsiniz. Farklı çeşit, TSO'yu da kullanabilirsiniz).

2. Anlama aşaması

Amaç: yeni bilgi edinme, anlama, seçme.

Resepsiyon: zikzak.

Çalışma biçimleri: bireysel->çift->grup.

Her gruba dersin konusuyla ilgili bir metin verilir ve metin hem öğrencilerin bildiği bilgileri hem de tamamen yeni bilgileri içerecek şekilde tasarlanmıştır. Metinle birlikte, öğrencilere cevapları bu metinde bulunması gereken sorular verilir.

çokgenler. Çokgen türleri.

Gemilerin ve uçakların iz bırakmadan kaybolduğu gizemli Bermuda Şeytan Üçgeni'ni kim duymamıştır? Ancak bize çocukluktan tanıdık gelen üçgen, birçok ilginç ve gizemli şeyle doludur.

Taraflara (skala, ikizkenar, eşkenar) ve açılara (dar açılı, geniş açılı, dik açılı) bölünmüş, zaten bildiğimiz üçgen türlerine ek olarak, üçgen birçok farklı çokgen ailesine aittir. uçakta farklı geometrik şekiller.

"Çokgen" kelimesi, bu ailenin tüm figürlerinin "birçok köşesi" olduğunu gösterir. Ancak bu rakamı karakterize etmek için yeterli değil.

Kesik bir çizgi A 1 A 2 ... A n, A 1, A 2, ... A n noktalarından ve bunları birleştiren A 1 A 2, A 2 A 3, ... bölümlerinden oluşan bir şekildir. Noktalara çoklu çizginin köşeleri denir ve segmentlere çoklu çizginin bağlantıları denir. (şek.1)

Kesik çizgi, kendi kendine kesişme noktası yoksa basit olarak adlandırılır (Şekil 2,3).

Kesik bir çizgi, uçları çakışırsa kapalı olarak adlandırılır. Kesik bir çizginin uzunluğu, bağlantılarının uzunluklarının toplamıdır (Şekil 4).

Bitişik bağlantıları aynı düz çizgi üzerinde yer almıyorsa, basit bir kapalı kesik çizgiye çokgen denir (Şekil 5).

“Çok” kelimesi yerine “çokgen” kelimesini belirli bir sayı ile değiştirin, örneğin 3. Bir üçgen elde edeceksiniz. Veya 5. Sonra - bir beşgen. Kenar sayısı kadar açı olduğuna dikkat edin, bu nedenle bu şekiller çok taraflı olarak adlandırılabilir.

Çoklu çizginin köşelerine çokgenin köşeleri, çoklu çizginin bağlantılarına çokgenin kenarları denir.

Çokgen düzlemi iki bölgeye ayırır: iç ve dış (Şekil 6).

Düzlem çokgen veya çokgen bölge, bir çokgen tarafından sınırlanan bir düzlemin sonlu bir parçasıdır.

Aynı kenarın uçları olan bir çokgenin iki köşesine komşu denir. Bir kenarın ucu olmayan köşeler bitişik değildir.

n köşesi ve dolayısıyla n kenarı olan bir çokgene n-gon denir.

Bir çokgenin en küçük kenar sayısı 3 olmasına rağmen, üçgenler birbirine bağlanan başka şekiller oluşturabilir, bunlar da çokgendir.

Bir çokgenin komşu olmayan köşelerini birleştiren parçalara köşegen denir.

Bir çokgen, kenarını içeren herhangi bir doğruya göre bir yarım düzlemde yer alıyorsa dışbükey olarak adlandırılır. Bu durumda, doğrunun kendisinin yarı düzleme ait olduğu kabul edilir.

Bir dışbükey çokgenin belirli bir tepe noktasındaki açısı, kenarlarının o tepe noktasında yakınsadığı açıdır.

Teoremi ispatlayalım (dışbükey n-genin açılarının toplamı üzerinde): Bir dışbükey n-genin açılarının toplamı 180 0 *(n - 2)'ye eşittir.

Kanıt. n=3 durumunda teorem doğrudur. А 1 А 2 …А n verilen bir dışbükey çokgen ve n>3 olsun. İçine köşegenler çizelim (bir tepe noktasından). Çokgen dışbükey olduğundan, bu köşegenler onu n - 2 üçgene böler. Çokgenin açılarının toplamı, tüm bu üçgenlerin açılarının toplamına eşittir. Her üçgenin açılarının toplamı 180 0'dır ve bu üçgenlerin sayısı n - 2'dir. Bu nedenle, bir dışbükey n - açı A 1 A 2 ... A n'nin açılarının toplamı 180 0 * ( n - 2). Teorem kanıtlanmıştır.

Bir dışbükey çokgenin belirli bir tepe noktasındaki dış açısı, çokgenin o tepe noktasındaki iç açısına komşu olan açıdır.

Tüm kenarlar ve tüm açılar eşitse bir dışbükey çokgene düzgün denir.

Böylece kare farklı olarak adlandırılabilir - normal bir dörtgen. Eşkenar üçgenler de düzgündür. Bu tür figürler, binaları süsleyen ustaların uzun zamandır ilgisini çekmiştir. Örneğin parke üzerinde güzel desenler yaptılar. Ancak tüm normal çokgenler parke oluşturmak için kullanılamaz. Normal sekizgenlerden parke oluşturulamaz. Gerçek şu ki, her bir açı 135 0'a eşit. Ve herhangi bir nokta bu tür iki sekizgenin tepe noktasıysa, o zaman 270 0'a sahip olacaklar ve üçüncü sekizgenin sığabileceği hiçbir yer yok: 360 0 - 270 0 \u003d 90 0. Ama bir kare için yeterli. Bu nedenle parkeyi normal sekizgen ve karelerden katlamak mümkündür.

Yıldızlar doğru. Beş köşeli yıldızımız düzenli bir beşgen yıldızdır. Ve kareyi merkez etrafında 45 0 döndürürseniz, normal bir sekizgen yıldız elde edersiniz.

1 grup

Kırık çizgi nedir? Bir çoklu çizginin köşelerinin ve bağlantılarının ne olduğunu açıklayın.

Hangi kırık çizgiye basit denir?

Hangi kırık çizgiye kapalı denir?

poligon nedir? Çokgenin köşelerine ne denir? Bir çokgenin kenarları nelerdir?

2 grup

Düz çokgen nedir? Çokgenlere örnekler veriniz.

n-gon nedir?

Çokgenin hangi köşelerinin bitişik olduğunu ve hangilerinin olmadığını açıklayın.

Bir çokgenin köşegeni nedir?

3 grup

dışbükey çokgen nedir?

Çokgenin hangi köşelerinin dış, hangilerinin iç olduğunu açıklayın?

Düzgün çokgen nedir? Düzgün çokgenlere örnekler veriniz.

4 grup

Bir dışbükey n-genin açılarının toplamı nedir? Kanıtla.

Öğrenciler metinle çalışırlar, sorulan soruların cevaplarını ararlar, daha sonra aynı konularda çalışmaların yapıldığı uzman grupları oluşturulur: öğrenciler ana şeyi vurgular, destekleyici bir özet hazırlar, bilgileri aşağıdakilerden birinde sunar. grafik formlar. Çalışmanın sonunda öğrenciler çalışma gruplarına dönerler.

3. Yansıma aşaması -

a) bilgilerinin değerlendirilmesi, bilginin bir sonraki adımına meydan okuma;

b) alınan bilgilerin anlaşılması ve benimsenmesi.

Resepsiyon: araştırma çalışması.

Çalışma biçimleri: bireysel->çift->grup.

Çalışma grupları, önerilen soruların her bir bölümünün yanıtlarında uzman kişilerdir.

Çalışma grubuna geri dönen uzman, grubun diğer üyelerini sorularının cevaplarıyla tanıştırır. Grupta, çalışma grubunun tüm üyelerinin bilgi alışverişi vardır. Böylece her çalışma grubunda uzmanların çalışmaları sayesinde çalışılan konu hakkında genel bir fikir oluşturulur.

Öğrencilerin araştırma çalışmaları - tablonun doldurulması.

düzgün çokgenler	Çizim	Taraf sayısı	tepe sayısı	Tüm iç açıların toplamı	Derece ölçüsü int. köşe	Dış açının derece ölçüsü	köşegen sayısı
A) üçgen
B) dörtgen
B) beş duvar
D) altıgen
E) n-gon

Dersin konusuyla ilgili ilginç problemleri çözme.

• Dörtgende, onu üç üçgene bölecek bir çizgi çizin.
• Bir iç açısı 135 0 olan düzgün çokgen kaç kenarlıdır?
• Belirli bir çokgende tüm iç açılar birbirine eşittir. Bu çokgenin iç açıları toplamı 360 0 , 380 0 olabilir mi?

Dersi özetlemek. Ev ödevi kaydetme.

Gizliliğiniz bizim için önemlidir. Bu nedenle, bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik politikamızı okuyun ve herhangi bir sorunuz olursa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, tanımlamak için kullanılabilecek verileri ifade eder. belirli kişi ya da onunla bağlantı.

Bizimle iletişime geçtiğinizde herhangi bir zamanda kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda, toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize ilişkin bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Siteye bir başvuru yaptığınızda, adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Topladığımız kişisel bilgiler, sizinle iletişim kurmamıza ve benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler hakkında sizi bilgilendirmemize olanak tanır.
• Zaman zaman, size önemli bildirimler ve mesajlar göndermek için kişisel bilgilerinizi kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri iyileştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili önerilerde bulunmak için denetimler, veri analizleri ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi dahili amaçlarla da kullanabiliriz.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir teşvike girerseniz, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Üçüncü şahıslara açıklama

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara ifşa etmiyoruz.

İstisnalar:

• Gerekirse - yasaya, yargı düzenine, yasal işlemlere ve/veya kamudan gelen talep veya taleplere dayalı olarak Devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu yararı nedenleriyle bu tür bir açıklamanın gerekli veya uygun olduğunu belirlersek de sizinle ilgili bilgileri ifşa edebiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda, topladığımız kişisel bilgileri ilgili üçüncü taraf halefine aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişim, ifşa, değişiklik ve imhadan korumak için - idari, teknik ve fiziksel dahil olmak üzere - önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinizi korumak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için, çalışanlarımıza gizlilik ve güvenlik uygulamalarını iletiriz ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uygularız.

Bu derste yeni bir konu başlatacağız ve bizim için yeni bir kavram tanıtacağız - "çokgen". Çokgenlerle ilgili temel kavramlara bakacağız: kenarlar, köşeler, köşeler, dışbükeylik ve dışbükey olmama. O zaman kanıtlayacağız ana unsurlarçokgen iç açı toplamı teoremi, çokgen dış açı toplamı teoremi gibi. Sonuç olarak, ilerideki derslerde ele alacağımız çokgenlerin özel durumlarını incelemeye yakın olacağız.

Tema: Dörtgenler

Ders: Çokgenler

Geometri sırasında, geometrik şekillerin özelliklerini inceliyoruz ve bunların en basitini zaten düşündük: üçgenler ve daireler. Aynı zamanda, bu şekillerin dik açılı, ikizkenar ve düzgün üçgenler gibi belirli özel durumlarını da tartıştık. Şimdi daha genel ve karmaşık şekillerden bahsetmenin zamanı geldi - çokgenler.

Özel bir durum ile çokgenler zaten aşinayız - bu bir üçgen (bkz. Şekil 1).

Pirinç. 1. Üçgen

Adın kendisi, bunun üç köşeli bir figür olduğunu zaten vurguluyor. Bu nedenle, çokgen birçoğu olabilir, yani. üçten fazla. Örneğin, bir beşgen çizelim (bkz. Şekil 2), yani. beş köşeli şekil.

Pirinç. 2. Pentagon. Dışbükey Poligon

Tanım.Çokgen- birkaç noktadan (ikiden fazla) ve bunları seri olarak birbirine bağlayan karşılık gelen sayıda parçadan oluşan bir rakam. Bu noktalara denir zirvelerçokgen ve segmentler - partiler. Bu durumda, hiçbir iki bitişik kenar aynı düz çizgi üzerinde bulunmaz ve bitişik olmayan iki kenar kesişmez.

Tanım.düzgün çokgen tüm kenarları ve açıları birbirine eşit olan dışbükey çokgendir.

Hiç çokgen düzlemi iki bölgeye ayırır: iç ve dış. İç mekan olarak da adlandırılır çokgen.

Yani örneğin bir beşgenden bahsettiklerinde onun hem iç bölgesini hem de sınırını kastediyorlar. Ve iç alan da çokgenin içinde kalan tüm noktaları içerir, yani. nokta da beşgene aittir (bkz. Şekil 2).

Çokgenler bazen bilinmeyen sayıda köşeye (n adet) sahip olma genel durumunun dikkate alındığını vurgulamak için n-gonlar olarak da adlandırılır.

Tanım. Çokgen Çevreçokgenin kenar uzunluklarının toplamıdır.

Şimdi çokgen türlerini tanımamız gerekiyor. ayrılırlar dışbükey ve dışbükey olmayan. Örneğin, Şekil 2'de gösterilen çokgen. 2 dışbükeydir ve Şek. 3 dışbükey olmayan.

Pirinç. 3. Dışbükey olmayan çokgen

Tanım 1. Çokgen isminde dışbükey, herhangi bir kenarından düz bir çizgi çizerken, tüm çokgen bu çizginin sadece bir tarafında yer alır. dışbükey olmayan geri kalan her şey çokgenler.

Şekil 5'teki beşgenin herhangi bir tarafını uzatırken bunu hayal etmek kolaydır. 2 hepsi bu düz çizginin bir tarafında olacak, yani. o dışbükey. Ancak Şekil 1'deki dörtgen boyunca düz bir çizgi çizerken. 3 zaten ikiye böldüğünü görüyoruz, yani. o dışbükey değildir.

Ancak bir çokgenin dışbükeyliğinin başka bir tanımı daha vardır.

Tanım 2. Çokgen isminde dışbükey iç noktalarından herhangi ikisini seçip bunları bir doğru parçasına bağlarken, doğru parçasının tüm noktaları aynı zamanda çokgenin iç noktalarıdır.

Bu tanımın kullanımının bir gösterimi, Şekil 2'deki segment oluşturma örneğinde görülebilir. 2 ve 3.

Tanım. Diyagonal Bir çokgen, bitişik olmayan iki köşeyi birbirine bağlayan herhangi bir segmenttir.

Çokgenlerin özelliklerini açıklamak için açılarıyla ilgili en önemli iki teorem vardır: dışbükey çokgen iç açı toplamı teoremi ve dışbükey çokgen dış açı toplamı teoremi. Onları düşünelim.

Teorem. Bir dışbükey çokgenin iç açıları toplamı üzerinde (n-gon).

Açılarının (kenarların) sayısı nerede.

Kanıt 1. Şekilde gösterelim. 4 dışbükey n-gon.

Pirinç. 4. Dışbükey n-gon

Tüm olası köşegenleri tepe noktasından çizin. n-gon'u üçgenlere bölerler, çünkü köşeye bitişik kenarlar hariç, çokgenin her bir kenarı bir üçgen oluşturur. Şekilden, tüm bu üçgenlerin açılarının toplamının, n-genin iç açılarının toplamına eşit olacağını görmek kolaydır. Herhangi bir üçgenin iç açılarının toplamı , olduğu için, bir n-genin iç açılarının toplamı:

Q.E.D.

İspat 2. Bu teoremin bir başka ispatı da mümkündür. Şekilde benzer bir n-gon çizelim. 5 ve iç noktalarından herhangi birini tüm köşelere bağlayın.

Pirinç. 5.

Bir n-gon'u n üçgene böldük (kaç kenar, çok üçgen). Tüm açılarının toplamı, çokgenin iç açılarının toplamına ve iç açılarının toplamına eşittir ve bu açıdır. Sahibiz:

Q.E.D.

Kanıtlanmış.

Kanıtlanmış teoreme göre, bir n-gonun açılarının toplamının kenar sayısına (n'ye) bağlı olduğu görülebilir. Örneğin, bir üçgende ve açıların toplamı . Bir dörtgende ve açıların toplamı - vb.

Teorem. Bir dışbükey çokgenin dış açıları toplamı üzerinde (n-gon).

Köşelerinin (kenarlarının) sayısı nerede ve ..., dış köşelerdir.

Kanıt. Şekilde dışbükey bir n-gon çizelim. 6 ve iç ve dış açılarını gösterir.

Pirinç. 6. İşaretli dış köşelere sahip dışbükey n-gon

Çünkü dış köşe iç köşeye bitişik olarak bağlanır, ardından ve benzer şekilde diğer dış köşeler için. Sonra:

Dönüşümler sırasında, bir n-gonun iç açılarının toplamında zaten kanıtlanmış teoremi kullandık.

Kanıtlanmış.

Kanıtlanmış teoremden aşağıdaki ilginç gerçek bir dışbükey n-genin dış açılarının toplamı açılarının sayısı (kenarlar). Bu arada, iç açıların toplamından farklı olarak.

bibliyografya

1. Aleksandrov A.D. vb. Geometri, 8. sınıf. - E.: Eğitim, 2006.
2. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometri, 8. sınıf. - E.: Eğitim, 2011.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometri, 8. sınıf. - E.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Profmeter.com.ua ().
2. Narod.ru ().
3. Xvatit.com().

Ödev

Düzlemin kapalı bir kesik çizgi ile sınırlanan kısmına çokgen denir.

Bu kesik çizginin bölümlerine denir. partilerçokgen. AB, BC, CD, DE, EA (Şekil 1) - ABCDE poligonunun kenarları. Bir çokgenin tüm kenarlarının toplamına denir. çevre.

çokgen denir dışbükey yanlarından herhangi birinin bir tarafında bulunuyorsa, her iki köşenin de ötesine süresiz olarak uzatılır.

MNPKO poligonu (Şekil 1), KP düz çizgisinin birden fazla tarafında yer aldığından dışbükey olmayacaktır.

Sadece dışbükey çokgenleri ele alacağız.

Bir çokgenin bitişik iki kenarının oluşturduğu açılara o çokgenin açısı denir. dahili köşeler ve üstleri - çokgen köşeleri.

Bir çokgenin bitişik olmayan iki köşesini birleştiren doğru parçasına çokgenin köşegeni denir.

AC, AD - çokgenin köşegenleri (Şekil 2).

Çokgenin iç köşelerine bitişik olan köşelere çokgenin dış köşeleri denir (Şekil 3).

Açıların (kenarların) sayısına bağlı olarak, bir çokgene üçgen, dörtgen, beşgen vb.

Üst üste bindirilebilirlerse iki çokgenin eşit olduğu söylenir.

Yazılı ve sınırlı çokgenler

Bir çokgenin tüm köşeleri bir daire üzerinde bulunuyorsa bu çokgene denir. yazılı bir daireye ve daireye tarifçokgenin yakınında (şek.).

Bir çokgenin tüm kenarları bir daireye teğet ise bu çokgen denir. tarif dairenin etrafında ve daire denir yazılı bir çokgen haline getirin (şek.).

çokgenlerin benzerliği

Aynı isimli iki çokgene, birinin açıları sırasıyla diğerinin açılarına eşitse ve çokgenlerin benzer kenarları orantılıysa benzer denir.

Kenar sayıları (açıları) aynı olan çokgenlere aynı adı taşıyan çokgenler denir.

Benzer açılara sahip köşeleri birbirine bağlayan benzer çokgenlerin kenarlarına benzer denir.

Örneğin, ABCDE poligonunun A'B'C'D'E' poligonuna benzer olması için: E = ∠E' ve ayrıca AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A' .

Benzer çokgenlerin çevre oranı

İlk olarak, bir dizi eşit oranın özelliğini düşünün. Örneğin, bağıntıları alalım: 2 / 1 = 4 / 2 = 6 / 3 = 8 / 4 =2.

Bu bağıntıların önceki üyelerinin toplamını bulalım, o zaman - sonraki üyelerinin toplamını ve alınan toplamların oranını bulalım, şunu elde ederiz:

$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$

Birkaç başka bağıntı alırsak da aynısını elde ederiz, örneğin: 2 / 3 = 4 / 6 = 6 / 9 = 8 / 12 = 10 / 15 = 2 / 3 ve sonra bu toplamların oranını buluruz, elde ederiz:

$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$

Her iki durumda da, bir eşit ilişkiler dizisinin önceki üyelerinin toplamı, aynı dizinin sonraki üyelerinin toplamı ile ilişkilidir, çünkü bu ilişkilerden herhangi birinin önceki üyesi bir sonrakiyle ilişkilidir.

Bu özelliği bir dizi sayısal örneği dikkate alarak çıkardık. Kesin olarak ve genel biçimde çıkarılabilir.

Şimdi benzer çokgenlerin çevrelerinin oranını düşünün.

ABCDE poligonu A'B'C'D'E' poligonuna benzer olsun (şekil).

Bu çokgenlerin benzerliğinden şu sonuç çıkar:

AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A'

Elde ettiğimiz bir dizi eşit ilişkinin özelliğine dayanarak şunu yazabiliriz:

Aldığımız bağıntıların önceki terimlerinin toplamı birinci çokgenin (P) çevresidir ve bu ilişkilerin sonraki terimlerinin toplamı ikinci çokgenin (P') çevresidir, yani P/P' = AB / A'B'.

Buradan, benzer çokgenlerin çevreleri, karşılık gelen kenarlarıyla ilişkilidir.

Benzer çokgenlerin alanlarının oranı

ABCDE ve A'B'C'D'E' benzer çokgenler olsun (şekil).

ΔABC ~ ΔA'B'C' ΔACD ~ ΔA'C'D' ve ΔADE ~ ΔA'D'E' olduğu bilinmektedir.

Ayrıca,

;

Çokgenlerin benzerliğinden kaynaklanan bu oranların ikinci oranları eşit olduğundan, o zaman

Bir dizi eşit oranın özelliğini kullanarak şunu elde ederiz:

Veya

burada S ve S' bu benzer çokgenlerin alanlarıdır.

Buradan, benzer çokgenlerin alanları, benzer kenarların kareleri ile ilişkilidir.

Ortaya çıkan formül şu forma dönüştürülebilir: S / S '= (AB / A'B ') 2

İsteğe bağlı bir çokgenin alanı

Rastgele bir dörtgen ABDC'nin alanını hesaplamak istensin (Şek.).

İçine bir köşegen çizelim, örneğin AD. Alanlarını hesaplayabildiğimiz iki ABD ve ACD üçgeni elde ediyoruz. Sonra bu üçgenlerin alanlarının toplamını buluruz. Ortaya çıkan toplam, verilen dörtgenin alanını ifade edecektir.

Bir beşgenin alanını hesaplamanız gerekiyorsa, aynı şekilde ilerliyoruz: köşelerden birinden köşegenler çiziyoruz. Alanlarını hesaplayabildiğimiz üç üçgen elde ediyoruz. Böylece bu beşgenin alanını bulabiliriz. Herhangi bir çokgenin alanını hesaplarken de aynısını yapıyoruz.

Çokgen projeksiyon alanı

Bir doğru ile bir düzlem arasındaki açının, verilen bir doğru ile onun düzlem üzerindeki izdüşümü arasındaki açı olduğunu hatırlayın (Şek.).

Teorem. Çokgenin düzleme dik izdüşümü alanı, çokgenin düzlemi ve izdüşüm düzlemi tarafından oluşturulan açının kosinüsü ile çarpılan izdüşüm çokgenin alanına eşittir.

Her çokgen, alanlarının toplamı çokgenin alanına eşit olan üçgenlere bölünebilir. Bu nedenle, bir üçgen için teoremi kanıtlamak yeterlidir.

ΔABC düzleme yansıtılsın R. İki durumu düşünün:

a) ΔABS kenarlarından biri düzleme paraleldir R;

b) ΔABC kenarlarından hiçbiri paralel değildir R.

Düşünmek ilk vaka: izin verin [AB] || R.

(AB) düzlemi boyunca çizin R 1 || R ve ΔABC'yi ortogonal olarak projelendirin R 1 ve üzerinde R(pilav.); ΔABC 1 ve ΔA'B'C' elde ederiz.

İzdüşüm özelliğiyle, ΔABC 1 (cong) ΔA'B'C'ye sahibiz ve bu nedenle

S ∆ ABC1 = S ∆ A'B'C'

⊥ ve D 1 C 1 doğru parçası çizelim. O halde ⊥ , a \(\overbrace(CD_1C_1)\) = φ, ΔABC düzlemi ile düzlem arasındaki açıdır R 1 . Böyle

S ∆ ABC1 = 1 / 2 | AB | | C 1 D 1 | = 1 / 2 | AB | | CD1 | çünkü φ = S ∆ ABC çünkü φ

ve bu nedenle, S Δ A'B'C' = S Δ ABC cos φ.

değerlendirmeye geçelim ikinci vaka. Bir uçak çiz R 1 || R bu tepe noktası boyunca ΔАВС, uçağa olan mesafe R en küçüğü (köşe A olsun).

ΔABC'yi uçakta tasarlayalım R 1 ve R(pilav.); projeksiyonları sırasıyla ΔAB 1 C 1 ve ΔA'B'C' olsun.

(BC) ∩ olsun p 1 = D. O zaman

S Δ A'B'C' = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ

Diğer materyaller