عرض المجموعات وخصائصها. عرض تقديمي لدرس في الجبر ومبادئ التحليل حول موضوع "التوافقيات: الحركات، والتباديل، والمجموعات"

لاستخدام معاينات العرض التقديمي، قم بإنشاء حساب Google وقم بتسجيل الدخول إليه: https://accounts.google.com

التسميات التوضيحية للشرائح:

مجموعات

المجموعات عدد جميع اختيارات العناصر n من بيانات m دون مراعاة الترتيب يسمى عدد مجموعات عناصر m بواسطة n. تختلف جميع التركيبات عن بعضها البعض في عنصر واحد على الأقل؛ ترتيب العناصر ليس مهما هنا؛ الفرق بين التركيبة والترتيب هو أنك إذا قمت بإعادة ترتيب العناصر في ترتيب ما، فسوف تحصل على ترتيب مختلف، ولكن التركيبة لا تعتمد على ترتيب العناصر المتضمنة فيه.

المجموعات عدد جميع اختيارات العناصر n من بيانات m دون مراعاة الترتيب يسمى عدد مجموعات عناصر m بواسطة n. البحث عن: عدد المجموعات من 6 إلى 3: عدد المجموعات من 4 إلى 4:

المهمة رقم 1 من بين 20 طالبًا، عليك اختيار ضابطين مناوبين. بكم الطرق يمكن القيام بذلك؟ الحل: نحتاج إلى اختيار شخصين من أصل 20. من الواضح أن لا شيء يعتمد على ترتيب الاختيار، أي أن إيفانوف - بيتروف أو بيتروف - إيفانوف هما نفس الزوج من الضباط المناوبين. لذلك، ستكون هذه مجموعات من 20 × 2.

المهمة رقم 2. لدى مينوتور 25 سجينًا يقبعون في المتاهة. أ) بكم طريقة يمكنه اختيار ثلاثة منها للإفطار والغداء والعشاء؟ ب) ما عدد الطرق المتاحة لإطلاق سراح ثلاثة أسرى إلى الحرية؟ الحل: أ) النظام مهم. ب) الترتيب ليس مهما

المهمة رقم 3: هناك 27 طالبًا في الفصل، يجب اختيار ثلاثة منهم. كم عدد الطرق التي يمكن القيام بها إذا: أ) يجب على الطالب الأول أن يحل المشكلة، والثاني - يجب أن يذهب للطباشير، والثالث - يجب أن يذهب إلى غرفة الطعام؛ ب) هل يجب أن يغنوا في جوقة؟ 6

بكم طريقة مختلفة يمكن تشكيل فريق من شخصين من سبعة أعضاء في نادي الرياضيات للمشاركة في الأولمبياد؟ المهمة رقم 4

المهمة رقم 5 يضم القسم 5 موظفين قياديين و 8 موظفين كبار. ينبغي إرسال اثنين من كبار الباحثين واثنين من كبار الباحثين في رحلة عمل. بكم طريقة يمكن الاختيار؟

من مجموعة مكونة من 36 بطاقة، يتم سحب 4 بطاقات بشكل عشوائي. ما هو احتمال أن تكون جميع الأوراق المسحوبة آصًا؟ المشكلة رقم 6

المشكلة رقم 7 في دفعة مكونة من 50 جزءًا، هناك 10 أجزاء معيبة. يتم إخراج أربعة أجزاء من الدفعة بشكل عشوائي. تحديد احتمال أن تكون جميع الأجزاء الأربعة معيبة. النتائج الإجمالية: النتائج المفضلة: الاحتمالية.

العرض التقديمي "المجموعات" هو وسيلة مساعدة مرئية للنظر في موضوع "المجموعات" عند دراسة أساسيات التوافقيات في الصف التاسع. يساهم العرض المرئي المشرق للمواد التعليمية في تحسين فعالية الدرس وتحقيق أهداف الدرس بشكل أسرع. يحتوي العرض على أمثلة للتركيبات المؤدية إلى تعريف المفهوم، تعريف مميز للكتابة في دفتر والحفظ، تعتبر سمات المفهوم والبحث عن معناه، جهاز رياضي لحل المسائل مع التركيبات، أمثلة على حل المشاكل.

في هذا العرض التقديمي، لفهم أفضل للمادة، يتم استخدام الأمثلة الموضحة بوضوح في الأشكال. باستخدام الشرائح والرسوم المتحركة، يتم تنظيم المادة وإبراز المفاهيم والتفاصيل المهمة. بشكل عام، يخفف هذا العرض التقديمي المعلم من الحاجة إلى استخدام أدوات وأشياء أخرى للتوضيح. يمكن أن يصاحب العرض شرح المعلم للموضوع، موضحًا بشكل واضح وواضح ملامح المفاهيم التي يتم دراستها.

يبدأ العرض التقديمي بالتعريف بالموضوع. بعد ذلك، تم توضيح حل المشكلة التي يلزم فيها العثور على عدد باقات ثلاث ورود عندما يكون هناك 5 ورود بألوان مختلفة. تظهر الصورة 5 ورود بألوان مختلفة، تحمل العلامات a,b,c,d,e. أولا، النظر في جميع الخيارات التي يمكن دمجها مع وردة صفراء. يتم عرض جميع الباقات ذات الوردة الصفراء على الشاشة بدورها. هناك 6 منهم، وإذا قمنا بتعيين مثل هذه الباقات بأحرف، فهي ABC، عبد، آبي، ACD، الآس، ADE. فيما يلي نناقش جميع الخيارات التي يمكن طيها بدون وردة صفراء. تظهر على الشاشة وردة حمراء ثم ثلاثة خيارات مع وردة حمراء. إذا قمنا بتعيين المجموعات الناتجة بأحرف، فإن الخيارات الناتجة هي bcd، bce، bde. يمكن للورود الثلاثة المتبقية عمل باقة واحدة فقط بدون الورود الحمراء والصفراء - cde. لتلخيص الحل نلاحظ أنه يمكن طي المحلول بعشر طرق. يتم عرض جميع خيارات الباقة الممكنة على الشاشة. تتم الإشارة إلى عدد المجموعات الممكنة بواسطة C 5 3 =10. كان هذا المثال بمثابة مقدمة لمفهوم المجموعات في التوافقيات. في هذه الحالة، يتم تمييز تعريف المجموعة بشكل منفصل في الشريحة 8 وإدراجه في إطار للحفظ. يتم تعريف المجموعات على أنها مجموعة تتكون من عناصر k مختارة من بعض العناصر n.

في الشريحة 9، تمت الإشارة إلى سمة مهمة للمجموعات، وهي أن ترتيب العناصر ليس مهمًا. والفرق الوحيد بين مجموعات العناصر هو الفرق في عنصر واحد على الأقل. يُشار إلى المجموعات في الرياضيات بـ C n k . تتم قراءة هذا التعيين على أنه عدد مجموعات عناصر n من k. تم تمييز التسمية في الشريحة 10 ووضعها في إطار للحفظ.

بعد ذلك، باستخدام المثال المذكور، نحدد الجهاز الرياضي لإيجاد عدد المجموعات. بالنسبة لباقات الورد التي تمت مناقشتها في بداية العرض، فقد تقرر أن C 5 3 = 10. لعرض صيغة عدد مجموعات العناصر n بواسطة k لـ k≥n، يتم عرض جميع الخيارات الممكنة لوضع الورود في باقات على الشاشة. يُذكر أن التباديل في هذه الحالة محددة بـ P 3، وعدد المواضع حسب التدوين المقبول يساوي A 5 3. يمكن تحديد عدد المجموعات من خلال صيغة تعبر عن عدد المجموعات من خلال عدد المواضع والتباديل. ويلاحظ أن صيغة تحديد عدد التركيبات تأتي من الصيغة C 5 3 .P 3 =A 5 3 . ومنه يتضح أن عدد التركيبات سيكون C 5 3 = (A 5 3)/P 3 .

في الشريحة 14، تنطبق الصيغة المشتقة للعثور على عدد المجموعات في هذه الحالة للعثور على عدد باقات الورود ذات الثلاثة ألوان، المكونة من 5 ورود معينة، على الحالة العامة. في الحالة العامة، يتم التعبير عن صيغة عدد مجموعات عناصر n بواسطة k لـ k≥n من خلال عدد التباديل P k وعدد المواضع A n k . بما أن A n k =C n k .P k ، ففي الحالة العامة يتم العثور على عدد التركيبات بواسطة الصيغة C n k =(A n k)/P k . إذا عوضنا في هذه الصيغة بالتعبيرات المستخدمة لإيجاد قيمة A n k وقيمة P k، فسنحصل على صيغة عامة لإيجاد عدد المجموعات: C n k =n!/k!(n-k)!. يتم تمييز هذه الصيغة بالألوان للحفظ، لأنه بمساعدتها في المشكلات، ستحتاج إلى العثور على قيمة عدد المجموعات.

توفر الشريحة 16 مثالاً على حل مشكلة تحتاج فيها إلى إيجاد عدد المجموعات. تتطلب المسألة إيجاد عدد الطرق التي يمكن من خلالها اختيار 3 أقلام رصاص من مجموعة مكونة من 12 قلم رصاص. من الواضح أن هذه العملية عبارة عن مجموعة، حيث لا يهم ترتيب صف العناصر المحدد. يتم تحديد عدد المجموعات بواسطة الصيغة C n k =n!/k!(n-k)!. باستبدال القيم من المشكلة في هذه الصيغة، نحصل على C 12 3 =12!/(3!.9!)=(11/10/12)/(1.2.3)=220.

تتناول الشريحة 17 حل مشكلة أخرى حيث من الضروري إيجاد عدد الطرق لاختيار أربعة أولاد وثلاث فتيات للمنافسة من فصل يضم 12 فتاة و14 فتى. من الواضح أن مجموعة المنافسة تتكون من مجموعات من 4 فتى من أصل 14 ومجموعات من 3 فتيات من أصل 12. سيكون إجمالي عدد المجموعات مساوياً للمنتج C 14 4 .C 12 3. وبعد إجراء العمليات الحسابية، يكون عدد الطرق الناتج هو 220220.

يوصى بالعرض التقديمي "المجموعات" كوسيلة مساعدة مرئية لإجراء درس الجبر حول هذا الموضوع. كما يمكن استخدام هذه المادة لإجراء درس أثناء التعلم عن بعد. سيساعد الشرح الواضح والمفصل للمادة الطلاب على فهم مفهوم المجموعات وكيفية حل مثل هذه المشكلات بشكل مستقل.

الشريحة 2

مجموعات

التعريف 1 مزيج من عناصر n بواسطة k هو أي مجموعة من عناصر k المختلفة الزوجية والمختارة بطريقة ما من عناصر n المحددة. بمعنى آخر، المجموعة k هي مجموعة فرعية من العناصر k من مجموعة العناصر n. مثال. يتم إعطاء الكثير. لنقم بعمل مجموعتين:

الشريحة 3

النظرية 1 يتم حساب عدد مجموعات k لمجموعة العناصر n باستخدام صيغة الإثبات. من كل مجموعة k، مع إعادة ترتيب عناصرها بكل الطرق الممكنة، نحصل على k! المواضع. لذلك، من هنا

الشريحة 4

مثال

بكم طريقة يمكنك اختيار 3 ألواح شوكولاتة من بين 5 ألواح متاحة؟ حل. تكمن المشكلة في حساب عدد المجموعات المكونة من 5 × 3

الشريحة 5

خصائص الجمع

1) الإثبات: 2) الإثبات:

الشريحة 6

3) الإثبات: 4) الإثبات:

الشريحة 7

نظرية ثنائية

دليل. نقوم بتنفيذ الدليل عن طريق الحث على ن. أساس الاستقراء. بالنسبة لـ n=1، ذات الحدين لنيوتن لها الشكل بتبسيط التعبير، نحصل على المساواة الصحيحة 2) الافتراض الاستقرائي. لنفترض أنه عندما تكون المساواة n=t مستوفاة

الشريحة 8

3) الانتقال الاستقرائي. دعونا نثبت أن المساواة تنطبق على n=t+1. للقيام بذلك، دعونا نضرب الجانبين الأيمن والأيسر من الفرضية الاستقرائية. نحن نحصل

الشريحة 9

دعونا نفتح الأقواس الموجودة على الجانب الأيمن من المساواة لنقدم تلك المتشابهة استخدم خصائص عدد التركيبات

الشريحة 10

النتائج الطبيعية من ذات الحدين نيوتن

تم الحصول عليها من ذات الحدين لنيوتن في تم الحصول عليها من ذات الحدين لنيوتن في 1) المساواة 2) المساواة

الشريحة 11

مجموعات مع التكرار

الشريحة 12

مزيج مع التكرار

التعريف 1 مجموعة عناصر n بواسطة k هي أي مجموعة من عناصر k مختارة بطريقة ما من عناصر n معينة. مثال: بالنظر إلى المجموعة A = . لنقم بعمل مجموعتين مع التكرار:

الشريحة 13

عدد المجموعات مع التكرار

النظرية 1. يتم حساب عدد مجموعات k مع التكرار لمجموعة n-element باستخدام صيغة Proof. ليما. عدد المجموعات المرتبة من 0 و 1 من الطول n، والتي تتكون من وحدات k، متساوي. إثبات ليما. يتم تحديد المجموعة المرتبة المكونة من 0 و1 بشكل فريد من خلال اختيار الأماكن الخاصة بالآحاد. يتم حساب عدد الخيارات المختلفة لاختيار أماكن k للوحدات باستخدام الصيغة.

الشريحة 14

نقوم ببناء مجموعات k مع التكرار من عناصر المجموعة، وفي كل مجموعة، نقوم أولاً بترتيب عناصر النوع، ثم الكتابة، وهكذا. لكل مجموعة k مع التكرار، نربط تسلسلًا من 0 و1 بطول n+k-1، وعدد الآحاد في هذا التسلسل هو k، وعدد الأصفار هو n-1. كل 0 يفصل مجموعات من أنواع مختلفة. تحدد كل مجموعة k مع التكرار التسلسل المحدد بشكل فريد والعكس صحيح. بواسطة lemma، توجد مثل هذه التسلسلات. وسائل،

الشريحة 15

مثال

يبيع المتجر 4 أنواع من الكعك. بكم طريقة يمكنك شراء 7 كعكات؟ حل. نستخدم الصيغة لعدد المجموعات مع التكرار، حيث أن الشراء سيحتوي على أنواع متكررة من الكعك.

الشريحة 16

جدول محوري

الشريحة 17

حل المشاكل

الشريحة 18

مهام

1) مكتب البريد يبيع 5 أنواع من بطاقات الإنترنت. بكم طريقة يمكنك شراء 3 بطاقات مختلفة؟ بكم طريقة يمكنك شراء 3 بطاقات؟ حل. سنجيب على السؤال الأول باستخدام صيغة عدد المجموعات دون التكرار لأن البطاقات مختلفة، وسنجيب على السؤال الثاني باستخدام صيغة عدد المجموعات مع التكرارات، حيث لا يقال أن البطاقات من أنواع مختلفة، مما يعني إمكانية تكرار أنواع البطاقات

الشريحة 19

2) هناك 8 أولاد و 9 فتيات في الفصل. بكم طريقة يمكنك اختيار مجموعة أطفال مكونة من 4 أولاد و 3 بنات؟ حل. سنختار أربعة أولاد من 8، وثلاث فتيات من 9. باستخدام قاعدة الضرب التي نحصل عليها

الشريحة 20

3) باستخدام ذات الحدين لنيوتن، افتح الأقواس. حل.

الشريحة 21

4) بكم طريقة يمكن توزيع 6 برتقالات متطابقة على ثلاثة أطفال؟ حل. نظرًا لأن البرتقال متماثل، فلا يمكن استخدامه على الإطلاق كـ 6 عناصر مختلفة للمجموعة. النظر في مجموعة تتكون من ثلاثة أطفال. سوف نختار الأطفال للبرتقال. نستخدم صيغة عدد المجموعات مع التكرار، حيث قد يحصل طفل واحد على عدة برتقالات، أو قد لا يحصل على أي منها.

الشريحة 22

5) بكم طريقة يمكن توزيع 5 طابعات متماثلة و3 أجهزة هاتف و7 شاشات بين 4 شركات؟ حل. فلنوزع الطابعات أولا، ثم الهواتف، وأخيرا الشاشات. وباستخدام قاعدة الضرب نحصل على

الشريحة 23

6) بكم طريقة يمكن تشفير الباب إذا فتح بالضغط على عدد معين من الأرقام المختلفة في نفس الوقت؟ قد يتكون الرمز من 1، أو 2، أو ...، أو 10 أرقام. بالنسبة للرمز المكون من رقم واحد، هناك خيارات مختلفة، للرمز المكون من رقمين، ...، للرمز المكون من عشرة أرقام. باستخدام قاعدة الجمع حصلنا على نتيجة طبيعية من ذات الحدين لنيوتن.

الشريحة 24

الأسئلة: قارن التعبيرات C A احسب C k n n k 8 2

عرض جميع الشرائح

إعادة الترتيب المواضع مجموعات احتمالا

المؤسسة التعليمية البلدية المدرسة الثانوية رقم 30، فولغوغراد

مدرس الرياضيات Skleinova N.I.

مضروب

التعريف 1

المضروب هو حاصل ضرب الأعداد الطبيعية n الأولى

ن! = 1*2*2*…(ن-2)(ن-1)ن

2!=1*2=2

3!=1*2*3=6

4!= 1*2*3*4=24

5!=1*2*3*4*5=120

إعادة الترتيب

التعريف 2

التقليب من العناصر n هو ترتيب كل هذه العناصر بترتيب معين ف = ن!

مثال 1

بكم طريقة يمكن وضع المشاركين الثمانية في السباق النهائي على ثمانية أجهزة مشي؟

ر 8 =8!=1*2*3*4*5*6*7*8= 40320(طرق)

المواضع

التعريف 3

ترتيب عناصر n بواسطة k (k≥ n) هو أي مجموعة تتكون من أي عناصر k مأخوذة بترتيب معين من العناصر n المحددة

مثال 2

يدرس طلاب الصف الثاني 8 مواد. بكم طريقة يمكنك إنشاء جدول ليوم واحد بحيث يتضمن 4 مواضيع مختلفة؟

أ 8 4 =8*7*6*5= 1680 (طرق)

أ ن ك =

مجموعات

التعريف 4

مجموعة عناصر n من k هي أي مجموعة مكونة من عناصر k مختارة من عناصر n المحددة

مع ن ك =

مثال 3

من بين 15 عضوًا في المجموعة السياحية، يجب اختيار ثلاثة ضباط مناوبين. بكم طريقة يمكن القيام بهذا الاختيار؟

مع 15 3 =15!/(3!*12!)=(13*14*15)/(1*2*3)= 455(طرق)

احتمالا

التعريف 5

احتمال وقوع الحدث A هو نسبة عدد النتائج الإيجابية N(A) للاختبار إلى عدد جميع النتائج المحتملة المتساوية N

ف(أ)= ن(أ)/ن

مثال 4

من أصل 25 ورقة امتحانية في الهندسة، قام الطالب بإعداد 11 ورقة أولى و8 ورقات أخيرة. ما هو احتمال أن يحصل في الامتحان على تذكرة لم يقم بإعدادها؟

ف(أ)=(25-11-8)/25= 0,24

إضافة الاحتمالات

التعريف 6

إذا كان الحدث C يعني وقوع أحد الحدثين غير المتوافقين: A أو B، فإن احتمال الحدث C يساوي مجموع احتمالات الحدثين A وB

ف(ج)=ف(أ)+ف(ب)

مجموع احتمالات الأحداث المعاكسة هو 1

ف(أ)+ف( أ )=1

ضرب الاحتمالات

التعريف 7

إذا كان الحدث C يعني وقوع حدثين مستقلين A وB معًا، فإن احتمال الحدث C يساوي حاصل ضرب احتمالات الحدثين A وB

ف(ج)=ف(أ)*ف(ب)

احتمالا

مجموع الاحتمالات

مجموع احتمالات وقوع حدثين يساوي مجموع احتمال حاصل ضرب هذين الحدثين واحتمال مجموع هذه الأحداث

ف(أ)+ف(ب)= ف(أ*ب) +ف(أ+ب)

احتمال المبلغ

احتمال مجموع حدثين يساوي الفرق بين مجموع احتمالات هذه الأحداث وحاصل ضرب احتمالات هذه الأحداث

ف(أ+ب)=ف(أ)+ف(ب)-ف(أ)*ف(ب)

المشكلة 1

حل

حالة

احتمال كل منهما يضرب يساوي 0,8.

لاعب بياتليت يطلق النار على الأهداف 5 مرات. احتمال إصابة الهدف برصاصة واحدة هو 0.8. أوجد احتمال أن يصيب لاعب البياتليت الأهداف في أول ثلاث مرات ويخطئ في المرتين الأخيرتين. تقريب النتيجة إلى المئات.

احتمال كل منهما يفتقد يساوي 1-0.8= 0,2 .

باستخدام صيغة الضرب الاحتمالية، نحصل على

ف(أ )=0,8*0,8*0,8*0,2*0,2

ف(أ )= 0,02048 0,02

الجواب: 0.02

المشكلة 2

حالة

حل

يوجد في Fairytale Land نوعان من الطقس: جيد وممتاز، والطقس بمجرد استقراره في الصباح يظل دون تغيير طوال اليوم. ومن المعروف أنه مع احتمال 0.6 فإن الطقس غداً سيكون مثل اليوم. اليوم هو 18 سبتمبر، الطقس جيد في Fairytale Land. أوجد احتمال أن يكون الطقس رائعًا في Fairyland في 21 سبتمبر.

وبما أن الطقس جيد يوم 18 سبتمبر، ففي 19 سبتمبر يكون الطقس جيدًا باحتمال 0.6، وممتاز باحتمال 0.4.

إذا كان الطقس جيدًا في 19 سبتمبر، فإن احتمال الطقس الجيد في 20 سبتمبر هو 0.6*0.6=0.36

احتمال الطقس الممتاز هو 0.6*0.4=0.24

وبالمثل، إذا كان الطقس ممتازًا في 19 سبتمبر، فباحتمال 0.4 * 0.6 = 0.24 سيكون ممتازًا في 20 سبتمبر. احتمال الطقس الجيد في 20 سبتمبر هو 0.4*0.4=0.16.

وبالاستدلال بالمثل، نجد أن احتمال الطقس الممتاز في 21 سبتمبر سيكون مساويًا لاحتمال المجموع: 0.6*0.24+ +0.6*0.24+0.4*0.16+0.6*0.24= 0,496

المشكلة 3

حالة

حل

خط أوتوماتيكي ينتج البطاريات. احتمال أن تكون البطارية النهائية معيبة هو 0.02. قبل التغليف، تمر كل بطارية عبر نظام تحكم. احتمال أن يقوم النظام بحظر البطارية المعيبة هو 0.98. احتمال أن يقوم النظام عن طريق الخطأ بحظر بطارية عاملة هو 0.03. أوجد احتمال أن يتم حظر البطارية المصنعة التي تم اختيارها عشوائيًا بواسطة نظام التحكم.

وليكن الحدث A = (سيتم حجب البطارية)، فيمكن إيجاد احتمال وقوع هذا الحدث كاتحاد تقاطعات الأحداث.

ف(أ)=0.02*0.98+0.98*0.03

ف(أ)=0.98(0.02+0.03)

ف(أ)=0.98*0.05= 0,049

الجواب: 0.049

الأدب

• ماكاريتشيف يو.ن. الجبر: عناصر الإحصاء ونظرية الاحتمالات: كتاب مدرسي. دليل لطلبة التعليم العام . المؤسسات. دار النشر "Prosveshcheniye"، 2003

• موردكوفيتش إيه جي، سيمينوف بي.في. الجبر وبداية التحليل الرياضي. الجزء 1. كتاب مدرسي لمؤسسات التعليم العام. دار النشر "منيموسين"، 2015

• ليسينكو إف إف، كولابوخوفا إس يو. الرياضيات. التحضير لامتحان الدولة الموحدة 2016. دار النشر "الفيلق" ذ م م، 2015

• فيسوتسكي آي آر، ياشينكو آي في. امتحان الدولة الموحدة 2016. الرياضيات. نظرية الاحتمالات. دفتر العمل. دار النشر MCNMO، 2016