فكر في المضلع والأشكال التي تم تقسيمه إليها. مضلع منتظم

ماذا يسمى المضلع؟ أنواع المضلعات. المضلع، شكل هندسي مسطح له ثلاثة أضلاع أو أكثر متقاطعة عند ثلاث نقاط أو أكثر (رؤوس). تعريف. المضلع هو شكل هندسي يحده من جميع الجوانب خط مغلق متقطع، ويتكون من ثلاثة أجزاء أو أكثر (روابط). المثلث هو بالتأكيد مضلع. المضلع هو شكل له خمس زوايا أو أكثر.

تعريف. الشكل الرباعي هو شكل هندسي مسطح يتكون من أربع نقاط (رؤوس الشكل الرباعي) وأربعة أجزاء متتالية تربط بينها (أضلاع الشكل الرباعي).

المستطيل هو شكل رباعي جميع زواياه قائمة. يتم تسميتها حسب عدد الجوانب أو القمم: المثلث (ثلاثي الجوانب)؛ كواداغون (أربعة جوانب)؛ البنتاغون (خماسي الجوانب)، إلخ. في الهندسة الأولية، يسمى الشكل شكلاً محددًا بخطوط مستقيمة تسمى الجوانب. تسمى النقاط التي تتقاطع فيها الجوانب بالقمم. يحتوي المضلع على أكثر من ثلاث زوايا. وهذا مقبول أو متفق عليه.

المثلث هو مثلث. والشكل الرباعي أيضًا ليس مضلعًا، ولا يُسمى رباعيًا - فهو إما مربع أو معين أو شبه منحرف. حقيقة أن المضلع الذي له ثلاثة جوانب وثلاث زوايا له اسمه الخاص "مثلث" لا يحرمه من مكانته كمضلع.

تعرف على معنى "POLYGON" في القواميس الأخرى:

نتعلم أن هذا الرقم محدود بخط مغلق ومكسور، والذي بدوره يمكن أن يكون بسيطًا ومغلقًا. دعونا نتحدث عن حقيقة أن المضلعات يمكن أن تكون مسطحة أو منتظمة أو محدبة. من منا لم يسمع عن مثلث برمودا الغامض الذي تختفي فيه السفن والطائرات دون أثر؟ لكن المثلث المألوف لنا منذ الطفولة محفوف بالكثير من الأشياء المثيرة للاهتمام والغامضة.

على الرغم من أنه، بالطبع، يمكن أيضًا اعتبار الشكل الذي يتكون من ثلاث زوايا مضلعًا

لكن هذا لا يكفي لوصف الشكل. الخط المتقطع A1A2...An هو شكل يتكون من النقاط A1,A2,...An والقطع A1A2, A2A3,... التي تربط بينها. يُطلق على الخط المكسور البسيط المغلق اسم المضلع إذا كانت الروابط المجاورة له لا تقع على نفس الخط المستقيم (الشكل 5). استبدل رقما محددا مثلا 3 في كلمة "مضلع" بدلا من جزء "كثير" وستحصل على مثلث. لاحظ أنه، بقدر ما يوجد عدد من الزوايا، هناك العديد من الأضلاع، لذلك يمكن تسمية هذه الأشكال بأشكال متعددة الأطراف.

دع A1A2...A n يكون مضلعًا محدبًا و n>3. لنرسم الأقطار فيه (من قمة واحدة)

مجموع زوايا كل مثلث هو 1800، وعدد هذه المثلثات n هو 2. وبالتالي فإن مجموع زوايا المحدب n - المثلث A1A2...A n هو 1800* (ن - 2). لقد تم إثبات النظرية. الزاوية الخارجية لمضلع محدب عند قمة معينة هي الزاوية المجاورة للزاوية الداخلية للمضلع عند هذه القمة.

في الشكل الرباعي، ارسم خطًا مستقيمًا بحيث يقسمه إلى ثلاثة مثلثات

الشكل الرباعي لا يحتوي أبدًا على ثلاث رؤوس على نفس الخط. تشير كلمة "مضلع" إلى أن جميع الشخصيات في هذه العائلة لها "زوايا عديدة". يسمى الخط المتقطع بسيطًا إذا لم يكن به تقاطعات ذاتية (الشكل 2، 3).

طول الخط المتقطع هو مجموع أطوال روابطه (الشكل 4). في الحالة n=3 النظرية صحيحة. لذلك يمكن تسمية المربع بشكل مختلف - شكل رباعي منتظم. لطالما كانت هذه الأرقام محل اهتمام الحرفيين الذين قاموا بتزيين المباني.

عدد الرءوس يساوي عدد الأضلاع. يسمى الخط متعدد الخطوط مغلقًا إذا تطابقت نهاياته. صنعوا أنماط جميلةعلى سبيل المثال على الباركيه. النجمة الخماسية لدينا هي نجمة خماسية منتظمة.

ولكن ليس كل المضلعات العادية يمكن استخدامها لصنع الباركيه. دعونا نلقي نظرة فاحصة على نوعين من المضلعات: المثلث والرباعي. المضلع الذي تكون فيه جميع الزوايا الداخلية متساوية يسمى منتظما. تتم تسمية المضلعات وفقًا لعدد الجوانب أو القمم.

في هذا الدرس سنبدأ موضوعًا جديدًا ونقدم لنا مفهومًا جديدًا: "المضلع". سنلقي نظرة على المفاهيم الأساسية المرتبطة بالمضلعات: الجوانب، وزوايا الرأس، والتحدب، وعدم التحدب. ثم سوف نثبت أهم الحقائق، مثل نظرية مجموع الزوايا الداخلية للمضلع، ونظرية مجموع الزوايا الخارجية للمضلع. ونتيجة لذلك، سنقترب من دراسة حالات خاصة للمضلعات، والتي سيتم تناولها في دروس لاحقة.

الموضوع: الأشكال الرباعية

الدرس: المضلعات

في مقرر الهندسة، ندرس خصائص الأشكال الهندسية وقد قمنا بالفعل بدراسة أبسطها: المثلثات والدوائر. وفي الوقت نفسه، ناقشنا أيضًا حالات خاصة محددة لهذه الأشكال، مثل المثلث القائم ومتساوي الساقين والمثلثات المنتظمة. حان الوقت الآن للحديث عن شخصيات أكثر عمومية وتعقيدًا - المضلعات.

مع حالة خاصة المضلعاتنحن مألوفون بالفعل - هذا مثلث (انظر الشكل 1).

أرز. 1. المثلث

يؤكد الاسم نفسه بالفعل على أن هذا الشكل ذو ثلاث زوايا. لذلك، في مضلعيمكن أن يكون هناك الكثير منهم، أي. أكثر من ثلاثة. على سبيل المثال، لنرسم شكلاً خماسيًا (انظر الشكل 2)، أي. الشكل مع خمس زوايا.

أرز. 2. البنتاغون. مضلع محدب

تعريف.مضلع- شكل يتكون من عدة نقاط (أكثر من نقطتين) وعدد مماثل من المقاطع التي تربطها بالتتابع. تسمى هذه النقاط قممالمضلع، والقطاعات هي حفلات. في هذه الحالة، لا يوجد ضلعان متجاوران يقعان على نفس الخط المستقيم، ولا يتقاطع ضلعان غير متجاورين.

تعريف.مضلع منتظمهو مضلع محدب تكون جميع أضلاعه وزواياه متساوية.

أي مضلعيقسم الطائرة إلى منطقتين: داخلية وخارجية. ويشار إلى المنطقة الداخلية أيضا باسم مضلع.

بمعنى آخر، على سبيل المثال، عندما يتحدثون عن البنتاغون، فإنهم يقصدون منطقته الداخلية بأكملها وحدوده. والمنطقة الداخلية تشمل جميع النقاط التي تقع داخل المضلع أي: تشير النقطة أيضًا إلى البنتاغون (انظر الشكل 2).

يُطلق على المضلعات أحيانًا اسم n-gons للتأكيد على أنه يتم أخذ الحالة العامة لوجود عدد غير معروف من الزوايا (n قطع) في الاعتبار.

تعريف. محيط المضلع- مجموع أطوال أضلاع المضلع .

الآن نحن بحاجة للتعرف على أنواع المضلعات. وهي مقسمة إلى محدبو غير محدب. على سبيل المثال، المضلع الموضح في الشكل. 2 محدبة، وفي الشكل. 3 غير محدبة.

أرز. 3. مضلع غير محدب

التعريف 1. مضلعمُسَمًّى محدب، إذا كان عند رسم خط مستقيم على أي من جوانبه، كله مضلعتقع فقط على جانب واحد من هذا الخط المستقيم. غير محدبهم الجميع المضلعات.

من السهل أن نتخيل أنه عند تمديد أي جانب من جوانب البنتاغون في الشكل. 2 ـ أن يكون كله على جانب واحد من هذا الخط المستقيم، أي على جهة واحدة. إنه محدب. ولكن عند رسم خط مستقيم من خلال الشكل الرباعي في الشكل. 3 سبق أن رأينا أنه يقسمها إلى قسمين، أي: انها ليست محدبة.

ولكن هناك تعريف آخر لتحدب المضلع.

التعريف 2. مضلعمُسَمًّى محدب، إذا كان عند اختيار أي نقطتين من نقاطه الداخلية وربطهما بقطعة، فإن جميع نقاط القطعة هي أيضًا نقاط داخلية للمضلع.

يمكن رؤية توضيح لاستخدام هذا التعريف في مثال إنشاء المقاطع في الشكل. 2 و 3.

تعريف. قطريالمضلع هو أي قطعة تصل بين رأسين غير متجاورين.

لوصف خصائص المضلعات، هناك نظريتان مهمتان حول زواياها: نظرية مجموع الزوايا الداخلية للمضلع المحدبو نظرية مجموع الزوايا الخارجية للمضلع المحدب. دعونا ننظر إليهم.

نظرية. على مجموع الزوايا الداخلية لمضلع محدب (ن-غون).

أين عدد زواياه (أضلاعه).

الدليل 1. دعونا نصور في الشكل. 4 محدب n-gon.

أرز. 4. محدب n-gon

من قمة الرأس نرسم جميع الأقطار الممكنة. يقسمون n-gon إلى مثلثات، لأن يشكل كل جانب من أضلاع المضلع مثلثًا، باستثناء الأضلاع المجاورة للرأس. من السهل أن نرى من الشكل أن مجموع زوايا كل هذه المثلثات سيكون مساويًا تمامًا لمجموع الزوايا الداخلية للـ n-gon. بما أن مجموع زوايا أي مثلث هو , فإن مجموع الزوايا الداخلية للمضلع n هو:

Q.E.D.

الدليل 2. هناك دليل آخر على هذه النظرية ممكن. دعونا نرسم n-gon مشابهًا في الشكل. 5 وتوصيل أي نقطة من نقاطه الداخلية بجميع رؤوسه.

أرز. 5.

لقد حصلنا على تقسيم n-gon إلى مثلثات n (عدد الأضلاع يساوي عدد المثلثات). ومجموع زواياها كلها يساوي مجموع الزوايا الداخلية للمضلع ومجموع الزوايا عند النقطة الداخلية، وهذه هي الزاوية. لدينا:

Q.E.D.

ثبت.

وفقا للنظرية المثبتة، من الواضح أن مجموع زوايا n-gon يعتمد على عدد أضلاعه (على n). على سبيل المثال، في مثلث، ومجموع زواياه هو . في شكل رباعي، ومجموع زواياه، الخ.

نظرية. على مجموع الزوايا الخارجية لمضلع محدب (ن-غون).

أين هو عدد زواياه (أضلاعه)، و...، هي الزوايا الخارجية.

دليل. دعونا نصور n-gon محدبًا في الشكل. 6ـ وتعيين زواياه الداخلية والخارجية.

أرز. 6. محدب n-gon بزوايا خارجية محددة

لأن ثم يتم توصيل الزاوية الخارجية بالزاوية الداخلية كمجاورة وهكذا بالنسبة للزوايا الخارجية المتبقية. ثم:

أثناء التحويلات، استخدمنا النظرية المثبتة بالفعل حول مجموع الزوايا الداخلية للـ n-gon.

ثبت.

من النظرية المثبتة يتبع حقيقة مثيرة للاهتمام، أن مجموع الزوايا الخارجية للمضلع n المحدب يساوي على عدد زواياه (جوانبه). بالمناسبة، على النقيض من مجموع الزوايا الداخلية.

فهرس

1. ألكساندروف أ.د. وغيرها الهندسة الصف الثامن. - م: التربية، 2006.
2. بوتوزوف ف.ف.، كادومتسيف إس.بي.، براسولوف ف.ف. الهندسة، الصف الثامن. - م: التربية، 2011.
3. Merzlyak A.G.، Polonsky V.B.، Yakir S.M. الهندسة، الصف الثامن. - م: فينتانا-غراف، 2009.

1. Profmeter.com.ua ().
2. نارود.رو ().
3. كسفاتيت.كوم ().

العمل في المنزل

§ 1 مفهوم المثلث

في هذا الدرس سوف تتعرف على أشكال مثل المثلثات والمضلعات.

إذا كانت النقاط الثلاث التي لا تقع على نفس الخط مرتبطة ببعضها البعض، فستحصل على مثلث. المثلث له ثلاثة رؤوس وثلاثة جوانب.

أمامك مثلث ABC، له ثلاثة رؤوس (النقطة A، النقطة B والنقطة C) وثلاثة أضلاع (AB، AC وCB).

بالمناسبة، يمكن تسمية هذه الجوانب نفسها بشكل مختلف:

AB=BA، AC=SA، CB=BC.

تشكل أضلاع المثلث ثلاث زوايا عند رؤوس المثلث. في الشكل ترى الزاوية أ، والزاوية ب، والزاوية ج.

وبالتالي فإن المثلث هو شكل هندسي يتكون من ثلاثة أجزاء تصل بين ثلاث نقاط لا تقع على نفس الخط المستقيم.

§ 2 مفهوم المضلع وأنواعه

بالإضافة إلى المثلثات، هناك رباعيات، خماسية، سداسية، وما إلى ذلك. باختصار، يمكن أن يطلق عليهم المضلعات.

في الصورة ترى الشكل الرباعي DMKE.

النقاط D وM وK وE هي رؤوس الشكل الرباعي.

الأجزاء DM، MK، KE، ED هي جوانب هذا الشكل الرباعي. كما هو الحال في المثلث، تشكل جوانب الشكل الرباعي أربع زوايا عند القمم، كما خمنت، ومن هنا جاء الاسم - رباعي. بالنسبة لهذا الشكل الرباعي، ترى في الشكل الزاوية D والزاوية M والزاوية K والزاوية E.

ما هي الرباعيات التي تعرفها بالفعل؟

مربع ومستطيل! ولكل منها أربع زوايا وأربعة جوانب.

نوع آخر من المضلعات هو البنتاغون.

النقاط O، P، X، Y، T هي رؤوس البنتاغون، والأجزاء TO، OP، PX، XY، YT هي جوانب هذا الخماسي. يحتوي البنتاغون، على التوالي، على خمس زوايا وخمسة أضلاع.

كم عدد الزوايا وكم عدد الجوانب التي تعتقد أن الشكل السداسي بها؟ هذا صحيح، ستة! وبالاستدلال بطريقة مماثلة، يمكننا تحديد عدد الأضلاع أو الرءوس أو الزوايا لمضلع معين. ويمكننا أن نستنتج أن المثلث هو أيضًا مضلع له ثلاث زوايا وثلاثة أضلاع وثلاثة رؤوس.

وهكذا، في هذا الدرس، تعرفت على مفاهيم مثل المثلث والمضلع. لقد تعلمنا أن المثلث له 3 رؤوس و3 أضلاع و3 زوايا، والشكل الرباعي له 4 رؤوس و4 أضلاع و4 زوايا، والخماسي له 5 جوانب و5 رؤوس و5 زوايا، وهكذا.

قائمة الأدبيات المستخدمة:

1. الرياضيات الصف الخامس. فيلينكين إن.يا.، جوخوف ف.آي. وآخرون، الطبعة 31، محذوفة. - م: 2013.
2. المواد التعليمية للرياضيات الصف الخامس. المؤلف - بوبوف م.أ. - عام 2013
3. نحن نحسب دون أخطاء. العمل مع الاختبار الذاتي في الرياضيات الصفوف 5-6. المؤلف - مينيفا س.س. - عام 2014
4. المواد التعليمية للرياضيات الصف الخامس. المؤلفون: دوروفييف جي في، كوزنتسوفا إل في. - 2010
5. الاختبارات والعمل المستقل في الرياضيات الصف 5. المؤلفون - بوبوف م.أ. - سنة 2012
6. الرياضيات. الصف الخامس: تعليمي. لطلاب التعليم العام . المؤسسات / I. I. Zubareva، A. G. Mordkovich. - الطبعة التاسعة، محذوفة. - م: منيموسين، 2009

يسمى الجزء من المستوى الذي يحده خط مغلق ومكسور بالمضلع.

تسمى أجزاء هذا الخط المكسور حفلاتمضلع. AB، BC، CD، DE، EA (الشكل 1) هي جوانب المضلع ABCDE. مجموع جميع أضلاع المضلع يسمى محيط.

يسمى المضلع محدبإذا كان يقع على جانب واحد من أي جانب من جوانبه، ممتدًا إلى ما بعد القمم إلى ما لا نهاية.

لن يكون مضلع MNPKO (الشكل 1) محدبًا، لأنه يقع على أكثر من جانب من الخط المستقيم KR.

سننظر فقط في المضلعات المحدبة.

تسمى الزوايا التي تشكلها ضلعان متجاوران في المضلع بها داخليالزوايا، وقممها هي رؤوس المضلع.

يسمى الجزء المستقيم الذي يربط بين رأسين غير متجاورين للمضلع بقطر المضلع.

AC، AD - أقطار المضلع (الشكل 2).

تسمى الزوايا المجاورة للزوايا الداخلية للمضلع بالزوايا الخارجية للمضلع (الشكل 3).

اعتمادًا على عدد الزوايا (الأضلاع)، يُسمى المضلع مثلثًا، أو رباعيًا، أو خماسي الأضلاع، وما إلى ذلك.

يقال إن مضلعين متطابقان إذا كان من الممكن جمعهما عن طريق التداخل.

المضلعات المنقوشة والمحدودة

إذا كانت جميع رؤوس المضلع تقع على دائرة، فإن المضلع يسمى منقوشةفي دائرة، والدائرة - الموصوفةبالقرب من المضلع (الشكل).

إذا كانت جميع أضلاع المضلع مماسة لدائرة، فإن المضلع يسمى الموصوفةحول دائرة، وتسمى الدائرة منقوشةفي مضلع (الشكل).

تشابه المضلعات

يسمى مضلعان لهما نفس الاسم بالتشابه إذا كانت زوايا أحدهما متساوية على التوالي مع زوايا الآخر، وكانت الجوانب المتشابهة للمضلعات متناسبة.

تسمى المضلعات التي لها نفس عدد الأضلاع (الزوايا) مضلعات تحمل نفس الاسم.

تسمى جوانب المضلعات المتشابهة التي تربط رؤوس الزوايا المتساوية المتشابهة (الشكل).

لذا، على سبيل المثال، لكي يكون المضلع ABCDE مشابهًا للمضلع A'B'C'D'E'، فمن الضروري أن: ∠A = ∠A' ∠B = ∠B' ∠C = ∠C' ∠ D = ∠D' ∠ E = ∠E'، وبالإضافة إلى ذلك، AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A' .

نسبة محيط المضلعات المتشابهة

أولا، النظر في خاصية سلسلة من النسب المتساوية. فلنأخذ على سبيل المثال النسب التالية: 2 / 1 = 4 / 2 = 6 / 3 = 8 / 4 = 2.

لنجد مجموع الحدود السابقة لهذه العلاقات، ثم مجموع حدودها اللاحقة ونوجد نسبة المجاميع الناتجة، نحصل على:

$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$

نحصل على نفس الشيء إذا أخذنا سلسلة من بعض العلاقات الأخرى، على سبيل المثال: 2 / 3 = 4 / 6 = 6 / 9 = 8 / 12 = 10 / 15 = 2 / 3 فلنوجد مجموع الحدود السابقة لـ هذه العلاقات ومجموع العلاقات اللاحقة، ومن ثم إيجاد نسبة هذه المجاميع، نحصل على:

$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$

وفي كلتا الحالتين، فإن مجموع الأعضاء السابقين في سلسلة من العلاقات المتساوية يرتبط بمجموع الأعضاء اللاحقين في نفس السلسلة، تمامًا كما يرتبط العضو السابق في أي من هذه العلاقات بالعضو اللاحق لها.

لقد اشتقنا هذه الخاصية من خلال النظر في عدد من الأمثلة العددية. يمكن استخلاصها بشكل صارم وفي شكل عام.

الآن فكر في نسبة محيط المضلعات المتشابهة.

دع المضلع ABCDE يكون مشابهًا للمضلع A'B'C'D'E' (الشكل).

ويترتب على تشابه هذه المضلعات ذلك

AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A'

بناءً على الخاصية التي استنتجناها لسلسلة من النسب المتساوية، يمكننا أن نكتب:

مجموع الحدود السابقة للعلاقات التي أخذناها يمثل محيط المضلع الأول (P)، ومجموع الحدود اللاحقة لهذه العلاقات يمثل محيط المضلع الثاني (P')، ويعني P/P '= أ ب / أ'ب'.

لذلك، ترتبط محيطات المضلعات المتشابهة بأضلاعها المتشابهة.

نسبة مساحات المضلعات المتشابهة

اجعل ABCDE وA’B’C’D’E’ مضلعين متشابهين (الشكل).

ومن المعروف أن ΔАВС ~ ΔA'В'С' ΔACD ~ ΔA'C'D' و ΔADE ~ ΔA'D'E'.

بجانب،

;

وبما أن النسب الثانية لهذه النسب متساوية، وهو ما يترتب على تشابه المضلعات، إذن

باستخدام خاصية سلسلة النسب المتساوية نحصل على:

أو

حيث S وS هي مناطق هذه المضلعات المتشابهة.

لذلك، ترتبط مساحات المضلعات المتشابهة كمربعات ذات جوانب متشابهة.

يمكن تحويل الصيغة الناتجة إلى هذا النموذج: S / S' = (AB / A'B') 2

مساحة المضلع التعسفي

فليكن من الضروري حساب مساحة الشكل الرباعي التعسفي ABC (الشكل).

لنرسم فيه قطريًا، على سبيل المثال م. نحصل على مثلثين ABD وACD، يمكننا حساب مساحتهما. ثم نجد مجموع مساحات هذه المثلثات. المبلغ الناتج سيعبر عن مساحة هذا الشكل الرباعي.

إذا كنت بحاجة إلى حساب مساحة البنتاغون، فإننا نفعل الشيء نفسه: نرسم الأقطار من إحدى القمم. نحصل على ثلاثة مثلثات يمكننا حساب مساحتها. وهذا يعني أنه يمكننا إيجاد مساحة هذا الخماسي. نحن نفعل الشيء نفسه عند حساب مساحة أي مضلع.

المساحة المتوقعة للمضلع

دعونا نتذكر أن الزاوية بين الخط والمستوى هي الزاوية بين خط معين ومسقطه على المستوى (الشكل).

نظرية. مساحة الإسقاط المتعامد للمضلع على المستوى تساوي مساحة المضلع المسقط مضروبًا في جيب تمام الزاوية التي يشكلها مستوى المضلع ومستوى الإسقاط.

يمكن تقسيم كل مضلع إلى مثلثات مجموع مساحاتها يساوي مساحة المضلع. لذلك، يكفي إثبات نظرية المثلث.

دع ΔАВС يتم عرضه على الطائرة ر. دعونا نفكر في حالتين:

أ) أحد الجوانب ΔABC موازي للمستوى ر;

ب) لا يوجد أي ضلع من أضلاع ΔABC متوازي ر.

دعونا نفكر الحالة الأولى: دع [AB] || ر.

دعونا نرسم مستوى من خلال (AB) ر 1 || روالمشروع بشكل متعامد ΔАВС ر 1 وما فوق ر(أرز.)؛ نحصل على ΔАВС 1 و ΔА'В'С'.

بواسطة خاصية الإسقاط لدينا ΔАВС 1 (cong) ΔА'В'С'، وبالتالي

S Δ ABC1 = S Δ A'B'C'

لنرسم ⊥ والقطعة D 1 C 1 . ثم ⊥ , a \(\overbrace(CD_1C_1)\) = φ هي قيمة الزاوية بين المستوى ΔABC والمستوى ر 1 . لهذا

S Δ ABC1 = 1/2 | أ ب | | ج1 د1 | = 1 / 2 | أ ب | | القرص المضغوط 1 | cos φ = S Δ ABC cos φ

وبالتالي S Δ A'B'C' = S Δ ABC cos φ.

دعنا ننتقل إلى النظر الحالة الثانية. لنرسم طائرة ر 1 || رمن خلال تلك القمة ΔАВС، وهي المسافة التي تصل منها إلى المستوى رالأصغر (فليكن الرأس A).

لنعرض ΔАВС على المستوى ر 1 و ر(أرز.)؛ دع توقعاتها تكون ΔАВ 1 С 1 و ΔА'В'С'، على التوالي.

دع (قبل الميلاد) ∩ ص 1 = د. ثم

S Δ A'B'C' = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ

مواد اخرى