تشير المستويات المتعامدة إلى عمودي طائرتين. القياس المجسم

تعريف.الزاوية ثنائية السطوح هي شكل يتكون من خط مستقيم أ ونصف مستويين مع حد مشترك أ، ولا ينتميان إلى نفس المستوى.

تعريف.قياس درجة الزاوية ثنائية السطوح هو قياس درجة أي من زواياها الخطية.

تعريف.تسمى المستويتان المتقاطعتان عموديتين إذا كانت الزاوية بينهما 90 درجة.

علامة عمودي طائرتين.

ملكيات.

1. في الشكل المكعب، جميع الوجوه الستة مستطيلة.
2. جميع الزوايا ثنائية السطوح للمكعب هي زوايا قائمة
3. مربع قطر متوازي المستطيلات يساوي مجموع مربعات أبعاده الثلاثة.

مشاكل واختبارات حول موضوع "الموضوع 7. "زاوية ثنائي السطوح. عمودي الطائرات."

• زاوية زوجية. عمودي الطائرات
• عمودي الخط والطائرة - عمودي الخطوط والمستويات، الصف 10

  الدروس: 1 الواجبات: 10 الاختبارات: 1

• عمودي ومائل. الزاوية المحصورة بين الخط المستقيم والمستوى - عمودي الخطوط والمستويات، الصف 10

  الدروس: 2 واجبات: 10 اختبارات: 1

• توازي الطائرات - توازي الخطوط والمستويات، الصف العاشر

  الدروس: 1 الواجبات: 8 الاختبارات: 1

• خطوط متعامدة - المعلومات الهندسية الأساسية الصف السابع

  الدروس: 1 الواجبات: 17 الاختبارات: 1

تلخص المواد المتعلقة بالموضوع وتنظم المعلومات التي تعرفها من قياس التخطيط حول عمودي الخطوط المستقيمة. يُنصح بالجمع بين دراسة النظريات حول العلاقة بين التوازي والعمودي للخطوط المستقيمة والمستويات في الفضاء، وكذلك المواد المتعامدة والمائلة، مع التكرار المنهجي للمادة المقابلة من قياس التخطيط.

تتلخص حلول جميع المسائل الحسابية تقريبًا في تطبيق نظرية فيثاغورس وعواقبها. في العديد من المسائل، يتم تبرير إمكانية استخدام نظرية فيثاغورس أو نتائجها الطبيعية من خلال نظرية المتعامدين الثلاثة أو خصائص التوازي وتعامد المستويات.

سيساعد هذا الدرس أولئك الذين يرغبون في فهم موضوع "علامة تعامد المستويين". في البداية، سنكرر تعريف الزوايا ثنائية السطوح والزوايا الخطية. ثم سنفكر في أي المستويات تسمى متعامدة، ونثبت إشارة عمودية طائرتين.

الموضوع: عمودي الخطوط والمستويات

درس: إشارة عمودية مستويين

تعريف. الزاوية ثنائية السطوح هي شكل مكون من نصفي مستويين لا ينتميان إلى نفس المستوى وخطهما المستقيم المشترك أ (أ هي الحافة).

أرز. 1

لنفكر في طائرتين نصفيتين α و β (الشكل 1). حدودهم المشتركة هي l. ويسمى هذا الشكل زاوية ثنائي السطوح. تشكل طائرتان متقاطعتان أربع زوايا ثنائية السطوح ذات حافة مشتركة.

يتم قياس الزاوية ثنائية السطوح بزاويتها الخطية. نختار نقطة تعسفية على الحافة المشتركة l لزاوية ثنائي السطوح. في نصفي المستويين α و β، من هذه النقطة نرسم عموديين a و b على الخط المستقيم l ونحصل على الزاوية الخطية للزاوية ثنائية السطوح.

الخطوط المستقيمة أ و ب تشكل أربع زوايا تساوي φ، 180° - φ، φ، 180° - φ. تذكر أن الزاوية المحصورة بين الخطوط المستقيمة هي الأصغر بين هذه الزوايا.

تعريف. الزاوية بين المستويات هي أصغر الزوايا ثنائية السطوح التي تشكلها هذه المستويات. φ هي الزاوية بين المستويين α و β، إذا

تعريف. يُطلق على المستويين المتقاطعين اسم عمودي (متعامد متبادل) إذا كانت الزاوية بينهما 90 درجة.

أرز. 2

يتم تحديد نقطة تعسفية M على الحافة l (الشكل 2). دعونا نرسم خطين مستقيمين متعامدين MA = a و MB = b على الحافة l في المستوى α وفي المستوى β على التوالي. لقد حصلنا على الزاوية AMB. الزاوية AMB هي الزاوية الخطية لزاوية ثنائي السطوح. إذا كانت الزاوية AMB تساوي 90 درجة، فإن المستويين α و β يسمىان متعامدين.

الخط b عمودي على الخط l بالبناء. الخط b عمودي على الخط a، لأن الزاوية بين المستويين α و β هي 90 درجة. نجد أن الخط b عمودي على خطين متقاطعين a و l من المستوى α. وهذا يعني أن الخط المستقيم b عمودي على المستوى α.

وبالمثل، يمكننا إثبات أن الخط المستقيم a عمودي على المستوى β. الخط a عمودي على الخط l بالبناء. الخط أ عمودي على الخط ب، لأن الزاوية بين المستويين α و β هي 90 درجة. نجد أن الخط a عمودي على خطين متقاطعين b و l من المستوى β. وهذا يعني أن الخط المستقيم a عمودي على المستوى β.

إذا مر أحد المستويين بخط عمودي على المستوى الآخر، فإن هذين المستويين يكونان متعامدين.

يثبت:

أرز. 3

دليل:

دع المستويين α و β يتقاطعان على طول الخط المستقيم AC (الشكل 3). لإثبات أن المستويين متعامدان بشكل متبادل، عليك إنشاء زاوية خطية بينهما وإظهار أن هذه الزاوية تساوي 90 درجة.

الخط المستقيم AB عمودي على المستوى β، وبالتالي على الخط المستقيم AC الواقع في المستوى β.

دعونا نرسم خطًا مستقيمًا AD عموديًا على الخط المستقيم AC في المستوى β. ثم BAD هي الزاوية الخطية للزاوية ثنائية السطوح.

الخط المستقيم AB عمودي على المستوى β، وبالتالي على الخط المستقيم AD الواقع في المستوى β. وهذا يعني أن الزاوية الخطية BAD هي 90 درجة. هذا يعني أن المستويين α و β متعامدان، وهو ما يجب إثباته.

المستوى المتعامد مع الخط الذي تتقاطع فيه طائرتان معينتان يكون عموديًا على كل من هذه المستويات (الشكل 4).

يثبت:

أرز. 4

دليل:

الخط المستقيم l عمودي على المستوى γ، ويمر المستوى α عبر الخط المستقيم l. وهذا يعني أنه بناءً على عمودي المستويات، فإن المستويين α وγ متعامدان.

الخط المستقيم l عمودي على المستوى γ، ويمر المستوى β عبر الخط المستقيم l. هذا يعني أنه وفقًا لعمود المستويين، يكون المستويان β وγ متعامدين.

النص النصي للدرس:

تتيح لنا فكرة المستوى في الفضاء الحصول على سطح طاولة أو جدار على سبيل المثال. ومع ذلك، فإن الطاولة أو الجدار لها أبعاد محدودة، ويمتد المستوى إلى ما وراء حدوده إلى ما لا نهاية.

النظر في طائرتين متقاطعتين. عندما تتقاطع، فإنها تشكل أربع زوايا ثنائية السطوح ذات حافة مشتركة.

دعونا نتذكر ما هي زاوية ثنائي السطوح.

في الواقع، نواجه كائنات لها شكل زاوية ثنائية السطوح: على سبيل المثال، باب مفتوح قليلاً أو مجلد نصف مفتوح.

عندما يتقاطع مستويان ألفا وبيتا، نحصل على أربع زوايا ثنائية السطوح. لتكن إحدى الزوايا ثنائية السطوح تساوي (فاي)، فالثانية تساوي (1800-)، الثالثة، الرابعة (1800-).

خذ بعين الاعتبار الحالة عندما تكون إحدى زوايا ثنائي السطوح 900.

إذن، جميع الزوايا ثنائية السطوح في هذه الحالة تساوي 900.

دعونا نقدم تعريف الطائرات المتعامدة:

يسمى المستويان متعامدين إذا كانت زاوية ثنائي السطوح بينهما 90 درجة.

الزاوية بين مستويي سيجما وإبسيلون هي 90 درجة، مما يعني أن المستويين متعامدان

دعونا نعطي أمثلة على الطائرات المتعامدة.

الجدار والسقف.

الجدار الجانبي وسطح الطاولة.

دعونا نصيغ إشارة عمودية لطائرتين:

النظرية: إذا مر أحد المستويين بخط عمودي على المستوى الآخر، فإن هذين المستويين متعامدان.

دعونا نثبت هذه العلامة.

بالشرط، من المعروف أن الخط المستقيم AM يقع في المستوى α، والخط المستقيم AM عمودي على المستوى β،

أثبت أن المستويين α و β متعامدان.

دليل:

1) تتقاطع المستويتان α و β على طول الخط المستقيم AR، في حين أن AM هي AR، نظرًا لأن AM β حسب الحالة، أي أن AM عمودي على أي خط مستقيم يقع في المستوى β.

2) دعونا نرسم خطًا مستقيمًا AT عموديًا على AP في المستوى β.

نحصل على زاوية TAM - الزاوية الخطية للزاوية ثنائية السطوح. لكن الزاوية TAM = 90°، حيث أن MA هي β. لذلك α β.

Q.E.D.

من علامة عمودي طائرتين لدينا نتيجة طبيعية مهمة:

النتيجة الطبيعية: المستوى العمودي على الخط الذي تتقاطع فيه طائرتان يكون عموديًا على كل من هذه المستويات.

أي: إذا كان α∩β=с و γ с، فإن γ α و γ β.

دعونا نثبت هذه النتيجة الطبيعية: إذا كان مستوى جاما متعامدًا مع الخط c، فبناءً على التوازي بين المستويين، تكون جاما متعامدة مع ألفا. وبالمثل، غاما عمودي على بيتا

دعونا نعيد صياغة هذه النتيجة الطبيعية لزاوية ثنائية السطوح:

المستوى الذي يمر عبر الزاوية الخطية لزاوية ثنائية السطوح يكون متعامدًا مع حافة ووجوه هذه الزاوية ثنائية السطوح. بمعنى آخر، إذا قمنا ببناء زاوية خطية لزاوية ثنائية السطوح، فإن المستوى الذي يمر عبرها يكون عموديًا على حافة ووجوه هذه الزاوية ثنائية السطوح.

بالنظر إلى: ΔABC، C = 90°، يقع AC في المستوى α، والزاوية بين المستويين α وABC = 60°، AC = 5 سم، AB = 13 سم.

أوجد: المسافة من النقطة B إلى المستوى α.

1) لنقم ببناء VC α. ثم KS هو إسقاط الشمس على هذا المستوى.

2) BC AC (بالشرط) ويعني حسب نظرية الخطوط المتعامدة الثلاثة (TPP) KS AC. لذلك، VSK هي الزاوية الخطية للزاوية ثنائية السطوح بين المستوى α ومستوى المثلث ABC. أي أن زاوية VSK = 60 درجة.

3) من ΔBCA حسب نظرية فيثاغورس:

الجواب VK يساوي 6 جذور لثلاثة سم

الاستخدام العملي (الطبيعة التطبيقية) لتعامد طائرتين.

يمكن أن يكون للعمودية في الفضاء:

1. خطين مستقيمين

3. طائرتان

دعونا ننظر إلى هذه الحالات الثلاث تباعًا: جميع التعاريف وبيانات النظريات المتعلقة بها. وبعد ذلك سنناقش النظرية المهمة جدًا حول الخطوط المتعامدة الثلاثة.

عمودي خطين.

تعريف:

يمكنك القول: لقد اكتشفوا أمريكا أيضًا بالنسبة لي! لكن تذكر أن كل شيء في الفضاء ليس تمامًا كما هو الحال على متن الطائرة.

على المستوى، الخطوط التالية (المتقاطعة) فقط هي التي يمكن أن تكون متعامدة:

لكن الخطين المستقيمين يمكن أن يكونا متعامدين في الفضاء حتى لو لم يتقاطعا. ينظر:

الخط المستقيم عمودي على خط مستقيم، مع أنه لا يتقاطع معه. كيف ذلك؟ دعونا نتذكر تعريف الزاوية بين الخطوط المستقيمة: للعثور على الزاوية بين الخطوط المتقاطعة، وتحتاج إلى رسم خط مستقيم من خلال نقطة تعسفية على السطر أ. ومن ثم فإن الزاوية بين و (بحكم التعريف!) ستكون مساوية للزاوية بين و.

هل تذكر؟ حسنًا، في حالتنا، إذا تبين أن الخطوط المستقيمة متعامدة، فيجب أن نعتبر الخطوط المستقيمة متعامدة.

للحصول على الوضوح الكامل، دعونا ننظر مثال.يجب ألا يكون هناك مكعب. ويطلب منك العثور على الزاوية بين السطور و. هذه الخطوط لا تتقاطع، بل تتقاطع. للعثور على الزاوية الواقعة بين و، دعونا نرسم.

نظرًا لحقيقة أنه متوازي الأضلاع (وحتى مستطيل!) ، فقد اتضح ذلك. ونظرًا لأنه مربع، فقد اتضح ذلك. حسنا، هذا يعني.

عمودي الخط والطائرة.

تعريف:

وهنا صورة:

الخط المستقيم يكون عموديًا على المستوى إذا كان عموديًا على جميع الخطوط المستقيمة في هذا المستوى: و، و، وحتى! ومليار أخرى مباشرة!

نعم، ولكن كيف يمكنك عمومًا التحقق من العمودية في خط مستقيم وفي المستوى؟ إذن الحياة لا تكفي! لكن لحسن حظنا أن علماء الرياضيات أنقذونا من كابوس اللانهاية بالاختراع علامة عمودي الخط والطائرة.

دعونا صياغة:

قيم مدى روعتها:

إذا كان هناك خطان مستقيمان فقط (و) في المستوى الذي يكون الخط المستقيم عموديًا عليه، فإن هذا الخط المستقيم سيصبح على الفور عموديًا على المستوى، أي على جميع الخطوط المستقيمة في هذا المستوى (بما في ذلك بعض الخطوط المستقيمة خط يقف على الجانب). وهذه نظرية مهمة جدًا، لذا سنرسم معناها أيضًا على شكل رسم بياني.

ودعونا ننظر مرة أخرى مثال.

دعونا نحصل على رباعي الاسطح منتظم.

المهمة: إثبات ذلك. ستقول: هذان خطان مستقيمان! وما علاقة عمودي الخط المستقيم والمستوى به؟!

لكن انظر:

دعونا نضع علامة على منتصف الحافة ونرسم و. هذه هي الوسطاء في و. المثلثات منتظمة و...

ها هي معجزة: اتضح أنه منذ و. علاوة على ذلك، إلى جميع الخطوط المستقيمة في الطائرة، مما يعني و. لقد أثبتوا ذلك. وكانت النقطة الأكثر أهمية هي على وجه التحديد استخدام إشارة عمودي الخط والمستوى.

عندما تكون الطائرات متعامدة

تعريف:

أي (لمزيد من التفاصيل، راجع موضوع "الزاوية ثنائية السطوح") يكون المستويان (و) متعامدين إذا تبين أن الزاوية بين المتعامدين (و) على خط تقاطع هذين المستويين متساوية. وهناك نظرية تربط بين مفهوم المستويات المتعامدة ومفهوم العمودية في فضاء الخط والمستوى.

وتسمى هذه النظرية

معيار عمودي الطائرات.

دعونا صياغة:

كما هو الحال دائمًا، يبدو فك تشفير الكلمات "ثم وبعد ذلك فقط" كما يلي:

• إذا، ثم يمر عبر عمودي على.

• فإذا مر بالعمودي على، إذن.

(بطبيعة الحال، نحن هنا طائرات).

هذه النظرية هي واحدة من أهم النظريات في القياس المجسم، ولكنها للأسف أيضًا واحدة من أصعب النظريات في التطبيق.

لذلك عليك أن تكون حذرا للغاية!

إذن الصياغة:

ومرة أخرى فك رموز الكلمات "ثم وبعد ذلك فقط". تنص النظرية على شيئين في وقت واحد (انظر الصورة):

دعونا نحاول تطبيق هذه النظرية لحل المشكلة.

مهمة: يتم إعطاء هرم سداسي منتظم. أوجد الزاوية بين الخطوط و.

حل:

نظرًا لحقيقة أنه في الهرم العادي، تقع قمة الرأس عند إسقاطها في مركز القاعدة، ويتبين أن الخط المستقيم هو إسقاط للخط المستقيم.

لكننا نعلم أنه في شكل سداسي منتظم. نطبق نظرية ثلاثة متعامدين:

ونكتب الجواب : .

عمودي الخطوط المستقيمة في الفضاء. باختصار عن الأشياء الرئيسية

عمودي خطين.

يكون الخطان في الفضاء متعامدين إذا كانت هناك زاوية بينهما.

عمودي الخط والطائرة.

يكون الخط عموديًا على المستوى إذا كان عموديًا على جميع الخطوط الموجودة في هذا المستوى.

عمودي الطائرات.

تكون المستويات متعامدة إذا كانت زاوية ثنائي السطوح بينها متساوية.

معيار عمودي الطائرات.

يكون المستويان متعامدين إذا وفقط إذا مرت إحداهما بالعمودي على المستوى الآخر.

نظرية الثلاثة المتعامدة:

حسنا، انتهى الموضوع. إذا كنت تقرأ هذه السطور، فهذا يعني أنك رائع جداً.

لأن 5% فقط من الناس قادرون على إتقان شيء ما بأنفسهم. وإذا قرأت حتى النهاية فأنت في هذه الـ 5٪!

الآن الشيء الأكثر أهمية.

لقد فهمت النظرية حول هذا الموضوع. وأكرر، هذا... هذا رائع! أنت بالفعل أفضل من الغالبية العظمى من زملائك.

المشكلة هي أن هذا قد لا يكون كافيا..

لماذا؟

لاجتياز امتحان الدولة الموحدة بنجاح، والالتحاق بالجامعة بميزانية محدودة، والأهم من ذلك، مدى الحياة.

لن أقنعك بشيء، سأقول شيئًا واحدًا فقط..

الأشخاص الذين تلقوا تعليمًا جيدًا يكسبون أكثر بكثير من أولئك الذين لم يتلقوه. هذه إحصائيات.

ولكن هذا ليس الشيء الرئيسي.

الشيء الرئيسي هو أنهم أكثر سعادة (هناك مثل هذه الدراسات). ربما لأن العديد من الفرص تنفتح أمامهم وتصبح الحياة أكثر إشراقًا؟ لا أعرف...

لكن فكر بنفسك..

ما الذي يتطلبه الأمر للتأكد من أنك أفضل من الآخرين في امتحان الدولة الموحدة وأن تكون في النهاية... أكثر سعادة؟

احصل على يدك من خلال حل المشكلات المتعلقة بهذا الموضوع.

لن يطلب منك أي نظرية أثناء الامتحان.

سوف تحتاج حل المشاكل مع الزمن.

وإذا لم تقم بحلها (كثيرًا!)، فمن المؤكد أنك سترتكب خطأً غبيًا في مكان ما أو ببساطة لن يكون لديك الوقت.

يبدو الأمر كما هو الحال في الرياضة - تحتاج إلى تكرار ذلك عدة مرات حتى تفوز بالتأكيد.

ابحث عن المجموعة أينما تريد، بالضرورة مع الحلول والتحليل التفصيليوتقرر، تقرر، تقرر!

يمكنك استخدام مهامنا (اختياري) ونحن بالطبع نوصي بها.

لكي تتحسن في استخدام مهامنا، تحتاج إلى المساعدة في إطالة عمر كتاب YouClever المدرسي الذي تقرأه حاليًا.

كيف؟ هناك خياران:

1. فتح جميع المهام المخفية في هذه المقالة -
2. فتح الوصول إلى جميع المهام المخفية في جميع مقالات الكتاب المدرسي البالغ عددها 99 مقالة - شراء كتاب مدرسي - 899 روبية

نعم، لدينا 99 مقالة من هذا القبيل في كتابنا المدرسي ويمكن فتح الوصول إلى جميع المهام وجميع النصوص المخفية فيها على الفور.

يتم توفير الوصول إلى جميع المهام المخفية طوال عمر الموقع.

ختاماً...

إذا لم تعجبك مهامنا، ابحث عن مهام أخرى. فقط لا تتوقف عند النظرية.

إن "الفهم" و"أستطيع الحل" هما مهارتان مختلفتان تمامًا. أنت بحاجة إلى كليهما.

البحث عن المشاكل وحلها!

إذا مرت إحدى المستويين عبر خط عمودي على المستوى الآخر، فإن المستويين المعطاين يكونان متعامدين () (الشكل 28)

α - الطائرة، الخامس- خط مستقيم متعامد عليه، β - مستوى يمر عبر الخط المستقيم الخامس، و مع- الخط المستقيم الذي تتقاطع فيه المستويتان α و β.

عاقبة.إذا كان المستوى عموديًا على خط تقاطع مستويين معينين، فإنه يكون عموديًا على كل من هذه المستويات

المشكلة 1. أثبت أنه من خلال أي نقطة على خط في الفضاء يمكن رسم خطين مختلفين متعامدين عليها.

دليل:

وفقا للبديهية أناهناك نقطة ليست على السطر أ.بواسطة النظرية 2.1، من خلال هذه النقطة فيومباشرة أيمكننا رسم المستوى α. (الشكل 29) حسب النظرية 2.3 من خلال النقطة أفي المستوى α يمكننا رسم خط مستقيم أ.وفقا للبديهية C 1، هناك نقطة مع، لا ينتمي إلى α. بواسطة نظرية 15.1 من خلال هذه النقطة معومباشرة أيمكننا رسم المستوى β. في المستوى β، وفقًا للنظرية 2.3، من خلال النقطة أ يمكننا رسم خط مستقيم بها أ.من خلال البناء، يحتوي الخطان b وc على نقطة مشتركة واحدة فقط أوكلاهما متعامد

المهمة 2.ترتبط الأطراف العلوية لعمودين قائمين رأسياً، وتفصل بينهما مسافة 3.4 متر، بعارضة. ارتفاع أحد القائمين 5.8 م والآخر 3.9 م أوجد طول العارضة.

تكييف= 5.8 م، في دي= 3.9 م، أ.ب- ؟ (الشكل 30)

AE = AC – CE = AC – BD= 5.8 - 3.9 = 1.9 (م)

بواسطة نظرية فيثاغورس من ∆ اي فينحن نحصل:

أ ب 2 = أ 2 + إ ب 2 = أ 2 + أ س 2 = ( 1.9) 2 + (3.4) 2 = 15.17 (م2)

أ.ب= = 3.9 (م)

مهام

هدف. تعلم كيفية التحليل في أبسط الحالات الترتيب المتبادلالأجسام الموجودة في الفضاء، واستخدام الحقائق والأساليب المستوية عند حل المسائل المجسمة.

1. أثبت أنه من خلال أي نقطة على خط في الفضاء يمكنك رسم خط عمودي عليها.

2. الخطوط AB وAC وAD متعامدة في أزواج. ابحث عن القرص المضغوط للمقطع إذا:

1) أ ب = 3 سم ، شمس= 7 سم، إعلان= 1.5 سم؛

2) VD= 9 سم، إعلان= 5 سم، شمس= 16 سم؛

3) أ ب = ب، ق = أ، م = د؛

4) ВD = с، ВС = а، АD = d

3. النقطة أ على مسافة أمن رؤوس مثلث متساوي الأضلاع مع الجانب أ.أوجد المسافة من النقطة أ إلى مستوى المثلث.

4. أثبت أنه إذا كان المستقيم موازيا لمستوى فإن جميع نقاطه تقع على نفس المسافة من المستوى.

5. تمديد سلك هاتف طوله 15 م من عامود الهاتف على ارتفاع 8 م من سطح الأرض إلى منزل حيث هو على ارتفاع 20 م أوجد المسافة بين المنزل والقطب، على افتراض أن السلك لا يتدلى.

6. رسم ميلان من نقطة إلى مستوى يساوي 10 سم و 17 سم والفرق في إسقاطات هذين المائلين 9 سم أوجد إسقاطات المائلين.

7. يتم رسم خطين مائلين من نقطة إلى مستوى يكون أحدهما أكبر من الآخر بـ 26 سم. النتوءات المائلة 12 سم و 40 سم أوجد النتوءات المائلة.

8. يتم رسم خطين مائلين من نقطة إلى مستوى. أوجد أطوال المائلة إذا كانت النسبة 1:2 ومسقطات المائلة هي 1 سم و7 سم.

9. تم رسم ميلين مائلين طولهما 23 سم و 33 سم من نقطة إلى مستوى.

المسافة من هذه النقطة إلى المستوى إذا كانت الإسقاطات المائلة بنسبة 2:3.

10. أوجد المسافة من منتصف القطعة AB إلى المستوى الذي لا يتقاطع مع هذا القطعة إذا كانت المسافات من النقطتين a و B إلى المستوى هي: 1) 3.2 سم و 5.3 سم، 7.4 سم و 6.1 سم؛ 3) أ و ج.

11. حل المسألة السابقة بشرط تقاطع القطعة AB مع المستوى.

12. قطعة طولها 1 م تتقاطع مع مستوى، وتبعد طرفيها عن المستوى بمسافة 0.5 م و 0.3 م، أوجد طول سقوط القطعة على المستوى.

13. من النقطتين A وB، يتم إسقاط الخطوط المتعامدة على المستوى. أوجد المسافة بين النقطتين A، B إذا كان المتعامدان 3 m و 2 m، والمسافة بين قاعدتيهما 2.4 m، والقطعة AB لا تتقاطع مع المستوى.

14. من النقطتين A و B، الواقعتين في مستويين متعامدين، يسقط العمودان AC و BD على خط تقاطع المستويين. أوجد طول المقطع AB إذا: 1) AC = 6 م، BD = 7 م، CD = 6 م؛ 2) AC = 3 م، ВD = 4 م، CD = 12 م؛ 3) AD = 4 م، BC = 7 م، CD = 1 م؛ 4) AD = BC = 5 م، CD = 1 م؛ 4) أس = أ، دينار بحريني = ب، سد = ج؛ 5) AD = أ، BC = ب، CD = ج.

15. من الرؤوس A و B للمثلث متساوي الأضلاع ABC، يتم استعادة العمودين AA 1 و BB 1 على مستوى المثلث. أوجد المسافة من الرأس C إلى منتصف القطعة A 1 B 1 إذا كانت AB = 2 m، CA 1 = 3 m، CB 1 = 7 m والقطعة A 1 B 1 لا تتقاطع مع مستوى المثلث

16. من الرؤوس A و B للزوايا الحادة للمثلث القائم ABC، يتم نصب عمودي AA 1 و BB 1 على مستوى المثلث. أوجد المسافة من الرأس C إلى منتصف القطعة A 1 B 1، إذا كان A 1 C = 4 m، AA 1 = 3 m، CB 1 = 6 m، BB 1 = 2 m والقطعة A 1 B 1 لا تتقاطع مستوى المثلث.