مادة في الرياضيات "نظريات حول الزوايا المكونة من الأوتار والظل والقطع". نظريات حول الزوايا تتكون من خطين متوازيين

§ 1 نظرية المعكوس

في هذا الدرس ، سنكتشف النظريات التي تسمى معكوس ، ونعطي أمثلة على النظريات العكسية ، ونصوغ نظريات حول الزوايا المكونة من خطين متوازيين وقاطع قاطع ، ونتعرف على طريقة إثبات التناقض.

عند دراسة مختلف الأشكال الهندسيةعادة ما تصاغ التعاريف ، وتثبت النظريات ، وتؤخذ النتائج من النظريات في الاعتبار. كل نظرية من جزأين: شرط وخاتمة.

شرط النظرية هو المعطى ، والنتيجة هي ما يجب إثباته. غالبًا ما تبدأ حالة النظرية بكلمة "if" ، وتبدأ الاستنتاج بكلمة "then". على سبيل المثال ، يمكن صياغة نظرية خصائص مثلث متساوي الساقين على النحو التالي: "إذا كان المثلث متساوي الساقين ، فإن الزوايا الموجودة في قاعدته متساوية." الجزء الأول من نظرية "إذا كان المثلث متساوي الساقين" هو شرط النظرية ، الجزء الثاني من النظرية "إذن الزوايا في قاعدته متساوية" هو خاتمة النظرية.

تسمى النظرية التي يتم فيها تبادل الشرط والاستنتاج بالنظرية العكسية. ستبدو نظرية العكس للنظرية حول خصائص المثلث متساوي الساقين كما يلي: "إذا تساوت زاويتان في المثلث ، فإن هذا المثلث يكون متساوي الساقين."

دعنا نكتب كل منهم باختصار:

نرى أن الشرط والاستنتاج معكوسان.

كل من هذه العبارات صحيحة.

السؤال الذي يطرح نفسه: هل العبارة صحيحة دائمًا ، حيث يتغير الشرط مع الاستنتاج في الأماكن؟

تأمل في مثال.

إذا كانت الزوايا عمودية ، فإنهما متساويتان. هذا بيان صحيح ، لديه دليل. نقوم بصياغة العبارة العكسية: إذا كانت الزوايا متساوية ، فهي عمودية. هذه العبارة غير صحيحة ، ومن السهل التحقق من ذلك بإعطاء مثال دحض: لنأخذ زاويتين قائمتين (انظر الشكل) ، إنهما متساويتان ، لكنهما ليسا عموديين.

وبالتالي ، فإن التأكيدات العكسية (النظريات) فيما يتعلق بالتأكيدات المثبتة بالفعل (النظريات) تتطلب دائمًا إثباتًا.

§ 2 نظريات حول الزوايا مكونة من خطين متوازيين وقاطع قاطع

دعونا الآن نتذكر العبارات التي أثبتت جدواها - النظريات التي تعبر عن علامات التوازي لخطين مستقيمين ، وصياغة النظريات المعكوسة لها والتأكد من صحتها من خلال تقديم البراهين.

أول علامة على الخطوط المتوازية.

إذا كانت زوايا الكذب متساوية عند تقاطع سطرين بواسطة مستعرض ، فإن الخطوط تكون متوازية.

نظرية المعكوس:

إذا تم تقاطع خطين متوازيين بواسطة قاطع ، فإن الزوايا الواقعة عبرها متساوية.

دعنا نثبت هذا البيان.

معطى: يتقاطع المستقيمان المتوازيان a و b بواسطة القاطع AB.

إثبات تساوي زاويتا العرض بالعرض 1 و 2. (انظر الصورة).

دليل:

افترض أن الزاويتين 1 و 2 غير متساويتين.

دعونا نضع جانبًا من الشعاع AB الزاوية CAB التي تساوي الزاوية 2 ، بحيث تكون الزاوية CAB والزاوية 2 زاويتين عرضيتين عند تقاطع الخطين CA و b عند القاطع AB.

بالتركيب ، هاتان الزاويتان المتقاطعتان للعرض متساويتان ، لذا فإن الخط CA موازٍ للخط ب.

لقد حصلنا على أن المستقيمين a و CA يمران بالنقطة A وهما موازيان للخط b. هذا يتناقض مع بديهية الخطوط المتوازية: من خلال نقطة لا تقع على خط معين ، يوجد خط واحد فقط موازٍ للخط المعطى.

لذا فإن افتراضنا خاطئ ، الزاويتان 1 و 2 متساويتان.

لقد تم إثبات النظرية.

§ 3 طريقة الإثبات بالتناقض

لإثبات هذه النظرية ، استخدمنا طريقة التفكير ، والتي تسمى طريقة البرهان بالتناقض. عند بدء الإثبات ، افترضنا عكس ما هو مطلوب لإثباته. بالنظر إلى صحة هذا الافتراض ، توصلنا من خلال التفكير إلى تناقض مع بديهية الخطوط المتوازية. من هذا خلصنا إلى أن افتراضنا ليس صحيحًا ، لكن تأكيد النظرية صحيح. غالبًا ما تستخدم طريقة الإثبات هذه في الرياضيات.

ضع في اعتبارك نتيجة للنظرية المثبتة.

عاقبة:

إذا كان الخط متعامدًا على أحد الخطين المتوازيين ، فإنه يكون أيضًا عموديًا على الآخر.

اجعل الخط أ موازيًا للخط ب ، ويكون الخط ج متعامدًا على الخط أ ، أي الزاوية 1 = 90º.

يتقاطع الخط ج مع الخط أ ، لذا يتقاطع السطر ج أيضًا مع الخط ب.

عندما تتقاطع الخطوط المتوازية بواسطة قاطع ، تكون زوايا الكذب متساوية ، مما يعني أن الزاوية 1 \ u003d الزاوية 2.

بما أن الزاوية 1 = 90º ، فالزاوية 2 = 90º ، إذن الخط c عمودي على الخط b.

تم إثبات النتيجة.

النظرية العكسية للعلامة الثانية لتوازي الخطوط:

إذا تم تقاطع خطين متوازيين بواسطة قاطع ، فإن الزوايا المقابلة لها متساوية.

النظرية العكسية للعلامة الثالثة لتوازي الخطوط:

إذا تم تقاطع خطين متوازيين بواسطة قاطع ، فإن مجموع زوايا جانب واحد هو 180 درجة.

لذلك ، في هذا الدرس ، اكتشفنا أي النظريات تسمى معكوس ، وصيغت ونظريات حول الزوايا المكونة من خطين متوازيين وقاطع قاطع ، وتعرّفنا أيضًا على طريقة إثبات التناقض.

قائمة الأدب المستخدم:

الهندسة. الصفوف 7-9: كتاب مدرسي. للتعليم العام المنظمات / L.S. أتاناسيان ، ف. بوتوزوف ، س. Kadomtsev وآخرون - م: تربية 2013. - 383 ص: مريض.
جافريلوفا ن. تطوير Pourochnye في الهندسة الصف 7. - م: "VAKO" ، 2004 ، 288 ثانية. - (لمساعدة مدرس المدرسة).
Belitskaya O.V. الهندسة. الصف السابع. الجزء 1. الاختبارات. - ساراتوف: صالة حفلات ، 2014. - 64 صفحة.

ريبالكو بافل

يحتوي هذا العرض التقديمي على: 3 نظريات مع البراهين و 3 مهام لدمج المادة المدروسة معها حل مفصل. يمكن أن يكون العرض التقديمي مفيدًا للمعلم في الفصل لأنه سيوفر الكثير من الوقت. يمكن استخدامه أيضًا كمراجعة عامة في نهاية العام الدراسي.

تحميل:

معاينة:

لاستخدام معاينة العروض التقديمية ، قم بإنشاء حساب Google (حساب) وقم بتسجيل الدخول: https://accounts.google.com

شرح الشرائح:

نظريات حول الزوايا تتكون من خطين متوازيين وقاطع. المؤدي: الطالب السابع في فئة "أ" Rybalko Pavel Mytishchi ، 2012

النظرية: إذا تم تقاطع خطين متوازيين بواسطة قاطع ، فإن زوايا الكذب العرضية متساوية. وفي ب ١ ٢  ١ = ٢ ج

الإثبات: A B C D M N 1 2 A B C D M N 1 2 K O لنفترض أن الخطين AB و CD متوازيان ويكون MN قاطعهما. دعنا نثبت أن الزاويتين بالعرض 1 و 2 متساويتان. افترض أن  1 و  2 ليسا متساويين. دعونا نرسم خطًا KF عبر النقطة O. ثم عند النقطة O يمكننا بناء  KON ، مستلقية على الجانب الآخر وتساوي  2. ولكن إذا كانت  KON =  2 ، فسيكون الخط K F موازيًا لـ CD. لقد حصلنا على أن الخطين AB و K F مرسومان من خلال النقطة O ، بالتوازي مع الخط CD. لكن هذا لا يمكن أن يكون. لقد وصلنا إلى تناقض لأننا افترضنا أن 1 و 2 ليسا متساويين. لذلك ، افتراضنا غير صحيح ويجب أن تكون 1 مساوية لـ  2 ، أي أن الزوايا العرضية متساوية. F

النظرية: إذا تم تقاطع خطين متوازيين بواسطة قاطع ، فإن الزوايا المقابلة ستكون متساوية. وفي ب ١ ٢ ١ = ٢

الإثبات: 2 a في AB B 3 1 دع الخطين المتوازيين a و b يتقاطعان مع القاطع AB ، ثم يكون التقاطع  1 و  3 متساويين.  2 و  3 متساويتان كالرأس. ويترتب على المساواة  1 =  3 و  2 =  3 أن  1 =  2. تم إثبات النظرية

النظرية: إذا تم تقاطع خطين متوازيين بواسطة قاطع ، فإن مجموع زوايا جانب واحد هو 180 درجة. وفي أ ب 3 1  1 + 3 = 180 درجة

الدليل: دع الخطين المتوازيين a و b يتقاطعان مع القاطع AB ، ثم يكون المقابلان 1 و 2 متساويين ،  2 و  3 متجاورتان ، لذلك  2 +  3 = 180 درجة. من المعادلات  1 =  2 و  2 + 3 = 180 درجة يتبع ذلك  1 + 3 = 180 درجة. لقد تم إثبات النظرية. 2 أ ج أ ب 3 1

الحل: 1. لنفترض أن Х تكون  2 ، ثم  1 = (Х + 70 درجة) ، لأن مجموع الزاويتين 1 و 2 = 180 درجة ، لأنهما متجاورتان. لنجعل المعادلة: X + (X + 70 °) = 180 ° 2X = 110 ° X = 55 ° (الزاوية 2) إلى. هم عموديون.  3 =  5 لأن يكذبون عبر. 125 °  5 =  7 لأن هم عموديون.  2 =  4 لأن هم عموديون.  4 =  6 لأن يكذبون عبر. 55 ° 6 =  8 لأن هم عموديون. المشكلة رقم 1: أ ب 4 3 5 8 7 2 1 6 الشرط: أوجد كل الزوايا المتكونة من تقاطع زاويتين متوازيتين A و B بواسطة قاطع C ، إذا كانت إحدى الزاويتين أكبر بمقدار 70 درجة من الأخرى.

الحل: 1. لأن  4 = 45 درجة ، ثم  2 = 45 درجة ، لأن  2 =  4 (على النحو المقابل) 2.  3 مجاورة لـ  4 ، لذلك  3+  4 = 180 درجة ، ويتبع ذلك  3 = 180 درجة - 45 درجة = 135 درجة. 3.  1 =  3 ، لأن يكذبون عبر.  1 = 135 درجة. الجواب:  1 = 135 درجة ؛  2 = 45 درجة ؛  3 = 135 درجة. المهمة رقم 2: أ ب 1 الحالة: في الشكل ، خطوط مستقيمة A II B و C II D ،  4 = 45 درجة. أوجد الزوايا 1، 2، 3. 3 2 4

الحل: 1. 1 =  2 لأن إنها عمودية ، لذا  2 = 45 درجة. 2.  3 مجاورة لـ  2 ، لذا  3+  2 = 180 درجة ، ويتبع ذلك  3 = 180 درجة - 45 درجة = 135 درجة. 3.  4 +  3 = 180 درجة لأن هم من جانب واحد.  4 = 45 درجة. الجواب:  4 = 45 درجة ؛  3 = 135 درجة. المهمة №3: أ ب 2 الشرط: خطان متوازيان أ و ب يتقاطعان بواسطة قاطع ج. أوجد ما سيكون مساويًا لـ 4 و  3 ، إذا كانت 1 = 45 درجة. 3 4 1

نظريات حول تشكيل الزوايا

الهندسة ، الفصل الثالث ، الصف السابع

إلى الكتاب المدرسي من قبل L.S Atanasyan

مدرس رياضيات من أعلى فئة

مذكرة تفاهم "مدرسة أبشنسكي الأساسية الشاملة"

حي أورشا بجمهورية ماري إل

نظرية معكوسة لهذا

نظرية: في مثلث متساوي الساقين ، زوايا القاعدة متساوية .

نظرية: إذا كان المثلث متساوي الساقين ، فإن زوايا القاعدة فيه متساوية .

شرط النظرية (معطى): مثلث - متساوي الساقين

اختتام النظرية (برهان): زوايا القاعدة متساوية

شرط نظرية : زوايا القاعدة متساوية

اختتام النظرية : مثلث - متساوي الساقين

بيان جديد

يعكس

نظرية

إذا كان للمثلث زاويتان

متساوي الساقين .

نظرية معكوسة لهذا

هل العكس دائما صحيح؟

نظرية

نظرية المعكوس

إذا كان مجموع الزاويتين 180 0 ، ثم الزوايا متجاورة

مجموع الزوايا المجاورة

يساوي 180 0 .

إذا كانت الزوايا متساوية ،

ثم يكونون عموديين

الزوايا العمودية متساوية

إذا كان المنصف المرسوم على أحد ضلعه في المثلث هو أيضًا الوسيط المرسوم على هذا الجانب ، فإن هذا المثلث يكون متساوي الساقين

في مثلث متساوي الساقين ، يكون المنصف المرسوم على القاعدة هو الوسيط والارتفاع

إذا كان المنصف المرسوم على أحد جوانبه في المثلث هو أيضًا الارتفاع المرسوم على هذا الجانب ، فإن هذا المثلث يكون متساوي الساقين

ه إذا كان المثلث متساوي الساقين ، فسيتم رسم المنصف على القاعدة ، هو كل من الوسيط والارتفاع

تتكون الزوايا من خطين متوازيين ومستعرضين

هل العكس دائما صحيح؟

نظرية

نظرية المعكوس

إذا اثنين خطوط متوازية عبر قاطع ، إذن زوايا عرضية متساوية

زوايا متقاطعة مساو ومن بعد الخطوط متوازية .

لكن هذا يتناقض موازية بديهية ، لذا فإن افتراضنا خاطئ.

من الطريقة

مقرف

نحن نفترض افتراضًا مخالفًا لما نحتاج إلى إثباته

من خلال التفكير ، نصل إلى تناقض مع البديهية أو النظرية المعروفة

نستنتج أن افتراضنا خاطئ وأن تأكيد النظرية صحيح

لكن هذا يتناقض موازية بديهية

لذلك ، افتراضنا خاطئ.

إذا تم تقاطع خطين متوازيين بواسطة قاطع ، فإن الزوايا المتقاطعة تكون متساوية

عواقب النظرية

إذا كان الخط متعامدًا على أحد الخطين المتوازيين ، فإنه يكون أيضًا عموديًا على الآخر.

تشكلت الزوايا

خطين متوازيين وقاطع

نظرية

نظرية المعكوس

إذا كان عند تقاطع سطرين من قاطع الزوايا المتناظرة متساوية ، ومن بعد الخطوط متوازية .

إذا اثنين خطوط متوازية عبر قاطع ، إذن الزوايا المتناظرة متساوية

تشكلت الزوايا

خطين متوازيين وقاطع

نظرية

نظرية المعكوس

إذا كان عند تقاطع سطرين من قاطع 0 ، ومن بعد الخطوط متوازية .

إذا اثنين خطوط متوازية عبر قاطع ، إذن مجموع الزوايا أحادية الجانب 180 0

الخطان أ و ب متوازيان.

ابحث عن الزاوية 2.

الخطان أ و ب متوازيان.

ابحث عن زوايا غير معروفة

الخطان أ و ب متوازيان.

ابحث عن زوايا غير معروفة

الخطان أ و ب متوازيان. أوجد زوايا غير معروفة إذا كان مجموع زاويتين قطريتين يساوي 100 0 .

الخطان أ و ب متوازيان. أوجد زاويتين غير معروفين إذا كان مجموع زاويتين متناظرتين يساوي 260 0 .

الخطان أ و ب متوازيان. أوجد زوايا غير معروفة إذا كان الفرق بين زاويتين على جانب واحد يساوي 50 0 .

يحتوي درس الفيديو حول النظريات حول الزوايا بين خطين متوازيين وقاطعهما على مادة تعرض ميزات بنية النظرية ، وأمثلة عن تكوين وإثبات النظريات العكسية ، والنتائج المترتبة عليها. تتمثل مهمة درس الفيديو هذا في تعميق مفهوم النظرية ، وتقسيمها إلى مكونات ، مع الأخذ في الاعتبار مفهوم نظرية معكوس ، لتشكيل القدرة على بناء نظرية ، معكوس هذه ، عواقب النظرية ، إلى تشكيل القدرة على إثبات البيانات.

يتيح لك شكل درس الفيديو وضع العلامات بنجاح عند عرض المادة ، مما يسهل فهم المادة وحفظها. يعد موضوع درس الفيديو هذا معقدًا ومهمًا ، لذا لا يُنصح باستخدام الأداة المساعدة البصرية فحسب ، بل يُنصح بها أيضًا. يوفر فرصة لتحسين جودة التعليم. تعمل التأثيرات المتحركة على تحسين عرض المواد التعليمية ، وتقريب عملية التعلم من العملية التقليدية ، واستخدام الفيديو يحرر المعلم لتعميق العمل الفردي.

يبدأ الفيديو التعليمي بالإعلان عن موضوعه. في بداية الدرس ، نأخذ في الاعتبار تحلل النظرية إلى مكونات من أجل فهم أفضل لهيكلها وفرص إجراء مزيد من البحث. يظهر رسم تخطيطي على الشاشة ، يوضح أن النظرية تتكون من شروطهم واستنتاجاتهم. يتم وصف مفهوم الشرط والاستنتاج من خلال مثال علامة الخطوط المتوازية ، مع ملاحظة أن جزء البيان هو شرط النظرية ، والاستنتاج هو الاستنتاج.

لتعميق المعرفة المكتسبة حول بنية النظرية ، يتم إعطاء الطلاب مفهوم النظرية العكسية للمعطى. تتشكل نتيجة الاستبدال - الشرط يصبح الاستنتاج ، الاستنتاج - الشرط. لتكوين قدرة الطلاب على بناء نظريات معكوسة للبيانات ، والقدرة على إثباتها ، تعتبر النظريات معكوسة لتلك التي نوقشت في الدرس 25 على علامات الخطوط المتوازية.

تعرض الشاشة النظرية المعكوسة للنظرية الأولى ، التي تصف الميزة الموازية للخطوط. من خلال تبادل الشرط والاستنتاج ، نحصل على بيان مفاده أنه إذا تم تقاطع أي خطوط متوازية بواسطة قاطع ، فإن الزوايا المتكونة في نفس الوقت ستكون متساوية. يظهر الدليل في الشكل ، الذي يوضح الخطوط أ ، ب ، وكذلك القاطع الذي يمر عبر هذه الخطوط عند نقطتيهما M و N. زاويتا التقاطع 1 و 2 موضحة على الصورة. من الضروري إثبات مساواتهم. أولاً ، في سياق الإثبات ، يُفترض أن هذه الزوايا غير متساوية. للقيام بذلك ، يتم رسم خط معين P من خلال النقطة M. يتم إنشاء زاوية PMN ، والتي تقع بالعرض مع الزاوية ∠2 بالنسبة إلى MN. الزاويتان ∠PMN و 2 متساويتان في البناء ، وبالتالي MP║b. الخلاصة - يتم رسم خطين مستقيمين من خلال النقطة ، بالتوازي مع ب. ومع ذلك ، هذا مستحيل ، لأنه لا يتوافق مع بديهية الخطوط المتوازية. تبين أن الافتراض خاطئ ، مما يثبت صحة البيان الأصلي. لقد تم إثبات النظرية.

بعد ذلك ، يتم لفت انتباه الطلاب إلى طريقة الإثبات التي تم استخدامها في سياق التفكير. يُطلق على الدليل الذي يُفترض فيه أن التأكيد الذي تم إثباته كاذبًا إثبات التناقض في الهندسة. غالبًا ما تستخدم هذه الطريقة لإثبات البيانات الهندسية المختلفة. في هذه الحالة ، بافتراض عدم المساواة في الزوايا المتقاطعة ، تم الكشف عن تناقض في سياق التفكير ، مما ينفي صحة مثل هذا التناقض.

يتم تذكير الطلاب بأنه تم استخدام طريقة مماثلة مسبقًا في البراهين. مثال على ذلك هو إثبات النظرية في الدرس 12 بأن سطرين متعامدين مع ثلث لا يتقاطعان ، بالإضافة إلى البراهين على النتائج في الدرس 28 من بديهية الخطوط المتوازية.

هناك نتيجة طبيعية أخرى يمكن إثباتها تنص على أن الخط يكون عموديًا على كلا الخطين المتوازيين إذا كان عموديًا على أحدهما. يوضح الشكل الخطين a و b والمستقيم c عموديًا عليهما. تعني عمودية المستقيم c على a أن الزاوية المتكونة معه تساوي 90 درجة. بالتوازي مع a و b ، تقاطعهما مع الخط c يعني أن الخط c يتقاطع مع b. الزاوية ∠2 المكونة للخط ب تقع في الزاوية ∠1. بما أن الخطوط متوازية ، فإن الزوايا المعطاة متساوية. وفقًا لذلك ، ستكون قيمة الزاوية ∠2 تساوي أيضًا 90 درجة. هذا يعني أن الخط c عمودي على الخط b. تم إثبات النظرية المدروسة.

بعد ذلك ، نثبت النظرية العكسية للمعيار الثاني للخطوط المتوازية. تنص النظرية العكسية على أنه إذا كان خطان متوازيان ، فإن الزوايا المتناظرة المتكونة ستكون متساوية. يبدأ الإثبات ببناء القاطع c ، السطران a و b بالتوازي مع بعضهما البعض. الزوايا التي تم إنشاؤها بهذه الطريقة موضحة في الشكل. يوجد زوج من الزوايا المتناظرة ، يُسمى ∠1 و 2 ، ويُشار إليهما أيضًا بالزاوية ∠3 ، والتي تقع عبر الزاوية ∠1. يعني التوازي بين a و b المساواة ∠3 = ∠1 كما تقع في الجانب الآخر. إذا كان 3 ، ∠2 عموديًا ، فهما متساويان أيضًا. نتيجة لهذه المساواة هو التأكيد على أن ∠1 = ∠2. تم إثبات النظرية المدروسة.

النظرية الأخيرة التي يجب إثباتها في هذا الدرس هي معكوس المعيار الأخير للخطوط المتوازية. يقول نصها أنه في حالة وجود قاطع يمر عبر خطوط متوازية ، فإن مجموع زوايا الجانب الواحد المتكونة في هذه الحالة يساوي 180 درجة. يظهر تقدم الإثبات في الشكل ، الذي يوضح تقاطع الخطين أ و ب مع القاطع ج. من الضروري إثبات أن قيمة مجموع الزوايا أحادية الجانب ستكون 180 درجة ، أي ∠4 + ∠1 = 180 درجة. إن التوازي بين الخطين أ وب يعني تساوي الزوايا المتناظرة ∠1 و 2. تقارب الزوايا ∠4 ، 2 يعني أنهما مجموعهما 180 درجة. في هذه الحالة ، الزوايا ∠1 = ∠2 ، ما يعني أن مجموع الزاوية 1 مع الزاوية ∠4 سيكون 180 درجة. لقد تم إثبات النظرية.

لفهم أعمق لكيفية تشكيل وإثبات النظريات العكسية ، يُلاحظ بشكل منفصل أنه إذا تم إثبات النظرية وصحتها ، فإن هذا لا يعني أن نظرية العكس ستكون صحيحة أيضًا. لفهم هذا ، يتم إعطاء مثال بسيط. هناك نظرية مفادها أن جميع الزوايا الرأسية متساوية. تبدو النظرية العكسية أن جميع الزوايا المتساوية رأسية ، وهذا ليس صحيحًا. بعد كل شيء ، يمكنك بناء زاويتين متساويتين لن تكونا عموديتين. يمكن رؤية هذا في الشكل الموضح.

يعد درس الفيديو "نظريات حول الزوايا المكونة من خطين متوازيين وقاطع" وسيلة مساعدة بصرية يمكن للمدرس استخدامها في درس الهندسة ، بالإضافة إلى تكوين فكرة ناجحة عن النظريات العكسية والنتائج ، بالإضافة إلى إثباتهم في الدراسة الذاتية للمادة ، يكون مفيدًا في التعلم عن بعد.