حل المتباينات بطريقة الفترة عبر الإنترنت باستخدام الحل. المتباينات الخطية

شكل ax 2 + bx + 0 0 ، حيث (بدلاً من علامة> ، يمكن ، بالطبع ، أن يكون هناك أي علامة أخرى لعدم المساواة). لدينا كل الحقائق النظرية اللازمة لحل مثل هذه التفاوتات ، والتي سنتحقق منها الآن.

مثال 1. حل المتباينة:

أ) × 2 - 2 × - 3> 0 ؛ ب) × 2 - 2 × - 3< 0;
ج) × 2 - 2 × - 3> 0 ؛ د) × 2 - 2 × - 3< 0.
المحلول،

أ) ضع في اعتبارك القطع المكافئ y \ u003d x 2 - 2x - 3 كما هو موضح في الشكل. 117.

لحل المتباينة x 2 - 2x - 3> 0 - هذا يعني الإجابة عن السؤال الذي تكون فيه إحداثيات نقاط القطع المكافئ موجبة لقيم x.

نلاحظ أن y> 0 ، أي الرسم البياني للدالة يقع فوق المحور x ، عند x< -1 или при х > 3.

ومن ثم ، فإن حلول عدم المساواة كلها نقاط مفتوحة الحزم(- 00 ، - 1) ، وكذلك جميع نقاط الشعاع المفتوح (3 ، +00).

باستخدام العلامة U (علامة اتحاد المجموعات) ، يمكن كتابة الإجابة على النحو التالي: (-00 ، - 1) U (3 ، +00). ومع ذلك ، يمكن أيضًا كتابة الإجابة على النحو التالي:< - 1; х > 3.

ب) عدم المساواة × 2 - 2x - 3< 0, или у < 0, где у = х 2 - 2х - 3, также можно решить с помощью рис. 117: برنامجتقع أسفل المحور السيني إذا كانت -1< х < 3. Поэтому решениями данного неравенства служат все точки интервала (- 1, 3).

ج) تختلف المتباينة x 2 - 2x - 3> 0 عن المتباينة x 2 - 2x - 3> 0 لأن الإجابة يجب أن تتضمن أيضًا جذور المعادلة x 2 - 2x - 3 = 0 ، أي النقاط x = - 1

و x \ u003d 3. وبالتالي ، فإن حلول هذه المتباينة غير الصارمة هي جميع نقاط الحزمة (-00 ، - 1] ، بالإضافة إلى جميع نقاط الحزمة.

عادةً ما يقول علماء الرياضيات العمليون هذا: لماذا نقوم بحل مشكلة عدم المساواة ax 2 + bx + c> 0 ، ببناء رسم بياني مكافئ لوظيفة تربيعية بعناية

y \ u003d ax 2 + bx + c (كما حدث في المثال 1)؟ يكفي عمل رسم تخطيطي للرسم البياني ، والذي تحتاج فقط إلى البحث عنه الجذورثلاثي الحدود المربع (نقطة تقاطع القطع المكافئ مع المحور السيني) وتحديد مكان توجيه فروع القطع المكافئ - لأعلى أو لأسفل. سيعطي هذا الرسم التخطيطي تفسيرًا مرئيًا لحل عدم المساواة.

مثال 2حل المتباينة - 2x 2 + 3x + 9< 0.
المحلول.

1) أوجد جذور المثلث التربيعي - 2x 2 + Zx + 9: x 1 \ u003d 3 ؛ × 2 \ u003d - 1.5.

2) القطع المكافئ ، الذي يعمل كرسم بياني للوظيفة y \ u003d -2x 2 + Zx + 9 ، يتقاطع مع المحور x عند النقطتين 3 و - 1.5 ، ويتم توجيه فروع القطع المكافئ لأسفل ، منذ الأقدم معامل في الرياضيات او درجة- رقم سالب - 2. في الشكل. 118 رسم تخطيطي للرسم البياني.

3) باستخدام التين. 118 ، نستنتج:< 0 на тех промежутках оси х, где график расположен ниже оси х, т.е. на открытом луче (-оо, -1,5) или на открытом луче C, +оо).
الجواب: x< -1,5; х > 3.

مثال 3حل المتباينة 4x 2 - 4x + 1< 0.
المحلول.

1) من المعادلة 4x 2 - 4x + 1 = 0 نجد.

2) المثلث التربيعي له جذر واحد ؛ هذا يعني أن القطع المكافئ الذي يعمل كرسم بياني لمربع ثلاثي الحدود لا يتقاطع مع المحور x ، ولكنه يلامسه عند النقطة. يتم توجيه فروع القطع المكافئ لأعلى (الشكل 119.)

3) استخدام النموذج الهندسي الموضح في الشكل. 119 ، نثبت أن المتباينة المحددة تتحقق فقط عند النقطة ، لأن إحداثيات الرسم البياني لجميع قيم x الأخرى موجبة.
إجابه: .
ربما لاحظت أنه في الواقع ، في الأمثلة 1 ، 2 ، 3 ، محدد جيدًا الخوارزميةحل المتباينات التربيعية ، سنقوم بإضفاء الطابع الرسمي عليها.

خوارزمية حل عدم المساواة التربيعية ax 2 + bx + 0 0 (ax 2 + bx + c< 0)

الخطوة الأولى في هذه الخوارزمية هي إيجاد جذور مثلث ثلاثي الحدود. لكن الجذور قد لا تكون موجودة ، فما العمل إذن؟ ثم الخوارزمية غير قابلة للتطبيق ، مما يعني أنه من الضروري التفكير بشكل مختلف. يتم إعطاء مفتاح هذه الحجج من خلال النظريات التالية.

بمعنى آخر ، إذا كان د< 0, а >0 ، ثم يتم استيفاء فأس عدم المساواة 2 + ب س + ج> 0 لجميع س ؛ على العكس من ذلك ، فإن المتباينة ax 2 + bx + c< 0 не имеет решений.
دليل - إثبات. برنامج المهام y \ u003d ax 2 + bx + c عبارة عن قطع مكافئ تتجه فروعه لأعلى (منذ a> 0) ولا يتقاطع مع المحور x ، نظرًا لأن المربع ثلاثي الحدود ليس له جذور حسب الشرط. يظهر الرسم البياني في الشكل. 120. نلاحظ أنه بالنسبة لجميع س ، يقع الرسم البياني فوق المحور x ، مما يعني أنه بالنسبة لجميع س المتباينة ، يتم استيفاء المحور 2 + bx + c> 0 ، وهو أمر مطلوب لإثباته.

بمعنى آخر ، إذا كان د< 0, а < 0, то неравенство ах 2 + bх + с < 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах 2 + bх + с >0 ليس له حلول.

دليل - إثبات. الرسم البياني للوظيفة y \ u003d ax 2 + bx + c هو قطع مكافئ ، يتم توجيه فروعه لأسفل (منذ< 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 121. Видим, что при всех х график расположен ниже оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах 2 + bх + с < 0, что и требовалось доказать.

مثال 4. حل المتباينة:

أ) 2x 2 - x + 4> 0 ؛ ب) -x 2 + Zx - 8> 0.

أ) أوجد تمييز المربع ثلاثي الحدود 2x 2 - x + 4. لدينا D \ u003d (-1) 2-4 2 4 \ u003d - 31< 0.
المعامل الأقدم لثلاثية الحدود (رقم 2) موجب.

ومن ثم ، من خلال النظرية 1 ، لكل x ، فإن المتباينة 2x 2 - x + 4> 0 تتحقق ، أي أن حل المتباينة المعطاة هو الكل (-00 ، + 00).

ب) أوجد تمييز المربع ثلاثي الحدود - x 2 + Zx - 8. لدينا D \ u003d Z2 - 4 (- 1) (- 8) \ u003d - 23< 0. Старший коэффициент трехчлена (число - 1) отрицателен. Следовательно, по теореме 2, при всех х выполняется неравенство - х 2 + Зx - 8 < 0. Это значит, что неравенство - х 2 + Зх - 8 0 не выполняется ни при каком значении х, т. е. заданное неравенство не имеет решений.

الجواب: أ) (-00 ، + 00) ؛ ب) لا توجد حلول.

في المثال التالي ، سنتعرف على طريقة أخرى للتفكير ، تُستخدم في حل المتباينات التربيعية.

مثال 5حل المتباينة 3x 2 - 10x + 3< 0.
المحلول. دعونا نحلل المربع ثلاثي الحدود 3x 2 - 10x + 3. جذور ثلاثي الحدود هي الأرقام 3 ، وبالتالي ، باستخدام ax 2 + bx + c \ u003d a (x - x 1) (x - x 2) ، نحصل على Zx 2 - 10x + 3 \ u003d 3 (x - 3) (س -)
نلاحظ على خط الأعداد جذور ثلاثي الحدود: 3 و (الشكل 122).

اسمحوا x> 3 ؛ ثم x-3> 0 و x-> 0 ، ومن ثم يكون المنتج 3 (x - 3) (x -) موجبًا. بعد ذلك ، دعنا< х < 3; тогда x-3< 0, а х- >0. إذن ، حاصل الضرب 3 (x-3) (x-) سلبي. أخيرًا ، دع x<; тогда x-3< 0 и x- < 0. Но в таком случае произведение
3 (x -3) (x -) موجبة.

بتلخيص المنطق ، توصلنا إلى الاستنتاج: تغير علامات المربع ثلاثي الحدود Zx 2 - 10x + 3 كما هو موضح في الشكل. 122. نحن مهتمون بمعرفة ما إذا كانت قيمة x تساوي قيمًا سالبة. من التين. 122 نستنتج: ثلاثي الحدود المربع 3x 2 - 10x + 3 يأخذ قيمًا سالبة لأي قيمة x من الفترة (، 3)
الإجابة (، 3) ، أو< х < 3.

تعليق. عادةً ما تسمى طريقة التفكير التي طبقناها في المثال 5 بطريقة الفواصل (أو طريقة الفواصل). يتم استخدامه بنشاط في الرياضيات لحلها معقولعدم المساواة. في الصف التاسع سوف ندرس طريقة الفاصل بمزيد من التفصيل.

مثال 6. في أي قيم المعلمة p هي المعادلة التربيعية x 2-5x + p 2 \ u003d 0:
أ) له جذور مختلفة ؛

ب) له جذر واحد.

ج) ليس لديه -جذور؟

المحلول. يعتمد عدد جذور المعادلة التربيعية على علامة المميز D. في هذه الحالة ، نجد D \ u003d 25-4p 2.

أ) للمعادلة التربيعية جذرين مختلفين ، إذا كانت D> 0 ، يتم تقليل المشكلة إلى حل المتباينة 25 - 4p 2> 0. نضرب كلا الجزأين من هذه المتباينة في -1 (تذكر تغيير علامة عدم المساواة). نحصل على متباينة مكافئة 4p 2-25< 0. Далее имеем 4 (р - 2,5) (р + 2,5) < 0.

تظهر علامات التعبير 4 (ص - 2.5) (ص + 2.5) في الشكل. 123.

نستنتج أن المتباينة 4 (ص - 2.5) (ع + 2.5)< 0 выполняется для всех значений р из интервала (-2,5; 2,5). Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет два различных корня.

ب) معادلة من الدرجة الثانيةله جذر واحد إذا كانت D تساوي 0.
كما ذكرنا أعلاه ، D = 0 عند p = 2.5 أو p = -2.5.

بالنسبة لقيم المعلمة p هذه ، تحتوي هذه المعادلة التربيعية على جذر واحد فقط.

ج) المعادلة التربيعية ليس لها جذور إذا د< 0. Решим неравенство 25 - 4р 2 < 0.

نحصل على 4p 2-25> 0 ؛ 4 (p-2.5) (p + 2.5)> 0 ، ومن أين (انظر الشكل 123) ص< -2,5; р >2.5 بالنسبة لقيم المعلمة p هذه ، لا تحتوي هذه المعادلة التربيعية على جذور.

الجواب: أ) في ص (-2.5 ، 2.5) ؛

ب) عند p = 2.5 أو p = -2.5 ؛
ج) في ص< - 2,5 или р > 2,5.

مردكوفيتش أ. الجبر. الصف 8: Proc. للتعليم العام المؤسسات - الطبعة الثالثة ، النهائية. - م: Mnemosyne، 2001. - 223 ص: مريض.

مساعدة الطالب عبر الإنترنت ، تنزيل الرياضيات للصف الثامن ، التخطيط الموضوعي للتقويم

ما تحتاج لمعرفته حول أيقونات عدم المساواة؟ عدم المساواة رمز أكثر (> )، أو أقل (< ) وتسمى حازم.مع الرموز أكثر أو يساوي (≥ ), أقل أو متساوية (≤ ) وتسمى غير صارم.أيقونة غير متساوي (≠ ) وحدها ، ولكن عليك أيضًا حل الأمثلة باستخدام مثل هذا الرمز طوال الوقت. ونحن سوف.)

ليس للأيقونة نفسها تأثير كبير على عملية الحل. لكن في نهاية الحل ، عند اختيار الإجابة النهائية ، يظهر معنى الرمز بكامل قوته! كما سنرى أدناه ، في الأمثلة. هناك بعض النكات ...

عدم المساواة ، مثل المساواة ، هي مخلص وخائن.كل شيء بسيط هنا ، بدون حيل. دعنا نقول 5 > 2 هي المتباينة الصحيحة. 5 < 2 غير صحيح.

مثل هذا التحضير يعمل على عدم المساواة أي نوعوبسيطة إلى الرعب.) ما عليك سوى تنفيذ إجراءين أساسيين (اثنان فقط!) بشكل صحيح. هذه الإجراءات مألوفة للجميع. ولكن ، ما هو مميز ، فإن العضادات في هذه الإجراءات هي الخطأ الرئيسي في حل التفاوتات ، نعم ... لذلك ، يجب تكرار هذه الإجراءات. تسمى هذه الإجراءات على النحو التالي:

تحولات الهوية من عدم المساواة.

تحولات الهوية في عدم المساواة تشبه إلى حد بعيد تحولات الهوية في المعادلات. في الواقع ، هذه هي المشكلة الرئيسية. الخلافات تتخطى الرأس و ... وصلت.) لذلك سأقوم بتسليط الضوء على هذه الفروق على وجه الخصوص. إذن ، أول تحول متطابق في عدم المساواة:

1. يمكن إضافة (طرح) نفس العدد أو التعبير إلى جزأي المتراجحة. أي. لن تتغير علامة عدم المساواة.

في الممارسة العملية ، يتم تطبيق هذه القاعدة كنقل للمصطلحات من الجانب الأيسر من المتباينة إلى الجانب الأيمن (والعكس صحيح) مع تغيير علامة. مع تغيير في علامة المصطلح وليس عدم المساواة! قاعدة واحد لواحد هي نفسها قاعدة المعادلات. لكن التحولات المماثلة التالية في عدم المساواة تختلف اختلافًا كبيرًا عن تلك الموجودة في المعادلات. لذلك أبرزها باللون الأحمر:

2. يمكن ضرب (قسمة) كلا جزأي المتباينة في نفس الشيءإيجابيرقم. لأيإيجابي لن تتغير.

3. يمكن ضرب (قسمة) كلا جزأي المتباينة في نفس الشيءنفيرقم. لأينفيرقم. علامة عدم المساواة من هذاسوف يتغير إلى العكس.

تتذكر (آمل ...) أنه يمكن ضرب / قسمة معادلة على أي شيء. ولأي رقم وللتعبير الذي يحتوي على x. طالما أنه ليس صفرًا. هو ، المعادلة ، ليس حارًا ولا باردًا من هذا.) لا يتغير. لكن التفاوتات أكثر حساسية للضرب / القسمة.

مثال جيد لذاكرة طويلة. نكتب متباينة لا تثير الشكوك:

5 > 2

اضرب كلا الطرفين في +3, نحن نحصل:

15 > 6

هل هناك اعتراضات؟ لا توجد اعتراضات.) وإذا ضربنا كلا جزئي المتباينة الأصلية في -3, نحن نحصل:

15 > -6

وهذه كذبة صريحة.) كذبة كاملة! خداع الناس! ولكن بمجرد عكس علامة عدم المساواة ، كل شيء يقع في مكانه:

15 < -6

عن الكذب والخداع - أنا لا أقسم فقط.) "لقد نسيت تغيير علامة عدم المساواة ..."- هذا هو الصفحة الرئيسيةخطأ في حل المتباينات. هذه القاعدة التافهة وغير المعقدة أضرت بالكثير من الناس! الذين نسوا ...) لذا أقسم. ربما تذكر ...)

أولئك الذين ينتبهون بشكل خاص سيلاحظون أن عدم المساواة لا يمكن ضربها بتعبير مع x. احترام اليقظة!) ولماذا لا؟ الجواب بسيط. لا نعرف إشارة هذا المقدار مع x. يمكن أن تكون موجبة ، سالبة ... لذلك ، لا نعرف علامة عدم المساواة التي يجب وضعها بعد الضرب. تغييره أم لا؟ مجهول. بالطبع ، يمكن تجاوز هذا القيد (حظر ضرب / قسمة متباينة على تعبير بـ x). إذا كنت حقا بحاجة إليها. لكن هذا موضوع لدروس أخرى.

هذه كلها تحولات متطابقة في عدم المساواة. اسمحوا لي أن أذكرك مرة أخرى أنهم يعملون من أجل أيعدم المساواة. والآن يمكنك الانتقال إلى أنواع محددة.

المتباينات الخطية. الحل أمثلة.

تسمى المتباينات الخطية المتباينات حيث x في الدرجة الأولى ولا يوجد قسمة على x. يكتب:

x + 3 > 5x-5

كيف يتم حل هذه التفاوتات؟ من السهل جدا حلها! وهي: من خلال المساعدة ، نحد من أكثر عدم المساواة الخطية إرباكًا مباشرة للإجابة.هذا هو الحل الكامل. سوف أسلط الضوء على النقاط الرئيسية للحل. لتجنب الأخطاء الغبية.)

نحن نحل هذه عدم المساواة:

x + 3 > 5x-5

نحل بنفس طريقة حل المعادلة الخطية. مع الاختلاف الوحيد:

انتبه جيدًا إلى علامة عدم المساواة!

الخطوة الأولى هي الأكثر شيوعًا. مع x - إلى اليسار ، بدون x - إلى اليمين ... هذا هو أول تحول متطابق ، بسيط وخالي من المتاعب.) فقط لا تنس تغيير إشارات الأعضاء المنقولين.

يتم الاحتفاظ بعلامة عدم المساواة:

x-5x > -5-3

نقدم مماثلة.

يتم الاحتفاظ بعلامة عدم المساواة:

4x > -8

يبقى تطبيق التحويل الأخير المتطابق: قسّم كلا الجزأين على -4.

اقسم على نفيرقم.

سيتم عكس علامة عدم المساواة:

X < 2

هذا هو الجواب.

هذه هي الطريقة التي يتم بها حل جميع المتباينات الخطية.

انتباه! يتم رسم النقطة 2 باللون الأبيض ، أي غير مصبوغ. فارغ من الداخل. هذا يعني أنها ليست مشمولة في الجواب! لقد رسمتها بصحة جيدة عن قصد. هذه النقطة (فارغة ، ليست صحية!)) في الرياضيات تسمى لكمات نقطة.

يمكن وضع علامة على الأرقام المتبقية على المحور ، ولكنها ليست ضرورية. الأرقام الغريبة التي لا تتعلق بعدم المساواة لدينا يمكن أن تكون مربكة ، نعم ... عليك فقط أن تتذكر أن الزيادة في الأرقام تذهب في اتجاه السهم ، أي الأرقام 3 ، 4 ، 5 ، إلخ. نكون إلى اليميناثنان ، والأرقام 1 ، 0 ، -1 ، إلخ. - إلى اليسار.

عدم المساواة x < 2 - حازم. X أقل من اثنين تمامًا. عندما تكون في شك ، يكون الشيك بسيطًا. نعوض برقم مشكوك فيه في عدم المساواة ونفكر: "اثنان أقل من اثنين؟ بالطبع لا!" بالضبط. عدم المساواة 2 < 2 خاطئ - ظلم - يظلم.الشيطان ليس جيدًا للحصول على إجابة.

هل واحد جيد بما فيه الكفاية؟ بالطبع. أقل ... والصفر جيد ، و -17 ، و 0.34 ... نعم ، كل الأرقام الأقل من اثنين جيدة! وحتى 1.9999 .... على الأقل قليلا ولكن أقل!

لذلك نقوم بتمييز كل هذه الأرقام على محور الأعداد. كيف؟ هناك خيارات هنا. الخيار الأول هو الفقس. نمر بالماوس فوق الصورة (أو نلمس الصورة على الجهاز اللوحي) ونرى أن مساحة كل x التي تطابق الشرط x مظللة < 2 . هذا كل شئ.

لنفكر في الخيار الثاني في المثال الثاني:

X ≥ -0,5

ارسم محورًا ، حدد الرقم -0.5. مثله:

هل لاحظت الفرق؟) حسنًا ، نعم ، من الصعب عدم ملاحظة ذلك ... هذه النقطة سوداء! رسمت فوق. هذا يعني أن -0.5 المدرجة في الجواب.هنا ، بالمناسبة ، فحص وإرباك شخص ما. نحن نستبدل:

-0,5 ≥ -0,5

كيف ذلك؟ -0.5 ليس أكثر من -0.5! هناك المزيد من الأيقونة ...

كل شيء على مايرام. في حالة عدم المساواة غير الصارمة ، يكون كل ما يناسب الأيقونة مناسبًا. و يساويتناسب و أكثرجيد. لذلك ، تم تضمين -0.5 في الاستجابة.

لذلك ، حددنا -0.5 على المحور ، ويبقى تحديد جميع الأرقام الأكبر من -0.5. هذه المرة أضع علامة على نطاق قيم x المناسبة قيد(من الكلمة قوس) بدلا من الفقس. تحوم فوق الصورة وشاهد هذا القوس.

لا يوجد فرق معين بين الفقس والأقواس. افعل كما يقول المعلم. إذا لم يكن هناك معلم ، ارسم الذراعين. في المهام الأكثر تعقيدًا ، يكون الفقس أقل وضوحًا. يمكنك الخلط.

هذه هي الطريقة التي يتم بها رسم عدم المساواة الخطية على المحور. ننتقل إلى التفرد التالي لعدم المساواة.

اكتب إجابة لعدم المساواة.

لقد كان جيدًا في المعادلات.) وجدنا x ، وقمنا بتدوين الإجابة ، على سبيل المثال: x \ u003d 3. في عدم المساواة ، هناك نوعان من كتابة الإجابات. واحد - في شكل عدم المساواة النهائية. جيد للحالات البسيطة. فمثلا:

X< 2.

هذه إجابة كاملة.

في بعض الأحيان يكون مطلوبًا أن تكتب الشيء نفسه ، ولكن بشكل مختلف ، من خلال الفجوات العددية. ثم يبدأ الإدخال في الظهور بشكل علمي للغاية):

س ∈ (-؛ 2)

تحت الأيقونة ∈ إخفاء الكلمة "ينتمي".

الإدخال يقرأ مثل هذا: x ينتمي إلى الفترة من سالب ما لا نهاية إلى اثنين لا يشمل. منطقي تماما. يمكن أن يكون X أي رقم من جميع الأرقام الممكنة من سالب ما لا نهاية إلى اثنين. لا يمكن أن يكون ضعف X ، وهذا ما تخبرنا به الكلمة "لا يشمل".

أين هو في الجواب ذلك "لا يشمل"؟ هذه الحقيقة مذكورة في الجواب. دائريأقواس مباشرة بعد الشيطان. إذا تم تضمين الشيطان ، فسيكون القوس ميدان.ها هو: ]. يستخدم المثال التالي مثل هذا القوس.

دعنا نكتب الإجابة: x ≥ -0,5 من خلال فترات:

س ∈ [-0.5 ؛ + ∞)

يقرأ: x ينتمي إلى الفترة من سالب 0.5 ، بما فيها،ما يصل إلى ما لا نهاية.

لا يمكن تشغيل Infinity أبدًا. إنه ليس رقمًا ، إنه رمز. لذلك ، في مثل هذه الإدخالات ، تتعايش اللانهاية دائمًا مع أقواس.

هذا النوع من التسجيل مناسب للإجابات المعقدة التي تتكون من عدة فجوات. لكن - فقط للإجابات النهائية. في النتائج الوسيطة ، حيث يُتوقع حل إضافي ، من الأفضل استخدام الشكل المعتاد ، في شكل متباينة بسيطة. سنتعامل مع هذا في الموضوعات ذات الصلة.

المهام الشعبية مع عدم المساواة.

المتباينات الخطية نفسها بسيطة. لذلك ، غالبًا ما تصبح المهام أكثر صعوبة. لذا ، أعتقد أنه كان من الضروري. هذا ، إذا كان بدافع العادة ، ليس ممتعًا للغاية.) لكنه مفيد. سأعرض أمثلة على مثل هذه المهام. ليس لك أن تتعلمها ، فهي لا لزوم لها. ولكي لا تخافوا عند الاجتماع بأمثلة مماثلة. القليل من التفكير - وكل شيء بسيط!)

1. أوجد أي حلين لمتباينة 3x - 3< 0

إذا لم يكن من الواضح ما يجب فعله ، فتذكر القاعدة الأساسية للرياضيات:

إذا كنت لا تعرف ماذا تفعل ، فافعل ما تستطيع!

X < 1

وماذا في ذلك؟ لا شيء مميز. ماذا يطلب منا؟ مطلوب منا إيجاد عددين محددين يمثلان حلًا لمتباينة. أولئك. تناسب الجواب. اثنين أيأعداد. في الواقع ، هذا أمر محرج). زوجان من 0 و 0.5 مناسبان. زوجان -3 و -8. نعم ، هناك عدد لا حصر له من هؤلاء الأزواج! ما هو الجواب الصحيح؟!

أجبت: كل شيء! أي زوج من الأرقام ، كل منهما أقل من واحد ، سيكون الجواب الصحيح.اكتب ما تريد. لنذهب أبعد من ذلك.

2. حل عدم المساواة:

4x - 3 ≠ 0

وظائف مثل هذه نادرة. ولكن ، كمتباينات مساعدة ، عند العثور على ODZ ، على سبيل المثال ، أو عند العثور على مجال وظيفة ، يتم مواجهتها طوال الوقت. يمكن حل هذه المتباينة الخطية كمعادلة خطية عادية. فقط في كل مكان ، باستثناء علامة "=" ( يساوي) ضع العلامة " ≠ " (غير متساوي). لذلك ستصل إلى الإجابة بعلامة عدم المساواة:

X ≠ 0,75

في المزيد أمثلة صعبةمن الأفضل أن تفعل ذلك بالطريقة الأخرى. اجعل عدم المساواة متساوية. مثله:

4x - 3 = 0

قم بحلها بهدوء كما هو معلوم ، واحصل على الإجابة:

س = 0.75

الشيء الرئيسي ، في النهاية ، عند كتابة الإجابة النهائية ، هو عدم نسيان أننا وجدنا x ، مما يعطي المساواة.ونحتاج - عدم المساواة.لذلك ، نحن لسنا بحاجة إلى هذا X.) ونحتاج إلى كتابته بالأيقونة الصحيحة:

X ≠ 0,75

ينتج عن هذا النهج أخطاء أقل. أولئك الذين يحلون المعادلات على الآلة. وبالنسبة لأولئك الذين لا يحلون المعادلات ، فإن عدم المساواة ، في الواقع ، غير مجدية ...) مثال آخر على مهمة شائعة:

3. أوجد أصغر حل عدد صحيح للمتباينة:

3 (× - 1) < 5x + 9

أولًا ، نحل المتباينة ببساطة. نفتح الأقواس ، وننقل ، ونعطي الأقواس المماثلة ... نحصل على:

X > - 6

ألم يحدث !؟ هل اتبعت الإشارات؟ وخلف علامات الأعضاء ، وخلف علامة اللامساواة ...

دعونا نتخيل مرة أخرى. نحتاج إلى إيجاد رقم محدد يطابق كلاً من الإجابة والشرط "أصغر عدد صحيح".إذا لم يطل عليك الأمر على الفور ، فيمكنك ببساطة أن تأخذ أي رقم وتكتشفه. اثنان أكبر من سالب ستة؟ بالطبع! هل يوجد رقم أصغر مناسب؟ بالطبع. على سبيل المثال ، الصفر أكبر من -6. وحتى أقل؟ نحن بحاجة إلى أصغر ما يمكن! ناقص ثلاثة أكثر من ناقص ستة! يمكنك بالفعل التقاط النمط والتوقف عن فرز الأرقام بغباء ، أليس كذلك؟)

نأخذ رقمًا أقرب إلى -6. على سبيل المثال ، -5. تم تنفيذ الاستجابة ، -5 > - 6. هل يمكنك العثور على رقم آخر أصغر من -5 ولكن أكبر من -6؟ يمكنك ، على سبيل المثال ، -5.5 ... توقف! لقد قيل لنا كاملالمحلول! لا لفة -5.5! ماذا عن ناقص ستة؟ إيييي! المتباينة صارمة ، سالب 6 لا يقل عن سالب 6!

إذن الإجابة الصحيحة هي -5.

آمل أن يكون كل شيء واضحًا مع اختيار القيمة من الحل العام. مثال آخر:

4. حل عدم المساواة:

7 < 3x + 1 < 13

كيف! يسمى هذا التعبير عدم المساواة الثلاثية.بالمعنى الدقيق للكلمة ، هذا تدوين مختصر لنظام عدم المساواة. لكن لا يزال يتعين عليك حل مثل هذه التفاوتات الثلاثية في بعض المهام ... يتم حلها بدون أي أنظمة. من خلال نفس التحولات متطابقة.

من الضروري التبسيط ، تحويل هذه المتباينة إلى X خالص. لكن ... ماذا تنقل إلى أين !؟ هذا هو الوقت المناسب لتذكر أن التحول من اليسار إلى اليمين هو شكل مختصرأول تحول مماثل.

لكن بالشكل الكامليبدو مثل هذا: يمكنك إضافة / طرح أي رقم أو تعبير لكلا جزأي المعادلة (عدم المساواة).

هناك ثلاثة أجزاء هنا. لذلك سنقوم بتطبيق تحويلات متطابقة على الأجزاء الثلاثة!

فلنتخلص من الواحد في الجزء الأوسط من المتباينة. اطرح واحدًا من الجزء الأوسط بأكمله. حتى لا تتغير المتباينة ، نطرح واحدًا من الجزأين المتبقيين. مثله:

7 -1< 3x + 1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

بالفعل أفضل ، أليس كذلك؟) يبقى تقسيم الأجزاء الثلاثة إلى ثلاثة:

2 < X < 4

هذا كل شئ. هذا هو الجواب. يمكن أن يكون X أي رقم من اثنين (لا يشمل) إلى أربعة (لا يشمل). هذه الإجابة مكتوبة أيضًا على فترات ، ستكون هذه المدخلات في متباينات التربيع. هناك هم الشيء الأكثر شيوعًا.

في نهاية الدرس سأكرر أهم شيء. يعتمد النجاح في حل المتباينات الخطية على القدرة على تحويل وتبسيط المعادلات الخطية. إذا في نفس الوقت اتبع علامة عدم المساواة ،لن تكون هناك مشاكل. ما اتمنى لك. لا مشكلة.)

إذا أعجبك هذا الموقع ...

بالمناسبة ، لديّ موقعان أكثر تشويقًا لك).

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. التعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

اليوم ، أيها الأصدقاء ، لن يكون هناك مخاط ومشاعر. بدلاً من ذلك ، وبدون مزيد من اللغط ، سأرسلك إلى معركة مع أحد أقوى المعارضين في دورة الجبر للصفين الثامن والتاسع.

نعم ، لقد فهمت كل شيء بشكل صحيح: نحن نتحدث عن عدم المساواة بمعامل. سننظر في أربع تقنيات أساسية ستتعلم من خلالها حل حوالي 90٪ من هذه المشكلات. ماذا عن الـ 10٪ الباقية؟ حسنًا ، سنتحدث عنها في درس منفصل. :)

ومع ذلك ، قبل تحليل أي حيل هناك ، أود أن أذكر حقيقتين تحتاج إلى معرفتهما بالفعل. وإلا فإنك تخاطر بعدم فهم مادة درس اليوم على الإطلاق.

ما تحتاج إلى معرفته بالفعل

كابتن إيفيدنس ، كما كان ، يلمح إلى أنه من أجل حل التفاوتات باستخدام المعامل ، عليك أن تعرف شيئين:

1. كيف يتم حل التفاوتات؟
2. ما هي الوحدة.

لنبدأ بالنقطة الثانية.

تعريف الوحدة

كل شيء بسيط هنا. هناك تعريفان: جبري ورسمي. لنبدأ بالجبر:

تعريف. الوحدة النمطية للرقم $ x $ هي إما الرقم نفسه ، إذا كان غير سالب ، أو الرقم المقابل له ، إذا كان الأصل $ x $ لا يزال سالبًا.

إنه مكتوب على هذا النحو:

\ [\ اليسار | x \ right | = \ left \ (\ start (align) & x، \ x \ ge 0، \\ & -x، \ x \ lt 0. \\\ end (align) \ right. \]

تتحدث لغة بسيطة، المعامل هو "رقم بدون سالب". وفي هذه الازدواجية (في مكان ما لا تحتاج إلى فعل أي شيء بالرقم الأصلي ، ولكن في مكان ما عليك إزالة بعض ناقص هناك) وتكمن كل الصعوبة التي يواجهها الطلاب المبتدئين.

هناك أيضا تعريف هندسي. من المفيد أيضًا معرفة ذلك ، لكننا سنشير إليه فقط في الحالات المعقدة وبعض الحالات الخاصة ، حيث يكون النهج الهندسي أكثر ملاءمة من الأسلوب الجبري (المفسد: ليس اليوم).

تعريف. دع النقطة $ a $ يتم تمييزها على السطر الحقيقي. ثم الوحدة $ \ left | x-a \ right | $ هي المسافة من النقطة $ x $ إلى النقطة $ a $ على هذا الخط.

إذا قمت برسم صورة ، تحصل على شيء مثل هذا:

تعريف الوحدة الرسومية

بطريقة أو بأخرى ، تتبع خاصيتها الرئيسية مباشرة من تعريف الوحدة: دائمًا ما يكون معامل العدد قيمة غير سالبة. ستكون هذه الحقيقة بمثابة خيط أحمر يمر عبر قصتنا بأكملها اليوم.

حل عدم المساواة. طريقة التباعد

الآن دعونا نتعامل مع المتباينات. يوجد عدد كبير منهم ، لكن مهمتنا الآن هي أن نكون قادرين على حل أبسطها على الأقل. تلك التي يتم اختزالها إلى متباينات خطية ، وكذلك إلى طريقة الفواصل.

لديّ برنامجان تعليميان كبيران حول هذا الموضوع (بالمناسبة ، مفيد جدًا جدًا - أوصي بالدراسة):

1. طريقة الفاصل الزمني لعدم المساواة (خاصة مشاهدة الفيديو) ؛
2. المتباينات الجزئية-العقلانية درس ضخم جدًا ، لكن بعده لن يتبقى لديك أي أسئلة على الإطلاق.

إذا كنت تعرف كل هذا ، إذا كانت عبارة "دعنا ننتقل من عدم المساواة إلى المعادلة" لا تجعلك تريد بشكل غامض قتل نفسك ضد الجدار ، فأنت جاهز: مرحبًا بك في الجحيم في الموضوع الرئيسي للدرس. :)

1 - عدم المساواة في شكل "وحدة أقل من وظيفة"

هذه واحدة من أكثر المهام التي تتم مواجهتها مع الوحدات النمطية. مطلوب لحل عدم المساواة من النموذج:

\ [\ اليسار | و \ الحق | \ ltg \]

يمكن لأي شيء أن يعمل كوظائف $ f $ و $ g $ ، لكن عادة ما تكون متعددة الحدود. أمثلة على هذه التفاوتات:

\ [\ ابدأ (محاذاة) & \ يسار | 2x + 3 \ صحيح | \ ltx + 7 ؛ \\ & \ اليسار | ((x) ^ (2)) + 2x-3 \ right | +3 \ left (x + 1 \ right) \ lt 0 ؛ \\ & \ اليسار | ((س) ^ (2)) - 2 \ يسار | س \ حق | -3 \ حق | \ lt 2. \\\ end (محاذاة) \]

يتم حل كل منهم حرفيًا في سطر واحد وفقًا للمخطط:

\ [\ اليسار | و \ الحق | \ lt g \ Rightarrow -g \ lt f \ lt g \ quad \ left (\ Rightarrow \ left \ (\ start (align) & f \ lt g، \\ & f \ gt -g \\\ end (محاذاة) \صحيح صحيح)\]

من السهل أن نرى أننا نتخلص من الوحدة النمطية ، لكن بدلاً من ذلك نحصل على متباينة مزدوجة (أو ، وهو نفسه ، نظام من متباينتين). لكن هذا الانتقال يأخذ في الاعتبار جميع المشكلات المحتملة تمامًا: إذا كان الرقم الموجود تحت الوحدة موجبًا ، فإن الطريقة تعمل ؛ إذا كانت سلبية ، فإنها لا تزال تعمل ؛ وحتى مع وجود أكثر وظيفة غير ملائمة بدلاً من $ f $ أو $ g $ ، فإن الطريقة ستظل تعمل.

بطبيعة الحال ، السؤال الذي يطرح نفسه: أليس هذا أسهل؟ لسوء الحظ ، لا يمكنك ذلك. هذا هو بيت القصيد من الوحدة.

لكن يكفي من التفلسف. لنحل مشكلتين:

مهمة. حل المتباينة:

\ [\ اليسار | 2x + 3 \ صحيح | \ ltx + 7 \]

المحلول. لذلك ، لدينا متباينة كلاسيكية على شكل "الوحدة النمطية أقل من" - حتى أنه لا يوجد شيء يمكن تحويله. نعمل وفق الخوارزمية:

\ [\ ابدأ (محاذاة) & \ يسار | و \ الحق | \ lt g \ Rightarrow -g \ lt f \ lt g ؛ \\ & \ اليسار | 2x + 3 \ صحيح | \ lt x + 7 \ Rightarrow - \ left (x + 7 \ right) \ lt 2x + 3 \ lt x + 7 \\\ end (align) \]

لا تتسرع في فتح الأقواس التي يسبقها "ناقص": فمن المحتمل تمامًا أنك سترتكب خطأً مهينًا بسبب التسرع.

\ [- x-7 \ lt 2x + 3 \ lt x + 7 \]

\ [\ يسار \ (\ ابدأ (محاذاة) & -x-7 \ lt 2x + 3 \\ & 2x + 3 \ lt x + 7 \\ \ end (محاذاة) \ يمين. \]

\ [\ يسار \ (\ ابدأ (محاذاة) & -3x \ lt 10 \\ & x \ lt 4 \\ \ end (محاذاة) \ يمين. \]

\ [\ يسار \ (\ start (محاذاة) & x \ gt - \ frac (10) (3) \\ & x \ lt 4 \\ \ end (محاذاة) \ يمين. \]

تم تقليل المشكلة إلى اثنين من التفاوتات الأولية. نلاحظ حلولهم على خطوط حقيقية متوازية:

تقاطع كثير

سيكون تقاطع هذه المجموعات هو الجواب.

الإجابة: $ x \ in \ left (- \ frac (10) (3)؛ 4 \ right) $

مهمة. حل المتباينة:

\ [\ اليسار | ((x) ^ (2)) + 2x-3 \ right | +3 \ left (x + 1 \ right) \ lt 0 \]

المحلول. هذه المهمة أصعب قليلاً. بادئ ذي بدء ، نقوم بعزل الوحدة عن طريق تحريك المصطلح الثاني إلى اليمين:

\ [\ اليسار | ((x) ^ (2)) + 2x-3 \ right | \ lt -3 \ يسار (x + 1 \ يمين) \]

من الواضح ، لدينا مرة أخرى عدم مساواة في شكل "الوحدة النمطية أقل" ، لذلك نتخلص من الوحدة وفقًا للخوارزمية المعروفة بالفعل:

\ [- \ يسار (-3 \ يسار (x + 1 \ يمين) \ يمين) \ lt ((x) ^ (2)) + 2x-3 \ lt -3 \ يسار (x + 1 \ يمين) \]

الانتباه الآن: سيقول شخص ما إنني منحرف قليلاً مع كل هذه الأقواس. لكني أذكرك مرة أخرى أن هدفنا الرئيسي هو حل المتباينة بشكل صحيح والحصول على الإجابة. في وقت لاحق ، عندما تتقن كل ما هو موصوف في هذا الدرس تمامًا ، يمكنك أن تفسد نفسك كما تريد: فتح الأقواس ، وإضافة السلبيات ، وما إلى ذلك.

بالنسبة للمبتدئين ، نتخلص فقط من علامة الطرح المزدوجة الموجودة على اليسار:

\ [- \ يسار (-3 \ يسار (x + 1 \ يمين) \ يمين) = \ يسار (-1 \ يمين) \ cdot \ يسار (-3 \ يمين) \ cdot \ يسار (x + 1 \ يمين) = 3 \ يسار (س + 1 \ يمين) \]

لنفتح الآن كل الأقواس في المتباينة المزدوجة:

دعنا ننتقل إلى مضاعفة عدم المساواة. هذه المرة ستكون الحسابات أكثر جدية:

\ [\ left \ (\ begin (align) & ((x) ^ (2)) + 2x-3 \ lt -3x-3 \\ & 3x + 3 \ lt ((x) ^ (2)) + 2x -3 \\ \ end (محاذاة) \ يمين. \]

\ [\ left \ (\ begin (align) & ((x) ^ (2)) + 5x \ lt 0 \\ & ((x) ^ (2)) - x-6 \ gt 0 \\ \ end ( محاذاة اليمين.\]

كلا المتباينات مربعة ويتم حلها بطريقة الفاصل (لهذا السبب أقول: إذا كنت لا تعرف ما هي ، فمن الأفضل عدم استخدام الوحدات بعد). نمرر إلى المعادلة في المتباينة الأولى:

\ [\ start (محاذاة) & ((x) ^ (2)) + 5x = 0 ؛ \\ & x \ يسار (x + 5 \ يمين) = 0 ؛ \\ & ((x) _ (1)) = 0 ؛ ((x) _ (2)) = - 5. \\\ end (محاذاة) \]

كما ترى ، تبين أن الناتج كان معادلة تربيعية غير مكتملة ، والتي تم حلها بشكل أساسي. لنتعامل الآن مع المتباينة الثانية للنظام. هناك يجب عليك تطبيق نظرية فييتا:

\ [\ start (align) & ((x) ^ (2)) - x-6 = 0 ؛ \\ & \ يسار (x-3 \ يمين) \ يسار (x + 2 \ يمين) = 0 ؛ \\ & ((x) _ (1)) = 3 ؛ ((x) _ (2)) = - 2. \\\ end (محاذاة) \]

نحتفل بالأرقام التي تم الحصول عليها على خطين متوازيين (منفصلان عن المتباينة الأولى ومنفصلان عن الثاني):

مرة أخرى ، نظرًا لأننا نقوم بحل نظام من المتباينات ، فنحن مهتمون بتقاطع المجموعات المظللة: $ x \ in \ left (-5؛ -2 \ right) $. هذا هو الجواب.

الإجابة: $ x \ in \ left (-5؛ -2 \ right) $

أعتقد بعد هذه الأمثلة أن مخطط الحل واضح للغاية:

1. افصل الوحدة عن طريق تحريك كل الحدود الأخرى إلى الجانب الآخر من المتباينة. وهكذا نحصل على متباينة بالصيغة $ \ left | و \ الحق | \ ltg $.
2. قم بحل هذا التفاوت بالتخلص من الوحدة النمطية كما هو موضح أعلاه. في مرحلة ما ، سيكون من الضروري الانتقال من نظام متباينة مزدوجة إلى نظام من تعبيرين مستقلين ، يمكن حل كل منهما على حدة.
3. أخيرًا ، يبقى فقط عبور حلول هذين المقدارين المستقلين - وهذا كل شيء ، سنحصل على الإجابة النهائية.

توجد خوارزمية مماثلة لعدم المساواة من النوع التالي ، عندما يكون المعامل أكبر من الوظيفة. ومع ذلك ، هناك نوعان من "تحفظات" خطيرة. سنتحدث عن هذه "تحفظات" الآن.

2. عدم المساواة من نموذج "الوحدة أكبر من الوظيفة"

تبدو مثل هذا:

\ [\ اليسار | و \ الحق | \ gt g \]

على غرار السابق؟ يبدو. ومع ذلك ، يتم حل هذه المهام بطريقة مختلفة تمامًا. رسمياً ، المخطط على النحو التالي:

\ [\ اليسار | و \ الحق | \ gt g \ Rightarrow \ left [\ start (align) & f \ gt g، \\ & f \ lt -g \\\ end (align) \ right. \]

بمعنى آخر ، نعتبر حالتين:

1. أولاً ، نتجاهل الوحدة النمطية ببساطة - فنحن نحل مشكلة عدم المساواة المعتادة ؛
2. بعد ذلك ، في الواقع ، نفتح الوحدة بعلامة الطرح ، ثم نضرب كلا جزئي المتباينة في 1 بإشارة.

في هذه الحالة ، يتم الجمع بين الخيارات وقوس مربع ، أي لدينا مزيج من متطلبين.

انتبه مرة أخرى: أمامنا ليس نظامًا ، ولكنه إجمالي ، لذلك في الإجابة ، يتم الجمع بين المجموعات ، وليست متقاطعة. هذا اختلاف جوهري عن الفقرة السابقة!

بشكل عام ، كثير من الطلاب لديهم الكثير من الالتباس مع النقابات والتقاطعات ، لذلك دعونا ننظر في هذه المشكلة مرة واحدة وإلى الأبد:

• "∪" هي علامة تسلسل. في الواقع ، هذا هو الحرف "U" الذي جاء إلينا من اللغة الإنجليزيةوهو اختصار لكلمة "Union" ، أي "ذات الصلة".
• "∩" هي علامة التقاطع. لم تأت هذه الهراء من أي مكان ، لكنها ظهرت فقط كمعارضة لـ "∪".

لتسهيل التذكر ، ما عليك سوى إضافة أرجل إلى هذه العلامات لصنع النظارات (فقط لا تتهمني بالترويج لإدمان المخدرات وإدمان الكحول الآن: إذا كنت تدرس هذا الدرس بجدية ، فأنت بالفعل مدمن مخدرات):

الفرق بين التقاطع واتحاد المجموعات

ترجم إلى الروسية ، وهذا يعني ما يلي: الاتحاد (المجموعة) يشمل عناصر من كلتا المجموعتين ، وبالتالي ، ما لا يقل عن كل منهما ؛ لكن التقاطع (النظام) يشمل فقط تلك العناصر الموجودة في المجموعة الأولى والثانية. لذلك ، فإن تقاطع المجموعات لا يكون أبدًا أكبر من مجموعات المصدر.

لذلك أصبح الأمر أكثر وضوحا؟ هذا عظيم. دعنا ننتقل إلى الممارسة.

مهمة. حل المتباينة:

\ [\ اليسار | 3x + 1 \ يمين | \ gt 5-4x \]

المحلول. نحن نتصرف وفقًا للمخطط:

\ [\ اليسار | 3x + 1 \ يمين | \ gt 5-4x \ Rightarrow \ left [\ start (align) & 3x + 1 \ gt 5-4x \\ & 3x + 1 \ lt - \ left (5-4x \ right) \\\ end (align) \ حقا.\]

نحن نحل كل عدم المساواة السكانية:

\ [\ يسار [\ start (محاذاة) & 3x + 4x \ gt 5-1 \\ & 3x-4x \ lt -5-1 \\ \ end (محاذاة) \ يمين. \]

\ [\ يسار [\ start (محاذاة) & 7x \ gt 4 \\ & -x \ lt -6 \\ \ end (align) \ right. \]

\ [\ يسار [\ ابدأ (محاذاة) & x \ gt 4/7 \ \\ & x \ gt 6 \\ \ end (محاذاة) \ يمين. \]

نحتفل بكل مجموعة ناتجة على خط الأعداد ، ثم نجمعها:

اتحاد المجموعات

من الواضح أن الإجابة هي $ x \ in \ left (\ frac (4) (7)؛ + \ infty \ right) $

الإجابة: $ x \ in \ left (\ frac (4) (7)؛ + \ infty \ right) $

مهمة. حل المتباينة:

\ [\ اليسار | ((x) ^ (2)) + 2x-3 \ right | \ gtx \]

المحلول. نحن سوف؟ لا ، كل شيء متشابه. ننتقل من متباينة بمقياس إلى مجموعة من متراجعتين:

\ [\ اليسار | ((x) ^ (2)) + 2x-3 \ right | \ gt x \ Rightarrow \ left [\ begin (align) & ((x) ^ (2)) + 2x-3 \ gt x \\ & ((x) ^ (2)) + 2x-3 \ lt -x \\\ end (محاذاة) \ يمين. \]

نحل كل متباينة. لسوء الحظ ، لن تكون الجذور جيدة جدًا هناك:

\ [\ start (محاذاة) & ((x) ^ (2)) + 2x-3 \ gt x ؛ \\ & ((x) ^ (2)) + x-3 \ gt 0 ؛ \\ & D = 1 + 12 = 13 ؛ \\ & x = \ frac (-1 \ pm \ sqrt (13)) (2). \\\ end (محاذاة) \]

في عدم المساواة الثانية ، هناك أيضًا القليل من اللعبة:

\ [\ begin (align) & ((x) ^ (2)) + 2x-3 \ lt -x؛ \\ & ((x) ^ (2)) + 3x-3 \ lt 0 ؛ \\ & D = 9 + 12 = 21 ؛ \\ & x = \ frac (-3 \ pm \ sqrt (21)) (2). \\\ end (محاذاة) \]

الآن علينا تعليم هذه الأعداد على محورين - محور واحد لكل متباينة. ومع ذلك ، تحتاج إلى تحديد النقاط بالترتيب الصحيح: فكلما زاد الرقم ، زادت انتقال النقطة إلى اليمين.

وهنا ننتظر الإعداد. إذا كان كل شيء واضحًا بالأرقام $ \ frac (-3- \ sqrt (21)) (2) \ lt \ frac (-1- \ sqrt (13)) (2) $ (الشروط الموجودة في بسط الأول الكسر أقل من الحدود الموجودة في بسط الثاني ، لذا فإن المجموع أصغر أيضًا) ، بالأرقام $ \ frac (-3- \ sqrt (13)) (2) \ lt \ frac (-1+ \ sqrt (21)) (2) $ لن تكون هناك أيضًا صعوبة (رقم موجب من الواضح أنه أكثر سلبية) ، ولكن مع الزوجين الأخيرين ، كل شيء ليس بهذه البساطة. أيهما أكبر: $ \ frac (-3+ \ sqrt (21)) (2) $ أو $ \ frac (-1+ \ sqrt (13)) (2) $؟ يعتمد ترتيب النقاط على خطوط الأعداد ، وفي الواقع ، الإجابة على إجابة هذا السؤال.

لذلك دعونا نقارن:

\ [\ start (matrix) \ frac (-1+ \ sqrt (13)) (2) \ vee \ frac (-3+ \ sqrt (21)) (2) \\ -1+ \ sqrt (13) \ vee -3+ \ sqrt (21) \\ 2+ \ sqrt (13) \ vee \ sqrt (21) \\\ end (matrix) \]

لقد عزلنا الجذر ، وحصلنا على أعداد غير سالبة على طرفي المتباينة ، لذلك لدينا الحق في تربيع كلا الطرفين:

\ [\ start (matrix) ((\ left (2+ \ sqrt (13) \ right)) ^ (2)) \ vee ((\ left (\ sqrt (21) \ right)) ^ (2)) \ \ 4 + 4 \ الجذر التربيعي (13) +13 \ vee 21 \\ 4 \ sqrt (13) \ vee 3 \\\ end (matrix) \]

أعتقد أنه من غير المنطقي أن تكون $ 4 \ sqrt (13) \ gt 3 $ ، لذا $ \ frac (-1+ \ sqrt (13)) (2) \ gt \ frac (-3+ \ sqrt (21)) ( 2) $ ، أخيرًا سيتم ترتيب النقاط على المحاور على النحو التالي:

حالة الجذور القبيحة

دعني أذكرك بأننا نحل مجموعة ، لذا فإن الإجابة ستكون الاتحاد ، وليس تقاطع المجموعات المظللة.

الإجابة: $ x \ in \ left (- \ infty؛ \ frac (-3+ \ sqrt (21)) (2) \ right) \ bigcup \ left (\ frac (-1+ \ sqrt (13)) (2 )؛ + \ infty \ right) $

كما ترى ، يعمل مخططنا بشكل رائع لكل من المهام البسيطة والمهام الصعبة للغاية. "نقطة الضعف" الوحيدة في هذا النهج هي أنك بحاجة إلى مقارنة الأرقام غير المنطقية بشكل صحيح (وصدقوني: هذه ليست مجرد جذور). لكن سيتم تخصيص درس منفصل (وخطير للغاية) لأسئلة المقارنة. ونمضي قدما.

3. عدم المساواة مع "ذيول" غير سلبية

لذلك وصلنا إلى الأكثر إثارة للاهتمام. هذه هي عدم المساواة في الشكل:

\ [\ اليسار | و \ الحق | \ gt \ اليسار | ز \ الحق | \]

بشكل عام ، الخوارزمية التي سنتحدث عنها الآن صحيحة فقط للوحدة. إنه يعمل في جميع حالات عدم المساواة حيث توجد تعبيرات غير سلبية مضمونة على اليسار واليمين:

ماذا تفعل بهذه المهام؟ تذكر فقط:

في عدم المساواة مع ذيول غير سالبة ، يمكن رفع كلا الطرفين إلى أي قوة طبيعية. لن تكون هناك قيود إضافية.

بادئ ذي بدء ، سنكون مهتمين بالتربيع - فهو يحرق الوحدات والجذور:

\ [\ start (align) & ((\ left (\ left | f \ right | \ right)) ^ (2)) = ((f) ^ (2)) ؛ \\ & ((\ left (\ sqrt (f) \ right)) ^ (2)) = f. \\\ end (محاذاة) \]

فقط لا تخلط بين هذا وبين أخذ جذر المربع:

\ [\ sqrt (((f) ^ (2))) = \ يسار | f \ الحق | \ ne f \]

تم ارتكاب أخطاء لا حصر لها عندما نسي الطالب تثبيت وحدة! لكن هذه قصة مختلفة تمامًا (هذه ، كما كانت ، معادلات غير منطقية) ، لذلك لن ندخلها الآن. دعنا نحل مشكلتين بشكل أفضل:

مهمة. حل المتباينة:

\ [\ اليسار | س + 2 \ يمين | \ جي \ يسار | 1-2x \ صحيح | \]

المحلول. نلاحظ على الفور شيئين:

1. هذه عدم مساواة غير صارمة. سيتم وضع النقاط على خط الأعداد.
2. من الواضح أن كلا جانبي عدم المساواة غير سالبين (هذه خاصية للوحدة: $ \ left | f \ left (x \ right) \ right | \ ge 0 $).

إذن ، يمكننا تربيع طرفي المتباينة للتخلص من المقياس وحل المسألة باستخدام طريقة الفترة المعتادة:

\ [\ start (align) & ((\ left (\ left | x + 2 \ right | \ right)) ^ (2)) \ ge ((\ left (\ left | 1-2x \ right | \ right) ) ^ (2)) ؛ \\ & ((\ left (x + 2 \ right)) ^ (2)) \ ge ((\ left (2x-1 \ right)) ^ (2)). \\\ end (محاذاة) \]

في الخطوة الأخيرة ، خدعت قليلاً: لقد غيرت تسلسل المصطلحات باستخدام التكافؤ في المقياس (في الواقع ، لقد ضربت التعبير $ 1-2x $ في 1).

\ [\ start (align) & ((\ left (2x-1 \ right)) ^ (2)) - ((\ left (x + 2 \ right)) ^ (2)) \ le 0 ؛ \\ & \ يسار (\ يسار (2x-1 \ يمين) - \ يسار (x + 2 \ يمين) \ يمين) \ cdot \ يسار (\ يسار (2x-1 \ يمين) + \ يسار (x + 2 \ right) \ right) \ le 0؛ \\ & \ يسار (2x-1-x-2 \ يمين) \ cdot \ يسار (2x-1 + x + 2 \ right) \ le 0 ؛ \\ & \ يسار (x-3 \ يمين) \ cdot \ يسار (3x + 1 \ يمين) \ le 0. \\\ end (محاذاة) \]

نحل بطريقة الفاصل. دعنا ننتقل من عدم المساواة إلى المعادلة:

\ [\ start (align) & \ left (x-3 \ right) \ left (3x + 1 \ right) = 0 ؛ \\ & ((x) _ (1)) = 3 ؛ ((x) _ (2)) = - \ frac (1) (3). \\\ end (محاذاة) \]

نحتفل بالجذور التي تم العثور عليها على خط الأعداد. مرة أخرى: كل النقاط مظللة لأن المتباينة الأصلية ليست صارمة!

التخلص من علامة الوحدة

دعني أذكرك بالعناد بشكل خاص: نأخذ الإشارات من آخر متباينة ، والتي تم تدوينها قبل الانتقال إلى المعادلة. ونرسم المساحات المطلوبة في نفس المتباينة. في حالتنا ، هذا هو $ \ left (x-3 \ right) \ left (3x + 1 \ right) \ le 0 $.

حسنًا ، انتهى كل شيء الآن. تم حل المشكلة.

الإجابة: $ x \ in \ left [- \ frac (1) (3)؛ 3 \ right] $.

مهمة. حل المتباينة:

\ [\ اليسار | ((x) ^ (2)) + x + 1 \ right | \ le \ left | ((x) ^ (2)) + 3x + 4 \ right | \]

المحلول. نحن نفعل كل شيء بنفس الطريقة. لن أعلق - فقط انظر إلى تسلسل الإجراءات.

دعونا نربيعها:

\ [\ start (align) & ((\ left (\ left | ((x) ^ (2)) + x + 1 \ right | \ right)) ^ (2)) \ le ((\ left (\ left | ((x) ^ (2)) + 3x + 4 \ right | \ right)) ^ (2)) ؛ \\ & ((\ left (((x) ^ (2)) + x + 1 \ right)) ^ (2)) \ le ((\ left (((x) ^ (2)) + 3x + 4 \ يمين)) ^ (2)) ؛ \\ & ((\ left (((x) ^ (2)) + x + 1 \ right)) ^ (2)) - ((\ left (((x) ^ (2)) + 3x + 4 \ يمين)) ^ (2)) \ le 0 ؛ \\ & \ يسار (((x) ^ (2)) + x + 1 - ((x) ^ (2)) - 3x-4 \ right) \ times \\ & \ times \ left (((x) ^ (2)) + x + 1 + ((x) ^ (2)) + 3x + 4 \ right) \ le 0 ؛ \\ & \ يسار (-2x-3 \ يمين) \ يسار (2 ((x) ^ (2)) + 4x + 5 \ right) \ le 0. \\\ end (محاذاة) \]

طريقة التباعد:

\ [\ start (align) & \ left (-2x-3 \ right) \ left (2 ((x) ^ (2)) + 4x + 5 \ right) = 0 \\ & -2x-3 = 0 \ السهم الأيمن س = -1.5 ؛ \\ & 2 ((x) ^ (2)) + 4x + 5 = 0 \ Rightarrow D = 16-40 \ lt 0 \ Rightarrow \ varnothing. \\\ end (محاذاة) \]

يوجد جذر واحد فقط على خط الأعداد:

الجواب هو مجموعة كاملة

الإجابة: $ x \ in \ left [-1.5؛ + \ infty \ right) $.

ملاحظة صغيرة حول المهمة الأخيرة. كما لاحظ أحد طلابي بدقة ، كلا التعبيرين الفرعيين في عدم المساواة هذا إيجابيان بشكل واضح ، لذلك يمكن حذف علامة المعامل دون الإضرار بالصحة.

لكن هذا بالفعل مستوى مختلف تمامًا من التفكير ونهج مختلف - يمكن تسميته بطريقة مشروطة بطريقة العواقب. عنه - في درس منفصل. والآن دعنا ننتقل إلى الجزء الأخير من درس اليوم ونفكر في خوارزمية عالمية تعمل دائمًا. حتى عندما كانت جميع الأساليب السابقة عاجزة. :)

4. طريقة تعداد الخيارات

ماذا لو لم تنجح كل هذه الحيل؟ إذا لم تختزل عدم المساواة إلى ذيول غير سلبية ، إذا كان من المستحيل عزل الوحدة ، إذا كان هناك ألم - حزن - شوق؟

ثم تدخل "المدفعية الثقيلة" لجميع الرياضيات في المشهد - طريقة العد. فيما يتعلق بعدم المساواة في المقياس ، يبدو كالتالي:

1. اكتب كل تعبيرات الوحدة الفرعية ومساواتها بالصفر ؛
2. حل المعادلات الناتجة وحدد الجذور الموجودة على خط رقم واحد ؛
3. سيتم تقسيم الخط المستقيم إلى عدة أقسام ، كل وحدة بها علامة ثابتة وبالتالي يتم توسيعها بشكل لا لبس فيه ؛
4. حل عدم المساواة في كل قسم (يمكنك النظر بشكل منفصل في الجذور الحدودية التي تم الحصول عليها في الفقرة 2 - من أجل الموثوقية). اجمع النتائج - ستكون هذه هي الإجابة. :)

حسنا كيف؟ ضعيف؟ بسهولة! فقط لفترة طويلة. دعونا نرى في الممارسة:

مهمة. حل المتباينة:

\ [\ اليسار | س + 2 \ حق | \ lt \ اليسار | x-1 \ right | + x- \ frac (3) (2) \]

المحلول. هذا الهراء لا يتلخص في عدم المساواة مثل $ \ left | و \ الحق | \ lt g $، $ \ left | و \ الحق | \ gt g $ أو $ \ left | و \ الحق | \ lt \ اليسار | g \ right | $ ، فلنبدأ.

نكتب تعبيرات الوحدة الفرعية ، ونساويها بالصفر ونجد الجذور:

\ [\ start (محاذاة) & x + 2 = 0 \ Rightarrow x = -2؛ \\ & x-1 = 0 \ Rightarrow x = 1. \\\ end (محاذاة) \]

إجمالاً ، لدينا جذرين يقسمان خط الأعداد إلى ثلاثة أقسام ، يتم الكشف بداخلهما عن كل وحدة بشكل فريد:

تقسيم خط الأعداد على أصفار الوظائف شبه المعيارية

دعونا ننظر في كل قسم على حدة.

1. دع $ x \ lt -2 $. ثم يكون كلا التعبيرين في الوحدة الفرعية سالبين ، ويتم إعادة كتابة المتباينة الأصلية على النحو التالي:

\ [\ ابدأ (محاذاة) & - \ يسار (x + 2 \ يمين) \ lt - \ يسار (x-1 \ يمين) + x-1،5 \\ & -x-2 \ lt -x + 1 + x-1.5 \\ & x \ gt 1.5 \\\ end (محاذاة) \]

لدينا قيد بسيط إلى حد ما. دعنا نتقاطع مع الافتراض الأصلي بأن $ x \ lt -2 $:

\ [\ left \ (\ start (align) & x \ lt -2 \\ & x \ gt 1،5 \\\ end (align) \ right. \ rightarrow x \ in \ varnothing \]

من الواضح أن المتغير $ x $ لا يمكن أن يكون أقل من 2 ولكن أكبر من 1.5 في نفس الوقت. لا توجد حلول في هذا المجال.

1.1 لنفكر بشكل منفصل في حالة الحدود: $ x = -2 $. دعنا فقط نعوض بهذا الرقم في المتباينة الأصلية ونفحص: هل هو صحيح؟

\ [\ start (align) & ((\ left. \ left | x + 2 \ right | \ lt \ left | x-1 \ right | + x-1،5 \ right |) _ (x = -2) ) \\ & 0 \ lt \ يسار | -3 \ حق | -2-1.5 ؛ \\ & 0 \ lt 3-3.5 ؛ \\ & 0 \ lt -0،5 \ Rightarrow \ varnothing. \\\ end (محاذاة) \]

من الواضح أن سلسلة الحسابات قادتنا إلى عدم المساواة الخاطئة. لذلك ، فإن المتباينة الأصلية خاطئة أيضًا ، ولا يتم تضمين $ x = -2 $ في الإجابة.

2. الآن دعنا $ -2 \ lt x \ lt 1 $. سيتم فتح الوحدة اليسرى بالفعل بعلامة "علامة الجمع" ، بينما تظل الوحدة اليمنى بعلامة "ناقص". نملك:

\ [\ start (محاذاة) & x + 2 \ lt - \ left (x-1 \ right) + x-1.5 \\ & x + 2 \ lt -x + 1 + x-1.5 \\ & x \ lt - 2.5 \\\ end (محاذاة) \]

مرة أخرى نتقاطع مع المطلب الأصلي:

\ [\ left \ (\ begin (align) & x \ lt -2،5 \\ & -2 \ lt x \ lt 1 \\\ end (align) \ right. \ rightarrow x \ in \ varnothing \]

ومرة أخرى ، مجموعة الحلول الفارغة ، نظرًا لعدم وجود أرقام أصغر من 2.5 وأكبر من 2.

2.1. ومرة أخرى حالة خاصة: $ x = 1 $. نعوض في المتباينة الأصلية:

\ [\ start (align) & ((\ left. \ left | x + 2 \ right | \ lt \ left | x-1 \ right | + x-1،5 \ right |) _ (x = 1)) \\ & \ اليسار | 3 \ الحق | \ lt \ اليسار | 0 \ يمين | + 1-1.5 ؛ \\ & 3 \ lt -0.5 ؛ \\ & 3 \ lt -0،5 \ Rightarrow \ varnothing. \\\ end (محاذاة) \]

على غرار "الحالة الخاصة" السابقة ، من الواضح أن الرقم $ x = 1 $ لم يتم تضمينه في الإجابة.

3. آخر قطعة من السطر: $ x \ gt 1 $. هنا يتم توسيع جميع الوحدات بعلامة زائد:

\ [\ start (محاذاة) & x + 2 \ lt x-1 + x-1.5 \\ & x + 2 \ lt x-1 + x-1.5 \\ & x \ gt 4.5 \\ \ end (محاذاة) \ ]

ومرة أخرى نتقاطع مع المجموعة التي تم العثور عليها مع القيد الأصلي:

\ [\ left \ (\ start (align) & x \ gt 4،5 \\ & x \ gt 1 \\\ end (align) \ right. \ rightarrow x \ in \ left (4،5؛ + \ infty \حقا)\]

أخيراً! لقد أوجدنا الفترة الزمنية التي ستكون الإجابة.

الإجابة: $ x \ in \ left (4،5؛ + \ infty \ right) $

أخيرًا ، ملاحظة واحدة قد تنقذك من الأخطاء الغبية عند حل المشكلات الحقيقية:

عادةً ما تكون حلول المتباينات ذات الوحدات النمطية عبارة عن مجموعات متصلة على خط الأعداد - فواصل زمنية ومقاطع. النقاط المعزولة أكثر ندرة. ونادرًا ما يحدث أن تتطابق حدود الحل (نهاية المقطع) مع حدود النطاق قيد الدراسة.

وبالتالي ، إذا لم يتم تضمين الحدود (تلك "الحالات الخاصة" نفسها) في الإجابة ، فمن شبه المؤكد أنه لن يتم تضمين المناطق الموجودة على اليسار واليمين من هذه الحدود في الإجابة أيضًا. والعكس صحيح: دخلت الحدود ردا ، مما يعني أن بعض المناطق المحيطة بها ستكون أيضا ردود.

ضع ذلك في الاعتبار عند التحقق من الحلول الخاصة بك.

مرحبًا! طلابي الأعزاء ، في هذه المقالة سوف نتعلم كيفية حل التفاوتات الأسية .

بغض النظر عن مدى التعقيد الذي قد يبدو لك عدم المساواة الأسية ، بعد بعض التحولات (سنتحدث عنها بعد قليل) ، كل أشكال عدم المساواة يتم تقليلها إلى حل أبسط المتباينات الأسية:

أ س> ب, فأس< b و أ س ≥ ب, أ س ≤ ب.

دعنا نحاول معرفة كيفية حل مثل هذه التفاوتات.

سننظر في حل عدم المساواة الصارمة. الاختلاف الوحيد في حل التفاوتات غير الصارمة هو أن الجذور المقابلة التي تم الحصول عليها متضمنة في الإجابة.

فليكن من الضروري حل عدم المساواة في النموذج و f (x)> ب، أين أ> 1و ب> 0.

انظر إلى مخطط حل مثل هذه التفاوتات (الشكل 1):

الآن دعونا نلقي نظرة على مثال محدد. حل المتباينة: 5 س - 1> 125.

بما أن 5> 1 و 125> 0 ، إذن
س - 1> سجل 5 125 ، هذا هو
س - 1> 3 ،
x> 4.

إجابه: (4; +∞) .

ما هو الحل لهذه التفاوتات؟ و f (x)> ب، إذا 0و ب> 0?

إذن ، الرسم البياني في الشكل 2

مثال: حل المتباينة (1/2) 2x - 2 ≥ 4

بتطبيق القاعدة (الشكل 2) نحصل عليها
2x - 2 سجل 1/2 4 ،
2x - 2 -2 ،
2x ≤ 0 ،
س ≤ 0.

إجابه: (–∞; 0] .

ضع في اعتبارك نفس عدم المساواة مرة أخرى و f (x)> ب، إذا أ> 0و ب<0 .

إذن ، الرسم البياني في الشكل 3:

مثال على حل مشكلة عدم المساواة (1/3) × + 2> -9. كما نلاحظ ، بغض النظر عن العدد الذي نعوض به عن x ، فإن (1/3) x + 2 دائمًا أكبر من صفر.

إجابه: (–∞; +∞) .

كيف يتم حل عدم المساواة في الشكل؟ أ و (س)< b ، أين أ> 1و ب> 0?

الرسم التخطيطي في الشكل 4:

والمثال التالي: 3 3 - س ≥ 8.
منذ 3> 1 و 8> 0 ، إذن
3 - س \ u003e سجل 3 8 ، وهذا هو
-x> سجل 3 8-3 ،
X< 3 – log 3 8.

إجابه: (0 ؛ 3 – log 3 8) .

كيفية تغيير حل عدم المساواة أ و (س)< b ، في 0و ب> 0?

الرسم التخطيطي في الشكل 5:

والمثال التالي: حل المتباينة 0.6 2x - 3< 0,36 .

باتباع الرسم البياني في الشكل 5 ، نحصل عليه
2x - 3> سجل 0.6 0.36 ،
2x - 3> 2 ،
2x> 5 ،
x> 2.5

إجابه: (2,5; +∞) .

ضع في اعتبارك المخطط الأخير لحل عدم المساواة في النموذج أ و (س)< b ، في أ> 0و ب<0 هو مبين في الشكل 6:

على سبيل المثال ، لنحل مشكلة عدم المساواة:

نلاحظ أنه بغض النظر عن العدد الذي نعوض به عن x ، فإن الجانب الأيسر من المتباينة يكون دائمًا أكبر من صفر ، وهذا التعبير في حالتنا أقل من -8 ، أي والصفر يعني عدم وجود حلول.

إجابه: لا توجد حلول.

بمعرفة كيفية حل أبسط المتباينات الأسية ، يمكننا المتابعة إلى ذلك حل المتباينات الأسية.

مثال 1

أوجد أكبر قيمة عدد صحيح لـ x تحقق المتباينة

بما أن 6 x أكبر من صفر (لأنه لا يوجد x يذهب المقام إلى الصفر) ، فإننا نضرب طرفي المتباينة في 6 x ، نحصل على:

440-2 6 2x> 8 إذن
- 2 6 2x> 8 - 440 ،
- 2 6 2x> - 332 ،
6 2x< 216,
2x< 3,

x< 1,5. Наибольшее целое число из помежутка (–∞; 1,5) это число 1.

الجواب: 1.

مثال 2.

حل المتباينة 2 2 س - 3 2 س + 2 0

للدلالة على 2 x على y ، نحصل على المتباينة y 2 - 3y + 2 ≤ 0 ، ونحل هذه المتباينة التربيعية.

ص 2-3 ص +2 = 0 ،
ص 1 = 1 وص 2 = 2.

يتم توجيه فروع القطع المكافئ لأعلى ، فلنرسم رسمًا بيانيًا:

إذن سيكون حل المتباينة هو المتباينة 1< у < 2, вернемся к нашей переменной х и получим неравенство 1< 2 х < 2, решая которое и найдем ответ 0 < x < 1.

إجابه: (0; 1) .

مثال 3. حل المتباينة 5 س + 1 - 3 س + 2< 2·5 x – 2·3 x –1
اجمع التعبيرات ذات الأسس نفسها في جزء واحد من المتباينة

5 × +1 - 2 5 ×< 3 x +2 – 2·3 x –1

لنخرج المتباينة الموجودة في الطرف الأيسر للقوسين 5 x ، وفي الطرف الأيمن من المتباينة 3 x ونحصل على المتباينة

5 × (5-2)< 3 х (9 – 2/3),
3 5 س< (25/3)·3 х

نقسم كلا جزئي المتباينة على التعبير 3 3 x ، علامة المتباينة لن تتغير ، بما أن 3 3 x عدد موجب ، نحصل على المتباينة:

X< 2 (так как 5/3 > 1).

إجابه: (–∞; 2) .

إذا كان لديك أي أسئلة حول حل التفاوتات الأسية أو تريد التدرب على حل أمثلة مماثلة ، فقم بالتسجيل في دروسي. المعلم فالنتينا جالينفسكايا.

الموقع ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، يلزم وجود رابط إلى المصدر.

حل عدم المساواةفي الوضع عبر الانترنت المحلولتقريبًا أي متباينة معينة عبر الانترنت. رياضيات عدم المساواة على الإنترنتلحل الرياضيات. ابحث بسرعة حل عدم المساواةفي الوضع عبر الانترنت. موقع www.site يسمح لك بالعثور على المحلولتقريبا أي معطى جبري, حساب المثاثاتأو التفاوت المتسامي عبر الإنترنت. عند دراسة أي قسم من أقسام الرياضيات تقريبًا في مراحل مختلفة ، يتعين على المرء أن يقرر عدم المساواة على الإنترنت. للحصول على إجابة على الفور ، والأهم من ذلك إجابة دقيقة ، تحتاج إلى مورد يتيح لك القيام بذلك. بفضل موقع www.site حل مشكلة عدم المساواة على الإنترنتسيستغرق بضع دقائق. الميزة الرئيسية لموقع www.site عند حل الرياضيات عدم المساواة على الإنترنت- هي سرعة ودقة الرد الصادر. الموقع قادر على حل أي عدم المساواة الجبرية على الإنترنت, عدم المساواة المثلثية على الإنترنت, التفاوتات المتعالية على الإنترنت، إلى جانب عدم المساواةمع معلمات غير معروفة في الوضع عبر الانترنت. عدم المساواةبمثابة جهاز رياضي قوي حلولمهام عملية. مع مساعدة عدم المساواة الرياضيةمن الممكن التعبير عن الحقائق والعلاقات التي قد تبدو للوهلة الأولى مربكة ومعقدة. كميات غير معروفة عدم المساواةيمكن العثور عليها من خلال صياغة المشكلة في رياضياللغة في النموذج عدم المساواةو قررالمهمة المستلمة في الوضع عبر الانترنتعلى الموقع www.site. أي عدم المساواة الجبرية, عدم المساواة المثلثيةأو عدم المساواةتحتوي متسامميزات لك بسهولة قررعبر الإنترنت واحصل على الإجابة الصحيحة. عند دراسة العلوم الطبيعية ، يواجه المرء حتمًا الحاجة حل عدم المساواة. في هذه الحالة ، يجب أن تكون الإجابة دقيقة ويجب استلامها على الفور في الوضع عبر الانترنت. لذلك ، من أجل حل التفاوتات الرياضية على الإنترنتنوصي الموقع www.site ، والذي سيصبح الآلة الحاسبة التي لا غنى عنها لـ حل التفاوتات الجبرية عبر الإنترنت, عدم المساواة المثلثية على الإنترنت، إلى جانب التفاوتات المتعالية على الإنترنتأو عدم المساواةمع معلمات غير معروفة. للمشاكل العملية لإيجاد حلول intravol المختلفة عدم المساواة الرياضيةالموارد www .. حل عدم المساواة على الإنترنتبنفسك ، من المفيد التحقق من الإجابة المستلمة باستخدام حل عبر الإنترنتعدم المساواةعلى الموقع www.site. من الضروري كتابة عدم المساواة بشكل صحيح والحصول على الفور حل عبر الإنترنت، وبعد ذلك يبقى فقط مقارنة الإجابة بحل المتباينة. التحقق من الإجابة لن يستغرق أكثر من دقيقة كافية حل مشكلة عدم المساواة على الإنترنتومقارنة الإجابات. سيساعدك هذا على تجنب الأخطاء في قراروتصحيح الإجابة في الوقت المناسب حل عدم المساواة عبر الإنترنتسواء جبري, حساب المثاثات, غير محدودأو عدم المساواةمع معلمات غير معروفة.