Geometrijski oblici koji nisu poligoni. Regularni poligon

U toku geometrije proučavamo svojstva geometrijskih figura i već smo se osvrnuli na najjednostavnije od njih: trouglove i okolinu. Istovremeno, razmatrali smo i posebne posebne slučajeve ovih figura, kao što su pravougaoni, jednaki i desni tri-coal-ni-ki. Sada je došlo vrijeme da govorimo o opštijim i složenijim ciframa - puno uglja.

Sa privatnim slučajem puno uglja već znamo - ovo je trougao (vidi sliku 1).

Rice. 1. Trougao

Već u samom nazivu je naznačeno da se radi o fi-gu-ra, koja ima tri ugla. Sledeće, unutra puno uglja može ih biti mnogo, tj. više od tri. Na primjer, nacrtajte pentagon (vidi sliku 2), tj. fi-gu-ru sa pet uglova-la-mi.

Rice. 2. Penta-ugao. Ti-glomazni poligon

Definicija.Poligon- figura koja se sastoji od više tačaka (više od dvije) i odgovara broju bodova iz kova, koji ih prate zajedno. Ove tačke se nazivaju top-she-on-mi mnogo uglja, ali od secenja - sto-ro-na-mi. U ovom slučaju, dvije susjedne strane ne leže na istoj pravoj liniji i dvije nesusjedne strane se ne sijeku.

Definicija.Desni poligon- ovo je konveksan poligon, koji ima sve stranice i uglove jednake.

Bilo koji poligon deli ravan na dve oblasti: unutrašnje i spoljašnje. Unutrašnji prostor je također iz puno uglja.

Drugim riječima, na primjer, kada se govori o pentagonu, misli se i na cijelo njegovo unutrašnje područje i na njegove granice. A sve tačke koje leže unutar mnogo uglja odnose se na unutrašnju regiju, tj. tačka je takođe od-no-sit-xia do pet-uglja-ni-ku (vidi sliku 2).

Mnogo uglja se ponekad naziva n-ugljem kako bi se naglasilo da je uobičajen slučaj nepoznatog broja uglova (n komada).

Definicija. Perimetar mnogo-uglja-no-ka- zbir dužina stranica puno uglja.

Sada se trebamo upoznati sa znamenitostima puno uglja. Podijeljeni su na ti prdiš I prdi. Na primjer, poligon prikazan na sl. 2, izgleda da prdite, a na sl. 3 ne prdim.

Rice. 3. Nevy-bumpy poligon

2. Konveksni i nekonveksni poligoni

Definicija 1. Poligon na-za-va-et-sya ti prdiš, ako, prilikom direktnog prolaska kroz bilo koju od njegovih strana, cijeli poligon leži samo na jednoj strani od ove prave linije. Neva-puk-ly-mi svi ostali se pojavljuju puno uglja.

Lako je zamisliti da kada proširite bilo koju stranu petougla na Sl. 2 sve će se ispostaviti da je jedna strana udaljena od ove prave linije, tj. on je prdan. Ali kada se prođe pravo kroz četiri uglja na Sl. 3 već vidimo da ga ona dijeli na dva dijela, tj. on nije veliki prdez.

Ali postoji još jedna definicija koliko uglja imate.

Definicija 2. Poligon na-za-va-et-sya ti prdiš, ako kada odaberete bilo koje dvije njegove unutrašnje točke i kada ih povežete sa usjeka, sve točke iz usjeka su također unutrašnje - nije baš puno uglja.

Demonstracija upotrebe ove definicije može se vidjeti na primjeru konstrukcije graničnika na Sl. 2 i 3.

Definicija. Dia-go-na-lew puno uglja naziva se svaki rez koji spaja dva njegova vrha koji nisu susjedni.

3. Teorema o zbiru unutrašnjih uglova konveksnog n-ugla

Da bismo opisali svojstva poligona, postoje dvije važne teoreme o njihovim uglovima: teo-re-ma o zbiru unutrašnjih uglova velikog broja uglova I teo-re-ma o zbiru vanjskih uglova mnogo uglova. Pogledajmo ih.

Teorema. O zbiru unutrašnjih uglova imate mnogo uglova (n-ugalj-no-ka).

Gdje je broj njegovih uglova (strana).

Dokaz 1. Ilustracija na sl. 4 istureni n-ugao.

Rice. 4. Ti neravan n-gon

Sa vrha ćemo provesti sve moguće dija-go. Oni dijele n-gon-nik na tri-gon-nik, jer. Svaka od strana stvara mnogo uglja, osim stranica koje leže prema vrhu. Sa slike je lako vidjeti da će zbir uglova svih ovih trouglova biti tačno jednak zbiru unutrašnjih uglova n-ugla. Budući da je zbir uglova bilo kojeg trokuta , tada je zbir unutrašnjih uglova n-ugla:

Razlog 2. Moguće je da postoji još jedan razlog za ovu teoremu. Ilustracija analognog n-ugla na sl. 5 i povežite bilo koju njegovu unutrašnju tačku sa svim vrhovima.

Podijelili smo n-ugalj na n trouglova (koliko strana, toliko trokuta)). Zbir svih njihovih uglova jednak je zbiru unutrašnjih uglova poligona i zbiru uglova u unutrašnjoj tački, a to je ugao. Imamo:

Q.E.D.

Do-ka-za-ali.

Prema prethodnoj teoriji, jasno je da zbir uglova n-ugalj ne zavisi od broja njegovih stranica (od n). Na primjer, u trokutu, zbir uglova je . U wh-reh-coal-no-ke, i zbir uglova - itd.

4. Teorema o zbiru vanjskih uglova konveksnog n-ugla

Teorema. O zbiru vanjskih uglova mnogo uglja (n-ugalj-no-ka).

Gdje je broj njegovih uglova (strana), a , ..., su vanjski uglovi.

Dokaz. Slika konveksnog n-ugla na sl. 6 i označiti njegove unutrašnje i vanjske uglove.

Rice. 6. You-konveksni n-ugao sa naznačenim vanjskim uglovima

Jer vanjski ugao je spojen sa unutrašnjim uglom kao susjedni, dakle i slično za ostale vanjske uglove. onda:

Tokom predrazvoja već smo koristili teoremu o zbiru unutrašnjih uglova n-ugalj-nika.

Do-ka-za-ali.

Iz prethodne teoreme slijedi zanimljiva činjenica da je zbir vanjskih uglova konveksnog n-uglja jednak na broj njegovih uglova (strana). Usput, ovisno o zbroju unutrašnjih uglova.

Zatim ćemo detaljnije raditi na konkretnom slučaju puno uglja - zašto-ponovo-ponovno-ugalj-no-mi. U sljedećoj lekciji ćemo upoznati takvu figuru kao što je par-ral-le-lo-gram i razgovarati o njenim svojstvima.

IZVOR

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/mnogougolniki

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie/pryamougolnye-treugolniki

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie/treugolniki-2

http://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2013/10/10/mnogougolniki-urok-v-8-klasse

https://im0-tub-ru.yandex.net/i?id=daa2ea7bbc3c92be3a29b22d8106e486&n=33&h=190&w=144

Predmet, uzrast učenika: geometrija, 9. razred

Svrha časa: proučavanje tipova poligona.

Obrazovni zadatak: ažurirati, proširiti i generalizirati znanja učenika o poligonima; formiraju ideju o "komponentnim dijelovima" poligona; provesti studiju broja sastavnih elemenata pravilnih poligona (od trougla do n-ugla);

Razvojni zadatak: razvijati sposobnost analiziranja, upoređivanja, zaključivanja, razvijanja računskih sposobnosti, usmenog i pismenog matematičkog govora, pamćenja, kao i samostalnosti u misaonim i nastavnim aktivnostima, sposobnost rada u parovima i grupama; razvijati istraživačke i obrazovne aktivnosti;

Vaspitni zadatak: Negovati samostalnost, aktivnost, odgovornost za zadati posao, istrajnost u postizanju cilja.

Tokom nastave: citat napisan na tabli

“Priroda govori jezikom matematike, slova ovog jezika... matematičke figure.” G.Galliley

Na početku časa odjeljenje je podijeljeno u radne grupe (u našem slučaju podijeljene u grupe od po 4 osobe - broj članova grupe je jednak broju grupa pitanja).

1. Faza poziva-

Ciljevi:

a) ažuriranje znanja učenika o temi;

b) buđenje interesovanja za temu koja se proučava, motivisanje svakog učenika za obrazovne aktivnosti.

Tehnika: Igra „Vjeruješ li da...“, organizacija rada sa tekstom.

Oblici rada: frontalni, grupni.

“Vjeruješ li da...”

1. ... riječ "poligon" označava da sve figure u ovoj porodici imaju "mnogo uglova"?

2. ... da li trokut pripada velikoj porodici poligona, koji se razlikuju među mnogim različitim geometrijskim oblicima na ravni?

3. ... da li je kvadrat pravilan osmougao (četiri stranice + četiri ugla)?

Danas ćemo u lekciji govoriti o poligonima. Saznajemo da je ova figura ograničena zatvorenom izlomljenom linijom, koja zauzvrat može biti jednostavna, zatvorena. Razgovarajmo o činjenici da poligoni mogu biti ravni, pravilni ili konveksni. Jedan od ravnih poligona je trokut sa kojim ste već dugo upoznati (učenicima možete pokazati plakate koji prikazuju poligone, isprekidanu liniju, pokazati ih različite vrste, možete koristiti i TSO).

2. Faza začeća

Cilj: dobijanje nove informacije, njegovo razumijevanje, odabir.

Tehnika: cik-cak.

Oblici rada: individualni->par->grupni.

Svaki član grupe dobija tekst na temu nastavnog časa, a tekst je sastavljen tako da sadrži i informacije koje su učenicima već poznate i informacije koje su potpuno nove. Uz tekst učenici dobijaju pitanja na koja odgovore moraju pronaći u ovom tekstu.

Poligoni. Vrste poligona.

Ko nije čuo za misteriozni Bermudski trougao, u kojem brodovi i avioni nestaju bez traga? Ali trokut, poznat nam iz djetinjstva, prepun je mnogo zanimljivih i tajanstvenih stvari.

Pored već poznatih tipova trokuta, podijeljenih stranicama (skalenasti, jednakokraki, jednakostranični) i uglovima (oštri, tupokutni, pravokutni), trokut pripada velikoj porodici poligona, koji se razlikuju među mnogim različitim geometrijskim oblicima na avion.

Riječ "poligon" označava da sve figure u ovoj porodici imaju "mnogo uglova". Ali to nije dovoljno za karakterizaciju figure.

Izlomljena linija A 1 A 2 ...A n je figura koja se sastoji od tačaka A 1, A 2, ...A n i odsječaka koji ih povezuju A 1 A 2, A 2 A 3,.... Tačke se nazivaju vrhovi polilinije, a segmenti karike polilinije. (Sl.1)

Izlomljena linija se naziva jednostavnom ako nema samopresecanja (sl. 2, 3).

Polilinija se naziva zatvorenom ako joj se krajevi poklapaju. Dužina izlomljene linije je zbir dužina njenih karika (slika 4).

Prosta zatvorena izlomljena linija naziva se poligon ako njene susjedne veze ne leže na istoj pravoj liniji (slika 5).

Zamijenite određeni broj, na primjer 3, u riječ “poligon” umjesto dijela “mnogo” Dobićete trougao. Ili 5. Zatim - pentagon. Imajte na umu da, koliko god uglova ima, toliko je i stranica, pa bi se ove figure mogle nazvati polilateralima.

Vrhovi izlomljene linije nazivaju se vrhovi poligona, a karike izlomljene linije nazivaju se stranice poligona.

Poligon deli ravan na dve oblasti: unutrašnje i spoljašnje (slika 6).

Ravan poligon ili poligonalna površina je konačni dio ravni omeđen poligonom.

Dva vrha poligona koji su krajevi jedne strane nazivaju se susjedni. Vrhovi koji nisu krajevi jedne strane nisu susjedni.

Poligon sa n vrhova, a samim tim i sa n stranica, naziva se n-ugao.

Iako je najmanji broj stranica poligona 3. Ali trouglovi, kada su povezani jedan s drugim, mogu formirati druge figure, koje su također poligoni.

Segmenti koji povezuju nesusedne vrhove poligona nazivaju se dijagonale.

Poligon se naziva konveksan ako leži u istoj poluravni u odnosu na bilo koju liniju koja sadrži njegovu stranu. U ovom slučaju, smatra se da sama prava linija pripada poluravni.

Ugao konveksnog poligona u datom vrhu je ugao koji formiraju njegove strane koje konvergiraju u ovom vrhu.

Dokažimo teoremu (o zbiru uglova konveksnog n-ugla): Zbir uglova konveksnog n-ugla je jednak 180 0 *(n - 2).

Dokaz. U slučaju n=3 teorema je važeća. Neka je A 1 A 2 ...A n dati konveksni poligon i n>3. Nacrtajmo dijagonale u njemu (iz jednog vrha). Pošto je poligon konveksan, ove dijagonale ga dijele na n – 2 trougla. Zbir uglova poligona je zbir uglova svih ovih trouglova. Zbir uglova svakog trougla je 180 0, a broj ovih trouglova n je 2. Dakle, zbir uglova konveksnog n-ugla A 1 A 2 ...A n jednak je 180 0 * (n - 2). Teorema je dokazana.

Vanjski ugao konveksnog poligona u datom vrhu je ugao koji graniči sa unutrašnjim uglom poligona u ovom vrhu.

Konveksni poligon se naziva pravilnim ako su mu sve stranice jednake i svi uglovi jednaki.

Dakle, kvadrat se može nazvati drugačije - pravilan četverougao. Jednakostranični trouglovi su takođe pravilni. Takve figure već dugo zanimaju majstore koji su ukrašavali zgrade. Pravili su prekrasne šare, na primjer na parketu. Ali ne mogu se svi pravilni poligoni koristiti za izradu parketa. Parket se ne može praviti od pravilnih osmougaonika. Činjenica je da je svaki ugao jednak 135 0. A ako je neka tačka vrh dva takva osmougla, onda će oni iznositi 270 0, a treći osmougao nema mjesta da stane tamo: 360 0 - 270 0 = 90 0. Ali za kvadrat je to dovoljno. Stoga možete napraviti parket od pravilnih osmougaonika i kvadrata.

Zvezdice su takođe tačne. Naša petokraka zvijezda je pravilna petougaona zvijezda. A ako zarotirate kvadrat oko centra za 45 0, dobit ćete pravilnu osmougaonu zvijezdu.

1 grupa

Šta je isprekidana linija? Objasnite šta su vrhovi i veze polilinije.

Koja izlomljena linija se zove jednostavna?

Koja izlomljena linija se zove zatvorena?

Kako se zove poligon? Kako se nazivaju vrhovi poligona? Kako se zovu stranice poligona?

2. grupa

Koji se poligon naziva ravan? Navedite primjere poligona.

Šta je n – kvadrat?

Objasnite koji vrhovi poligona su susjedni, a koji nisu.

Kolika je dijagonala poligona?

3 grupa

Koji se poligon naziva konveksan?

Objasni koji su uglovi poligona spoljašnji, a koji unutrašnji?

Koji se poligon naziva pravilnim? Navedite primjere pravilnih poligona.

4 grupa

Koliki je zbir uglova konveksnog n-ugla? Dokaži to.

Učenici rade sa tekstom, traže odgovore na postavljena pitanja, nakon čega se formiraju stručne grupe u kojima se radi na istim temama: učenici ističu glavne tačke, sastavljaju prateći sažetak i iznose informacije u jednom od grafičke forme. Po završetku rada učenici se vraćaju u svoje radne grupe.

3. Faza refleksije -

a) procjena vlastitog znanja, izazov za sljedeći korak znanja;

b) razumijevanje i prisvajanje primljenih informacija.

Prijem: istraživački rad.

Oblici rada: individualni->par->grupni.

Radne grupe uključuju stručnjake koji odgovaraju na svaki dio predloženih pitanja.

Vraćajući se u radnu grupu, stručnjak sa odgovorima na svoja pitanja upoznaje ostale članove grupe. Grupa razmjenjuje informacije između svih članova radne grupe. Tako se u svakoj radnoj grupi, zahvaljujući radu stručnjaka, formira opšte razumevanje teme koja se proučava.

Istraživački rad učenika - popunjavanje tabele.

Pravilni poligoni	Crtanje	Broj strana	Broj vrhova	Zbir svih unutrašnjih uglova	Interna mjera stepena ugao	Stepen mjera vanjskog ugla	Broj dijagonala
A) trougao
B) četvorougao
B) petobar
D) heksagon
D) n-ugao

Rješavanje zanimljivih zadataka na temu lekcije.

• U četverokutu nacrtajte pravu liniju tako da je dijeli na tri trokuta.
• Koliko stranica ima pravilan mnogougao, svaki od njegovih unutrašnjih uglova je 135 0?
• U određenom poligonu svi unutrašnji uglovi su međusobno jednaki. Može li zbir unutrašnjih uglova ovog poligona biti jednak: 360 0, 380 0?

Sumiranje lekcije. Snimanje domaće zadaće.

Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci se odnose na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju određena osoba ili veze sa njim.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, pravnim postupkom, odnosno na osnovu javnog zahtjeva ili zahtjeva vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

U ovoj lekciji ćemo započeti novu temu i uvesti novi koncept za nas: „poligon“. Pogledat ćemo osnovne koncepte povezane s poligonima: stranice, uglovi vrhova, konveksnost i nekonveksnost. Onda ćemo dokazati najvažnije činjenice, kao što je teorema o zbiru unutrašnjih uglova poligona, teorema o zbiru vanjskih uglova poligona. Kao rezultat toga, približit ćemo se proučavanju posebnih slučajeva poligona, koji će biti razmatrani u daljnjim lekcijama.

Tema: Četvorouglovi

Lekcija: Poligoni

Na kursu geometrije proučavamo svojstva geometrijskih figura i već smo ispitali najjednostavnije od njih: trokute i krugove. Istovremeno, raspravljali smo i o specifičnim specijalnim slučajevima ovih figura, kao što su pravi, jednakokraki i pravilni trouglovi. Sada je vrijeme da razgovaramo o opštijim i složenijim brojkama - poligoni.

Sa posebnim slučajem poligoni već smo upoznati - ovo je trougao (vidi sliku 1).

Rice. 1. Trougao

Već sam naziv naglašava da se radi o figuri sa tri ugla. Stoga, u poligon može ih biti mnogo, tj. više od tri. Na primjer, nacrtajmo pentagon (vidi sliku 2), tj. figura sa pet uglova.

Rice. 2. Pentagon. Konveksni poligon

Definicija.Poligon- figura koja se sastoji od nekoliko tačaka (više od dvije) i odgovarajućeg broja segmenata koji ih uzastopno povezuju. Ove tačke se nazivaju vrhovi poligon, a segmenti su stranke. U ovom slučaju, dvije susjedne stranice ne leže na istoj pravoj liniji niti se dvije nesusjedne stranice ne seku.

Definicija.Regularni poligon je konveksan poligon u kojem su sve strane i uglovi jednaki.

Bilo koji poligon deli ravan na dve oblasti: unutrašnje i spoljašnje. Unutrašnja oblast se takođe naziva poligon.

Drugim riječima, na primjer, kada se govori o pentagonu, misli se i na čitavo njegovo unutrašnje područje i na njegovu granicu. A unutrašnja regija uključuje sve tačke koje leže unutar poligona, tj. tačka se takođe odnosi na petougao (vidi sliku 2).

Poligoni se ponekad nazivaju i n-uglovi kako bi se naglasilo da se razmatra opći slučaj prisustva nekog nepoznatog broja uglova (n komada).

Definicija. Perimetar poligona- zbir dužina stranica poligona.

Sada se trebamo upoznati sa vrstama poligona. Podijeljeni su na konveksan I nekonveksan. Na primjer, poligon prikazan na sl. 2 je konveksan, a na Sl. 3 nekonveksna.

Rice. 3. Nekonveksni poligon

Definicija 1. Poligon pozvao konveksan, ako se pri crtanju prave linije kroz bilo koju od njenih strana, cijeli poligon leži samo na jednoj strani ove prave linije. Nekonveksan su svi ostali poligoni.

Lako je zamisliti da kada produžite bilo koju stranu pentagona na Sl. 2 sve će biti na jednoj strani ove prave linije, tj. konveksan je. Ali kada crtate pravu liniju kroz četvorougao na sl. 3 već vidimo da ga dijeli na dva dijela, tj. nije konveksan.

Ali postoji još jedna definicija konveksnosti poligona.

Definicija 2. Poligon pozvao konveksan, ako pri odabiru bilo koje dvije njegove unutrašnje tačke i povezivanju sa segmentom, sve tačke segmenta su i unutrašnje tačke poligona.

Demonstracija upotrebe ove definicije može se vidjeti na primjeru konstruisanja segmenata na Sl. 2 i 3.

Definicija. Dijagonala poligona je svaki segment koji povezuje dva nesusedna vrha.

Da bismo opisali svojstva poligona, postoje dvije najvažnije teoreme o njihovim uglovima: teorema o zbiru unutrašnjih uglova konveksnog poligona I teorema o zbiru vanjskih uglova konveksnog poligona. Pogledajmo ih.

Teorema. O zbiru unutrašnjih uglova konveksnog mnogougla (n-gon).

Gdje je broj njegovih uglova (strana).

Dokaz 1. Predstavimo na Sl. 4 konveksan n-ugao.

Rice. 4. Konveksni n-ugao

Iz vrha povlačimo sve moguće dijagonale. Oni dijele n-ugao na trouglove, jer svaka strana poligona formira trougao, osim stranica koje se nalaze uz vrh. Sa slike je lako vidjeti da će zbir uglova svih ovih trouglova biti tačno jednak zbiru unutrašnjih uglova n-ugla. Budući da je zbir uglova bilo kojeg trokuta , tada je zbir unutrašnjih uglova n-ugla:

Q.E.D.

Dokaz 2. Moguć je još jedan dokaz ove teoreme. Nacrtajmo sličan n-ugao na Sl. 5 i povežite bilo koju njegovu unutrašnju tačku sa svim vrhovima.

Rice. 5.

Dobili smo podelu n-ugla na n trouglova (koliko je strana koliko trouglova). Zbir svih njihovih uglova jednak je zbiru unutrašnjih uglova poligona i zbiru uglova u unutrašnjoj tački, a to je ugao. Imamo:

Q.E.D.

Dokazan.

Prema dokazanoj teoremi, jasno je da zbir uglova n-ugla zavisi od broja njegovih stranica (na n). Na primjer, u trokutu, a zbroj uglova je . U četvorouglu, a zbir uglova je, itd.

Teorema. O zbiru vanjskih uglova konveksnog poligona (n-gon).

Gdje je broj njegovih uglova (strana), a , ..., su vanjski uglovi.

Dokaz. Predstavimo konveksni n-ugao na Sl. 6 i označiti njegove unutrašnje i vanjske uglove.

Rice. 6. Konveksni n-ugao sa naznačenim spoljnim uglovima

Jer Spoljašnji ugao je spojen sa unutrašnjim kao susjedni, dakle i slično za preostale vanjske uglove. onda:

Prilikom transformacija koristili smo već dokazanu teoremu o zbiru unutrašnjih uglova n-ugla.

Dokazan.

Iz dokazane teoreme slijedi zanimljiva činjenica, da je zbir vanjskih uglova konveksnog n-ugla jednak na broj njegovih uglova (strana). Usput, za razliku od zbira unutrašnjih uglova.

Bibliografija

1. Aleksandrov A.D. i dr. Geometrija, 8. razred. - M.: Obrazovanje, 2006.
2. Butuzov V.F., Kadomcev S.B., Prasolov V.V. Geometrija, 8. razred. - M.: Obrazovanje, 2011.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometrija, 8. razred. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Profmeter.com.ua ().
2. Narod.ru ().
3. Xvatit.com ().

Zadaća

Dio ravnine omeđen zatvorenom izlomljenom linijom naziva se poligon.

Segmenti ove izlomljene linije se nazivaju stranke poligon. AB, BC, CD, DE, EA (slika 1) su stranice mnogougla ABCDE. Zbir svih strana poligona naziva se njegovim perimetar.

Poligon se zove konveksan, ako se nalazi na jednoj strani bilo koje svoje strane, neograničeno produženo izvan oba vrha.

Poligon MNPKO (slika 1) neće biti konveksan, jer se nalazi na više od jedne strane prave KR.

Razmotrićemo samo konveksne poligone.

Uglovi koje formiraju dvije susjedne stranice poligona nazivaju se njegovim interni uglovi, a njihovi vrhovi su vrhovima poligona.

Pravi segment koji povezuje dva nesusedna vrha poligona naziva se dijagonala poligona.

AC, AD - dijagonale poligona (slika 2).

Uglovi susedni unutrašnjim uglovima poligona nazivaju se spoljašnji uglovi poligona (slika 3).

U zavisnosti od broja uglova (strana), poligon se naziva trougao, četvorougao, petougao itd.

Za dva poligona se kaže da su kongruentna ako se mogu spojiti preklapanjem.

Upisani i opisani poligoni

Ako svi vrhovi poligona leže na kružnici, tada se poligon naziva upisano u krug, a krug - opisano blizu poligona (sl.).

Ako su sve strane poligona tangente na kružnicu, tada se poligon naziva opisano o krugu, a krug se zove upisano u poligon (sl.).

Sličnost poligona

Dva poligona istog imena nazivaju se sličnima ako su uglovi jednog od njih jednaki uglovima drugog, a slične stranice poligona su proporcionalne.

Poligoni sa istim brojem strana (uglova) nazivaju se istoimeni poligoni.

Stranice sličnih poligona koje spajaju vrhove odgovarajućih jednakih uglova nazivaju se sličnim (sl.).

Dakle, na primjer, da bi poligon ABCDE bio sličan poligonu A'B'C'D'E', potrebno je da: ∠A = ∠A' ∠B = ∠B' ∠C = ∠C' ∠ D = ∠D' ∠ E = ∠E' i, pored toga, AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A' .

Omjer perimetara sličnih poligona

Prvo, razmotrite svojstvo niza jednakih omjera. Neka, na primjer, imamo sljedeće omjere: 2 / 1 = 4 / 2 = 6 / 3 = 8 / 4 =2.

Nađimo zbir prethodnih članova ovih relacija, zatim zbir njihovih narednih članova i nađemo omjer rezultirajućih suma, dobićemo:

$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$

Dobićemo istu stvar ako uzmemo niz nekih drugih relacija, na primjer: 2 / 3 = 4 / 6 = 6 / 9 = 8 / 12 = 10 / 15 = 2 / 3 Nađimo zbir prethodnih članova ove relacije i zbir sljedećih, a zatim pronađemo omjer ovih suma, dobijamo:

$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$

U oba slučaja, zbir prethodnih članova niza jednakih relacija odnosi se na zbir narednih članova istog niza, kao što se prethodni član bilo kojeg od ovih odnosa odnosi na njegov sljedeći.

Ovo svojstvo smo izveli razmatranjem brojnih primjera. Može se izvesti strogo i u opštem obliku.

Sada razmotrite omjer perimetara sličnih poligona.

Neka je poligon ABCDE sličan poligonu A’B’C’D’E’ (sl.).

Iz sličnosti ovih poligona slijedi da

AB / A’B’ = BC / B’C’ = CD / C’D’ = DE / D’E’ = EA / E’A’

Na osnovu svojstva koje smo izveli za niz jednakih omjera, možemo napisati:

Zbir prethodnih članova relacija koje smo uzeli predstavlja obim prvog poligona (P), a zbir narednih članova ovih relacija predstavlja perimetar drugog poligona (P'), što znači P / P ' = AB / A'B'.

dakle, Perimetri sličnih poligona su povezani sa njihovim sličnim stranicama.

Omjer površina sličnih poligona

Neka su ABCDE i A’B’C’D’E’ slični poligoni (slika).

Poznato je da su ΔAVS ~ ΔA'V'S' ΔACD ~ ΔA'C'D' i ΔADE ~ ΔA'D'E'.

osim toga,

;

Pošto su drugi odnosi ovih proporcija jednaki, što proizilazi iz sličnosti poligona, onda

Koristeći svojstvo niza jednakih omjera dobijamo:

Or

gdje su S i S' površine ovih sličnih poligona.

dakle, Površine sličnih poligona su povezane kao kvadrati sličnih stranica.

Rezultirajuća formula se može pretvoriti u ovaj oblik: S / S’ = (AB / A’B’) 2

Područje proizvoljnog poligona

Neka je potrebno izračunati površinu proizvoljnog četverougla ABC (Sl.).

Nacrtajmo dijagonalu u njemu, na primjer AD. Dobijamo dva trougla ABD i ACD čije površine možemo izračunati. Zatim nalazimo zbir površina ovih trouglova. Dobiveni zbroj će izraziti površinu ovog četverokuta.

Ako trebate izračunati površinu pentagona, onda radimo istu stvar: crtamo dijagonale iz jednog od vrhova. Dobijamo tri trougla čije površine možemo izračunati. To znači da možemo pronaći površinu ovog pentagona. Isto radimo kada izračunavamo površinu bilo kojeg poligona.

Projektovana površina poligona

Podsjetimo da je ugao između prave i ravni ugao između date prave i njene projekcije na ravan (sl.).

Teorema. Površina ortogonalne projekcije poligona na ravan jednaka je površini projektovanog poligona pomnoženoj sa kosinusom ugla koji formiraju ravnina poligona i ravnina projekcije.

Svaki poligon se može podijeliti na trokute čiji je zbir površina jednak površini poligona. Stoga je dovoljno dokazati teoremu za trokut.

Neka se ΔAVS projektuje na ravan R. Razmotrimo dva slučaja:

a) jedna od stranica ΔABC je paralelna sa ravninom R;

b) nijedna od stranica ΔABC nije paralelna R.

Hajde da razmotrimo prvi slučaj: neka [AB] || R.

Nacrtajmo ravan kroz (AB) R 1 || R i projektovati ortogonalno ΔAVS na R 1 i dalje R(pirinač.); dobijamo ΔAVS 1 i ΔA'V'S'.

Po svojstvu projekcije imamo ΔAVS 1 (cong) ΔA'V'S', pa prema tome

S Δ ABC1 = S Δ A’B’C’

Nacrtajmo ⊥ i segment D 1 C 1 . Tada je ⊥ , a \(\overbrace(CD_1C_1)\) = φ vrijednost ugla između ravni ΔABC i ravnine R 1 . Zbog toga

S Δ ABC1 = 1 / 2 | AB | | C 1 D 1 | = 1 / 2 | AB | | CD 1 | cos φ = S Δ ABC cos φ

i stoga S Δ A’B’C’ = S Δ ABC cos φ.

Idemo dalje na razmatranje drugi slučaj. Hajde da nacrtamo avion R 1 || R kroz taj vrh ΔAVS, udaljenost od koje do ravni R najmanji (neka je ovo vrh A).

Projektujmo ΔAVS na ravan R 1 i R(pirinač.); neka su njegove projekcije ΔAV 1 S 1 i ΔA'V'S', respektivno.

Neka (BC) ∩ str 1 = D. Onda

S Δ A’B’C’ = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ

Ostali materijali