Prikaz kombinacija i njihovih svojstava. Prezentacija za čas algebre i počeci analize na temu "Kombinatorika: pomaci, permutacije, kombinacije"
Za korištenje pregleda prezentacija, kreirajte Google račun (nalog) i prijavite se: https://accounts.google.com
Naslovi slajdova:
Kombinacije
Kombinacije Broj svih izbora od n elemenata iz m podataka bez obzira na redoslijed naziva se broj kombinacija od m elemenata sa n . Sve kombinacije se razlikuju jedna od druge u najmanje jednom elementu; Redoslijed elemenata ovdje nije važan; Razlika između kombinacije i postavljanja je u tome što ako preuredite elemente u plasmanu, dobijate drugačiji raspored, ali kombinacija ne zavisi od redosleda elemenata koji su u njoj uključeni.
Kombinacije Broj svih izbora od n elemenata iz m podataka bez obzira na redoslijed naziva se broj kombinacija od m elemenata sa n . Pronađi: Broj kombinacija od 6 do 3: Broj kombinacija od 4 do 4:
Zadatak broj 1 Od 20 učenika treba izabrati dva dežurna. Na koliko načina se to može učiniti? Rešenje: Potrebno je izabrati dve osobe od 20. Jasno je da ništa ne zavisi od redosleda izbora, odnosno Ivanov - Petrov ili Petrov - Ivanov - to je isti par pratilaca. Stoga će to biti kombinacije od 20 do 2.
Zadatak broj 2. Minotaur ima 25 zatvorenika u svom lavirintu. a) Na koliko načina može izabrati tri od njih za doručak, ručak i večeru? b) I koliko postoji načina da se tri zarobljenika oslobode? Rješenje: A) Red je bitan. b) Red nije bitan
Zadatak broj 3 U odeljenju ima 27 učenika, od kojih tri treba izabrati. Na koliko načina se to može učiniti ako: a) prvi učenik mora riješiti zadatak, drugi po kredu, treći dežurati u kantini; b) da li da pevaju u horu? 6
Na koliko različitih načina se može formirati tim od dvoje ljudi od sedam učesnika u matematičkom krugu za učešće na olimpijadi? Zadatak #4
Zadatak №5 U odjeljenju radi 5 vodećih i 8 viših službenika. Dva vodeća i dva viša istraživača treba poslati na službeno putovanje. Na koliko načina se može napraviti izbor?
Iz promiješanog špila od 36 karata, 4 karte se izvlače nasumično. Kolika je vjerovatnoća da su sve izvučene karte asovi? Zadatak #6
Zadatak br. 7 U seriji od 50 dijelova ima 10 neispravnih. Četiri dijela se nasumično vade iz serije. Odredite kolika je vjerovatnoća da su sva 4 dijela neispravna. Ukupni ishodi: Povoljni ishodi: Vjerovatnoća.
Prezentacija "Kombinacije" je vizuelna pomoć za razmatranje teme "Kombinacije" pri učenju osnova kombinatorike u 9. razredu. Živopisan vizuelni prikaz nastavnog materijala doprinosi boljoj efikasnosti časa, bržem ostvarivanju ciljeva časa. Prezentacija sadrži primjere kombinacija koje dovode do definicije pojma, definiciju koja se dodjeljuje za pisanje u bilježnicu i pamćenje, razmatra karakteristike pojma i traženje njegovog značenja, matematički aparat za rješavanje problema s kombinacijama, primjere problema rješavanje.
U ovoj prezentaciji, radi boljeg razumijevanja gradiva, korišteni su primjeri koji su jasno razmotreni na slikama. Uz pomoć slajdova i animacije materijal je strukturiran, istaknuti su važni koncepti i detalji. Općenito, takav prikaz oslobađa nastavnika potrebe da koristi druge alate i objekte radi jasnoće. Prezentacija može pratiti objašnjenje nastavnika o temi, jasno i slikovito demonstrirajući karakteristike pojmova koji se proučavaju.
Prezentacija počinje uvodom u temu. Nakon toga se demonstrira rješenje zadatka u kojem je potrebno pronaći broj buketa od tri ruže u prisustvu 5 ruža različitih boja. Na slici je prikazano 5 ruža različitih boja koje su označene a, b, c, d, e. Prvo se razmatraju sve opcije koje se mogu složiti sa žutom ružom. Na ekranu se redom prikazuju svi buketi sa žutom ružom. Ima ih 6, a ako takve bukete označimo slovima, onda su to abc, abd, abe, acd, ace, ade. Ovo su sve opcije koje se mogu slagati bez žute ruže. Na ekranu se prikazuje crvena ruža, a zatim - tri opcije sa crvenom ružom. Ako rezultirajuće kombinacije označimo slovima, rezultirajuće opcije su bcd, bce, bde. Preostale tri ruže mogu napraviti samo jedan buket bez crvenih i žutih ruža - cde. Sumirajući rješenje, napominje se da se rješenje može dodati na 10 načina. Na ekranu se prikazuju sve moguće opcije za bukete. Broj mogućih kombinacija je označen sa C 5 3 =10. Ovaj primjer je poslužio kao uvod u koncept kombinacija u kombinatorici. Istovremeno, definicija kombinacije je posebno istaknuta na slajdu 8 i zatvorena u okvir za pamćenje. Kombinacije se definiraju kao skup koji se sastoji od k elemenata odabranih od nekih n elemenata.
Slajd 9 napominje važnu osobinu kombinacija, a to je da redoslijed elemenata nije značajan. Jedina razlika između kombinacija elemenata je razlika u najmanje jednom elementu. Kombinacije u matematici se označavaju sa C n k . Ova oznaka se čita kao broj kombinacija od n elemenata po k. Oznaka je istaknuta na slajdu 10 i uokvirena za pamćenje.
Nadalje, koristeći razmatrani primjer, određujemo matematički aparat za pronalaženje broja kombinacija. Za bukete ruža o kojima je bilo riječi na početku prezentacije, utvrđeno je da je C 5 3 =10. Za prikaz formule za broj kombinacija od n elemenata po k za k≤n, na ekranu se prikazuju sve moguće opcije za stavljanje ruža u bukete. Podsjećamo da su permutacije u ovom slučaju definirane kao P 3 , a broj plasmana, prema prihvaćenoj notaciji, jednak je A 5 3 . Broj kombinacija se može odrediti iz formule koja izražava broj kombinacija u smislu broja plasmana i permutacija. Primjećuje se da formula koja određuje broj kombinacija dolazi iz formule C 5 3 .P 3 =A 5 3 . Pokazuje da će broj kombinacija biti C 5 3 =(A 5 3)/P 3 .
Na slajdu 14, formula izvedena za pronalaženje broja kombinacija u ovom slučaju za pronalaženje broja buketa trobojnih ruža sastavljenih od 5 datih ruža proširena je na opći slučaj. Općenito, formula za broj kombinacija od n po k elemenata za k≤n izražava se u terminima broja permutacija P k i broja smještaja A n k . Budući da A n k = C n k .P k , tada se u općem slučaju broj kombinacija nalazi po formuli C n k = (A n k) / P k . Ako u ovu formulu zamenimo izraze sa kojima se nalazi vrednost A n k i vrednost P k, dobijamo opštu formulu za pronalaženje broja kombinacija: C n k =n!/k!(n-k)!. Ova formula je istaknuta bojom za pamćenje, jer ćete je koristeći u zadacima morati pronaći vrijednost broja kombinacija.
Slajd 16 daje primjer rješavanja zadatka u kojem je potrebno pronaći broj kombinacija. Zadatak je pronaći broj načina na koji se iz seta od 12 olovaka mogu odabrati 3 olovke. Očigledno, ova operacija je kombinacija, jer redoslijed odabranog reda elemenata nije bitan. Broj kombinacija je određen formulom C n k =n!/k!(n-k)!. Zamjenom vrijednosti iz problema u ovu formulu, dobijamo C 12 3 =12!/(3!.9!)=(10.11.12)/(1.2.3)=220.
Na slajdu 17 se govori o rješenju još jednog zadatka, u kojem je potrebno pronaći broj načina da se izaberu četiri dječaka i tri djevojčice za takmičenja iz razreda u kojem ima 12 djevojčica i 14 dječaka. Očigledno, grupu za takmičenje regrutuju kombinacije 4 od 14 dečaka i kombinacije 3 od 12 devojčica. Ukupan broj kombinacija će biti jednak proizvodu C 14 4 .C 12 3 . Nakon izvođenja proračuna, rezultat je broj načina - 220220.
Prezentacija "Kombinacije" preporučuje se kao vizuelno pomagalo za čas algebre na ovu temu. Također, ovaj materijal se može koristiti za održavanje lekcije učenja na daljinu. Jasno detaljno objašnjenje materijala pomoći će učenicima da samostalno shvate pojam kombinacija i način rješavanja takvih problema.
slajd 2
Kombinacije
Definicija 1. Kombinacija n elemenata po k je bilo koji skup u paru različitih k elemenata izabranih na bilo koji način od datih n elemenata. Drugim riječima, k-kombinacija je k-elementni podskup skupa n-elemenata. Primjer. Dato puno. Napravimo 2 kombinacije:
slajd 3
Teorema 1. Broj k-kombinacija skupa n elemenata izračunava se po formuli Dokaz. Iz svake k-kombinacije, preuređivanjem njenih elemenata na sve moguće načine, dobijamo k! plasmani. Dakle odavde
slajd 4
Primjer
Na koliko načina se mogu izabrati 3 čokoladice od 5 dostupnih pločica? Rješenje. Zadatak se svodi na izračunavanje broja kombinacija od 5 do 3
slajd 5
Svojstva kombinacije
1) Dokaz: 2) Dokaz:
slajd 6
3) Dokaz: 4) Dokaz:
Slajd 7
Binomna teorema
Dokaz. Nastavljamo s dokazom indukcijom na n. Osnova indukcije. Za n=1, Newtonov binom ima oblik Pojednostavljenjem izraza dobijamo tačnu jednakost 2) Induktivna pretpostavka. Pretpostavimo da je za n=t jednakost
Slajd 8
3) Induktivna tranzicija. Dokažimo da za n=t+1 jednakost vrijedi.Da bismo to učinili, pomnožimo lijevi i desni dio u jednakosti induktivne pretpostavke sa. Get
Slajd 9
Proširimo zagrade na desnoj strani jednakosti Dajmo slične Koristimo svojstva broja kombinacija
Slajd 10
Posljedice iz Newtonovog binoma
dobiveno iz Newtonovog binoma na dobiveno iz Newtonovog binoma na 1) Jednakost 2) Jednakost
slajd 11
Kombinacije sa ponavljanjima
slajd 12
Kombinacija sa ponavljanjima
Definicija 1 Kombinacija n elemenata po k je bilo koji skup od k elemenata izabran na bilo koji način od datih n elemenata. Primjer: Dat je skup A=. Napravimo 2 kombinacije sa ponavljanjima:
slajd 13
Broj kombinacija sa ponavljanjima
Teorema 1. K-kombinacija brojeva sa ponavljanjima skupa n elemenata izračunava se po formuli Dokaz. Lemma. Broj uređenih skupova 0 i 1 dužine n, koji se sastoje od k jedinica, je jednak. Dokaz leme. Naručeni skup 0 i 1 je jedinstveno određen izborom lokacija za jedinice. Broj različitih opcija za izbor k mjesta za jedinice izračunava se po formuli Lema je dokazana.
Slajd 14
Od elemenata skupa gradimo k-kombinacije sa ponavljanjima. U svaki takav skup prvo postavljamo elemente tipa, zatim tipa itd. Svakoj k-kombinaciji sa ponavljanjima je dodeljen niz od 0 i 1 dužine n + k-1, broj jedinica u ovom nizu je k, broj nula je n-1. Svaka 0 odvaja skupove različitih tipova. Svaka k-kombinacija sa ponavljanjima jednoznačno određuje naznačeni niz i obrnuto. Prema lemi, postoje takvi nizovi. znači,
slajd 15
Primjer
U prodavnici se prodaju 4 vrste kolača. Na koliko načina se može kupiti 7 torti? Rješenje. Koristimo formulu za broj kombinacija s ponavljanjima, jer će kupovina sadržavati kolače ponovljenih varijanti.
slajd 16
pivot table
Slajd 17
Rješavanje problema
Slajd 18
Zadaci
1) Pošta prodaje 5 vrsta internet kartica. Na koliko načina se u njemu mogu kupiti 3 različite kartice? Na koliko načina se mogu kupiti 3 karte? Rješenje. Na prvo pitanje ćemo dobiti odgovor koristeći formulu za broj kombinacija bez ponavljanja, pošto su karte različite.Na drugo ćemo odgovoriti koristeći formulu za broj kombinacija sa ponavljanjima, jer se ne kaže da su karte različitih tipova, što znači da se tipovi kartica mogu ponavljati
Slajd 19
2) U razredu ima 8 dječaka i 9 djevojčica. Na koliko načina se može izabrati grupa djece koja se sastoji od 4 dječaka i 3 djevojčice? Rješenje. Biramo četiri dječaka od 8, tri djevojčice od 9. Po pravilu množenja dobijamo
Slajd 20
3) Koristeći Newtonov binom, otvorite zagrade. Rješenje.
slajd 21
4) Na koliko načina se 6 identičnih narandži može podijeliti na troje djece? Rješenje. Pošto su narandže iste, ne mogu se koristiti kao 6 različitih elemenata seta. Zamislite set koji se sastoji od troje djece. Odabrat ćemo djecu za pomorandže. Koristimo formulu za broj kombinacija s ponavljanjima, jer jedno dijete može dobiti nekoliko narandži, a ne jednu.
slajd 22
5) Na koliko načina se 5 identičnih štampača, 3 telefona, 7 monitora mogu rasporediti među 4 firme? Rješenje. Hajde da prvo distribuiramo štampače, zatim telefone i na kraju monitore. Koristeći pravilo množenja, dobijamo
slajd 23
6) Na koliko načina se vrata mogu kodirati ako se otvore istovremenim pritiskom na određeni broj različitih brojeva? Šifra se može sastojati od 1, ili 2, ili ..., ili 10 cifara. Za jednocifreni kod postoje različite opcije, za dvocifreni, ..., za desetocifreni. Prema pravilu sabiranja, dobijamo. Koristili smo korolar iz Newtonovog binoma.
slajd 24
Pitanja: Uporedite izraze C A Izračunaj C k n n k 8 2
Pogledajte sve slajdove
Permutacije Smještaj Kombinacije Vjerovatnoća
MOU srednja škola br. 30 Volgograd
Nastavnica matematike Skleinova N.I.
Faktorski
Definicija 1
Faktorijal je proizvod prvih n prirodnih brojeva
n! = 1*2*2*…(n-2)(n-1)n
2!=1*2=2
3!=1*2*3=6
4!= 1*2*3*4=24
5!=1*2*3*4*5=120
Permutacije
Definicija 2
Permutacija od n elemenata je svaki raspored ovih elemenata određenim redoslijedom. P=n!
Primjer 1
Na koliko načina se 8 učesnika finalne trke može postaviti na osam traka za trčanje?
R 8 =8!=1*2*3*4*5*6*7*8= 40320(načini)
Smještaj
Definicija 3
Raspored od n elemenata po k (k≤ n) je bilo koji skup koji se sastoji od bilo kojih k elemenata uzetih određenim redoslijedom iz datih n elemenata
Primjer 2
Učenici drugog razreda uče 8 predmeta. Na koliko načina možete napraviti raspored za jedan dan tako da ima 4 različita predmeta?
A 8 4 =8*7*6*5= 1680 (načini)
A n k =
Kombinacije
Definicija 4
Kombinacija n elemenata po k je bilo koji skup sastavljen od k elemenata odabranih od datih n elemenata
WITH n k =
Primjer 3
Od 15 članova turističke grupe potrebno je odabrati tri dežurne osobe. Na koliko načina se može napraviti ovaj izbor?
WITH 15 3 =15!/(3!*12!)=(13*14*15)/(1*2*3)= 455 (načini)
Vjerovatnoća
Definicija 5
Vjerovatnoća događaja A je omjer broja povoljnih ishoda N (A) testa i broja svih jednako mogućih ishoda N
P (A) \u003d N (A) / N
Primjer 4
Od 25 ispitnih radova iz geometrije, student je pripremio 11 prvih i 8 posljednjih radova. Kolika je vjerovatnoća da na ispitu dobije tiket koji nije pripremio?
P(A)=(25-11-8)/25= 0,24
Sabiranje vjerovatnoća
Definicija 6
Ako događaj C znači da se dogodi jedan od dva nekompatibilna događaja: A ili B, tada je vjerovatnoća događaja C jednaka zbroju vjerovatnoća događaja A i B
P(C)=P(A)+P(B)
Zbir vjerovatnoća suprotnih događaja je 1
P(A)+P( A )=1
Množenje vjerovatnoće
Definicija 7
Ako događaj C znači zajedničku pojavu dva nezavisna događaja A i B, tada je vjerovatnoća događaja C jednaka proizvodu vjerovatnoća događaja A i B
P(C)=P(A)*P(B)
Vjerovatnoća
Zbir vjerovatnoća
Zbir vjerovatnoća dva događaja jednak je zbiru vjerovatnoće proizvoda ovih događaja i vjerovatnoće zbira ovih događaja
P (A) + P (B) \u003d P (A * B) + P (A + B)
Sum Probability
Vjerovatnoća zbira dva događaja jednaka je razlici između zbira vjerovatnoća ovih događaja i proizvoda vjerovatnoća ovih događaja
P (A + B) \u003d P (A) + P (B) -P (A) * P (B)
Zadatak 1
Rješenje
Stanje
Verovatnoća svakog od njih hits je jednako 0,8.
Biatlonac gađa u mete 5 puta. Vjerovatnoća da jednim udarcem pogodite metu je 0,8. Nađite vjerovatnoću da je biatlonac pogodio metu prva 3 puta i promašio posljednja 2 puta. Zaokružite rezultat na najbližu stotu.
Verovatnoća svakog od njih nedostajati jednako 1-0.8= 0,2 .
Po formuli za množenje vjerovatnoća, dobijamo
P(A )=0,8*0,8*0,8*0,2*0,2
P(A )= 0,02048 0,02
Odgovor: 0,02
Zadatak 2
Stanje
Rješenje
U zemlji bajki postoje dvije vrste vremena: dobro i odlično, a vrijeme, nakon što se ujutru ustalilo, ostaje nepromijenjeno cijeli dan. Poznato je da će sa vjerovatnoćom od 0,6 vrijeme sutra biti isto kao i danas. Danas je 18. septembar, vrijeme u zemlji bajki je lijepo. Pronađite vjerovatnoću da će 21. septembra u zemlji bajki biti odlično vrijeme.
Pošto je 18. septembra lepo vreme, onda je 19. septembra lepo vreme sa verovatnoćom 0,6, a odlično sa verovatnoćom 0,4.
Ako je 19. septembra lepo vreme, onda je 20. septembra verovatnoća lepog vremena 0,6*0,6=0,36
Vjerovatnoća odličnog vremena je 0,6*0,4=0,24
Slično, ako je vrijeme odlično 19. septembra, onda će s vjerovatnoćom od 0,4 * 0,6 \u003d 0,24 biti odlično i 20. septembra. Vrijeme će biti dobro 20. septembra sa vjerovatnoćom od 0,4 * 0,4 = 0,16.
Slično argumentujući, dobijamo da će verovatnoća odličnog vremena 21. septembra biti jednaka verovatnoći sume: 0,6*0,24+ +0,6*0,24+0,4*0,16+0,6*0,24= 0,496
Zadatak 3
Stanje
Rješenje
Automatska linija proizvodi baterije. Vjerovatnoća da je gotova baterija neispravna je 0,02. Prije pakiranja svaka baterija prolazi kroz kontrolni sistem. Vjerovatnoća da će sistem blokirati lošu bateriju je 0,98. Vjerovatnoća da će sistem greškom blokirati zdravu bateriju je 0,03. Pronađite vjerovatnoću da će slučajno odabrana proizvedena baterija biti blokirana od strane upravljačkog sistema.
Neka je događaj A = (baterija će biti blokirana), tada se vjerovatnoća pojave ovog događaja može naći kao unija sjecišta događaja.
P(A)=0,02*0,98+0,98*0,03
P(A)=0,98(0,02+0,03)
P(A)=0,98*0,05= 0,049
Odgovor: 0,049
Književnost
- Makarychev Yu.N. Algebra: elementi statistike i teorije vjerovatnoće: udžbenik. dodatak za učenike opšteg obrazovanja. institucije. Izdavačka kuća "Prosvjeta", 2003
- Mordkovich A.G., Semenov P.V. Algebra i početak matematičke analize. Dio 1. Udžbenik za obrazovne organizacije. Izdavačka kuća Mnemosyne, 2015
- Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu. Matematika. Priprema za ispit-2016. Izdavačka kuća doo "Legija", 2015
- Vysotsky I.R., Yashchenko I.V. USE 2016. Matematika. Teorija vjerovatnoće. Radna sveska. Izdavačka kuća MTSNMO, 2016
