Prava a siječe jednu od dvije koje se sijeku. Vrste pravih linija

prave l1 i l2 nazivaju se kosi ako ne leže u istoj ravni. Neka su a i b vektori pravca ovih pravih, a tačke M1 i M2 neka pripadaju linijama l1 i l2, redom

Tada vektori a, b, M1M2> nisu koplanarni, pa stoga njihov mješoviti proizvod nije jednak nuli, tj. (a, b, M1M2>) =/= 0. Tačna je i obrnuta izjava: ako (a, b , M1M2> ) =/= 0, tada vektori a, b, M1M2> nisu komplanarni i, prema tome, prave l1 i l2 ne leže u istoj ravni, odnosno sijeku se. Dakle, dvije prave se sijeku ako i samo ako je uslov (a, b, M1M2>) =/= 0, gde su a i b vektori pravca, a M1 i M2 tačke koje pripadaju ovim pravima. Uslov (a, b, M1M2>) = 0 je neophodan i dovoljan uslov za činjenicu da prave leže u istoj ravni. Ako su linije date njihovim kanonskim jednadžbama

tada je a = (a1; a2; a3), b = (b1; b2; b3), M1 (x1; y1; z1), M2(x2; y2; z2) i uslov (2) se zapisuje na sljedeći način:

Udaljenost između linija ukrštanja

ovo je rastojanje između jedne od pravih koja se ukrštaju i ravni koja joj je paralelna, koja prolazi kroz drugu pravu. Udaljenost između pravih koja se seku je rastojanje od neke tačke jedne od pravih koje se seku do ravni koja prolazi kroz drugu pravu paralelnu sa prvom linija.

26.Definicija elipse, kanonska jednadžba. Derivacija kanonske jednadžbe. Svojstva.

Elipsa je geometrijsko mjesto tačaka na ravni za koje je zbir udaljenosti do dvije fokusirane tačke F1 i F2 ove ravni, koje se nazivaju fokusi, konstantna vrijednost.U ovom slučaju, podudarnost fokusa elipse je nije isključeno. Ako se okusi poklapaju, onda je elipsa krug. Za bilo koju elipsu možete pronaći kartezijanski koordinatni sistem takav da će elipsa biti opisana jednadžbom (kanonska jednačina elipse):

On opisuje elipsu sa središtem u nultu, čije se ose poklapaju sa koordinatnim osa.

Ako se na desnoj strani nalazi jedinica sa predznakom minus, onda je rezultirajuća jednadžba:

opisuje imaginarnu elipsu. Takvu elipsu je nemoguće prikazati u realnoj ravni. Označimo žarišta sa F1 i F2, a udaljenost između njih sa 2c, a zbir udaljenosti od proizvoljne tačke elipse do žarišta sa 2a

Za izvođenje jednačine elipse biramo koordinatni sistem Oxy tako da žarišta F1 i F2 leže na osi Ox, a ishodište se poklapa sa sredinom segmenta F1F2. Tada će žarišta imati sljedeće koordinate: i Neka je M(x;y) proizvoljna tačka elipse. Tada, prema definiciji elipse, tj.

Ovo je, u suštini, jednačina elipse.

27. Definicija hiperbole, kanonska jednadžba. Derivacija kanonske jednadžbe. Svojstva

Hiperbola je geometrijski lokus tačaka na ravni za koji je apsolutna vrijednost razlike udaljenosti do dvije fiksne tačke F1 i F2 ove ravni, koje se nazivaju fokusi, konstantna vrijednost. Neka je M(x;y) proizvoljna tačka hiperbole. Tada, prema definiciji hiperbole |MF 1 – MF 2 |=2a ili MF 1 – MF 2 =±2a,

28. Definicija parabole, kanonska jednadžba. Derivacija kanonske jednadžbe. Svojstva. Parabola je HMT ravni za koju je udaljenost do neke fiksne točke F ove ravni jednaka udaljenosti do neke fiksne prave linije, također smještene u ravnini koja se razmatra. F – fokus parabole; fiksna linija je direktrisa parabole. r=d,

r=; d=x+p/2; (x-p/2) 2 +y 2 =(x+p/2) 2 ; x 2 -xp+p 2 /4+y 2 =x 2 +px+p 2 /4; y 2 =2px;

Svojstva: 1. Parabola ima os simetrije (osa parabole); 2.All

parabola se nalazi u desnoj poluravni Oxy ravni na p>0, au lijevoj

ako str<0. 3.Директриса параболы, определяемая каноническим уравнением, имеет уравнение x= -p/2.

"

Ako dvije prave u prostoru imaju zajedničku tačku, onda se kaže da se ove dvije prave seku. Na sljedećoj slici, prave a i b seku se u tački A. Prave a i c se ne seku.

Bilo koje dvije prave ili imaju samo jednu zajedničku tačku ili nemaju zajedničkih tačaka.

Paralelne linije

Dvije prave u prostoru nazivaju se paralelnim ako leže u istoj ravni i ne sijeku se. Za označavanje paralelnih pravih koristite posebnu ikonu - ||.

Oznaka a||b znači da je prava a paralelna pravoj b. Na gornjoj slici, prave a i c su paralelne.

Teorema paralelnih linija

Kroz bilo koju tačku u prostoru koja ne leži na datoj pravoj, prolazi prava paralelna datoj i, štaviše, samo jedna.

Ukrštanje linija

Dvije prave koje leže u istoj ravni mogu se ili seći ili biti paralelne. Ali u svemiru, dvije prave linije ne pripadaju nužno ovoj ravni. Mogu se nalaziti u dvije različite ravnine.

Očigledno je da se prave koje se nalaze u različitim ravnima ne sijeku i nisu paralelne. Zovu se dvije prave koje ne leže u istoj ravni ukrštanje pravih linija.

Na sljedećoj slici prikazane su dvije prave linije a i b koje se seku, koje leže u različitim ravnima.

Test i teorema o kosim linijama

Ako jedna od dvije prave leži u određenoj ravni, a druga siječe ovu ravan u tački koja ne leži na prvoj liniji, tada se te prave sijeku.

Teorema o kosim linijama: kroz svaku od dvije prave koje se ukrštaju prolazi ravan paralelna s drugom pravom, i, osim toga, samo jedna.

Dakle, razmotrili smo sve moguće slučajeve relativnih položaja linija u prostoru. Ima ih samo tri.

1. Prave se seku. (To jest, imaju samo jednu zajedničku tačku.)

2. Prave su paralelne. (To jest, nemaju zajedničke tačke i leže u istoj ravni.)

3. Prave linije se ukrštaju. (Odnosno, nalaze se u različitim ravnima.)

Teorema. Ako jedna prava leži u datoj ravni, a druga siječe ovu ravan u tački koja ne pripada prvoj liniji, tada se ove dvije prave sijeku. Znak ukrštanja linija Dokaz. Neka prava a leži u ravni, a prava b siječe ravan u tački B, koja ne pripada pravoj a. Ako prave a i b leže u istoj ravni, tada bi u ovoj ravni ležala i tačka B. Pošto kroz pravu prolazi samo jedna ravan i tačka van ove prave, onda ova ravan mora biti ravan. Ali tada bi prava b ležala u ravni, što je u suprotnosti sa uslovom. Prema tome, prave a i b ne leže u istoj ravni, tj. križanje.

Koliko ima parova kosih linija koje sadrže ivice pravilne trouglaste prizme? Rješenje: Za svaku ivicu baza postoje tri ivice koje se sa njom seku. Za svaku bočnu ivicu postoje dva rebra koja se s njom sijeku. Dakle, potreban broj parova kosih linija je vježba 5

Koliko ima parova kosih linija koje sadrže ivice pravilne šestougaone prizme? Rješenje: Svaka ivica baza učestvuje u 8 parova linija ukrštanja. Svaka bočna ivica učestvuje u 8 parova linija ukrštanja. Dakle, potreban broj parova kosih linija je vježba 6

Predavanje: Ukrštanje, paralelno i ukrštanje linija; okomitost linija

Linije koje se seku

Ako na ravni postoji nekoliko pravih linija, tada će se prije ili kasnije ili proizvoljno sijeći, ili pod pravim uglom, ili će biti paralelne. Pogledajmo svaki slučaj.

One prave koje imaju barem jednu tačku ukrštanja mogu se nazvati ukrštanjem.

Možete pitati zašto barem jedna prava linija ne može dva ili tri puta preseći drugu pravu. Upravu si! Ali ravne linije mogu se potpuno poklapati jedna s drugom. U ovom slučaju, postojaće beskonačan broj zajedničkih tačaka.

Paralelizam

Paralelno Možete imenovati one prave koje se nikada neće ukrštati, čak ni u beskonačnosti.

Drugim riječima, paralelne su one koje nemaju jednu zajedničku tačku. Imajte na umu da ova definicija vrijedi samo ako su prave u istoj ravni, ali ako nemaju zajedničke tačke, nalaze se u različitim ravnima, onda se smatraju da se sijeku.

Primjeri paralelnih linija u životu: dvije suprotne ivice ekrana monitora, linije u bilježnicama, kao i mnogi drugi dijelovi stvari koje imaju kvadratne, pravokutne i druge oblike.

Kada žele pismeno pokazati da je jedna linija paralelna s drugom, koriste sljedeću notaciju a||b. Ovaj unos kaže da je prava a paralelna pravoj b.

Prilikom proučavanja ove teme važno je razumjeti još jednu tvrdnju: kroz određenu tačku na ravni koja ne pripada datoj pravoj može se povući jedna paralelna prava. Ali obratite pažnju, opet je korekcija na nivou. Ako uzmemo u obzir trodimenzionalni prostor, onda možemo nacrtati beskonačan broj linija koje se neće sjeći, ali će se sijeći.

Izjava koja je gore opisana zove se aksiom paralelnih pravih.

Perpendikularnost

Direktne linije se mogu pozvati samo ako okomito, ako se seku pod uglom od 90 stepeni.

U prostoru, kroz određenu tačku na pravoj, može se povući beskonačan broj okomitih linija. Međutim, ako govorimo o ravni, onda kroz jednu tačku na liniji možete povući jednu okomitu liniju.

Ukrštene ravne linije. Secant

Ako se neke prave seku u određenoj tački pod proizvoljnim uglom, mogu se nazvati ukrštanje.

Sve linije koje se seku imaju vertikalne i susedne uglove.

Ako uglovi formirani od dvije prave koje se sijeku imaju jednu zajedničku stranu, onda se nazivaju susjedni:

Susjedni uglovi iznose 180 stepeni.