Metoda inverzne funkcije

Pretpostavimo da želimo igrati kontinuiranu slučajnu varijablu X, tj. dobiti niz njegovih mogućih vrijednosti x i (i= 1,2, ...), znajući funkciju raspodjele F(X).

Teorema. Ako r i ,-slučajni broj, zatim moguću vrijednostx i igrao kontinuiranu slučajnu varijablu X sa datom funkcijom distribucijeF(X), odgovarajućir i , je korijen jednadžbe

F(X i)= r i . (»)

Dokaz. Neka se odabere slučajni broj r i (0≤r i <1). Так как в интервале всех возможных зна­чений X funkcija distribucije F(X) monotono raste od 0 do 1, tada u ovom intervalu postoji, i to samo jedna, takva vrijednost argumenta X i , na kojoj funkcija distribucije poprima vrijednost r i. Drugim riječima, jednačina (*) ima jedinstveno rješenje

X i = F - 1 (r i),

Gdje F - 1 - inverzna funkcija y=F(X).

Dokažimo sada da je korijen X i jednadžba (*) je moguća vrijednost takve kontinuirane slučajne varijable (privremeno ćemo je označiti sa ξ , a onda ćemo se u to uvjeriti ξ=H). U tu svrhu dokazujemo da je vjerovatnoća udaranja ξ u interval, na primjer ( sa,d), pripada intervalu svih mogućih vrijednosti X, jednako prirastu funkcije distribucije F(X) u ovom intervalu:

R(With< ξ < d)= F(d)- F(With).

Zaista, pošto F(X)- monotono rastuća funkcija u intervalu svih mogućih vrijednosti X, tada u ovom intervalu velike vrijednosti argumenta odgovaraju velikim vrijednostima funkcije, i obrnuto. Stoga, ako With <X i < d, To F(c)< r i < F(d), i obrnuto [uzima se u obzir da zbog (*) F(X i)=r i ].

Iz ovih nejednakosti slijedi da ako je slučajna varijabla ξ sadržano u intervalu

With< ξ < d, ξ (**)

zatim slučajna varijabla R sadržano u intervalu

F(With)< R< F(d), (***)

i nazad. Dakle, nejednakosti (**) i (***) su ekvivalentne i stoga jednako vjerovatne:

R(With< ξ< d)=P[F(With)< R< F(d)]. (****)

Pošto vrednost R je ravnomerno raspoređena u intervalu (0,1), onda je verovatnoća pogotka R u neki interval koji pripada intervalu (0,1) jednaka je njegovoj dužini (vidi Poglavlje XI, § 6, napomena). posebno,

R[F(With)< R< F(d) ] = F(d) - F(With).

Stoga se relacija (****) može zapisati u obliku

R(With< ξ< d)= F(d) - F(With).

Dakle, vjerovatnoća udarca ξ u intervalu ( sa,d) jednak je prirastu funkcije distribucije F(X) na ovom intervalu, što znači da ξ=X. Drugim riječima, brojevi X i, definirane formulom (*), su moguće vrijednosti količine X s datu funkciju distribucije F(X), Q.E.D.

Pravilo 1.X i , kontinuirana slučajna varijabla X, znajući njegovu funkciju distribucije F(X), morate odabrati nasumični broj r i izjednačiti njegove funkcije distribucije i riješiti za X i , rezultirajuća jednačina

F(X i)= r i .

Napomena 1. Ako ovu jednačinu nije moguće riješiti eksplicitno, onda pribjegavajte grafičkim ili numeričkim metodama.

Primjer I Pustite 3 moguće vrijednosti kontinuirane slučajne varijable X, ravnomjerno raspoređeni u intervalu (2, 10).

Rješenje. Napišimo funkciju raspodjele veličine X, ravnomjerno raspoređeni u intervalu ( A,b) (vidi Poglavlje XI, § 3, primjer):

F(X)= (Ha)/ (b-A).

po uslovu, a = 2, b=10, dakle,

F(X)= (X- 2)/ 8.

Koristeći pravilo ovog paragrafa, napisaćemo jednačinu da pronađemo moguće vrijednosti X i , za koji izjednačavamo funkciju distribucije sa slučajnim brojem:

(X i -2 )/8= r i .

Odavde X i =8 r i + 2.

Odaberimo 3 nasumična broja, na primjer, r i =0,11, r i =0,17, r i=0,66. Zamijenimo ove brojeve u jednačinu koja je riješena u odnosu na X i , Kao rezultat, dobijamo odgovarajuće moguće vrijednosti X: X 1 =8·0,11+2==2,88; X 2 =1.36; X 3 = 7,28.

Primjer 2. Kontinuirana slučajna varijabla X raspodijeljeno prema eksponencijalnom zakonu određenom funkcijom distribucije (poznat je parametar λ > 0)

F(X)= 1 - e - λ X (x>0).

Moramo pronaći eksplicitnu formulu da odigramo moguće vrijednosti X.

Rješenje. Koristeći pravilo ovog pasusa, pišemo jednačinu

1 - e - λ X i

Hajde da riješimo ovu jednačinu za X i :

e - λ X i = 1 - r i, ili - λ X i = ln(1 - r i).

X i =1p(1– r i)/λ .

Slučajni broj r i zatvoren u intervalu (0,1); stoga je broj 1 r i, je također slučajan i pripada intervalu (0,1). Drugim riječima, količine R i 1 - R podjednako raspoređeni. Stoga, pronaći X i Možete koristiti jednostavniju formulu:

x i =- ln r i /λ.

Napomena 2. Poznato je da (vidi Poglavlje XI, §3)

posebno,

Iz toga slijedi da ako je gustina vjerovatnoće poznata f(x), zatim za igranje X moguće je umjesto jednačina F(x i)=r i odlučiti u vezi x i jednačina

Pravilo 2. Da biste pronašli moguću vrijednost X i (kontinuirana slučajna varijabla X, znajući njegovu gustinu vjerovatnoće f(x) potrebno je da odaberete nasumični broj r i i odlučiti u vezi X i , jednačina

ili jednačina

Gdje A- najmanju moguću konačnu vrijednost X.

Primjer 3. Zadana je gustina vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable Xf(X)=λ (1-λh/2) u intervalu (0; 2/λ); izvan ovog intervala f(X)= 0. Moramo pronaći eksplicitnu formulu da odigramo moguće vrijednosti X.

Rješenje. U skladu sa pravilom 2, napišimo jednačinu

Nakon izvođenja integracije i rješavanja rezultirajuće kvadratne jednadžbe za X i, konačno dobijamo

LABORATORIJSKI RAD MM-03

SVIRANJE DISKRETNO I KONTINUIRANO ST

Svrha rada: proučavanje i softverska implementacija metoda za igranje diskretnih i kontinuiranih SV-ova

PITANJA ZA PROUČAVANJE IZ BILJEŠKI S PREDAVANJA:

1. Diskretne slučajne varijable i njihove karakteristike.

2. Igranje kompletne grupe nasumičnih događaja.

3. Reprodukcija kontinuirane slučajne varijable koristeći metodu inverzne funkcije.

4. Odabir slučajnog smjera u prostoru.

5. Standardna normalna distribucija i njeno ponovno izračunavanje za date parametre.

6. Metoda polarnih koordinata za reprodukciju normalne distribucije.

ZADATAK 1. Formulirajte (pismeno) pravilo za reprodukciju vrijednosti diskretnog SV, čiji je zakon raspodjele dat u obliku tabele. Kreirajte funkciju potprograma za reprodukciju vrijednosti SV koristeći BSV primljen od RNG potprograma. Pustite 50 CB vrijednosti i prikažite ih na ekranu.

Gdje je N broj opcije.

ZADATAK 2. Zadana je funkcija gustoće distribucije f(x) kontinuirane slučajne varijable X.

U izvještaju zapišite formule i proračune sljedećih količina:

A) konstanta normalizacije;

B) funkcija distribucije F(x);

B) matematičko očekivanje M(X);

D) varijansa D(X);

D) formula za reprodukciju vrijednosti SV metodom inverzne funkcije.

Kreirajte funkciju potprograma za igranje datog SV-a i dobijte 1000 vrijednosti ovog SV-a.

Konstruisati histogram distribucije dobijenih brojeva na 20 segmenata.

ZADATAK 3. Kreirajte proceduru koja vam omogućava da igrate parametre slučajnog smjera u prostoru. Igrajte 100 nasumičnih smjerova u svemiru.

Koristite ugrađeni senzor pseudo-slučajnih brojeva.

Pisani laboratorijski izvještaj mora sadržavati:

1) naziv i svrha rada, grupa, prezime i broj po izboru studenta;

2) Za svaki zadatak: -uslov, -potrebne formule i matematičke transformacije, -naziv programske datoteke koja implementira korišteni algoritam, -rezultati proračuna.

Programski fajlovi sa otklonjenim greškama se dostavljaju zajedno sa pisanim izveštajem.

PRIMJENA

Varijante gustine distribucije kontinuiranog SW

Var-t	Gustina distribucije SW	Var-t	Gustina distribucije SW

Suština Monte Carlo metode je sljedeća: potrebno je pronaći vrijednost A neke proučavane količine. U tu svrhu odaberite slučajnu varijablu X čije je matematičko očekivanje jednako a: M(X) = a.

U praksi rade ovo: izračunavaju (odigravaju) n moguće vrijednosti x i slučajne varijable X, pronađite njihovu aritmetičku sredinu

I uzimaju a* od željenog broja a kao procjenu (približnu vrijednost). Dakle, da biste koristili metodu Monte Carlo, morate biti u mogućnosti igrati slučajnu varijablu.

Neka je potrebno odigrati diskretnu slučajnu varijablu X, tj. izračunajte slijed njegovih mogućih vrijednosti x i (i=1,2, ...), znajući zakon raspodjele X. Uvedemo notaciju: R je kontinuirana slučajna varijabla ravnomjerno raspoređena u intervalu (0,1 ); r i (j=1,2,...) – slučajni brojevi (moguće vrijednosti R).

pravilo: Da bi se igrala diskretna slučajna varijabla X određena zakonom distribucije

X x 1 x 2 ... x n

P p 1 p 2 … p n

1. Podijelite interval (0,1) ose ili na n parcijalnih intervala:

Δ 1 =(0; r 1), Δ 2 =(r 1; r 1+ r 2), …, Δ n = (r 1 +r 2 +…+r n -1; 1).

2. Odaberite slučajni broj r j . Ako je r j pao u parcijalni interval Δ i, tada je vrijednost koja se igra poprimila moguću vrijednost x i. .

Odigravanje kompletne grupe događaja

Potrebno je odigrati testove, u svakom od kojih se javlja jedan od događaja pune grupe čije su vjerovatnoće poznate. Igranje kompletne grupe događaja svodi se na igranje diskretne slučajne varijable.

pravilo: Da bi se igrali testovi, u svakom od kojih se javlja jedan od događaja A 1, A 2, ..., A n kompletne grupe, čije su vjerovatnoće p 1, p 2, ..., p n poznate, dovoljno je igrati diskretnu vrijednost X sa sljedećim zakonom raspodjele:

P p 1 p 2 … p n

Ako je u testu vrijednost X poprimila moguću vrijednost x i =i, tada se dogodio događaj A i.

Reprodukcija kontinuirane slučajne varijable

Poznata je funkcija raspodjele F kontinuirane slučajne varijable X. Potrebno je igrati X, tj. izračunati niz mogućih vrijednosti x i (i=1,2, ...).

A. Metoda inverznih funkcija. Pravilo 1. x i kontinuirane slučajne varijable X, znajući njenu funkciju distribucije F, potrebno je odabrati slučajni broj r i, izjednačiti njegovu funkciju raspodjele i riješiti rezultirajuću jednačinu F(x i) = r i za x i.

Ako je gustina vjerovatnoće f(x) poznata, onda se koristi pravilo 2.

Pravilo 2. Da odigramo moguću vrijednost x i kontinuirane slučajne varijable X, znajući njenu gustinu vjerovatnoće f, trebate odabrati slučajni broj r i i riješiti jednačinu za x i

ili jednačina

gdje je a najmanja konačna moguća vrijednost X.

B. Metoda superpozicije. Pravilo 3. Da bi se odigrala moguća vrijednost slučajne varijable X, čija je funkcija distribucije

F(x) = C 1 F 1 (x)+C 2 F 2 (x)+…+C n F n (x),

gdje je F k (x) – funkcije raspodjele (k=1, 2, …, n), S k >0, S i +S 2 +…+S n =1, potrebno je izabrati dva nezavisna slučajna broja r 1 i r 2 i koristeći slučajni broj r 1, odigrajte moguću vrijednost pomoćne diskretne slučajne varijable Z (prema pravilu 1):

p C 1 C 2 … C n

Ako se ispostavi da je Z=k, onda riješimo jednačinu F k (x) = r 2 za x.

Napomena 1. Ako je gustina vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable X data u obliku

f(x)=C 1 f 1 (x)+C 2 f 2 (x)+…+C n f n (x),

gdje su f k gustine vjerovatnoće, koeficijenti C k su pozitivni, njihov zbir je jednak jedan, a ako se ispostavi da je Z=k, onda riješiti (prema pravilu 2) s obzirom na x i u odnosu na ili jednadžbu

Približna igra normalne slučajne varijable

Pravilo. Da bi se približila moguća vrijednost x i normalne slučajne varijable X sa parametrima a=0 i σ=1, potrebno je da dodate 12 nezavisnih slučajnih brojeva i od dobijene sume oduzmete 6:

Komentar. Ako želite otprilike igrati normalnu slučajnu varijablu Z sa matematičkim očekivanjem A i standardnu ​​devijaciju σ, zatim, odigravši moguću vrijednost x i prema gornjem pravilu, pronađite željenu moguću vrijednost koristeći formulu: z i =σx i +a.

Definicija 24.1.Slučajni brojevi imenovati moguće vrijednosti r kontinuirana slučajna varijabla R, ravnomjerno raspoređenih u intervalu (0; 1).

1. Reprodukcija diskretne slučajne varijable.

Pretpostavimo da želimo igrati diskretnu slučajnu varijablu X, odnosno dobiti niz njegovih mogućih vrijednosti, poznavajući zakon raspodjele X:

X x 1 X 2 … x n

r r 1 R 2 … r p .

Razmotrite slučajnu varijablu ravnomjerno raspoređenu u (0, 1) R i podijeliti interval (0, 1) tačkama sa koordinatama R 1, R 1 + R 2 , …, R 1 + R 2 +… +r p-1 uključeno P parcijalni intervali čije su dužine jednake vjerovatnoćama sa istim indeksima.

Teorema 24.1. Ako se svakom nasumičnom broju koji padne u interval dodijeli moguća vrijednost, tada će vrijednost koja se igra ima dati zakon raspodjele:

X x 1 X 2 … x n

r r 1 R 2 … r p .

Dokaz.

Moguće vrijednosti rezultirajuće slučajne varijable poklapaju se sa skupom X 1 , X 2 ,… x n, pošto je broj intervala jednak P, i kada je pogođen r j u intervalu, slučajna varijabla može uzeti samo jednu od vrijednosti X 1 , X 2 ,… x n.

Jer R je ravnomjerno raspoređena, tada je vjerovatnoća da padne u svaki interval jednaka njegovoj dužini, što znači da svaka vrijednost odgovara vjerovatnoći p i. Dakle, slučajna varijabla koja se igra ima dati zakon raspodjele.

Primjer. Pustite 10 vrijednosti diskretne slučajne varijable X, čiji zakon raspodjele ima oblik: X 2 3 6 8

R 0,1 0,3 0,5 0,1

Rješenje. Podijelimo interval (0, 1) na parcijalne intervale: D 1 - (0; 0,1), D 2 - (0,1; 0,4), D 3 - (0,4; 0,9), D 4 – (0,9; 1). Zapišimo 10 brojeva iz tabele slučajnih brojeva: 0,09; 0,73; 0,25; 0,33; 0,76; 0,52; 0,01; 0,35; 0,86; 0,34. Prvi i sedmi broj leže na intervalu D 1, stoga je u ovim slučajevima slučajna varijabla koja se igra poprimila vrijednost X 1 = 2; treći, četvrti, osmi i deseti broj su upali u interval D 2, što odgovara X 2 = 3; drugi, peti, šesti i deveti broj su bili u intervalu D 3 - u ovom slučaju X = x 3 = 6; U posljednjem intervalu nije bilo brojeva. Dakle, moguće vrijednosti su se odigrale X su: 2, 6, 3, 3, 6, 6, 2, 3, 6, 3.

2. Glumljenje suprotnih događaja.

Neka bude potrebno odigrati testove, u svakom od njih po jedan događaj A pojavljuje se sa poznatom vjerovatnoćom R. Razmotrimo diskretnu slučajnu varijablu X, uzimajući vrijednost 1 (ako je događaj A dogodilo) sa vjerovatnoćom R i 0 (ako A nije se dogodilo) sa vjerovatnoćom q = 1 – str. Zatim ćemo igrati ovu slučajnu varijablu kao što je predloženo u prethodnom paragrafu.

Primjer. Igrajte 10 izazova, svaki sa događajem A pojavljuje se sa vjerovatnoćom 0,3.

Rješenje. Za slučajnu varijablu X sa zakonom raspodele X 1 0

R 0,3 0,7

dobijamo intervale D 1 – (0; 0,3) i D 2 – (0,3; 1). Koristimo isti uzorak slučajnih brojeva kao u prethodnom primjeru, za koji brojevi br. 1, 3 i 7 spadaju u interval D 1, a ostali - u interval D 2. Stoga možemo pretpostaviti da je događaj A dogodio se u prvom, trećem i sedmom ispitivanju, ali se nije dogodio u preostalim ispitivanjima.

3. Odigravanje kompletne grupe događaja.

Ako događaji A 1 , A 2 , …, A str, čije su vjerovatnoće jednake R 1 , R 2 ,… r p, formiraju kompletnu grupu, a zatim za igru ​​(tj. modeliranje slijeda njihovog pojavljivanja u nizu testova) možete igrati diskretnu slučajnu varijablu X sa zakonom raspodele X 1 2 … P, učinivši to na isti način kao u tački 1. U isto vrijeme vjerujemo da

r r 1 R 2 … r p

Ako X poprima vrednost x i = i, tada se u ovom testu dogodio događaj A i.

4. Igranje kontinuirane slučajne varijable.

a) Metoda inverznih funkcija.

Pretpostavimo da želimo igrati kontinuiranu slučajnu varijablu X, odnosno dobiti niz njegovih mogućih vrijednosti x i (i = 1, 2, …, n), znajući funkciju distribucije F(x).

Teorema 24.2. Ako r i je slučajni broj, zatim moguća vrijednost x i igrao kontinuiranu slučajnu varijablu X sa datom funkcijom distribucije F(x), odgovarajući r i, je korijen jednadžbe

F(x i) = r i. (24.1)

Dokaz.

Jer F(x) monotono raste u intervalu od 0 do 1, tada postoji (i jedinstvena) vrijednost argumenta x i, pri čemu funkcija distribucije uzima vrijednost r i. To znači da jednačina (24.1) ima jedinstveno rješenje: x i= F -1 (r i), Gdje F-1 - funkcija inverzna od F. Dokažimo da je korijen jednadžbe (24.1) moguća vrijednost slučajne varijable koja se razmatra X. Pretpostavimo prvo to x i je moguća vrijednost neke slučajne varijable x, i dokazujemo da je vjerovatnoća da x padne u interval ( s, d) je jednako F(d) – F(c). Zaista, zbog monotonosti F(x) i to F(x i) = r i. Onda

Dakle, vjerovatnoća da x padne u interval ( c, d) jednak je prirastu funkcije distribucije F(x) na ovom intervalu, dakle, x = X.

Pustite 3 moguće vrijednosti kontinuirane slučajne varijable X, ravnomjerno raspoređenih u intervalu (5; 8).

F(x) = , odnosno potrebno je riješiti jednačinu.Izaberemo 3 slučajna broja: 0,23; 0,09 i 0,56 i zamijenite ih u ovu jednačinu. Hajde da dobijemo odgovarajuće moguće vrednosti X:

b) Metoda superpozicije.

Ako se funkcija distribucije slučajne varijable koja se igra može predstaviti kao linearna kombinacija dvije funkcije distribucije:

onda, od kada X®¥ F(x) ® 1.

Hajde da uvedemo pomoćnu diskretnu slučajnu varijablu Z sa zakonom raspodele

Z 12 . Odaberimo 2 nezavisna slučajna broja r 1 i r 2 i igrajte moguće

pC 1 C 2

značenje Z po broju r 1 (vidi tačku 1). Ako Z= 1, onda tražimo željenu moguću vrijednost X iz jednačine, i ako Z= 2, tada rješavamo jednačinu .

Može se dokazati da je u ovom slučaju funkcija distribucije slučajne varijable koja se igra jednaka datoj funkciji distribucije.

c) Približna igra normalne slučajne varijable.

Od za R, jednoliko raspoređen u (0, 1), zatim za zbir P nezavisne, ravnomerno raspoređene slučajne varijable u intervalu (0,1). Zatim, na osnovu središnje granične teoreme, normalizirana slučajna varijabla na P® ¥ će imati distribuciju blisku normalnoj, sa parametrima A= 0 i s =1. Konkretno, prilično dobra aproksimacija se dobija kada P = 12:

Dakle, da se odigra moguća vrijednost normalizirane normalne slučajne varijable X, trebate dodati 12 nezavisnih nasumičnih brojeva i od zbroja oduzeti 6.

Pošaljite svoj dobar rad u bazu znanja je jednostavno. Koristite obrazac ispod

Studenti, postdiplomci, mladi naučnici koji koriste bazu znanja u svom studiranju i radu biće vam veoma zahvalni.

Objavljeno na http://www.allbest.ru/

LEKCIJA 1

Simulacija slučajnih događaja sa datim zakonom raspodjele

Reprodukcija diskretne slučajne varijable

Neka je potrebno igrati diskretnu slučajnu varijablu, tj. dobiti niz njegovih mogućih vrijednosti x i (i = 1,2,3,...n), znajući zakon raspodjele X:

Označimo sa R ​​kontinuiranu slučajnu varijablu. Vrijednost R je ravnomjerno raspoređena u intervalu (0,1). Sa r j (j = 1,2,...) označavamo moguće vrijednosti slučajne varijable R. Podijelimo interval 0< R < 1 на оси 0r точками с координатами на n частичных интервалов.

Tada dobijamo:

Može se vidjeti da je dužina parcijalnog intervala sa indeksom i jednaka vjerovatnoći P sa istim indeksom. Dužina

Dakle, kada slučajni broj r i padne u interval, slučajna varijabla X poprima vrijednost x i sa vjerovatnoćom P i .

Postoji sljedeća teorema:

Ako je svaki slučajni broj koji pada u interval povezan s mogućom vrijednošću x i , tada će vrijednost koja se igra ima dati zakon raspodjele

Algoritam za reprodukciju diskretne slučajne varijable određene zakonom distribucije

1. Potrebno je podijeliti interval (0,1) ose 0r na n parcijalnih intervala:

2. Odaberite (na primjer, iz tabele slučajnih brojeva ili na računaru) slučajni broj r j .

Ako je r j pao u interval, tada je diskretna slučajna varijabla koja se igra poprimila moguću vrijednost x i .

Reprodukcija kontinuirane slučajne varijable

Neka je potrebno igrati kontinuiranu slučajnu varijablu X, tj. dobiti niz njegovih mogućih vrijednosti x i (i = 1,2,...). U ovom slučaju, funkcija distribucije F(X) je poznata.

Postoji sljedeći teorema.

Ako je r i slučajan broj, tada je moguća vrijednost x i odigrane kontinuirane slučajne varijable X s poznatom funkcijom distribucije F(X) koja odgovara r i korijen jednadžbe

Algoritam za reprodukciju kontinuirane slučajne varijable:

1. Morate odabrati nasumični broj r i .

2. Izjednačiti odabrani slučajni broj sa poznatom funkcijom distribucije F(X) i dobiti jednačinu.

3. Riješite ovu jednačinu za x i. Rezultirajuća vrijednost x i će istovremeno odgovarati slučajnom broju r i . i dati zakon raspodjele F(X).

Primjer. Pustite 3 moguće vrijednosti kontinuirane slučajne varijable X, ravnomjerno raspoređene u intervalu (2; 10).

Funkcija distribucije vrijednosti X ima sljedeći oblik:

Prema uslovu, a = 2, b = 10, dakle,

U skladu sa algoritmom za igranje kontinuirane slučajne varijable, izjednačavamo F(X) sa odabranim slučajnim brojem r i .. Odavde dobijamo:

Zamijenite ove brojeve u jednačinu (5.3). Dobijamo odgovarajuće moguće vrijednosti x:

Problemi modeliranja slučajnih događaja sa datim zakonom raspodjele

1. Potrebno je odigrati 10 vrijednosti diskretne slučajne varijable, tj. dobiti niz njegovih mogućih vrijednosti x i (i=1,2,3,…n), znajući zakon raspodjele X

Odaberimo slučajni broj r j iz tabele slučajnih brojeva: 0,10; 0,12; 0,37; 0,09; 0,65; 0,66; 0,99; 0,19; 0,88; 0,59; 0,78

2. Učestalost prijema zahtjeva za uslugu podliježe eksponencijalnom zakonu distribucije (), x, poznat je parametar l (u daljem tekstu l = 1/t - intenzitet prijema zahtjeva)

l=0,5 zahtjeva/sat. Odredite redoslijed vrijednosti za trajanje intervala između prijema aplikacija. Broj implementacija je 5. Broj r j: 0,10; 0,12; 0,37; 0,09; 0,65; 0,99;

LEKCIJA 2

Sistem čekanja

Sistemi u kojima, s jedne strane, ima masovnih zahtjeva za obavljanjem bilo koje vrste usluge, a s druge strane, ti zahtjevi se zadovoljavaju, nazivaju se sistemi čekanja. Bilo koji QS služi da ispuni tok zahtjeva.

QS uključuje: izvor zahtjeva, dolazni tok, red čekanja, uslužni uređaj, odlazni tok zahtjeva.

SMO se dijele na:

QS sa gubicima (kvarovima)

Red sa čekanjem (neograničena dužina reda čekanja)

QS sa ograničenom dužinom čekanja

QS sa ograničenim vremenom čekanja.

Na osnovu broja kanala ili servisnih uređaja, QS sistemi mogu biti jednokanalni ili višekanalni.

Po lokaciji izvora zahtjeva: otvoreno i zatvoreno.

Po broju servisnih elemenata po zahtjevu: jednofazni i višefazni.

Jedan od oblika klasifikacije je klasifikacija D. Kendall - A/B/X/Y/Z

A - određuje distribuciju vremena između dolazaka;

B - određuje distribuciju vremena usluge;

X - određuje broj servisnih kanala;

Y - određuje kapacitet sistema (dužina reda);

Z - određuje redosled servisa.

Kada je kapacitet sistema beskonačan i red servisa slijedi princip „prvi dođe-prvi uslužen“, Y/Z dijelovi se izostavljaju. Prva cifra (A) koristi sljedeće simbole:

M-distribucija ima eksponencijalni zakon,

G-odsustvo bilo kakvih pretpostavki o uslužnom procesu, ili je identificiran simbolom GI, što znači ponavljajući servisni proces,

D- deterministički (fiksno servisno vrijeme),

E n - Erlang n-ti red,

NM n - hiper-Erlang n-ti red.

Druga cifra (B) koristi iste simbole.

Četvrta cifra (Y) pokazuje kapacitet bafera, tj. maksimalan broj mjesta u redu čekanja.

Peta cifra (Z) označava način odabira iz reda u sistemu čekanja: SP-jednaka vjerovatnoća, FF-prvi ušao-prvi izašao, LF-zadnji ušao-prvi izašao, PR-prioritet.

Za zadatke:

l je prosječan broj primljenih prijava po jedinici vremena

µ - prosječan broj usluženih aplikacija u jedinici vremena

Faktor opterećenja kanala 1, ili postotak vremena kada je kanal zauzet.

Glavne karakteristike:

1) P odbacivanje - vjerovatnoća kvara - vjerovatnoća da će sistem odbiti uslugu i zahtjev je izgubljen. Ovo se dešava kada su kanal ili svi kanali zauzeti (TFoP).

Za višekanalni QS P otvori =P n, gdje je n broj servisnih kanala.

Za QS sa ograničenom dužinom reda P open =P n + l, gdje je l dozvoljena dužina reda.

2) Relativni q i apsolutni A kapacitet sistema

q= 1-P otvoren A=ql

3) Ukupan broj zahtjeva u sistemu

L sys = n - za SMO sa neuspjesima, n je broj kanala zauzetih servisiranjem.

Za QS sa čekanjem i ograničenom dužinom čekanja

L sys = n+L cool

gdje je L cool prosječan broj zahtjeva koji čekaju da servis počne, itd.

Preostale karakteristike ćemo razmotriti dok rješavamo probleme.

Jednokanalni i višekanalni sistemi čekanja. Sistemi sa kvarovima.

Najjednostavniji jednokanalni model sa probabilističkim ulaznim protokom i postupkom usluge je model koji karakteriše eksponencijalna distribucija i trajanja intervala između prijema zahteva i trajanja usluge. U ovom slučaju, gustina distribucije trajanja intervala između prijema zahtjeva ima oblik

Gustina distribucije trajanja usluge:

Tokovi zahtjeva i usluga su jednostavni. Pustite sistem da radi sa kvarovima. Ovaj tip QS-a se može koristiti pri modeliranju prijenosnih kanala u lokalnim mrežama. Potrebno je odrediti apsolutnu i relativnu propusnost sistema. Zamislimo ovaj sistem čekanja u obliku grafa (slika 2), koji ima dva stanja:

S 0 - kanal slobodan (na čekanju);

S 1 - kanal je zauzet (zahtjev se servisira).

Slika 2. Grafikon stanja jednokanalnog QS-a sa kvarovima

Označimo vjerovatnoće stanja: P 0 (t) - vjerovatnoća stanja „slobodnog kanala“; P 1 (t) - vjerovatnoća stanja “kanal zauzet”. Koristeći označeni graf stanja, sastavljamo sistem Kolmogorovljevih diferencijalnih jednadžbi za vjerovatnoće stanja:

Sistem linearnih diferencijalnih jednadžbi ima rješenje koje uzima u obzir uvjet normalizacije P 0 (t) + P 1 (t) = 1. Rješenje ovog sistema naziva se nestacionarno, jer direktno zavisi od t i izgleda ovako:

P 1 (t) = 1 - P 0 (t) (3.4.3)

Lako je potvrditi da za jednokanalni QS sa kvarovima, vjerovatnoća P 0 (t) nije ništa drugo do relativni kapacitet sistema q. Zaista, P 0 je vjerovatnoća da je u trenutku t kanal slobodan i da će zahtjev koji stigne u vrijeme t biti servisiran, i, prema tome, za dato vrijeme t prosječan odnos broja usluženih zahtjeva i broja primljenih je takođe jednako P 0 (t), tj. q = P 0 (t).

Nakon velikog vremenskog intervala (at), postiže se stacionarni (stabilan) način rada:

Poznavajući relativnu propusnost, lako je pronaći apsolutnu. Apsolutna propusnost (A) je prosječan broj zahtjeva koje sistem čekanja može poslužiti u jedinici vremena:

Vjerovatnoća odbijanja servisiranja zahtjeva bit će jednaka vjerovatnoći stanja "kanal zauzet":

Ova vrijednost P open može se tumačiti kao prosječan udio neusluženih prijava među podnesenim.

U velikoj većini slučajeva, u praksi, sistemi čekanja su višekanalni, pa su stoga modeli sa n kanala za opsluživanje (gdje je n>1) od nesumnjivog interesa. Proces čekanja opisan ovim modelom karakterizira intenzitet ulaznog toka l, dok se ne može paralelno opsluživati ​​više od n klijenata (aplikacija). Prosječno trajanje servisiranja jednog zahtjeva je 1/m. Ulazni i izlazni tokovi su Poissonovi. Režim rada određenog servisnog kanala ne utiče na režim rada drugih servisnih kanala sistema, a trajanje servisne procedure za svaki kanal je slučajna varijabla podložna eksponencijalnom zakonu distribucije. Krajnji cilj korišćenja n paralelno povezanih uslužnih kanala je da se poveća (u poređenju sa jednokanalnim sistemom) brzina servisiranja zahteva istovremenom opsluživanjem n klijenata. Grafikon stanja višekanalnog sistema čekanja sa kvarovima ima oblik prikazan na slici 4.

Slika 4. Grafikon stanja višekanalnog QS-a sa kvarovima

S 0 - svi kanali su besplatni;

S 1 - jedan kanal je zauzet, ostali su slobodni;

S k - tačno k kanala je zauzeto, ostali su slobodni;

S n - svih n kanala je zauzeto, ostali su slobodni.

Kolmogorovljeve jednadžbe za vjerovatnoće stanja sistema P 0 , ... , P k , ... P n imat će sljedeći oblik:

Početni uslovi za rešavanje sistema su:

P 0 (0) = 1, P 1 (0) = P 2 (0) = ... = P k (0) = ... = P 1 (0) = 0.

Stacionarno rješenje sistema ima oblik:

Formule za izračunavanje vjerovatnoća P k (3.5.1) se nazivaju Erlangove formule.

Odredimo probabilističke karakteristike funkcionisanja višekanalnog QS-a sa kvarovima u stacionarnom režimu:

1) vjerovatnoća kvara:

pošto se zahtjev odbija ako stigne u vrijeme kada su svih n kanala zauzeti. Vrijednost P open karakterizira potpunost servisiranja dolaznog toka;

2) vjerovatnoća da će zahtjev biti prihvaćen za uslugu (to je takođe relativni kapacitet sistema q) dopunjuje P otvoren na jedan:

3) apsolutna propusnost

4) prosječan broj kanala koje zauzima usluga () je sljedeći:

Vrijednost karakterizira stepen opterećenja QS-a.

Zadaciza lekciju 2

1. Komunikacioni ogranak sa jednim kanalom prima najjednostavniji tok poruka sa intenzitetom l = 0,08 poruka u sekundi. Vrijeme prijenosa je raspoređeno prema exp zakonu. Servisiranje jedne poruke se dešava sa intenzitetom µ=0,1. Poruke koje stignu u trenucima kada je kanal za serviranje zauzet prenosom prethodno primljene poruke primaju neuspjeh u prijenosu.

Coeff. Relativno opterećenje kanala (vjerovatnoća zauzetosti kanala)

P odbaci vjerovatnoću neuspješnog primanja poruke

Q relativni kapacitet internodijske grane

I apsolutna propusnost komunikacijske grane.

2. Komunikacijska grana ima jedan kanal i prima poruke svakih 10 sekundi. Vrijeme servisa za jednu poruku je 5 sekundi. Vrijeme prijenosa poruke je raspoređeno prema eksponencijalnom zakonu. Poruke koje stignu dok je kanal zauzet su odbijene.

Definiraj

Rzan - vjerovatnoća zauzetosti komunikacijskog kanala (relativni faktor opterećenja)

Q - relativna propusnost

A - apsolutni kapacitet komunikacijske grane

4. Internodalna grana sekundarne komunikacione mreže ima n = 4 kanala. Protok poruka koje stižu na prijenos kroz kanale komunikacijskih grana ima intenzitet = 8 poruka u sekundi. Prosječno vrijeme prijenosa jedne poruke je t = 0,1 sekunda. Poruka koja stigne u vrijeme kada su svih n kanala zauzeti prima neuspjeh u prijenosu duž komunikacijske grane. Pronađite karakteristike SMO:

LEKCIJA 3

Jednokanalni sistem sa standby

Razmotrimo sada jednokanalni QS sa čekanjem. Sistem čekanja ima jedan kanal. Dolazni tok zahtjeva za uslugom je najjednostavniji tok sa intenzitetom. Intenzitet toka usluge je jednak (tj. u prosjeku će kanal koji je kontinuirano zauzet izdavati servisirane zahtjeve). Trajanje usluge je slučajna varijabla koja podliježe zakonu eksponencijalne distribucije. Tok usluge je najjednostavniji Poissonov tok događaja. Zahtjev primljen kada je kanal zauzet je u redu čekanja i čeka uslugu. Ovaj QS je najčešći u modeliranju. Uz ovaj ili onaj stepen aproksimacije, može se koristiti za simulaciju gotovo svakog čvora lokalne računarske mreže (LAN).

Pretpostavimo da bez obzira na to koliko zahtjeva stigne na ulaz uslužnog sistema, ovaj sistem (red + klijenti koji se opslužuju) ne mogu ispunjavaju više od N-zahtjeva (aplikacije), tj. klijenti koji nisu na čekanju primorani su da se opslužuju na drugom mjestu. Sistem M/M/1/N. Konačno, izvor koji generira zahtjeve za uslugu ima neograničen (beskonačno veliki) kapacitet. Grafikon stanja QS-a u ovom slučaju ima oblik prikazan na slici 3

Slika 3. Grafikon stanja jednokanalnog QS-a sa čekanjem (šema smrti i reprodukcije)

QS stanja imaju sljedeće tumačenje:

S 0 - “slobodan kanal”;

S 1 - “kanal zauzet” (bez čekanja);

S 2 - “kanal zauzet” (jedan zahtjev je u redu);

S n - “kanal zauzet” (n -1 aplikacija je u redu);

S N - “kanal zauzet” (N - 1 aplikacija je u redu).

Stacionarni proces u ovom sistemu biće opisan sledećim sistemom algebarskih jednačina:

gdje je p=faktor opterećenja

n - broj države.

Rješenje gornjeg sistema jednačina za naš QS model ima oblik:

Početna vrijednost vjerovatnoće za QS sa ograničenom dužinom reda

Za QS sa beskonačnim redom N =? :

P 0 =1- s (3.4.7)

Treba napomenuti da ispunjenje uslova stacionarnosti za dati QS nije neophodno, jer se broj aplikacija primljenih u sistem usluživanja kontroliše uvođenjem ograničenja dužine reda, koje ne može biti veće od (N - 1) , a ne omjerom između intenziteta ulaznog toka, odnosno ne omjerom c = l/m.

Za razliku od jednokanalnog sistema, koji je razmatran gore i sa neograničenim redom čekanja, u ovom slučaju postoji stacionarna raspodjela broja zahtjeva za bilo koje konačne vrijednosti faktora opterećenja c.

Odredimo karakteristike jednokanalnog QS-a sa čekanjem i ograničenom dužinom reda jednakom (N - 1) (M/M/1/N), kao i za jednokanalni QS sa baferom neograničenog kapaciteta (M/M/1/?). Za QS sa beskonačnim redom, uslov sa<1, т.е., для того, чтобы в системе не накапливалась бесконечная очередь необходимо, чтобы в среднем запросы в системе обслуживались быстрее, чем они туда поступают.

1) vjerovatnoća odbijanja servisiranja aplikacije:

Jedna od najvažnijih karakteristika sistema u kojima je moguć gubitak zahtjeva je vjerovatnoća P gubitka da će proizvoljni zahtjev biti izgubljen. U ovom slučaju, vjerovatnoća gubitka proizvoljnog zahtjeva poklapa se sa vjerovatnoćom da su u proizvoljnom trenutku sva mjesta čekanja zauzeta, tj. važi sledeća formula: R iz k = R N

2) relativni kapacitet sistema:

Za SMO sa neograničenimth queue q =1, jer svi zahtjevi će biti servisirani

3) apsolutni protok:

4) prosečan broj aplikacija u sistemu:

L S sa neograničenim redom

5) prosječno vrijeme boravka aplikacije u sistemu:

Za neograničen red

6) prosječna dužina boravka klijenta (prijave) u redu čekanja:

Sa neograničenim redom

7) prosječan broj aplikacija (klijenata) u redu (dužina reda):

sa neograničenim redom

Upoređujući izraze za prosječno vrijeme čekanja u redu T och i formulu za prosječnu dužinu reda L och, kao i prosječno vrijeme boravka zahtjeva u sistemu T S i prosječan broj zahtjeva u sistemu L S, vidimo to

L och =l*T och L s =l* T s

Imajte na umu da ove formule važe i za mnoge sisteme čekanja koji su opštiji od M/M/1 sistema koji se razmatra i nazivaju se Little-ove formule. Praktični značaj ovih formula je u tome što eliminišu potrebu da se direktno izračunavaju vrednosti T och i T s sa poznatom vrednošću vrednosti L och i L s i obrnuto.

Jednokanalni zadaci SMOsa iščekivanjem, Withčekanje iograničena dužina reda čekanja

1. Dat je jednoredni QS s neograničenom pohranom u redu čekanja. Prijave se primaju svakih t = 14 sekundi. Prosječno vrijeme prijenosa jedne poruke je t=10 sekundi. Poruke koje stignu u vrijeme kada je kanal za serviranje zauzet primaju se u red čekanja bez napuštanja prije početka servisiranja.

Odredite sljedeće pokazatelje učinka:

2. Internodijska komunikacijska grana, koja ima jedan kanal i skladište za m=3 poruke na čekanju (N-1=m), prima najjednostavniji tok poruka sa intenzitetom od l=5 poruka. u sekundama Vrijeme prijenosa poruke je raspoređeno prema eksponencijalnom zakonu. Prosječno vrijeme prijenosa jedne poruke je 0,1 sekundu. Poruke koje stignu u trenucima kada je kanal za serviranje zauzet prenosom prethodno primljene poruke i nema slobodnog prostora u drajvu se odbijaju.

P odbacivanje - vjerovatnoća neuspjeha primanja poruke

L sistem - prosječan ukupan broj poruka u redu i poslanih duž komunikacijske grane

T och - prosječno vrijeme koje poruka ostaje u redu prije početka prijenosa

T syst - prosječno ukupno vrijeme koje poruka ostaje u sistemu, a sastoji se od prosječnog vremena čekanja u redu čekanja i prosječnog vremena prijenosa

Q - relativna propusnost

A - apsolutna propusnost

3. Internodna grana sekundarne komunikacione mreže, koja ima jedan kanal i skladište u redu za m = 4 (N-1=4) poruka na čekanju, prima najjednostavniji tok poruka sa intenzitetom = 8 poruka u sekundi. Vrijeme prijenosa poruke je raspoređeno prema eksponencijalnom zakonu. Prosječno vrijeme prijenosa jedne poruke je t = 0,1 sekunda. Poruke koje stignu u trenucima kada je servirni kanal zauzet prenosom prethodno primljene poruke i nema slobodnog prostora u drajvu se odbijaju od strane reda.

P otvoren - vjerovatnoća neuspješnog prijema poruke za prijenos preko komunikacijskog kanala internodijske grane;

L och - prosječan broj poruka u redu do komunikacijske grane sekundarne mreže reda;

L sistem - prosječan ukupan broj poruka u redu i poslanih duž komunikacijske grane sekundarne mreže;

T och - prosječno vrijeme koje poruka ostaje u redu prije početka prijenosa;

R zan - vjerovatnoća da je komunikacioni kanal zauzet (relativni koeficijent opterećenja kanala);

Q je relativni kapacitet internodalne grane;

A je apsolutni kapacitet internodalne grane;

4. Internodijska komunikacijska grana, koja ima jedan kanal i skladište za m=2 poruke na čekanju, prima najjednostavniji tok poruka sa intenzitetom od l=4 poruke. u sekundama Vrijeme prijenosa poruke je raspoređeno prema eksponencijalnom zakonu. Prosječno vrijeme prijenosa jedne poruke je 0,1 sekundu. Poruke koje stignu u trenucima kada je kanal za serviranje zauzet prenosom prethodno primljene poruke i nema slobodnog prostora u drajvu se odbijaju.

Odredite sljedeće pokazatelje učinka komunikacijske grane:

P odbacivanje - vjerovatnoća neuspjeha primanja poruke

L och - prosječan broj poruka u redu do komunikacijske grane

L sistem - prosječan ukupan broj poruka u redu i poslanih duž komunikacijske grane

T och - prosječno vrijeme koje poruka ostaje u redu prije početka prijenosa

T syst - prosječno ukupno vrijeme koje poruka ostaje u sistemu, a sastoji se od prosječnog vremena čekanja u redu čekanja i prosječnog vremena prijenosa

Rzan - vjerovatnoća zauzetosti komunikacijskog kanala (relativni koeficijent opterećenja kanala c)

Q - relativna propusnost

A - apsolutna propusnost

5. Internodna grana sekundarne komunikacione mreže, koja ima jedan kanal i neograničen volumen reda čekanja na čekanju, prima najjednostavniji tok poruka sa intenzitetom l = 0,06 poruka u sekundi. Prosječno vrijeme prijenosa jedne poruke je t = 10 sekundi. Poruke koje stignu u vrijeme kada je komunikacioni kanal zauzet primaju se u red čekanja i ne napuštaju ga dok usluga ne počne.

Odredite sljedeće pokazatelje učinka sekundarne mrežne komunikacijske grane:

L och - prosječan broj poruka u redu do komunikacijske grane;

L syst - prosječan ukupan broj poruka u redu i poslanih duž komunikacijske grane;

T och - prosječno vrijeme zadržavanja poruke u redu čekanja;

T syst je prosječno ukupno vrijeme koje poruka ostaje u sistemu, što je zbir prosječnog vremena čekanja u redu čekanja i prosječnog vremena prijenosa;

Rzan je vjerovatnoća da je komunikacioni kanal zauzet (relativni faktor opterećenja kanala);

Q - relativni kapacitet internodalne grane;

A - apsolutni kapacitet internodalne grane

6. Dat je jednoredni QS s neograničenom pohranom u redu čekanja. Prijave se primaju svakih t = 13 sekundi. Prosječno vrijeme za prijenos jedne poruke

t=10 sekundi. Poruke koje stignu u vrijeme kada je kanal za serviranje zauzet primaju se u red čekanja bez napuštanja prije početka servisiranja.

Odredite sljedeće pokazatelje učinka:

L och - prosječan broj poruka u redu čekanja

L sistem - prosječan ukupan broj poruka u redu i poslanih duž komunikacijske grane

T och - prosječno vrijeme koje poruka ostaje u redu prije početka prijenosa

T syst - prosječno ukupno vrijeme koje poruka ostaje u sistemu, a sastoji se od prosječnog vremena čekanja u redu čekanja i prosječnog vremena prijenosa

Rzan - vjerovatnoća zauzetosti (relativni koeficijent opterećenja kanala c)

Q - relativna propusnost

A - apsolutna propusnost

7. Specijalizovana dijagnostička stanica je jednokanalni QS. Broj parkinga za automobile koji čekaju dijagnostiku je ograničen i jednak je 3 [(N - 1) = 3]. Ako su sva parking mjesta zauzeta, odnosno već su tri automobila u redu, onda sljedeći automobil koji stigne na dijagnostiku neće biti stavljen u red za servis. Protok automobila koji pristižu na dijagnostiku distribuiran je prema Poissonovom zakonu i ima intenzitet = 0,85 (automobila na sat). Vrijeme dijagnostike vozila je raspoređeno prema eksponencijalnom zakonu i u prosjeku iznosi 1,05 sati.

Potrebno je odrediti vjerovatnoće karakteristike dijagnostičke stanice koja radi u stacionarnom režimu: P 0 , P 1 , P 2 , P 3 , P 4 , P otvoren, q,A, L och, L sys, T och, T sys

LEKCIJA 4

Višekanalni QS sa čekanjem, sa čekanjem i ograničenom dužinom čekanja

Razmotrimo višekanalni sistem čekanja sa čekanjem. Ovaj tip QS se često koristi kada se modeliraju grupe LAN pretplatničkih terminala koji rade u interaktivnom načinu rada. Proces čekanja karakteriše sledeće: ulazni i izlazni tokovi su Poissonovi sa intenzitetima i, respektivno; ne može se paralelno opsluživati ​​više od n klijenata. Sistem ima n servisnih kanala. Prosečno trajanje usluge za jednog klijenta je 1/m za svaki kanal. Ovaj sistem se takođe odnosi na proces smrti i reprodukcije.

c=l/nm - odnos intenziteta dolaznog toka i ukupnog intenziteta usluge, je faktor opterećenja sistema

(Sa<1). Существует стационарное распределение числа запросов в рассматриваемой системе. При этом вероятности состояний Р к определяются:

gdje je P 0 vjerovatnoća da su svi kanali slobodni sa neograničenim redom, k je broj zahtjeva.

ako uzmemo c = l / m, tada se P 0 može odrediti za neograničeni red:

Za ograničeni red:

gdje je m dužina reda

Sa neograničenim redom:

Relativni kapacitet q=1,

Apsolutni kapacitet A=l,

Prosječan broj zauzetih kanala Z=A/m

Sa ograničenim redom

1 Internodna grana sekundarne komunikacione mreže ima n = 4 kanala. Protok poruka koje stižu na prenos kroz kanale komunikacijskih grana ima intenzitet = 8 poruka u sekundi. Prosječno vrijeme t = 0,1 za prijenos jedne poruke po svakom komunikacijskom kanalu je t/n = 0,025 sekundi. Vrijeme čekanja na poruke u redu čekanja je neograničeno. Pronađite karakteristike SMO:

P otvoren - vjerovatnoća neuspjeha u prijenosu poruke;

Q je relativni kapacitet komunikacijske grane;

A je apsolutna propusnost komunikacijske grane;

Z - prosječan broj zauzetih kanala;

L och - prosječan broj poruka u redu čekanja;

T = prosječno vrijeme čekanja;

T syst - prosječno ukupno vrijeme zadržavanja poruka u redu čekanja i prijenosa duž komunikacijske grane.

2. Mašinska radionica pogona sa tri stupa (kanala) vrši popravke male mehanizacije. Protok neispravnih mehanizama koji pristižu u radionicu je Poisson i ima intenzitet = 2,5 mehanizama dnevno, prosječno vrijeme popravke za jedan mehanizam je raspoređeno po eksponencijalnom zakonu i jednako je = 0,5 dana. Pretpostavimo da u fabrici nema druge radionice, pa stoga red mehanizama ispred radionice može rasti gotovo neograničeno. Potrebno je izračunati sljedeće granične vrijednosti vjerojatnosnih karakteristika sistema:

Vjerojatnosti stanja sistema;

Prosječan broj aplikacija u redu za uslugu;

Prosječan broj aplikacija u sistemu;

Prosječna dužina vremena dok aplikacija ostaje u redu čekanja;

Prosječno trajanje boravka aplikacije u sistemu.

3. Internodalna grana sekundarne komunikacione mreže ima n=3 kanala. Protok poruka koje stižu na prenos kroz kanale komunikacijskih grana ima intenzitet l = 5 poruka u sekundi. Prosječno vrijeme prijenosa jedne poruke je t=0,1, t/n=0,033 s. Skladištenje u redu poruka koje čekaju prijenos može sadržavati do m= 2 poruke. Poruka koja stigne u vrijeme kada su sva mjesta u redu zauzeta prima neuspjeh prijenosa duž komunikacijske grane. Pronađite karakteristike QS-a: P open - vjerovatnoća neuspjeha u prijenosu poruke, Q - relativna propusnost, A - apsolutna propusnost, Z - prosječan broj zauzetih kanala, L och - prosječan broj poruka u redu, T so - prosječno čekanje vrijeme, T sistem - prosječno ukupno vrijeme koje poruka ostaje u redu čekanja i prenosi se duž komunikacijske grane.

LEKCIJA 5

Zatvoren QS

Razmotrimo model servisiranja flote mašina, koji je model zatvorenog sistema čekanja. Do sada smo razmatrali samo sisteme čekanja kod kojih intenzitet dolaznog toka zahteva ne zavisi od stanja sistema. U ovom slučaju, izvor zahtjeva je vanjski u odnosu na QS i generiše neograničen tok zahtjeva. Razmotrimo sisteme čekanja za koje zavisi od stanja sistema, a izvor zahteva je interni i generiše ograničen tok zahteva. Na primjer, mašinski park koji se sastoji od N mašina servisira tim R mehaničara (N > R), a svaku mašinu može servisirati samo jedan mehaničar. Ovdje su mašine izvori zahtjeva (zahtjeva za servis), a mehaničari su servisni kanali. Neispravna mašina se nakon servisiranja koristi za predviđenu svrhu i postaje potencijalni izvor servisnih zahtjeva. Očigledno, intenzitet zavisi od toga koliko mašina trenutno radi (N - k) i koliko mašina se servisira ili stoji u redu čekajući servis (k). U modelu koji se razmatra, kapacitet izvora zahtjeva treba smatrati ograničenim. Dolazni tok zahtjeva dolazi od ograničenog broja mašina koje rade (N - k), koje se u nasumično vrijeme pokvare i zahtijevaju održavanje. Štaviše, svaka mašina iz (N - k) je u funkciji. Generiše Poissonov tok zahtjeva sa intenzitetom X bez obzira na druge objekte, ukupni (ukupni) dolazni tok ima intenzitet. Zahtjev koji uđe u sistem kada je barem jedan kanal slobodan se odmah obrađuje. Ako zahtjev nađe da su svi kanali zauzeti servisiranjem drugih zahtjeva, onda on ne napušta sistem, već ulazi u red čekanja i čeka dok se jedan od kanala ne oslobodi. Tako se u zatvorenom sistemu čekanja formira ulazni tok zahtjeva iz odlaznog. Stanje sistema S k karakterizira ukupan broj zahtjeva koji se servisiraju i nalaze u redu jednakim k. Za zatvoreni sistem koji se razmatra, očigledno, k = 0, 1, 2, ... , N. Štaviše, ako je sistem u stanju S k, tada je broj objekata u radu jednak (N - k) . Ako je intenzitet toka zahteva po mašini, onda:

Sistem algebarskih jednadžbi koji opisuju rad QS zatvorene petlje u stacionarnom modu je sljedeći:

Rješavajući ovaj sistem, nalazimo vjerovatnoću k-tog stanja:

Vrijednost P 0 se određuje iz uslova normalizacije rezultata dobijenih pomoću formula za P k , k = 0, 1, 2, ... , N. Odredimo sljedeće vjerovatnoće karakteristike sistema:

Prosječan broj zahtjeva u redu za uslugu:

Prosječan broj zahtjeva u sistemu (usluživanje i čekanje)

prosječan broj mehaničara (kanala) „u praznom hodu“ zbog nedostatka posla

Odnos neaktivnosti servisiranog objekta (mašine) u redu čekanja

Stopa iskorištenosti objekata (mašina)

Odnos zastoja servisnih kanala (mehanika)

Prosječno vrijeme čekanja na uslugu (vrijeme čekanja na uslugu u redu čekanja)

Zatvoren QS problem

1. Neka dva inženjera jednake produktivnosti budu raspoređena na servis deset personalnih računara (PC). Tok kvarova (kvarova) jednog računara je Poisson sa intenzitetom = 0,2. Vrijeme održavanja PC-a je podložno eksponencijalnom zakonu. Prosečno vreme za servisiranje jednog računara od strane jednog inženjera je: = 1,25 sati. Moguće su sljedeće opcije organizacije servisa:

Oba inženjera servisiraju svih deset računara, pa ako PC pokvari, servisira ga jedan od slobodnih inženjera, u ovom slučaju R = 2, N = 10;

Svaki od dva inženjera održava pet računara koji su mu dodeljeni. U ovom slučaju R = 1, N = 5.

Potrebno je izabrati najbolju opciju za organizaciju održavanja računara.

Potrebno je odrediti sve vjerovatnoće stanja P k: P 1 - P 10, uzimajući u obzir da koristeći rezultate izračunavanja P k izračunavamo P 0

LEKCIJA 6

Proračun prometa.

Teorija teleprometa je dio teorije čekanja. Osnove teorije telesaobraćaja postavio je danski naučnik A.K. Erlang. Radovi su mu objavljeni 1909-1928. Hajde da damo važne definicije koje se koriste u teoriji telesaobraćaja (TT). Izraz “saobraćaj” odgovara terminu “telefonsko opterećenje”. Ovo se odnosi na opterećenje stvoreno protokom poziva, zahtjeva i poruka koje pristižu na ulaze QS-a. Obim saobraćaja je količina ukupnog, integralnog vremenskog intervala koji je propustio jedan ili drugi resurs tokom kojeg je ovaj resurs bio zauzet tokom analiziranog vremenskog perioda. Jedinica rada se može smatrati drugim zanimanjem resursa. Ponekad možete pročitati oko sat vremena rada, a ponekad samo nekoliko sekundi ili sati. Međutim, ITU preporuke daju dimenziju obima saobraćaja u erlango satima. Da bismo razumjeli značenje takve mjerne jedinice, moramo uzeti u obzir još jedan parametar saobraćaja - intenzitet saobraćaja. U ovom slučaju se često govori o prosječnom intenzitetu prometa (opterećenja) na određenom datom skupu (skupu) resursa. Ako je u svakom trenutku vremena t iz datog intervala (t 1,t 2) broj resursa iz datog skupa zauzetih servisiranjem saobraćaja jednak A(t), tada će prosječni intenzitet saobraćaja biti

Vrijednost intenziteta saobraćaja karakteriše se kao prosječan broj resursa koje opslužuje saobraćaj u datom vremenskom intervalu. Jedinica za mjerenje intenziteta opterećenja je jedan Erlang (1 Erl, 1 E), tj. 1 Erlang je takav intenzitet saobraćaja koji zahtijeva punu zaposlenost jednog resursa, ili, drugim riječima, pri kojem resurs obavlja posao vrijedan jedne sekunde zanimanja u jednoj sekundi. U američkoj literaturi ponekad možete pronaći drugu mjernu jedinicu koja se zove CCS-Centrum (ili stotinu) poziva u sekundi. CCS broj odražava vrijeme zauzetosti servera u intervalima od 100 sekundi po satu. Intenzitet izmjeren u CCS može se pretvoriti u Erlang koristeći formulu 36CCS=1 Erl.

Promet koji generiše jedan izvor i izražen u satima zauzetosti jednak je proizvodu broja pokušaja poziva c u određenom vremenskom intervalu T i prosječnog trajanja jednog pokušaja t: y = c t (h-z). Promet se može izračunati na tri različita načina:

1) neka broj poziva c po satu bude 1800, a prosečno trajanje sesije t = 3 minuta, tada Y = 1800 poziva. /h. 0,05 h = 90 Earl;

2) neka su trajanja t i svih n zauzetosti izlaza određenog paketa fiksna za vrijeme T, tada se promet određuje na sljedeći način:

3) neka se prati broj istovremeno zauzetih izlaza određenog snopa u jednakim intervalima tokom vremena T, a na osnovu rezultata posmatranja konstruiše se stepenasta funkcija vremena x(t) (slika 8).

Slika 8. Uzorci simultano zauzetih izlaza zraka

Saobraćaj tokom vremena T može se procijeniti kao prosječna vrijednost x(t) tokom tog vremena:

gdje je n broj uzoraka istovremeno zauzetih izlaza. Vrijednost Y je prosječan broj istovremeno zauzetih izlaza zraka tokom vremena T.

Prometne fluktuacije. Saobraćaj na sekundarnim telefonskim mrežama značajno varira tokom vremena. Tokom radnog dana, kriva saobraćaja ima dva ili čak tri špica (slika 9).

Slika 9. Prometne fluktuacije tokom dana

Sat u danu tokom kojeg je promet posmatran u dužem vremenskom periodu najznačajniji naziva se najprometniji sat (BHH). Poznavanje saobraćaja u CNN-u je fundamentalno važno, jer određuje broj kanala (linija), obim opreme stanica i čvorova. Saobraćaj istog dana u sedmici ima sezonske varijacije. Ako je dan u sedmici predpraznični, tada je NNN ovog dana veća od dana nakon praznika. Kako se povećava broj usluga koje mreža podržava, raste i promet. Stoga je problematično sa dovoljno pouzdanosti predvidjeti pojavu prometnih špica. Mrežna administracija i projektantske organizacije pomno prate saobraćaj. Pravila mjerenja saobraćaja razvila je ITU-T i koriste ih nacionalne mrežne administracije kako bi ispunile zahtjeve za kvalitetom usluge i za pretplatnike njihove mreže i za pretplatnike drugih mreža povezanih na nju. Teorija teleprometa se može koristiti za praktične proračune gubitaka ili zapremine opreme stanice (čvora) samo ako je saobraćaj stacioniran (statistički stabilan). Ovaj uslov je približno zadovoljen sa prometom u CHNN-u. Količina opterećenja koja dnevno ulazi u automatsku telefonsku centralu utiče na prevenciju i popravku opreme. Neravnomjernost opterećenja koja ulazi u stanicu tokom dana određena je koeficijentom koncentracije

Strožija definicija NNN-a je napravljena na sljedeći način. Preporuka ITU-a E.500 zahtijeva analizu podataka o intenzitetu za 12 mjeseci, odabir 30 najprometnijih dana, pronalaženje najprometnijih sati tih dana i usrednjavanje mjerenja intenziteta u ovim intervalima. Ovaj proračun intenziteta saobraćaja (opterećenja) naziva se normalnom procjenom intenziteta saobraćaja u CHN ili nivou A. Stroža procjena se može izračunati u prosjeku za 5 najprometnijih dana odabranog 30-dnevnog perioda. Ova ocjena se zove povećana ocjena ili ocjena na nivou B.

Proces stvaranja saobraćaja. Kao što svaki korisnik telefonske mreže zna, nisu svi pokušaji uspostavljanja veze sa pozvanim pretplatnikom uspješni. Ponekad morate napraviti nekoliko neuspješnih pokušaja prije nego što se uspostavi željena veza.

Slika 10. Dijagram događaja prilikom uspostavljanja veze između pretplatnika

Razmotrimo moguće događaje prilikom simulacije uspostavljanja veze između pretplatnika A i B (slika 10). Statistika poziva u telefonskim mrežama je sljedeća: udio obavljenih razgovora je 70-50%, udio neuspjelih poziva je 30-50%. Svaki pokušaj pretplatnika uzima QS ulaz. Kod uspješnih pokušaja (kada je razgovor obavljen), vrijeme zauzetosti sklopnih uređaja koji uspostavljaju veze između ulaza i izlaza je duže nego kod neuspješnih pokušaja. Pretplatnik može u bilo kojem trenutku prekinuti pokušaje uspostavljanja veze. Ponovni pokušaji mogu biti uzrokovani sljedećim razlozima:

Broj je pogrešno pozvan;

Pretpostavka greške u mreži;

Stepen hitnosti razgovora;

Neuspjeli prethodni pokušaji;

Poznavanje navika pretplatnika B;

Sumnjate u ispravno biranje broja.

Ponovni pokušaj se može izvršiti ovisno o sljedećim okolnostima:

Stepen hitnosti;

Procjena razloga neuspjeha;

Procjenjujući izvodljivost ponavljanja pokušaja,

Procjene prihvatljivog intervala između pokušaja.

Neuspjeh u ponovnom pokušaju može biti posljedica male hitnosti. Postoji nekoliko tipova saobraćaja koji generišu pozivi: dolazni (predloženi) Y n i propušteni Y n. Promet Y n uključuje sve uspješne i neuspješne pokušaje, promet Y n, koji je dio Y n, uključuje uspješne i neke neuspješne pokušaje:

Y pr = Y r + Y np,

gdje je Y p konverzacijski (korisni) promet, a Y np promet generiran neuspjelim pokušajima. Jednakost Y p = Y p moguća je samo u idealnom slučaju ako nema gubitaka, grešaka pozivnih pretplatnika i odgovora pozvanih pretplatnika.

Razlika između dolaznog i prenesenog opterećenja tokom određenog vremenskog perioda biće izgubljeno opterećenje.

Predviđanje saobraćaja. Ograničeni resursi dovode do potrebe za postepenim širenjem stanice i mreže. Administracija mreže predviđa povećanje prometa u fazi razvoja, uzimajući u obzir da:

Prihod je određen dijelom prenesenog saobraćaja Y p, - troškovi su određeni kvalitetom usluge sa najvećim prometom;

Veliki udio gubitaka (niskog kvaliteta) javlja se u rijetkim slučajevima i tipičan je za kraj razvojnog perioda;

Najveći obim propuštenog saobraćaja javlja se u periodima kada praktički nema gubitaka - ako su gubici manji od 10%, onda pretplatnici ne reaguju na njih. Prilikom planiranja razvoja stanica i mreže, projektant mora odgovoriti na pitanje koji su zahtjevi za kvalitetom pružanja usluge (gubici). Da biste to učinili, potrebno je izmjeriti gubitke u saobraćaju prema pravilima koja su usvojena u zemlji.

Primjer mjerenja prometa.

Prvo, pogledajmo kako možete prikazati rad QS-a koji ima nekoliko resursa koji istovremeno opslužuju određeni promet. Dalje ćemo govoriti o takvim resursima kao što su serveri koji služe protoku aplikacija ili zahtjeva. Jedan od najvizuelnijih i najčešće korišćenih načina da se prikaže proces servisiranja zahteva od strane skupa servera je Ganttov grafikon. Ovaj dijagram je pravougaoni koordinatni sistem sa x-osom koja prikazuje vreme i y-osom koja označava diskretne tačke koje odgovaraju serverima bazena. Slika 11 prikazuje Ganttov grafikon za sistem sa tri servera.

U prva tri vremenska intervala (računamo ih kao sekundu) prvi i treći server su zauzeti, sljedeće dvije sekunde - samo treći, zatim drugi radi jednu sekundu, zatim drugi i prvi dvije sekunde , a posljednje dvije sekunde - samo prva.

Konstruisani dijagram vam omogućava da izračunate obim saobraćaja i njegov intenzitet. Dijagram prikazuje samo usluženi ili propušteni promet, jer ne govori ništa o tome da li su u sistem ušli zahtjevi koje serveri nisu mogli servisirati.

Obim pređenog saobraćaja izračunava se kao ukupna dužina svih segmenata Ganttograma. Jačina zvuka za 10 sekundi:

Svakom vremenskom intervalu, iscrtanom na apscisi, povezujemo cijeli broj jednak broju servera koji su zauzeti u ovom jediničnom intervalu. Ova vrijednost A(t) je trenutni intenzitet. Za naš primjer

A(t)= (2, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1)

Nađimo sada prosječan intenzitet saobraćaja u periodu od 10 sekundi

Dakle, prosječan intenzitet saobraćaja koji propušta sistem od tri razmatrana servera iznosi 1,5 Erl.

Osnovni parametri opterećenja

Telefonske komunikacije koriste različite kategorije pretplatnika koje karakteriziraju:

broj izvora opterećenja - N,

prosječan broj poziva sa jednog izvora tokom određenog vremena (NNN obično) - c,

prosječno trajanje jedne sesije komutacionog sistema pri servisiranju jednog poziva je t.

Intenzitet opterećenja će biti

Hajde da identifikujemo različite izvore poziva. Na primjer,

Prosječan broj poziva prema CHN-u sa jednog kancelarijskog telefona;

Prosječan broj poziva sa jednog individualnog apartmanskog telefona; nasumični događaj masovne usluge telepromet

sa brojanjem - isto sa aparata za kolektivnu upotrebu;

sa ma - isto iz jedne kovanice;

sa sl - isto sa jedne spojne linije.

Zatim prosječan broj poziva sa jednog izvora:

Postoje približni podaci za prosječan broj poziva iz jednog izvora odgovarajuće kategorije:

3,5 - 5, =0,5 - 1, sa brojanjem = 1,5 - 2, sa ma =15 - 30, sa sl =10 - 30.

Postoje sljedeće vrste veza koje, ovisno o ishodu veze, stvaraju različita telefonska opterećenja na stanici:

k r - koeficijent koji pokazuje udio veza koje su završile razgovorom;

k z - veze koje nisu završile razgovorom zbog zauzetosti pozvanog pretplatnika;

k ali - koeficijent koji izražava udio veza koje nisu završile razgovorom zbog neodaziva pozvanog pretplatnika;

k osh - veze koje nisu završile razgovorom zbog grešaka pozivaoca;

k oni - pozivi koji nisu završili razgovorom iz tehničkih razloga.

Tokom normalnog rada mreže, vrijednosti ovih koeficijenata su jednake:

k p =0,60-0,75; k z =0,12-0,15; k ali =0,08-0,12; k osh =0,02-0,05; k one =0,005-0,01.

Prosečno trajanje sesije zavisi od vrste veza. Na primjer, ako je veza završila razgovorom, prosječno trajanje t stanja zauzetosti uređaja će biti jednako

gdje je trajanje uspostavljanja veze;

t comp. - razgovor koji je održan;

t in - trajanje slanja poziva na telefon pozvanog pretplatnika;

t r - trajanje razgovora

gdje je t co signal odgovora stanice;

1.5n - vrijeme za biranje broja pozvanog pretplatnika (n - broj karaktera u broju);

t s je vrijeme potrebno za uspostavljanje veze prebacivanjem mehanizama i prekid veze nakon završetka razgovora. Približne vrijednosti razmatranih količina:

t co = 3 sek., t c = 1-2,5 sek., t b = 8-10 sek., t p = 90-130 sek.

Pozivi koji se ne završavaju razgovorom također stvaraju opterećenje telefona.

Prosječno vrijeme zauzimanja uređaja kada je pozvani pretplatnik zauzet je

gdje t instalacijski priključak određeno (4.2.3)

t zz - vrijeme slušanja zujalice zauzeto, t zz =6 sek.

Prosječno trajanje zauzetosti uređaja kada se pozvani pretplatnik ne javlja je

gdje je t pv - vrijeme slušanja povratnog signala, t pv = 20 sek.

Ako nije bilo razgovora zbog grešaka pretplatnika, tada u prosjeku t osh = 30 sek.

Ne utvrđuje se trajanje nastave koja iz tehničkih razloga nije završila razgovorom, jer je procenat takvih časova mali.

Iz svega navedenog proizilazi da je ukupno opterećenje koje stvara grupa izvora iza CNN-a jednako zbroju opterećenja pojedinih vrsta aktivnosti.

gdje je koeficijent koji uzima u obzir uslove kao dionice

Na telefonskoj mreži sa sedmocifrenim numerisanjem projektovana je automatska telefonska centrala čiji je strukturni sastav pretplatnika sledeći:

N račun = 4000, N ind = 1000, N broj = 2000, N ma = 400, N sl = 400.

Prosječan broj primljenih poziva od jednog izvora u CHNN je jednak

Koristeći formule (4.2.3) i (4.2.6) nalazimo opterećenje

1.10.62826767 sek = 785,2 Hz.

Prosječno trajanje časa t iz formule Y=Nct

t= Y/Nc= 2826767/7800*3,8=95,4 sek.

Učitaj zadatak

1. Na telefonskoj mreži sa sedmocifrenim numerisanjem projektovana je automatska telefonska centrala, čiji je strukturni sastav pretplatnika sledeći:

N uhr =5000, Nind=1500, N broj =3000, N ma =500, N sl =500.

Odrediti opterećenje koje stiže na stanicu - Y, prosječno trajanje zauzetosti t, ako je poznato da

sa ind =4, sa ind =1, sa brojanjem =2, sa ma =10, sa sl =12, t r =120 sek., t in =10 sek., k r =0,6, t s =1 sek., =1,1 .

Objavljeno na Allbest.ru

Slični dokumenti

Koncept ravnomjerno raspoređene slučajne varijable. Multiplikativna kongruentna metoda. Modeliranje kontinuiranih slučajnih varijabli i diskretnih distribucija. Algoritam za simulaciju ekonomskih odnosa između zajmodavca i zajmoprimca.

kurs, dodan 03.01.2011


Opći koncepti teorije čekanja. Karakteristike modeliranja sistema čekanja. Grafovi stanja QS sistema, jednačine koje ih opisuju. Opće karakteristike tipova modela. Analiza sistema čekanja u supermarketima.

kurs, dodan 17.11.2009


Elementi teorije čekanja. Matematičko modeliranje sistema čekanja, njihova klasifikacija. Simulacijsko modeliranje sistema čekanja. Praktična primjena teorije, rješavanje problema matematičkim metodama.

kurs, dodan 04.05.2011


Koncept slučajnog procesa. Problemi teorije čekanja. Klasifikacija sistema čekanja (QS). Vjerovatni matematički model. Utjecaj nasumičnih faktora na ponašanje objekta. Jednokanalni i višekanalni QS sa čekanjem.

kurs, dodan 25.09.2014


Proučavanje teorijskih aspekata efikasne konstrukcije i rada sistema čekanja, njegovih glavnih elemenata, klasifikacije, karakteristika i operativne efikasnosti. Modeliranje sistema čekanja koristeći GPSS jezik.

kurs, dodan 24.09.2010


Razvoj teorije dinamičkog programiranja, planiranja mreže i upravljanja proizvodnjom proizvoda. Komponente teorije igara u problemima modeliranja ekonomskih procesa. Elementi praktične primjene teorije čekanja.

praktični rad, dodato 08.01.2011


Elementarni pojmovi o slučajnim događajima, količinama i funkcijama. Numeričke karakteristike slučajnih varijabli. Vrste asimetrije distribucije. Statistička procjena distribucije slučajnih varijabli. Rješavanje problema strukturno-parametarske identifikacije.

kurs, dodan 06.03.2012


Modeliranje procesa čekanja. Različite vrste kanala čekanja. Rješenje jednokanalnog modela čekanja sa kvarovima. Gustina distribucije trajanja usluge. Određivanje apsolutne propusnosti.

test, dodano 15.03.2016


Funkcionalne karakteristike sistema čekanja u oblasti drumskog saobraćaja, njegova struktura i glavni elementi. Kvantitativni pokazatelji kvaliteta funkcionisanja sistema čekanja, redosled i glavne faze njihovog utvrđivanja.

laboratorijski rad, dodano 11.03.2011


Postavljanje cilja modeliranja. Identifikacija stvarnih objekata. Odabir tipa modela i matematičke šeme. Konstrukcija kontinuirano-stohastičkog modela. Osnovni koncepti teorije čekanja. Definicija toka događaja. Postavljanje algoritama.