Istraživanje funkcije i crtanje grafa sa detaljnim rješenjem. Puna funkcija istraživanja i crtanja

Za potpunu studiju funkcije i crtanje njenog grafa, preporučuje se korištenje sljedeće sheme:

1) pronaći obim funkcije;

2) naći tačke diskontinuiteta funkcije i vertikalne asimptote (ako postoje);

3) istražiti ponašanje funkcije u beskonačnosti, pronaći horizontalne i kose asimptote;

4) istražiti funkciju za parnost (neparnost) i za periodičnost (za trigonometrijske funkcije);

5) naći ekstreme i intervale monotonosti funkcije;

6) određuje intervale konveksnosti i pregibnih tačaka;

7) pronaći tačke preseka sa koordinatnim osama, ako je moguće, i neke dodatne tačke koje preciziraju graf.

Proučavanje funkcije vrši se istovremeno sa konstrukcijom njenog grafa.

Primjer 9 Istražite funkciju i napravite graf.

1. Domen definicije: ;

2. Funkcija se prekida u tačkama
,
;

Istražujemo funkciju prisutnosti vertikalnih asimptota.

;
,
─ vertikalna asimptota.

;
,
─ vertikalna asimptota.

3. Istražujemo funkciju prisutnosti kosih i horizontalnih asimptota.

Pravo
─ kosa asimptota, ako
,
.

,
.

Pravo
─ horizontalna asimptota.

4. Funkcija je čak jer
. Parnost funkcije ukazuje na simetriju grafa u odnosu na y-osu.

5. Naći intervale monotonosti i ekstreme funkcije.

Nađimo kritične tačke, tj. tačke u kojima je izvod 0 ili ne postoji:
;
. Imamo tri boda
;

. Ove tačke dijele cijelu realnu osu na četiri intervala. Hajde da definišemo znakove na svakom od njih.

Na intervalima (-∞; -1) i (-1; 0) funkcija raste, na intervalima (0; 1) i (1; +∞) opada. Prilikom prolaska kroz tačku
derivacija mijenja predznak iz plusa u minus, stoga u ovom trenutku funkcija ima maksimum
.

6. Nađimo intervale konveksnosti, tačke pregiba.

Hajde da nađemo tačke gde je 0 ili ne postoji.

nema prave korene.
,
,

bodova
I
podijeliti realnu osu na tri intervala. Hajde da definišemo znak u svakom intervalu.

Dakle, kriva na intervalima
I
konveksan prema dole, na intervalu (-1;1) konveksan prema gore; nema pregibnih tačaka, budući da je funkcija u tačkama
I
nije utvrđeno.

7. Nađite tačke preseka sa osama.

sa osovinom
graf funkcije siječe se u tački (0; -1) i sa osom
graf se ne siječe, jer brojilac ove funkcije nema pravi korijen.

Grafikon date funkcije prikazan je na slici 1.

Slika 1 ─ Grafikon funkcije

Primjena koncepta derivata u ekonomiji. Funkcija elastičnosti

Za proučavanje ekonomskih procesa i rješavanje drugih primijenjenih problema često se koristi koncept elastičnosti funkcije.

Definicija. Funkcija elastičnosti
naziva se granica omjera relativnog priraštaja funkcije na relativni prirast varijable at
, . (VII)

Elastičnost funkcije pokazuje za koliko procenata će se funkcija promijeniti
pri promeni nezavisne varijable za 1%.

Elastičnost funkcije se koristi u analizi potražnje i potrošnje. Ako je elastičnost potražnje (u apsolutnoj vrijednosti)
, tada se potražnja smatra elastičnom ako
─ neutralno ako
─ neelastična u odnosu na cijenu (ili prihod).

Primjer 10 Izračunajte elastičnost funkcije
i pronađite vrijednost indeksa elastičnosti za = 3.

Rješenje: prema formuli (VII) elastičnost funkcije:

Neka je onda x=3
To znači da ako se nezavisna varijabla poveća za 1%, onda će vrijednost zavisne varijable porasti za 1,42%.

Primjer 11 Neka potražnja funkcionira u vezi cijene ima oblik
, gdje ─ konstantni koeficijent. Odrediti vrijednost indeksa elastičnosti funkcije tražnje po cijeni x = 3 den. jedinice

Rješenje: izračunajte elastičnost funkcije potražnje koristeći formulu (VII)

Pretpostavljam
novčane jedinice, dobijamo
. To znači da po cijeni
novčana jedinica povećanje cijene od 1% će uzrokovati smanjenje potražnje za 6%, tj. potražnja je elastična.

Danas vas pozivamo da s nama istražite i nacrtate graf funkcije. Nakon pažljivog proučavanja ovog članka, nećete se morati dugo znojiti da izvršite ovakav zadatak. Nije lako istražiti i izgraditi graf funkcije, posao je obiman, zahtijeva maksimalnu pažnju i tačnost proračuna. Da bismo olakšali percepciju materijala, postupno ćemo proučavati istu funkciju, objasniti sve naše radnje i proračune. Dobrodošli u neverovatan i fascinantan svet matematike! Idi!

Domain

Da biste istražili i nacrtali funkciju, morate znati nekoliko definicija. Funkcija je jedan od osnovnih (osnovnih) pojmova u matematici. Odražava zavisnost između nekoliko varijabli (dvije, tri ili više) s promjenama. Funkcija također pokazuje ovisnost skupova.

Zamislite da imamo dvije varijable koje imaju određeni raspon promjena. Dakle, y je funkcija od x, pod uslovom da svaka vrijednost druge varijable odgovara jednoj vrijednosti druge. U ovom slučaju, varijabla y je zavisna i naziva se funkcija. Uobičajeno je reći da su varijable x i y u Radi veće jasnoće ove zavisnosti, gradi se graf funkcije. Šta je graf funkcije? Ovo je skup tačaka na koordinatnoj ravni, gdje svaka vrijednost x odgovara jednoj vrijednosti y. Grafovi mogu biti različiti - ravna linija, hiperbola, parabola, sinusoida i tako dalje.

Funkcijski graf se ne može nacrtati bez istraživanja. Danas ćemo naučiti kako provesti istraživanje i nacrtati graf funkcije. Veoma je važno praviti bilješke tokom učenja. Tako će biti mnogo lakše nositi se sa zadatkom. Najpovoljniji plan učenja:

  1. Domain.
  2. Kontinuitet.
  3. Parno ili neparno.
  4. Periodičnost.
  5. Asimptote.
  6. Nule.
  7. Konstantnost.
  8. Uzlazno i ​​silazno.
  9. Ekstremi.
  10. Konveksnost i konkavnost.

Počnimo s prvom tačkom. Nađimo domenu definicije, odnosno na kojim intervalima postoji naša funkcija: y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). U našem slučaju, funkcija postoji za bilo koju vrijednost x, odnosno domen definicije je R. Ovo se može napisati kao xOR.

Kontinuitet

Sada ćemo istražiti funkciju diskontinuiteta. U matematici se termin "kontinuitet" pojavio kao rezultat proučavanja zakona kretanja. Šta je beskonačno? Prostor, vrijeme, neke ovisnosti (primjer je ovisnost varijabli S i t u problemima kretanja), temperatura zagrijanog predmeta (voda, tiganj, termometar i sl.), neprekidna linija (tj. koji se može nacrtati bez skidanja sa olovke).

Graf se smatra kontinuiranim ako se u nekom trenutku ne prekida. Jedan od najočitijih primjera takvog grafa je sinusni val, koji možete vidjeti na slici u ovom dijelu. Funkcija je kontinuirana u nekoj tački x0 ako je ispunjen niz uslova:

  • funkcija je definirana u datoj tački;
  • desna i lijeva granica u tački su jednake;
  • granica je jednaka vrijednosti funkcije u tački x0.

Ako barem jedan uvjet nije ispunjen, kaže se da funkcija prekida. A tačke u kojima se funkcija prekida nazivaju se tačke prekida. Primjer funkcije koja će se “pokvariti” kada se prikaže grafički je: y=(x+4)/(x-3). Štaviše, y ne postoji u tački x = 3 (pošto je nemoguće podijeliti sa nulom).

U funkciji koju proučavamo (y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) sve se pokazalo jednostavnim, jer će graf biti kontinuiran.

Čak i čudno

Sada ispitajte funkciju za paritet. Počnimo s malo teorije. Parna funkcija je funkcija koja zadovoljava uvjet f (-x) = f (x) za bilo koju vrijednost varijable x (iz raspona vrijednosti). Primjeri su:

  • modul x (graf izgleda kao čavka, simetrala prve i druge četvrtine grafa);
  • x na kvadrat (parabola);
  • kosinus x (kosinusni talas).

Imajte na umu da su svi ovi grafovi simetrični kada se gledaju u odnosu na y-osu.

Šta se onda zove neparna funkcija? To su one funkcije koje zadovoljavaju uvjet: f (-x) \u003d - f (x) za bilo koju vrijednost varijable x. primjeri:

  • hiperbola;
  • kubna parabola;
  • sinusoida;
  • tangenta i tako dalje.

Imajte na umu da su ove funkcije simetrične u odnosu na tačku (0:0), odnosno ishodište. Na osnovu onoga što je rečeno u ovom dijelu članka, parna i neparna funkcija moraju imati svojstvo: x pripada skupu definicija i -x također.

Hajde da ispitamo funkciju za paritet. Vidimo da ona ne odgovara nijednom od opisa. Dakle, naša funkcija nije ni parna ni neparna.

Asimptote

Počnimo s definicijom. Asimptota je kriva koja je što je moguće bliža grafu, odnosno udaljenost od neke tačke teži nuli. Postoje tri vrste asimptota:

  • vertikalno, odnosno paralelno sa y osom;
  • horizontalno, tj. paralelno sa x-osom;
  • koso.

Što se tiče prvog tipa, ove linije treba tražiti u nekim tačkama:

  • jaz;
  • krajeve domena.

U našem slučaju, funkcija je kontinuirana, a domen definicije je R. Dakle, ne postoje vertikalne asimptote.

Graf funkcije ima horizontalnu asimptotu, koja ispunjava sljedeći zahtjev: ako x teži beskonačnosti ili minus beskonačnost, a granica je jednaka određenom broju (na primjer, a). U ovom slučaju, y=a je horizontalna asimptota. U funkciji koju proučavamo nema horizontalnih asimptota.

Kosa asimptota postoji samo ako su ispunjena dva uslova:

  • lim(f(x))/x=k;
  • lim f(x)-kx=b.

Tada se može naći po formuli: y=kx+b. Opet, u našem slučaju nema kosih asimptota.

Funkcija nule

Sljedeći korak je ispitivanje grafika funkcije za nule. Također je vrlo važno napomenuti da se zadatak vezan za pronalaženje nula funkcije javlja ne samo u proučavanju i konstrukciji grafa funkcije, već i kao samostalan zadatak, te kao način rješavanja nejednakosti. Možda ćete morati pronaći nule funkcije na grafu ili koristiti matematičku notaciju.

Pronalaženje ovih vrijednosti pomoći će vam da preciznije nacrtate funkciju. Ako pričam običan jezik, tada je nula funkcije vrijednost varijable x, pri kojoj je y=0. Ako tražite nule funkcije na grafu, onda biste trebali obratiti pažnju na tačke u kojima se graf seče sa x-osom.

Da biste pronašli nule funkcije, morate riješiti sljedeću jednačinu: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Nakon što izvršimo potrebne proračune, dobijamo sljedeći odgovor:

konstantnost znaka

Sljedeća faza u proučavanju i konstrukciji funkcije (grafike) je pronalaženje intervala konstantnosti predznaka. To znači da moramo odrediti u kojim intervalima se funkcija nalazi pozitivna vrijednost, a na nekima - negativno. Nule funkcija koje se nalaze u prethodnom odjeljku pomoći će nam u tome. Dakle, trebamo izgraditi pravu liniju (odvojeno od grafa) i rasporediti nule funkcije duž nje u ispravnom redoslijedu od najmanjeg do najvećeg. Sada morate odrediti koji od rezultirajućih intervala ima znak "+", a koji "-".

U našem slučaju, funkcija uzima pozitivnu vrijednost na intervalima:

  • od 1 do 4;
  • od 9 do beskonačnosti.

Negativno značenje:

  • od minus beskonačnosti do 1;
  • od 4 do 9.

Ovo je prilično lako odrediti. Zamijenite bilo koji broj iz intervala u funkciju i pogledajte koji je znak odgovor (minus ili plus).

Funkcija rastuća i opadajuća

Da bismo istražili i izgradili funkciju, moramo saznati gdje će graf porasti (ići gore na Oy), a gdje će pasti (puzati prema dolje duž y-ose).

Funkcija se povećava samo ako veća vrijednost varijable x odgovara većoj vrijednosti y. To jest, x2 je veće od x1, a f(x2) je veće od f(x1). A mi uočavamo potpuno suprotan fenomen u opadajućoj funkciji (što je više x, to je manje y). Da biste odredili intervale povećanja i smanjenja, morate pronaći sljedeće:

  • opseg (već ga imamo);
  • izvod (u našem slučaju: 1/3(3x^2-28x+49);
  • riješiti jednačinu 1/3(3x^2-28x+49)=0.

Nakon proračuna dobijamo rezultat:

Dobijamo: funkcija raste na intervalima od minus beskonačnosti do 7/3 i od 7 do beskonačnosti, a opada na intervalu od 7/3 do 7.

Ekstremi

Istražena funkcija y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) je kontinuirana i postoji za bilo koju vrijednost varijable x. Tačka ekstrema pokazuje maksimum i minimum ove funkcije. U našem slučaju ih nema, što uvelike pojednostavljuje zadatak izgradnje. Inače, oni se također nalaze pomoću funkcije derivacije. Nakon pronalaska, ne zaboravite ih označiti na grafikonu.

Konveksnost i konkavnost

Nastavljamo s proučavanjem funkcije y(x). Sada moramo provjeriti ima li konveksnost i konkavnost. Definicije ovih pojmova je prilično teško sagledati, bolje je sve analizirati na primjerima. Za test: funkcija je konveksna ako je neopadajuća funkcija. Slažem se, ovo je neshvatljivo!

Moramo pronaći izvod funkcije drugog reda. Dobijamo: y=1/3(6x-28). Sada izjednačavamo desnu stranu sa nulom i rješavamo jednačinu. Odgovor: x=14/3. Pronašli smo prevojnu tačku, odnosno mjesto gdje se graf mijenja iz konveksnog u konkavno ili obrnuto. Na intervalu od minus beskonačnosti do 14/3, funkcija je konveksna, a od 14/3 do plus beskonačno je konkavna. Takođe je veoma važno napomenuti da tačka pregiba na grafikonu treba da bude glatka i mekana, da ne bi trebalo da bude oštrih uglova.

Definicija dodatnih bodova

Naš zadatak je istražiti i nacrtati graf funkcije. Studiju smo završili, sada neće biti teško iscrtati funkciju. Za precizniju i detaljniju reprodukciju krivulje ili ravne linije na koordinatnoj ravni, možete pronaći nekoliko pomoćnih točaka. Prilično ih je lako izračunati. Na primjer, uzimamo x=3, rješavamo rezultirajuću jednačinu i nalazimo y=4. Ili x=5 i y=-5 i tako dalje. Možete uzeti onoliko dodatnih bodova koliko vam je potrebno za izgradnju. Pronađeno ih je najmanje 3-5.

Plotting

Trebali smo istražiti funkciju (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Sve potrebne oznake u toku proračuna napravljene su na koordinatnoj ravni. Ostaje samo da se napravi graf, odnosno da se sve tačke međusobno povežu. Povezivanje tačaka je glatko i precizno, ovo je stvar vještine - malo vježbe i vaš raspored će biti savršen.

Slični postovi