Moment čestice. Trenutak snage
Analiza ponašanja sistema pokazuje da pored energije i impulsa postoji još jedna mehanička veličina, koja je takođe povezana sa zakonom održanja - to je tzv. ugaoni moment. Koriste se i nazivi ugaoni moment, obrtni moment, ugaoni moment ili jednostavno impuls.
Koja je to količina i koja su njena svojstva?
Prvo, uzmimo jednu česticu. Neka je radijus vektor koji karakterizira njegov položaj u odnosu na neku tačku O odabranog referentnog sistema, i njegov je zamah u ovom sistemu. Ugaoni moment čestice A u odnosu na tačku O(Slika 6.1) naziva se vektor jednak vektorskom proizvodu vektora i:
Iz ove definicije slijedi da je aksijalni vektor. Njegov smjer je odabran tako da se okreće oko tačke O u pravcu vektora formiraju desnoruki sistem. Vektorski modul je jednak
 ,
| (6.2) |
gdje je ugao između vektora i 
krak vektora u odnosu na tačku O(Sl. 6.1).
Hajde da izvedemo jednačinu koja opisuje promjenu vremena vektora . On je zvao jednačina momenta. Da bi se izveo zaključak, potrebno je otkriti koja je mehanička veličina odgovorna za promjenu vektora u datom
referentni sistem. Izdiferencirajmo jednačinu (6.1) s obzirom na vrijeme:
Od tačke O je nepomičan, tada je vektor jednak brzini čestice, tj. poklapa se u pravcu sa vektorom, dakle
Koristeći drugi Newtonov zakon, dobijamo gdje je rezultanta svih sila primijenjenih na česticu. dakle,
Količina na desnoj strani ove jednačine se zove moment sile u odnosu na tačku O(Sl. 6.2). Označavajući to slovom , pišemo
Vektor, kao , je aksijalan. Modul ovog vektora, slično kao (6.2), jednak je
Ova jednačina se zove jednačina momenta. Imajte na umu da ako je referentni okvir neinercijalan, tada moment sile uključuje i moment sila interakcije i moment sila inercije u odnosu na istu tačku O.
Iz momentalne jednadžbe (6.5), posebno, slijedi da ako je onda . Drugim riječima, ako je u odnosu na neku tačku O odabranog referentnog okvira moment svih sila koje djeluju na česticu jednak nuli tokom perioda koji nas zanima, tada u odnosu na ovu tačku ugaoni moment čestice ostaje konstantno tokom ovog vremena.
Primer 1. Neka planeta A se kreće, a gravitaciono polje Sunca je C (slika 6.3). U odnosu na koju tačku heliocentričnog referentnog sistema će se ugaoni moment date planete održati u vremenu?
Da bismo odgovorili na ovo pitanje, prije svega, potrebno je ustanoviti koje sile djeluju na planetu A. U ovom slučaju to je samo sila gravitacije
sa strane Sunca. Od kada se planeta kreće, smjer ove sile
prolazi kroz centar Sunca cijelo vrijeme, tada je potonja tačka u odnosu na koju je moment sile uvijek jednak nuli, a ugaoni moment planete će ostati konstantan. Zamah planete će se promijeniti.
Primer 2. Podloška A, koja se kreće duž glatke horizontalne ravni, elastično se odbija od glatkog vertikalnog zida (slika 6.4, pogled odozgo). Pronađite tačku u odnosu na koju će ugaoni moment paka ostati konstantan tokom ovog procesa.
Na pak djeluje sila gravitacije, sila reakcije iz horizontalne ravni i sila reakcije od zida u trenutku udara o pak. Prve dvije sile uravnotežuju jedna drugu, ostavljajući silu . Njegov moment je nula u odnosu na bilo koju tačku koja leži na liniji djelovanja vektora, što znači da će u odnosu na bilo koju od ovih tačaka ugaoni moment paka ostati konstantan u ovom procesu.
Primjer 3. Na horizontalnoj glatkoj ravni nalazi se stacionarni vertikalni cilindar i podloška A povezana sa cilindrom navojem AB (slika 6.5, pogled odozgo). Paku je data početna brzina kao što je prikazano na ovoj slici. Postoji li ovdje tačka oko koje će ugaoni moment paka ostati konstantan dok se kreće?
U ovom slučaju, jedina nekompenzirana sila koja djeluje na podlošku A je sila zatezanja navoja. Lako je vidjeti da ne postoji tačka u odnosu na koju bi moment sile u procesu kretanja cijelo vrijeme bio jednak nuli. I stoga, nema tačke u odnosu na koju bi ugaoni moment paka ostao konstantan. Ovaj primjer pokazuje da ne postoji uvijek tačka u odnosu na koju bi ugaoni moment čestice ostao konstantan.
Jednačina trenutka (6.5) nam omogućava da odgovorimo na dva pitanja:
1) pronaći moment sile u odnosu na tačku O koja nas zanima bilo koji vrijeme t, ako je poznata vremenska ovisnost ugaonog momenta čestice u odnosu na istu tačku;
2) odrediti prirast ugaonog momenta čestice u odnosu na tačku O za bilo koji vremenski period, ako je poznata vremenska zavisnost momenta sile koja deluje na ovu česticu u odnosu na istu tačku O.
Rješenje prvog pitanja svodi se na pronalaženje izvoda u odnosu na vrijeme momenta impulsa, odnosno koji je prema (6.5) jednak željenom momentu sile.
Rješenje drugog pitanja svodi se na integraciju jednačine (6.5). Množenjem obe strane ove jednačine sa dt, dobijamo - izraz koji određuje elementarni prirast vektora. Integracijom ovog izraza kroz vrijeme, nalazimo prirast vektora tokom konačnog vremenskog perioda t:
 | (6.6) |
Količina na desnoj strani ove jednačine je zove impuls moment sile. Kao rezultat, dobijena je sljedeća tvrdnja: povećanje ugaonog momenta čestice u bilo kojem vremenskom periodu je jednako ugaonom momentu sile za isto vrijeme. Pogledajmo dva primjera.
Primjer 1. Ugaoni moment čestice u odnosu na određenu tačku mijenja se s vremenom t prema zakonu 
gdje su i neki konstantni međusobno okomiti vektori. Pronađite moment sile koja djeluje na česticu kada je ugao između vektora i jednak 45°.
Prema (6.5), 
one. vektor, uvek se poklapa u pravcu sa vektorom. Opišimo vektore i određeni moment t (slika 6.6). Iz ove slike je jasno da je ugao = 45° u trenutku kada Odatle i .
Primjer 2. Kamen A mase t bačen je pod uglom u odnosu na horizontalu sa početna brzina. Zanemarujući otpor vazduha, naći vremensku zavisnost ugaonog momenta kamena u odnosu na tačku bacanja O (slika 6.7).
Tokom vremenskog perioda dt, ugaoni zamah kamena u odnosu na tačku
O će dobiti povećanje 
. Jer 
To 
Integrisavši ovaj izraz uzimajući u obzir činjenicu da u ovom trenutku 
dobijamo 
. Ovo pokazuje da smjer vektora ostaje nepromijenjen tokom kretanja (vektor je usmjeren izvan ravnine, slika 6.7.).
Razmotrimo sada koncepte ugaonog momenta i momenta sile u odnosu na osu. Odaberimo proizvoljnu fiksnu osu u nekom inercijalnom referentnom sistemu. Neka, u odnosu na neku tačku O na osi, ugaoni moment čestice A je jednak , a moment sile koja djeluje na česticu je .
Ugaoni moment u odnosu na osu z je projekcija na ovu osu vektora definisanog u odnosu na proizvoljnu tačku O date ose (slika 6.8). Slično se uvodi i koncept momenta sile u odnosu na osu. Njihova
Hajde da saznamo svojstva ovih veličina. Projektovanjem (6.5) na osu z dobijamo
| (6.7) |
odnosno, vremenski izvod ugaonog momenta čestice u odnosu na osu z jednak je momentu sile u odnosu na ovu osu. Konkretno, ako onda . Drugim riječima, ako je moment sile u odnosu na neku fiksnu os z jednak nuli, tada ugaoni moment čestice u odnosu na ovu os ostaje konstantan. U ovom slučaju, sam vektor se može promijeniti.
Primer: Malo telo mase m, okačeno na niti, giba se jednoliko po horizontalnom krugu (slika 6.9) pod uticajem gravitacije.U odnosu na tačku O, ugaoni moment tela - vektor - je u istom ravan sa z osom i navojem. Kada se tijelo kreće, vektor pod utjecajem momenta gravitacije stalno rotira, odnosno mijenja se. Projekcija ostaje konstantna, jer je vektor okomit
Hajde sada pronaći analitičke izraze za i . Lako je vidjeti da se ovaj problem svodi na pronalaženje projekcija na os z vektorskih proizvoda i .
Upotrijebimo cilindrični koordinatni sistem i pridružimo čestici A (slika 6.10) jedinične vektore usmjerene u smjeru povećanja odgovarajućih koordinata. U ovom koordinatnom sistemu, vektor radijusa i impuls čestice zapisuju se na sledeći način:
gdje su projekcije vektora na odgovarajuće vektore. Iz vektorske algebre je poznato da se vektorski proizvod može predstaviti
odrednica
Odavde je odmah jasno da je ugaoni moment čestice u odnosu na osu z
gdje je projekcija ugaona brzina, s kojim se radijus vektor čestice rotira.
Slično (6.8), moment sile u odnosu na osu z zapisuje se:
| (6.10) |
gdje je projekcija vektora sile na jedinični vektor
Napomenimo da projekcije i zaista ne zavise od izbora tačke O na osi z, u odnosu na koju su definisani vektori i. Osim toga, jasno je da su i algebarske veličine, njihovi predznaci odgovaraju znakovima projekcija i .
Osnovna jednadžba za dinamiku rotacionog kretanja materijalne tačke- ugaono ubrzanje tačke tokom njene rotacije oko fiksne ose proporcionalno je momentu i obrnuto proporcionalno momentu inercije.
M = E*J ili E = M/J
Upoređujući rezultujući izraz sa drugim Newtonovim zakonom sa translacionim zakonom, vidimo da je moment inercije J mera inercije tela u rotacionom kretanju. Kao i masa, količina je aditivna.
Moment inercije tanak prsten:
Moment inercije
Da bismo izračunali moment inercije, moramo mentalno podijeliti tijelo na dovoljno male elemente za čije se točke može smatrati da leže na istoj udaljenosti od osi rotacije, a zatim pronaći proizvod mase svakog elementa na kvadrat njegove udaljenosti od ose i, konačno, zbrojiti sve rezultirajuće proizvode. Očigledno, ovo je veoma dugotrajan zadatak. Brojati
Momenti inercije tijela pravilnog geometrijskog oblika mogu se koristiti u brojnim slučajevima korištenjem metoda integralnog računa.
Određivanje konačnog zbroja momenata inercije elemenata tijela zamijenit ćemo zbrajanjem beskonačno velikog broja momenata inercije izračunatih za beskonačno male elemente:
lim i = 1 ∞ ΣΔm i r i 2 = ∫r 2 dm. (u Δm → 0).
Izračunajmo moment inercije homogenog diska ili čvrstog cilindra visine h u odnosu na njegovu os simetrije
Podijelimo disk na elemente u obliku tankih koncentričnih prstenova sa centrima na njegovoj osi simetrije. Dobiveni prstenovi imaju unutrašnji prečnik r i eksterne r+dr, i visina h. Jer dr<< r
, tada možemo pretpostaviti da je udaljenost svih tačaka prstena od ose jednaka r.
Za svaki pojedinačni prsten, moment inercije
i = ΣΔmr 2 = r 2 ΣΔm,
Gdje ΣΔm− masa cijelog prstena.
Jačina zvona 2πrhdr. Ako je gustina materijala diska ρ
, zatim masa prstena
ρ2πrhdr.
Moment inercije prstena
i = 2πρhr 3 dr.
I = 2πρh 0 R ∫r 3 dr,
I = (1/2)πρhR 4.
Ali masa diska m = ρπhR 2, dakle,
I = (1/2)mR 2.
Predstavimo (bez proračuna) momente inercije za neka tijela pravilnog geometrijskog oblika, napravljena od homogenih materijala
1. Moment inercije tankog prstena u odnosu na osu koja prolazi kroz njegovo središte okomito na njegovu ravninu (ili šupljeg cilindra tankih stijenki u odnosu na njegovu os simetrije):
I = mR 2.
2. Moment inercije cilindra debelog zida u odnosu na os simetrije:
I = (1/2)m(R 1 2 − R 2 2)
Gdje R 1− interni i R 2− vanjski radijusi.
3.
Moment inercije diska u odnosu na osu koja se poklapa s jednim od njegovih promjera:
I = (1/4)mR 2.
4. Moment inercije čvrstog cilindra u odnosu na osu okomitu na generatricu i koja prolazi kroz njegovu sredinu:
I = m(R 2 /4 + h 2 /12)
Gdje R- poluprečnik osnove cilindra, h− visina cilindra.
5.
Moment inercije tankog štapa u odnosu na osu koja prolazi kroz njegovu sredinu:
I = (1/12)ml 2,
Gdje l− dužina štapa.
6.
Moment inercije tankog štapa u odnosu na osu koja prolazi kroz jedan od njegovih krajeva:
I = (1/3)ml 2
7. Moment inercije lopte u odnosu na osu koja se poklapa sa jednim od njenih prečnika:
I = (2/5)mR 2.
Ako je poznat moment inercije tijela oko ose koja prolazi kroz njegovo središte mase, onda se moment inercije oko bilo koje druge ose paralelne s prvom može naći na osnovu takozvane Huygens-Steinerove teoreme.
Moment inercije tijela I u odnosu na bilo koju osu jednak je momentu inercije tijela I s u odnosu na osu paralelnu datoj i koja prolazi kroz centar mase tijela, plus masa tijela m, pomnoženo s kvadratom udaljenosti l između osi:
I = I c + ml 2.
Kao primjer, izračunajmo moment inercije lopte poluprečnika R i masa m, okačen na niti dužine l, u odnosu na osu koja prolazi kroz tačku ovjesa O. Masa konca je mala u odnosu na masu kuglice. Od momenta inercije lopte u odnosu na osu koja prolazi kroz centar mase Ic = (2/5)mR 2, i udaljenost
između osi ( l + R), zatim moment inercije oko ose koja prolazi kroz tačku ovjesa:
I = (2/5)mR 2 + m(l + R) 2.
Dimenzija momenta inercije:
[I] = [m] × = ML 2.
Prijavite se ili registrirajte da biste objavljivali komentare
U svakom sistemu čestica postoji jedna izuzetna tačka WITH- centar inercije, ili centar mase, - koji ima niz zanimljivih i važnih svojstava. Centar mase je tačka primene vektora momenta sistema, pošto je vektor bilo kog impulsa polarni vektor. Položaj tačke WITH u odnosu na početak O datog referentnog sistema karakterizira radijus vektor određen sljedećom formulom:
Treba napomenuti da se centar mase sistema poklapa sa njegovim težištem. Istina, ova izjava je tačna samo u slučaju kada se polje gravitacije unutar datog sistema može smatrati homogenim.
Nađimo brzinu centra mase u ovom referentnom okviru. Diferencirajući (4.8) s obzirom na vrijeme, dobijamo
one. impuls sistema jednak je proizvodu mase sistema i brzine njegovog centra mase.
Dobijamo jednačinu kretanja centra mase. Koncept centra mase omogućava nam da jednačini (4.4) damo drugačiji oblik, što se često pokaže pogodnijim. Da bismo to učinili, dovoljno je zamijeniti (4.10) u (4.4) i uzeti u obzir da je masa sistema kao takva konstantna veličina. Onda dobijamo
| , | (4.11) |
gdje je rezultanta svih vanjskih sila koje djeluju na sistem. To je ono što je jednadžba kretanja centra mase sistema je jedna od najvažnijih jednačina mehanike. Prema ovoj jednačini, Kada se bilo koji sistem čestica kreće, njegovo središte inercije se pomiče kao da je čitava masa sistema koncentrisana u ovoj tački i na njega su primijenjene sve vanjske sile., djelujući na sistem. U ovom slučaju, ubrzanje centra inercije potpuno je neovisno o mjestima primjene vanjskih sila.
dakle, ako se centar mase sistema kreće jednoliko i pravolinijski, to znači da je njegov impuls zadržan u procesu kretanja. Naravno, istina je i suprotno.
Jednačina (4.11). njegov oblik se poklapa sa osnovnom jednadžbom dinamike materijalne tačke i njena je prirodna generalizacija na sistem čestica: ubrzanje sistema kao celine proporcionalno je rezultanti svih spoljašnjih sila i obrnuto proporcionalno ukupnoj masi sistem. Podsjetimo da u neinercijalnim referentnim sistemima rezultanta svih vanjskih sila uključuje i sile interakcije s okolnim tijelima i sile inercije.
Razmotrimo niz primjera kretanja centra mase sistema.
Primjer 1. Pokažimo kako možete riješiti problem sa čovjekom na splavu (str. 90) na drugi način, koristeći koncept centra mase.
Kako je otpor vode zanemarljiv, rezultanta svih vanjskih sila koje djeluju na sistem čovjek-splav jednaka je nuli. To znači da se položaj centra inercije ovog sistema neće menjati tokom kretanja osobe (i splava), tj.
.
gdje su i radijus vektori koji karakteriziraju položaje centara mase osobe i splava u odnosu na određenu tačku na obali. Iz ove jednakosti nalazimo vezu između prirasta vektora i
Imajući u vidu da inkrementi predstavljaju kretanje osobe i splava u odnosu na obalu, nalazimo kretanje splava:
Primjer 2. Čovjek skače sa tornja u vodu. Kretanje skakača u opštem slučaju je vrlo složeno. Međutim, ako je otpor zraka zanemariv, onda odmah možemo konstatirati da se centar inercije skakača kreće po paraboli, poput materijalne točke, na koju djeluje konstantna sila gdje je masa osobe.
Primjer 3. Zatvoreni lanac povezan navojem na kraj ose centrifugalne mašine rotira jednoliko oko vertikalne ose ugaonom brzinom (slika 4.4). U ovom slučaju, konac formira ugao sa
vertikalno. Kako se ponaša centar inercije lanca?
Prije svega, jasno je da se s ravnomjernom rotacijom središte inercije lanca ne pomiče u okomitom smjeru. To znači da vertikalna komponenta sile T napetosti konca kompenzira silu gravitacije (slika 4.4, desno). Horizontalna komponenta sile zatezanja je konstantne veličine i uvijek je usmjerena prema osi rotacije.
Iz toga slijedi da se centar mase lanca - tačka C - kreće duž horizontalne kružnice, čiji se polumjer lako može pronaći pomoću formule (4.11), zapisane u obliku
gdje je masa lanca. U ovom slučaju, tačka C se uvek nalazi između ose rotacije i navoja, kao što je prikazano na sl. 4.4.
U onim često naiđenim slučajevima kada nas zanima samo relativno kretanje čestica unutar sistema, a ne kretanje ovog sistema u cjelini, preporučljivo je koristiti referentni sistem u kojem centar mase miruje. . Ovo omogućava značajno pojednostavljenje i analize fenomena i proračuna.
Referentni okvir koji je čvrsto povezan sa centrom mase datog sistema čestica i koji se kreće translaciono u odnosu na inercijalne sisteme naziva se sistem centra mase ili, ukratko, C-sistem(oznaka sistema je povezana sa prvim slovom riječi centar na latinskom). Posebnost ovog sistema je da je ukupni impuls sistema čestica u njemu jednak nuli - to direktno proizilazi iz formule (4.10). Drugim riječima, svaki sistem čestica u cjelini počiva u svom - C-sistem.
Za zatvoreni sistem čestica svoj WITH- sistem je inercijalan, za otvoreni sistem je u opštem slučaju neinercijalan.
Nađimo vezu između vrijednosti mehaničke energije sistema u K I WITH referentni sistemi. Počnimo s kinetičkom energijom sistema. Brzina čestica u K-sistem se može predstaviti kao zbir brzina, gdje je i brzina ove čestice u WITH-sistem i brzina sistema centra mase u odnosu na K-referentni sistemi, respektivno. Onda možete to zapisati.
Ugaoni moment čestice(materijalna tačka) u odnosu na tačku O naziva se vektorska veličina jednaka:
L- aksijalni vektor. Smjer vektora ugaonog momenta L je određen tako da rotacija oko tačke O u smjeru vektora p oko ose koja prolazi kroz tačku O poštuje pravilo desnog zavrtnja. Vektori r, p i L formiraju desnoruki sistem. U SI sistemu, ugaoni moment ima mjernu jedinicu: [L]=1 kg m 2 /s.
Razmotrimo dva primjera izračunavanja ugaonog momenta čestice u odnosu na tačku O.
Primjer 1. Čestica se kreće ravnom putanjom, masa čestice je m, impuls je p. Nađimo L i ½ L1. Hajde da napravimo crtež.
iz formule (22.4.) proizilazi da se modul ugaonog momenta može promijeniti samo zbog promjene modula brzine, jer kada se krećete ravnom putanjom, rame l ostaje konstantan.
Primjer 2. Čestica mase m kreće se u krugu radijusa R brzinom V. Nađimo L i ½ L½. Hajde da napravimo crtež.
Slika 22.3 Smjer vektora momenta čestice koja se kreće u krugu radijusa R brzinom V.
|
(22 .5 ) |
|
(22 .6 ) |
Ugaoni moment se razmatra u odnosu na tačku C. Iz formule (22.6.) slijedi da se modul ugaonog momenta može promijeniti samo zbog promjene modula brzine. Uprkos kontinuiranoj promeni smera vektora p, smer vektora L ostaje konstantan.
Pored očuvanja količine gibanja i energije u zatvorenim sistemima, održava se još jedna fizička veličina - ugaoni moment. Razmotrimo prvo vektorski proizvod vektora i (slika 32).
Vektorski proizvod vektora je vektor čiji je modul jednak:
gdje je ugao između vektora i .
Smjer vektora je određen pravilom gimleta ako se rotira od do duž najkraćeg puta.
Postoji izraz za određivanje unakrsnog proizvoda:
1. Moment sile u odnosu na tačku i u odnosu na osu.
Hajde da prvo uvedemo pojam momenta sile. Neka na česticu, čiji je položaj određen pomoću radijus vektora u odnosu na početak tačke 0, djeluje neka sila (slika 33).
Nazovimo moment sile u odnosu na tačku 0 vektorskom količinom:
U ovom slučaju, vektor momenta sile je usmjeren okomito na ravninu crteža prema nama. Iz slike slijedi da je vrijednost . Nazovimo to trenutna ruka. Momentni krak sile je udaljenost od referentne točke 0 do linije djelovanja sile.
Moment sile u odnosu na neku osu koja prolazi kroz tačku 0 je projekcija vektora momenta sile u odnosu na tačku 0 na ovu osu.
2. Moment nekoliko sila. Svojstva momenta par sila.
Razmotrimo dvije paralelne sile, jednake po veličini, suprotne po smjeru, koje ne djeluju duž iste prave (sl. 34). Takve sile se nazivaju par sila. Udaljenost između pravih linija duž kojih te sile djeluju naziva se krak para.
Ovdje se uvode sljedeće oznake:
Radijus vektor tačke primene sile,
Radijus vektor tačke primene sile u odnosu na tačku primene sile.
Ukupni moment ovog para sila definiramo kao:
Kako sile formiraju par, slijedi:
Vidi se da moment par sila ne zavisi od izbora ishodišta tačaka primene sila.
3. Ugaoni moment čestice u odnosu na osu i u odnosu na tačku.
Okrenimo se sada konceptu ugaonog momenta. Neka čestica mase m, čiji se položaj određuje pomoću radijus vektora u odnosu na početak tačke 0, kreće brzinom (slika 35).
Hajde da uvedemo vektor, koji ćemo nazvati ugaonim momentom čestice u odnosu na tačku 0. Veličinu ćemo nazvati krakom ugaonog momenta u odnosu na tačku 0.
Ugaoni moment u odnosu na osu koja prolazi kroz tačku 0 je projekcija ugaonog momenta u odnosu na tačku na ovu osu.
1. Razmotrite kretanje duž prave linije. Na visini h, avion mase m leti horizontalno brzinom V (slika 36).
Nađimo ugaoni moment aviona u odnosu na neku tačku 0. Modul ugaonog momenta je jednak proizvodu impulsa i njegovog kraka. U ovom slučaju, krak momenta je jednak h. dakle:
2. Razmotrite kretanje u krugu. Čestica mase m kreće se duž kružnice poluprečnika R konstantnom apsolutnom brzinom V (slika 37). Pronađite ugaoni moment čestice u odnosu na centar kružnice 0.
Moment čestice M== rR=const.
4. Jednadžba momenata čestica
Po definiciji, ugaoni moment čestice u odnosu na neku tačku 0 jednak je:
Nađimo vremenski izvod desne i lijeve strane ovog izraza:
Prvi član ide na nulu prema pravilu vektorskog proizvoda. Konačno imamo:
Ovaj izraz se naziva jednačina momenta čestica.
Brzina promjene ugaonog momenta jednaka je momentu sile.
5. Momentum sistema čestica.
Zakon promjene i održanja ugaonog momenta sistema čestica.
Razmotrimo sistem čestica koje međusobno djeluju, a na koje djeluju vanjske sile. Postavimo položaj čestica ovog sistema u prostoru pomoću vektora radijusa u odnosu na neku referentnu tačku 0. Zapišimo ukupni ugaoni moment ovog sistema u odnosu na tačku:
Nađimo promjenu u ukupnom trenutku:
Napišimo ovaj sistem jednačina:
…………………………………..
Hajde da saberemo levu i desnu stranu ovog sistema i razmotrimo uparene sume u prvom članu sa desne strane.
Prema trećem Newtonovom zakonu, svi ostali upareni sumi će također nestati. Prema tome, ukupni moment svih unutrašnjih sila interakcije između čestica jednak je nuli. Onda ostaje:
Ugaoni impuls sistema čestica mijenja ugaoni moment vanjskih sila. Za zatvoreni sistem čestica, zakon održanja ugaonog momenta je zadovoljen.
6. Orbitalni i intrinzični ugaoni moment sistema čestica.
Razmotrimo sistem od N čestica, čiji je položaj specificiran pomoću vektora radijusa u odnosu na neku referentnu tačku 0 (slika 38).
Neka se položaj centra mase C ovog sistema odredi pomoću radijus vektora. Tada će se položaj i-te čestice u odnosu na ishodište 0 odrediti kao:
Zapišimo ukupni ugaoni moment sistema čestica u odnosu na ishodište 0:
Prvi član ćemo nazvati orbitalnim ugaonim momentom sistema:
Drugi član ćemo nazvati sopstvenim ugaonim momentom sistema:
Tada ukupni ugaoni moment sistema u odnosu na referentnu tačku 0 ima oblik:
7.Kretanje u centralnom polju snaga.
Razmotrimo česticu koja se kreće u centralnom polju sila. Podsjetimo da u takvom polju sila koja djeluje na česticu ovisi samo o udaljenosti između čestice i ishodišta. Osim toga, sila je uvijek usmjerena duž radijus vektora čestice.
Lako je shvatiti da je u ovom slučaju moment centralne sile jednak nuli i stoga je zadovoljen zakon održanja ugaonog momenta u odnosu na ishodište.
Budući da se putanja čestice uvijek nalazi u ravni u kojoj leže vektori sile i radijus vektor. U središnjem polju čestice se kreću duž ravnih putanja.
Za vrijeme dt, vektor radijusa čestice će opisivati površinu dS (slika 39).
Ovo područje je jednako polovini površine paralelograma konstruiranog na radijus vektoru i vektoru elementarnog pomaka. Kao što je poznato, površina takvog paralelograma jednaka je modulu vektorskog proizvoda. Dakle, sada možemo napisati:
Nazovimo količinu sektorskom brzinom, a za nju dobijamo izraz:
Jer u centralnom polju M =const, onda, shodno tome, sektorska brzina ostaje konstantna.
Zaključak: kada se čestica kreće u centralnom polju sile, njen radijus vektor opisuje jednake površine u jednakim vremenskim periodima.
Ova izjava je drugi Keplerov zakon.
8. Problem dva tijela.
Problem kretanja čestica u centralnom polju sila ima mnogo primjena. Razmotrimo problem kretanja dvaju tijela. Razmotrimo dvije čestice koje međusobno djeluju samo jedna na drugu. Hajde da saznamo kako se ponaša centar mase takvog sistema. Iz teoreme o kretanju centra mase zatvorenog sistema možemo zaključiti da on ili miruje ili se kreće pravolinijsko i jednoliko.
Rešićemo problem dva tela u sistemu njihovog centra mase. Kao što je poznato, radijus vektor centra mase sistema se određuje pomoću izraza:
Iz zakona održanja količine gibanja takvog zatvorenog sistema slijedi:
Hajde da uvedemo radijus vektor koji određuje položaj druge čestice u odnosu na prvu (slika 40):
Tada možemo dobiti izraze za povezivanje vektora radijusa koji određuju položaj čestica u odnosu na njihov zajednički centar mase sa radijus vektorom njihovog relativnog položaja:
Razmotrimo sada ovaj problem sa energetske tačke gledišta. Označimo sa i brzine čestica u odnosu na njihov centar mase, a sa - brzinu druge čestice u odnosu na prvu. Tada iz zakona održanja impulsa sistema čestica možemo dobiti sljedeće izraze:
Zapišimo ukupnu mehaničku energiju ovog sistema čestica:
Ovdje je U(r 21) vlastita potencijalna energija sistema.
Ovaj izraz se može transformirati na sljedeći način:
gdje se uvodi sljedeća oznaka - smanjena masa.
Vidimo sa energetske tačke gledišta, ovaj sistem čestica se ponaša kao jedna čestica smanjene mase i kreće se relativnom brzinom. Problem dvaju tijela svodi se na problem kretanja jednog tijela.
Ako je zavisnost poznata, onda se glavni problem može riješiti, tj. pronaći zavisnosti i .
Napišimo jednačinu kretanja (Njutnov drugi zakon) za svaku od čestica u centralnom polju:
Na desnoj strani druge jednačine nalazi se znak minus, jer .
Podijeleći prvu jednačinu sa m 1, a drugu sa m 2, dobijamo:
Oduzmi prvu jednačinu od druge:
Onda konačno:
Odavde možete pronaći zavisnost.
9.Kretanje umjetnih satelita. Kosmičke brzine.
Razmotrimo kretanje umjetnog satelita Zemlje u blizini njene površine. Kako na satelit djeluje samo jedna sila - sila gravitacijske privlačnosti prema Zemlji, možemo napisati jednačinu za njegovo kružno kretanje:
gdje je m masa satelita, M je masa Zemlje, Rz je poluprečnik Zemlje.
Odavde možete dobiti brzinu satelita:
Zamjenom odgovarajućih vrijednosti dobijamo brzinu V 1 = 8 km/s.
Ova brzina se zove prvi prostor(brzina koja se mora prenijeti tijelu kako bi ono postalo satelit Zemlje blizu njene površine).
Razmotrili smo najjednostavniji slučaj satelita koji se kreće po kružnoj orbiti. Međutim, kako teorija pokazuje, u problemu dva tijela moguće su i druge putanje kretanja jedne čestice u odnosu na drugu – elipse, hiperbole i parabole. Eliptične orbite odgovaraju negativnoj vrijednosti ukupne mehaničke energije sistema, hiperboličke orbite odgovaraju pozitivnoj vrijednosti ukupne mehaničke energije, a paraboličke orbite odgovaraju vrijednosti ukupne mehaničke energije jednakoj nuli.
Nađimo tzv brzina bijega. To je brzina koja se mora dati tijelu da bi ono postalo satelit Sunca, dok se tijelo mora kretati po paraboličnoj putanji.
Zapišimo ukupnu mehaničku energiju sistema satelit-Zemlja, s obzirom da je Zemlja nepokretna:
Izjednačavajući ukupnu mehaničku energiju sa nulom, dobijamo drugu brzinu bijega:
Zamjenom odgovarajućih vrijednosti dobijamo V 2 = 11,2 km/s.
SOLID MECHANICS
VIII. Kinematika krutog tijela
1.Apsolutno čvrsto tijelo. Ravno kretanje krutog tijela i njegovo razlaganje na translacijsko i rotacijsko.
Do sada smo koristili materijalnu tačku kao fizički model, ali se svi problemi ne mogu riješiti u ovoj aproksimaciji. Pređimo sada na razmatranje tzv apsolutno čvrsta tela. Apsolutno čvrsto tijelo je tijelo u kojem se razmak između čestica od kojih se sastoji ne mijenja. Drugim riječima, ovo je apsolutno nedeformabilno tijelo.
Mi ćemo razmotriti ravno kretanje kruto tijelo u kojem za vrijeme kretanja bilo koja njegova tačka ostaje u jednoj od paralelnih ravnina. U kretanju u ravnini, putanje svake tačke krutog tijela leže u istoj ravni, a ravni svih putanja se ili poklapaju ili su paralelne.
Svako složeno kretanje krutog tijela može se predstaviti kao zbir jednostavnijih gibanja: translacijskih i rotacijskih . Progresivna je kretanje krutog tijela u kojem linija koja spaja bilo koje dvije točke tijela zadržava svoj smjer u prostoru. Kretanje naprijed nije nužno linearno, na primjer, kabina u panoramskom točku (Sl. 41).
Rotacijski je kretanje u kojem su putanje svih tačaka krutog tijela koncentrične kružnice čiji centar leži na osi rotacije. Cilindar koji se kotrlja po stolu podliježe translacijskom i rotacijskom kretanju oko svoje ose simetrije.
Pokažimo kako se kretanje u ravnini može razložiti na translacijsko i rotacijsko (slika 42).
Sa slike se vidi da se iz položaja 1 u položaj 2 tijelo može pomaknuti prvo u položaj translacijsko, a zatim u položaj 2 rotacijski oko ose. Ova podjela na translacijsko i rotacijsko kretanje može se izvršiti na beskonačno veliki broj načina, ali se u ovom slučaju rotacija uvijek izvodi pod istim kutom.
Dakle, kretanje u ravnini se može predstaviti kao translatorno sa istom brzinom za sve tačke tela i rotaciono sa istom ugaonom brzinom. Za linearne brzine tačaka krutog tijela, ovo se može zapisati kao:
Ovdje je radijus vektor bilo koje tačke na krutom tijelu.
Na primjer, kotrljanje cilindra po horizontalnoj površini (slika 43) može se predstaviti kao translacijsko kretanje svih tačaka brzinom V 0 i rotacija oko ose koja se poklapa s njegovom osom simetrije 0, sa ugaonom brzinom ., ili kao translaciona kretanje brzinom i rotaciju istom ugaonom brzinom, ali oko ose.
Kretanje krutog tijela može se predstaviti kao skup samo rotacija oko takozvane trenutne ose. Ova os se može nalaziti ili unutar samog čvrstog tijela, ali može biti i izvan njega. Položaj trenutne ose se menja tokom vremena. U slučaju kotrljanja cilindra, trenutna os se poklapa sa linijom tangente cilindra sa ravninom.
Hajde da to prikažemo na sl. 44 smjer trenutnih brzina nekih tačaka cilindra u odnosu na fiksni referentni okvir. Brzina tačke A jednaka je nuli u svakom trenutku vremena, jer sastoji se od translatorne brzine i linearne brzine jednake veličine. Brzina tačke C jednaka je dvostrukoj brzini, itd.
Hajde da vidimo kako je brzina orijentisana u odnosu na fiksni referentni okvir bilo koje tačke na cilindru. Da bismo to učinili, zapisujemo stanje apsolutno krutog tijela za dvije proizvoljne tačke u sljedećem obliku:
Razlikujemo desnu i lijevu stranu u vremenu:
Povežimo tačku A s trenutnom osom rotacije, a zatim i . Dakle, imamo:
Iz ovog uvjeta slijedi da su odgovarajući vektori okomiti, tj. .
Pored energije i zamaha postoji još jedna fizička veličina. Zakon održanja povezan je s ugaonim momentom. Ugaoni moment čestice u odnosu na tačku O je vektor 
jednaka 
,
-radijus; -puls.
One. 
je??? vektor. Njegov smjer je odabran tako da se rotacija oko O u smjeru 
i vektor 
formira desnoruki sistem. Modul 
ugao između 
I 
vektor ramena 
u vezi sa O.
Hajde da pronađemo koja je količina povezana sa promjenom vektora 
na vrijeme:
.
T 
.onda je nepomičan 
jednaka brzini čestice, tj. poklapa se sa 
, tj. 
. Dalje 
- Newtonov drugi zakon i 
; Magnituda 
- moment aksijalnog vektora sile. 
,
-snaga ramena 
u odnosu na.
Dakle, derivat u odnosu na 
ugaoni moment 
čestica, u odnosu na neku tačku odabranog referentnog okvira, jednaka je momentu rezultantne sile 
u odnosu na ovu tačku 
. Ova jednačina se zove jednačina momenata.
Ako je referentni sistem neinercijalan, tada u trenutku sile 
uključuje i moment sila interakcije i moment sila inercije (u odnosu na istu tačku). Iz jednadžbe trenutka slijedi da ako 
, To 
-ujednačeno rotaciono kretanje. One. ako je moment svih sila u odnosu na tačku O referentnog sistema jednak O, tokom perioda koji nas zanima 
, tada ugaoni moment čestice u odnosu na ovu tačku ostaje konstantan.
Jednačina trenutka nam omogućava da pronađemo 
tačke u odnosu na O u bilo kom trenutku ako je poznato 
čestice u odnosu na tačku. Da biste to učinili, dovoljno je diferencirati jednačinu 
. Osim toga, ako je zavisnost poznata 
, tada možete pronaći povećanje ugaonog momenta čestice u odnosu na TS za bilo koji vremenski period. Da biste to učinili, potrebno je integrirati jednačinu 
, Onda
Izraz 
- impulsni moment sile sličan 
, tj. prirast ugaonog momenta čestice u bilo kojem vremenskom periodu jednak je impulsu ugaonog momenta po e
tog vremena.
4.3. Moment impulsa i moment sile oko ose.
IN 
Uzmimo proizvoljnu fiksnu osu u referentnom sistemu koji nas zanima 
. Pustiti u odnosu na neku TS osu 
ugaoni moment čestice je jednak 
, i moment sile 
. Moment oko ose 
projekcija na ovu vektorsku osu naziva se 
, definisan u odnosu na proizvoljnu tačku O date ose. Slično, uvodi se koncept momenta sile u odnosu na osu 
. Jednadžba momenta oko ose 
one. derivat od 
relativno 
jednak 
u odnosu na ovu osu. Posebno kada 
. One. ako je moment relativan na neku osu 
onda je jednako 0 
ostaje konstantan u odnosu na ovu osu. U ovom slučaju, vektor 
se mijenja.
4.4. Zakon održanja ugaonog momenta sistema.
Razmotrimo sistem koji se sastoji od 2 čestice, na koje također djeluju sile 
I 
. Momentum je aditivna veličina. Za sistem je jednak vektorskom zbiru ugaonog momenta pojedinačnih čestica u odnosu na istu tačku 
.
Znamo to 
-moment svih sila koje djeluju na česticu i promjena momenta sistema 
, Onda 
;
;
- ukupan moment svih unutrašnjih sila koje djeluju na čestice.
- ukupan moment svih vanjskih sila koje djeluju na čestice.
Dakle za dvije čestice:
Ukupni moment unutrašnjih sila u odnosu na bilo koju tačku jednak je 0. interakcijske sile između čestica 
3 svaka mu
Newtonov zakon djeluje u jednoj pravoj liniji, što znači da imaju isto rame, pa je moment svakog para unutrašnjih sila jednak 0.
To. 
; one. sistemi se menjaju pod uticajem spoljnih sila 
. Ako nema vanjskih sila 
,
, dakle, je aditivno očuvana količina. One. Ugaoni moment zatvorenog sistema čestica ostaje konstantan i ne mijenja se s vremenom. Ovo vrijedi za bilo koju tačku u inercijskom okviru: 
one. momenti impulsa pojedinih delova 
jedan dio sistema nastaje zbog gubitka 
drugi dio (u odnosu na jednu tačku).
Zakon vrijedi i u neinercijskom referentnom okviru u slučajevima kada je ukupni moment svih vanjskih sila, uključujući inercijalne sile, jednak nuli.
Z 
Zakon igra istu ulogu kao i zakon održanja energije momenta. Omogućava vam rješavanje različitih problema bez detaljnog razmatranja unutrašnjih procesa. Primjer: ubrzanje????
Momentum 
;
one. 
smanjuje kao 
. Ovaj efekat naširoko koriste gimnastičari, umjetnički klizači itd. ovdje nas zanimaju interakcijske sile itd. u sistemima otvorene petlje možda nije samo ono što se čuva 
, i njegovu projekciju na neku fiksnu osu 
. Ovo se dešava kada 
sve spoljne sile.
;
;
U fizici je koncept ugaonog momenta proširen na nemehaničke sisteme (sa elektromagnetnim zračenjem, u atomima, jezgrima, itd.) gdje se Newtonovi zakoni ne primjenjuju. Ovdje zakon održanja ugaonog momenta više nije posljedica Newtonovih zakona, već predstavlja nezavisni princip je generalizacija eksperimentalnih činjenica i jedan je od temeljnih zakona zajedno sa zakonima održanja energije i impulsa.
