Kako sabrati obične razlomke sa istim nazivnicima. Zbrajanje razlomaka s cijelim brojevima i različitim nazivnicima
Radnje sa razlomcima.
Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u Posebnom dijelu 555.
Za one koji snažno "ne baš..."
I za one koji "jako...")
Dakle, šta su razlomci, vrste razlomaka, transformacije - sjetili smo se. Hajde da se pozabavimo glavnim pitanjem.
Šta možete učiniti sa razlomcima? Da, sve je isto kao i sa običnim brojevima. Dodajte, oduzmite, množite, podijelite.
Sve ove radnje sa decimalni operacije sa razlomcima se ne razlikuju od operacija sa celim brojevima. Zapravo, za to su i dobri, decimalni. Jedina stvar je da morate ispravno staviti zarez.
mešoviti brojevi, kao što sam rekao, od male su koristi za većinu akcija. Još ih je potrebno pretvoriti u obične razlomke.
A evo i akcija sa obične frakcije biće pametniji. I mnogo važnije! da vas podsjetim: sve radnje s razlomcima sa slovima, sinusima, nepoznatima i tako dalje i tako dalje se ne razlikuju od radnji s običnim razlomcima! Operacije sa običnim razlomcima su osnova za svu algebru. Iz tog razloga ćemo ovdje detaljno analizirati svu ovu aritmetiku.
Sabiranje i oduzimanje razlomaka.
Svako može sabirati (oduzeti) razlomke sa istim nazivnicima (stvarno se nadam!). Pa, da vas podsjetim da sam potpuno zaboravan: pri sabiranju (oduzimanju) imenilac se ne mijenja. Brojioci se zbrajaju (oduzimaju) da bi se dobio brojilac rezultata. Vrsta:
Ukratko, generalno:
Šta ako su imenioci različiti? Zatim, koristeći glavno svojstvo razlomka (ovdje je opet dobro došlo!), činimo nazivnike istim! Na primjer:
Ovdje smo morali napraviti razlomak 4/10 od razlomka 2/5. Isključivo u svrhu da nazivnici budu isti. Napominjem, za svaki slučaj, da su 2/5 i 4/10 isti razlomak! Samo 2/5 nam je neugodno, a 4/10 je čak ništa.
Inače, ovo je suština rješavanja bilo kakvih zadataka iz matematike. Kad izađemo neugodno izrazi rade isto, ali pogodnije za rješavanje.
Drugi primjer:
Situacija je slična. Ovdje pravimo 48 od 16. Jednostavnim množenjem sa 3. Ovo je sve jasno. Ali ovdje nailazimo na nešto poput:
Kako biti?! Teško je napraviti devetku od sedam! Ali mi smo pametni, znamo pravila! Hajde da se transformišemo svaki razlomak tako da su imenioci isti. Ovo se zove "svedi na zajednički imenilac":
Kako! Kako sam znao za 63? Veoma jednostavno! 63 je broj koji je jednako djeljiv sa 7 i 9 u isto vrijeme. Takav broj se uvijek može dobiti množenjem nazivnika. Ako neki broj pomnožimo sa 7, na primjer, onda će rezultat sigurno biti podijeljen sa 7!
Ako trebate sabrati (oduzeti) nekoliko razlomaka, nema potrebe da to radite u parovima, korak po korak. Vi samo trebate pronaći nazivnik koji je zajednički za sve razlomke i dovesti svaki razlomak u isti nazivnik. Na primjer:
A šta će biti zajednički imenitelj? Možete, naravno, pomnožiti 2, 4, 8 i 16. Dobijamo 1024. Noćna mora. Lakše je procijeniti da je broj 16 savršeno djeljiv sa 2, 4 i 8. Stoga je od ovih brojeva lako dobiti 16. Ovaj broj će biti zajednički imenitelj. Pretvorimo 1/2 u 8/16, 3/4 u 12/16, i tako dalje.
Inače, ako uzmemo 1024 kao zajednički imenitelj, sve će ići na kraj, na kraju će se sve smanjiti. Samo što neće svi doći do ovog kraja, zbog kalkulacija...
Sami riješite primjer. Nije logaritam... Trebalo bi da bude 29/16.
Dakle, sa sabiranjem (oduzimanjem) razlomaka je jasno, nadam se? Naravno, lakše je raditi u skraćenoj verziji, uz dodatne množitelje. Ali ovo zadovoljstvo je dostupno onima koji su pošteno radili u nižim razredima... I ništa nisu zaboravili.
A sada ćemo učiniti iste radnje, ali ne sa razlomcima, već sa frakcioni izrazi. Nove grabulje će se naći ovdje, da...
Dakle, moramo dodati dva frakciona izraza:
Moramo da imenioci budu isti. I to samo uz pomoć množenje! Dakle, glavno svojstvo razlomka kaže. Stoga, ne mogu dodati jedan na x u prvom razlomku u nazivniku. (Ali to bi bilo lijepo!). Ali ako pomnožite nazivnike, vidite, sve će rasti zajedno! Dakle, zapišemo, liniju razlomka, ostavimo prazan prostor na vrhu, zatim ga dodamo i upišemo proizvod nazivnika ispod, da ne zaboravimo:
I, naravno, ne množimo ništa na desnoj strani, ne otvaramo zagrade! A sada, gledajući zajednički imenilac desne strane, mislimo: da bismo dobili imenilac x (x + 1) u prvom razlomku, trebamo pomnožiti brojilac i imenilac ovog razlomka sa (x + 1) . A u drugom razlomku - x. Dobijate ovo:
Bilješka! Zagrade su ovdje! Ovo je grabulja na koju mnogi gaze. Ne zagrade, naravno, već njihov nedostatak. Zagrade se pojavljuju jer se množimo cjelina brojilac i cjelina imenilac! A ne njihovi pojedinačni komadi...
U brojiocu desne strane upisujemo zbir brojilaca, sve je kao u brojevnim razlomcima, zatim otvaramo zagrade u brojiocu desne strane, tj. pomnoži sve i daj slično. Ne morate otvarati zagrade u nazivnicima, ne morate nešto množiti! Općenito, u nazivnicima (bilo koji) proizvod je uvijek ugodniji! Dobijamo:
Ovdje smo dobili odgovor. Proces se čini dugim i teškim, ali ovisi o praksi. Riješite primjere, naviknite se, sve će postati jednostavno. Oni koji su savladali razlomke u predviđenom vremenu, sve ove operacije rade jednom rukom, na mašini!
I još jedna napomena. Mnogi se slavno bave razlomcima, ali se drže primjera cijeli brojevi. Tip: 2 + 1/2 + 3/4= ? Gdje pričvrstiti dvojku? Ne morate nigdje pričvrstiti, morate napraviti razlomak od dvojke. Nije lako, veoma je jednostavno! 2=2/1. Volim ovo. Bilo koji cijeli broj može se napisati kao razlomak. Brojilac je sam broj, nazivnik je jedan. 7 je 7/1, 3 je 3/1 i tako dalje. Isto je i sa slovima. (a + b) \u003d (a + b) / 1, x \u003d x / 1, itd. I onda radimo s tim razlomcima prema svim pravilima.
Pa, na sabiranju - oduzimanju razlomaka, znanje je osvježeno. Transformacije razlomaka iz jedne vrste u drugu - ponavljaju se. Također možete provjeriti. Hoćemo li se malo dogovoriti?)
Izračunati:
Odgovori (u neredu):
71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6
Množenje / dijeljenje razlomaka - u sljedećoj lekciji. Tu su i zadaci za sve radnje sa razlomcima.
Ako vam se sviđa ovaj sajt...
Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učenje - sa interesovanjem!)
možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.
Možete izvoditi različite radnje s razlomcima, na primjer, dodavanje razlomaka. Sabiranje razlomaka može se podijeliti na nekoliko tipova. Svaka vrsta sabiranja razlomaka ima svoja pravila i algoritam radnji. Pogledajmo detaljnije svaku vrstu dodavanja.
Sabiranje razlomaka sa istim nazivnicima.
Na primjer, da vidimo kako sabrati razlomke sa zajedničkim nazivnikom.
Planinari su išli na pješačenje od tačke A do tačke E. Prvog dana hodali su od tačke A do B, odnosno \(\frac(1)(5)\) cijelim putem. Drugog dana su išli od tačke B do D ili \(\frac(2)(5)\) cijelim putem. Koliko su putovali od početka putovanja do tačke D?
Da biste pronašli udaljenost od tačke A do tačke D, dodajte razlomke \(\frac(1)(5) + \frac(2)(5)\).
Sabiranje razlomaka sa istim nazivnicima je da morate sabrati brojioce ovih razlomaka, a nazivnik će ostati isti.
\(\frac(1)(5) + \frac(2)(5) = \frac(1 + 2)(5) = \frac(3)(5)\)
U doslovnom obliku, zbir razlomaka sa istim nazivnicima će izgledati ovako:
\(\bf \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a + b)(c)\)
Odgovor: turisti su putovali \(\frac(3)(5)\) cijelim putem.
Sabiranje razlomaka sa različitim nazivnicima.
Razmotrimo primjer:
Dodajte dva razlomka \(\frac(3)(4)\) i \(\frac(2)(7)\).
Da biste sabrali razlomke s različitim nazivnicima, prvo morate pronaći, a zatim upotrijebite pravilo za sabiranje razlomaka s istim nazivnicima.
Za nazivnike 4 i 7, zajednički imenilac je 28. Prvi razlomak \(\frac(3)(4)\) se mora pomnožiti sa 7. Drugi razlomak \(\frac(2)(7)\) mora biti pomnoženo sa 4.
\(\frac(3)(4) + \frac(2)(7) = \frac(3 \puta \color(red) (7) + 2 \times \color(red) (4))(4 \ puta \color(red) (7)) = \frac(21 + 8)(28) = \frac(29)(28) = 1\frac(1)(28)\)
U doslovnom obliku, dobijamo sljedeću formulu:
\(\bf \frac(a)(b) + \frac(c)(d) = \frac(a \puta d + c \puta b)(b \puta d)\)
Zbrajanje mješovitih brojeva ili mješovitih razlomaka.
Do sabiranja dolazi po zakonu sabiranja.
Za mješovite razlomke, cjelobrojne dijelove dodajte cijelim dijelovima, a razlomke razlomcima.
Ako razlomci mješovitih brojeva imaju iste nazivnike, onda zbrojite brojioce, a nazivnik ostaje isti.
Dodajte mješovite brojeve \(3\frac(6)(11)\) i \(1\frac(3)(11)\).
\(3\frac(6)(11) + 1\frac(3)(11) = (\color(red) (3) + \color(blue) (\frac(6)(11))) + ( \color(crvena) (1) + \color(plava) (\frac(3)(11))) = (\color(red) (3) + \color(red) (1)) + (\color( plava) (\frac(6)(11)) + \color(plava) (\frac(3)(11))) = \color(red)(4) + (\color(blue) (\frac(6) + 3)(11))) = \color(red)(4) + \color(blue) (\frac(9)(11)) = \color(red)(4) \color(blue) (\frac (9)(11))\)
Ako razlomci mješovitih brojeva imaju različite nazivnike, tada nalazimo zajednički imenilac.
Dodajmo mješovite brojeve \(7\frac(1)(8)\) i \(2\frac(1)(6)\).
Imenilac je drugačiji, tako da morate pronaći zajednički imenilac, jednak je 24. Pomnožite prvi razlomak \(7\frac(1)(8)\) dodatnim faktorom 3, a drugi razlomak \( 2\frac(1)(6)\) na 4.
\(7\frac(1)(8) + 2\frac(1)(6) = 7\frac(1 \puta \color(red) (3))(8 \times \color(red) (3) ) = 2\frac(1 \puta \color(red) (4))(6 \times \color(red) (4)) =7\frac(3)(24) + 2\frac(4)(24 ) = 9\frac(7)(24)\)
Povezana pitanja:
Kako sabirati razlomke?
Odgovor: prvo morate odlučiti kojoj vrsti izraz pripada: razlomci imaju iste imenioce, različite nazivnike ili mješovite razlomke. Ovisno o vrsti izraza, prelazimo na algoritam rješenja.
Kako riješiti razlomke sa različitim nazivnicima?
Odgovor: potrebno je pronaći zajednički imenilac, a zatim slijediti pravilo sabiranja razlomaka sa istim nazivnicima.
Kako riješiti miješane razlomke?
Odgovor: Dodajte cijele dijelove cijelim dijelovima i razlomke u razlomke.
Primjer #1:
Može li zbir dva rezultirati pravim razlomkom? Pogrešan razlomak? Navedite primjere.
\(\frac(2)(7) + \frac(3)(7) = \frac(2 + 3)(7) = \frac(5)(7)\)
Razlomak \(\frac(5)(7)\) je pravi razlomak, on je rezultat zbira dvaju pravih razlomaka \(\frac(2)(7)\) i \(\frac(3) (7)\).
\(\frac(2)(5) + \frac(8)(9) = \frac(2 \times 9 + 8 \times 5)(5 \times 9) =\frac(18 + 40)(45) = \frac(58)(45)\)
Razlomak \(\frac(58)(45)\) je nepravilan razlomak, on je rezultat zbira pravih razlomaka \(\frac(2)(5)\) i \(\frac(8) (9)\).
Odgovor: Odgovor je potvrdan na oba pitanja.
Primjer #2:
Dodajte razlomke: a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11)\) b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9)\).
a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11) = \frac(3 + 5)(11) = \frac(8)(11)\)
b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9) = \frac(1 \puta \color(red) (3))(3 \times \color(red) (3)) + \frac(2)(9) = \frac(3)(9) + \frac(2)(9) = \frac(5)(9)\)
Primjer #3:
Zapišite mješoviti razlomak kao zbir prirodnog broja i pravilnog razlomka: a) \(1\frac(9)(47)\) b) \(5\frac(1)(3)\)
a) \(1\frac(9)(47) = 1 + \frac(9)(47)\)
b) \(5\frac(1)(3) = 5 + \frac(1)(3)\)
Primjer #4:
Izračunajte zbir: a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7)\) b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13 ) \) c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15)\)
a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7) = (8 + 2) + (\frac(5)(7) + \frac(1)(7)) = 10 + \frac(6)(7) = 10\frac(6)(7)\)
b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) = 2 + (\frac(9)(13) + \frac(2)(13)) = 2\frac(11 )(13) \)
c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(2 \times 3)(5 \puts 3) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(6)(15) + 3\frac(4)(15) = (7 + 3)+(\frac(6)(15) + \frac(4)(15)) = 10 + \frac (10)(15) = 10\frac(10)(15) = 10\frac(2)(3)\)
Zadatak #1:
Za večerom su jeli \(\frac(8)(11)\) kolača, a navečer za večerom su jeli \(\frac(3)(11)\). Mislite li da je torta u potpunosti pojedena ili nije?
Rješenje:
Imenitelj razlomka je 11, on označava na koliko je dijelova podijeljen kolač. Za ručkom smo pojeli 8 komada torte od 11. Na večeri smo pojeli 3 komada torte od 11. Dodajmo 8 + 3 = 11, pojeli smo komade torte od 11, odnosno cijelu tortu.
\(\frac(8)(11) + \frac(3)(11) = \frac(11)(11) = 1\)
Odgovor: Pojeli su cijelu tortu.
U ovoj lekciji ćemo razmotriti sabiranje i oduzimanje algebarskih razlomaka sa različitim nazivnicima. Već znamo kako sabirati i oduzimati obične razlomke s različitim nazivnicima. Da biste to učinili, razlomci se moraju svesti na zajednički nazivnik. Ispostavilo se da algebarski razlomci slijede ista pravila. U isto vrijeme, već znamo kako svesti algebarske razlomke na zajednički nazivnik. Sabiranje i oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima jedna je od najvažnijih i najtežih tema u 8. razredu. Štaviše, ova tema će se naći u mnogim temama kursa algebre, koje ćete proučavati u budućnosti. U sklopu lekcije proučavat ćemo pravila za sabiranje i oduzimanje algebarskih razlomaka s različitim nazivnicima, kao i analizirati niz tipičnih primjera.
Razmotrimo najjednostavniji primjer za obične razlomke.
Primjer 1 Dodaj razlomke: .
Rješenje:
Zapamtite pravilo za sabiranje razlomaka. Za početak, razlomci se moraju svesti na zajednički nazivnik. Zajednički nazivnik za obične razlomke je najmanji zajednički višekratnik(LCM) originalnih nazivnika.
Definicija
Najmanje prirodni broj, koji je istovremeno djeljiv brojevima i .
Da bismo pronašli LCM, potrebno je dekomponovati nazivnike na proste faktore, a zatim odabrati sve proste faktore koji su uključeni u ekspanziju oba nazivnika.
; . Tada LCM brojeva mora uključivati dva 2 i dva 3: .
Nakon pronalaženja zajedničkog imenioca, potrebno je pronaći dodatni faktor za svaki od razlomaka (zapravo, podijeliti zajednički imenilac sa imeniocem odgovarajućeg razlomka).
Zatim se svaki razlomak množi s rezultirajućim dodatnim faktorom. Dobijamo razlomke sa istim nazivnicima, koje smo naučili sabirati i oduzimati u prethodnim lekcijama.
Dobijamo: 
.
odgovor:.
Razmotrimo sada sabiranje algebarskih razlomaka s različitim nazivnicima. Prvo razmotrite razlomke čiji su imenioci brojevi.
Primjer 2 Dodaj razlomke: .
Rješenje:
Algoritam rješenja je apsolutno sličan prethodnom primjeru. Lako je pronaći zajednički nazivnik za ove razlomke: i dodatne faktore za svaki od njih.
.
odgovor:.
Pa hajde da formulišemo algoritam za sabiranje i oduzimanje algebarskih razlomaka sa različitim nazivnicima:
1. Pronađite najmanji zajednički imenilac razlomaka.
2. Pronađite dodatne faktore za svaki od razlomaka (dijeleći zajednički imenilac sa imeniocem ovog razlomka).
3. Pomnožite brojioce odgovarajućim dodatnim faktorima.
4. Dodajte ili oduzmite razlomke koristeći pravila za sabiranje i oduzimanje razlomaka sa istim nazivnicima.
Razmotrimo sada primjer s razlomcima u čijim nazivniku se nalaze doslovni izrazi.
Primjer 3 Dodaj razlomke: .
Rješenje:
Pošto su doslovni izrazi u oba nazivnika isti, trebali biste pronaći zajednički nazivnik za brojeve. Konačni zajednički imenilac će izgledati ovako: . Dakle, rješenje za ovaj primjer je:
odgovor:.
Primjer 4 Oduzmite razlomke: .
Rješenje:
Ako ne možete "prevariti" pri odabiru zajedničkog nazivnika (ne možete ga rastaviti na faktore ili koristiti skraćene formule za množenje), onda morate uzeti umnožak nazivnika oba razlomka kao zajednički nazivnik.
odgovor:.
Općenito, pri rješavanju ovakvih primjera najteži je zadatak pronaći zajednički nazivnik.
Pogledajmo složeniji primjer.
Primjer 5 Pojednostavite: .
Rješenje:
Prilikom pronalaženja zajedničkog nazivnika, prvo morate pokušati rastaviti nazivnike originalnih razlomaka (da biste pojednostavili zajednički imenilac).
U ovom konkretnom slučaju:
Tada je lako odrediti zajednički imenilac: 
.
Određujemo dodatne faktore i rješavamo ovaj primjer:
odgovor:.
Sada ćemo popraviti pravila za sabiranje i oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima.
Primjer 6 Pojednostavite: .
Rješenje:
odgovor:.
Primjer 7 Pojednostavite: .
Rješenje:
.
odgovor:.
Razmotrimo sada primjer u kojem se zbrajaju ne dva, već tri razlomka (na kraju krajeva, pravila za sabiranje i oduzimanje za više razlomaka ostaju ista).
Primjer 8 Pojednostavite: .
Razmotrimo razlomak $\frac63$. Njegova vrijednost je 2, budući da je $\frac63 =6:3 = 2$. Šta se dešava ako se brojilac i imenilac pomnože sa 2? $\frac63 \times 2=\frac(12)(6)$. Očigledno, vrijednost razlomka se nije promijenila, pa je $\frac(12)(6)$ također jednako 2 kao y. pomnožimo brojilac i imenilac za 3 i dobijete $\frac(18)(9)$, ili za 27 i dobijete $\frac(162)(81)$ ili za 101 i dobijete $\frac(606)(303)$. U svakom od ovih slučajeva, vrijednost razlomka koju dobijemo dijeljenjem brojioca sa imeniocem je 2. To znači da se nije promijenila.
Isti obrazac se opaža iu slučaju drugih frakcija. Ako se brojilac i nazivnik razlomka $\frac(120)(60)$ (jednako 2) podijeli sa 2 (rezultat $\frac(60)(30)$), ili sa 3 (rezultat $\ frac(40)(20) $), ili za 4 (rezultat $\frac(30)(15)$) i tako dalje, tada u svakom slučaju vrijednost razlomka ostaje nepromijenjena i jednaka 2.
Ovo pravilo vrijedi i za razlomke koji nisu jednaki. cijeli broj.
Ako se brojnik i imenilac razlomka $\frac(1)(3)$ pomnoži sa 2, dobijamo $\frac(2)(6)$, odnosno vrijednost razlomka se nije promijenila. A zapravo, ako podijelite tortu na 3 dijela i uzmete jedan od njih, ili ga podijelite na 6 dijelova i uzmete 2 dijela, dobićete istu količinu pite u oba slučaja. Dakle, brojevi $\frac(1)(3)$ i $\frac(2)(6)$ su identični. Hajde da formulišemo opšte pravilo.
Brojnik i imenilac bilo kog razlomka mogu se pomnožiti ili podijeliti istim brojem, a vrijednost razlomka se ne mijenja.
Ovo pravilo je veoma korisno. Na primjer, dozvoljava u nekim slučajevima, ali ne uvijek, izbjegavanje operacija s velikim brojevima.
Na primjer, brojilac i nazivnik razlomka $\frac(126)(189)$ možemo podijeliti sa 63 i dobiti razlomak $\frac(2)(3)$ koji je mnogo lakši za izračunavanje. Još jedan primjer. Možemo podijeliti brojilac i imenilac razlomka $\frac(155)(31)$ sa 31 i dobiti razlomak $\frac(5)(1)$ ili 5, pošto je 5:1=5.
U ovom primjeru smo se prvi put susreli razlomak čiji je imenilac 1. Takvi razlomci igraju važnu ulogu u proračunima. Treba imati na umu da se bilo koji broj može podijeliti sa 1 i njegova vrijednost se neće promijeniti. To jest, $\frac(273)(1)$ je jednako 273; $\frac(509993)(1)$ je jednako 509993 i tako dalje. Stoga, ne trebamo dijeliti brojeve sa , jer se svaki cijeli broj može predstaviti kao razlomak s nazivnikom od 1.
Sa takvim razlomcima, čiji je nazivnik jednak 1, možete izvesti iste aritmetičke operacije kao i sa svim drugim razlomcima: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30) (1) $, $\frac(4)(1) \times \frac(3)(1)=\frac(12)(1)$.
Možete pitati koja je svrha predstavljanja cijelog broja kao razlomka, koji će imati jedinicu ispod trake, jer je zgodnije raditi s cijelim brojem. Ali činjenica je da nam predstavljanje cijelog broja kao razlomka daje mogućnost da efikasnije izvodimo različite radnje kada imamo posla i s cijelim i s razlomcima u isto vrijeme. Na primjer, naučiti zbrajati razlomke sa različitim nazivnicima. Pretpostavimo da trebamo dodati $\frac(1)(3)$ i $\frac(1)(5)$.
Znamo da možete sabirati samo razlomke čiji su imenioci jednaki. Dakle, moramo naučiti kako razlomke dovesti u takav oblik kada su im imenioci jednaki. U ovom slučaju, opet nam je potrebna činjenica da možete pomnožiti brojilac i nazivnik razlomka sa istim brojem bez promjene njegove vrijednosti.
Prvo, pomnožimo brojilac i nazivnik razlomka $\frac(1)(3)$ sa 5. Dobijamo $\frac(5)(15)$, vrijednost razlomka se nije promijenila. Zatim pomnožimo brojilac i nazivnik razlomka $\frac(1)(5)$ sa 3. Dobijamo $\frac(3)(15)$, opet vrijednost razlomka se nije promijenila. Dakle, $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$.
Pokušajmo sada primijeniti ovaj sistem na sabiranje brojeva koji sadrže i cijele i razlomke.
Moramo dodati $3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$. Prvo, pretvaramo sve pojmove u razlomke i dobijamo: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$. Sada moramo sve razlomke dovesti u zajednički nazivnik, za to pomnožimo brojilac i imenilac prvog razlomka sa 12, drugog sa 4, a trećeg sa 3. Kao rezultat, dobijamo $\frac(36 )(12) + \frac(4 )(12)+\frac(15)(12)$, što je jednako $\frac(55)(12)$. Ako želite da se rešite nepravilan razlomak, može se pretvoriti u broj koji se sastoji od cijelog broja i razlomka: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ ili $4\frac( 7)( 12)$.
Sva pravila koja dozvoljavaju operacije sa razlomcima, koje smo upravo proučavali, vrijede i u slučaju negativnih brojeva. Dakle, -1:3 se može napisati kao $\frac(-1)(3)$, a 1: (-3) kao $\frac(1)(-3)$.
Budući da i dijeljenje negativnog broja pozitivnim brojem i dijeljenje pozitivnog broja negativnim rezultiraju negativnim brojevima, u oba slučaja ćemo dobiti odgovor u obliku negativnog broja. To je
$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ ili $1 : (-3) = \frac(1)(-3)$. Znak minus kada se napiše na ovaj način odnosi se na cijeli razlomak u cjelini, a ne zasebno na brojnik ili nazivnik.
S druge strane, (-1) : (-3) se može napisati kao $\frac(-1)(-3)$, a pošto dijeljenje negativnog broja negativnim brojem daje pozitivan broj, onda $\frac (-1 )(-3)$ se može napisati kao $+\frac(1)(3)$.
Sabiranje i oduzimanje negativnih razlomaka vrši se na isti način kao i sabiranje i oduzimanje pozitivnih razlomaka. Na primjer, šta je $1- 1\frac13$? Hajde da predstavimo oba broja kao razlomke i dobijemo $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$. Hajde da svedemo razlomke na zajednički nazivnik i dobijemo $\frac(1 \times 3)(1 \times 3)-\frac(4)(3)$, tj. $\frac(3)(3)-\frac( 4) (3)$, ili $-\frac(1)(3)$.
U petom veku pre nove ere, starogrčki filozof Zenon iz Eleje formulisao je svoje čuvene aporije, od kojih je najpoznatija aporija "Ahilej i kornjača". Evo kako to zvuči:Recimo, Ahil trči deset puta brže od kornjače i hiljadu koraka je iza nje. Za vrijeme dok Ahil pretrči ovu udaljenost, kornjača puzi stotinu koraka u istom smjeru. Kada Ahil pretrči stotinu koraka, kornjača će puzati još deset koraka, i tako dalje. Proces će se nastaviti u nedogled, Ahilej nikada neće sustići kornjaču.
Ovo razmišljanje je postalo logičan šok za sve naredne generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Gilbert... Svi su oni, na ovaj ili onaj način, smatrali Zenonove aporije. Šok je bio toliko jak da je " ... rasprave se nastavljaju i sada, naučna zajednica još nije uspjela doći do zajedničkog mišljenja o suštini paradoksa ... matematička analiza, teorija skupova, novi fizički i filozofski pristupi uključeni su u proučavanje problematike ; nijedan od njih nije postao univerzalno prihvaćeno rješenje problema..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Svi razumiju da su prevareni, ali niko ne razumije u čemu je obmana.
Sa stanovišta matematike, Zenon je u svojim aporijama jasno pokazao prelazak sa vrednosti na. Ovaj prijelaz podrazumijeva primjenu umjesto konstanti. Koliko sam shvatio, matematički aparat za primjenu varijabilnih mjernih jedinica ili još nije razvijen, ili nije primijenjen na Zenonove aporije. Primjena naše uobičajene logike vodi nas u zamku. Mi, po inerciji mišljenja, primjenjujemo stalne jedinice vremena na recipročno. Sa fizičke tačke gledišta, to izgleda kao da se vrijeme usporava do potpunog zaustavljanja u trenutku kada Ahil sustigne kornjaču. Ako vrijeme stane, Ahil više ne može prestići kornjaču.
Ako okrenemo logiku na koju smo navikli, sve dolazi na svoje mjesto. Ahil trči konstantnom brzinom. Svaki naredni segment njegovog puta je deset puta kraći od prethodnog. Shodno tome, vrijeme utrošeno na njegovo savladavanje je deset puta manje od prethodnog. Ako u ovoj situaciji primijenimo koncept "beskonačnosti", tada bi bilo ispravno reći "Ahilej će beskonačno brzo prestići kornjaču."
Kako izbjeći ovu logičnu zamku? Ostanite u konstantnim jedinicama vremena i ne prelazite na recipročne vrijednosti. Na Zenonovom jeziku to izgleda ovako:
Za vrijeme koje je Ahileju potrebno da pretrči hiljadu koraka, kornjača puzi stotinu koraka u istom smjeru. Tokom sledećeg vremenskog intervala, jednakog prvom, Ahilej će pretrčati još hiljadu koraka, a kornjača će puzati sto koraka. Sada je Ahil osamsto koraka ispred kornjače.
Ovaj pristup na adekvatan način opisuje stvarnost bez ikakvih logičkih paradoksa. Ali nije kompletno rješenje Problemi. Ajnštajnova izjava o nepremostivosti brzine svetlosti veoma je slična Zenonovoj aporiji "Ahilej i kornjača". Taj problem tek treba da proučimo, razmislimo i riješimo. A rješenje se mora tražiti ne u beskonačno velikim brojevima, već u mjernim jedinicama.
Još jedna zanimljiva Zenonova aporija govori o letećoj strijeli:
Leteća strela je nepomična, pošto u svakom trenutku miruje, a pošto miruje u svakom trenutku, uvek miruje.
U ovoj aporiji logički paradoks je prevaziđen vrlo jednostavno - dovoljno je razjasniti da u svakom trenutku vremena leteća strijela miruje u različitim tačkama prostora, što je, u stvari, kretanje. Ovdje treba napomenuti još jednu stvar. Iz jedne fotografije automobila na cesti nemoguće je utvrditi ni činjenicu njegovog kretanja, ni udaljenost do njega. Za utvrđivanje činjenice kretanja automobila potrebne su dvije fotografije snimljene iz iste tačke u različitim vremenskim trenucima, ali se ne mogu koristiti za određivanje udaljenosti. Da biste odredili udaljenost do automobila, potrebne su vam dvije fotografije snimljene iz različitih točaka u prostoru u isto vrijeme, ali ne možete utvrditi činjenicu kretanja iz njih (naravno, još su vam potrebni dodatni podaci za proračune, pomoći će vam trigonometrija). Ono što želim posebno da istaknem je da su dvije tačke u vremenu i dvije tačke u prostoru dvije različite stvari koje ne treba brkati jer pružaju različite mogućnosti za istraživanje.
Srijeda, 04.07.2018
Vrlo dobro su razlike između skupa i multiseta opisane na Wikipediji. Gledamo.
Kao što vidite, "skup ne može imati dva identična elementa", ali ako u skupu postoje identični elementi, takav skup se naziva "multiset". Razumna bića nikada neće shvatiti takvu logiku apsurda. Ovo je nivo govornih papagaja i dresiranih majmuna, na kojem um nema riječi "potpuno". Matematičari se ponašaju kao obični treneri, propovijedajući nam svoje apsurdne ideje.
Nekada su inženjeri koji su gradili most bili u čamcu ispod mosta tokom ispitivanja mosta. Ako se most sruši, osrednji inženjer je umro pod ruševinama svoje kreacije. Ako je most mogao izdržati opterećenje, talentirani inženjer je izgradio druge mostove.
Bez obzira na to koliko se matematičari kriju iza fraze "pamet, ja sam u kući", odnosno "matematika proučava apstraktne pojmove", postoji jedna pupčana vrpca koja ih neraskidivo povezuje sa stvarnošću. Ova pupčana vrpca je novac. Primijenimo matematičku teoriju skupova na same matematičare.
Odlično smo učili matematiku i sada sjedimo na blagajni i isplaćujemo plate. Ovdje nam dolazi matematičar po svoj novac. Prebrojimo mu cijeli iznos i izložimo ga na našem stolu u različite gomile, u koje stavljamo novčanice istog apoena. Zatim uzimamo po jedan račun sa svake gomile i dajemo matematičaru njegov "matematički skup plata". Objašnjavamo matematiku da će ostatak računa dobiti tek kada dokaže da skup bez identičnih elemenata nije jednak skupu sa identičnim elementima. Ovdje zabava počinje.
Prije svega, proradiće poslanička logika: "možete to primijeniti na druge, ali ne i na mene!" Dalje će početi uvjeravanja da na novčanicama istog apoena postoje različiti brojevi novčanica, što znači da se ne mogu smatrati identičnim elementima. Pa, računamo platu u kovanicama - na kovanicama nema brojeva. Ovdje će se matematičar mahnito prisjetiti fizike: različiti novčići imaju različite količine prljavštine, kristalna struktura i raspored atoma za svaki novčić je jedinstven...
A sada imam najviše interes Pitajte: gdje je granica iza koje se elementi multiskupa pretvaraju u elemente skupa i obrnuto? Takva linija ne postoji - o svemu odlučuju šamani, nauka ovdje nije ni blizu.
Pogledati ovdje. Odabiremo fudbalske stadione sa istom površinom terena. Površina polja je ista, što znači da imamo višestruki skup. Ali ako uzmemo u obzir imena istih stadiona, dobijamo mnogo, jer su imena različita. Kao što vidite, isti skup elemenata je i skup i višestruki skup u isto vrijeme. Koliko tačno? I ovdje matematičar-šaman-šuler vadi adutskog asa iz rukava i počinje nam pričati ili o setu ili o multisetu. U svakom slučaju, on će nas uvjeriti da je u pravu.
Da bismo razumjeli kako moderni šamani operiraju teorijom skupova, vezujući je za stvarnost, dovoljno je odgovoriti na jedno pitanje: kako se elementi jednog skupa razlikuju od elemenata drugog skupa? Ja ću vam pokazati, bez ikakvog "zamislivog kao nijedna celina" ili "nezamislivog kao jedinstvene celine".
Nedjelja, 18.03.2018
Zbir cifara broja je ples šamana s tamburom, koji nema nikakve veze s matematikom. Da, na časovima matematike nas uče da pronađemo zbir cifara broja i koristimo ga, ali oni su šamani za to, da uče svoje potomke svojim vještinama i mudrosti, inače će šamani jednostavno izumrijeti.
Treba li vam dokaz? Otvorite Wikipediju i pokušajte pronaći stranicu "Zbroj cifara broja". Ona ne postoji. U matematici ne postoji formula po kojoj možete pronaći zbir cifara bilo kojeg broja. Na kraju krajeva, brojevi su grafički simboli kojima pišemo brojeve, a jezikom matematike zadatak zvuči ovako: "Pronađi zbir grafičkih simbola koji predstavljaju bilo koji broj." Matematičari ne mogu riješiti ovaj problem, ali šamani to mogu elementarno.
Hajde da shvatimo šta i kako radimo da bismo pronašli zbir cifara datog broja. I tako, recimo da imamo broj 12345. Šta treba uraditi da bi se pronašao zbir cifara ovog broja? Razmotrimo redom sve korake.
1. Zapišite broj na komad papira. Šta smo uradili? Konvertovali smo broj u grafički simbol broja. Ovo nije matematička operacija.
2. Jednu primljenu sliku izrezali smo na nekoliko slika koje sadrže odvojene brojeve. Rezanje slike nije matematička operacija.
3. Pretvorite pojedinačne grafičke znakove u brojeve. Ovo nije matematička operacija.
4. Zbrojite rezultirajuće brojeve. To je matematika.
Zbir cifara broja 12345 je 15. Ovo su "tečajevi krojenja i šivanja" od šamana koje koriste matematičari. Ali to nije sve.
Sa stanovišta matematike, nije bitno u kom sistemu brojeva zapisujemo broj. Dakle, u različitim brojevnim sistemima, zbir cifara istog broja će biti različit. U matematici, sistem brojeva je označen kao indeks desno od broja. Sa velikim brojem 12345, ne želim da se zavaravam, razmislite o broju 26 iz članka o. Zapišimo ovaj broj u binarnom, oktalnom, decimalnom i heksadecimalnom brojevnom sistemu. Nećemo svaki korak razmatrati pod mikroskopom, već smo to uradili. Pogledajmo rezultat.
Kao što vidite, u različitim brojevnim sistemima, zbir cifara istog broja je različit. Ovaj rezultat nema nikakve veze sa matematikom. To je kao da bi pronalaženje površine pravokutnika u metrima i centimetrima dalo potpuno drugačije rezultate.
Nula u svim brojevnim sistemima izgleda isto i nema zbir cifara. Ovo je još jedan argument u prilog činjenici da . Pitanje za matematičare: kako se u matematici označava ono što nije broj? Šta za matematičare ne postoji ništa osim brojeva? Za šamane to mogu dozvoliti, ali za naučnike ne. Realnost nije samo u brojevima.
Dobijeni rezultat treba smatrati dokazom da su sistemi brojeva mjerne jedinice brojeva. Uostalom, ne možemo porediti brojeve sa različitim mernim jedinicama. Ako iste radnje s različitim mjernim jedinicama iste količine dovode do različitih rezultata nakon poređenja, onda to nema nikakve veze s matematikom.
Šta je prava matematika? To je kada rezultat matematičke radnje ne ovisi o vrijednosti broja, korišćenoj mjernoj jedinici i o tome ko izvodi ovu radnju.
Jao! Nije li ovo ženski toalet?
- Mlada žena! Ovo je laboratorija za proučavanje neodređene svetosti duša nakon uzašašća na nebo! Nimbus na vrhu i strelica gore. Koji drugi toalet?
Žensko... Oreol na vrhu i strelica dole je muški.
Ako vam takvo dizajnersko djelo bljesne pred očima nekoliko puta dnevno,
Onda nije iznenađujuće da iznenada nađete čudnu ikonu u svom automobilu:
Lično se trudim da vidim minus četiri stepena kod osobe koja kaki (jedna slika) (kompozicija od nekoliko slika: znak minus, broj četiri, oznaka stepeni). I ne smatram ovu djevojku budalom koja ne zna fiziku. Ona samo ima lučni stereotip percepcije grafičkih slika. A matematičari nas tome stalno uče. Evo primjera.
1A nije "minus četiri stepena" ili "jedan a". Ovo je "pooping man" ili broj "dvadeset i šest" u heksadecimalnom brojevnom sistemu. Oni ljudi koji stalno rade u ovom brojevnom sistemu automatski percipiraju broj i slovo kao jedan grafički simbol.
