Princip mogućih pokreta. Opća jednadžba dinamike Smanjenje sila se zasniva na principu mogućih pomaka

Slika 2.4

Rješenje

Zamijenimo raspoređeno opterećenje koncentriranom silom Q = q∙DH. Ova sila se primjenjuje u sredini segmenta D.H.- u tački L.

Snaga F Hajde da ga razložimo na komponente, projektujući ga na osu: horizontalno Fxcosα i vertikalno F y sinα.

Slika 2.5

Za rješavanje problema primjenom principa mogućih pomaka potrebno je da se konstrukcija može kretati i da u jednačini rada postoji jedna nepoznata reakcija. U podršku A reakcija se razlaže na komponente X A, Y A.

Za utvrđivanje X A promijeniti dizajn nosača A tako da je poenta A mogao da se kreće samo horizontalno. Izrazimo pomicanje tačaka konstrukcije kroz moguću rotaciju dijela CDB oko tačke B pod uglom δφ 1, Part A.K.C. struktura se u ovom slučaju rotira oko tačke C V1— trenutni centar rotacije (slika 2.5) pod kutom δφ 2, i pokretne tačke L I C– hoće

δS L = BL∙δφ 1 ;
δS C = BC∙δφ 1.

U isto vrijeme

δS C = CC V1 ∙δφ 2

δφ 2 = δφ 1 ∙BC/CC V1.

Pogodnije je konstruisati jednačinu rada kroz rad momenata datih sila u odnosu na centre rotacije.

Q∙BL∙δφ 1 + F x ∙BH∙δφ 1 + F y ∙ED∙δφ 1 +
+ M∙δφ 2 — X A ∙AC V1 ∙δφ 2 = 0.

Reakcija Y A ne radi posao. Transformišući ovaj izraz, dobijamo

Q∙(BH + DH/2)∙δφ 1 + F∙cosα∙BD∙δφ 1 +
+ F∙sinα∙DE∙δφ 1 + M∙δφ 1 ∙BC/CC V1 —
— X A ∙AC V1 ∙δφ 1 ∙BC/CC V1 = 0.

Reduced by δφ 1, dobijamo jednačinu iz koje možemo lako pronaći X A.

Za utvrđivanje Y A potporna struktura A Hajde da ga promenimo tako da prilikom pomeranja tačke A samo sila je uradila posao Y A(Slika 2.6). Uzmimo moguće kretanje dijela konstrukcije kao BDC rotacija oko fiksne tačke B — δφ 3.

Slika 2.6

Za bod C δS C = BC∙δφ 3, trenutni centar rotacije za dio strukture A.K.C. biće poenta C V2 i pomeranje tačke Cće se izraziti.

Princip mogućih pokreta: za ravnotežu mehaničkog sistema sa idealnim vezama potrebno je i dovoljno da zbir elementarnih radova svih aktivnih sila koje na njega djeluju za bilo koji mogući pomak bude jednak nuli. ili u projekcijama: .

Princip mogućih pomaka daje u opštem obliku uslove ravnoteže za bilo koji mehanički sistem i daje opšti metod za rešavanje statičkih problema.

Ako sistem ima nekoliko stupnjeva slobode, onda se jednačina principa mogućih kretanja sastavlja za svako od nezavisnih kretanja posebno, tj. postojaće onoliko jednačina koliko sistem ima stepena slobode.

Princip mogućih pomaka je pogodan po tome što se pri razmatranju sistema sa idealnim vezama njihove reakcije ne uzimaju u obzir i potrebno je raditi samo sa aktivnim silama.

Princip mogućih pokreta je formuliran na sljedeći način:

Da bi mater. sistem koji je podložan idealnim vezama je u stanju mirovanja; potrebno je i dovoljno da je zbir elementarnog rada aktivnih sila na mogućim pomacima tačaka u sistemu pozitivan

Opća jednadžba dinamike- kada se sistem kreće sa idealnim vezama u bilo kom trenutku vremena, zbir elementarnih radova svih primenjenih aktivnih sila i svih inercijskih sila na bilo koje moguće kretanje sistema biće jednak nuli. Jednačina koristi princip mogućih pomaka i D'Alembertov princip i omogućava vam da sastavite diferencijalne jednadžbe kretanja bilo kojeg mehaničkog sistema. Daje opću metodu za rješavanje dinamičkih problema.

Slijed kompilacije:

a) na svako tijelo primjenjuju se navedene sile koje na njega djeluju, a uvjetno se primjenjuju i sile i momenti parova inercijskih sila;

b) informisati sistem o mogućim kretanjima;

c) sastaviti jednačine za princip mogućih kretanja, s obzirom da je sistem u ravnoteži.

Treba napomenuti da se opća jednadžba dinamike može primijeniti i na sisteme s neidealnim vezama, samo što se u tom slučaju reakcije neidealnih veza, kao što su sila trenja ili moment trenja kotrljanja, moraju klasificirati kao aktivne sile. .

Rad na mogućem pomaku i aktivnih i inercijskih sila traži se na isti način kao i elementarni rad na stvarnom pomaku:

Mogući rad sile: .

Mogući rad u trenutku (par sila): .

Generalizovane koordinate mehaničkog sistema su parametri q 1 , q 2 , ..., q S, nezavisni jedan od drugog, bilo koje dimenzije, koji jednoznačno određuju položaj sistema u bilo kom trenutku.

Broj generaliziranih koordinata je jednak S - broj stepeni slobode mehaničkog sistema. Položaj svake ν-te tačke sistema, odnosno njen radijus vektor, u opštem slučaju, uvek se može izraziti kao funkcija generalizovanih koordinata:

Opća jednadžba dinamike u generaliziranim koordinatama izgleda kao sistem S jednačina na sljedeći način:

……..………. ;

………..……. ;

ovdje je generalizirana sila koja odgovara generaliziranoj koordinati:

a je generalizovana inercijalna sila koja odgovara generalizovanoj koordinati:

Broj međusobno nezavisnih mogućih kretanja sistema naziva se brojem stepeni slobode ovog sistema. Na primjer. lopta na ravni može se kretati u bilo kojem smjeru, ali svako njeno moguće kretanje može se dobiti kao geometrijski zbir dvaju kretanja duž dvije međusobno okomite ose. Slobodno kruto tijelo ima 6 stupnjeva slobode.

Generalizovane sile. Za svaku generalizovanu koordinatu može se izračunati odgovarajuća generalizovana sila Q k.

Obračun se vrši prema ovom pravilu.

Odrediti generaliziranu silu Q k, što odgovara generaliziranoj koordinati q k, morate ovoj koordinati dati prirast (povećati koordinatu za ovaj iznos), ostavljajući sve ostale koordinate nepromijenjene, izračunati zbir rada svih sila primijenjenih na sistem na odgovarajuće pomake tačaka i podijeliti ga s prirastom od koordinata:

gdje je pomjeranje i-ta tačka sistema, dobijena promenom k-ta generalizovana koordinata.

Generalizirana sila se određuje pomoću elementarnog rada. Stoga se ova sila može izračunati drugačije:

A budući da postoji povećanje radijus vektora zbog povećanja koordinate s drugim konstantnim koordinatama i vremenom t, relacija se može definirati kao parcijalni izvod. Onda

gdje su koordinate tačaka funkcije generaliziranih koordinata (5).

Ako je sistem konzervativan, odnosno kretanje se dešava pod uticajem potencijalnih sila polja, čije su projekcije , gde su , a koordinate tačaka funkcije generalizovanih koordinata, tada

Generalizovana sila konzervativnog sistema je parcijalni izvod potencijalne energije duž odgovarajuće generalizovane koordinate sa predznakom minus.

Naravno, prilikom izračunavanja ove generalizovane sile, potencijalnu energiju treba odrediti kao funkciju generalizovanih koordinata

P = P( q 1 , q 2 , q 3 ,…,qs).

Bilješke.

Prvo. Prilikom izračunavanja generaliziranih sila reakcije, idealne veze se ne uzimaju u obzir.

Sekunda. Dimenzija generalizirane sile ovisi o dimenziji generalizirane koordinate.

Lagrangeove jednadžbe 2. vrste su izvedene iz opšte jednačine dinamike u generalizovanim koordinatama. Broj jednačina odgovara broju stupnjeva slobode:

Za sastavljanje Lagrangeove jednadžbe 2. vrste, biraju se generalizirane koordinate i pronalaze se generalizirane brzine . Pronađena je kinetička energija sistema, koja je funkcija generaliziranih brzina , i, u nekim slučajevima, generalizirane koordinate. Izvode se operacije diferencijacije kinetičke energije koje daju lijeve strane Lagrangeove jednadžbe.Rezultirajući izrazi se izjednačavaju sa generaliziranim silama, za pronalaženje kojih se, pored formula (26), često koriste sljedeće pri rješavanju zadataka:

U brojiocu na desnoj strani formule je zbir elementarnih radova svih aktivnih sila na mogućem pomaku sistema koji odgovara varijaciji i-te generalizovane koordinate - . Sa ovim mogućim kretanjem, sve ostale generalizirane koordinate se ne mijenjaju. Rezultirajuće jednačine su diferencijalne jednačine kretanja mehaničkog sistema sa S stepena slobode.

Neophodno je i dovoljno da zbir rada, svih aktivnih sila primijenjenih na sistem za bilo koje moguće kretanje sistema, bude jednak nuli.

Broj jednačina koje se mogu sastaviti za jedan mehanički sistem, na osnovu principa mogućih pomaka, jednak je broju stepeni slobode samog mehaničkog sistema.

Književnost

• Targ S. M. Kratki kurs teorijske mehanike. Udžbenik za fakultete - 10. izd., revidirano. i dodatne - M.: Više. škola, 1986.- 416 str., ilustr.
• Osnovni kurs teorijske mehanike (prvi deo) N. N. Buchgolts, Izdavačka kuća Nauka, Glavna redakcija Fizičko-matematičke literature, Moskva, 1972, 468 str.

Wikimedia fondacija. 2010.

Pogledajte šta je “Princip mogućih pomaka” u drugim rječnicima:

princip mogućih kretanja

Jedan od varijacionih principa mehanike, uspostavljanje opšteg uslova za mehaničku ravnotežu. sistemima. Prema V. p.p., za mehaničku ravnotežu. sistema sa idealnim vezama (vidi MEHANIČKE VEZE) potrebno je i dovoljno da zbir rada dAi...... Fizička enciklopedija

Veliki enciklopedijski rječnik

PRINCIP MOGUĆIH KRETANJA, za ravnotežu mehaničkog sistema neophodno je i dovoljno da je zbir rada svih sila koje deluju na sistem za svako moguće kretanje sistema jednak nuli. Princip mogućih kretanja primjenjuje se kada... ... enciklopedijski rječnik

Jedan od varijacionih principa mehanike (vidi Varijacijski principi mehanike), koji uspostavlja opšti uslov za ravnotežu mehaničkog sistema. Prema V. p.p., za ravnotežu mehaničkog sistema sa idealnim vezama (vidi Veze ... ... Velika sovjetska enciklopedija

Princip virtuelne brzine, diferencijalni varijacioni princip klasične mehanike, izražava najopštije uslove ravnoteže mehaničkih sistema ograničenih idealnim vezama. Prema V. p. p. mehan. sistem je u ravnoteži... Mathematical Encyclopedia

Za ravnotežu mehaničkog sistema neophodno je i dovoljno da zbir rada svih sila koje deluju na sistem za svako moguće kretanje sistema bude jednak nuli. U proučavanju uslova ravnoteže primenjuje se princip mogućih pomaka. enciklopedijski rječnik

Za mehaničku ravnotežu. Za sistem je neophodno i dovoljno da zbir rada svih sila koje deluju na sistem za svako moguće kretanje sistema bude jednak nuli. V. p. p. se koristi u proučavanju uslova ravnoteže složenih mehaničkih sistema. sistemi...... Prirodna nauka. enciklopedijski rječnik

princip virtuelnih pomeranja- virtualiųjų poslinkių principas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. princip virtuelnog pomeranja vok. Prinzip der virtuellen Verschiebungen, n rus. princip virtuelnih pomaka, m; princip mogućih pokreta, m pranc. principe des … Fizikos terminų žodynas

Jedan od varijacionih principa mehanike, prema rum za datu klasu mehaničkih kretanja upoređujući jedno s drugim. sistema, valjan je onaj za koji fizički. veličina, tzv djelovanje, ima najmanju (tačnije, stacionarnu)… … Fizička enciklopedija

Knjige

• Teorijska mehanika. U 4 toma. Volume 3: Dynamics. Analitička mehanika. Tekstovi predavanja. Lešinar Ministarstva odbrane Ruske Federacije, Bogomaz Irina Vladimirovna. Udžbenik sadrži dva dijela jednog predmeta teorijske mehanike: dinamiku i analitičku mehaniku. U prvom dijelu se detaljno razmatraju prvi i drugi problemi dinamike, također...

Uspostavljanje opšteg stanja ravnoteže mehaničkog sistema. Prema ovom principu, za ravnotežu mehaničkog sistema sa idealnim vezama potrebno je i dovoljno da zbir virtuelnog rada $A\_i$ samo aktivne sile pri svakom mogućem pomaku sistema bile su jednake nuli (ako je sistem doveden u ovaj položaj sa nultim brzinama).

Broj linearno nezavisnih jednadžbi ravnoteže koje se mogu sastaviti za mehanički sistem, na osnovu principa mogućih pomaka, jednak je broju stepeni slobode ovog mehaničkog sistema.

Moguće pokreta neslobodnog mehaničkog sistema nazivaju se imaginarna beskonačno mala kretanja dozvoljena u datom trenutku ograničenjima nametnutim sistemu (u ovom slučaju, vrijeme koje je eksplicitno uključeno u jednačine nestacionarnih ograničenja smatra se fiksnim). Zovu se projekcije mogućih pomaka na kartezijanske koordinatne ose varijacije Kartezijanske koordinate.

Virtuelno pokreta nazivaju se beskonačno malim pomacima koje dozvoljavaju veze tokom „zamrznutog vremena“. One. razlikuju se od mogućih kretanja samo kada su veze reonomske (eksplicitno zavisne od vremena).

Ako je, na primjer, sistem podložan $l$ holonomske reonomske veze:

$f\_(\backslash alpha)(\backslash vec\; r,\; t)\; =\; 0,\; \backslash quad\; \backslash alpha\; =\; \backslash overline(1,l)$

To su mogući pokreti $\backslash Delta\; \backslash vec\; r$ su oni koji zadovoljavaju

$\backslash sum\_(i=1)^(N)\; \backslash frac(\backslash partial\; f\_(\backslash alpha))(\backslash partial\; \backslash vec(r))\; \backslash cdot\; \backslash Delta\; \backslash vec(r)\; +\; \backslash frac(\backslash partial\; f\_(\backslash alpha)\; ))(\backslash partial\; t)\; \backslash Delta\; t\; =\; 0,\; \backslash quad\; \backslash alpha\; =\; \backslash overline(1,l)$

I virtuelno $\backslash delta\; \backslash vec\; r$:

$\backslash sum\_(i=1)^(N)\; \backslash frac(\backslash partial\; f\_(\backslash alpha))(\backslash partial\; \backslash vec(r))\backslash delta\; \backslash vec(r)\; =\; 0,\; \backslash quad\; \backslash alpha\; =\; \backslash overline(1\; ,l)$

Virtuelna kretanja, uopšteno govoreći, nemaju veze sa procesom kretanja sistema – uvode se samo da bi se identifikovali odnosi sila koji postoje u sistemu i dobili uslovi ravnoteže. Potrebna je mala količina pomaka kako bi se reakcije idealnih veza mogle smatrati nepromijenjenima.

Napišite recenziju o članku "Princip mogućih pokreta"

Književnost

• Buchgolts N. N. Osnovni kurs teorijske mehanike. Dio 1. 10. izd. - Sankt Peterburg: Lan, 2009. - 480 str. - ISBN 978-5-8114-0926-6.
• Targ S. M. Kratki kurs iz teorijske mehanike: Udžbenik za univerzitete. 18th ed. - M.: Viša škola, 2010. - 416 str. - ISBN 978-5-06-006193-2.
• Markeev A.P. Teorijska mehanika: udžbenik za univerzitete. - Izhevsk: Istraživački centar "Regularna i haotična dinamika", 2001. - 592 str. - ISBN 5-93972-088-9.

Odlomak koji karakteriše princip mogućih kretanja

– Nous y voila, [to je poenta.] zašto mi ništa ranije nisi rekao?
– U mozaik aktovci koju drži ispod jastuka. „Sada znam“, rekla je princeza bez odgovora. "Da, ako iza mene stoji grijeh, veliki grijeh, onda je to mržnja prema ovom nitkovu", gotovo je viknula princeza, potpuno promijenjena. - A zašto se ona trlja ovde? Ali reći ću joj sve, sve. Doći će vrijeme!

Dok su se takvi razgovori odvijali u sobi za primanje i u princezinim sobama, kočija sa Pjerom (po koga su poslali) i sa Anom Mihajlovnom (koja je smatrala da je potrebno da ide s njim) uvezla se u dvorište grofa Bezuhija. Kada su točkovi kočije tiho zazvonili po slami raširenoj ispod prozora, Ana Mihajlovna, okrenuvši se svom saputniku utešnim rečima, uveri se da on spava u uglu kočije i probudi ga. Nakon što se probudio, Pjer je izašao za Anom Mihajlovnom iz kočije, a onda je razmišljao samo o susretu sa umirućim ocem koji ga je čekao. Primijetio je da se nisu dovezli do prednjeg, nego do zadnjeg ulaza. Dok je silazio sa stepenica, dva čoveka u buržoaskoj odeći žurno su pobegla od ulaza u senku zida. Zastajući, Pjer je u senci kuće sa obe strane ugledao još nekoliko sličnih ljudi. Ali ni Ana Mihajlovna, ni lakaj, ni kočijaš, koji nisu mogli da ne vide ove ljude, nisu obraćali pažnju na njih. Stoga je ovo tako neophodno, odlučio je Pjer u sebi i krenuo za Anom Mihajlovnom. Ana Mihajlovna je žurnim koracima koračala uz slabo osvetljeno usko kameno stepenište, dozivajući Pjera, koji je zaostajao za njom, koji, iako nije razumeo zašto uopšte mora da ide kod grofa, a još manje zašto mora da ide uz stražnje stepenice, ali, sudeći po samopouzdanju i žurbi Ane Mihajlovne, sam je odlučio da je to neophodno. Na pola stepenica umalo su ih srušili neki ljudi sa kantama, koji su, zveckajući čizmama, potrčali prema njima. Ovi ljudi su se pritisnuli uza zid da propuste Pjera i Anu Mihajlovnu, i nisu pokazali ni najmanje iznenađenje kada su ih videli.
– Ima li ovde poluprinceza? – upitala je Ana Mihajlovna jednog od njih...
„Evo“, odgovori lakaj smelim, glasnim glasom, kao da je sada sve moguće, „vrata su levo, majko“.
"Možda me grof nije pozvao", rekao je Pjer izlazeći na peron, "ja bih otišao kod sebe."
Ana Mihajlovna je zastala da sustigne Pjera.
- Ah, mon ami! - rekla je istim gestom kao ujutro sa sinom, dodirujući mu ruku: - croyez, que je souffre autant, que vous, mais soyez homme. [Vjeruj mi, ja patim ništa manje od tebe, ali budi muškarac.]
- Dobro, idem? - upita Pjer, gledajući kroz naočare umiljato Anu Mihajlovnu.

Princip mogućih pomaka omogućava rješavanje širokog spektra problema o ravnoteži mehaničkih sistema - pronalaženje nepoznatih aktivnih sila, određivanje reakcija veza, pronalaženje ravnotežnih položaja mehaničkog sistema pod utjecajem primijenjenog sistem snaga. Ilustrirajmo to konkretnim primjerima.

Primjer 1. Odrediti veličinu sile P koja drži teške glatke prizme sa masama u stanju ravnoteže. Ugao nagiba prizmi je jednak (sl. 73).

Rješenje. Koristimo se principom mogućih pokreta. Informirajmo sistem mogućeg pomaka i izračunajmo mogući rad aktivnih sila:

Mogući rad gravitacije je nula, jer je sila okomita na vektor elementarnog pomaka tačke primjene sile. Zamjenom vrijednosti ovdje i izjednačavanjem izraza sa nulom, dobijamo:

Pošto je , tada je izraz u zagradama jednak nuli:

Odavde nalazimo

Primer 2. Homogena greda AB dužine i težine P, opterećena parom sila sa datim momentom M, fiksirana je kao što je prikazano na sl. 74 i miruje. Odrediti reakciju štapa BD ako sa horizontalom stvara ugao a.

Rješenje. Zadatak se razlikuje od prethodnog po tome što je ovdje potrebno pronaći reakciju idealne veze. Ali reakcija idealnih veza nije uključena u jednačinu rada koja izražava princip mogućih kretanja. U takvim slučajevima treba primijeniti princip mogućih pokreta u sprezi s principom oslobađanja od veza.

Odbacimo mentalno štap BD i razmotrimo njegovu reakciju S kao aktivnu silu nepoznate veličine. Nakon toga ćemo informisati sistem o mogućem kretanju (pod uslovom da ova veza potpuno izostane). To će biti elementarna rotacija grede AB pod kutom oko ose šarke A u jednom ili drugom smjeru (na slici 74 - suprotno od kazaljke na satu). Elementarni pomaci točaka primjene aktivnih sila i reakcija S koja im se pripisuje jednaki su:

Kreiramo jednačinu rada

Izjednačavajući izraz u zagradama sa nulom, nalazimo

Primjer 3. Homogeni štap OA je fiksiran po težini pomoću cilindrične šarke O i opruge AB (Sl. 75). Odrediti položaje u kojima štap može biti u ravnoteži ako je krutost opruge jednaka k, prirodna dužina opruge - i tačka B je na istoj vertikali kao i tačka O.

Rješenje. Na štap OA se primjenjuju dvije aktivne sile - vlastita težina i elastična sila opruge gdje je ugao koji štap formira sa okomitom OB. Superponirane veze su idealne (u ovom slučaju postoji samo jedna veza - šarka O).

Informirajmo sistem mogućeg kretanja - elementarnu rotaciju štapa oko ose šarke O za ugao, izračunajmo mogući rad aktivnih sila i izjednačimo ga sa nulom:

Zamjenjujući ovdje izraz za silu F i vrijednost

nakon jednostavnih transformacija dobijamo sljedeću trigonometrijsku jednačinu za određivanje ugla (p kada je štap u ravnoteži:

Jednadžba definira tri vrijednosti za ugao:

Shodno tome, štap ima tri ravnotežna položaja. Pošto prva dva ravnotežna položaja postoje ako je uslov zadovoljen. Ravnoteža u uvijek postoji.

U zaključku napominjemo da se princip mogućih kretanja može primijeniti i na sisteme s neidealnim vezama. Naglasak na idealnosti veza stavljen je u formulaciji principa s jednom jedinom svrhom - da pokaže da se jednačine ravnoteže mehaničkih sistema mogu sastaviti bez uključivanja reakcija idealnih veza, čime se pojednostavljuju proračuni.

Za sisteme sa neidealnim vezama, princip mogućih pomaka treba preformulisati na sledeći način: za ravnotežu mehaničkog sistema sa držajućim vezama, među kojima postoje neidealne veze, neophodno je i dovoljno da mogući rad aktivnih sila i reakcija neidealne veze su jednake nuli. Moguće je, međutim, bez preformulisanja principa, uslovno klasifikujući reakcije neidealnih veza među aktivne sile.

Pitanja za samotestiranje

1. Koja je glavna karakteristika neslobodnog mehaničkog sistema u poređenju sa slobodnim?

2. Šta je moguće kretanje? Navedite primjere.

3. Kako se određuju varijacije u koordinatama tačaka u sistemu tokom njegovog mogućeg kretanja (navesti tri metode)?

4. Kako se veze klasificiraju prema vrsti njihovih jednačina? Navedite primjere veza koje ograničavaju i ne sadrže, stacionarne i nestacionarne.

5. U kom slučaju se veza naziva idealnom? Nesavršen?

6. Dajte verbalnu formulaciju i matematičku notaciju principa mogućih kretanja.

7. Kako se formuliše princip mogućih pomaka za sisteme koji sadrže neidealne veze?

8. Navedite glavne vrste problema koje se rješavaju primjenom principa mogućih pokreta.

Vježbe

Koristeći princip mogućih pomaka, riješite sljedeće zadatke iz zbirke I.V. Meshchersky 1981. izdanje: 46.1; 46.8; 46.17; 2.49; 4.53.