Resolviendo problemas del libro de problemas Vilenkin, Zhokhov, Chesnokov, Schwarzburd para el grado 6 en matemáticas sobre el tema:

Capítulo I fracciones comunes.
§ 4. Relaciones y proporciones:
22. Proporciones directas e inversas

1 Por 3,2 kg de mercancías pagaron 115,2 rublos. ¿Cuánto debo pagar por 1,5 kg de este producto?
SOLUCIÓN

2 Dos rectángulos tienen la misma área. La longitud del primer rectángulo es de 3,6 my el ancho es de 2,4 m. La longitud del segundo es de 4,8 m. Halla su ancho.
SOLUCIÓN

782 Determina si la relación entre los siguientes valores es directa, inversa o no proporcional: la trayectoria recorrida por un automóvil a velocidad constante y el tiempo de su movimiento; el costo de los bienes comprados a un precio y su cantidad; el área del cuadrado y la longitud de su lado; la masa de la barra de acero y su volumen; el número de trabajadores que realizan algún trabajo con la misma productividad laboral y el tiempo de finalización; el costo de los bienes y su cantidad, comprados por una cierta cantidad de dinero; la edad de la persona y el tamaño de sus zapatos; el volumen del cubo y la longitud de su arista; el perímetro del cuadrado y la longitud de su lado; una fracción y su denominador si el numerador no cambia; fracción y su numerador si el denominador no cambia.
SOLUCIÓN

783 Una bola de acero con un volumen de 6 cm3 tiene una masa de 46,8 g ¿Cuál es la masa de una bola del mismo acero si su volumen es de 2,5 cm3?
SOLUCIÓN

784 Se obtuvieron 5,1 kg de aceite a partir de 21 kg de semilla de algodón. ¿Cuánto aceite se obtendrá de 7 kg de semilla de algodón?
SOLUCIÓN

785 Para la construcción del estadio, 5 excavadoras despejaron el sitio en 210 minutos. ¿Cuánto tardarán 7 excavadoras en despejar este sitio?
SOLUCIÓN

786 Se necesitaron 24 camiones con una capacidad de carga de 7.5 toneladas para transportar la carga ¿Cuántos camiones con una capacidad de carga de 4.5 toneladas se necesitan para transportar la misma carga?
SOLUCIÓN

787 Para determinar la germinación de las semillas, se sembraron guisantes. De los 200 guisantes sembrados, brotaron 170. ¿Qué porcentaje de los guisantes brotó (germinación)?
SOLUCIÓN

Se plantaron 788 tilos en la calle durante el domingo domingo para sembrar vegetación en la ciudad. Se aceptó el 95% de todos los tilos plantados. ¿Cuántos se plantaron si se plantaron 57 tilos?
SOLUCIÓN

789 Hay 80 estudiantes en la sección de esquí. Entre ellos, 32 niñas. ¿Qué porcentaje de los participantes en la sección son niñas y niños?
SOLUCIÓN

790 Se suponía que la planta debía fundir 980 toneladas de acero por mes según el plan. Pero el plan se cumplió en un 115%. ¿Cuántas toneladas de acero fundió la planta?
SOLUCIÓN

791 En 8 meses, el trabajador completó el 96% del plan anual. ¿Qué porcentaje del plan anual cumplirá el trabajador en 12 meses si trabaja con la misma productividad?
SOLUCIÓN

792 En tres días, se cosechó el 16,5% de todas las remolachas. ¿Cuántos días tardará en cosechar el 60,5% de la remolacha si trabaja con la misma productividad?
SOLUCIÓN

793V mineral de hierro 7 partes de hierro representan 3 partes de impurezas. ¿Cuántas toneladas de impurezas hay en un mineral que contiene 73,5 toneladas de hierro?
SOLUCIÓN

794 Para preparar borscht, por cada 100 g de carne necesitas tomar 60 g de remolacha. ¿Cuántas remolachas se deben tomar para 650 g de carne?
SOLUCIÓN

796 Expresar como la suma de dos fracciones con numerador 1 cada una de las siguientes fracciones.
SOLUCIÓN

797 De los números 3, 7, 9 y 21 haz dos proporciones correctas.
SOLUCIÓN

798 Términos medios de proporción 6 y 10. ¿Cuáles pueden ser términos extremos? Dar ejemplos.
SOLUCIÓN

799 ¿A qué valor de x es correcta la proporción?
SOLUCIÓN

800 Encuentra la razón de 2 min a 10 s; 0,3 m2 a 0,1 dm2; 0,1 kg a 0,1 g; 4 horas a 1 día; 3 dm3 a 0,6 m3
SOLUCIÓN

801 ¿En qué parte del rayo de coordenadas debe ubicarse el número c para que la proporción sea correcta?
SOLUCIÓN

802 Cubra la mesa con una hoja de papel. Abra la primera línea durante unos segundos y luego, cerrándola, intente repetir o anotar los tres números de esta línea. Si reprodujo correctamente todos los números, vaya a la segunda fila de la tabla. Si comete un error en cualquier línea, escriba usted mismo varios conjuntos del mismo número de números de dos dígitos y practique la memorización. Si puede reproducir al menos cinco números de dos dígitos sin errores, tiene buena memoria.
SOLUCIÓN

804 ¿Es posible hacer la proporción correcta de los siguientes números?
SOLUCIÓN

805 De la igualdad de productos 3 · 24 = 8 · 9 haz tres proporciones correctas.
SOLUCIÓN

806 La longitud del segmento AB es de 8 dm y la longitud del segmento CD es de 2 cm Halla la razón de las longitudes de AB y CD. ¿Qué parte de AB es la longitud de CD?
SOLUCIÓN

807 Un vale para un sanatorio cuesta 460 rublos. El sindicato paga el 70% del precio del boleto. ¿Cuánto pagará un turista por un boleto?
SOLUCIÓN

808 Encuentra el valor de la expresión.
SOLUCIÓN

809 1) Al procesar una pieza de una fundición que pesa 40 kg, se desperdiciaron 3,2 kg. ¿Qué porcentaje es la masa de la pieza de la fundición? 2) Al clasificar el grano de 1750 kg, se desperdiciaron 105 kg. ¿Qué porcentaje de grano queda?

Las matemáticas son la base y la reina de todas las ciencias, y te aconsejo que te hagas amigo de ellas, amigo mío. Si sigues sus sabias leyes, aumentarás tu conocimiento, comenzarás a aplicarlas. ¿Puedes nadar en el mar? ¿Puedes volar en el espacio? Puedes construir una casa para la gente: Permanecerá durante cien años. No seas perezoso, trabaja, prueba, Sabiendo la sal de las ciencias. Intenta demostrarlo todo, pero incansablemente.

3 Elección de una respuesta con la letra correspondiente de la palabra oculta: 17-c; 7-l; 0,1-i; 14-s; 0,2-a; 25-k. Encuentra los números que faltan y encuentra la palabra: 3+37:5 3. 0.3 +4.1: .45: .7 5.6:0.7:2 0 +4.8:26 word.9 50.050.1 0.050.337 80,45,20 ,2 sila Esta palabra es poder. El lema de la lección: ¡El poder está en el conocimiento! ¡Estoy buscando, así que estoy aprendiendo!

Una relación proporcional directa es una dependencia de cantidades en la que... Una relación proporcional inversa es una dependencia de cantidades en la que... Para encontrar el miembro extremo desconocido de la proporción... El miembro medio de la proporción es. .. La proporción es verdadera si...

C) ... cuando un valor aumenta varias veces, el otro disminuye en la misma cantidad. X) ... el producto de los términos extremos es igual al producto de los términos medios de la proporción. A) ... cuando un valor aumenta varias veces, el otro aumenta en la misma cantidad. P) ... necesita dividir el producto de los miembros medios de la proporción por el miembro extremo conocido. Y) ... cuando un valor aumenta varias veces, el otro aumenta en la misma cantidad. E) ... la razón del producto de los términos extremos a la media conocida

4. La velocidad del automóvil y el tiempo de su movimiento son inversamente proporcionales. 5. La velocidad del automóvil y la distancia recorrida son inversamente proporcionales. 6. Dos cantidades se llaman inversamente proporcionales si, cuando una de ellas se duplica, la otra se reduce a la mitad.

Comprobemos las respuestas:

Solución. Número de excavadoras. 150 minutos = 2,5 horas Respuesta: 2,5 horas
Algoritmo para resolver problemas de proporcionalidad directa e inversa: Un número desconocido se denota con la letra x. La condición se escribe en forma de tabla. Se establece el tipo de dependencia entre cantidades. La dependencia directamente proporcional se indica con flechas de direcciones iguales y la dependencia inversamente proporcional se indica con flechas de direcciones opuestas. Se registra la proporción. Se encuentra un miembro desconocido.

Compruébelo usted mismo: ¿Qué cantidades se llaman directamente proporcionales? Da ejemplos de cantidades directamente proporcionales. ¿Qué cantidades se llaman inversamente proporcionales? Da ejemplos de cantidades inversamente proporcionales. Dé ejemplos de cantidades cuya dependencia no sea ni directa ni inversamente proporcional.

Tareas para el hogar. PAGS; 811; 812.

Clase: 6

En mi trabajo uso diferentes formas y métodos de enseñanza, trato de usar una variedad de técnicas de organización Actividades de aprendizaje para mantener a los estudiantes interesados ​​en aprender. Solo en este caso, la actividad cognitiva de los estudiantes aumenta, el pensamiento comienza a funcionar de manera más productiva y creativa. Uno de los medios de creciente interés en el tema es el uso de la tecnología de la información.

El uso de la tecnología informática en el aula permite cambiar continuamente las formas de trabajo, alternar constantemente ejercicios orales y escritos, implementar diferentes enfoques para la resolución de problemas matemáticos, y esto crea y mantiene constantemente la tensión intelectual de los estudiantes, forma su constante interés por estudiando esta materia.

El trabajo en grupo en el aula estimula la actividad cognitiva de los alumnos, favorece su implicación en actividades creativas y de comunicación. En el proceso de trabajo individual, los propios estudiantes se esfuerzan por resolver problemas, la educación se convierte en autoeducación.

La realización de tareas creativas contribuye a la aplicación de los conocimientos escolares en situaciones de la vida real.

Tipo de lección: lección combinada

Objetivos de la lección:

• cognitivo:
  • asegurar la asimilación consciente por parte de los estudiantes del concepto de proporcionalidad directa e inversa en la resolución de problemas;
  • verificar el nivel de conocimiento sobre un tema dado a través de varias formas de trabajo.
• Educativo:
  • activar la actividad mental de los estudiantes a través de la participación de cada uno de ellos en el proceso de trabajo;
  • desarrollar la atención, la memoria, las habilidades intelectuales y creativas;
  • desarrollar la esfera emocional de los estudiantes en el proceso de aprendizaje;
  • desarrollar el control y el autocontrol.
• Educativo:
  • para formar un sentido de cooperación, asistencia mutua;
  • formar habilidades prácticas;
  • generar interés en el tema que se estudia.

Plan de estudios:

1. Momento organizativo (2 min.)
2. Cuenta mental (4 min.)
3. Análisis de problemas resueltos por los alumnos (5 min.)
4. Educación física (2 min.)
5. Consolidación del material estudiado, trabajo en grupo (16 min.)
6. Trabajo independiente (13 min.)
7. Resumen de la lección (2 min.)
8. Tarea (1 min.)

DURANTE LAS CLASES

1. Momento organizacional

Saludo mutuo, registrando el tema de la lección. Organización del trabajo con tarjetas de autocontrol.

2. Repetición de material

a) La solución por dos alumnos en el pizarrón de problemas de proporcionalidad directa e inversa
b) el resto repetir verbalmente los conceptos básicos:

• ¿Cuáles son los nombres de los números x e y en la proporción x: a = b: y?
• la igualdad de dos relaciones se llama...
• ¿Qué es una relación proporcional directa?
• ¿Qué tipo de relación es inversamente proporcional?
• la centésima parte de un número es...

Trabajar con tarjetas de autocontrol (número máximo de puntos - 1).

3. Cuenta mental

1. El juego "Silencioso"

a) ¿Cuáles de las igualdades se pueden llamar proporciones?

Si la proporción es correcta, los alumnos levantan las tarjetas verdes, si no, las rojas.

b) ¿Las siguientes relaciones son directa o inversamente proporcionales?

1) el número de lectores del número de libros en la biblioteca;
2) la trayectoria recorrida por el automóvil a una velocidad y tiempo constantes de su movimiento;
3) la edad de la persona y el tamaño de sus zapatos;
4) el perímetro del cuadrado y la longitud de sus lados;
5) velocidad y tiempo durante el paso de un mismo tramo del camino.

Si la afirmación es verdadera, entonces los estudiantes levantan las tarjetas verdes, si no, entonces las rojas.

Trabajo con tarjetas de autocontrol (puntuación máxima para puntuación oral 2).

2. Análisis de problemas resueltos por los alumnos en la pizarra.

a) Una golondrina voló cierta distancia en 0,5 horas a una velocidad de 50 km/h. ¿En cuántos minutos volará un vencejo la misma distancia si su velocidad es de 100 km/h?

Solución:

Sea x horas el tiempo de vuelo del vencejo.

50 km/h - 0,5 h 100 km/h - Xh

0,25 h = 25/100 = 1/4 h = 15 min.

Responder: 15 minutos.

b) Se traían remolachas a la fábrica de azúcar, de donde se obtiene el 12% del azúcar. ¿Cuánta azúcar se obtendrá de 30 toneladas de remolacha de esta variedad?

Solución:

Que salgan x toneladas de azúcar.

Responder: 3,6 toneladas

4. Educación física

5. Trabajo en grupo

Tienes cartas sobre las mesas. Tienen 4 tareas. Los grupos 1, 3, 5 deciden comenzar con el #1. Los grupos 2, 4, 6 deciden comenzar con el #4 (en orden inverso).

1) 80 kg de patatas contienen 14 kg de almidón. Encuentre el porcentaje de almidón en tal papa.

Solución:

Deje que x% de almidón se encuentre en las papas.

17,5% es almidón.

Responder: 17, 5 %

2) Puedes nadar de un pueblo a otro a lo largo del río en 1.5 horas ¿Cuánto tiempo le tomará a un bote a motor hacer este viaje si la velocidad del bote es de 3 km/h y la velocidad del bote es de 13.5 km? / h?

Solución:

Sea x horas el tiempo del barco

	3 km/h 13,5 km/h	– 1,5 horas – Xh

Responder: 20 minutos

3) Al limpiar las semillas de girasol, el 28% es la cáscara. ¿Cuánto grano puro se obtendrá de 150 toneladas de semillas de girasol?

Solución:

Que resulten x t granos.

150 - 42 = 108 (t)

108 toneladas de grano.

Responder: 108 toneladas

4) Se necesitaron 48 carros con una capacidad de carga de 7.5 toneladas para transportar carga ¿Cuántos carros con una capacidad de carga de 4.5 toneladas se necesitan para transportar la misma carga?

Solución:

Sean x carros con una capacidad de carga de 4.5 toneladas.

Respuesta: 80 carros.

Comprobación de la solución de problemas en la pizarra.

Trabajar con tarjetas de autocontrol (número máximo de puntos - 8; cada tarea 2 puntos)

5. Trabajo individual independiente 4 opciones

Yo opción

1) Papá pagó 48 rublos por 4 cajas de lápices idénticas. ¿Cuánto cuestan 7 de estas cajas de lápices?

2) Tres estudiantes deshierbaron el jardín en 4 horas. ¿Cuántas horas tardarán 2 estudiantes en completar la misma tarea?

II opción

1) Al cocinar carne, queda el 65% de la masa. ¿Cuánta carne hervida se obtendrá con 2 kg de carne cruda?

2) Cuatro albañiles pueden completar el trabajo en 15 días. ¿En cuántos días tres albañiles pueden completar este trabajo?

Tercera opción

1) La flor de tilo pierde el 74% de su peso. ¿Cuánta tila seca se puede obtener con 300 kg de tila fresca?

2) Un motociclista viajó 3 horas a una velocidad de 60 km/h. ¿Cuántas horas tardará en recorrer la misma distancia a una velocidad de 45 km/h?

IV opción

1) Los agricultores cubanos nos ofrecen caña de azúcar para producir azúcar. La caña de azúcar, cuando se transforma en azúcar, pierde el 91% de su masa original. ¿Cuánta caña de azúcar se necesita para obtener 900 kg de azúcar?

2) En un día caluroso, 6 cortacéspedes bebieron un barril de kvas en 1,5 horas ¿Cuántos cortacéspedes beberán el mismo barril en 3 horas?

7. Resumiendo la lección

¿Qué tipo de problemas resolvimos en clase?

Los estudiantes resumen la lección en tarjetas de autocontrol y dan calificaciones

16-17 puntos - "5"
13-15 puntos - "4"
9-12 puntos - "3"

– Se lograron los objetivos de la lección y, lo que es más importante, el trabajo se llevó a cabo en un ambiente creativo.

8. Tarea

Repita los pasos 13-18.

Tarea de libro de texto: N° 817, N° 812, diferenciado N° 818.

Literatura

1. Libro de texto de matemáticas para el sexto grado de instituciones educativas, autores: N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S. I. Schwarzburd, Moscú. "Mnemósine", 2011.
2. Colección de tareas de prueba para control temático y final Matemáticas 6 ° grado Moscú, "Intellect Center" 2009.
3. A. I. Ershova, V. V. Goloborodko. Matemáticas 6. Independiente y papeles de prueba.– M: Ileksa, 2011.

Las dos cantidades se llaman directamente proporcional, si al aumentar uno de ellos varias veces, el otro aumenta en la misma cantidad. En consecuencia, cuando uno de ellos disminuye varias veces, el otro disminuye en la misma cantidad.

La relación entre tales cantidades es una relación directamente proporcional. Ejemplos de una relación proporcional directa:

1) a velocidad constante, la distancia recorrida es directamente proporcional al tiempo;

2) el perímetro de un cuadrado y su lado son directamente proporcionales;

3) el costo de una mercancía comprada a un precio es directamente proporcional a su cantidad.

Para distinguir una relación proporcional directa de una inversa, puede usar el proverbio: "Cuanto más adentro en el bosque, más leña".

Es conveniente resolver problemas de cantidades directamente proporcionales utilizando proporciones.

1) Para la fabricación de 10 piezas se necesitan 3,5 kg de metal. ¿Cuánto metal se usará para hacer 12 de esas partes?

(Argumentamos así:

1. En la columna completa, coloque la flecha en la dirección del número más grande al más pequeño.

2. Cuantas más piezas, más metal se necesita para fabricarlas. Entonces es una relación directamente proporcional.

Sean necesarios x kg de metal para hacer 12 partes. Formamos la proporción (en la dirección desde el comienzo de la flecha hasta su final):

12:10=x:3.5

Para encontrar , necesitamos dividir el producto de los términos extremos por el término medio conocido:

Esto significa que se requerirán 4,2 kg de metal.

Respuesta: 4,2 kg.

2) Se pagaron 1680 rublos por 15 metros de tela. ¿Cuánto cuestan 12 metros de esa tela?

(1. En la columna completa, coloque la flecha en la dirección del número más grande al más pequeño.

2. Cuanta menos tela compre, menos tendrá que pagar por ella. Entonces es una relación directamente proporcional.

3. Por lo tanto, la segunda flecha se dirige en la misma dirección que la primera).

Deje que x rublos cuesten 12 metros de tela. Formamos la proporción (desde el principio de la flecha hasta su final):

15:12=1680:x

Para encontrar el término extremo desconocido de la proporción, dividimos el producto de los términos medios por el término extremo conocido de la proporción:

Entonces, 12 metros cuestan 1344 rublos.

Respuesta: 1344 rublos.

La forma más sencilla de entender una relación directamente proporcional es utilizar el ejemplo de una máquina que fabrica piezas a una velocidad constante. Si en dos horas hace 25 partes, en 4 horas hará el doble de partes: 50. Cuantas veces más tiempo trabajará, cuantas veces más detalles producirá.

Matemáticamente se ve así:

4: 2 = 50: 25 o así: 2:4 = 25:50

Las cantidades directamente proporcionales aquí son el tiempo de funcionamiento de la máquina y el número de piezas fabricadas.

Dicen: El número de piezas es directamente proporcional al tiempo de funcionamiento de la máquina.

Si dos cantidades son directamente proporcionales, entonces las proporciones de las cantidades correspondientes son iguales. (En nuestro ejemplo, esta es la razón del tiempo 1 al tiempo 2 = la razón del número de partes en el tiempo 1 a número de partes en el tiempo 2)

proporcionalidad inversa

Una relación inversamente proporcional se encuentra a menudo en problemas de velocidad. La velocidad y el tiempo son inversamente proporcionales. De hecho, cuanto más rápido se mueva un objeto, menos tiempo tardará en viajar.

Por ejemplo:

Si las cantidades son inversamente proporcionales, entonces la relación de los valores de una cantidad (velocidad en nuestro ejemplo) es igual a la relación inversa de la otra cantidad (tiempo en nuestro ejemplo). (En nuestro ejemplo, la razón de la primera velocidad a la segunda velocidad es igual a la razón de la segunda vez a la primera.

Ejemplos de tareas

Tarea 1:

Solución:

Escribamos una breve condición del problema:

Tarea 2:

Solución:

Breve entrada:

Si los juegos o simuladores no te abren, lee.