Détermination de la dérivée d'une fonction en laboratoire Excel. Différenciation graphique
Outre le formatage des éléments de zone de cellule, des lignes et des colonnes, il est souvent utile d'utiliser plusieurs feuilles de calcul Excel. Pour organiser et rechercher des informations dans le livre, il convient d'attribuer des noms propres aux titres des fiches, reflétant leur contenu sémantique. Par exemple, « données initiales », « résultats de calcul », « graphiques », etc. Il est pratique de le faire en utilisant menu contextuel. Appuyez sur le bouton droit de la souris sur l'onglet de la feuille, Renommer la feuille et cliquez sur
Pour ajouter une ou plusieurs nouvelles feuilles, sélectionnez Feuille dans le menu Insertion. Pour insérer plusieurs feuilles à la fois, sélectionnez les onglets correspondant au nombre de feuilles requis en maintenant enfoncé
Une opération utile pour déplacer des feuilles consiste à saisir l'onglet de la feuille avec le bouton gauche de la souris et à le déplacer vers l'emplacement souhaité. Si en même temps vous appuyez sur
Tâche 7 . Changez le format de toute la cellule B2 en : police - Arial 11 ; emplacement - au centre, le long du bord inférieur ; un mot par ligne ; format des nombres – « 0,00 » ; bordure de cellule - double ligne
2.3. Fonctions intégrées
Excel contient plus de 150 fonctions intégrées pour simplifier les calculs et le traitement des données. Exemple du contenu d'une cellule avec une fonction : =B2+SIN(C7) , où B2 et C7 sont les adresses des cellules contenant des nombres, et SIN() est le nom de la fonction. Fonctions Excel les plus utilisées :
SQRT(25) = 5 - Calcule la racine carrée de (25) RADIANS(30) = 0,5 - Convertit 30 degrés en radians INT(8,7) = 8 - Arrondit à l'entier le plus proche MOD(-3;2) = 1 - laisse le reste de la division du nombre (-3) par
diviseur (2). Le résultat a un signe diviseur. SI(E4>0,2;”supplémentaire”;”erreur”)- si le nombre dans la cellule E4 est inférieur à 0,2,
alors Excel renvoie "supplémentaire" (vrai), sinon - "erreur" (faux).
Dans une formule, les fonctions peuvent être imbriquées les unes dans les autres, mais pas plus de 8 fois.
Lorsqu'on utilise une fonction, l'essentiel est de définir la fonction elle-même et son argument. En règle générale, l'adresse de la cellule dans laquelle les informations sont enregistrées est indiquée comme argument.
Vous pouvez définir une fonction en tapant du texte (icônes, chiffres, etc.) dans la cellule souhaitée, ou en utilisant Assistant de fonction. Ici, pour faciliter la recherche, toutes les fonctions sont divisées en catégories : mathématiques, statistiques, logiques et autres. Au sein de chaque catégorie, ils sont classés par ordre alphabétique.
Assistant de fonction invoqué par la commande de menu Insérer, Fonction
ou en appuyant sur l'icône (f x ). Dans la première fenêtre qui apparaît du Function Wizard (Fig. 4), nous définissons la catégorie et le nom d'une fonction spécifique, cliquez sur
Riz. 4. Vue de la fenêtre Assistant de fonction
Riz. 5. Fenêtre de paramétrage des arguments de la fonction sélectionnée
Tâche 8. Trouver la valeur moyenne d'une série de nombres : 2,5 ; 2,9 ; 1,8 ; 3.4 ; 6.1 ;
1,0; 4,4.
Solution . Nous entrons des nombres dans les cellules, par exemple C2:C8. Sélectionnez la cellule C9, dans laquelle on écrit la fonction = MOYENNE (C2 : C8), appuyez sur
Tâche 9. À l'aide de la fonction logique conditionnelle IF, créez une formule pour renommer les nombres impairs en "automne", les nombres pairs - "printemps".
Solution . Nous sélectionnons une colonne pour saisir les données initiales - des nombres pairs (impairs), par exemple A . Dans la cellule B3, écrivez la formule =IF(MOD(A3,2)=0,"poids","axe"). En copiant la cellule B3 le long de la colonne B, on obtient les résultats de l'analyse des nombres écrits dans la colonne A. Les résultats de la résolution du problème sont présentés sur la fig. 6.
Riz. 6. Solution du problème n°9
Tâche 10. Calculer la valeur de la fonction y = x3 + sinx - 4ex pour x = 1,58.
Solution . Plaçons les données dans les cellules A2 - x, B2 -y. La solution du problème est présentée sur la figure 7 sous forme numérique à gauche et sous forme de formule à droite. Lors de la résolution de ce problème, vous devez faire attention à appeler les fonctions SIN et exposant pour saisir un argument (voir Fig. 8).
Figure 7. Solution du problème numéro 10
Figure 8. Fenêtres de saisie de l'argument de la fonction SIN et EXP
Tâche 11 . Réaliser un modèle mathématique du problème dans Excel pour calculer la fonction y= 1/ ((x- 3) (x+ 4)), pour les valeurs x= 3 et y= -4, afficher "indéfini", le numérique valeurs de la fonction - dans les autres cas .
Tâche 12 . Réaliser un modèle mathématique du problème dans Excel : 12.1. pour le calcul avec des racines
a) √ x3 y2 z / √ x z ; b) (z√z)2 ; c) 3 √ x2 3 √ x ; d) √ 5x5 3-1 / √ 20x3-1
12.2. pour les calculs géométriques a) déterminer les angles d'un triangle rectangle, si x est la jambe, y est l'hypoténuse ;
b) déterminer la distance entre deux points dans le système de coordonnées cartésiennes XYZ à l'aide de la formule
d = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2
c) déterminer la distance du point (x 0 ,y 0 ) à la ligne a x + b y + c = 0 en utilisant la formule
d = ax0 +b y0 +c / √ (a2 +b2 )
d) déterminer l'aire d'un triangle à partir des coordonnées des sommets à l'aide de la formule
S = 1 2 [ (x1 − x3 )(y2 − y3 ) − (x2 − x3 )(y1 − y3 )]
3. Résoudre des problèmes à l'aide de formules et de fonctions
Il existe en fait de nombreuses tâches qui peuvent être résolues avec succès à l’aide de formules et de fonctions Excel. Considérez les tâches qui en pratique sont le plus souvent résolues à l'aide de feuilles de calcul : équations linéaires et leurs systèmes, calcul des valeurs numériques des dérivées et des intégrales définies.
La dérivée d'une fonction y = f(x) est le rapport de son incrément ∆y à l'incrément correspondant ∆x de l'argument, lorsque
∆x→ 0
y = f (x + x) − f (x)
Problème .13 . Trouvez la dérivée de la fonction y = 2x 3 + x 2 au point x=3 .
Solution. La dérivée calculée par la méthode analytique est de 60 . Nous calculerons la dérivée dans Excel en utilisant la formule (1). Pour ce faire, effectuez la séquence d'actions suivante :
· Dessinons la notation des colonnes : Х – arguments de la fonction, Y – valeurs de la fonction, Y ` – dérivée de la fonction (Fig. 9).
· On tabule la fonction dans un voisinage du point x = 3 avec un petit pas, par exemple 0,001, les résultats sont inscrits dans la colonne X.
Riz. 9. Tableau de calcul de la dérivée d'une fonction
· Dans la cellule B2, entrez la formule de calcul de la fonction =2*A2^3+A2^2 .
· Copiez la formule jusqu'à la ligne 7 , on obtient les valeurs de la fonction aux tabulations de l'argument.
· Dans la cellule C2, entrez la formule de calcul de la dérivée =(B3-B2)/ (A3-A2) .
· Copiez la formule jusqu'à la ligne 6 , on obtient les valeurs des dérivées aux tabulations de l'argument.
Pour la valeur x = 3, la dérivée de la fonction est égale à la valeur 60,019, qui est proche de la valeur calculée analytiquement.
méthode trapézoïdale. Dans la méthode du trapèze, la zone d'intégration est divisée en segments avec un certain pas, et l'aire sous le graphique de la fonction sur chaque segment est considérée comme égale à l'aire du trapèze. Alors la formule de calcul prend la forme suivante
S N = ∫ f (u) du ≈ h N ∑ − 1 [ f (a + h i) + f (a + h (i + 1)) ] (2), |
|
2 je = 0 |
|
où h= (b- a)/N est l'étape de partition ; N est le nombre de points de partage.
Pour améliorer la précision, le nombre de points de partage est doublé, l'intégrale est à nouveau calculée. Le fractionnement de l'intervalle d'origine est arrêté lorsque la précision requise est atteinte :
intégrale, procédez comme suit :
– choisissez N= 5, dans la cellule F2 calculez le pas h de la partition (Fig. 10) ;
Riz. 10. Calcul d'une intégrale définie
· Dans la première colonne Et on note le numéro de l'intervalle i ;
· Dans la cellule B2, écrivez la formule =3*(2+F2*A2)^2 pour calculer le premier terme de la formule (2) ;
· Dans la cellule C2, écrivez la formule =3*(2+F2*(A2+1))^2 pour calculer le deuxième terme ;
· Cellules « Étirer » avec des formules activées 4 lignes vers le bas des colonnes ;
Nous écrivons la formule dans la cellule C7 et calculons la somme des termes,
Dans la cellule C8, nous écrivons la formule et calculons SN la valeur souhaitée de l'intégrale définie 19,02 (la valeur de S N obtenue analytiquement
19).
Tâche. 15. Calculez une intégrale définie :
1. Y = ∫ 2 x d x |
2. Y = ∫ 2 x3 dx |
−1 |
|
2 pi |
|||||||||||||||
Y = ∫ 2sin(x )dx |
Y = ∫ x2 dx |
||||||||||||||
−2 |
|||||||||||||||
Oui = ∫ |
Oui = ∫ |
||||||||||||||
3x − 2 |
(2x + 1) 3 |
||||||||||||||
x + 3 |
|||||||||||||||
Y = ∫ cos |
Oui = ∫ |
||||||||||||||
x2 + 4 |
|||||||||||||||
3.2. Résolution d'équations linéaires
Équations linéaires dans Excel peut être résolu à l'aide de la fonction Sélection des paramètres. Lors de la sélection d'un paramètre, la valeur de la cellule d'influence (paramètre) change jusqu'à ce que la formule qui dépend de cette cellule renvoie la valeur spécifiée.
Considérez la procédure de recherche d'un paramètre à l'aide d'un exemple simple de résolution d'une équation linéaire à une inconnue.
Tâche 16 . Résolvez l'équation 10 x - 10 / x = 15 .
Solution. Pour la valeur souhaitée du paramètre - x, sélectionnez la cellule A3. Entrons dans cette cellule n'importe quel nombre qui se situe dans la zone de définition de la fonction (dans notre exemple, ce nombre ne peut pas être égal à zéro). Que ce soit 3 . Cette valeur sera utilisée comme valeur de départ. Dans une cellule, par exemple B3, conformément à l'équation ci-dessus, entrez la formule =10*A3-10/A3. À la suite d'une série de calculs utilisant cette formule, la valeur souhaitée du paramètre sera sélectionnée. Maintenant dans le menu Outils, choisissez la commande Sélection des paramètres, exécutez la fonction de recherche de paramètres (Fig. 11, a) . Entrons les paramètres de recherche :
· Sur le terrain Situé dans la cellule entrons une référence absolue à la cellule $B$3 contenant la formule.
· Dans le champ Valeur, saisissez le résultat souhaité 15 .
· Sur le terrain Changer la valeur d'une cellule entrez un lien vers la cellule A3 contenant la valeur sélectionnée, puis cliquez sur
A la fin de la fonction Sélection des paramètres une fenêtre apparaîtra à l'écran Résultat de la sélection des paramètres Le dans lequel les résultats de la recherche seront affichés. Le paramètre trouvé 2.000025 apparaîtra dans la cellule A3 qui lui était réservée.
Faites attention au fait que dans notre exemple, l'équation a deux solutions et le paramètre n'en sélectionne qu'une. En effet, le paramètre n'est modifié que jusqu'à ce que la valeur requise soit renvoyée. Le premier argument ainsi trouvé nous est renvoyé comme résultat de recherche. Si comme
Dans notre exemple, précisez la valeur initiale -3, alors la deuxième solution de l'équation sera trouvée : -0,5.
Figure 11. Solution d'équation : a - entrée de données, b - résultat de la solution
Problème 17. Résoudre les équations |
||||
5x/9-8= 747x/12 |
(2x+ 2)/ 0,5= 6x |
|||
0,5 (2x-1)+x/ 3= 1/6 |
7(4x-6)+ 3(7-8x)= 1 |
|||
Système linéaire |
équations |
peut être résolu avec différents |
||
façons : substitution, addition et soustraction d'équations, à l'aide de matrices. Considérons une méthode pour résoudre le système canonique d'équations linéaires (3) à l'aide de matrices.
a1 x + a2 y + b1 = 0
a3 x + a4 y + b2 =0
On sait que le système d'équations linéaires dans la représentation matricielle s'écrit :
où A est une matrice de coefficients, X est un vecteur - une colonne d'inconnues,
B est un vecteur colonne de membres libres. La solution à un tel système
s'écrit sous la forme
X = A-1 B,
où A -1 est la matrice inverse par rapport à A . Cela découle du fait que lors de la résolution d'équations matricielles pour X, la matrice d'identité E doit rester. En multipliant depuis la gauche les deux côtés de l'équation AX = B par A -1, on obtient la solution d'un système d'équations linéaire.
Problème 18. Résoudre un système d'équations linéaires
Solution. Pour un système donné d'équations linéaires, les valeurs de la matrice et du vecteur colonne correspondants ont la forme :
Pour résoudre le problème, effectuez les actions suivantes :
· A2:B3 et écrivez-y les éléments de la matrice A.
· Sélectionnez un bloc de cellules, par exemple, C2:C3 et écrivez-y les éléments de la matrice B.
· Sélectionnez un bloc de cellules, par exemple, D2:D3 pour placer le résultat de la résolution du système d'équations.
Dans la cellule D2, entrez la formule = MULTIPLE(MOBR(A2:B3),C2:C3).
La bibliothèque Excel dans la section des fonctions mathématiques contient des fonctions permettant d'effectuer des opérations sur les matrices. Ce sont notamment les fonctions :
Les paramètres de ces fonctions peuvent être des références d'adresse à des tableaux contenant des valeurs matricielles ou des noms de plage et des expressions.
Par exemple, MOBR (A1 : B2) ou MOBR (matrix_1).
Indiquez à Excel qu'une opération est en cours sur les tableaux en appuyant sur la combinaison de touches
4. Résoudre les problèmes d'optimisation
De nombreux problèmes de prévision, de conception et de production sont réduits à une large classe de problèmes d’optimisation. Ces tâches sont, par exemple : maximiser la production de biens avec des restrictions sur les matières premières pour la production de ces biens ; dotation en personnel pour obtenir les meilleurs résultats au moindre coût ; minimiser le coût du transport des marchandises; réalisation de la qualité spécifiée de l'alliage ; détermination des dimensions d'un certain conteneur, en tenant compte du coût du matériau pour atteindre le volume maximum ; divers
des problèmes qui incluent des variables aléatoires et d'autres problèmes d'allocation optimale des ressources et de conception optimale.
La résolution de problèmes de ce type peut être effectuée dans EXCEL à l'aide de l'outil Solver, situé dans le menu Outils. La formulation de tels problèmes peut être un système d’équations avec plusieurs inconnues et un ensemble de restrictions sur les solutions. La solution du problème doit donc commencer par la construction d’un modèle approprié. Jetons un coup d'œil à ces commandes avec un exemple.
Problème 20. Supposons que nous décidions de produire deux types de lentilles A et B. La lentille de type A se compose de 3 composants de lentille, le type B - de 4. En une semaine, pas plus de 1 800 lentilles ne peuvent être fabriquées. Il faut 15 minutes pour assembler un objectif de type A, 30 minutes pour un objectif de type B. La semaine de travail pour 4 salariés est de 160 heures. Combien de lentilles A et B doivent être fabriquées pour obtenir le profit maximum, si une lentille de type A coûte 3 500 roubles et de type B - 4 800 roubles.
Solution. Pour résoudre ce problème, il est nécessaire de compiler et de remplir le tableau conformément à la Fig. 12 :
· Renommer une cellule B2 en x , le nombre de lentilles de la vue A.
· Renommons légalement la cellule B3 en y .
fonction cible Bénéfice = 3500*x+4800*y entrez dans la cellule B5. · Les coûts de picking sont égaux à =3*x+4*y à saisir dans la cellule B7.
· Les coûts de temps sont =0,25*x+0,5*y, entrez dans la cellule B8.
Nom |
|||
ensemble complet |
|||
Coût dans le temps |
|||
Figure 12. Remplir le tableau avec les données initiales
· Sélectionnez la cellule B5 et sélectionnez le menu Données , puis activez la commande Rechercher la solution . Remplissons les cellules de cette fenêtre conformément à la Fig.13.
· Presse<Выполнить >; si tout est fait correctement, la solution sera celle indiquée ci-dessous.
Différenciation numérique
Article n°5
Le problème du calcul approximatif de la dérivée peut se poser dans les cas où l'expression analytique de la fonction étudiée est inconnue. La fonction peut être spécifiée dans un tableau, ou seul le graphique de la fonction est connu, obtenu, par exemple, à la suite des lectures des capteurs des paramètres du processus.
Parfois, lors de la résolution de certains problèmes sur ordinateur, en raison de la lourdeur des calculs, il peut être plus pratique de calculer les dérivées par une méthode numérique plutôt que par une méthode analytique. Dans ce cas, bien entendu, il est nécessaire de justifier la méthode numérique appliquée, c'est-à-dire de s'assurer que l'erreur de la méthode numérique se situe dans des limites acceptables.
L'une des méthodes efficaces pour résoudre des équations différentielles est la méthode des différences, lorsqu'au lieu de la fonction souhaitée, un tableau de ses valeurs en certains points est considéré, tandis que les dérivées sont approximativement remplacées par des formules de différence.
Que le graphique de la fonction soit connu y = f(X) sur le segment [ UN,b].Vous pouvez construire un graphique de la dérivée d’une fonction, en vous souvenant de sa signification géométrique. Utilisons le fait que la dérivée de la fonction au point Xégal à la tangente de l'angle d'inclinaison à l'axe des x de la tangente à son graphique en ce point.
Si x = x 0 , trouver à 0 = f(X 0) en utilisant le graphique puis tracez une tangente UN B au graphique de la fonction au point ( X 0 , oui 0) (Fig. 5.1). Tracez une ligne parallèle à la tangente UN B, passant par le point (-1, 0) et trouver le point à 1 son intersection avec l'axe y. Alors la valeur à 1 est égal à la tangente de la pente de la tangente à l'axe des x, c'est-à-dire la dérivée de la fonction F(X) à ce point X 0:
à 1 = = tg α = f ¢ ( X 0), et point M 0 (X 0 , à 1) appartient au graphe de la dérivée.
Pour construire un graphique de la dérivée, il faut diviser le segment [ UN,b] en plusieurs parties avec des points x je, puis construisez graphiquement la valeur de la dérivée pour chaque point et reliez les points obtenus avec une courbe lisse à l'aide de motifs.
Sur la fig. 5.2 montre la construction de cinq points M 1, M 2 ,... , M 5 et le graphique de la dérivée.
Algorithme de construction d'un graphe de la dérivée :
1. On construit une tangente au graphe de la fonction à= F(X)à ce point ( X 1 ,F(X 1)); à partir du point (-1, 0) parallèle à la tangente au point ( X 1 ,F(X 1)) tracer une ligne droite jusqu'à l'intersection avec l'axe y ; ce point d'intersection donne la valeur de la dérivée F ¢ ( X 1) Construire un argument M 1 (X 1 , F ¢ ( X 1)).
2. De même, nous construisons les points restants M 2 ,M 3 , M 4 et M 5 .
3. Reliez les points M 1 ,M 2 ,M 3 ,M 4 ,M 5 courbes lisses.
|
La courbe résultante est un graphique de la dérivée.
La précision de la méthode graphique pour déterminer la dérivée est faible. Nous fournissons une description de cette méthode à des fins éducatives uniquement.
Commentaire. Si dans l'algorithme de construction d'un graphe de la dérivée, au lieu du point (-1, 0), on prend le point ( -l,0), où je> 0, alors le graphique sera tracé à une échelle différente le long de l'axe y.
5 . 2 .Formules de différence
UN) Formules de différence pour les dérivés ordinaires
Les formules de différence pour le calcul approximatif de la dérivée sont suggérées par la définition même de la dérivée. Laissez les valeurs de la fonction aux points x je désigné par et je:
et je= F(x je),x je = une+ jeh,je = 0, 1, ... , n; h=
On considère le cas d'une répartition uniforme des points sur l'intervalle [ un, b]. Pour le calcul approximatif des dérivées aux points x je vous pouvez utiliser ce qui suit formules de différence , ou dérivés de différence .
Puisque la limite de la relation (5.1) à h® 0 est égal à la dérivée droite au point x je, alors cette relation est parfois appelée dérivée de la différence droite à ce point x je.Pour une raison similaire, la relation (5.2) est appelée dérivée de la différence gauche à ce point x je.La relation (5.3) est appelée dérivée de la différence centrale à ce point x je.
Estimons l'erreur des formules de différence (5.1) – (5.3), en supposant que la fonction F(X) se développe en une série de Taylor au voisinage du point x je:
F(X)= f(x je)+ . (5.4)
Mise en (5.4) X= x je+ h ou x = x je- h, on a
En substituant directement les développements (5.5) et (5.6) dans la formule (5.10), on peut obtenir la dépendance entre la dérivée seconde de la fonction et formule de différence pour la dérivée du second ordre .
Exemple 3 : À l'aide du filtre automatique, sélectionnez les étudiants du groupe n°5433 dont le nom commence par la lettre C.
Séquençage
1. Copiez la base de données (Fig. 30) sur la feuille 3.
2. Nom de famille.
3. Sélectionnez un élément dans la listeFiltres de texte → Filtre personnalisé. Dans la fenêtre qui apparaît Filtre automatique personnalisé sélectionnez le critère de sélection commence par , dans le champ ci-contre saisissez la lettre souhaitée (vérifiez que la mise en page est en russe). Appuyer sur OK.
4. Ouvrir la liste déroulante dans une colonne numéro de groupe.
5. Sélectionnez le numéro souhaité.
Filtrage des enregistrements dans une base de données avec un filtre avancé
Filtre avancé vous permet de rechercher des lignes en utilisant des critères plus complexes que les filtres automatiques personnalisés. Le filtre avancé utilise un intervalle de critères pour filtrer les données.
Lors de l'utilisation d'un filtre avancé, les noms des colonnes sur lesquelles les conditions sont spécifiées sont copiés sous la table source. Les critères de sélection sont saisis sous les noms de colonnes. Après avoir appliqué le filtre, seules les lignes répondant aux critères spécifiés peuvent être affichées à l'écran et les données filtrées peuvent être copiées vers une autre feuille ou vers une autre zone de la même feuille de calcul.
Exemple 4 : Sélectionnez tous les étudiants du groupe #5433 dont la GPA est supérieure ou égale à 4,5.
Séquençage
1. Copiez la base de données (Fig. 30) sur la feuille 4.
2. Copier les noms de colonnes Numéro de groupe et note moyenne
dans la zone située sous le tableau d'origine. Saisissez les critères de sélection requis sous les noms de colonnes (Fig. 32)
Riz. 32. Fenêtre Excel avec filtre avancé
2. Dans l'onglet Données de la barre d'outils Trier
et filtrez, sélectionnez Avancé. Une boîte de dialogue apparaîtra (Figure 33) dans laquelle les plages de données sont spécifiées.
Riz. 33. Fenêtre de filtre avancé
Dans le champ de saisie gamme originale spécifie l'intervalle contenant la base de données source. Dans notre cas, la plage de cellules de A1 à I9 est sélectionnée.
Dans le champ de saisie Gamme de conditions un intervalle de cellules sur la feuille de calcul est sélectionné et contient les critères requis (C12:D13).
Dans le champ de saisie Mettez le résultat dans la plage indique l'intervalle dans lequel les lignes qui satisfont aux critères sont copiées
théories. Dans notre cas, une cellule est indiquée en dessous de la zone de critères, par exemple A16. Ce champ n'est disponible que lorsque le bouton radio est sélectionné. Copiez le résultat vers un autre emplacement.
Case à cocher Uniquement les enregistrements uniques est conçu pour afficher uniquement les lignes non répétitives.
Le tableau résultant qui satisfait aux critères de filtrage est présenté sur la fig. 34.
Riz. 34. Fenêtre Excel avec résultats de filtrage
1. Créez votre propre base de données, dont le nombre d'enregistrements doit être d'au moins 15 et le nombre de colonnes doit être d'au moins 6. Par exemple, la base de données Liste des clients (Fig. 35).
2. Appliquez trois filtres automatiques à la base de données (sur des feuilles séparées). Le nombre de critères doit être d'au moins deux.
3. Appliquez trois filtres avancés aux enregistrements de base de données, chacun contenant au moins deux critères. Placez tous les filtres avancés sur une feuille sous le tableau d'origine.
Riz. 35. Fenêtre Excel avec base de données Liste des clients
LABORATOIRE #5
Différenciation numérique et analyse simple des fonctions
But du travail : Étudier la fonction jusqu'à l'extrême, apprendre à déterminer le point critique.
Du cours de mathématiques, on sait que la formule dérivée ressemble en général à ceci :
f "(x)= lim |
||
∆x0 |
||
où Δx est l'incrément de l'argument ; x est un nombre tendant vers zéro. À l'aide de la dérivée, vous pouvez déterminer les points critiques de la fonction - minima, maxima ou inflexions. Si la valeur de la dérivée d'une fonction à n'importe quelle valeur de x est égale à zéro, alors à cette valeur de x, la fonction a un point critique.
Exemple 1 : La fonction f x = x 2 + 2x 3 est définie sur l'intervalle x 5;5 . Explorez le comportement de la fonction f(x) .
Séquençage
1. Soit Δx = 0,00001. Dans la cellule A1, saisissez : šDx=Ÿ (Fig. 36). Sélectionnez la lettre D, faites un clic droit sur la lettre sélectionnée, sélectionnez Formater les cellules. Dans l'onglet Police, sélectionnez la police Symbole. La lettre D deviendra la lettre grecque ѓў. L'alignement dans une cellule peut se faire vers la droite. Dans la cellule B1, entrez la valeur 0,00001.
2. Dans les cellules de A2 à F2, disposez un en-tête pour le tableau, comme indiqué sur la fig. 36.
3. La colonne A, à partir de la troisième ligne, contiendra x valeurs. Dans les cellules A3 à A13, saisissez les valeurs de -5 à 5.
4. Dans la cellule B3, écrivez la formule =A3^2+2*A3-3 et développez-la jusqu'à la valeur finale x (jusqu'à la 13ème ligne).
5. Pour déterminer la dérivée d'une fonction et calculer ses valeurs sur un intervalle donné, il faut faire un intermédiaire
calculs précis. Dans la cellule C3, saisissez la formule de la somme de l'argument x et de son incrément Δx. La formule est : =A3+$B$1 . Étirez sa valeur jusqu'à la valeur finale de l'argument x .
Riz. 36. Fenêtre Excel avec l'étude du comportement de la fonction
6. Dans la cellule D3, écrivez la formule =C3^2+2*C3-3 , qui calcule la valeur de la fonction f à partir de l'argument x Δx . Étirez la valeur résultante jusqu'à la valeur finale de l'argument.
7. Dans la cellule E3, écrivez la formule dérivée (1), étant donné que les valeurs de f x sont en B3 et que les valeurs de f x + Δx sont en D3.
La formule ressemblera à : =(D3-B3)/$B$1 .
8. Déterminer le comportement de la fonction sur un intervalle donné (augmente, diminue ou il y a un point critique). Pour ce faire, vous devez écrire une formule dans la cellule F3 pour déterminer le comportement de la fonction. La formule contient trois conditions :
f" (x)< 0 |
- la fonction est décroissante ; |
||
f" (x) > 0 |
- la fonction augmente ; |
||
f"(x)=0 |
– il y a un point critique* . |
9. Construisez des graphiques pour les valeurs f x et f "(x). Le graphique (Fig. 37) montre que si la valeur de la dérivée de la fonction est nulle, alors la fonction a un point critique à cet endroit.
* En raison d'une erreur de calcul trop importante, la valeur de f"(x) peut ne pas être égale à 0. Mais encore faut-il décrire cette situation.
Riz. 37. Schéma de l'étude du comportement d'une fonction
Tâches pour le travail indépendant
La fonction f(x) est définie sur l'intervalle x . Explorez le comportement de la fonction f(x) . Construisez des graphiques.
2x2 |
X[ 4 ;4 ] |
||||||||
X[ 5 ;5 ] |
|||||||||
2x+2 |
|||||||||
f(x)=x3 |
3x2 |
2 , x [ 2 ;4 ] |
|||||||
f(x)=x |
X[ 2 ;3 ] |
||||||||
x2 + 7 |
|||||||||
LABO #6
Construction d'une tangente au graphe d'une fonction
But du travail : Maîtriser le calcul des valeurs de l'équation de la tangente au graphique de la fonction au point x 0.
L'équation de la tangente au graphique de la fonction y = f(x) au point
Exemple 1 : La fonction y = x 2 + 2x 3 est définie sur l'intervalle x [ 5; 5 ] . Construisez une tangente au graphique de cette fonction au point x 0 = 1.
Séquençage :
1. Différencier numériquement cette fonction (voir Travail de laboratoire n°5). Le tableau des données initiales est présenté sur la fig. 38.
Riz. 38. Tableau des données initiales
2. Déterminez l'emplacement dans le tableau x , x 0 , f (x 0 ) et f "(x 0 ) . Évidemment, x seront des valeurs de
colonne A, en commençant par la troisième ligne (Fig. 38). Si x 0 = 1, alors la cellule A9 agira comme x 0 . En conséquence, la valeur de la fonction f au point x 0 se trouve dans la cellule B9, et la valeur de f" (x 0 )
- dans la cellule E9.
3. Dans la colonne F, l'équation de la tangente au graphique de la fonction f(x) est calculée. Lors du calcul de l'équation (1), il est nécessaire que les valeurs x 0, f (x 0) et f "(x 0) ne changent pas. Par conséquent, écrivez
Pour adresser les cellules A9, B9 et E9, vous devez utiliser des références absolues à ces cellules. Les cellules sont fixées à l'aide du signe š$Ÿ. Les cellules ressembleront à : $A$9 , $B$9 et $E$9 .
Riz. 39. Graphique de la fonction f(x) et la tangente au graphique au point x=1
Tâches pour le travail indépendant
La fonction f(x) est définie sur l'intervalle x . Calculez l’équation de la tangente. Construisez une tangente au graphe de fonctions en un point donné.
2x2 |
X [ 4 ;4 ] , x0 = 1 |
|||||||||
X [ 5 ;5 ] , x0 |
||||||||||
2x+2 |
||||||||||
f(x)=x3 |
3x2 |
2 , x [ 2 ;4 ] , x0 = 0 |
||||||||
f(x)=x |
X [ 2 ;3 ], x0 |
|||||||||
x2 + 7 |
||||||||||
1. Vedeneeva, Fonctions et formules E. A. Excel 2007. Bibliothèque utilisateur / E. A. Vedeneeva. - Saint-Pétersbourg : Peter, 2008. - 384 p.
2. Sviridova, M. Yu. Feuilles de calcul Excel / M. Yu. Sviridova. - M. : Academia, 2008. - 144 p.
3. Serogodsky, V. V. Graphiques, calculs et analyse de données
V Excel 2007 / V. V. Serogodsky, R. G. Prokdi, D. A. Kozlov, A. Yu. Druzhinin. - M. : Science et technologie, 2009. - 336 p.
La différenciation graphique commence par le tracé d'un graphique de fonctions pour des valeurs données. Dans une étude expérimentale, un tel graphique est obtenu à l'aide d'instruments d'auto-enregistrement. Ensuite, les tangentes sont tracées à la courbe en positions fixes et les valeurs de la dérivée sont calculées par rapport à la tangente de l'angle formé par la tangente à l'axe des abscisses.
Sur la fig. 5.8, UN la courbe obtenue expérimentalement sur l'installation est représentée (Fig. 5.6). La détermination de l'accélération angulaire (la fonction recherchée) s'effectue par différenciation graphique selon le rapport :
(5.19)
La tangente de la pente de la tangente à la courbe en un point donné je sont représentés sous forme de ratio de segments, où À- le segment d'intégration sélectionné (Fig. 5.8, b)
Après avoir substitué cette relation dans la relation (5.19), on obtient
où est l'ordonnée du graphique de réclamation de l'accélération angulaire ;
L'échelle du graphique souhaité ; Unités SI : = mm ; \u003d mm / (rad avec -2).
Le graphique de la fonction est construit en fonction des valeurs trouvées des ordonnées pour un certain nombre de positions. Les points de la courbe sont reliés à la main par une ligne lisse, puis entourés d'un motif.
La différenciation graphique par la méthode considérée des tangentes a une précision relativement faible. Une plus grande précision est obtenue avec la différenciation graphique par la méthode des accords (Fig. 5.8, V Et g).
 |
Un certain nombre de points sont marqués sur une courbe donnée 1 ", 2 ", 3" , qui sont reliés par des accords, c'est-à-dire remplacez la courbe donnée par une ligne brisée. L'hypothèse suivante est faite : l'angle d'inclinaison des tangentes aux points situés au milieu de chaque tronçon de courbe est égal à l'angle d'inclinaison de la corde correspondante. Cette hypothèse introduit une certaine erreur, mais elle ne s'applique qu'à ce point. Ces erreurs ne sont pas additionnées, ce qui garantit une précision acceptable de la méthode.
Les constructions restantes sont similaires à celles décrites précédemment pour la différenciation graphique par la méthode tangente. Sélectionnez un segment (mm); conduire des poutres inclinées à des angles 
à l'intersection avec l'axe y aux points 1
", 2
", 3
" ... , qui sont reportés aux ordonnées tracées au milieu de chacun des intervalles. Les points résultants 1
*, 2
*, 3
*sont les points de la fonction souhaitée 
.
Les échelles le long des axes de coordonnées avec cette méthode de construction sont liées par la même relation (5.21), qui a été dérivée pour le cas de différenciation graphique par la méthode tangente.
Différenciation des fonctions f(x), donné (ou calculé) sous forme de tableau de nombres, est effectué par la méthode de différenciation numérique à l'aide d'un ordinateur.
Plus le pas dans le tableau de nombres est petit, plus vous pouvez calculer avec précision la valeur de la dérivée de la fonction dans cet intervalle
