Résolvez le calculateur en ligne d'inégalité quadratique. Résoudre les inégalités exponentielles

Résoudre les inégalités en ligne

Avant de résoudre des inégalités, vous devez bien comprendre comment les équations sont résolues.

Peu importe que l'inégalité soit stricte () ou non stricte (≤, ≥), la première étape consiste à résoudre l'équation en remplaçant le signe d'inégalité par l'égalité (=).

Expliquons ce que signifie résoudre une inégalité ?

Après avoir étudié les équations, l'étudiant a en tête l'image suivante : il doit trouver les valeurs de la variable telles que les deux côtés de l'équation prennent les mêmes valeurs. En d’autres termes, trouvez tous les points auxquels l’égalité est valable. Tout est correct!

Lorsque nous parlons d'inégalités, nous entendons trouver des intervalles (segments) sur lesquels l'inégalité est valable. S'il y a deux variables dans l'inégalité, alors la solution ne sera plus des intervalles, mais quelques zones du plan. Devinez par vous-même quelle sera la solution à une inégalité à trois variables ?

Comment résoudre les inégalités ?

Une manière universelle de résoudre les inégalités est considérée comme la méthode des intervalles (également connue sous le nom de méthode des intervalles), qui consiste à déterminer tous les intervalles à l'intérieur desquels une inégalité donnée sera satisfaite.

Sans entrer dans le type d'inégalité, dans ce cas ce n'est pas la question, il faut résoudre l'équation correspondante et déterminer ses racines, puis désigner ces solutions sur l'axe des nombres.

Comment écrire correctement la solution d’une inégalité ?

Une fois que vous avez déterminé les intervalles de solution pour l’inégalité, vous devez écrire correctement la solution elle-même. Il y a une nuance importante : les limites des intervalles sont-elles incluses dans la solution ?

Tout est simple ici. Si la solution de l'équation satisfait l'ODZ et que l'inégalité n'est pas stricte, alors la limite de l'intervalle est incluse dans la solution de l'inégalité. Sinon non.

En considérant chaque intervalle, la solution de l'inégalité peut être l'intervalle lui-même, ou un demi-intervalle (quand l'une de ses limites satisfait l'inégalité), ou un segment - l'intervalle avec ses limites.

Point important

Ne pensez pas que seuls les intervalles, demi-intervalles et segments peuvent résoudre l’inégalité. Non, la solution peut également inclure des points individuels.

Par exemple, l'inégalité |x|≤0 n'a qu'une seule solution : le point 0.

Et l'inégalité |x|

Pourquoi avez-vous besoin d’un calculateur d’inégalités ?

Le calculateur d’inégalités donne la bonne réponse finale. Dans la plupart des cas, une illustration d’un axe numérique ou d’un plan est fournie. Il est visible si les limites des intervalles sont incluses ou non dans la solution - les points sont affichés ombrés ou perforés.

Grâce à calculateur en ligne Pour les inégalités, vous pouvez vérifier si vous avez correctement trouvé les racines de l'équation, les avez marquées sur l'axe des nombres et vérifié sur les intervalles (et les limites) si la condition de l'inégalité est remplie ?

Si votre réponse diffère de celle de la calculatrice, vous devez absolument revérifier votre solution et identifier l’erreur.

Que devez-vous savoir sur les icônes d’inégalité ? Inégalités avec icône plus (> ), ou moins (< ) sont appelés strict. Avec des icônes plus ou égal (≥ ), inférieur ou égal (≤ ) sont appelés pas stricte. Icône inégal (≠ ) se démarque, mais vous devez également résoudre à tout moment des exemples avec cette icône. Et nous déciderons.)

L'icône elle-même n'a pas beaucoup d'influence sur le processus de résolution. Mais à la fin de la décision, au moment de choisir la réponse finale, la signification de l'icône apparaît dans toute sa force ! C’est ce que nous verrons ci-dessous dans des exemples. Il y a des blagues là-bas...

Les inégalités, comme les égalités, existent fidèle et infidèle. Ici, tout est simple, pas d'astuces. Disons 5 > 2 est une véritable inégalité. 5 < 2 - incorrect.

Cette préparation œuvre pour les inégalités toute sorte et simple jusqu'à l'horreur.) Il vous suffit d'effectuer correctement deux (seulement deux !) actions élémentaires. Ces actions sont familières à tout le monde. Mais, de manière caractéristique, les erreurs dans ces actions sont la principale erreur dans la résolution des inégalités, oui... Par conséquent, ces actions doivent être répétées. Ces actions sont appelées comme suit :

Transformations identiques des inégalités.

Les transformations identiques des inégalités sont très similaires aux transformations identiques des équations. En fait, c'est le principal problème. Les différences vous dépassent la tête et... vous y êtes.) C'est pourquoi je soulignerai particulièrement ces différences. Donc, première transformation identique des inégalités :

1. Le même nombre ou expression peut être ajouté (soustrait) aux deux côtés de l’inégalité. N'importe lequel. Cela ne changera pas le signe de l'inégalité.

En pratique, cette règle est utilisée comme un transfert de termes du côté gauche de l'inégalité vers la droite (et vice versa) avec un changement de signe. Avec un changement de signe du terme, pas l'inégalité ! La règle un-à-un est la même que celle des équations. Mais les transformations identiques suivantes dans les inégalités diffèrent considérablement de celles dans les équations. Je les surligne donc en rouge :

2. Les deux côtés de l’inégalité peuvent être multipliés (divisés) par la même chosepositifnombre. Pour toutepositif Ne changera pas.

3. Les deux côtés de l’inégalité peuvent être multipliés (divisés) par la même chosenégatif nombre. Pour toutenégatifnombre. Le signe d'inégalité de cecichangera à l’opposé.

Vous vous souvenez (j'espère...) que l'équation peut être multipliée/divisée par n'importe quoi. Et pour n’importe quel nombre, et pour une expression avec un X. Si seulement ce n'était pas zéro. Cela fait de lui, l'équation, ni chaud ni froid.) Cela ne change pas. Mais les inégalités sont plus sensibles à la multiplication/division.

Un exemple clair pour une longue mémoire. Écrivons une inégalité qui ne fait pas de doute :

5 > 2

Multipliez les deux côtés par +3, on a:

15 > 6

Des objections? Il n'y a pas d'objections.) Et si nous multiplions les deux côtés de l'inégalité initiale par -3, on a:

15 > -6

Et c'est un mensonge pur et simple.) Un mensonge complet ! Tromperie du peuple ! Mais dès que l'on change le signe de l'inégalité par le signe opposé, tout se met en place :

15 < -6

Je ne jure pas seulement sur les mensonges et la tromperie.) "J'ai oublié de changer le signe égal..."- Ce maison erreur dans la résolution des inégalités. Cette règle triviale et simple a fait du mal à tant de gens ! Ce qu'ils ont oublié...) Alors je le jure. Peut-être que je m'en souviendrai...)

Les personnes particulièrement attentives remarqueront que les inégalités ne peuvent pas être multipliées par une expression avec un X. Respect à ceux qui sont attentifs !) Pourquoi pas ? La réponse est simple. On ne connaît pas le signe de cette expression avec un X. Cela peut être positif, négatif... On ne sait donc pas quel signe d'inégalité mettre après la multiplication. Dois-je le changer ou pas ? Inconnu. Bien entendu, cette restriction (l’interdiction de multiplier/diviser une inégalité par une expression avec un x) peut être contournée. Si vous en avez vraiment besoin. Mais c'est un sujet pour d'autres leçons.

Ce sont toutes des transformations identiques des inégalités. Permettez-moi de vous rappeler encore une fois qu'ils travaillent pour n'importe lequel inégalités Vous pouvez maintenant passer à des types spécifiques.

Inégalités linéaires. Solution, exemples.

Les inégalités linéaires sont des inégalités dans lesquelles x est à la première puissance et il n'y a pas de division par x. Taper:

x+3 > 5x-5

Comment ces inégalités sont-elles résolues ? Ils sont très faciles à résoudre ! A savoir : avec l'aide de nous réduisons l'inégalité linéaire la plus déroutante directement à la réponse. C'est la solution. Je soulignerai les principaux points de la décision. Pour éviter des erreurs stupides.)

Résolvons cette inégalité :

x+3 > 5x-5

Nous le résolvons exactement de la même manière qu’une équation linéaire. Avec la seule différence :

Nous surveillons attentivement le signe d'inégalité !

La première étape est la plus courante. Avec des X - à gauche, sans X - à droite... C'est la première transformation identique, simple et sans problème.) N'oubliez pas de changer les signes des termes transférés.

Le signe de l'inégalité reste :

x-5x > -5-3

En voici des similaires.

Le signe de l'inégalité reste :

4x > -8

Il reste à appliquer la dernière transformation identique : diviser les deux côtés par -4.

Diviser par négatif nombre.

Le signe de l'inégalité changera à l'opposé :

X < 2

C'est la réponse.

C’est ainsi que toutes les inégalités linéaires sont résolues.

Attention! Le point 2 est dessiné en blanc, c'est-à-dire non peint. Vide à l'intérieur. Cela signifie qu'elle n'est pas incluse dans la réponse ! Je l'ai dessinée exprès en si bonne santé. Un tel point (vide, pas sain !)) en mathématiques s'appelle point percé.

Les nombres restants sur l’axe peuvent être marqués, mais ce n’est pas nécessaire. Les nombres superflus qui ne sont pas liés à nos inégalités peuvent prêter à confusion, oui... Il faut juste se rappeler que les nombres augmentent dans le sens de la flèche, c'est-à-dire numéros 3, 4, 5, etc. sont À droite sont des deux et les nombres sont 1, 0, -1, etc. - À gauche.

Inégalité x < 2 - strict. X est strictement inférieur à deux. En cas de doute, la vérification est simple. Nous substituons le nombre douteux à l'inégalité et pensons : "Deux est inférieur à deux ? Non, bien sûr !" Exactement. Inégalité 2 < 2 Incorrect. Un deux en retour n'est pas approprié.

Est-ce que ça va ? Certainement. Moins... Et zéro est bon, et -17, et 0,34... Oui, tous les nombres inférieurs à deux sont bons ! Et même 1,9999.... Au moins un peu, mais moins !

Marquons donc tous ces nombres sur l’axe des nombres. Comment? Il y a des options ici. La première option est l’ombrage. Nous déplaçons la souris sur l'image (ou touchons l'image sur la tablette) et voyons que la zone de tous les x qui remplissent la condition x est ombrée < 2 . C'est tout.

Examinons la deuxième option en utilisant le deuxième exemple :

X ≥ -0,5

Dessinez un axe et marquez le nombre -0,5. Comme ça:

Remarquez la différence ?) Eh bien oui, c'est difficile de ne pas le remarquer... Ce point est noir ! Peint. Cela signifie -0,5 est inclus dans la réponse. Soit dit en passant, la vérification peut dérouter quelqu'un. Remplaçons :

-0,5 ≥ -0,5

Comment ça? -0,5 n'est pas plus de -0,5 ! Et il y a plus d'icônes...

C'est bon. Dans une inégalité faible, tout ce qui correspond à l'icône convient. ET équivaut à bon et plus bien. Par conséquent, -0,5 est inclus dans la réponse.

Nous avons donc marqué -0,5 sur l'axe, il reste à marquer tous les nombres supérieurs à -0,5. Cette fois, je marque la zone des valeurs x appropriées arc(du mot arc), plutôt que d’ombrager. Nous passons le curseur sur le dessin et voyons cet arc.

Il n'y a pas de différence particulière entre l'ombrage et les bras. Faites ce que dit le professeur. S'il n'y a pas de professeur, dessinez des arcs. Dans les tâches plus complexes, l’ombrage est moins évident. Vous pouvez être confus.

C'est ainsi que les inégalités linéaires sont tracées sur un axe. Passons à la caractéristique suivante des inégalités.

Écrire la réponse aux inégalités.

Les équations étaient bonnes.) Nous avons trouvé x et noté la réponse, par exemple : x=3. Il existe deux formes d’écriture des réponses sur les inégalités. L’une est sous la forme d’une inégalité finale. Bon pour les cas simples. Par exemple:

X< 2.

C'est une réponse complète.

Parfois, vous devez écrire la même chose, mais sous une forme différente, à intervalles numériques. Ensuite, l’enregistrement commence à paraître très scientifique) :

x ∈ (-∞; 2)

Sous l'icône ∈ le mot est caché "fait parti".

L'entrée se lit comme ceci : x appartient à l'intervalle de moins l'infini à deux non compris. Assez logique. X peut être n’importe quel nombre parmi tous les nombres possibles de moins l’infini à deux. Il ne peut pas y avoir de double X, c'est ce que nous dit le mot "non compris".

Et où dans la réponse est-il clair que "non compris"? Ce fait est noté dans la réponse rond parenthèse immédiatement après les deux. Si les deux étaient inclus, le support serait carré. Comme celui-ci: ]. L'exemple suivant utilise une telle parenthèse.

Écrivons la réponse : x ≥ -0,5 à intervalles:

x ∈ [-0,5 ; +∞)

Lit : x appartient à l'intervalle de moins 0,5, y compris,à plus l'infini.

L'infini ne peut jamais être activé. Ce n'est pas un chiffre, c'est un symbole. Par conséquent, dans de telles notations, l’infini est toujours adjacent à une parenthèse.

Cette forme d'enregistrement est pratique pour les réponses complexes composées de plusieurs espaces. Mais juste pour des réponses définitives. Dans les résultats intermédiaires, où une solution supplémentaire est attendue, il est préférable d'utiliser la forme habituelle, sous la forme d'une inégalité simple. Nous en traiterons dans les rubriques correspondantes.

Tâches populaires avec inégalités.

Les inégalités linéaires elles-mêmes sont simples. Les tâches deviennent donc souvent plus difficiles. Il fallait donc réfléchir. Ceci, si on n’y est pas habitué, n’est pas très agréable.) Mais c’est utile. Je vais montrer des exemples de telles tâches. Ce n’est pas à vous de les apprendre, c’est inutile. Et pour ne pas avoir peur face à de tels exemples. Réfléchissez un peu - et c'est simple !)

1. Trouvez deux solutions quelconques à l'inégalité 3x - 3< 0

Si vous ne savez pas vraiment quoi faire, rappelez-vous la règle principale des mathématiques :

Si vous ne savez pas ce dont vous avez besoin, faites ce que vous pouvez !)

X < 1

Et quoi? Rien de spécial. Que nous demandent-ils ? On nous demande de trouver deux nombres spécifiques qui sont la solution à une inégalité. Ceux. correspond à la réponse. Deux n'importe lequel Nombres. En fait, c'est déroutant.) Quelques valeurs de 0 et 0,5 conviennent. Un couple -3 et -8. Il existe un nombre infini de ces couples ! Quelle réponse est correcte ?!

Je réponds : tout ! Toute paire de nombres dont chacun est inférieur à un, sera la bonne réponse.Écrivez lequel vous voulez. Allons-nous en.

2. Résolvez l’inégalité :

4x-3 ≠ 0

Les tâches sous cette forme sont rares. Mais, en tant qu'inégalités auxiliaires, lors de la recherche d'ODZ, par exemple, ou lors de la recherche du domaine de définition d'une fonction, elles surviennent tout le temps. Une telle inégalité linéaire peut être résolue comme une équation linéaire ordinaire. Uniquement partout sauf le signe "=" ( équivaut à) mettre un signe " ≠ " (inégal). Voici comment vous abordez la réponse, avec un signe d'inégalité :

X ≠ 0,75

En plus exemples complexes, il vaut mieux faire les choses différemment. Faire de l'égalité l'inégalité. Comme ça:

4x-3 = 0

Résolvez-le calmement comme enseigné et obtenez la réponse :

x = 0,75

L'essentiel est qu'à la toute fin, en écrivant la réponse finale, n'oubliez pas que nous avons trouvé x, ce qui donne égalité. Et nous avons besoin - inégalité. Par conséquent, nous n’avons pas vraiment besoin de ce X.) Et nous devons l’écrire avec le symbole correct :

X ≠ 0,75

Cette approche entraîne moins d’erreurs. Ceux qui résolvent les équations automatiquement. Et pour ceux qui ne résolvent pas les équations, les inégalités ne servent en fait à rien...) Autre exemple de tâche populaire :

3. Trouvez la plus petite solution entière de l'inégalité :

3(x-1) < 5x + 9

Tout d’abord, nous résolvons simplement l’inégalité. On ouvre les parenthèses, on les déplace, on en amène des similaires... On obtient :

X > - 6

Cela n'a-t-il pas fonctionné comme ça !? Avez-vous suivi les panneaux !? Et derrière les pancartes des membres, et derrière les pancartes des inégalités...

Réfléchissons-y à nouveau. Nous devons trouver un numéro spécifique qui correspond à la fois à la réponse et à la condition "le plus petit entier". Si cela ne vous vient pas tout de suite, vous pouvez simplement prendre n’importe quel nombre et le découvrir. Deux sur moins six ? Certainement! Existe-t-il un nombre inférieur approprié ? Bien sûr. Par exemple, zéro est supérieur à -6. Et encore moins ? Nous avons besoin de la plus petite chose possible ! Moins trois, c'est plus que moins six ! Vous pouvez déjà saisir le modèle et arrêter de parcourir bêtement les chiffres, n'est-ce pas ?)

Prenons un nombre plus proche de -6. Par exemple, -5. La réponse est remplie, -5 > - 6. Est-il possible de trouver un autre nombre inférieur à -5 mais supérieur à -6 ? Vous pouvez par exemple -5,5... Stop ! On nous dit entier solution! Ne lance pas -5,5 ! Et moins six ? Euh-euh ! L'inégalité est stricte, moins 6 n'est en aucun cas inférieur à moins 6 !

La bonne réponse est donc -5.

J'espère que tout est clair avec le choix de la valeur de la solution générale. Un autre exemple:

4. Résoudre les inégalités :

7 < 3x+1 < 13

Ouah! Cette expression s'appelle triple inégalité. Il s’agit à proprement parler d’une forme abrégée d’un système d’inégalités. Mais de telles triples inégalités doivent encore être résolues dans certaines tâches... Elles peuvent être résolues sans aucun système. Selon les mêmes transformations identiques.

Il faut simplifier, ramener cette inégalité à X pur. Mais... Que faut-il déplacer où ?! C’est là qu’il est temps de se rappeler que se déplacer à gauche et à droite est forme abrégée première transformation identitaire.

UN forme complèteça ressemble à ça : N'importe quel nombre ou expression peut être ajouté/soustrait aux deux côtés de l'équation (inégalité).

Il y a trois parties ici. Nous appliquerons donc des transformations identiques aux trois parties !

Alors, débarrassons-nous de celui qui se trouve au milieu de l’inégalité. Soustrayons-en un de toute la partie médiane. Pour que l’inégalité ne change pas, on soustrait une des deux parties restantes. Comme ça:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

C'est mieux, non ?) Il ne reste plus qu'à diviser les trois parties en trois :

2 < X < 4

C'est tout. C'est la réponse. X peut être n'importe quel nombre compris entre deux (non compris) et quatre (non compris). Cette réponse est également écrite à intervalles ; ces entrées seront en inégalités quadratiques. Là, c'est la chose la plus courante.

À la fin de la leçon, je répéterai la chose la plus importante. Le succès dans la résolution des inégalités linéaires dépend de la capacité à transformer et à simplifier des équations linéaires. Si en même temps surveillez le signe d'inégalité, il n'y aura aucun problème. C'est ce que je te souhaite. Pas de problème.)

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Après avoir obtenu des premières informations sur les inégalités à variables, passons à la question de leur résolution. Nous analyserons la solution des inégalités linéaires à une variable et toutes les méthodes pour les résoudre avec des algorithmes et des exemples. Seules les équations linéaires à une variable seront considérées.

Qu’est-ce que l’inégalité linéaire ?

Tout d’abord, vous devez définir une équation linéaire et connaître sa forme standard et en quoi elle différera des autres. Du cours scolaire, nous retenons qu'il n'y a pas de différence fondamentale entre les inégalités, il est donc nécessaire d'utiliser plusieurs définitions.

Définition 1

Inégalité linéaire avec une variable x est une inégalité de la forme a · x + b > 0, lorsqu'un signe d'inégalité est utilisé à la place de >< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

Définition 2

Inégalités a x< c или a · x >c, avec x étant une variable et a et c étant des nombres, est appelé inégalités linéaires à une variable.

Puisque rien n'est dit sur la question de savoir si le coefficient peut être égal à 0, alors une inégalité stricte de la forme 0 x > c et 0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

Leurs différences sont :

• forme de notation a · x + b > 0 dans le premier, et a · x > c – dans le second ;
• l'admissibilité du coefficient a étant égale à zéro, a ≠ 0 - dans le premier, et a = 0 - dans le second.

On pense que les inégalités a · x + b > 0 et a · x > c sont équivalentes, car elles sont obtenues en transférant un terme d'une partie à une autre. Résoudre l'inégalité 0 x + 5 > 0 conduira au fait qu'elle devra être résolue, et le cas a = 0 ne fonctionnera pas.

Définition 3

On pense que les inégalités linéaires dans une variable x sont des inégalités de la forme une x + b< 0 , a · x + b >0, une x + b ≤ 0 Et une x + b ≥ 0, où a et b sont des nombres réels. Au lieu de x, il peut y avoir un nombre régulier.

D'après la règle, nous avons que 4 x − 1 > 0, 0 z + 2, 3 ≤ 0, - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 sont dits réductibles à linéaires.

Comment résoudre l'inégalité linéaire

La principale façon de résoudre de telles inégalités est d'utiliser des transformations équivalentes afin de trouver les inégalités élémentaires x< p (≤ , >, ≥) , p qui est un certain nombre, pour a ≠ 0, et de la forme a< p (≤ , >, ≥) pour a = 0.

Pour résoudre les inégalités dans une variable, vous pouvez utiliser la méthode des intervalles ou la représenter graphiquement. N'importe lequel d'entre eux peut être utilisé séparément.

Utiliser des transformations équivalentes

Pour résoudre une inégalité linéaire de la forme a x + b< 0 (≤ , >, ≥), il est nécessaire d’appliquer des transformations d’inégalité équivalentes. Le coefficient peut être nul ou non. Considérons les deux cas. Pour le savoir, vous devez respecter un schéma composé de 3 points : l'essence du processus, l'algorithme et la solution elle-même.

Définition 4

Algorithme de résolution d'inégalité linéaire une x + b< 0 (≤ , >, ≥) pour a ≠ 0

• le nombre b sera déplacé vers la droite de l'inégalité de signe opposé, ce qui permettra d'arriver à l'équivalent a x< − b (≤ , > , ≥) ;
• Les deux côtés de l’inégalité seront divisés par un nombre différent de 0. De plus, lorsque a est positif, le signe demeure ; lorsque a est négatif, il devient inverse.

Considérons l'application de cet algorithme pour résoudre des exemples.

Exemple 1

Résolvez l'inégalité de la forme 3 x + 12 ≤ 0.

Solution

Cette inégalité linéaire a a = 3 et b = 12. Cela signifie que le coefficient a de x n’est pas égal à zéro. Appliquons les algorithmes ci-dessus et résolvons-le.

Il faut déplacer le terme 12 vers une autre partie de l'inégalité et changer le signe devant lui. On obtient alors une inégalité de la forme 3 x ≤ − 12. Il faut diviser les deux parties par 3. Le signe ne changera pas puisque 3 est un nombre positif. On obtient que (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3, ce qui donne le résultat x ≤ − 4.

Une inégalité de la forme x ≤ − 4 est équivalente. Autrement dit, la solution pour 3 x + 12 ≤ 0 est tout nombre réel inférieur ou égal à 4. La réponse s'écrit sous la forme d'une inégalité x ≤ − 4, ou d'un intervalle numérique de la forme (− ∞, − 4].

L'ensemble de l'algorithme décrit ci-dessus s'écrit ainsi :

3 x + 12 ≤ 0 ; 3 x ≤ − 12 ; x ≤ − 4 .

Répondre: x ≤ − 4 ou (− ∞ , − 4 ] .

Exemple 2

Indiquez toutes les solutions disponibles à l’inégalité − 2, 7 · z > 0.

Solution

D'après la condition, nous voyons que le coefficient a pour z est égal à - 2,7 et que b est explicitement absent ou égal à zéro. Vous ne pouvez pas utiliser la première étape de l'algorithme, mais passer immédiatement à la seconde.

Nous divisons les deux côtés de l'équation par le nombre - 2, 7. Le nombre étant négatif, il faut inverser le signe de l’inégalité. Autrement dit, nous obtenons que (− 2, 7 z) : (− 2, 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

Nous écrirons l’intégralité de l’algorithme dans forme abrégée:

− 2, 7 z > 0 ; z< 0 .

Répondre: z< 0 или (− ∞ , 0) .

Exemple 3

Résolvez l'inégalité - 5 x - 15 22 ≤ 0.

Solution

D'après la condition, on voit qu'il faut résoudre l'inégalité de coefficient a pour la variable x, qui est égale à - 5, avec le coefficient b, qui correspond à la fraction - 15 22. Il faut résoudre l'inégalité en suivant l'algorithme, c'est-à-dire : déplacer - 15 22 vers une autre partie de signe opposé, diviser les deux parties par - 5, changer le signe de l'inégalité :

5 x ≤ 15 22 ; - 5 x : - 5 ≥ 15 22 : - 5 x ≥ - 3 22

Lors de la dernière transition pour le côté droit, la règle de division numérique est utilisée avec différents signes 15 22 : - 5 = - 15 22 : 5, après quoi nous effectuons la division fraction communeà l'entier naturel - 15 22 : 5 = - 15 22 · 1 5 = - 15 · 1 22 · 5 = - 3 22 .

Répondre: x ≥ - 3 22 et [ - 3 22 + ∞) .

Considérons le cas où a = 0. Expression linéaire de la forme a x + b< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

Tout est basé sur la détermination de la solution à l’inégalité. Pour toute valeur de x on obtient une inégalité numérique de la forme b< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Nous considérerons tous les jugements sous la forme d'un algorithme de résolution des inégalités linéaires 0 x + b< 0 (≤ , > , ≥) :

Définition 5

Inégalité numérique de la forme b< 0 (≤ , >, ≥) est vrai, alors l'inégalité d'origine a une solution pour n'importe quelle valeur, et elle est fausse lorsque l'inégalité d'origine n'a pas de solution.

Exemple 4

Résolvez l'inégalité 0 x + 7 > 0.

Solution

Cette inégalité linéaire 0 x + 7 > 0 peut prendre n'importe quelle valeur x. On obtient alors une inégalité de la forme 7 > 0. La dernière inégalité est considérée comme vraie, ce qui signifie que n’importe quel nombre peut être sa solution.

Répondre: intervalle (− ∞ , + ∞) .

Exemple 5

Trouver une solution à l'inégalité 0 x − 12, 7 ≥ 0.

Solution

En substituant la variable x par n'importe quel nombre, on obtient que l'inégalité prend la forme − 12, 7 ≥ 0. C'est incorrect. Autrement dit, 0 x − 12, 7 ≥ 0 n’a pas de solution.

Répondre: il n'y a pas de solutions.

Considérons la résolution d'inégalités linéaires où les deux coefficients sont égaux à zéro.

Exemple 6

Déterminez l’inégalité insoluble de 0 x + 0 > 0 et 0 x + 0 ≥ 0.

Solution

En substituant n'importe quel nombre au lieu de x, nous obtenons deux inégalités de la forme 0 > 0 et 0 ≥ 0. La première est incorrecte. Cela signifie que 0 x + 0 > 0 n’a pas de solutions et que 0 x + 0 ≥ 0 a un nombre infini de solutions, c’est-à-dire n’importe quel nombre.

Répondre: l'inégalité 0 x + 0 > 0 n'a pas de solutions, mais 0 x + 0 ≥ 0 a des solutions.

Cette méthode est abordée dans le cours de mathématiques à l'école. La méthode des intervalles est capable de résoudre différentes sortes inégalités, également linéaires.

La méthode des intervalles est utilisée pour les inégalités linéaires lorsque la valeur du coefficient x n'est pas égale à 0. Sinon, vous devrez calculer en utilisant une autre méthode.

Définition 6

La méthode des intervalles est la suivante :

• introduisant la fonction y = a · x + b ;
• rechercher des zéros pour diviser le domaine de définition en intervalles ;
• définition de signes pour leurs concepts sur les intervalles.

Assemblons un algorithme pour résoudre les équations linéaires a x + b< 0 (≤ , >, ≥) pour a ≠ 0 en utilisant la méthode des intervalles :

• trouver les zéros de la fonction y = a · x + b pour résoudre une équation de la forme a · x + b = 0 . Si a ≠ 0, alors la solution sera une racine unique, qui prendra la désignation x 0 ;
• construction d'une ligne de coordonnées avec l'image d'un point de coordonnée x 0, avec une inégalité stricte le point est noté par un point perforé, avec une inégalité non stricte – par un ombré ;
• déterminer les signes de la fonction y = a · x + b sur les intervalles ; pour cela il faut trouver les valeurs de la fonction en des points de l'intervalle ;
• résoudre une inégalité avec des signes > ou ≥ sur la ligne de coordonnées, en ajoutant un ombrage sur l'intervalle positif,< или ≤ над отрицательным промежутком.

Examinons plusieurs exemples de résolution d'inégalités linéaires à l'aide de la méthode des intervalles.

Exemple 6

Résolvez l'inégalité − 3 x + 12 > 0.

Solution

Il découle de l'algorithme qu'il faut d'abord trouver la racine de l'équation − 3 x + 12 = 0. Nous obtenons que − 3 · x = − 12 , x = 4 . Il est nécessaire de tracer une ligne de coordonnées où l'on marque le point 4. Elle sera crevée car l'inégalité est stricte. Considérez le dessin ci-dessous.

Il est nécessaire de déterminer les signes aux intervalles. Pour le déterminer sur l'intervalle (− ∞, 4), il faut calculer la fonction y = − 3 x + 12 en x = 3. De là, nous obtenons que − 3 3 + 12 = 3 > 0. Le signe sur l'intervalle est positif.

Nous déterminons le signe à partir de l'intervalle (4, + ∞), puis substituons la valeur x = 5. On a ça − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Nous résolvons l'inégalité avec le signe > et l'ombrage est effectué sur l'intervalle positif. Considérez le dessin ci-dessous.

D'après le dessin, il est clair que la solution souhaitée a la forme (− ∞ , 4) ou x< 4 .

Répondre: (− ∞ , 4) ou x< 4 .

Pour comprendre comment représenter graphiquement, il faut considérer 4 inégalités linéaires à titre d'exemple : 0, 5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 et 0, 5 x − 1 ≥ 0. Leurs solutions seront les valeurs de x< 2 , x ≤ 2 , x >2 et x ≥ 2. Pour ce faire, traçons la fonction linéaire y = 0, 5 x − 1 indiquée ci-dessous.

Il est clair que

Définition 7

• résoudre l'inégalité 0, 5 x − 1< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• la solution 0, 5 x − 1 ≤ 0 est considérée comme l'intervalle où la fonction y = 0, 5 x − 1 est inférieure à O x ou coïncide ;
• la solution 0, 5 · x − 1 > 0 est considérée comme un intervalle, la fonction est située au dessus de O x ;
• la solution 0, 5 · x − 1 ≥ 0 est considérée comme l'intervalle où le graphique au-dessus de O x ou coïncide.

Le but de la résolution graphique des inégalités est de trouver les intervalles qui doivent être représentés sur le graphique. Dans ce cas, nous constatons que le côté gauche a y = a · x + b, et le côté droit a y = 0 et coïncide avec O x.

Définition 8

Le graphique de la fonction y = a x + b est tracé :

• en résolvant l'inégalité a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• lors de la résolution de l'inégalité a · x + b ≤ 0, l'intervalle est déterminé là où le graphique est représenté sous l'axe O x ou coïncide ;
• lors de la résolution de l'inégalité a · x + b > 0, l'intervalle est déterminé là où le graphique est représenté au-dessus de O x ;
• Lors de la résolution de l'inégalité a · x + b ≥ 0, l'intervalle est déterminé là où le graphique est au-dessus de O x ou coïncide.

Exemple 7

Résolvez l'inégalité - 5 · x - 3 > 0 à l'aide d'un graphique.

Solution

Il est nécessaire de construire un graphique de la fonction linéaire - 5 · x - 3 > 0. Cette droite est décroissante car le coefficient de x est négatif. Pour déterminer les coordonnées du point de son intersection avec O x - 5 · x - 3 > 0, on obtient la valeur - 3 5. Représentons-le graphiquement.

En résolvant l'inégalité avec le signe >, vous devez alors faire attention à l'intervalle au-dessus de O x. Mettons en évidence la partie requise de l'avion en rouge et obtenons cela

L'espace requis est la partie O x rouge. Cela signifie que le rayon ouvert - ∞ , - 3 5 sera une solution à l'inégalité. Si, selon la condition, nous avions une inégalité non stricte, alors la valeur du point - 3 5 serait également une solution à l'inégalité. Et cela coïnciderait avec O x.

Répondre: - ∞ , - 3 5 ou x< - 3 5 .

La solution graphique est utilisée lorsque le côté gauche correspond à la fonction y = 0 x + b, c'est-à-dire y = b. Alors la droite sera parallèle à O x ou coïncidera en b = 0. Ces cas montrent que l’inégalité peut n’avoir aucune solution, ou que la solution peut être n’importe quel nombre.

Exemple 8

Déterminer à partir des inégalités 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Solution

La représentation de y = 0 x + 7 est y = 7, alors un plan de coordonnées sera donné avec une droite parallèle à O x et située au dessus de O x. Donc 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

Le graphique de la fonction y = 0 x + 0 est considéré comme y = 0, c'est-à-dire que la droite coïncide avec O x. Cela signifie que l’inégalité 0 x + 0 ≥ 0 a plusieurs solutions.

Répondre: La deuxième inégalité a une solution pour toute valeur de x.

Des inégalités qui se réduisent à linéarité

La solution aux inégalités peut se réduire à la solution équation linéaire, que l'on appelle des inégalités qui se réduisent à linéaires.

Ces inégalités ont été prises en compte dans le cours scolaire, car elles constituaient un cas particulier de résolution d'inégalités, ce qui conduisait à l'ouverture de parenthèses et à la réduction de termes similaires. Par exemple, considérons que 5 − 2 x > 0, 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x, x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x.

Les inégalités données ci-dessus sont toujours réduites à la forme d'une équation linéaire. Ensuite, les parenthèses sont ouvertes et des termes similaires sont donnés et transférés de Différents composants, en changeant le signe en l'opposé.

En réduisant l'inégalité 5 − 2 x > 0 à linéaire, on la représente de telle manière qu'elle ait la forme − 2 x + 5 > 0, et pour réduire la seconde on obtient que 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 X − 2 + X . Il faut ouvrir les parenthèses, amener les termes similaires, déplacer tous les termes vers la gauche et amener les termes similaires. Cela ressemble à ceci :

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ ​​​​​​5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

Cela conduit à la solution d’une inégalité linéaire.

Ces inégalités sont considérées comme linéaires, puisqu'elles ont le même principe de solution, après quoi il est possible de les réduire à des inégalités élémentaires.

Pour résoudre ce type d’inégalité, il est nécessaire de la réduire à une inégalité linéaire. Cela devrait être fait de cette façon :

Définition 9

• parenthèses ouvertes;
• collecter les variables à gauche et les nombres à droite ;
• donner des termes similaires ;
• divisez les deux côtés par le coefficient de x.

Exemple 9

Résolvez l'inégalité 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1.

Solution

On ouvre les parenthèses, on obtient alors une inégalité de la forme 5 x + 15 + x ≤ 6 x − 18 + 1. Après réduction des termes similaires, nous obtenons que 6 x + 15 ≤ 6 x − 17. Après avoir déplacé les termes de gauche à droite, on trouve que 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0. Il existe donc une inégalité de la forme 32 ≤ 0 à partir de celle obtenue en calculant 0 x + 32 ≤ 0. On voit que l’inégalité est fausse, ce qui signifie que l’inégalité donnée par condition n’a pas de solution.

Répondre: pas de solutions.

Il convient de noter qu’il existe de nombreux autres types d’inégalités qui peuvent être réduites à des inégalités linéaires ou du type présenté ci-dessus. Par exemple, 5 2 x − 1 ≥ 1 est une équation exponentielle qui se réduit à une solution de la forme linéaire 2 x − 1 ≥ 0. Ces cas seront pris en compte lors de la résolution d’inégalités de ce type.

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Attention!
Il y a des supplémentaires
matériaux dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui sont très "pas très..."
Et pour ceux qui « beaucoup… »)

Ce qui s'est passé "inégalité quadratique" ? Pas de question !) Si vous prenez n'importe lequeléquation quadratique et remplacez le signe dedans "=" (égal) à tout signe d'inégalité ( > ≥ < ≤ ≠ ), on obtient une inégalité quadratique. Par exemple:

1. x2-8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x2 ≤ 4

Eh bien, vous comprenez...)

Ce n’est pas pour rien que j’ai lié ici équations et inégalités. Le fait est que la première étape pour résoudre n'importe lequel inégalité quadratique - résoudre l’équation à partir de laquelle est faite cette inégalité. Pour cette raison, l’incapacité à résoudre des équations quadratiques conduit automatiquement à un échec complet des inégalités. L'indice est-il clair ?) Si quelque chose se produit, regardez comment résoudre les équations quadratiques. Tout y est décrit en détail. Et dans cette leçon, nous traiterons des inégalités.

L'inégalité prête à être résolue a la forme : à gauche se trouve un trinôme quadratique hache 2 +bx+c, à droite - zéro. Le signe d'inégalité peut être absolument n'importe quoi. Les deux premiers exemples sont ici sont déjà prêts à prendre une décision. Le troisième exemple reste à préparer.

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Dans l'article, nous considérerons résoudre les inégalités. Nous vous expliquerons clairement comment construire une solution aux inégalités, avec des exemples clairs !

Avant d’envisager de résoudre les inégalités à l’aide d’exemples, comprenons les concepts de base.

Informations générales sur les inégalités

Inégalité est une expression dans laquelle les fonctions sont reliées par des signes de relation >, . Les inégalités peuvent être à la fois numériques et littérales.
Les inégalités avec deux signes du rapport sont appelées doubles, avec trois - triples, etc. Par exemple:
une(x) > b(x),
une(x) une(x) b(x),
une(x)b(x).
a(x) Les inégalités contenant le signe > ou ou - ne sont pas strictes.
Résoudre les inégalités est n'importe quelle valeur de la variable pour laquelle cette inégalité sera vraie.
"Résoudre les inégalités" signifie qu'il faut trouver l'ensemble de toutes ses solutions. Il existe différentes méthodes pour résoudre les inégalités. Pour solutions aux inégalités Ils utilisent la droite numérique, qui est infinie. Par exemple, solution aux inégalités x > 3 est l'intervalle de 3 à +, et le nombre 3 n'est pas inclus dans cet intervalle, donc le point sur la ligne est désigné par un cercle vide, car l'inégalité est stricte.
+
La réponse sera : x (3 ; +).
La valeur x=3 n'est pas incluse dans l'ensemble de solutions, la parenthèse est donc ronde. Le signe infini est toujours mis en évidence par une parenthèse. Le signe signifie « appartenance ».
Voyons comment résoudre les inégalités à l'aide d'un autre exemple avec un signe :
x2
-+
La valeur x=2 est incluse dans l'ensemble des solutions, donc la parenthèse est carrée et le point sur la ligne est indiqué par un cercle plein.
La réponse sera : x)