Résoudre l'équation 2 4. Résoudre des équations linéaires avec des exemples
Dans le cours de mathématiques de 7ème, on rencontre pour la première fois équations à deux variables, mais ils ne sont étudiés que dans le contexte de systèmes d'équations à deux inconnues. C'est pourquoi toute une série de problèmes dans lesquels certaines conditions sont introduites sur les coefficients de l'équation qui les limite tombent hors de vue. De plus, les méthodes de résolution de problèmes telles que « Résoudre une équation en nombres naturels ou entiers » sont également ignorées, bien que des problèmes de ce type se retrouvent de plus en plus souvent dans les documents de l'examen d'État unifié et dans les examens d'entrée.
Quelle équation sera appelée équation à deux variables ?
Ainsi, par exemple, les équations 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 ou xy = 12 sont des équations à deux variables.
Considérons l'équation 2x – y = 1. Elle devient vraie lorsque x = 2 et y = 3, donc cette paire de valeurs variables est une solution à l'équation en question.
Ainsi, la solution de toute équation à deux variables est un ensemble de paires ordonnées (x ; y), valeurs des variables qui transforment cette équation en une véritable égalité numérique.
Une équation à deux inconnues peut :
UN) avoir une solution. Par exemple, l'équation x 2 + 5y 2 = 0 a une solution unique (0 ; 0) ;
b) avoir plusieurs solutions. Par exemple, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 a 4 solutions : (5 ; 2), (-5 ; 2), (5 ; -2), (-5 ; - 2);
V) n'ai pas de solutions. Par exemple, l'équation x 2 + y 2 + 1 = 0 n'a pas de solution ;
G) avoir une infinité de solutions. Par exemple, x + y = 3. Les solutions de cette équation seront des nombres dont la somme est égale à 3. L'ensemble des solutions de cette équation peut s'écrire sous la forme (k ; 3 – k), où k est n'importe quel réel nombre.
Les principales méthodes de résolution d'équations à deux variables sont des méthodes basées sur des expressions de factorisation, isolant un carré complet, utilisant les propriétés d'une équation quadratique, des expressions limitées et des méthodes d'estimation. L'équation est généralement transformée en une forme à partir de laquelle un système permettant de trouver les inconnues peut être obtenu.
Factorisation
Exemple 1.
Résolvez l’équation : xy – 2 = 2x – y.
Solution.
Nous regroupons les termes à des fins de factorisation :
(xy + y) – (2x + 2) = 0. De chaque parenthèse nous retirons un facteur commun :
y(x + 1) – 2(x + 1) = 0 ;
(x + 1)(y – 2) = 0. On a :
y = 2, x – n'importe quel nombre réel ou x = -1, y – n'importe quel nombre réel.
Ainsi, la réponse est toutes les paires de la forme (x; 2), x € R et (-1; y), y € R.
Égalité des nombres non négatifs à zéro
Exemple 2.
Résolvez l'équation : 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).
Solution.
Regroupement:
(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Maintenant, chaque parenthèse peut être pliée en utilisant la formule de différence au carré.
(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.
La somme de deux expressions non négatives est nulle seulement si 3x – 2 = 0 et 2y – 3 = 0.
Cela signifie x = 2/3 et y = 3/2.
Réponse : (2/3 ; 3/2).
Méthode d'estimation
Exemple 3.
Résolvez l'équation : (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.
Solution.
Dans chaque parenthèse nous sélectionnons un carré complet :
((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Estimons 
le sens des expressions entre parenthèses.
(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 et (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, alors le côté gauche de l'équation est toujours au moins 2. L'égalité est possible si :
(x + 1) 2 + 1 = 1 et (y – 2) 2 + 2 = 2, ce qui signifie x = -1, y = 2.
Réponse : (-1 ; 2).
Faisons connaissance avec une autre méthode de résolution d'équations à deux variables du deuxième degré. Cette méthode consiste à traiter l'équation comme carré par rapport à une variable.
Exemple 4.
Résolvez l'équation : x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.
Solution.
Résolvons l'équation comme une équation quadratique pour x. Trouvons le discriminant :
D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . L'équation n'aura de solution que lorsque D = 0, c'est-à-dire si y = 4. Nous substituons la valeur de y dans l'équation d'origine et constatons que x = 3.
Réponse : (3 ; 4).
Souvent dans les équations à deux inconnues, ils indiquent restrictions sur les variables.
Exemple 5.
Résolvez l'équation en nombres entiers : x 2 + 5y 2 = 20x + 2.
Solution.
Réécrivons l'équation sous la forme x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Le côté droit de l'équation résultante lorsqu'il est divisé par 5 donne un reste de 2. Par conséquent, x 2 n'est pas divisible par 5. Mais le carré d'un un nombre non divisible par 5 donne un reste de 1 ou 4. Ainsi, l'égalité est impossible et il n'y a pas de solutions.
Réponse : pas de racines.
Exemple 6.
Résolvez l'équation : (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.
Solution.
Soulignons les carrés complets dans chaque parenthèse :
((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Le côté gauche de l'équation est toujours supérieur ou égal à 3. L'égalité est possible à condition que |x| – 2 = 0 et y + 3 = 0. Ainsi, x = ± 2, y = -3.
Réponse : (2 ; -3) et (-2 ; -3).
Exemple 7.
Pour chaque paire d'entiers négatifs (x;y) satisfaisant l'équation
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, calculez la somme (x + y). Veuillez indiquer le plus petit montant dans votre réponse.
Solution.
Sélectionnons des carrés complets :
(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37 ;
(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Puisque x et y sont des nombres entiers, leurs carrés sont également des nombres entiers. On obtient la somme des carrés de deux entiers égale à 37 si l'on additionne 1 + 36. Donc :
(x – y) 2 = 36 et (y + 2) 2 = 1 
(x – y) 2 = 1 et (y + 2) 2 = 36.
En résolvant ces systèmes et en tenant compte du fait que x et y sont négatifs, nous trouvons des solutions : (-7 ; -1), (-9 ; -3), (-7 ; -8), (-9 ; -8).
Réponse : -17.
Ne désespérez pas si vous avez des difficultés à résoudre des équations à deux inconnues. Avec un peu de pratique, vous pouvez gérer n'importe quelle équation.
Vous avez encore des questions ? Vous ne savez pas comment résoudre des équations à deux variables ?
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Une équation à une inconnue, qui, après avoir ouvert les parenthèses et ramené des termes similaires, prend la forme
hache + b = 0, où a et b sont des nombres arbitraires, est appelé équation linéaire avec une inconnue. Aujourd’hui, nous allons découvrir comment résoudre ces équations linéaires.
Par exemple, toutes les équations :
2x + 3= 7 – 0,5x ; 0,3x = 0 ; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - linéaire.
La valeur de l'inconnue qui transforme l'équation en une véritable égalité est appelée décision ou racine de l'équation .
Par exemple, si dans l'équation 3x + 7 = 13 au lieu de l'inconnu x on remplace le nombre 2, on obtient l'égalité correcte 3 2 +7 = 13. Cela signifie que la valeur x = 2 est la solution ou racine de l'équation.
Et la valeur x = 3 ne transforme pas l'équation 3x + 7 = 13 en une véritable égalité, puisque 3 2 +7 ≠ 13. Cela signifie que la valeur x = 3 n'est pas une solution ou une racine de l'équation.
La résolution de n'importe quelle équation linéaire se réduit à résoudre des équations de la forme
hache + b = 0.
Déplaçons le terme libre du côté gauche de l'équation vers la droite, en changeant le signe devant b au contraire, nous obtenons
Si a ≠ 0, alors x = ‒ b/a .
Exemple 1. Résolvez l'équation 3x + 2 =11.
Déplaçons 2 du côté gauche de l'équation vers la droite, en changeant le signe devant 2 à l'opposé, nous obtenons
3x = 11 – 2.
Faisons la soustraction, alors
3x = 9.
Pour trouver x, vous devez diviser le produit par un facteur connu, c'est-à-dire
x = 9:3.
Cela signifie que la valeur x = 3 est la solution ou racine de l'équation.
Réponse : x = 3.
Si a = 0 et b = 0, alors nous obtenons l'équation 0x = 0. Cette équation a une infinité de solutions, car lorsque nous multiplions un nombre par 0, nous obtenons 0, mais b est également égal à 0. La solution de cette équation est n'importe quel nombre.
Exemple 2. Résolvez l'équation 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1.
Développons les parenthèses :
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x ‒ 1.
5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.
Voici quelques termes similaires :
0x = 0.
Réponse : x - n'importe quel nombre.
Si a = 0 et b ≠ 0, alors nous obtenons l'équation 0х = - b. Cette équation n'a pas de solution, puisque lorsque nous multiplions un nombre par 0, nous obtenons 0, mais b ≠ 0.
Exemple 3. Résolvez l'équation x + 8 = x + 5.
Regroupons les termes contenant des inconnues sur le côté gauche, et les termes libres sur le côté droit :
x – x = 5 – 8.
Voici quelques termes similaires :
0х = ‒ 3.
Réponse : aucune solution.
Sur Figure 1 montre un diagramme pour résoudre une équation linéaire
Élaborons un schéma général pour résoudre des équations à une variable. Considérons la solution de l'exemple 4.
Exemple 4. Supposons que nous devions résoudre l'équation
1) Multipliez tous les termes de l'équation par le plus petit commun multiple des dénominateurs, égal à 12.
2) Après réduction on obtient
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)
3) Pour séparer les termes contenant des termes inconnus et libres, ouvrez les parenthèses :
4x – 16 + 6x + 6 – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86.
4) Regroupons dans une partie les termes contenant des inconnues, et dans l'autre - les termes libres :
4x + 6x – 30x – 24x + 22x = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.
5) Présentons des termes similaires :
- 22x = - 154.
6) Divisez par – 22, nous obtenons
x = 7.
Comme vous pouvez le constater, la racine de l’équation est sept.
Généralement tel les équations peuvent être résolues en utilisant le schéma suivant:
a) amener l'équation à sa forme entière ;
b) ouvrir les supports ;
c) regrouper les termes contenant l'inconnue dans une partie de l'équation, et les termes libres dans l'autre ;
d) amener des membres similaires ;
e) résoudre une équation de la forme aх = b, qui a été obtenue après avoir rapproché des termes similaires.
Cependant, ce schéma n’est pas nécessaire pour toutes les équations. Lorsque vous résolvez de nombreuses équations plus simples, vous ne devez pas commencer par la première, mais par la seconde ( Exemple. 2), troisième ( Exemple. 13) et même dès la cinquième étape, comme dans l'exemple 5.
Exemple 5. Résolvez l'équation 2x = 1/4.
Trouver l'inconnu x = 1/4 : 2,
x = 1/8 .
Examinons la résolution de quelques équations linéaires trouvées dans l'examen d'État principal.
Exemple 6. Résolvez l'équation 2 (x + 3) = 5 – 6x.
2x + 6 = 5 – 6x
2x + 6x = 5 – 6
Réponse : - 0,125
Exemple 7. Résolvez l'équation – 6 (5 – 3x) = 8x – 7.
– 30 + 18x = 8x – 7
18x – 8x = – 7 +30
Réponse : 2.3
Exemple 8. Résous l'équation
3(3x – 4) = 4 7x + 24
9x – 12 = 28x + 24
9x – 28x = 24 + 12
Exemple 9. Trouver f(6) si f (x + 2) = 3 7
Solution
Puisque nous devons trouver f(6), et que nous connaissons f (x + 2),
alors x + 2 = 6.
On résout l'équation linéaire x + 2 = 6,
nous obtenons x = 6 – 2, x = 4.
Si x = 4 alors
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27
Réponse : 27.
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Analysons deux types de solutions aux systèmes d'équations :
1. Résoudre le système en utilisant la méthode de substitution.
2. Résoudre le système par addition (soustraction) terme par terme des équations du système.
Pour résoudre le système d'équations par méthode de substitution vous devez suivre un algorithme simple :
1. Exprimez. À partir de n'importe quelle équation, nous exprimons une variable.
2. Remplacer. Nous substituons la valeur résultante dans une autre équation au lieu de la variable exprimée.
3. Résolvez l'équation résultante avec une variable. Nous trouvons une solution au système.
Résoudre système par méthode d'addition (soustraction) terme par terme besoin de:
1. Sélectionnez une variable pour laquelle nous ferons des coefficients identiques.
2. Nous ajoutons ou soustrayons des équations, ce qui donne une équation à une variable.
3. Résolvez l’équation linéaire résultante. Nous trouvons une solution au système.
La solution du système réside dans les points d’intersection des graphiques de fonctions.
Examinons en détail la solution des systèmes à l'aide d'exemples.
Exemple 1:
Résolvons par méthode de substitution
Résoudre un système d'équations par la méthode de substitution2x+5y=1 (1 équation)
x-10y=3 (2ème équation)
1. Exprimer
On peut voir que dans la deuxième équation il y a une variable x avec un coefficient de 1, ce qui signifie qu'il est plus simple d'exprimer la variable x à partir de la deuxième équation.
x=3+10a
2.Après l'avoir exprimé, nous substituons 3+10y dans la première équation au lieu de la variable x.
2(3+10 ans)+5 ans=1
3. Résolvez l'équation résultante avec une variable.
2(3+10y)+5y=1 (ouvrez les parenthèses)
6+20 ans+5 ans=1
25 ans = 1-6
25 ans = -5 | : (25)
y=-5:25
y=-0,2
La solution du système d'équations sont les points d'intersection des graphiques, nous devons donc trouver x et y, car le point d'intersection est constitué de x et y. Trouvons x, au premier point où nous l'avons exprimé, nous substituons y.
x=3+10a
x=3+10*(-0,2)=1
Il est d'usage d'écrire des points en premier lieu on écrit la variable x, et en second lieu la variable y.
Réponse : (1 ; -0,2)
Exemple n°2 :
Résolvons en utilisant la méthode d'addition (soustraction) terme par terme.
Résoudre un système d'équations par la méthode d'addition3x-2y=1 (1 équation)
2x-3y=-10 (2ème équation)
1. Nous choisissons une variable, disons que nous choisissons x. Dans la première équation, la variable x a un coefficient de 3, dans la seconde - 2. Nous devons rendre les coefficients identiques, pour cela nous avons le droit de multiplier les équations ou de diviser par n'importe quel nombre. On multiplie la première équation par 2 et la seconde par 3 et obtenons un coefficient total de 6.
3x-2a=1 |*2
6x-4a=2
2x-3a=-10 |*3
6x-9a=-30
2. Soustrayez la seconde de la première équation pour éliminer la variable X. Résolvez l'équation linéaire.
__6x-4a=2
5 ans = 32 | :5
y=6,4
3. Trouvez x. Nous substituons le y trouvé dans n’importe laquelle des équations, disons dans la première équation.
3x-2a=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6
Le point d'intersection sera x=4,6 ; y=6,4
Réponse : (4.6 ; 6.4)
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