Etude d'une fonction et tracé d'un graphique avec une solution détaillée. Exploration et traçage des fonctions complètes

Pour une étude complète de la fonction et tracer son graphe, il est recommandé d'utiliser le schéma suivant :

1) trouver la portée de la fonction ;

2) trouver les points de discontinuité de la fonction et les asymptotes verticales (si elles existent) ;

3) étudier le comportement de la fonction à l'infini, trouver les asymptotes horizontales et obliques ;

4) étudier la fonction de régularité (oddity) et de périodicité (pour les fonctions trigonométriques);

5) trouver les extrema et les intervalles de monotonie de la fonction ;

6) déterminer les intervalles des points de convexité et d'inflexion ;

7) trouver des points d'intersection avec les axes de coordonnées, si possible, et quelques points supplémentaires qui affinent le graphique.

L'étude de la fonction est menée simultanément à la construction de son graphe.

Exemple 9 Explorez la fonction et construisez un graphique.

1. Domaine de définition : ;

2. La fonction se casse aux points
,
;

Nous étudions la fonction pour la présence d'asymptotes verticales.

;
,
─ asymptote verticale.

;
,
─ asymptote verticale.

3. Nous étudions la fonction pour la présence d'asymptotes obliques et horizontales.

Droit
─ asymptote oblique, si
,
.

,
.

Droit
─ asymptote horizontale.

4. La fonction est paire parce que
. La parité de la fonction indique la symétrie du graphique par rapport à l'axe des ordonnées.

5. Trouvez les intervalles de monotonie et les extrema de la fonction.

Trouvons les points critiques, c'est-à-dire points où la dérivée est 0 ou n'existe pas :
;
. Nous avons trois points
;

. Ces points divisent l'ensemble de l'axe réel en quatre intervalles. Définissons les signes sur chacun d'eux.

Sur les intervalles (-∞ ; -1) et (-1 ; 0) la fonction augmente, sur les intervalles (0 ; 1) et (1 ; +∞) elle diminue. En passant par un point
la dérivée change de signe de plus à moins, donc, à ce stade, la fonction a un maximum
.

6. Trouvons les intervalles de convexité, les points d'inflexion.

Trouvons les points où vaut 0 ou n'existe pas.

n'a pas de vraies racines.
,
,

points
et
diviser l'axe réel en trois intervalles. Définissons le signe à chaque intervalle.

Ainsi, la courbe sur les intervalles
et
convexe vers le bas, sur l'intervalle (-1;1) convexe vers le haut ; il n'y a pas de points d'inflexion, puisque la fonction aux points
et
non déterminé.

7. Trouvez les points d'intersection avec les axes.

avec essieu
le graphique de la fonction se coupe au point (0; -1), et avec l'axe
le graphique ne se croise pas, car le numérateur de cette fonction n'a pas de racines réelles.

Le graphique de la fonction donnée est illustré à la figure 1.

Figure 1 ─ Graphique de la fonction

Application du concept de dérivée en économie. Élasticité de la fonction

Pour étudier les processus économiques et résoudre d'autres problèmes appliqués, le concept d'élasticité de fonction est souvent utilisé.

Définition.Élasticité de la fonction
est appelée la limite du rapport de l'incrément relatif de la fonction à l'incrément relatif de la variable à
, . (VII)

L'élasticité d'une fonction indique approximativement de combien de pourcentage la fonction changera
lors du changement de la variable indépendante de 1 %.

L'élasticité d'une fonction est utilisée dans l'analyse de la demande et de la consommation. Si l'élasticité de la demande (en valeur absolue)
, alors la demande est considérée comme élastique si
─ neutre si
─ inélastique par rapport au prix (ou au revenu).

Exemple 10 Calculer l'élasticité d'une fonction
et trouver la valeur de l'indice d'élasticité pour = 3.

Solution : d'après la formule (VII) l'élasticité de la fonction :

Soit x=3 alors
Cela signifie que si la variable indépendante augmente de 1 %, alors la valeur de la variable dépendante augmentera de 1,42 %.

Exemple 11 Laisser la demande fonctionner concernant le prix a la forme
, où ─ coefficient constant. Trouver la valeur de l'indice d'élasticité de la fonction de demande au prix x = 3 den. unités

Solution : calculer l'élasticité de la fonction de demande à l'aide de la formule (VII)

En supposant
unités monétaires, on obtient
. Cela signifie qu'au prix
unité monétaire une hausse de prix de 1 % entraînera une baisse de la demande de 6 %, soit la demande est élastique.

Aujourd'hui, nous vous invitons à explorer et tracer un graphique de fonction avec nous. Après une étude attentive de cet article, vous n'aurez pas à transpirer longtemps pour mener à bien ce genre de tâche. Il n'est pas facile d'explorer et de construire un graphique d'une fonction, le travail est volumineux, nécessitant un maximum d'attention et de précision des calculs. Pour faciliter la perception de la matière, nous allons progressivement étudier la même fonction, expliquer toutes nos actions et calculs. Bienvenue dans le monde étonnant et fascinant des mathématiques ! Aller!

Domaine

Afin d'explorer et de tracer une fonction, vous devez connaître quelques définitions. Une fonction est l'un des concepts de base (de base) en mathématiques. Il reflète la dépendance entre plusieurs variables (deux, trois ou plus) avec des changements. La fonction montre également la dépendance des ensembles.

Imaginez que nous ayons deux variables qui ont une certaine plage de changement. Ainsi, y est une fonction de x, à condition que chaque valeur de la seconde variable corresponde à une valeur de la seconde. Dans ce cas, la variable y est dépendante et s'appelle une fonction. Il est d'usage de dire que les variables x et y sont en Pour plus de clarté sur cette dépendance, un graphe de la fonction est construit. Qu'est-ce qu'un graphe de fonctions ? Il s'agit d'un ensemble de points sur le plan de coordonnées, où chaque valeur de x correspond à une valeur de y. Les graphiques peuvent être différents - une ligne droite, une hyperbole, une parabole, une sinusoïde, etc.

Un graphe de fonction ne peut pas être tracé sans exploration. Aujourd'hui, nous allons apprendre à effectuer des recherches et à tracer un graphique de fonction. Il est très important de prendre des notes pendant l'étude. Il sera donc beaucoup plus facile de faire face à la tâche. Le plan d'études le plus pratique:

1. Domaine.
2. Continuité.
3. Pair ou impair.
4. Périodicité.
5. Asymptotes.
6. Zéros.
7. Constance.
8. Ascendant et descendant.
9. Extrêmes.
10. Convexité et concavité.

Commençons par le premier point. Trouvons le domaine de définition, c'est-à-dire sur quels intervalles notre fonction existe: y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). Dans notre cas, la fonction existe pour toutes les valeurs de x, c'est-à-dire que le domaine de définition est R. Cela peut s'écrire xОR.

Continuité

Nous allons maintenant explorer la fonction de discontinuité. En mathématiques, le terme "continuité" est apparu à la suite de l'étude des lois du mouvement. Qu'est-ce que l'infini ? L'espace, le temps, certaines dépendances (un exemple est la dépendance des variables S et t dans les problèmes de mouvement), la température de l'objet chauffé (eau, poêle à frire, thermomètre, etc.), une ligne continue (c'est-à-dire une que l'on peut dessiner sans l'enlever de la feuille de crayon).

Un graphique est considéré comme continu s'il ne se brise pas à un moment donné. L'un des exemples les plus évidents d'un tel graphique est une onde sinusoïdale, que vous pouvez voir dans l'image de cette section. La fonction est continue à un certain point x0 si un certain nombre de conditions sont remplies :

• une fonction est définie en un point donné ;
• les limites droite et gauche en un point sont égales ;
• la limite est égale à la valeur de la fonction au point x0.

Si au moins une condition n'est pas remplie, la fonction est dite cassante. Et les points auxquels la fonction s'arrête sont appelés points d'arrêt. Un exemple de fonction qui "cassera" lorsqu'elle sera affichée graphiquement est : y=(x+4)/(x-3). De plus, y n'existe pas au point x = 3 (puisqu'il est impossible de diviser par zéro).

Dans la fonction que nous étudions (y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)), tout s'est avéré simple, puisque le graphique sera continu.

Même bizarre

Examinons maintenant la fonction de parité. Commençons par un peu de théorie. Une fonction paire est une fonction qui satisfait la condition f (-x) = f (x) pour toute valeur de la variable x (de la plage de valeurs). Les exemples sont :

• module x (le graphique ressemble à un choucas, la bissectrice des premier et deuxième quarts du graphique) ;
• x au carré (parabole);
• cosinus x (onde cosinus).

Notez que tous ces graphiques sont symétriques lorsqu'ils sont visualisés par rapport à l'axe des ordonnées.

Qu'appelle-t-on alors une fonction impaire ? Ce sont les fonctions qui satisfont à la condition: f (-x) \u003d - f (x) pour toute valeur de la variable x. Exemples:

• hyperbole;
• parabole cubique ;
• sinusoïde ;
• tangente et ainsi de suite.

Veuillez noter que ces fonctions sont symétriques par rapport au point (0:0), c'est-à-dire l'origine. D'après ce qui a été dit dans cette section de l'article, une fonction paire et impaire doit avoir la propriété : x appartient à l'ensemble de définition et -x aussi.

Examinons la fonction de parité. Nous pouvons voir qu'elle ne correspond à aucune des descriptions. Par conséquent, notre fonction n'est ni paire ni impaire.

Asymptotes

Commençons par une définition. Une asymptote est une courbe aussi proche que possible du graphique, c'est-à-dire que la distance d'un point tend vers zéro. Il existe trois types d'asymptotes :

• vertical, c'est-à-dire parallèle à l'axe y ;
• horizontale, c'est-à-dire parallèle à l'axe des x ;
• oblique.

Comme pour le premier type, ces lignes doivent être recherchées à certains endroits :

• écart;
• extrémités du domaine.

Dans notre cas, la fonction est continue et le domaine de définition est R. Par conséquent, il n'y a pas d'asymptotes verticales.

Le graphique d'une fonction a une asymptote horizontale, qui répond à l'exigence suivante : si x tend vers l'infini ou moins l'infini, et la limite est égale à un certain nombre (par exemple, a). Dans ce cas, y=a est l'asymptote horizontale. Il n'y a pas d'asymptotes horizontales dans la fonction que nous étudions.

Une asymptote oblique n'existe que si deux conditions sont remplies :

• lim(f(x))/x=k ;
• lim f(x)-kx=b.

On peut alors le trouver par la formule : y=kx+b. Encore une fois, dans notre cas, il n'y a pas d'asymptotes obliques.

Fonction zéros

L'étape suivante consiste à examiner le graphique de la fonction pour les zéros. Il est également très important de noter que la tâche associée à la recherche des zéros d'une fonction se produit non seulement dans l'étude et la construction d'un graphe de fonctions, mais également en tant que tâche indépendante et en tant que moyen de résoudre des inégalités. Vous devrez peut-être trouver les zéros d'une fonction sur un graphique ou utiliser la notation mathématique.

Trouver ces valeurs vous aidera à tracer la fonction avec plus de précision. Si parler langage clair, alors le zéro de la fonction est la valeur de la variable x, à laquelle y=0. Si vous recherchez les zéros d'une fonction sur un graphique, vous devez faire attention aux points d'intersection du graphique avec l'axe des x.

Pour trouver les zéros de la fonction, vous devez résoudre l'équation suivante : y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Après avoir fait les calculs nécessaires, nous obtenons la réponse suivante :

signe constance

L'étape suivante dans l'étude et la construction d'une fonction (graphique) consiste à trouver des intervalles de constance de signe. Cela signifie que nous devons déterminer sur quels intervalles la fonction prend valeur positive, et sur certains - négatif. Les zéros des fonctions trouvées dans la section précédente nous aideront à le faire. Nous devons donc construire une ligne droite (séparément du graphique) et répartir les zéros de la fonction le long de celle-ci dans le bon ordre, du plus petit au plus grand. Vous devez maintenant déterminer lequel des intervalles résultants a un signe "+" et lequel a un "-".

Dans notre cas, la fonction prend une valeur positive sur les intervalles :

• de 1 à 4 ;
• de 9 à l'infini.

Sens négatif:

• de moins l'infini à 1 ;
• de 4 à 9.

C'est assez facile à déterminer. Remplacez n'importe quel nombre de l'intervalle dans la fonction et voyez le signe de la réponse (moins ou plus).

Fonction croissante et décroissante

Afin d'explorer et de construire une fonction, nous devons savoir où le graphe va augmenter (monter sur Oy) et où il va baisser (ramper le long de l'axe des ordonnées).

La fonction n'augmente que si la plus grande valeur de la variable x correspond à la plus grande valeur de y. Autrement dit, x2 est supérieur à x1 et f(x2) est supérieur à f(x1). Et on observe un phénomène complètement opposé dans une fonction décroissante (plus il y a de x, moins il y a). Pour déterminer les intervalles d'augmentation et de diminution, vous devez trouver les éléments suivants :

• portée (nous l'avons déjà);
• dérivée (dans notre cas : 1/3(3x^2-28x+49) ;
• résoudre l'équation 1/3(3x^2-28x+49)=0.

Après calculs, on obtient le résultat :

On obtient : la fonction croît sur les intervalles de moins l'infini à 7/3 et de 7 à l'infini, et décroît sur l'intervalle de 7/3 à 7.

Extrêmes

La fonction étudiée y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) est continue et existe pour toutes les valeurs de la variable x. Le point extrême indique le maximum et le minimum de cette fonction. Dans notre cas, il n'y en a pas, ce qui simplifie grandement la tâche de construction. Sinon, ils sont également trouvés en utilisant la fonction dérivée. Après avoir trouvé, n'oubliez pas de les marquer sur le tableau.

Convexité et concavité

Nous continuons à étudier la fonction y(x). Maintenant, nous devons vérifier la convexité et la concavité. Les définitions de ces concepts sont assez difficiles à percevoir, mieux vaut tout analyser avec des exemples. Pour le test : une fonction est convexe si c'est une fonction non décroissante. D'accord, c'est incompréhensible !

Il faut trouver la dérivée de la fonction du second ordre. On obtient : y=1/3(6x-28). Maintenant, assimilons le côté droit à zéro et résolvons l'équation. Réponse : x=14/3. Nous avons trouvé le point d'inflexion, c'est-à-dire l'endroit où le graphe passe de convexe à concave ou vice versa. Sur l'intervalle de moins l'infini à 14/3, la fonction est convexe, et de 14/3 à plus l'infini, elle est concave. Il est également très important de noter que le point d'inflexion sur le graphique doit être lisse et doux, il ne doit pas y avoir de coins pointus.

Définition des points supplémentaires

Notre tâche est d'explorer et de tracer le graphe de la fonction. Nous avons terminé l'étude, il ne sera pas difficile de tracer la fonction maintenant. Pour une reproduction plus précise et détaillée d'une courbe ou d'une droite sur le plan de coordonnées, vous pouvez trouver plusieurs points auxiliaires. C'est assez facile de les calculer. Par exemple, nous prenons x=3, résolvons l'équation résultante et trouvons y=4. Ou x=5 et y=-5 et ainsi de suite. Vous pouvez prendre autant de points supplémentaires que nécessaire pour construire. Au moins 3-5 d'entre eux sont trouvés.

Traçage

Nous devions étudier la fonction (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Toutes les marques nécessaires au cours des calculs ont été faites sur le plan de coordonnées. Il ne reste plus qu'à construire un graphe, c'est-à-dire relier tous les points entre eux. Relier les points est fluide et précis, c'est une question de compétence - un peu de pratique et votre emploi du temps sera parfait.