dérivés complexes. Dérivée logarithmique.
Dérivée de la fonction exponentielle

Nous continuons à améliorer notre technique de différenciation. Dans cette leçon, nous consoliderons le matériel abordé, considérerons des dérivées plus complexes et nous familiariserons également avec de nouvelles astuces pour trouver la dérivée, en particulier avec la dérivée logarithmique.

Les lecteurs qui ont un faible niveau de préparation devraient se référer à l'article Comment trouver la dérivée ? Exemples de solutions ce qui vous permettra d'augmenter vos compétences presque à partir de zéro. Ensuite, vous devez étudier attentivement la page Dérivée d'une fonction complexe, comprendre et résoudre Tous les exemples que j'ai donnés. Cette leçon est logiquement la troisième consécutive, et après l'avoir maîtrisée, vous différencierez en toute confiance des fonctions assez complexes. Il n'est pas souhaitable de s'en tenir à la position « Où d'autre ? Oui, et ça suffit ! », puisque tous les exemples et solutions sont tirés de tests réels et se retrouvent souvent dans la pratique.

Commençons par la répétition. À la leçon Dérivée d'une fonction complexe nous avons examiné un certain nombre d'exemples avec des commentaires détaillés. Au cours de l'étude du calcul différentiel et d'autres sections de l'analyse mathématique, vous devrez très souvent différencier, et il n'est pas toujours pratique (et pas toujours nécessaire) de décrire des exemples de manière très détaillée. Par conséquent, nous nous entraînerons à la conclusion orale de dérivés. Les « candidats » les plus appropriés pour cela sont les dérivés des fonctions complexes les plus simples, par exemple :

Selon la règle de différenciation d'une fonction complexe :

Lors de l'étude future d'autres sujets de matan, un enregistrement aussi détaillé n'est le plus souvent pas requis, on suppose que l'étudiant est capable de trouver des dérivés similaires sur pilote automatique. Imaginons qu'à 3 heures du matin le téléphone sonne et qu'une voix agréable demande : « Quelle est la dérivée de la tangente de deux x ? Cela devrait être suivi d’une réponse presque instantanée et polie : .

Le premier exemple sera immédiatement destiné à une solution indépendante.

Exemple 1

Trouver oralement, en une seule étape, les dérivées suivantes, par exemple : . Pour terminer la tâche, il vous suffit d'utiliser table des dérivées des fonctions élémentaires(si elle ne s'en est pas déjà souvenue). Si vous rencontrez des difficultés, je vous recommande de relire la leçon Dérivée d'une fonction complexe.

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Réponses à la fin de la leçon

Dérivés complexes

Après une préparation préliminaire de l'artillerie, les exemples avec des attaches de fonctions 3-4-5 seront moins effrayants. Peut-être que les deux exemples suivants sembleront compliqués à certains, mais s'ils sont compris (quelqu'un en souffrira), alors presque tout le reste du calcul différentiel ressemblera à une blague d'enfant.

Exemple 2

Trouver la dérivée d'une fonction

Comme déjà noté, pour trouver la dérivée d'une fonction complexe, il faut tout d'abord Droite COMPRENDRE LES INVESTISSEMENTS. En cas de doute, je vous rappelle une astuce utile : on prend par exemple la valeur expérimentale "x", et on essaie (mentalement ou sur un brouillon) de substituer cette valeur dans "l'expression terrible".

1) Nous devons d’abord calculer l’expression, donc la somme est l’imbrication la plus profonde.

2) Ensuite, vous devez calculer le logarithme :

4) Puis cubez le cosinus :

5) A la cinquième étape, la différence :

6) Et enfin, la fonction la plus externe est la racine carrée :

Formule de différenciation des fonctions composées sont appliqués dans l’ordre inverse, de la fonction la plus externe à la fonction la plus interne. Nous décidons:

Il semble qu'il n'y ait pas d'erreur...

(1) On prend la dérivée de la racine carrée.

(2) On prend la dérivée de la différence en utilisant la règle

(3) La dérivée du triple est égale à zéro. Au deuxième terme, on prend la dérivée du degré (cube).

(4) On prend la dérivée du cosinus.

(5) On prend la dérivée du logarithme.

(6) Enfin, nous prenons la dérivée de l'imbrication la plus profonde .

Cela peut paraître trop difficile, mais ce n’est pas l’exemple le plus brutal. Prenez, par exemple, la collection de Kuznetsov et vous apprécierez tout le charme et la simplicité du dérivé analysé. J'ai remarqué qu'ils aiment donner une chose similaire à l'examen pour vérifier si l'étudiant comprend comment trouver la dérivée d'une fonction complexe, ou ne comprend pas.

L'exemple suivant concerne une solution autonome.

Exemple 3

Trouver la dérivée d'une fonction

Astuce : Nous appliquons d’abord les règles de linéarité et la règle de différenciation du produit

Solution complète et réponse à la fin de la leçon.

Il est temps de passer à quelque chose de plus compact et de plus joli.
Il n'est pas rare qu'un exemple donne le produit non pas de deux, mais de trois fonctions. Comment trouver la dérivée du produit de trois facteurs ?

Exemple 4

Trouver la dérivée d'une fonction

Tout d’abord, regardons, mais est-il possible de transformer le produit de trois fonctions en un produit de deux fonctions ? Par exemple, si nous avions deux polynômes dans le produit, nous pourrions alors ouvrir les parenthèses. Mais dans cet exemple, toutes les fonctions sont différentes : degré, exposant et logarithme.

Dans de tels cas, il faut successivement appliquer la règle de différenciation des produits deux fois

L'astuce est que pour "y" nous désignons le produit de deux fonctions : , et pour "ve" - ​​​​​​le logarithme :. Pourquoi cela peut-il être fait ? Est-ce - ce n'est pas le produit de deux facteurs et la règle ne fonctionne pas ?! Il n'y a rien de compliqué :

Reste maintenant à appliquer la règle une seconde fois mettre entre parenthèses :

Vous pouvez toujours pervertir et retirer quelque chose des parenthèses, mais dans ce cas, il est préférable de laisser la réponse sous cette forme - ce sera plus facile à vérifier.

L'exemple ci-dessus peut être résolu de la deuxième manière :

Les deux solutions sont absolument équivalentes.

Exemple 5

Trouver la dérivée d'une fonction

Ceci est un exemple de solution indépendante, dans l'exemple, elle est résolue de la première manière.

Prenons des exemples similaires avec des fractions.

Exemple 6

Trouver la dérivée d'une fonction

Ici, vous pouvez procéder de plusieurs manières :

Ou comme ceci :

Mais la solution peut être écrite de manière plus compacte si, tout d'abord, on utilise la règle de différenciation du quotient , en prenant pour tout le numérateur :

En principe, l’exemple est résolu, et s’il reste tel quel, ce ne sera pas une erreur. Mais si vous avez le temps, il est toujours conseillé de vérifier sur un brouillon, mais est-il possible de simplifier la réponse ? Nous ramenons l'expression du numérateur à un dénominateur commun et débarrassez-vous de la fraction de trois étages:

L'inconvénient des simplifications supplémentaires est qu'il existe un risque de se tromper non pas lors de la recherche d'une dérivée, mais lors de transformations scolaires banales. D’un autre côté, les enseignants rejettent souvent la tâche et demandent de « lui rappeler » la dérivée.

Un exemple plus simple pour une solution à faire soi-même :

Exemple 7

Trouver la dérivée d'une fonction

Nous continuons à maîtriser les techniques pour trouver la dérivée, et nous allons maintenant considérer un cas typique où un logarithme « terrible » est proposé pour la différenciation

Exemple 8

Trouver la dérivée d'une fonction

Ici, vous pouvez aller loin, en utilisant la règle de différenciation d'une fonction complexe :

Mais la toute première étape vous plonge immédiatement dans le découragement - vous devez prendre une dérivée désagréable d'un degré fractionnaire, puis aussi d'une fraction.

C'est pourquoi avant comment prendre la dérivée du logarithme « fantaisie », elle est préalablement simplifiée à l'aide de propriétés scolaires bien connues :

! Si vous avez un cahier de pratique à portée de main, copiez ces formules ici. Si vous n'avez pas de cahier, dessinez-les sur une feuille de papier, car le reste des exemples de la leçon tournera autour de ces formules.

La solution elle-même peut être formulée ainsi :

Transformons la fonction :

On trouve la dérivée :

La transformation préliminaire de la fonction elle-même a grandement simplifié la solution. Ainsi, lorsqu'un logarithme similaire est proposé pour la différenciation, il convient toujours de le « décomposer ».

Et maintenant quelques exemples simples pour une solution indépendante :

Exemple 9

Trouver la dérivée d'une fonction

Exemple 10

Trouver la dérivée d'une fonction

Toutes les transformations et réponses à la fin de la leçon.

dérivée logarithmique

Si la dérivée des logarithmes est une musique si douce, alors la question se pose : est-il possible dans certains cas d'organiser artificiellement le logarithme ? Peut! Et même nécessaire.

Exemple 11

Trouver la dérivée d'une fonction

Des exemples similaires que nous avons récemment examinés. Ce qu'il faut faire? On peut appliquer successivement la règle de différenciation du quotient, puis la règle de différenciation du produit. L’inconvénient de cette méthode est que vous obtenez une énorme fraction de trois étages, avec laquelle vous ne voulez pas du tout vous occuper.

Mais en théorie et en pratique, il existe une chose aussi merveilleuse que la dérivée logarithmique. Les logarithmes peuvent être organisés artificiellement en les « accrochant » des deux côtés :

Note : parce que la fonction peut prendre des valeurs négatives, alors, de manière générale, il faut utiliser des modules : , qui disparaissent suite à la différenciation. Cependant, la conception actuelle est également acceptable, où par défaut le complexe valeurs. Mais si c'est en toute rigueur, alors dans les deux cas il faut faire une réserve qui.

Il faut maintenant « décomposer » le plus possible le logarithme du côté droit (des formules sous vos yeux ?). Je vais décrire ce processus en détail :

Commençons par la différenciation.
Nous concluons les deux parties par un trait :

La dérivée du côté droit est assez simple, je ne la commenterai pas, car si vous lisez ce texte, vous devriez pouvoir la manier en toute confiance.

Et le côté gauche ?

Sur le côté gauche, nous avons fonction complexe. Je prévois la question : « Pourquoi y a-t-il une lettre « y » sous le logarithme ?

Le fait est que cette "une lettre y" - EST UNE FONCTION EN SOI(si ce n'est pas très clair, référez-vous à l'article Dérivée d'une fonction implicitement spécifiée). Par conséquent, le logarithme est une fonction externe et « y » est une fonction interne. Et nous utilisons la règle de différenciation des fonctions composées :

Sur le côté gauche, comme par magie, nous avons une dérivée. De plus, selon la règle de proportion, on jette le « y » du dénominateur du côté gauche vers le haut du côté droit :

Et maintenant, nous nous souvenons de quel type de fonction de « jeu » nous parlions lors de la différenciation ? Regardons la condition :

Réponse finale:

Exemple 12

Trouver la dérivée d'une fonction

Ceci est un exemple de bricolage. Plan d'échantillonnage d'un exemple de ce type à la fin de la leçon.

À l'aide de la dérivée logarithmique, il a été possible de résoudre n'importe lequel des exemples n° 4 à 7, une autre chose est que les fonctions y sont plus simples et, peut-être, l'utilisation de la dérivée logarithmique n'est pas très justifiée.

Dérivée de la fonction exponentielle

Nous n'avons pas encore considéré cette fonction. Une fonction exponentielle est une fonction qui a et le degré et la base dépendent de "x". Un exemple classique qui vous sera donné dans n'importe quel manuel ou lors de n'importe quelle conférence :

Comment trouver la dérivée d'une fonction exponentielle ?

Il est nécessaire d'utiliser la technique qui vient d'être envisagée - la dérivée logarithmique. Nous accrochons des logarithmes des deux côtés :

En règle générale, le degré est sous le logarithme sur le côté droit :

Du coup, sur le côté droit nous avons un produit de deux fonctions, qui seront différenciées selon la formule standard .

On trouve la dérivée, pour cela on met les deux parties sous des traits :

Les prochaines étapes sont simples :

Enfin:

Si une transformation n'est pas tout à fait claire, veuillez relire attentivement les explications de l'exemple 11.

Dans les tâches pratiques, la fonction exponentielle sera toujours plus compliquée que l'exemple de cours considéré.

Exemple 13

Trouver la dérivée d'une fonction

Nous utilisons la dérivée logarithmique.

Sur le côté droit, nous avons une constante et le produit de deux facteurs - "x" et "logarithme du logarithme de x" (un autre logarithme est imbriqué sous le logarithme). Lors de la différenciation d'une constante, on s'en souvient, il vaut mieux la sortir immédiatement du signe de la dérivée pour qu'elle ne gêne pas ; et, bien sûr, appliquez la règle familière :

Pensez-vous qu'il reste encore beaucoup de temps avant l'examen ? Est-ce un mois ? Deux? Année? La pratique montre que l'étudiant réussit mieux l'examen s'il commence à s'y préparer à l'avance. Il existe de nombreuses tâches difficiles dans l'examen d'État unifié qui empêchent un étudiant et un futur candidat d'obtenir les scores les plus élevés. Il faut apprendre à surmonter ces obstacles et ce n'est d'ailleurs pas difficile à faire. Vous devez comprendre le principe du travail avec diverses tâches à partir de tickets. Il n'y aura alors aucun problème avec les nouveaux.

À première vue, les logarithmes semblent incroyablement complexes, mais après une analyse plus approfondie, la situation devient beaucoup plus simple. Si vous souhaitez réussir l'examen avec la note la plus élevée, vous devez comprendre la notion en question, ce que nous vous proposons de faire dans cet article.

Tout d’abord, séparons ces définitions. Qu'est-ce qu'un logarithme (log) ? Il s'agit d'un indicateur de la puissance à laquelle la base doit être élevée pour obtenir le nombre spécifié. Si ce n'est pas clair, analysons un exemple élémentaire.

Dans ce cas, la base du dessous doit être élevée à la puissance seconde pour obtenir le chiffre 4.

Abordons maintenant le deuxième concept. La dérivée d'une fonction sous n'importe quelle forme est appelée un concept qui caractérise le changement d'une fonction en un point réduit. Cependant, il s'agit d'un programme scolaire et si vous rencontrez des problèmes avec ces concepts séparément, cela vaut la peine de répéter le sujet.

Dérivée du logarithme

Dans les devoirs USE sur ce sujet, plusieurs tâches peuvent être citées en exemple. Commençons par la dérivée logarithmique la plus simple. Nous devons trouver la dérivée de la fonction suivante.

Nous devons trouver la prochaine dérivée

Il existe une formule spéciale.

Dans ce cas x=u, log3x=v. Remplacez les valeurs de notre fonction dans la formule.

La dérivée de x sera égale à un. Le logarithme est un peu plus difficile. Mais vous comprendrez le principe si vous remplacez simplement les valeurs. Rappelons que la dérivée de lg x est la dérivée du logarithme décimal, et la dérivée de ln x est la dérivée du logarithme népérien (basé sur e).

Maintenant, remplacez simplement les valeurs obtenues dans la formule. Essayez-le vous-même, puis vérifiez la réponse.

Quel pourrait être le problème ici pour certains ? Nous avons introduit le concept de logarithme népérien. Parlons-en et voyons en même temps comment résoudre les problèmes. Vous ne verrez rien de compliqué, surtout lorsque vous comprendrez le principe de son fonctionnement. Il faut s'y habituer, car il est souvent utilisé en mathématiques (notamment dans les établissements d'enseignement supérieur).

Dérivée du logarithme népérien

À la base, il s'agit de la dérivée du logarithme en base e (c'est un nombre irrationnel qui est d'environ 2,7). En fait, ln est très simple, c’est pourquoi il est souvent utilisé en mathématiques en général. En fait, résoudre le problème avec lui ne sera pas non plus un problème. Il convient de rappeler que la dérivée du logarithme népérien en base e sera égale à un divisé par x. La solution de l’exemple suivant sera la plus indicative.

Imaginez-le comme une fonction complexe composée de deux fonctions simples.

assez pour transformer

On cherche la dérivée de u par rapport à x

Continuons avec le deuxième

Nous utilisons la méthode de résolution de la dérivée d'une fonction complexe en substituant u=nx.

Ce qui est arrivé à la fin?

Rappelons-nous maintenant ce que n signifiait dans cet exemple ? Il s'agit de n'importe quel nombre pouvant apparaître dans le logarithme népérien avant x. Il est important que vous compreniez que la réponse n’en dépend pas. Remplacez n'importe quoi, la réponse sera toujours 1/x.

Comme vous pouvez le constater, il n'y a rien de compliqué ici, il suffit juste d'en comprendre le principe pour résoudre rapidement et efficacement les problèmes sur ce sujet. Maintenant que vous connaissez la théorie, reste à consolider dans la pratique. Entraînez-vous à résoudre des problèmes pour vous souvenir longtemps du principe de leur résolution. Vous n'aurez peut-être pas besoin de ces connaissances après l'obtention de votre diplôme, mais lors de l'examen, elles seront plus pertinentes que jamais. Bonne chance à toi!

Preuve et dérivation de formules pour la dérivée du logarithme népérien et du logarithme en base a. Exemples de calcul des dérivées de ln 2x, ln 3x et ln nx. Preuve de la formule de la dérivée du logarithme du nième ordre par la méthode d'induction mathématique.

Contenu

Voir également: Logarithme - propriétés, formules, graphique
Logarithme népérien - propriétés, formules, graphique

Dérivation de formules pour les dérivées du logarithme népérien et du logarithme en base a

La dérivée du logarithme népérien de x est égale à un divisé par x :
(1) (lnx)′ =.

La dérivée du logarithme à la base a est égale à un divisé par la variable x multiplié par le logarithme naturel de a :
(2) (log x)′ =.

Preuve

Soit un nombre positif non égal à un. Considérons une fonction qui dépend de la variable x , qui est un logarithme de base :
.
Cette fonction est définie avec . Trouvons sa dérivée par rapport à x . Par définition, la dérivée est la limite suivante :
(3) .

Transformons cette expression pour la réduire à des propriétés et règles mathématiques connues. Pour ce faire, nous devons connaître les faits suivants :
UN) Propriétés du logarithme. Nous avons besoin des formules suivantes :
(4) ;
(5) ;
(6) ;
B) Continuité du logarithme et propriété des limites pour une fonction continue :
(7) .
Voici une fonction qui a une limite et cette limite est positive.
DANS) La signification de la deuxième limite merveilleuse :
(8) .

Nous appliquons ces faits à notre limite. Nous transformons d’abord l’expression algébrique
.
Pour ce faire, nous appliquons les propriétés (4) et (5).

.

On utilise la propriété (7) et la deuxième limite remarquable (8) :
.

Et enfin, appliquez la propriété (6) :
.
logarithme de base e appelé un algorithme naturel. C'est marqué comme ceci :
.
Alors ;
.

Ainsi, nous avons obtenu la formule (2) pour la dérivée du logarithme.

Dérivée du logarithme népérien

Encore une fois, nous écrivons la formule de la dérivée du logarithme en base a :
.
Cette formule a la forme la plus simple pour le logarithme népérien, pour lequel , . Alors
(1) .

En raison de cette simplicité, le logarithme naturel est très largement utilisé en calcul et dans d’autres domaines mathématiques liés au calcul différentiel. Les fonctions logarithmiques avec d'autres bases peuvent être exprimées en termes de logarithme népérien en utilisant la propriété (6) :
.

La dérivée de base du logarithme peut être trouvée à partir de la formule (1) si la constante est soustraite du signe de différenciation :
.

Autres façons de prouver la dérivée du logarithme

Ici, nous supposons que nous connaissons la formule de la dérivée de l’exposant :
(9) .
Nous pouvons ensuite dériver la formule de la dérivée du logarithme népérien, étant donné que le logarithme est l’inverse de l’exposant.

Démontrons la formule de la dérivée du logarithme népérien, appliquer la formule de la dérivée de la fonction inverse:
.
Dans notre cas . L'inverse du logarithme népérien est l'exposant :
.
Son dérivé est déterminé par la formule (9). Les variables peuvent être désignées par n'importe quelle lettre. Dans la formule (9), on remplace la variable x par y :
.
Parce qu'alors
.
Alors
.
La formule a fait ses preuves.

Nous prouvons maintenant la formule de la dérivée du logarithme népérien en utilisant règles pour différencier une fonction complexe. Puisque les fonctions et sont inverses l’une de l’autre, alors
.
Différenciez cette équation par rapport à la variable x :
(10) .
La dérivée de x est égale à un :
.
On applique la règle de différenciation d'une fonction complexe :
.
Ici . Remplacer dans (10) :
.
D'ici
.

Exemple

Trouver des dérivés de En 2x, en 3x Et ln nx.

Les fonctions originales ont une forme similaire. Nous trouverons donc la dérivée de la fonction y = journal nx. Ensuite, nous substituons n = 2 et n = 3 . Et ainsi, nous obtenons des formules pour les dérivées de en 2x Et en 3x .

On cherche donc la dérivée de la fonction
y = journal nx .
Représentons cette fonction comme une fonction complexe composée de deux fonctions :
1) Fonctions dépendantes des variables : ;
2) Fonctions dépendantes des variables : .
Alors la fonction d'origine est composée des fonctions et :
.

Trouvons la dérivée de la fonction par rapport à la variable x :
.
Trouvons la dérivée de la fonction par rapport à la variable :
.
Nous appliquons la formule de la dérivée d'une fonction complexe.
.
Ici, nous avons remplacé .

Nous avons donc trouvé :
(11) .
On voit que la dérivée ne dépend pas de n. Ce résultat est tout à fait naturel si l'on transforme la fonction originale à l'aide de la formule du logarithme du produit :
.
- est une constante. Sa dérivée est nulle. Alors, d’après la règle de différenciation de la somme, on a :
.

; ; .

Dérivée du logarithme modulo x

Trouvons la dérivée d'une autre fonction très importante - le logarithme népérien du module x :
(12) .

Considérons le cas. La fonction ressemble alors à :
.
Sa dérivée est déterminée par la formule (1) :
.

Considérons maintenant le cas. La fonction ressemble alors à :
,
Où .
Mais nous avons également trouvé la dérivée de cette fonction dans l’exemple ci-dessus. Il ne dépend pas de n et est égal à
.
Alors
.

Nous combinons ces deux cas en une seule formule :
.

Ainsi, pour le logarithme en base a, on a :
.

Dérivées d'ordre supérieur du logarithme népérien

Considérez la fonction
.
Nous avons trouvé sa dérivée du premier ordre :
(13) .

Trouvons la dérivée du second ordre :
.
Trouvons la dérivée du troisième ordre :
.
Trouvons la dérivée du quatrième ordre :
.

On voit que la dérivée d’ordre n a la forme :
(14) .
Prouvons-le par induction mathématique.

Preuve

Remplaçons la valeur n = 1 dans la formule (14) :
.
Puisque , alors pour n = 1 , la formule (14) est valide.

Supposons que la formule (14) soit satisfaite pour n = k . Montrons qu'il en résulte que la formule est valable pour n = k + 1 .

En effet, pour n = k on a :
.
Différencier par rapport à x :

.
Nous avons donc :
.
Cette formule coïncide avec la formule (14) pour n = k + 1 . Ainsi, de l'hypothèse que la formule (14) est valable pour n = k, il s'ensuit que la formule (14) est valable pour n = k + 1 .

Par conséquent, la formule (14), pour la dérivée du nième ordre, est valable pour tout n .

Dérivées d'ordre supérieur du logarithme pour baser un

Pour trouver la nième dérivée du logarithme de base a , vous devez l'exprimer en termes de logarithme népérien :
.
En appliquant la formule (14), on trouve la nième dérivée :
.

Voir également:

C'est très facile à retenir.

Bon, on n'ira pas loin, on considérera tout de suite la fonction inverse. Quel est l'inverse de la fonction exponentielle ? Logarithme:

Dans notre cas, la base est un nombre :

Un tel logarithme (c'est-à-dire un logarithme avec une base) est appelé « naturel », et nous utilisons pour cela une notation spéciale : nous l'écrivons à la place.

A quoi est égal ? Bien sûr, .

La dérivée du logarithme népérien est également très simple :

Exemples:

1. Trouvez la dérivée de la fonction.
2. Quelle est la dérivée de la fonction ?

Réponses: L'exposant et le logarithme népérien sont des fonctions particulièrement simples en termes de dérivée. Les fonctions exponentielles et logarithmiques avec n'importe quelle autre base auront une dérivée différente, que nous analyserons plus tard, après avoir parcouru les règles de différenciation.

Règles de différenciation

Quelles règles ? Encore un nouveau terme, encore ?!...

Différenciation est le processus de recherche de la dérivée.

Seulement et tout. Quel autre mot pour ce processus ? Pas proizvodnovanie... Le différentiel des mathématiques est appelé l'incrément même de la fonction à. Ce terme vient du latin différentia – différence. Ici.

Lors de la dérivation de toutes ces règles, nous utiliserons deux fonctions, par exemple et. Nous aurons également besoin de formules pour leurs incréments :

Il y a 5 règles au total.

La constante est soustraite du signe de la dérivée.

Si - un nombre constant (constant), alors.

Évidemment, cette règle fonctionne aussi pour la différence : .

Prouvons-le. Laissez, ou plus facile.

Exemples.

Trouver des dérivées de fonctions :

1. à ce point;
2. à ce point;
3. à ce point;
4. à ce point.

Solutions:

1. (la dérivée est la même en tous points, puisque c'est une fonction linéaire, tu te souviens ?) ;

Dérivé d'un produit

Tout est similaire ici : on introduit une nouvelle fonction et on trouve son incrément :

Dérivé:

Exemples:

1. Trouver des dérivées de fonctions et ;
2. Trouver la dérivée d'une fonction en un point.

Solutions:

Dérivée de la fonction exponentielle

Vos connaissances sont désormais suffisantes pour apprendre à trouver la dérivée de n'importe quelle fonction exponentielle, et pas seulement l'exposant (avez-vous déjà oublié ce que c'est ?).

Alors, où est un chiffre.

Nous connaissons déjà la dérivée de la fonction, essayons donc d'amener notre fonction à une nouvelle base :

Pour ce faire, nous utilisons une règle simple : . Alors:

Eh bien, ça a fonctionné. Essayez maintenant de trouver la dérivée, et n'oubliez pas que cette fonction est complexe.

Arrivé?

Ici, vérifiez par vous-même :

La formule s'est avérée très similaire à la dérivée de l'exposant : tel qu'il était, seul un facteur est apparu, qui n'est qu'un nombre, mais pas une variable.

Exemples:
Trouver des dérivées de fonctions :

Réponses:

Il s'agit simplement d'un nombre qui ne peut pas être calculé sans calculatrice, c'est-à-dire qu'il ne peut pas être écrit sous une forme plus simple. Par conséquent, dans la réponse, il est laissé sous cette forme.

Notez que voici le quotient de deux fonctions, nous appliquons donc la règle de différenciation appropriée :

Dans cet exemple, le produit de deux fonctions :

Dérivée d'une fonction logarithmique

Ici c'est pareil : vous connaissez déjà la dérivée du logarithme népérien :

Par conséquent, pour trouver un arbitraire à partir d'un logarithme avec une base différente, par exemple :

Nous devons ramener ce logarithme à la base. Comment changer la base d'un logarithme ? J'espère que vous vous souvenez de cette formule :

Seulement maintenant, au lieu de nous, nous écrirons :

Le dénominateur s’est avéré n’être qu’une constante (un nombre constant, sans variable). La dérivée est très simple :

Les dérivées des fonctions exponentielles et logarithmiques ne sont presque jamais trouvées dans l'examen, mais il ne sera pas superflu de les connaître.

Dérivée d'une fonction complexe.

Qu'est-ce qu'une « fonction complexe » ? Non, ce n'est pas un logarithme, ni un arc tangent. Ces fonctions peuvent être difficiles à comprendre (même si si le logarithme vous semble difficile, lisez le sujet "Logarithmes" et tout s'arrangera), mais en termes de mathématiques, le mot "complexe" ne signifie pas "difficile".

Imaginez un petit convoyeur : deux personnes sont assises et effectuent des actions avec des objets. Par exemple, le premier enveloppe une barre de chocolat dans un emballage et le second l'attache avec un ruban. Il s'avère qu'il s'agit d'un objet composite : une barre de chocolat enveloppée et nouée avec un ruban. Pour manger une barre de chocolat, il faut réaliser les étapes inverses.

Créons un pipeline mathématique similaire : nous trouverons d'abord le cosinus d'un nombre, puis nous mettrons au carré le nombre résultant. Alors, ils nous donnent un nombre (chocolat), je trouve son cosinus (emballage), et puis vous mettez au carré ce que j'ai obtenu (nouez-le avec un ruban). Ce qui s'est passé? Fonction. Ceci est un exemple de fonction complexe : lorsque, pour trouver sa valeur, on fait la première action directement avec la variable, puis une autre deuxième action avec ce qui s'est passé à la suite de la première.

Autrement dit, Une fonction complexe est une fonction dont l'argument est une autre fonction: .

Pour notre exemple, .

On peut très bien faire les mêmes actions dans l'ordre inverse : d'abord on met au carré, puis je cherche le cosinus du nombre obtenu :. Il est facile de deviner que le résultat sera presque toujours différent. Une caractéristique importante des fonctions complexes : lorsque l'ordre des actions change, la fonction change.

Deuxième exemple : (idem). .

La dernière action que nous ferons sera appelée fonction "externe", et l'action effectuée en premier - respectivement fonction "interne"(ce sont des noms informels, je les utilise uniquement pour expliquer le matériel dans un langage simple).

Essayez de déterminer par vous-même quelle fonction est externe et laquelle est interne :

Réponses: La séparation des fonctions internes et externes est très similaire au changement de variables : par exemple, dans la fonction

1. Quelle action allons-nous entreprendre en premier ? Nous calculons d’abord le sinus, puis nous l’élevons ensuite en cube. C'est donc une fonction interne et non externe.
   Et la fonction originelle est leur composition : .
2. Interne: ; externe: .
   Examen: .
3. Interne: ; externe: .
   Examen: .
4. Interne: ; externe: .
   Examen: .
5. Interne: ; externe: .
   Examen: .

nous changeons les variables et obtenons une fonction.

Eh bien, maintenant nous allons extraire notre chocolat - recherchez le dérivé. La procédure est toujours inversée : on cherche d’abord la dérivée de la fonction externe, puis on multiplie le résultat par la dérivée de la fonction interne. Pour l'exemple original, cela ressemble à ceci :

Un autre exemple:

Alors, formulons enfin la règle officielle :

Algorithme pour trouver la dérivée d'une fonction complexe :

Cela semble simple, non ?

Vérifions avec des exemples :

Solutions:

1) Interne : ;

Externe: ;

2) Interne : ;

(n'essayez pas de réduire maintenant ! Rien n'est retiré sous le cosinus, vous vous souvenez ?)

3) Interne : ;

Externe: ;

Il est immédiatement clair qu'il existe ici une fonction complexe à trois niveaux : après tout, c'est déjà une fonction complexe en soi, et nous en extrayons toujours la racine, c'est-à-dire que nous effectuons la troisième action (mettre le chocolat dans un emballage et avec un ruban dans une mallette). Mais il n’y a aucune raison d’avoir peur : de toute façon, nous allons « déballer » cette fonction dans le même ordre que d’habitude : depuis la fin.

Autrement dit, nous différencions d'abord la racine, puis le cosinus, et ensuite seulement l'expression entre parenthèses. Et puis on multiplie le tout.

Dans de tels cas, il est pratique de numéroter les actions. Autrement dit, imaginons ce que nous savons. Dans quel ordre effectuerons-nous les actions pour calculer la valeur de cette expression ? Regardons un exemple :

Plus l'action est réalisée tardivement, plus la fonction correspondante sera « externe ». La séquence d'actions - comme avant :

Ici, la nidification est généralement à 4 niveaux. Déterminons la marche à suivre.

1. Expression radicale. .

2. Racine. .

3. Sinus. .

4. Carré. .

5. Rassembler le tout :

DÉRIVÉ. EN BREF SUR LE PRINCIPAL

Fonction dérivée- le rapport de l'incrément de la fonction à l'incrément de l'argument avec un incrément infinitésimal de l'argument :

Dérivés de base :

Règles de différenciation :

La constante est soustraite du signe de la dérivée :

Dérivée de la somme :

Produit dérivé :

Dérivée du quotient :

Dérivée d'une fonction complexe :

Algorithme pour trouver la dérivée d'une fonction complexe :

1. On définit la fonction "interne", on trouve sa dérivée.
2. On définit la fonction "externe", on trouve sa dérivée.
3. Nous multiplions les résultats des premier et deuxième points.

L’opération consistant à trouver une dérivée est appelée différenciation.

À la suite de la résolution des problèmes de recherche des dérivées des fonctions les plus simples (et pas très simples) en définissant la dérivée comme la limite du rapport de l'incrément à l'incrément de l'argument, un tableau de dérivées et des règles de différenciation précisément définies sont apparus . Isaac Newton (1643-1727) et Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) furent les premiers à travailler dans le domaine de la recherche de dérivés.

Par conséquent, à notre époque, pour trouver la dérivée d'une fonction, il n'est pas nécessaire de calculer la limite mentionnée ci-dessus du rapport entre l'incrément de la fonction et l'incrément de l'argument, mais il suffit d'utiliser le tableau des produits dérivés et les règles de différenciation. L'algorithme suivant convient pour trouver la dérivée.

Pour trouver la dérivée, vous avez besoin d'une expression sous le signe du trait décomposer des fonctions simples et déterminer quelles actions (produit, somme, quotient) ces fonctions sont liées. De plus, on retrouve les dérivées des fonctions élémentaires dans le tableau des dérivées, et les formules des dérivées du produit, de la somme et du quotient - dans les règles de différenciation. Le tableau des dérivées et les règles de différenciation sont donnés après les deux premiers exemples.

Exemple 1 Trouver la dérivée d'une fonction

Solution. À partir des règles de différenciation, nous découvrons que la dérivée de la somme des fonctions est la somme des dérivées des fonctions, c'est-à-dire

A partir du tableau des dérivées, on découvre que la dérivée de "X" est égale à un, et la dérivée du sinus est le cosinus. On substitue ces valeurs dans la somme des dérivées et on trouve la dérivée requise par la condition du problème :

Exemple 2 Trouver la dérivée d'une fonction

Solution. Différencier comme dérivée de la somme, dans laquelle le deuxième terme avec un facteur constant, il peut être soustrait du signe de la dérivée :

S'il reste des questions sur l'origine de quelque chose, elles deviennent généralement claires après avoir lu le tableau des dérivées et les règles de différenciation les plus simples. Nous allons vers eux maintenant.

Tableau des dérivées de fonctions simples

1. Dérivée d'une constante (nombre). N'importe quel nombre (1, 2, 5, 200...) présent dans l'expression de fonction. Toujours zéro. Il est très important de s’en souvenir, car cela est très souvent nécessaire.
2. Dérivée de la variable indépendante. Le plus souvent « x ». Toujours égal à un. Il est également important de se rappeler
3. Dérivé du degré. Lorsque vous résolvez des problèmes, vous devez convertir les racines non carrées en puissance.
4. Dérivée d'une variable à la puissance -1
5. Dérivée de la racine carrée
6. Dérivé sinusoïdal
7. Dérivé du cosinus
8. Dérivée tangente
9. Dérivée de cotangente
10. Dérivée de l'arc sinus
11. Dérivée de l'arc cosinus
12. Dérivée de l'arc tangent
13. Dérivée de la tangente inverse
14. Dérivée du logarithme népérien
15. Dérivée d'une fonction logarithmique
16. Dérivée de l'exposant
17. Dérivée de la fonction exponentielle

Règles de différenciation

1. Dérivée de la somme ou de la différence
2. Dérivé d'un produit
2a. Dérivée d'une expression multipliée par un facteur constant
3. Dérivée du quotient
4. Dérivée d'une fonction complexe

Règle 1Si les fonctions

sont différentiables à un moment donné, puis au même point les fonctions

et

ceux. la dérivée de la somme algébrique des fonctions est égale à la somme algébrique des dérivées de ces fonctions.

Conséquence. Si deux fonctions différentiables diffèrent d’une constante, alors leurs dérivées sont, c'est à dire.

Règle 2Si les fonctions

sont différenciables à un moment donné, alors leur produit est également différentiable au même point

et

ceux. la dérivée du produit de deux fonctions est égale à la somme des produits de chacune de ces fonctions et de la dérivée de l'autre.

Conséquence 1. Le facteur constant peut être soustrait du signe de la dérivée:

Conséquence 2. La dérivée du produit de plusieurs fonctions différentiables est égale à la somme des produits de la dérivée de chacun des facteurs et de tous les autres.

Par exemple, pour trois multiplicateurs :

Règle 3Si les fonctions

différenciable à un moment donné Et , alors à ce stade leur quotient est également différentiable.u/v, et

ceux. la dérivée d'un quotient de deux fonctions est égale à une fraction dont le numérateur est la différence entre les produits du dénominateur et de la dérivée du numérateur et du numérateur et de la dérivée du dénominateur, et le dénominateur est le carré de l'ancien numérateur .

Où chercher sur d'autres pages

Lors de la recherche de la dérivée du produit et du quotient dans des problèmes réels, il est toujours nécessaire d'appliquer plusieurs règles de différenciation à la fois, donc plus d'exemples sur ces dérivées se trouvent dans l'article."La dérivée d'un produit et d'un quotient".

Commentaire. Il ne faut pas confondre une constante (c'est-à-dire un nombre) avec un terme dans la somme et comme un facteur constant ! Dans le cas d'un terme, sa dérivée est égale à zéro, et dans le cas d'un facteur constant, elle est soustraite du signe des dérivées. Il s'agit d'une erreur typique qui se produit au stade initial de l'étude des dérivées, mais à mesure que l'étudiant moyen résout plusieurs exemples à une ou deux composantes, l'étudiant moyen ne commet plus cette erreur.

Et si, pour différencier un produit ou un quotient, vous disposez d'un terme toi"v, dans lequel toi- un nombre, par exemple 2 ou 5, c'est-à-dire une constante, alors la dérivée de ce nombre sera égale à zéro et, donc, le terme entier sera égal à zéro (un tel cas est analysé dans l'exemple 10) .

Une autre erreur courante est de résoudre mécaniquement la dérivée d’une fonction complexe comme la dérivée d’une fonction simple. C'est pourquoi dérivée d'une fonction complexe consacré à un article séparé. Mais nous allons d’abord apprendre à trouver les dérivées de fonctions simples.

En cours de route, vous ne pouvez pas vous passer de transformations d'expressions. Pour ce faire, vous devrez peut-être ouvrir les manuels dans de nouvelles fenêtres Des actions avec des pouvoirs et des racines Et Actions avec des fractions .

Si vous recherchez des solutions aux dérivées avec des puissances et des racines, c'est-à-dire lorsque la fonction ressemble à , puis suivez la leçon " Dérivée de la somme des fractions avec puissances et racines".

Si vous avez une tâche comme , alors vous êtes dans la leçon "Dérivées de fonctions trigonométriques simples".

Exemples étape par étape - comment trouver la dérivée

Exemple 3 Trouver la dérivée d'une fonction

Solution. Nous déterminons les parties de l'expression de la fonction : l'expression entière représente le produit, et ses facteurs sont des sommes, dans la seconde desquelles l'un des termes contient un facteur constant. On applique la règle de différenciation des produits : la dérivée du produit de deux fonctions est égale à la somme des produits de chacune de ces fonctions et de la dérivée de l'autre :

Ensuite, on applique la règle de différenciation de la somme : la dérivée de la somme algébrique des fonctions est égale à la somme algébrique des dérivées de ces fonctions. Dans notre cas, dans chaque somme, le deuxième terme avec un signe moins. Dans chaque somme, on voit à la fois une variable indépendante dont la dérivée est égale à un, et une constante (nombre) dont la dérivée est égale à zéro. Ainsi, "x" se transforme en un et moins 5 en zéro. Dans la deuxième expression, « x » est multiplié par 2, nous multiplions donc deux par la même unité que la dérivée de « x ». On obtient les valeurs de dérivées suivantes :

Nous substituons les dérivées trouvées dans la somme des produits et obtenons la dérivée de la fonction entière requise par la condition du problème :

Et vous pouvez vérifier la solution du problème sur la dérivée sur .

Exemple 4 Trouver la dérivée d'une fonction

Solution. Nous devons trouver la dérivée du quotient. On applique la formule de différenciation d'un quotient : la dérivée d'un quotient de deux fonctions est égale à une fraction dont le numérateur est la différence entre les produits du dénominateur et de la dérivée du numérateur et du numérateur et de la dérivée du dénominateur, et le dénominateur est le carré de l'ancien numérateur. On a:

Nous avons déjà trouvé la dérivée des facteurs au numérateur dans l'exemple 2. N'oublions pas non plus que le produit, qui est le deuxième facteur au numérateur dans l'exemple actuel, est pris avec un signe moins :

Si vous recherchez des solutions à des problèmes dans lesquels vous devez trouver la dérivée d'une fonction, où il existe un tas continu de racines et de degrés, comme, par exemple, alors bienvenue en classe "La dérivée de la somme des fractions avec puissances et racines" .

Si vous avez besoin d'en savoir plus sur les dérivées des sinus, cosinus, tangentes et autres fonctions trigonométriques, c'est-à-dire lorsque la fonction ressemble à , alors tu as une leçon "Dérivées de fonctions trigonométriques simples" .

Exemple 5 Trouver la dérivée d'une fonction

Solution. Dans cette fonction, on voit un produit dont l'un des facteurs est la racine carrée de la variable indépendante, dont nous nous sommes familiarisés avec la dérivée dans le tableau des dérivées. D'après la règle de différenciation des produits et la valeur tabulaire de la dérivée de la racine carrée, on obtient :

Vous pouvez vérifier la solution du problème de dérivée sur calculateur de dérivée en ligne .

Exemple 6 Trouver la dérivée d'une fonction

Solution. Dans cette fonction, on voit le quotient dont le dividende est la racine carrée de la variable indépendante. D'après la règle de différenciation du quotient, que nous avons répétée et appliquée dans l'exemple 4, et la valeur tabulaire de la dérivée de la racine carrée, on obtient :

Pour supprimer la fraction du numérateur, multipliez le numérateur et le dénominateur par .