Matériel théorique. §6 Dérivées partielles de fonctions complexes de plusieurs variables Calculer les dérivées de fonctions complexes de plusieurs variables

Soit la fonction z - /(x, y) définie dans un domaine D sur le plan xOy. Prenons un point interne (x, y) de l'aire D et donnons à x un incrément Ax tel que le point (x + Ax, y) 6 D (Fig. 9). Appelons la quantité l'incrément partiel de la fonction z par rapport à x. Faisons une relation. Pour un point donné (x, y), cette relation est fonction de la Définition. Si pour Ax -* 0 la relation ^ a une limite finie, alors cette limite est appelée la dérivée partielle de la fonction z = /(x, y) par rapport à la variable indépendante x au point (x, y) et est noté par le symbole jfc (ou /i(x, jj ), ou z"x(x, De la même manière, par définition, ou, ce qui est la même chose, De même, Si u est fonction de n variables indépendantes, puis en remarquant que Arz est calculé avec une valeur constante de la variable y, et Atz - avec une valeur constante de la variable x, les définitions des dérivées partielles peuvent être formulées comme suit : Dérivées partielles Signification géométrique des dérivées partielles d'une fonction de deux variables Différenciabilité d'une fonction de plusieurs variables Conditions nécessaires à la différentiabilité d'une fonction Conditions suffisantes pour la différentiabilité des fonctions de plusieurs variables Différentielle totale Dérivées partielles Dérivées d'une fonction complexe de la dérivée partielle par rapport à x de la fonction z = /(x , y ) est la dérivée ordinaire de cette fonction par rapport à x, calculée en supposant que y est une constante ; la dérivée partielle par rapport à y de la fonction z - /(x, y) est sa dérivée par rapport à y , calculé en supposant que x est constant. Il s'ensuit que les règles de calcul des dérivées partielles coïncident avec les règles prouvées pour une fonction d'une variable. Exemple. Trouvez les dérivées partielles de la fonction 4 Nous avons des substitutions*. L'existence de la fonction r = f(x, y) en un point donné de dérivées partielles par rapport à tous les arguments n'implique pas la continuité de la fonction en ce point. Ainsi, la fonction n'est pas continue au point 0(0,0). Cependant, à ce stade, la fonction spécifiée a des dérivées partielles par rapport à x et y. Cela découle du fait que /(x, 0) = 0 et /(0, y) = 0 et donc la signification géométrique des dérivées partielles d'une fonction à deux variables Soit la surface S dans l'espace tridimensionnel être définie par l'équation où f(x, y) est la fonction continue dans un certain domaine D et y ayant des dérivées partielles par rapport à x et y. Découvrons la signification géométrique de ces dérivées au point Mo(xo,yo) 6 D, qui correspond au point f(x0)yo) sur la surface z = f(x)y). Pour trouver la dérivée partielle du point M0, on suppose que z est uniquement fonction de l'argument x, tandis que l'argument y conserve une valeur constante y = y0, c'est-à-dire que la fonction fi(x) est représentée géométriquement par la courbe L le long de dont la surface S est coupée par le plan y = en o. En raison de la signification géométrique de la dérivée d'une fonction d'une variable, f\(xo) = tan a, où a est l'angle formé par la tangente à la droite L au point JV0 avec l'axe Ox (Fig. 10) . Mais alors Ainsi, la dérivée partielle ($|) est égale à la tangente de l'angle a entre l'axe Ox et la tangente au point N0 à la courbe obtenue dans la section de la surface z = /(x, y) par la plan y. De même, on obtient que §6. Différentiabilité d'une fonction de plusieurs variables Soit la fonction z = /(x, y) définie dans un domaine D sur le plan xOy. Prenons un point (x, y) € D et donnons aux valeurs sélectionnées de x et y des incréments quelconques Ax et Dy, mais tels que le point. Définition. Une fonction r = /(x, y) est dite différentiable * point (x, y) € 2E si l'incrément complet de cette fonction, correspondant aux incréments des arguments Dx, Dy, peut être représenté sous la forme où A et B ne dépendent pas de Dx et Dy (mais dépendent généralement de x et y), et a(Dx, Dy) et /?(Dx, Dy) tendent vers zéro comme Dx et Dy tendent vers zéro. . Si la fonction z = /(x, y) est dérivable au point (x, y), alors la partie A Dx 4- VDy de l'incrément de la fonction, linéaire par rapport à Dx et Dy, est appelée différentielle totale de cette fonction au point (x, y) et est désigné par le symbole dz : De cette façon, Exemple. Soit r = x2 + y2. À tout moment (r,y) et pour tout Dx et Du nous avons Ici. maintenant que a et /3 tendent vers zéro alors que Dx et Dy tendent vers zéro. D'après la définition, cette fonction est dérivable en tout point du plan xOy. Dans le même temps, notons que dans notre raisonnement nous n'avons pas formellement exclu le cas où les incréments de Dx, Du séparément, voire les deux sont égaux à zéro à la fois. La formule (1) peut être écrite de manière plus compacte si nous introduisons l'expression (distance entre les points (En l'utilisant, nous pouvons écrire En désignant l'expression entre parenthèses par e, nous avons où c dépend de J, Du et tend vers zéro si J 0 et DN 0, ou, en bref, si p 0. La formule (1), exprimant la condition de différentiabilité de la fonction z = f(xt y) au point (x, y), peut maintenant s'écrire sous la forme So, dans l'exemple ci-dessus 6.1. Conditions nécessaires différentiables™ d'une fonction Théorème 4. Si une fonction r = f(x, y) est dérivable en un certain point, alors elle est continue en ce point.4 Si au point (x, y ) la fonction r = f(x, y) est dérivable, alors l'incrément complet de la fonction i en ce point, correspondant aux incréments J et Dy des arguments, peut être représenté sous la forme (les quantités A, B pour un point donné sont constants ; , d'où il résulte que ces derniers signifient qu'au point (x, y) la fonction r /(x, y) est continue. Théorème ! b. Si la fonction r = /(x, y) est différentiable en un point donné, mo o s.est en ce point les dérivées partielles $§ u. Soit la fonction z = /(x, y) dérivable au point (x, y). Alors l'incrément Dg de cette fonction, correspondant aux incréments Dx, Ay des arguments, peut être représenté sous la forme (1). En prenant en égalité (1) Dx Φ 0, Dy = 0, on obtient d'où Puisque du côté droit de la dernière égalité la valeur A ne dépend pas, Cela signifie qu'au point (x, y) il y a une dérivée partielle de la fonction r = /(x, y) dans x, et par un raisonnement similaire nous sommes convaincus (x, il existe une dérivée partielle de la fonction zy, et du théorème il résulte que Nous soulignons que le théorème 5 énonce l'existence de dérivées partielles uniquement au point (x, y), mais ne dit rien de leur continuité en ce point, ainsi que de leur comportement au voisinage du point (x, y). Dans le cas où la fonction dépend de plusieurs variables, la situation est beaucoup plus compliquée : il n'y a pas de conditions nécessaires et suffisantes de différentiabilité pour la fonction z = /(x, y) de deux variables indépendantes x, y ; il n'y en a que séparément conditions nécessaires (voir ci-dessus) et séparément - suffisant. Ces conditions suffisantes de différentiabilité des fonctions de plusieurs variables sont exprimées par le théorème suivant. Théorème c. Si une fonction a des dérivées partielles /ε et f"v dans un certain voisinage de mince (xo, V0) et si ces dérivées sont continues au point (xo, V0), alors la fonction z = f(x, y) est dérivable au point (x- Exemple : Considérons la fonction Dérivées partielles Signification géométrique des dérivées partielles d'une fonction à deux variables Différenciabilité d'une fonction à plusieurs variables Conditions nécessaires à la différentiabilité d'une fonction Conditions suffisantes pour la différentiabilité des fonctions à plusieurs variables Différentielle totale Aux dérivées partielles Dérivées d'une fonction complexe Elle est définie partout A partir de la définition des dérivées partielles, on a ™ de cette fonction au point 0(0,0) on trouve et l'incrément de ce point Pour la différentiabilité de la fonction /( x,y) = au point 0(0,0) il faut que la fonction e(Dx, Dy) soit complètement petite en Dx 0 et Ду 0. Posons D0. Alors à partir de la formule (1) nous aurons Donc la fonction /(x,y) = n'est pas dérivable au point 0(0,0), bien qu'elle ait fa et f"r en ce point. Le résultat obtenu s'explique par le fait que les dérivées f"z et f "t sont discontinus au point §7. Différentiel complet. Différentes partielles Si la fonction z - f(z> y) est différentiable, alors sa différentielle totale dz est égale à En notant que A = B = u, on écrit la formule (1) sous la forme suivante. On étend la notion de différentielle d'une fonction aux variables indépendantes, en définissant les différentiels des variables indépendantes égales à leurs incréments : après cela, la formule du différentiel total de la fonction est prise comme exemple. Soit i - 1l(x + y2). Alors De même, si u =) est une fonction différentiable de n variables indépendantes, alors l'Expression est appelée post-différentielle de la fonction z = f(x, y) par rapport à la variable x ; l'expression est appelée la différentielle partielle de la fonction z = /(x, y) de la variable y. Des formules (3), (4) et (5) il résulte que la différentielle totale d'une fonction est la somme de ses différentielles partielles : Notons que l'incrément total Az de la fonction z = /(x, y), d'une manière générale , n'est pas égal à la somme des incréments partiels. Si au point (i, y) la fonction z = /(x, y) est dérivable et le différentiel dz Φ 0 en ce point, alors son incrément total ne diffère de sa partie linéaire que par la somme des derniers termes aAx 4 - /?DE, qui en Ax 0 et Ау -» О sont des infinitésimaux d'ordre supérieur aux termes de la partie linéaire. Par conséquent, lorsque dz Ф 0, la partie linéaire de l'incrément de la fonction différentiable est appelée la partie principale de l'incrément de la fonction et une formule approximative est utilisée, qui sera d'autant plus précise que les incréments de les arguments sont. §8. Dérivées d'une fonction complexe 1. Supposons que la fonction soit définie dans un domaine D sur le plan xOy, et chacune des variables x, y est à son tour fonction de l'argument t : Nous supposerons que lorsque t change dans l'intervalle ( les points correspondants (x, y) ne sortent pas de la région D. Si l'on substitue des valeurs dans la fonction z = / (x, y), on obtient une fonction complexe d'une variable t. et pour les valeurs appropriées la fonction / (x, y) est dérivable, alors la fonction complexe au point t a une dérivée et M Donnons à t un incrément Dt. Alors x et y recevront des incréments Ax et Dy. En conséquence, pour ( J)2 + (Dy)2 Ф 0, la fonction z recevra également un incrément Dt, qui, en raison de la différentiabilité de la fonction z = /(x , y) au point (x, y) peut être représenté dans la forme où a) tendent vers zéro alors que Ax et Du tendent vers zéro. Définissons a et /3 pour Ax = Ay = 0 en définissant a Alors a(sera continu pour J = Dn = 0. Considérons la relation que nous avons dans chaque terme^ dans le côté droit de (2) les deux facteurs ont des limites en effet, les dérivées partielles et ^ pour un donné sont constantes, par condition il y a des limites à l'existence des dérivées ^ et au point £ les fonctions x = y(t) et y = sont continues en ce point ; donc, comme At 0, J et Dy tendent tous deux vers zéro, ce qui à son tour entraîne une tendance vers zéro a(Dx, Dy) et P(Ax, Ay). Ainsi, le membre droit de l'égalité (2) en 0 a une limite égal à So, en At 0 il y a aussi une limite du membre gauche de (2), c'est-à-dire e. il y en a un égal. En passant dans l'égalité (2) à la limite comme At -" 0, nous obtenons la formule recherchée. Dans le cas particulier, lorsque, donc, z est une fonction complexe de x, nous obtenons In formule (5) il existe une dérivée partielle funadiig = /(x , y) par x, lors du calcul duquel dans l'expression /(x, y) l'argument y est pris comme constante. Et il existe une dérivée complète de la fonction z par rapport à la variable indépendante x, lors du calcul de laquelle y dans l'expression /(x, y) n'est plus prise comme constante, mais est à son tour considérée comme une fonction de x : y = tp(x)t et donc la dépendance de z sur est complètement prise en compte. Exemple. Trouver et jg si 2. Considérons maintenant la différenciation d'une fonction complexe de plusieurs variables. Supposons qu'au point (() il existe des dérivées partielles continues u, 3 ? et au point correspondant (x, y), où la fonction f(x, y) est dérivable. Montrons que dans ces conditions la fonction complexe z = z(() y) au point t7) a des dérivées et π, et nous trouverons des expressions pour ces dérivées. Notons que ce cas ne diffère pas significativement de celui déjà étudié. En effet, lors de la différenciation de z par rapport à £, la deuxième variable indépendante rj est prise comme constante, de sorte que x et y dans cette opération deviennent fonctions d'une variable x" = c), y = c) et la question de la dérivée ζ est résolue exactement de la même manière que la question de la dérivée lors de la dérivation de la formule (3). En utilisant la formule (3) et en remplaçant formellement les dérivées § et ^ par les dérivées u et respectivement, nous obtenons de la même manière, nous trouver Exemple : Trouver les dérivées partielles ^ et ^ de la fonction r = x2 y - husli x - y = Si une fonction complexe " est donnée par des formules de telle sorte qu'alors, lorsque les conditions appropriées sont remplies, nous avons Dans le cas particulier où Et = où Dérivées partielles Signification géométrique des dérivées partielles d'une fonction à deux variables Différenciabilité d'une fonction à plusieurs variables Conditions nécessaires à la différentiabilité d'une fonction Conditions suffisantes pour la différentiabilité des fonctions à plusieurs variables Différentielle totale Différentielles partielles Dérivées d'un complexe fonction que nous avons Ici m est la dérivée partielle totale de la fonction et par rapport à la variable indépendante x, en tenant compte de la dépendance complète de et sur x, y compris via z = z(x,y),a ^ -dérivée partielle de la fonction u = /(r, y, d) par x, lors du calcul de k

1°

1°. Le cas d'une variable indépendante. Si z=f(x,y) est une fonction différentiable des arguments x et y, qui à leur tour sont des fonctions différentiables de la variable indépendante t: , alors la dérivée de la fonction complexe peut être calculé à l'aide de la formule

Exemple. Trouvez si, où.

Solution. D'après la formule (1) on a :

Exemple. Trouver la dérivée partielle et la dérivée totale si .

Solution. .

Sur la base de la formule (2), nous obtenons .

2°. Le cas de plusieurs variables indépendantes.

Laisser z =F (X ;y) - fonction de deux variables X Et oui, dont chacun est fonction de la variable indépendante t : x =X(t ), y =oui (t). Dans ce cas la fonction z =F (X(t);oui (t)) est une fonction complexe d'une variable indépendante t ; variables x et y sont des variables intermédiaires.

Théorème. Si z == F(X ; y) - différentiable en un point M(x;y)D fonction et X =X(t) Et à =oui (t) - fonctions différentiables de la variable indépendante t, alors la dérivée d'une fonction complexe z (t) == F(X(t);oui (t)) calculé par la formule

Cas particulier:z = F (X ; y), où y = oui(x), ceux. z = F (X ;oui (X )) - fonction complexe d'une variable indépendante X. Ce cas se réduit au précédent, et le rôle de la variable t pièces X. D'après la formule (3) on a :

.

La dernière formule s'appelle formules de dérivées totales.

Cas général :z = F (X ;oui), Où X =X(toi ;v),y =oui (toi ;v). Alors z = F (X(toi ;v);oui (toi ;v)) - fonction complexe de variables indépendantes Et Et v. Ses dérivées partielles peuvent être trouvées en utilisant la formule (3) comme suit. Ayant réparé v, on y remplace les dérivées partielles correspondantes

Ainsi, la dérivée de la fonction complexe (z) par rapport à chaque variable indépendante (Et Et v) est égal à la somme des produits des dérivées partielles de cette fonction (z) par rapport à ses variables intermédiaires (x et y)à leurs dérivées par rapport à la variable indépendante correspondante (vous et v).

Dans tous les cas considérés, la formule est valable

(propriété d'invariance d'un différentiel total).

Exemple. Trouver et si z = F(x ,y ), où x =uv , .

Solution. En appliquant les formules (4) et (5), on obtient :

Exemple. Montrer que la fonction satisfait l'équation .

Solution. La fonction dépend de x et y via un argument intermédiaire, donc

En substituant les dérivées partielles dans le côté gauche de l’équation, nous avons :

Autrement dit, la fonction z satisfait cette équation.

Dérivée dans une direction et un gradient donnés de la fonction

1°. Dérivée d'une fonction dans une direction donnée. Dérivé fonctions z= F(x,y) dans cette direction appelé , où et sont les valeurs de la fonction aux points et . Si la fonction z est différentiable, alors la formule est valide

où sont les angles entre les directions je et les axes de coordonnées correspondants. La dérivée dans une direction donnée caractérise le taux de variation d'une fonction dans cette direction.

Exemple. Trouvez la dérivée de la fonction z = 2x 2 - 3 2 au point P (1; 0) dans la direction faisant un angle de 120° avec l'axe OX.

Solution. Trouvons les dérivées partielles de cette fonction et leurs valeurs au point P.

Théorème.Laisser u = f (x, y) est donné dans le domaine D et soit x = x(t) Et y = y(t) identifié dans la région , et quand , alors x et y appartiennent à la région D . Soit la fonction u dérivable au point M 0 (X 0 , oui 0 , z 0), et fonctions x(t) et à(t) différentiable au point correspondant t 0 , alors la fonction complexe u = f [X(t), oui(t)]=F (t) différentiable au point t 0 et l'égalité est vraie :

.

Preuve. Puisque u est différentiable par condition au point ( X 0 , oui 0), alors son incrément total est représenté par

En divisant ce rapport par , on obtient :

Allons à la limite et obtenons la formule

.

Note 1. Si toi= toi(x, y) Et X= X, oui= oui(X), puis la dérivée totale de la fonction toi par variable X

ou .

La dernière égalité peut être utilisée pour prouver la règle de différenciation d'une fonction d'une variable, donnée implicitement sous la forme F(X, oui) = 0, où oui= oui(X) (voir thème n°3 et exemple 14).

Nous avons: . D'ici . (6.1)

Revenons à l'exemple 14 du thème n°3 :

;

.

Comme vous pouvez le constater, les réponses ont coïncidé.

Note 2. Laisser toi = F (x, y), Où X= X(t , v), à= à(t , v). Alors u est finalement une fonction complexe de deux variables t Et v . Si maintenant la fonction u est dérivable au point M 0 (X 0 , oui 0), et les fonctions X Et à sont différentiables au point correspondant ( t 0 , v 0), alors on peut parler de dérivées partielles par rapport à t Et và partir d'une fonction complexe au point ( t 0 , v 0). Mais si nous parlons de la dérivée partielle par rapport à t en un point spécifié, alors la deuxième variable v est considérée comme constante et égale à v 0 . Par conséquent, nous parlons uniquement de la dérivée d’une fonction complexe par rapport à t et nous pouvons donc utiliser la formule dérivée. Ainsi, nous obtenons :

Et .

Exemple 13. Trouver la dérivée complète d'une fonction toi = X oui, Où X = péché t, y = parce que t .

41. Extrema d'une fonction de plusieurs variables.

Extremum d'une fonction de plusieurs variables. Conditions nécessaires et suffisantes à l’existence d’un extremum

Définition 7. Un point est appelé point minimum (maximum) d'une fonction s'il existe un voisinage du point tel que l'inégalité () est valable pour tous les points de ce voisinage.

Les points minimum et maximum d'une fonction sont appelés points extremum, et les valeurs de la fonction en ces points sont appelées extrema de la fonction (respectivement minimum et maximum).

A noter que le minimum et le maximum d'une fonction sont de nature locale, puisque la valeur de la fonction en un point est comparée à ses valeurs en des points suffisamment proches.

Théorème 1 (conditions nécessaires pour un extremum). Si est le point extrême de la fonction différentiable, alors ses dérivées partielles en ce point sont égales à zéro : .

Les points auxquels les dérivées partielles du premier ordre sont égales à zéro sont appelés critiques ou stationnaires. Aux points critiques, la fonction peut avoir ou non un extremum.

Théorème 2 (condition suffisante pour extremum). Soit la fonction : a) être définie dans un certain voisinage du point critique, auquel et ; b) a des dérivées partielles continues du second ordre. Alors, si, alors la fonction au point a un extremum : maximum, si A<0; минимум, если А>0 ; si, alors la fonction n'a pas d'extremum. Dans ce cas, la question de la présence d’un extremum reste ouverte.

Lors de l'étude d'une fonction de deux variables pour un extremum, il est recommandé d'utiliser le schéma suivant :

1. Trouver des dérivées partielles du premier ordre : et.

2. Résolvez le système d'équations et trouvez les points critiques de la fonction.

3. Trouvez les dérivées partielles du second ordre : , .

4. Calculez les valeurs des dérivées partielles du second ordre à chaque point critique et, en utilisant des conditions suffisantes, tirez une conclusion sur la présence d'un extremum.

5. Trouvez les extrema de la fonction.

Exemple 6. Trouvez les extrema de la fonction.

Solution. 1. Trouvez les dérivées partielles et :

2. Pour déterminer les points critiques, on résout le système d'équations

De la première équation du système on trouve : . En substituant la valeur trouvée de y dans la deuxième équation, nous obtenons

Trouvez les valeurs y correspondant aux valeurs. En substituant les valeurs dans l'équation, nous obtenons : .

Nous avons donc deux points critiques : et.

3. Trouvez les dérivées partielles du second ordre :

4. Nous calculons les valeurs des dérivées partielles du second ordre à chaque point critique. Pour un point nous avons :

alors il n’y a pas d’extremum à ce stade.

et donc

Cela signifie qu'en raison de la condition suffisante pour un extremum, la fonction a un minimum en un point, puisqu'à ce point et.

§ 5. Dérivées partielles de fonctions complexes. différentielles de fonctions complexes

1. Dérivées partielles d'une fonction complexe.

Soit une fonction de deux variables dont les arguments Et , sont eux-mêmes des fonctions de deux ou plusieurs variables. Par exemple, laissez
,
.

Alors volonté fonction complexe variables indépendantes Et , les variables seront pour elle variables intermédiaires. Dans ce cas, comment trouver les dérivées partielles d'une fonction par rapport à Et ?

Vous pouvez bien sûr l’exprimer directement en termes de et :

et recherchez les dérivées partielles de la fonction résultante. Mais l'expression peut être très complexe, et trouver des dérivées partielles , alors cela demandera beaucoup d’efforts.

Si les fonctions
,
,
sont différentiables, alors trouvez et c'est possible sans recourir à l'expression directe à travers et . Dans ce cas, les formules seront valables

(5.1)

En effet, donnons l'argument incrément
, – const. Ensuite les fonctions
Et recevra des augmentations

et la fonction sera incrémentée

Où , – infinitésimal à
,
. Divisons tous les termes de la dernière égalité par . On a:

Puisque par condition les fonctions et sont différentiables, elles sont continues. Par conséquent, si
, puis et . Cela signifie qu'en passant à la limite à dans la dernière égalité on obtient :

(puisque , sont infinitésimaux pour , ).

La deuxième égalité de (5.1) se prouve de la même manière.

EXEMPLE. Laisser
, Où
,
. Alors est une fonction complexe des variables indépendantes et . Pour trouver ses dérivées partielles, nous utilisons la formule (5.1). Nous avons

En substituant dans (5.1), on obtient

,

Les formules (5.1) se généralisent naturellement au cas d’une fonction comportant un plus grand nombre d’arguments indépendants et intermédiaires. A savoir, si

………………………

et toutes les fonctions considérées sont différentiables, alors pour tout
il y a l'égalité

Il est également possible que les arguments de la fonction soient des fonctions d'une seule variable, c'est-à-dire

,
.

Ce sera alors une fonction complexe d’une seule variable et on peut se poser la question de trouver la dérivée . Si les fonctions
,
sont différentiables, alors il peut être trouvé par la formule
(5.2)

EXEMPLE. Laisser
, Où
,
. Voici une fonction complexe d'une variable indépendante. En utilisant la formule (5.2) on obtient

.

Et enfin, il est possible que le rôle de variable indépendante soit joué par , c'est-à-dire ,

Où
.

De la formule (5.2) on obtient alors

(5.3)

(parce que
). Dérivé , debout dans la formule (5.3) à droite est la dérivée partielle de la fonction par rapport à . Il est calculé avec une valeur fixe. Dérivé du côté gauche de la formule (5.3) est appelé dérivée complète de la fonction . Lors du calcul, il a été pris en compte qu'il dépend de deux manières : directement et via le deuxième argument.

EXEMPLE. Rechercher et pour la fonction
, Où
.

Nous avons
.

Pour trouver, nous utilisons la formule (5.3). On a

.

Et en conclusion de ce paragraphe, notons que les formules (5.2) et (5.3) sont faciles à généraliser au cas de fonctions comportant un grand nombre d'arguments intermédiaires.

2. Différentiel d'une fonction complexe.

Rappelons que si

est une fonction différentiable de deux variables indépendantes, alors par définition

, (5.4)

ou sous une autre forme
. (5.5)

L’avantage de la formule (5.5) est qu’elle reste vraie même lorsqu’il s’agit d’une fonction complexe.

En effet, soit , où , . Supposons que les fonctions , , soient différentiables. Alors la fonction complexe sera également dérivable et sa différentielle totale selon la formule (5.5) sera égale à

.

En appliquant la formule (5.1) pour calculer les dérivées partielles d'une fonction complexe, on obtient

Puisque les différentielles complètes des fonctions et sont entre parenthèses, on a finalement

Ainsi, nous sommes convaincus qu'aussi bien dans le cas où et sont des variables indépendantes, que dans le cas où et sont des variables dépendantes, la différentielle de la fonction peut s'écrire sous la forme (5.5). À cet égard, cette forme d'enregistrement du différentiel total est appelée invariant . La forme d'écriture de la différentielle proposée dans (5.4) ne sera pas invariante ; elle ne peut être utilisée que dans le cas où et sont des variables indépendantes. La forme d’écriture du différentiel ne sera pas non plus invariante -ième ordre. Rappelons que nous avons montré plus tôt qu'un différentiel d'ordre la fonction de deux variables peut être trouvée par la formule

. (4.12)

Mais si ce ne sont pas des variables indépendantes, alors la formule (4.12) avec
cesse d'être vrai.

Bien évidemment, tous les raisonnements effectués dans cette section pour une fonction à deux variables peuvent être répétés dans le cas d'une fonction avec un plus grand nombre d'arguments. Par conséquent, pour une fonction, la différentielle peut également s’écrire sous deux formes :

et la deuxième forme de notation sera invariante, c'est-à-dire juste même dans le cas où
ne sont pas des variables indépendantes, mais des arguments intermédiaires.

§ 6. Différenciation des fonctions implicites

Parlant des manières de définir une fonction d'une ou plusieurs variables, nous avons noté que la définition analytique d'une fonction peut être explicite ou implicite. Dans le premier cas, la valeur de la fonction se trouve à partir des valeurs connues des arguments ; dans le second, la valeur de la fonction et ses arguments sont liés par une équation. Cependant, nous n’avons pas précisé quand les équations

Et

définir des fonctions implicitement spécifiées et respectivement. Conditions suffisantes faciles à utiliser pour l'existence d'une fonction implicite variables (
) sont contenus dans le théorème suivant.

THÉORÈME6.1 . (existence d'une fonction implicite) Soit la fonction
et ses dérivées partielles
sont définis et continus dans un certain voisinage du point. Si
Et
, alors il y a un tel quartier point auquel l'équation

définit une fonction continue et

1) Considérons l'équation
. Les conditions du théorème sont satisfaites, par exemple, dans tout voisinage du point
. Par conséquent, dans un certain voisinage du point
cette équation se définit comme une fonction implicite de deux variables et . Une expression explicite de cette fonction peut être facilement obtenue en résolvant l’équation de :

2) Considérons l'équation
. Il définit deux fonctions de deux variables et . En effet, les conditions du théorème sont satisfaites, par exemple, dans tout voisinage du point

, dans laquelle l'équation donnée définit une fonction continue prenant la valeur
.

En revanche, les conditions du théorème sont satisfaites dans tout voisinage du point
. Par conséquent, dans un certain voisinage du point l'équation définit une fonction continue qui prend la valeur au point
.

Puisqu'une fonction ne peut pas prendre deux valeurs à un moment donné, cela signifie que nous parlons de deux fonctions différentes
et en conséquence. Retrouvons leurs expressions explicites. Pour ce faire, résolvons l’équation originale de . On a

3) Considérez l'équation
. Il est évident que les conditions du théorème sont satisfaites dans tout voisinage du point
. Par conséquent, il existe un tel voisinage du point
, dans lequel l'équation est définie comme une fonction implicite de la variable . Il est impossible d'obtenir une expression explicite pour cette fonction, puisque l'équation ne peut pas être résolue par rapport à .

4) Équation
ne définit aucune fonction implicite, puisqu'il n'existe pas de paires de nombres réels qui la satisfassent.

Fonction
, donné par l'équation
, selon le théorème 6.1, a des dérivées partielles continues par rapport à tous les arguments au voisinage du point. Voyons comment les trouver sans spécifier explicitement la fonction.

Laissez la fonction
satisfait les conditions du théorème 6.1. Alors l'équation
fonction continue
. Considérons la fonction complexe
, Où . La fonction est une fonction complexe d'une variable, et si
, Que

(6.1)

D'autre part, selon la formule (5.3) pour calculer la dérivée totale
(6.2)

De (6.1) et (6.2) on obtient que si , alors

(6.3)

Commentaire. Diviser par est possible, puisque d’après le théorème 6.1
n'importe où à proximité.

EXEMPLE. Trouvez la dérivée de la fonction implicite donnée par l'équation et calculez sa valeur à
.

,
.

En substituant les dérivées partielles dans la formule (6.3), on obtient

.

Ensuite, en remplaçant l'équation d'origine, nous trouvons deux valeurs :
Et
.

Par conséquent, au voisinage du point l'équation définit deux fonctions :
Et
, Où
,
. Leurs dérivées à seront égales

Et
.

Laissez maintenant l'équation
définit dans un certain voisinage d'un point
fonction Trouvons-le. Rappelons qu'il s'agit en fait de la dérivée ordinaire d'une fonction considérée comme fonction d'une variable à valeur constante. On peut donc appliquer la formule (6.3) pour le trouver, en le considérant comme une fonction, un argument, une constante. On a

. (6.4)

De même, en considérant une fonction, un argument, une constante, à l'aide de la formule (6.3) on trouve

. (6.5)

EXEMPLE. Trouver les dérivées partielles de la fonction donnée par l'équation
.

,
,
.

En utilisant les formules (6.4) et (6.5), on obtient

,
.

Enfin, considérons le cas général où l'équation

définit une fonction de variables dans un certain voisinage d'un point. En répétant les arguments effectués pour une fonction implicitement donnée de deux variables, on obtient

,
, …,
.

§ 7. Dérivée directionnelle

1. Dérivée directionnelle.

Laissez une fonction de deux variables être définie dans un domaine
avion
, – point de la région, –vecteur de n’importe quelle direction. Passons du point
vers un point dans la direction du vecteur. La fonction recevra un incrément

Divisons l'incrément de fonction
par la longueur du segment décalé
. Rapport résultant
donne le taux moyen de changement de la fonction dans la zone
. Alors la limite de ce rapport à
(s'il existe et est fini) sera le taux de changement de la fonction au point
dans la direction du vecteur. Il est appelé dérivée d'une fonction en un point dans la direction du vecteur et désigne
ou
.

En plus du taux de changement de la fonction, il permet également de déterminer la nature du changement de la fonction en un point dans la direction du vecteur (augmentant ou décroissant):

Ces affirmations sont prouvées de la même manière que des affirmations similaires pour une fonction d'une variable.

Notez que les dérivées partielles d'une fonction sont un cas particulier de dérivée directionnelle. À savoir,
c'est la dérivée de la fonction dans la direction du vecteur (direction de l'axe
), est la dérivée de la fonction dans la direction du vecteur (direction de l'axe
).

Supposons que la fonction soit différentiable en ce point. Alors

Où – infinitésimal à
.

Désignation à travers , nous avons , nous obtenons, à un moment donné

Une preuve de la formule de la dérivée d'une fonction complexe est donnée. Les cas où une fonction complexe dépend d'une ou deux variables sont examinés en détail. Une généralisation est faite au cas d'un nombre arbitraire de variables.

Contenu

Voir également: Exemples d'utilisation de la formule de la dérivée d'une fonction complexe

Formules de base

Nous fournissons ici la dérivation des formules suivantes pour la dérivée d’une fonction complexe.
Si donc
.
Si donc
.
Si donc
.

Dérivée d'une fonction complexe à partir d'une variable

Soit une fonction de variable x être représentée comme une fonction complexe sous la forme suivante :
,
où il y a quelques fonctions. La fonction est différentiable pour une certaine valeur de la variable x. La fonction est différentiable à la valeur de la variable.
Alors la fonction complexe (composite) est dérivable au point x et sa dérivée est déterminée par la formule :
(1) .

La formule (1) peut également s'écrire comme suit :
;
.

Preuve

Introduisons la notation suivante.
;
.
Ici il y a une fonction des variables et , il y a une fonction des variables et . Mais nous omettrons les arguments de ces fonctions pour ne pas encombrer les calculs.

Puisque les fonctions et sont différentiables aux points x et , respectivement, alors en ces points il existe des dérivées de ces fonctions, qui sont les limites suivantes :
;
.

Considérons la fonction suivante :
.
Pour une valeur fixe de la variable u, est fonction de . Il est évident que
.
Alors
.

Puisque la fonction est une fonction différentiable en ce point, elle est continue en ce point. C'est pourquoi
.
Alors
.

Maintenant, nous trouvons la dérivée.

.

La formule est éprouvée.

Conséquence

Si une fonction d'une variable x peut être représentée comme une fonction complexe d'une fonction complexe
,
alors sa dérivée est déterminée par la formule
.
Ici, et il y a quelques fonctions différenciables.

Pour prouver cette formule, nous calculons séquentiellement la dérivée en utilisant la règle de différenciation d'une fonction complexe.
Considérons la fonction complexe
.
Son dérivé
.
Considérez la fonction d'origine
.
Son dérivé
.

Dérivée d'une fonction complexe à partir de deux variables

Laissez maintenant la fonction complexe dépendre de plusieurs variables. Regardons d'abord cas d'une fonction complexe de deux variables.

Soit une fonction dépendant de la variable x soit représentée comme une fonction complexe de deux variables sous la forme suivante :
,
Où
et il existe des fonctions différentiables pour une certaine valeur de la variable x ;
- une fonction de deux variables, différentiables au point , . Ensuite, la fonction complexe est définie dans un certain voisinage du point et a une dérivée, qui est déterminée par la formule :
(2) .

Preuve

Puisque les fonctions et sont dérivables au point, elles sont définies dans un certain voisinage de ce point, sont continues au point, et leurs dérivées existent au point, qui sont les limites suivantes :
;
.
Ici
;
.
Du fait de la continuité de ces fonctions en un point, on a :
;
.

Puisque la fonction est dérivable en ce point, elle est définie dans un certain voisinage de ce point, est continue en ce point, et son incrément peut s'écrire sous la forme suivante :
(3) .
Ici

- incrémentation d'une fonction lorsque ses arguments sont incrémentés de valeurs et ;
;

- les dérivées partielles de la fonction par rapport aux variables et .
Pour les valeurs fixes de et , et sont des fonctions des variables et . Ils tendent vers zéro à et :
;
.
Depuis et , alors
;
.

Incrément de fonction :

. :
.
Remplaçons (3) :



.

La formule est éprouvée.

Dérivée d'une fonction complexe à partir de plusieurs variables

La conclusion ci-dessus peut facilement être généralisée au cas où le nombre de variables d’une fonction complexe est supérieur à deux.

Par exemple, si f est fonction de trois variables, Que
,
Où
, et il existe des fonctions différentiables pour une certaine valeur de la variable x ;
- fonction différentiable de trois variables au point , , .
Alors, à partir de la définition de la différentiabilité de la fonction, on a :
(4)
.
Parce que, par souci de continuité,
; ; ,
Que
;
;
.

En divisant (4) par et en passant à la limite, on obtient :
.

Et enfin, considérons le cas le plus général.
Soit une fonction de variable x être représentée comme une fonction complexe de n variables sous la forme suivante :
,
Où
il existe des fonctions différentiables pour une certaine valeur de la variable x ;
- fonction différentiable de n variables en un point
, , ... , .
Alors
.

Voir également: