Principe de déplacement possible. Équation générale de la dynamique La réduction des forces est basée sur le principe des déplacements possibles

Graphique 2.4

Solution

Remplaçons la charge distribuée par une force concentrée Q = qDH. Cette force est appliquée au milieu du segment D.H.- à ce point L.

Force F décomposer en composants en le projetant sur l'axe : horizontal F x cosα et vertical F y sinα.

Graphique 2.5

Pour résoudre le problème en utilisant le principe des déplacements possibles, il faut que la structure puisse se déplacer et en même temps qu'il y ait une réaction inconnue dans l'équation de travail. en support UN La réaction est décomposée en composants. XA, Oui A.

Pour déterminer XA changer le design du support UN de sorte que le point UN ne pouvait se déplacer qu'horizontalement. On exprime les déplacements des points de la structure à travers la rotation éventuelle de la pièce BDC autour du point B dans le coin δφ1, Partie AKC la construction dans ce cas tourne autour du point C V1- centre de rotation instantané (Figure 2.5) d'un angle δφ2, et points mobiles L Et C- volonté

δS L = BL∙δφ 1 ;
δS C = BC∙δφ 1.

Dans le même temps

δS C = CCV1 ∙δφ 2

δφ 2 = δφ 1 ∙BC/CC V1.

Il est plus pratique de composer l'équation de travail à travers le travail des moments de forces données, par rapport aux centres de rotation.

Q∙BL∙δφ 1 + F x ∙BH∙δφ 1 + F y ∙ED∙δφ 1 +
+ M∙δφ 2 — X A ∙AC V1 ∙δφ 2 = 0.

Réaction Oui A ne fait pas de travail. En transformant cette expression, on obtient

Q∙(BH + DH/2)∙δφ 1 + F∙cosα∙BD∙δφ 1 +
+ F∙sinα∙DE∙δφ 1 + M∙δφ 1 ∙BC/CC V1 —
— X A ∙AC V1 ∙δφ 1 ∙BC/CC V1 = 0.

Réduire de δφ1, on obtient une équation à partir de laquelle il est facile de trouver XA.

Pour déterminer Oui A structure de support UN changer de sorte que lorsque vous déplacez le point UN seule la force a fait le travail Oui A(Figure 2.6). Prenons pour le déplacement éventuel d'une partie de la structure bdc rotation autour d'un point fixe B — δφ 3.

Graphique 2.6

Pour le point C δS C = BC∙δφ 3, centre de rotation instantané pour une partie de la structure AKC il y aura un point C V2, et déplacer le point C exprimé.

Le principe des mouvements possibles: pour l'équilibre d'un système mécanique avec des liaisons idéales, il faut et suffisant que la somme des travaux élémentaires de toutes les forces actives agissant sur lui pour tout déplacement possible soit égale à zéro. ou en projections : .

Le principe des déplacements possibles donne sous une forme générale les conditions d'équilibre de tout système mécanique, donne une méthode générale pour résoudre des problèmes de statique.

Si le système a plusieurs degrés de liberté, alors l'équation du principe des déplacements possibles est constituée séparément pour chacun des déplacements indépendants, c'est-à-dire il y aura autant d’équations que le système possède de degrés de liberté.

Le principe des déplacements possibles est pratique car lorsqu'on considère un système avec des connexions idéales, leurs réactions ne sont pas prises en compte et il faut opérer uniquement avec des forces actives.

Le principe des mouvements possibles est formulé ainsi :

À la mère. le système soumis à des contraintes idéales est au repos, il faut et suffisant que la somme du travail élémentaire effectué par les forces actives sur les éventuels déplacements des points du système soit positive

Équation de dynamique générale- lorsqu'un système se déplace avec des connexions idéales à un instant donné, la somme des travaux élémentaires de toutes les forces actives appliquées et de toutes les forces d'inertie sur tout mouvement possible du système sera égale à zéro. L'équation utilise le principe des déplacements possibles et le principe d'Alembert et permet de composer des équations différentielles de mouvement pour tout système mécanique. Donne une méthode générale pour résoudre des problèmes de dynamique.

Séquence de compilation :

a) les forces spécifiées agissant sur lui sont appliquées à chaque corps, ainsi que les forces et les moments de paires de forces d'inertie sont également appliqués de manière conditionnelle ;

b) informer le système des mouvements possibles ;

c) composer les équations du principe des déplacements possibles, en considérant le système en équilibre.

Il convient de noter que l'équation générale de la dynamique peut également être appliquée à des systèmes avec des liaisons non idéales, seulement dans ce cas les réactions des liaisons non idéales, comme par exemple la force de frottement ou le moment de frottement de roulement, doivent être classées comme forces actives.

Le travail sur le déplacement possible des forces actives et d'inertie est recherché de la même manière que le travail élémentaire sur le déplacement réel :

Travail de force possible : .

Travail possible du moment (couple de forces) : .

Les coordonnées généralisées d'un système mécanique sont des paramètres mutuellement indépendants q 1 , q 2 , …, q S de n'importe quelle dimension, qui déterminent de manière unique la position du système à tout moment.

Le nombre de coordonnées généralisées est S - le nombre de degrés de liberté du système mécanique. La position de chaque νème point du système, c'est-à-dire son rayon vecteur, dans le cas général, peut toujours être exprimée en fonction de coordonnées généralisées :

L'équation générale de la dynamique en coordonnées généralisées ressemble à un système de S équations comme suit :

……..………. ;

………..……. ;

voici la force généralisée correspondant à la coordonnée généralisée :

a est la force d'inertie généralisée correspondant à la coordonnée généralisée :

Le nombre de déplacements indépendants possibles du système est appelé nombre de degrés de liberté de ce système. Par exemple. la balle sur l'avion peut se déplacer dans n'importe quelle direction, mais tout mouvement possible peut être obtenu comme la somme géométrique de deux mouvements le long de deux axes mutuellement perpendiculaires. Un corps rigide libre possède 6 degrés de liberté.

Forces généralisées. Pour chaque coordonnée généralisée, on peut calculer la force généralisée correspondante Qk.

Le calcul est effectué selon cette règle.

Pour déterminer la force généralisée Qk correspondant à la coordonnée généralisée qk, vous devez donner un incrément à cette coordonnée (augmenter la coordonnée de ce montant), en laissant toutes les autres coordonnées inchangées, calculer la somme du travail de toutes les forces appliquées au système sur les déplacements correspondants des points et la diviser par l'incrément de la coordonnée :

où est le déplacement je-ce point du système, obtenu en changeant k-ième coordonnée généralisée.

La force généralisée est déterminée à l'aide de travaux élémentaires. Cette force peut donc être calculée différemment :

Et comme il y a un incrément du rayon vecteur dû à l'incrément des coordonnées avec les coordonnées restantes et le temps inchangés t, le rapport peut être défini comme une dérivée partielle de . Alors

où les coordonnées des points sont fonctions des coordonnées généralisées (5).

Si le système est conservateur, c'est-à-dire que le mouvement se produit sous l'action de forces de champ potentielles dont les projections sont , où , et que les coordonnées des points sont des fonctions de coordonnées généralisées, alors

La force généralisée d'un système conservateur est une dérivée partielle de l'énergie potentielle par rapport à la coordonnée généralisée correspondante avec un signe moins.

Bien entendu, lors du calcul de cette force généralisée, il convient de définir l'énergie potentielle en fonction des coordonnées généralisées

P = P( q 1 , q 2 , q 3 ,…,qs).

Remarques.

D'abord. Lors du calcul des forces de réaction généralisées, les liaisons idéales ne sont pas prises en compte.

Deuxième. La dimension de la force généralisée dépend de la dimension de la coordonnée généralisée.

Équations de Lagrange du 2ème type sont dérivés de l'équation générale de la dynamique en coordonnées généralisées. Le nombre d'équations correspond au nombre de degrés de liberté :

Pour composer l'équation de Lagrange du 2ème type, des coordonnées généralisées sont choisies et des vitesses généralisées sont trouvées . On trouve l'énergie cinétique du système, qui est fonction des vitesses généralisées , et, dans certains cas, des coordonnées généralisées. Les opérations de différenciation de l'énergie cinétique, prévues par les parties gauches des équations de Lagrange, sont effectuées. Les expressions obtenues sont assimilées à des forces généralisées, pour lesquelles, en plus des formules (26), les suivantes sont souvent utilisées lors de la résolution problèmes:

Au numérateur du côté droit de la formule - la somme du travail élémentaire de toutes les forces actives sur le déplacement possible du système, correspondant à la variation de la i-ème coordonnée généralisée - . Avec ce déplacement possible, toutes les autres coordonnées généralisées ne changent pas. Les équations résultantes sont des équations différentielles du mouvement d'un système mécanique avec S degrés de liberté.

Il est nécessaire et suffisant que la somme du travail, de toutes les forces actives appliquées au système sur tout déplacement possible du système, soit égale à zéro.

Le nombre d'équations pouvant être compilées pour un système mécanique, basées sur le principe des déplacements possibles, est égal au nombre de degrés de liberté de ce même système mécanique.

Littérature

• Targ S. M. Un petit cours de mécanique théorique. Proc. pour les collèges techniques.- 10e éd., révisée. et supplémentaire - M. : Plus haut. école, 1986.- 416 p., ill.
• Le cours principal de mécanique théorique (première partie) N. N. Bukhgolts, maison d'édition "Nauka", Comité de rédaction principal de la littérature physique et mathématique, Moscou, 1972, 468 pages.

Fondation Wikimédia. 2010 .

Voyez ce qu'est le « Principe des mouvements possibles » dans d'autres dictionnaires :

principe des mouvements possibles

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Grand dictionnaire encyclopédique

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Le principe des vitesses virtuelles, principe variationnel différentiel de la mécanique classique, qui exprime les conditions les plus générales d'équilibre des systèmes mécaniques contraints par des liaisons idéales. D'après V. p. p. mechan. le système est en équilibre... Encyclopédie mathématique

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Pour balance mécanique système il est nécessaire et suffisant que la somme du travail de toutes les forces agissant sur le système pour tout déplacement possible du système soit égale à zéro. V. p. p. est utilisé dans l'étude des conditions d'équilibre pour les mécanismes complexes. systèmes… … Sciences naturelles. Dictionnaire encyclopédique

principe des déplacements virtuels- virtualiųjų poslinkių principas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. principe du déplacement virtuel vok. Prinzip der virtuellen Verschiebungen, n rus. le principe des déplacements virtuels, m ; principe des mouvements possibles, m pran. principe des … Fizikos terminų žodynas

Un des principes variationnels de la mécanique, selon Roma pour une classe donnée de mouvements mécaniques comparés les uns aux autres. le système est valable pour quel physique. valeur, appelée action, a le plus petit (plus précisément, stationnaire) ... ... Encyclopédie physique

Livres

• Mécanique théorique. En 4 tomes. Tome 3 : Dynamique. Mécanique analytique. Textes de conférences. Vautour du ministère de la Défense de la Fédération de Russie, Bogomaz Irina Vladimirovna. Le manuel contient deux parties d'un cours unifié de mécanique théorique : dynamique et mécanique analytique. Dans la première partie, les premier et deuxième problèmes de dynamique sont examinés en détail, ainsi que...

Établir une condition générale d'équilibre d'un système mécanique. Selon ce principe, pour l'équilibre d'un système mécanique avec des contraintes idéales, il faut et suffisant que la somme des travaux virtuels $A\_i$ seules les forces actives sur tout déplacement possible du système étaient égales à zéro (si le système est amené dans cette position avec des vitesses nulles).

Le nombre d'équations d'équilibre linéairement indépendantes pouvant être compilées pour un système mécanique, basées sur le principe des déplacements possibles, est égal au nombre de degrés de liberté de ce système mécanique.

Possible mouvements les déplacements infinitésimaux imaginaires permis à un instant donné par les contraintes imposées au système sont appelés systèmes mécaniques non libres (dans ce cas, le temps inclus explicitement dans les équations des contraintes non stationnaires est considéré comme fixe). Les projections des déplacements possibles sur les axes de coordonnées cartésiennes sont appelées variantes Coordonnées cartésiennes.

virtuel mouvements sont appelés déplacements infinitésimaux permis par les liaisons, à « temps figé ». Ceux. ils ne diffèrent des déplacements possibles que lorsque les liaisons sont rhéonomiques (explicitement dépendantes du temps).

Si, par exemple, le système est imposé $je$ connexions rhéonomiques holonomiques :

$f\_(\backslash alpha)(\backslash vec\; r,\; t)\; =\; 0,\; \backslash quad\; \backslash alpha\; =\; \backslash overline(1,l)$

Puis les mouvements possibles $\backslash Delta\; \backslash vecr$ sont ceux qui satisfont

$\backslash sum\_(i=1)^(N)\; \backslash frac(\backslash partial\; f\_(\backslash alpha))(\backslash partial\; \backslash vec(r))\; \backslash cdot\; \backslash Delta\; \backslash vec(r)\; +\; \backslash frac(\backslash partial\; f\_(\backslash alpha\; ))(\backslash partial\; t)\; \backslash Delta\; t\; =\; 0,\; \backslash quad\; \backslash alpha\; =\; \backslash overline(1,l)$

Et virtuel $\backslash delta\; \backslash vec\; r$:

$\backslash sum\_(i=1)^(N)\; \backslash frac(\backslash partial\; f\_(\backslash alpha))(\backslash partial\; \backslash vec(r))\backslash delta\; \backslash vec(r)\; =\; 0,\; \backslash quad\; \backslash alpha\; =\; \backslash overline(1\; ,l)$

Les déplacements virtuels, en général, n'ont rien à voir avec le processus de mouvement du système - ils sont introduits uniquement dans le but de révéler les relations de forces existant dans le système et d'obtenir des conditions d'équilibre. La petitesse des déplacements est nécessaire pour pouvoir considérer les réactions des liaisons idéales comme inchangées.

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Littérature

• Buchholz N.N. Cours de base de mécanique théorique. Partie 1. 10e éd. - Saint-Pétersbourg : Lan, 2009. - 480 p. - ISBN978-5-8114-0926-6.
• Targ S. M. Un cours court de mécanique théorique : un manuel pour les universités. 18e éd. - M. : Lycée, 2010. - 416 p. - ISBN978-5-06-006193-2.
• Markeev A.P. Mécanique théorique : un manuel pour les universités. - Ijevsk : Centre de recherche « Dynamiques régulières et chaotiques », 2001. - 592 p. -ISBN5-93972-088-9.

Un extrait caractérisant le principe des déplacements possibles

– Nous y voilà, [C'est justement ça.] Pourquoi tu ne me l'as pas dit avant ?
« Dans la mallette en mosaïque qu'il garde sous son oreiller. Maintenant je sais, dit la princesse sans répondre. "Oui, s'il y a un péché pour moi, un grand péché, alors c'est la haine pour ce salaud", cria presque la princesse, complètement changée. « Et pourquoi se frotte-t-elle ici ? Mais je lui dirai tout, tout. Le temps viendra!

Pendant que de telles conversations se déroulaient dans la salle de réception et dans les chambres de la princesse, la voiture avec Pierre (qui fut appelé) et Anna Mikhaïlovna (qui jugea nécessaire de l'accompagner) entra dans la cour du comte Bezukhoy. Lorsque les roues de la voiture résonnaient doucement sur la paille posée sous les fenêtres, Anna Mikhaïlovna, se tournant vers son compagnon avec des paroles réconfortantes, se convainquit qu'il dormait dans le coin de la voiture et le réveilla. Au réveil, Pierre descendit de la voiture après Anna Mikhailovna, et ne pensa alors qu'à cette rencontre avec son père mourant qui l'attendait. Il remarqua qu'ils ne conduisaient pas vers l'avant, mais vers l'entrée arrière. Alors qu'il descendait du marchepied, deux hommes en habit bourgeois s'enfuirent précipitamment de l'entrée dans l'ombre du mur. S'arrêtant, Pierre aperçut dans l'ombre de la maison des deux côtés plusieurs autres personnes identiques. Mais ni Anna Mikhaïlovna, ni le valet de pied, ni le cocher, qui ne pouvaient que voir ces gens, n'y prêtèrent aucune attention. C'est pourquoi c'est si nécessaire, a décidé Pierre avec lui-même et a suivi Anna Mikhailovna. Anna Mikhaïlovna monta à pas précipités les escaliers de pierre étroits, faiblement éclairés, appelant Pierre, qui était à la traîne d'elle, qui, bien qu'il ne comprenne pas du tout pourquoi il devait aller chez le comte, et encore moins pourquoi il devait l'accompagner. l'escalier de service, mais, à en juger par la confiance et la hâte d'Anna Mikhailovna, il décida que cela était nécessaire. A mi-chemin de l'escalier, ils furent presque renversés par des gens avec des seaux qui, en claquant avec leurs bottes, coururent vers eux. Ces gens se pressèrent contre le mur pour laisser passer Pierre et Anna Mikhaïlovna, et ne manifestèrent pas la moindre surprise à leur vue.
- Y a-t-il des demi-princesses ici ? Anna Mikhaïlovna a demandé à l'un d'eux...
"Ici", répondit le valet de pied d'une voix audacieuse et forte, comme si tout était déjà possible maintenant, "la porte est à gauche, maman."
« Peut-être que le comte ne m'a pas appelé, dit Pierre en sortant sur l'estrade, je serais allé chez moi.
Anna Mikhailovna s'est arrêtée pour rattraper Pierre.
Ah, mon ami ! - dit-elle du même geste que le matin avec son fils, en lui touchant la main : - croyez, que je souffre autant, que vous, mais soyez homme. [Croyez-moi, je ne souffre pas moins que vous, mais soyez un homme.]
- D'accord, j'y vais ? demanda Pierre en regardant avec tendresse Anna Mikhaïlovna à travers ses lunettes.

Le principe des déplacements possibles permet de résoudre une grande variété de tâches sur l'équilibre des systèmes mécaniques - trouver des forces actives inconnues, déterminer les réactions des liaisons, trouver les positions d'équilibre d'un système mécanique sous l'action d'un système de forces appliqué . Illustrons cela avec des exemples concrets.

Exemple 1. Trouvez l'amplitude de la force P qui maintient des prismes lourds et lisses avec des masses en état d'équilibre. L'angle de biseau des prismes est de (Fig. 73).

Solution. Utilisons le principe des déplacements possibles. Indiquons au système le déplacement possible et calculons le travail possible des forces actives :

Le travail possible de la gravité est nul, puisque la force est perpendiculaire au vecteur déplacement élémentaire du point d'application de la force. En substituant la valeur ici et en assimilant l'expression à zéro, nous obtenons :

Puisque , alors l'expression entre parenthèses est égale à zéro :

De là, nous trouvons

Exemple 2. Une poutre homogène AB d'une longueur et d'un poids P, chargée d'une paire de forces avec un moment M donné, est fixée comme indiqué sur la fig. 74 et est au repos. Déterminez la réaction de la tige BD si elle fait un angle a avec l'horizon.

Solution. La tâche diffère de la précédente en ce qu'il faut ici trouver la réaction d'un lien idéal. Mais dans l'équation du travail exprimant le principe des déplacements possibles, les réactions des liaisons idéales ne sont pas incluses. Dans de tels cas, le principe des déplacements possibles doit être appliqué en conjonction avec le principe de libération des obligations.

Éliminons mentalement la tige BD et considérons sa réaction S comme une force active de grandeur inconnue. Après cela, nous informerons le système d'un éventuel mouvement (à condition que cette connexion soit totalement absente). Il s'agira d'une rotation élémentaire de la poutre AB selon un angle autour de l'axe charnière A dans un sens ou dans l'autre (sur la Fig. 74 - dans le sens inverse des aiguilles d'une montre). Les déplacements élémentaires des points d'application des forces actives et la réaction S qui leur est liée sont égaux à :

Nous établissons l'équation du travail

En équivalant à zéro l'expression entre parenthèses, d'ici on trouve

Exemple 3. Une tige homogène OA est fixée avec un poids à l'aide d'une charnière cylindrique O et d'un ressort AB (Fig. 75). Déterminez les positions dans lesquelles la tige peut être en équilibre si la constante du ressort est égale à k, la longueur naturelle du ressort - et le point B est sur la même verticale que le point O.

Solution. Deux forces actives sont appliquées à la tige OA : son propre poids et la force élastique du ressort où est l'angle formé par la tige avec la verticale OB. Les liaisons superposées sont idéales (dans ce cas, il n'y a qu'une seule liaison - charnière O).

Nous informons le système de déplacement possible - une rotation élémentaire de la tige autour de l'axe charnière O sous un angle , calculons le travail possible des forces actives et l'assimilons à zéro :

En remplaçant ici l'expression de la force F et la valeur

après des transformations simples, on obtient l'équation trigonométrique suivante pour déterminer l'angle (p à l'équilibre de la tige :

L'équation définit trois valeurs pour l'angle :

La tige a donc trois positions d’équilibre. Puisque les deux premières positions d’équilibre existent si la condition est satisfaite. L’équilibre existe toujours.

En conclusion, notons que le principe des déplacements possibles peut également s'appliquer à des systèmes avec des contraintes non idéales. L'accent est mis sur l'idéalité des liaisons dans la formulation du principe dans un seul but : montrer que les équations d'équilibre des systèmes mécaniques peuvent être composées sans y inclure les réactions des liaisons idéales, simplifiant ainsi les calculs.

Pour les systèmes à contraintes non idéales, le principe des déplacements possibles doit être reformulé ainsi : pour l'équilibre d'un système mécanique avec contraintes, parmi lesquelles existent des liaisons non idéales, il faut et suffisant que le travail éventuel des forces actives et les réactions des liaisons non idéales sont égales à zéro. Il est cependant possible de s'affranchir de la reformulation du principe, classant conventionnellement les réactions des liaisons non idéales comme forces actives.

Questions d'auto-examen

1. Quelle est la principale caractéristique d’un système mécanique non libre par rapport à un système libre ?

2. Qu’appelle-t-on déplacement possible ? Donne des exemples.

3. Comment sont déterminées les variations des coordonnées des points du système lors de son éventuel déplacement (préciser trois manières) ?

4. Comment les obligations sont-elles classées selon le type de leurs équations ? Donnez des exemples d'obligations détenues et non détenues, stationnaires et non stationnaires.

5. Dans quel cas la connexion est-elle dite idéale ? Pas idéal ?

6. Donner une formulation verbale et une notation mathématique du principe des déplacements possibles.

7. Comment est formulé le principe des déplacements possibles pour les systèmes contenant des liaisons imparfaites ?

8. Lister les principaux types de problèmes résolus en utilisant le principe des déplacements possibles.

Des exercices

En utilisant le principe des déplacements possibles, résolvez les problèmes suivants de la collection d'I.V. Éditions Meshchersky 1981 : 46.1 ; 46,8 ; 46.17 ; 2,49 ; 4.53.