Materijal iz matematike "teoremi o kutovima koje tvore tetive, tangente i sekante." Teoremi o kutovima koje tvore dva paralelna pravca
§ 1 Konverzni teorem
U ovoj lekciji saznat ćemo koji se teoremi nazivaju konverznim, navesti primjere konverznih teorema, formulirati teoreme o kutovima koje tvore dva paralelna pravca i transverzala te se upoznati s metodom dokazivanja kontradikcijom.
Pri proučavanju raznih geometrijski oblici Obično se formuliraju definicije, dokazuju teoremi i razmatraju korolari iz teorema. Svaki teorem ima dva dijela: uvjet i zaključak.
Uvjet teorema je ono što je zadano, a zaključak je ono što treba dokazati. Vrlo često uvjet teorema počinje riječju "ako", a zaključak počinje riječju "onda". Na primjer, teorem o svojstvima jednakokračnog trokuta može se formulirati na sljedeći način: "Ako je trokut jednakokračan, tada su kutovi na njegovoj bazi jednaki." Prvi dio teoreme “Ako je trokut jednakokračan” je uvjet teoreme, drugi dio teoreme “tada su kutovi na njegovoj bazi jednaki” je zaključak teoreme.
Teorem u kojem su uvjet i zaključak zamijenjeni naziva se inverzni teorem. Teorem suprotan teoremu o svojstvima jednakokračnog trokuta zvučat će ovako: "Ako su dva kuta u trokutu jednaka, onda je takav trokut jednakokračan."
Zapišimo ukratko svaku od njih:
Vidimo da su uvjet i zaključak zamijenili mjesta.
Svaka od ovih izjava je istinita.
Postavlja se pitanje: je li izjava u kojoj se uvjet mijenja sa zaključkom uvijek istinita?
Pogledajmo primjer.
Ako su kutovi okomiti, onda su jednaki. Ovo je istinita izjava i ima dokaze. Formulirajmo suprotnu tvrdnju: ako su kutovi jednaki, onda su okomiti. Ova tvrdnja nije točna, to je lako provjeriti dajući opovrgavajući primjer: uzmimo dva prava kuta (vidi sliku), oni su jednaki, ali nisu okomiti.
Dakle, suprotne tvrdnje (teoremi) u odnosu na već dokazane tvrdnje (teoreme) uvijek zahtijevaju dokaz.
§ 2 Teoremi o kutovima koje tvore dva paralelna pravca i transverzala
Prisjetimo se sada dokazanih tvrdnji - teoreme koji izražavaju znakove paralelnosti dviju ravnih linija, formuliramo njihove suprotne teoreme i provjerimo njihovu valjanost pružanjem dokaza.
Prvi znak paralelnih pravaca.
Ako su, kada se dvije linije križaju poprečno, kutovi jednaki, tada su linije paralelne.
Konverzni teorem:
Ako su dva paralelna pravca presječena transverzalom, tada su međusječni kutovi jednaki.
Dokažimo ovu tvrdnju.
Zadano je: paralelne pravce a i b siječe sekanta AB.
Dokažite: ukršteni kutovi 1 i 2 su jednaki. (vidi sliku)
Dokaz:
Pretpostavimo da kutovi 1 i 2 nisu jednaki.
Odvojimo od poluge AB kut CAB, jednak kutu 2, tako da su kut CAB i kut 2 unakrsni kutovi u sjecištu pravaca CA i b sa sekantom AB.
Konstrukcijski su ti poprečni kutovi jednaki, što znači da je pravac CA paralelan s pravcem b.
Utvrdili smo da dva pravca a i CA prolaze točkom A, paralelno s pravcem b. To je u suprotnosti s aksiomom paralelnih pravaca: kroz točku koja ne leži na zadanom pravcu prolazi samo jedan pravac paralelan sa zadanim.
To znači da je naša pretpostavka netočna, kutovi 1 i 2 su jednaki.
Teorem je dokazan.
§ 3 Metoda dokazivanja kontradikcijom
U dokazivanju ovog teorema koristili smo se metodom zaključivanja koja se naziva metoda dokaza kontradikcijom. Kada smo započinjali dokaz, pretpostavili smo suprotno od onoga što je trebalo dokazati. Smatrajući ovu pretpostavku točnom, zaključivanjem smo došli do kontradikcije s aksiomom paralelnih pravaca. Iz ovoga smo zaključili da naša pretpostavka nije točna, ali je tvrdnja teorema istinita. Ova vrsta dokaza često se koristi u matematici.
Razmotrimo korolar dokazanog teorema.
Posljedica:
Ako je pravac okomit na jedan od dva paralelna pravca, onda je okomit i na drugi.
Neka je pravac a paralelan s pravcem b, pravac c okomit na pravac a, tj. kut 1 = 90º.
Pravac c siječe pravac a, što znači da pravac c također siječe pravac b.
Kada se paralelni pravci sijeku s transverzalom, poprečni kutovi su jednaki, što znači da je kut 1 = kut 2.
Kako je kut 1 = 90º, onda je kut 2 = 90º, što znači da je pravac c okomit na pravac b.
Istraga je dokazana.
Inverzni teorem za drugi kriterij paralelnosti pravaca:
Ako su dva paralelna pravca presječena transverzalom, tada su im odgovarajući kutovi jednaki.
Obrnuti teorem za treći kriterij paralelnosti pravaca:
Ako su dva paralelna pravca presječena transverzalom, tada je zbroj jednostraničkih kutova 180º.
Tako smo u ovoj lekciji doznali koji se teoremi nazivaju konverznim, formulirali i ispitali teoreme o kutovima koje tvore dva paralelna pravca i transverzala te se upoznali s metodom dokazivanja kontradikcijom.
Popis korištene literature:
- Geometrija. 7-9 razred: udžbenik. za opće obrazovanje organizacije / L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomcev i dr. - M.: Obrazovanje, 2013. - 383 str.: ilustr.
- Gavrilova N.F. Razvoj lekcija iz geometrije 7. razred. - M.: “VAKO”, 2004, 288 str. - (U pomoć učitelju škole).
- Belitskaya O.V. Geometrija. 7. razred. 1. dio. Testovi. – Saratov: Licej, 2014. – 64 str.
Rybalko Pavel
Ova prezentacija sadrži: 3 teorema s dokazima i 3 zadatka za učvršćivanje naučenog gradiva s detaljno rješenje. Prezentacija može biti korisna učitelju u lekciji, jer će uštedjeti puno vremena. Može poslužiti i kao opća smotra na kraju školske godine.
Preuzimanje datoteka:
Pregled:
Kako biste koristili preglede prezentacije, stvorite Google račun i prijavite se na njega: https://accounts.google.com
Naslovi slajdova:
Teoremi o kutovima koje tvore dva paralelna pravca i transverzala. Izvođač: učenik 7. razreda Rybalko Pavel, Mytishchi, 2012
Teorem: Ako su dva paralelna pravca presječena transverzalom, tada su kutovi koji se sijeku jednaki. a u A B 1 2 1 = 2 c
Dokaz: A B C D M N 1 2 A B C D M N 1 2 K O Neka su pravci AB i CD paralelni, MN je njihova sekanta. Dokažimo da su poprečni kutovi 1 i 2 međusobno jednaki. Pretpostavimo da 1 i 2 nisu jednaki. Povucimo ravnu liniju K F kroz točku O. Tada u točki O možemo konstruirati KON , koja leži poprečno i jednaka je 2. Ali ako je KON = 2, tada će ravna linija K F biti paralelna s CD. Utvrdili smo da su kroz točku O povučene dvije ravne crte AB i K F, paralelne s pravcem CD. Ali ovo ne može biti. Došli smo do kontradikcije jer smo pretpostavili da 1 i 2 nisu jednaki. Dakle, naša pretpostavka nije točna i 1 mora biti jednako 2, tj. poprečni kutovi su jednaki. F
Teorem: Ako su dva paralelna pravca presječena transverzalom, tada su im odgovarajući kutovi jednaki. a u A B 1 2 1 = 2
Dokaz: 2 a u A B 3 1 Neka paralelne pravce a i b siječe sekanta AB, tada će poprečne 1 i 3 biti jednake. 2 i 3 jednaki su kao vertikalni. Iz jednakosti 1 = 3 i 2 = 3 slijedi da je 1 = 2. Teorem je dokazan
Teorem: Ako su dva paralelna pravca presječena transverzalom, tada je zbroj jednostraničkih kutova 180°. a u A B 3 1 1 + 3 = 180°
Dokaz: Neka paralelne pravce a i b siječe sekanta AB, tada će odgovarajuće 1 i 2 biti jednake, 2 i 3 su susjedne, dakle 2 + 3 = 180 °. Iz jednakosti 1 = 2 i 2 + 3 = 180 ° slijedi da je 1 + 3 = 180 °. Teorem je dokazan. 2 a u A B 3 1
Rješenje: 1. Neka je X 2, tada je 1 = (X+70°), jer zbroj kutova 1 i 2 = 180°, zbog činjenice da su susjedni. Napravimo jednadžbu: X+ (X+70°) = 180° 2X = 110° X = 55° (Kut 2) 2. Nađi 1. 55° + 70° = 125° 3. 1 = 3, tj. Do. okomiti su. 3 = 5, jer leže poprijeko. 125° 5 = 7, jer okomiti su. 2 = 4, jer okomiti su. 4 = 6, jer leže poprijeko. 55° 6 = 8, jer okomiti su. Zadatak br. 1: A B 4 3 5 8 7 2 1 6 Uvjet: nađite sve kutove koji nastaju kada se dva paralelna pravca A i B sijeku transverzalom C, ako je jedan od kutova za 70° veći od drugog.
Rješenje: 1. Jer 4 = 45°, tada je 2 = 45°, jer je 2 = 4 (kao odgovarajuće) 2. 3 je susjedno 4, dakle 3+ 4 = 180°, pa slijedi da je 3= 180° - 45°= 135°. 3. 1 = 3, jer leže poprijeko. 1 = 135°. Odgovor: 1=135°; 2=45°; 3=135°. Zadatak br. 2: A B 1 Uvjet: na slici su prave linije A II B i C II D, 4=45°. Odredite kutove 1, 2, 3. 3 2 4
Rješenje: 1. 1= 2, jer okomiti su, što znači 2= 45°. 2. 3 je susjedna 2, pa je 3+ 2=180°, a iz toga slijedi da je 3= 180° - 45°= 135°. 3. 4 + 3=180°, jer jednostrani su. 4 = 45°. Odgovor: 4=45°; 3=135°. Zadatak br. 3: A B 2 Uvjet: dva paralelna pravca A i B siječe sekanta C. Nađite čemu će biti jednako 4 i 3 ako je 1=45°. 3 4 1
Teoreme o formiranim kutovima
Geometrija, III glava, 7. razred
Na udžbenik L.S. Atanasyana
profesor matematike najviše kategorije
Općinska obrazovna ustanova "Upshinskaya osnovna srednja škola"
Okrug Orsha Republike Mari El
Obrnuto od ovog teorema
Teorema: U jednakokračnom trokutu osnovni kutovi su jednaki .
Teorema: Ako je trokut jednakokračan, tada su mu kutovi pri osnovici jednaki .
Uvjet teorema (Dato): trokut – jednakokračan
Zaključak teoreme (dokazati): bazni kutovi su jednaki
Uvjet teorema : bazni kutovi su jednaki
Zaključak teoreme : trokut – jednakokračan
NOVA IZJAVA
Obrnuto
teorema
Ako trokut ima dva kuta
jednaki, onda je jednakokračan .
Obrnuto od ovog teorema
Je li obrnuto uvijek točno?
Teorema
Konverzni teorem
Ako je zbroj dva kuta 180 0 , tada su kutovi susjedni
Zbroj susjednih kutova
jednako 180 0 .
Ako su kutovi jednaki,
onda su okomiti
Vertikalni kutovi su jednaki
Ako je u trokutu simetrala povučena na jednu od njegovih stranica ujedno i središnja povučena na tu stranicu, tada je taj trokut jednakokračan
U jednakokračnom trokutu simetrala povučena na osnovicu je središnja i visina
Ako je u trokutu simetrala povučena na jednu od njegovih stranica ujedno i visina povučena na ovu stranicu, tada je taj trokut jednakokračan
E Ako je trokut jednakokračan, tada je simetrala povučena na osnovicu , je i medijan i visina
Kutovi koje tvore dva paralelna pravca i transverzala
Je li obrnuto uvijek točno?
Teorema
Konverzni teorem
Ako dva paralelne linije prelazi se sekantom, dakle ukršteni kutovi su jednaki
poprečni kutovi jednak Da linije su paralelne .
Ali ovo je u suprotnosti aksiom paralele , onda je naša pretpostavka netočna
IZ METODE
SUPROTAN
Iznijeli smo pretpostavku suprotnu od onoga što treba dokazati
Rezoniranjem dolazimo do kontradikcije s poznatim aksiomom ili teoremom
Zaključujemo da je naša pretpostavka netočna, a teorem točan
Ali ovo je u suprotnosti aksiom paralele
Stoga je naša pretpostavka netočna
Ako su dva paralelna pravca presječena transverzalom, tada su međusječni kutovi jednaki
KOROLAR IZ TEOREMA
Ako je pravac okomit na jedan od dva paralelna pravca, onda je okomit i na drugi
Formirani kutovi
dvije paralelne crte i transverzala
Teorema
Konverzni teorem
Ako se na sjecištu dviju ravnih linija sekanta odgovarajući kutovi su jednaki , To linije su paralelne .
Ako dva paralelne linije prelazi se sekantom, dakle odgovarajući kutovi su jednaki
Formirani kutovi
dvije paralelne crte i transverzala
Teorema
Konverzni teorem
Ako se na sjecištu dviju ravnih linija sekanta 0 , To linije su paralelne .
Ako dva paralelne linije prelazi se sekantom, dakle zbroj jednostraničkih kutova je 180 0
Pravci a i b su paralelni.
Pronađite kut 2.
Pravci a i b su paralelni.
Pronađite nepoznate kutove
Pravci a i b su paralelni.
Pronađite nepoznate kutove
Pronađite nepoznate kutove
Pronađite nepoznate kutove
Pronađite nepoznate kutove
Pravci a i b su paralelni. Odredi nepoznate kutove ako je zbroj dvaju kutova koji se sijeku jednak 100 0 .
Pravci a i b su paralelni. Odredi nepoznate kutove ako je zbroj dvaju odgovarajućih kutova 260 0 .
Pravci a i b su paralelni. Odredite nepoznate kutove ako je razlika dva jednakostrana kuta 50 0 .
Video lekcija o teoremima o kutovima između dviju paralelnih pravaca i njihovoj transverzali sadrži materijal koji predstavlja strukturne značajke teorema, primjere oblikovanja i dokaza suprotnih teorema i korolara iz njih. Svrha ove video lekcije je produbiti koncept teorema, rastaviti ga na njegove komponente, razmotriti koncept inverznog teorema, razviti sposobnost konstruiranja teorema inverznog danom teoremu, posljedice iz teorema i razvijati sposobnost dokazivanja tvrdnji.
Forma video lekcije omogućuje uspješno postavljanje naglasaka prilikom demonstracije gradiva, što olakšava razumijevanje i pamćenje gradiva. Tema ove video lekcije je složena i važna, stoga je korištenje vizualnog pomagala ne samo preporučljivo, već i poželjno. Pruža mogućnost poboljšanja kvalitete učenja. Animirani efekti poboljšavaju prezentaciju obrazovnog materijala, približavaju proces učenja tradicionalnom, a korištenje videa oslobađa nastavnika za produbljivanje samostalnog rada.
Video lekcija počinje najavom svoje teme. Na početku sata razmatra se dekompozicija teorema na sastavne dijelove radi boljeg razumijevanja njegove strukture i mogućnosti daljnjeg istraživanja. Na ekranu je prikazan dijagram koji pokazuje da se teorem sastoji od svojih uvjeta i zaključaka. Pojam uvjeta i zaključka opisuje se na primjeru znaka paralelnosti, uz napomenu da je dio tvrdnje uvjet teorema, a zaključak zaključak.
Produbljujući stečena znanja o strukturi teorema, učenici dobivaju pojam teorema inverznog zadanom. Nastaje kao rezultat zamjene - uvjet postaje zaključak, zaključak - uvjet. Kako bi se razvila sposobnost učenika da konstruiraju teoreme u odnosu na podatke i sposobnost da ih dokažu, razmatraju se teoremi u odnosu na one o predznacima paralelnih pravaca o kojima se govori u lekciji 25.
Na ekranu se prikazuje teorem inverzan prvom teoremu, koji opisuje predznak paralelnih pravaca. Zamjenom uvjeta i zaključka dobivamo tvrdnju da ako bilo koji paralelni pravac presječe transverzala, onda će poprečni kutovi formirani u tom slučaju biti jednaki. Dokaz je prikazan na slici koja prikazuje pravce a, b, kao i transverzalu koja prolazi kroz te pravce u njihovim točkama M i N. Na slici su označeni poprečni kutovi ∠1 i ∠2. Potrebno je dokazati njihovu ravnopravnost. Prvo, dokaz čini pretpostavku da ti kutovi nisu jednaki. Za to se kroz točku M povuče određena ravna linija P. Konstruira se kut `∠PMN koji leži poprečno s kutom ∠2 u odnosu na MN. Kutovi `∠PMN i ∠2 konstrukcijski su jednaki, dakle MP║b. Zaključak - kroz b su povučene dvije crte paralelne s točkom. Međutim, to je nemoguće jer ne odgovara aksiomu paralelnih pravaca. Iznesena pretpostavka pokazuje se pogrešnom, dokazujući valjanost izvorne izjave. Teorem je dokazan.
Zatim se učenicima skreće pozornost na metodu dokazivanja koja je korištena u tijeku zaključivanja. Dokaz u kojem se pretpostavlja da je tvrdnja koja se dokazuje netočna naziva se u geometriji dokaz kontradikcijom. Ova metoda se često koristi za dokazivanje različitih geometrijskih tvrdnji. U ovom slučaju, uz pretpostavku nejednakosti unakrsnih kutova, u tijeku razmišljanja pojavila se kontradikcija koja poriče valjanost takve kontradikcije.
Učenici se podsjećaju da je slična metoda već korištena u dokazima. Primjer za to je dokaz teorema u 12. lekciji da se dva pravca okomita na treći ne sijeku, kao i dokaz korolara u 28. lekciji iz aksioma paralelnih pravaca.
Drugi dokazivi korolar kaže da je pravac okomit na oba paralelna pravca ako je okomit na jedan od njih. Na slici su prikazane prave a i b i pravac c okomit na njih. Okomitost pravca c na a znači da je kut koji s njim tvori jednak 90°. Paralelnost a i b i njihovo sjecište s pravcem c znači da pravac c siječe b. Kut ∠2 koji tvori pravac b je poprečno u odnosu na kut ∠1. A kako su, prema uvjetu, pravci paralelni, onda su ti kutovi jednaki. Prema tome, kut ∠2 također će biti jednak 90°. To znači da je pravac c okomit na pravac b. Teorem koji razmatramo je dokazan.
Zatim ćemo dokazati teorem suprotno drugom kriteriju za paralelne pravce. Suprotni teorem kaže da ako su dvije ravne crte paralelne, odgovarajući kutovi koji se formiraju bit će jednaki. Dokaz započinje konstrukcijom sekante c i paralelnih pravaca a i b. Kutovi koji nastaju u ovom slučaju označeni su na slici. Postoji par odgovarajućih kutova koji se nazivaju ∠1 i ∠2, te također označeni kut ∠3 koji leži poprečno s kutom ∠1. Paralelnost a i b znači da jednakost ∠3=∠1 leži unakrsno. S obzirom da su ∠3, ∠2 okomiti, oni su također jednaki. Posljedica takvih jednakosti je tvrdnja da je ∠1=∠2. Teorem koji razmatramo je dokazan.
Posljednji teorem koji treba dokazati u ovoj lekciji je inverzija posljednjeg testa za paralelne pravce. Njegov tekst kaže da ako transverzala prolazi kroz paralelne pravce, zbroj formiranih jednostraničkih kutova jednak je 180°. Tijek dokaza prikazan je na slici koja prikazuje pravce a i b koji sijeku sekantu c. Potrebno je dokazati da će zbroj jednostraničkih kutova biti jednak 180°, odnosno ∠4+∠1 = 180°. Iz paralelnosti pravaca a i b slijedi jednakost pripadnih kutova ∠1 i ∠2. Susjednost kutova ∠4, ∠2 znači da oni zbroje 180°. U ovom slučaju, kutovi ∠1= ∠2 - što znači da će ∠1 dodati kutu ∠4 biti 180°. Teorem je dokazan.
Za dublje razumijevanje načina na koji se inverzni teoremi formiraju i dokazuju, posebno se napominje da ako je teorem dokazan i istinit, to ne znači da će i inverzni teorem također biti istinit. Da bismo to razumjeli, dan je jednostavan primjer. Postoji teorem da su svi okomiti kutovi jednaki. Obratni teorem zvuči kao da su svi jednaki kutovi okomiti, što nije točno. Uostalom, možete konstruirati dva jednaka kuta koji nisu okomiti. To se može vidjeti na prikazanoj slici.
Video lekcija “Teoremi o kutovima koje čine dvije paralelne crte i transverzala” vizualno je pomagalo koje učitelj može koristiti na satu geometrije, a također može uspješno stvoriti predodžbu o inverznim teoremima i korolarima, kao i njihov dokaz pri samostalnom proučavanju gradiva, te biti korisni u obuci učenja na daljinu.
