Riješite nejednadžbe metodom intervala online s rješenjem. Linearne nejednadžbe

Oblika ax 2 + bx + 0 0, gdje (umjesto znaka > može, naravno, biti bilo koji drugi znak nejednakosti). Imamo sve teorijske činjenice potrebne za rješavanje takvih nejednakosti, kao što ćemo sada vidjeti.

Primjer 1. Riješite nejednadžbu:

a) x 2 - 2x - 3 >0; b) x 2 - 2x - 3< 0;
c) x 2 - 2x - 3 > 0; d) x 2 - 2x - 3< 0.
Riješenje,

a) Razmotrimo parabolu y = x 2 - 2x - 3, prikazanu na sl. 117.

Rješavanje nejednadžbe x 2 - 2x - 3 > 0 znači odgovoriti na pitanje pri kojim su vrijednostima x ordinate točaka parabole pozitivne.

Napominjemo da je y > 0, tj. graf funkcije se nalazi iznad x osi, na x< -1 или при х > 3.

To znači da su rješenja nejednadžbe sve točke otvora greda(- 00 , - 1), kao i sve točke otvorene grede (3, +00).

Pomoću znaka U (znak za spajanje skupova) odgovor se može napisati na sljedeći način: (-00, - 1) U (3, +00). Međutim, odgovor se može napisati ovako: x< - 1; х > 3.

b) Nejednakost x 2 - 2x - 3< 0, или у < 0, где у = х 2 - 2х - 3, также можно решить с помощью рис. 117: raspored koji se nalazi ispod x-osi ako je -1< х < 3. Поэтому решениями данного неравенства служат все точки интервала (- 1, 3).

c) Nejednadžba x 2 - 2x - 3 > 0 razlikuje se od nejednadžbe x 2 - 2x - 3 > 0 po tome što odgovor mora sadržavati i korijene jednadžbe x 2 - 2x - 3 = 0, tj. točke x = - 1

i x = 3. Dakle, rješenja ove nestriktne nejednadžbe su sve točke na traci (-00, - 1], kao i sve točke na traci.

Praktični matematičari obično kažu ovo: zašto moramo pažljivo konstruirati graf parabole kvadratne funkcije kada rješavamo nejednadžbu ax 2 + bx + c > 0

y = ax 2 + bx + c (kao što je učinjeno u primjeru 1)? Dovoljno je napraviti shematski crtež grafa, za koji samo trebate pronaći korijenje kvadratni trinom (točka presjeka parabole s osi x) i odrediti jesu li grane parabole usmjerene gore ili dolje. Ova shematska skica će dati vizualnu interpretaciju rješenja nejednadžbe.

Primjer 2. Riješite nejednadžbu - 2x 2 + 3x + 9< 0.
Riješenje.

1) Nađite korijene kvadratnog trinoma - 2x 2 + 3x + 9: x 1 = 3; x 2 = - 1,5.

2) Parabola, koja služi kao graf funkcije y = -2x 2 + 3x + 9, siječe os x u točkama 3 i - 1,5, a grane parabole su usmjerene prema dolje, budući da je najviši koeficijent- negativan broj - 2. Na sl. 118 prikazuje skicu grafikona.

3) Pomoću sl. 118, zaključujemo:< 0 на тех промежутках оси х, где график расположен ниже оси х, т.е. на открытом луче (-оо, -1,5) или на открытом луче C, +оо).
Odgovor: x< -1,5; х > 3.

Primjer 3. Riješite nejednadžbu 4x 2 - 4x + 1< 0.
Riješenje.

1) Iz jednadžbe 4x 2 - 4x + 1 = 0 nalazimo .

2) Kvadratni trinom ima jedan korijen; to znači da parabola koja služi kao graf kvadratnog trinoma ne siječe os x, već je dodiruje u točki . Grane parabole usmjerene su prema gore (sl. 119.)

3) Koristeći geometrijski model prikazan na sl. 119, utvrđujemo da je navedena nejednakost zadovoljena samo u točki, budući da su za sve ostale vrijednosti x ordinate grafa pozitivne.
Odgovor: .
Vjerojatno ste primijetili da je zapravo, u primjerima 1, 2, 3, vrlo specifično algoritam rješenje kvadratnih nejednadžbi, formalizirajmo ga.

Algoritam za rješavanje kvadratne nejednadžbe ax 2 + bx + 0 0 (ax 2 + bx + c< 0)

Prvi korak ovog algoritma je pronaći korijene kvadratnog trinoma. Ali korijeni možda ne postoje, pa što možemo učiniti? Tada algoritam nije primjenjiv, što znači da moramo razmišljati drugačije. Ključ ovih argumenata daju sljedeći teoremi.

Drugim riječima, ako D< 0, а >0, tada za sve x vrijedi nejednakost ax 2 + bx + c > 0; naprotiv, nejednakost ax 2 + bx + c< 0 не имеет решений.
Dokaz. Raspored funkcije y = ax 2 + bx + c je parabola čiji su ogranci usmjereni prema gore (budući da je a > 0) i koja ne siječe os x, budući da kvadratni trinom po uvjetu nema korijena. Grafikon je prikazan na sl. 120. Vidimo da se za sve x graf nalazi iznad x osi, što znači da za sve x vrijedi nejednakost ax 2 + bx + c > 0, što je i trebalo dokazati.

Drugim riječima, ako D< 0, а < 0, то неравенство ах 2 + bх + с < 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах 2 + bх + с >0 nema rješenja.

Dokaz. Graf funkcije y = ax 2 + bx +c je parabola čije su grane usmjerene prema dolje (budući da je< 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 121. Видим, что при всех х график расположен ниже оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах 2 + bх + с < 0, что и требовалось доказать.

Primjer 4. Riješite nejednadžbu:

a) 2x 2 - x + 4 >0; b) -x 2 + 3x - 8 >0.

a) Odredite diskriminant kvadratnog trinoma 2x 2 - x + 4. Imamo D = (-1) 2 - 4 2 4 = - 31< 0.
Vodeći koeficijent trinoma (broj 2) je pozitivan.

To znači da prema teoremu 1 za sve x vrijedi nejednakost 2x 2 - x + 4 > 0, odnosno da je rješenje zadane nejednadžbe cjelina (-00, + 00).

b) Odredite diskriminant kvadratnog trinoma - x 2 + 3x - 8. Imamo D = 32 - 4 (- 1) (- 8) = - 23< 0. Старший коэффициент трехчлена (число - 1) отрицателен. Следовательно, по теореме 2, при всех х выполняется неравенство - х 2 + Зx - 8 < 0. Это значит, что неравенство - х 2 + Зх - 8 0 не выполняется ни при каком значении х, т. е. заданное неравенство не имеет решений.

Odgovor: a) (-00, + 00); b) nema rješenja.

U sljedećem primjeru predstavit ćemo drugu metodu razmišljanja koja se koristi za rješavanje kvadratnih nejednadžbi.

Primjer 5. Riješite nejednadžbu 3x 2 - 10x + 3< 0.
Riješenje. Rastavimo kvadratni trinom 3x 2 - 10x + 3 na faktore. Korijeni trinoma su brojevi 3 i , pa korištenjem ax 2 + bx + c = a (x - x 1)(x - x 2), dobivamo 3x 2 - 10x + 3 = 3(x - 3) ( x - )
Označimo korijene tročlana na brojevnom pravcu: 3 i (slika 122).

Neka je x > 3; tada je x-3>0 i x->0, pa je stoga umnožak 3(x - 3)(x - ) pozitivan. Dalje, neka< х < 3; тогда x-3< 0, а х- >0. Stoga je umnožak 3(x-3)(x-) negativan. Konačno, neka je x<; тогда x-3< 0 и x- < 0. Но в таком случае произведение
3(x -3)(x -) je pozitivan.

Rezimirajući obrazloženje, dolazimo do zaključka: predznaci kvadratnog trinoma 3x 2 - 10x + 3 mijenjaju se kao što je prikazano na slici. 122. Zanima nas pri kojem x kvadratni trinom poprima negativne vrijednosti. Od sl. 122 zaključujemo: kvadratni trinom 3x 2 - 10x + 3 uzima negativne vrijednosti za bilo koju vrijednost x iz intervala (, 3)
Odgovor (, 3), odn< х < 3.

Komentar. Metoda razmišljanja koju smo koristili u primjeru 5 obično se naziva metoda intervala (ili metoda intervala). Aktivno se koristi u matematici za rješavanje racionalan nejednakosti U 9. razredu detaljnije ćemo proučavati intervalnu metodu.

Primjer 6. Na kojim je vrijednostima parametra p kvadratna jednadžba x 2 - 5x + p 2 = 0:
a) ima dva različita korijena;

b) ima jedan korijen;

c) nema korijena?

Riješenje. Broj korijena kvadratne jednadžbe ovisi o predznaku njezine diskriminante D. U ovom slučaju nalazimo D = 25 - 4p 2.

a) Kvadratna jednadžba ima dva različita korijena, ako je D>0, onda se problem svodi na rješavanje nejednadžbe 25 - 4r 2 > 0. Pomnožimo obje strane ove nejednadžbe s -1 (ne zaboravimo promijeniti predznak nejednakost). Dobivamo ekvivalentnu nejednadžbu 4p 2 - 25< 0. Далее имеем 4 (р - 2,5) (р + 2,5) < 0.

Predznaci izraza 4(p - 2,5) (p + 2,5) prikazani su na sl. 123.

Zaključujemo da je nejednadžba 4(p - 2,5)(p + 2,5)< 0 выполняется для всех значений р из интервала (-2,5; 2,5). Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет два различных корня.

b) kvadratna jednadžba ima jedan korijen ako je D - 0.
Kao što smo gore utvrdili, D = 0 pri p = 2,5 ili p = -2,5.

Za ove vrijednosti parametra p ova kvadratna jednadžba ima samo jedan korijen.

c) Kvadratna jednadžba nema korijena ako je D< 0. Решим неравенство 25 - 4р 2 < 0.

Dobivamo 4p 2 - 25 > 0; 4 (p-2,5)(p + 2,5)>0, odakle (vidi sl. 123) p< -2,5; р >2.5. Za ove vrijednosti parametra p, ova kvadratna jednadžba nema korijena.

Odgovor: a) na p (-2,5, 2,5);

b) pri p = 2,5 ili = -2,5;
c) na str< - 2,5 или р > 2,5.

Mordkovich A. G., Algebra. 8. razred: Udžbenik. za opće obrazovanje institucije - 3. izdanje, revidirano. - M.: Mnemosyne, 2001. - 223 str.: ilustr.

Pomoć za školarce online, Matematika za 8. razred preuzimanje, kalendarsko i tematsko planiranje

Što trebate znati o ikonama nejednakosti? Nejednakosti s ikonom više (> ), ili manje (< ) se zovu strog. Sa ikonama više ili jednako (≥ ), manje ili jednako (≤ ) se zovu nije stroga. Ikona nejednak (≠ ) stoji odvojeno, ali također morate stalno rješavati primjere s ovom ikonom. A mi ćemo odlučiti.)

Sama ikona nema puno utjecaja na proces rješenja. Ali na kraju odluke, pri odabiru konačnog odgovora, značenje ikone pojavljuje se u punoj snazi! To je ono što ćemo vidjeti u nastavku u primjerima. Ima tu nekih šala...

Nejednakosti, kao i jednakosti, postoje vjerni i nevjerni. Ovdje je sve jednostavno, bez trikova. Recimo 5 > 2 je prava nejednakost. 5 < 2 - netočno.

Ova priprema djeluje kod nejednakosti bilo koje vrste i jednostavno do užasa.) Trebate samo ispravno izvesti dvije (samo dvije!) elementarne radnje. Ove akcije su svima poznate. Ali, što je karakteristično, greške u tim radnjama su glavna greška u rješavanju nejednadžbi, da... Stoga se te radnje moraju ponavljati. Te se radnje nazivaju na sljedeći način:

Identične transformacije nejednadžbi.

Identične transformacije nejednadžbi vrlo su slične identičnim transformacijama jednadžbi. Zapravo, to je glavni problem. Razlike vam idu preko glave i... eto vam.) Stoga ću te razlike posebno istaknuti. Dakle, prva identična transformacija nejednakosti:

1. Isti broj ili izraz možemo dodati (oduzeti) objema stranama nejednadžbe. Bilo koje. Ovo neće promijeniti znak nejednakosti.

U praksi se ovo pravilo koristi kao prijenos članova s ​​lijeve strane nejednadžbe na desnu (i obrnuto) uz promjenu predznaka. S promjenom predznaka pojma, a ne nejednakosti! Pravilo jedan na jedan isto je kao pravilo za jednadžbe. Ali sljedeće identične transformacije u nejednadžbama bitno se razlikuju od onih u jednadžbama. Stoga ih ističem crvenom bojom:

2. Obje strane nejednadžbe mogu se pomnožiti (podijeliti) istom stvaripozitivanbroj. Za bilo kojepozitivan Neće se promijeniti.

3. Obje strane nejednadžbe mogu se pomnožiti (podijeliti) istom stvarinegativan broj. Za bilo kojenegativanbroj. Znak nejednakosti iz ovogapromijenit će se u suprotno.

Sjećate se (nadam se...) da se jednadžba može pomnožiti/podijeliti bilo čime. I za bilo koji broj, i za izraz sa X. Samo da nije nula. To ga čini, jednadžbu, ni vrućim ni hladnim.) Ne mijenja se. Ali nejednakosti su osjetljivije na množenje/dijeljenje.

Čist primjer za dugo pamćenje. Napišimo nejednakost koja ne izaziva sumnju:

5 > 2

Pomnožite obje strane s +3, dobivamo:

15 > 6

Ima li prigovora? Nema prigovora.) A ako obje strane izvorne nejednakosti pomnožimo s -3, dobivamo:

15 > -6

A ovo je čista laž.) Potpuna laž! Obmana naroda! Ali čim promijenite znak nejednakosti u suprotan, sve dolazi na svoje mjesto:

15 < -6

Ne kunem se samo zbog laži i prijevara.) "Zaboravio sam promijeniti znak jednakosti..."- Ovo Dom greška u rješavanju nejednadžbi. Ovo trivijalno i jednostavno pravilo povrijedilo je toliko ljudi! Što su zaboravili...) Dakle, psujem. Možda se sjetim...)

Osobito pažljivi će primijetiti da se nejednakost ne može množiti izrazom s X-om. Poštovanje onima koji su pažljivi!) Zašto ne? Odgovor je jednostavan. Ne znamo znak ovog izraza sa X. Može biti pozitivan, negativan... Dakle, ne znamo koji znak nejednakosti staviti nakon množenja. Trebam li ga promijeniti ili ne? Nepoznato. Naravno, ovo se ograničenje (zabrana množenja/dijeljenja nejednakosti izrazom s x) može zaobići. Ako ti stvarno treba. Ali ovo je tema za druge lekcije.

To su sve identične transformacije nejednakosti. Dopustite mi da vas još jednom podsjetim da oni rade za bilo koji nejednakosti Sada možete prijeći na određene vrste.

Linearne nejednadžbe. Rješenje, primjeri.

Linearne nejednadžbe su nejednadžbe u kojima je x na prvoj potenciji i nema dijeljenja s x. Tip:

x+3 > 5x-5

Kako se takve nejednakosti rješavaju? Vrlo ih je lako riješiti! Naime: uz pomoć smanjujemo najzbunjujuću linearnu nejednadžbu ravno do odgovora. To je rješenje. Istaknut ću glavne točke odluke. Da biste izbjegli glupe pogreške.)

Riješimo ovu nejednadžbu:

x+3 > 5x-5

Rješavamo je na potpuno isti način kao i linearnu jednadžbu. S jedinom razlikom:

Pažljivo pratimo znak nejednakosti!

Prvi korak je najčešći. S X-ovima - lijevo, bez X-ova - desno... Ovo je prva identična transformacija, jednostavna i bez problema.) Samo ne zaboravite promijeniti predznake prenesenih članova.

Znak nejednakosti ostaje:

x-5x > -5-3

Evo sličnih.

Znak nejednakosti ostaje:

4x > -8

Ostaje primijeniti posljednju identičnu transformaciju: obje strane podijeliti s -4.

Podijelite po negativan broj.

Znak nejednakosti će se promijeniti u suprotan:

x < 2

Ovo je odgovor.

Ovako se rješavaju sve linearne nejednadžbe.

Pažnja! Točka 2 nacrtana je bijelo, tj. neobojen. Prazan iznutra. To znači da ona nije uključena u odgovor! Namjerno sam je nacrtao tako zdravu. Takva točka (prazna, nije zdrava!)) u matematici se zove probušena točka.

Preostale brojeve na osi moguće je označiti, ali nije potrebno. Suvišni brojevi koji nisu povezani s našom nejednakošću mogu biti zbunjujući, da... Samo trebate zapamtiti da se brojevi povećavaju u smjeru strelice, tj. brojevi 3, 4, 5 itd. su nadesno su dvojke, a brojevi su 1, 0, -1, itd. - nalijevo.

Nejednakost x < 2 - strog. X je strogo manji od dva. Ako ste u nedoumici, provjera je jednostavna. Sumnjivi broj zamijenimo u nejednakost i pomislimo: "Dva je manje od dva? Ne, naravno!" Točno. Nejednakost 2 < 2 netočno. Uzvratna dvojka nije primjerena.

Je li jedan u redu? Sigurno. Manje... I nula je dobra, i -17, i 0,34... Da, svi brojevi manji od dva su dobri! I to čak 1,9999.... Makar malo, ali manje!

Dakle, označimo sve ove brojeve na brojevnoj osi. Kako? Ovdje postoje opcije. Prva opcija je sjenčanje. Prijeđemo mišem preko slike (ili dodirnemo sliku na tabletu) i vidimo da je područje svih x-ova koji zadovoljavaju uvjet x osjenčano < 2 . To je sve.

Pogledajmo drugu opciju koristeći drugi primjer:

x ≥ -0,5

Nacrtaj os i označi broj -0,5. Kao ovo:

Primjećujete razliku?) Pa, da, teško je ne primijetiti ... Ova točka je crna! Prefarbano. To znači -0,5 uključeno je u odgovor. Ovdje, usput, provjera može nekoga zbuniti. Zamijenimo:

-0,5 ≥ -0,5

Kako to? -0,5 nije više od -0,5! Ima još ikona...

U redu je. U slaboj nejednakosti prikladno je sve što odgovara ikoni. I jednaki dobro i više dobro. Stoga je -0,5 uključeno u odgovor.

Dakle, na osi smo označili -0,5, ostalo je označiti sve brojeve koji su veći od -0,5. Ovaj put označavam područje odgovarajućih x vrijednosti nakloniti se(od riječi luk), umjesto sjenčanja. Lebdimo kursorom iznad crteža i vidimo ovaj luk.

Nema posebne razlike između sjenčanja i krakova. Učini kako učitelj kaže. Ako nema učitelja, nacrtajte lukove. U složenijim zadacima sjenčanje je manje vidljivo. Možete se zbuniti.

Ovako se crtaju linearne nejednadžbe na osi. Prijeđimo na sljedeću značajku nejednakosti.

Zapisivanje odgovora za nejednadžbe.

Jednadžbe su bile dobre.) Pronašli smo x i zapisali odgovor, na primjer: x=3. Postoje dva načina upisivanja odgovora u nejednačine. Jedan je u obliku konačne nejednakosti. Dobro za jednostavne slučajeve. Na primjer:

x< 2.

Ovo je potpun odgovor.

Ponekad morate zapisati istu stvar, ali u drugom obliku, u brojčanim intervalima. Tada snimka počinje izgledati vrlo znanstveno):

x ∈ (-∞; 2)

Ispod ikone ∈ riječ je skrivena "pripada".

Unos glasi ovako: x pripada intervalu od minus beskonačno do dva ne uključujući. Sasvim logično. X može biti bilo koji broj od svih mogućih brojeva od minus beskonačno do dva. Ne može postojati dvostruko X, što nam riječ govori "ne uključujući".

A gdje je u odgovoru jasno da "ne uključujući"? Ova činjenica je navedena u odgovoru krug zagrada odmah iza dva. Da su to dvoje uključeni, zagrada bi bila kvadrat. Kao ova: ]. Sljedeći primjer koristi takvu zagradu.

Zapišimo odgovor: x ≥ -0,5 u intervalima:

x ∈ [-0,5; +∞)

glasi: x pripada intervalu od minus 0,5, uključujući, do plus beskonačno.

Infinity se nikada ne može uključiti. To nije broj, to je simbol. Stoga je u takvim zapisima beskonačnost uvijek uz zagradu.

Ovaj oblik bilježenja pogodan je za složene odgovore koji se sastoje od više razmaka. Ali – samo za konačne odgovore. U međurezultatima, gdje se očekuje daljnje rješenje, bolje je koristiti uobičajeni oblik, u obliku jednostavne nejednadžbe. O tome ćemo se pozabaviti u relevantnim temama.

Popularni zadaci s nejednakostima.

Same linearne nejednadžbe su jednostavne. Stoga zadaci često postaju teži. Trebalo je dakle razmisliti. Ovo, ako niste navikli, nije baš ugodno.) Ali je korisno. Pokazat ću primjere takvih zadataka. Nije da ih ti učiš, nepotrebno je. I da se ne bi bojali pri susretu s takvim primjerima. Samo malo razmislite - i jednostavno je!)

1. Pronađite bilo koja dva rješenja nejednadžbe 3x - 3< 0

Ako nije baš jasno što učiniti, sjetite se glavnog pravila matematike:

Ako ne znate što trebate, učinite što možete!)

x < 1

I što? Ništa posebno. Što nas pitaju? Od nas se traži da pronađemo dva konkretna broja koji su rješenje nejednadžbe. Oni. odgovarati odgovoru. Dva bilo koji brojevima. Zapravo, ovo je zbunjujuće.) Nekoliko 0 i 0,5 su prikladni. Par -3 i -8. Beskonačno je mnogo tih parova! Koji je odgovor točan?!

Odgovaram: sve! Bilo koji par brojeva, od kojih je svaki manji od jedan, bit će točan odgovor. Napiši koju želiš. Idemo dalje.

2. Riješite nejednadžbu:

4x - 3 ≠ 0

Zadaci u ovom obliku su rijetki. No, kao pomoćne nejednakosti, kod nalaženja ODZ, na primjer, ili kod nalaženja domene definicije funkcije, pojavljuju se stalno. Takva linearna nejednadžba može se riješiti kao obična linearna jednadžba. Samo svugdje osim znaka "=" ( jednaki) stavi znak " ≠ " (nejednak). Ovako pristupate odgovoru, sa znakom nejednakosti:

x ≠ 0,75

U više složeni primjeri, bolje je raditi stvari drugačije. Od jednakosti napraviti nejednakost. Kao ovo:

4x - 3 = 0

Mirno ga riješite kako je naučeno i dobijte odgovor:

x = 0,75

Najvažnije je, na samom kraju, kada zapisujete konačni odgovor, ne zaboravite da smo pronašli x, što daje jednakost. I trebamo - nejednakost. Stoga nam zapravo ne treba ovaj X.) I moramo ga zapisati ispravnim simbolom:

x ≠ 0,75

Ovaj pristup dovodi do manje grešaka. Oni koji automatski rješavaju jednadžbe. A za one koji ne rješavaju jednadžbe, nejednakosti, zapravo, ničemu ne služe...) Još jedan primjer popularnog zadatka:

3. Pronađite najmanje cjelobrojno rješenje nejednadžbe:

3(x - 1) < 5x + 9

Prvo jednostavno riješimo nejednadžbu. Otvaramo zagrade, premještamo ih, donosimo slične... Dobivamo:

x > - 6

Zar nije tako ispalo!? Jeste li pratili znakove!? I iza znakova članova, i iza znaka nejednakosti...

Razmislimo još jednom. Moramo pronaći određeni broj koji odgovara i odgovoru i uvjetu "najmanji cijeli broj". Ako vam ne sine odmah, možete uzeti bilo koji broj i smisliti ga. Dva na minus šest? Sigurno! Postoji li odgovarajući manji broj? Naravno. Na primjer, nula je veća od -6. I još manje? Treba nam najmanja moguća stvar! Minus tri je više od minus šest! Već možete uhvatiti obrazac i prestati glupo prolaziti kroz brojeve, zar ne?)

Uzmimo broj bliži -6. Na primjer, -5. Odgovor je ispunjen, -5 > - 6. Je li moguće pronaći neki drugi broj manji od -5, ali veći od -6? Možete, na primjer, -5,5... Stanite! Rečeno nam je cijeli riješenje! Ne kotrlja -5,5! Što je s minus šest? Uh-uh! Nejednakost je stroga, minus 6 ni na koji način nije manji od minus 6!

Dakle, točan odgovor je -5.

Nadamo se s izborom vrijednosti iz opće rješenje sve jasno. Još jedan primjer:

4. Riješite nejednadžbu:

7 < 3x+1 < 13

Wow! Ovaj izraz se zove trostruka nejednakost. Strogo govoreći, ovo je skraćeni oblik sustava nejednakosti. Ali takve trostruke nejednadžbe ipak treba rješavati u nekim zadacima... Može se to riješiti i bez ikakvih sustava. Prema istim identičnim transformacijama.

Moramo pojednostaviti, ovu nejednakost dovesti do čistog X. Ali... Što bi trebalo kamo preseliti?! Ovdje je vrijeme da zapamtite da je kretanje lijevo i desno kratki oblik prva transformacija identiteta.

A cijela forma zvuči ovako: Bilo koji broj ili izraz može se dodati/oduzeti objema stranama jednadžbe (nejednakosti).

Ovdje postoje tri dijela. Dakle, primijenit ćemo identične transformacije na sva tri dijela!

Dakle, riješimo se onoga u srednjem dijelu nejednakosti. Oduzmimo jedan od cijelog središnjeg dijela. Da se nejednadžba ne mijenja, od preostala dva dijela oduzimamo jedan. Kao ovo:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

To je bolje, zar ne?) Ostaje samo podijeliti sva tri dijela na tri:

2 < x < 4

To je sve. Ovo je odgovor. X može biti bilo koji broj od dva (ne uključujući) do četiri (ne uključujući). Ovaj se odgovor također piše u intervalima; takvi će unosi biti u kvadratnim nejednadžbama. Tamo su najčešća stvar.

Na kraju lekcije ponovit ću ono najvažnije. Uspjeh u rješavanju linearnih nejednadžbi ovisi o sposobnosti transformacije i pojednostavljenja linearnih jednadžbi. Ako u isto vrijeme pazi na znak nejednakosti, neće biti nikakvih problema. To je ono što ti želim. Nema problema.)

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učimo - sa zanimanjem!)

Možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.

Danas, prijatelji, neće biti šmrcanja i sentimentalnosti. Umjesto toga, poslat ću vas, bez pitanja, u bitku s jednim od najstrašnijih protivnika u tečaju algebre od 8. do 9. razreda.

Da, sve ste dobro razumjeli: govorimo o nejednadžbama s modulom. Pogledat ćemo četiri osnovne tehnike s kojima ćete naučiti riješiti oko 90% takvih problema. Što je s preostalih 10%? Pa, o njima ćemo govoriti u zasebnoj lekciji. :)

Međutim, prije nego što analiziram bilo koju od tehnika, želio bih vas podsjetiti na dvije činjenice koje već morate znati. Inače riskirate da uopće ne razumijete gradivo današnje lekcije.

Ono što već trebate znati

Čini se da Captain Obviousness daje naslutiti da za rješavanje nejednakosti s modulom trebate znati dvije stvari:

1. Kako se rješavaju nejednakosti;
2. Što je modul?

Počnimo s drugom točkom.

Definicija modula

Ovdje je sve jednostavno. Postoje dvije definicije: algebarska i grafička. Za početak - algebarski:

Definicija. Modul broja $x$ je ili sam broj, ako je nenegativan, ili broj nasuprot njemu, ako je izvorni $x$ još uvijek negativan.

Napisano je ovako:

\[\lijevo| x \desno|=\lijevo\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \desno.\]

govoreći jednostavnim jezikom, modul je “broj bez minusa”. I upravo u toj dvojnosti (na nekim mjestima ne morate ništa učiniti s izvornim brojem, ali na drugim morate ukloniti neku vrstu minusa) leži sva poteškoća za studente početnike.

Postoji i geometrijska definicija. Također je korisno znati, ali ćemo se tome obratiti samo u složenim i nekim posebnim slučajevima, gdje je geometrijski pristup prikladniji od algebarskog (spojler: ne danas).

Definicija. Neka je na brojevnom pravcu označena točka $a$. Zatim modul $\lijevo| x-a \right|$ je udaljenost od točke $x$ do točke $a$ na ovoj liniji.

Ako nacrtate sliku, dobit ćete nešto poput ovoga:

Definicija grafičkog modula

Na ovaj ili onaj način, iz definicije modula odmah slijedi njegovo ključno svojstvo: modul broja uvijek je nenegativna veličina. Ova će činjenica biti crvena nit koja će se provlačiti kroz cijelu našu današnju pripovijest.

Rješavanje nejednadžbi. Metoda intervala

Sada pogledajmo nejednakosti. Ima ih jako puno, ali naš je zadatak sada riješiti barem najjednostavniji od njih. One koje se svode na linearne nejednadžbe, kao i na metodu intervala.

Imam dvije velike lekcije o ovoj temi (usput, vrlo, JAKO korisne - preporučujem da ih proučite):

1. Metoda intervala za nejednakosti (posebno pogledajte video);
2. Razlomačke racionalne nejednakosti je vrlo opširna lekcija, ali nakon nje nećete imati nikakva pitanja.

Ako sve ovo znate, ako fraza "prijeđimo s nejednakosti na jednadžbu" ne budi u vama nejasnu želju da se udarite u zid, onda ste spremni: dobrodošli u pakao na glavnu temu lekcije. :)

1. Nejednadžbe oblika “Modul je manji od funkcije”

Ovo je jedan od najčešćih problema s modulima. Potrebno je riješiti nejednadžbu oblika:

\[\lijevo| f\desno| \ltg\]

Funkcije $f$ i $g$ mogu biti bilo što, ali obično su polinomi. Primjeri takvih nejednakosti:

\[\begin(align) & \left| 2x+3 \desno| \lt x+7; \\ & \lijevo| ((x)^(2))+2x-3 \desno|+3\lijevo(x+1 \desno) \lt 0; \\ & \lijevo| ((x)^(2))-2\lijevo| x \desno|-3 \desno| \lt 2. \\\end(align)\]

Sve ih se može riješiti doslovno u jednom retku prema sljedećoj shemi:

\[\lijevo| f\desno| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \točno točno)\]

Lako je vidjeti da se rješavamo modula, ali zauzvrat dobivamo dvostruku nejednadžbu (ili, što je isto, sustav dviju nejednadžbi). Ali ovaj prijelaz uzima u obzir apsolutno sve moguće probleme: ako je broj ispod modula pozitivan, metoda radi; ako je negativan, i dalje radi; čak i s najneprikladnijom funkcijom umjesto $f$ ili $g$, metoda će i dalje raditi.

Naravno, postavlja se pitanje: zar ne može jednostavnije? Nažalost, nije moguće. To je cijela poanta modula.

No, dosta s filozofiranjem. Riješimo par problema:

Zadatak. Riješite nejednadžbu:

\[\lijevo| 2x+3 \desno| \lt x+7\]

Riješenje. Dakle, pred nama je klasična nejednakost oblika "modul je manji" - čak se nema što transformirati. Radimo prema algoritmu:

\[\begin(align) & \left| f\desno| \lt g\desna strelica -g \lt f \lt g; \\ & \lijevo| 2x+3 \desno| \lt x+7\desna strelica -\lijevo(x+7 \desno) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

Nemojte žuriti s otvaranjem zagrada ispred kojih stoji "minus": vrlo je moguće da ćete zbog svoje žurbe napraviti uvredljivu pogrešku.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\lijevo\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \desno.\]

\[\lijevo\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \desno.\]

\[\lijevo\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \desno.\]

Problem se sveo na dvije elementarne nejednakosti. Zabilježimo njihova rješenja na paralelnim brojevnim pravcima:

Sjecište mnogih

Presjek ovih skupova bit će odgovor.

Odgovor: $x\in \lijevo(-\frac(10)(3);4 \desno)$

Zadatak. Riješite nejednadžbu:

\[\lijevo| ((x)^(2))+2x-3 \desno|+3\lijevo(x+1 \desno) \lt 0\]

Riješenje. Ovaj zadatak je malo teži. Prvo, izolirajmo modul pomicanjem drugog člana udesno:

\[\lijevo| ((x)^(2))+2x-3 \desno| \lt -3\lijevo(x+1 \desno)\]

Očito opet imamo nejednakost oblika “modul je manji” pa se modula rješavamo već poznatim algoritmom:

\[-\lijevo(-3\lijevo(x+1 \desno) \desno) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\lijevo(x+1 \desno)\]

Sad pozor: netko će reći da sam malo perverznjak sa svim tim zagradama. No, podsjetit ću vas još jednom da je naš ključni cilj točno riješiti nejednadžbu i dobiti odgovor. Kasnije, kada savršeno savladate sve što je opisano u ovoj lekciji, možete sami izvrtati kako želite: otvarati zagrade, dodavati minuse itd.

Za početak, jednostavno ćemo se riješiti dvostrukog minusa s lijeve strane:

\[-\lijevo(-3\lijevo(x+1 \desno) \desno)=\lijevo(-1 \desno)\cdot \lijevo(-3 \desno)\cdot \lijevo(x+1 \desno) =3\lijevo(x+1 \desno)\]

Sada otvorimo sve zagrade u dvostrukoj nejednakosti:

Prijeđimo na dvostruku nejednadžbu. Ovaj put će računice biti ozbiljnije:

\[\lijevo\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \desno.\]

\[\lijevo\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( poravnati)\desno.\]

Obje nejednadžbe su kvadratne i mogu se riješiti metodom intervala (zato kažem: ako ne znate što je to, bolje je da još ne preuzimate module). Prijeđimo na jednadžbu u prvoj nejednadžbi:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\lijevo(x+5 \desno)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(align)\]

Kao što vidite, izlaz je nepotpuna kvadratna jednadžba, koja se može riješiti na elementaran način. Pogledajmo sada drugu nejednadžbu sustava. Tamo ćete morati primijeniti Vietin teorem:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \lijevo(x-3 \desno)\lijevo(x+2 \desno)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(align)\]

Dobivene brojeve označavamo na dvije paralelne crte (odvojeno za prvu nejednadžbu i odvojeno za drugu):

Opet, budući da rješavamo sustav nejednadžbi, zanima nas presjek osjenčanih skupova: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Ovo je odgovor.

Odgovor: $x\in \lijevo(-5;-2 \desno)$

Mislim da je nakon ovih primjera shema rješenja vrlo jasna:

1. Izolirajte modul pomicanjem svih ostalih članova na suprotnu stranu nejednakosti. Tako dobivamo nejednakost oblika $\left| f\desno| \ltg$.
2. Riješite ovu nejednadžbu tako da se riješite modula prema gore opisanoj shemi. U jednom trenutku bit će potrebno prijeći s dvostruke nejednakosti na sustav od dva neovisna izraza od kojih se svaki već može zasebno riješiti.
3. Na kraju, ostaje samo presjeći rješenja ova dva nezavisna izraza - i to je to, dobit ćemo konačan odgovor.

Sličan algoritam postoji za nejednakosti sljedećeg tipa, kada je modul veći od funkcije. Međutim, postoji nekoliko ozbiljnih "ali". Sada ćemo razgovarati o ovim "ali".

2. Nejednadžbe oblika “Modul je veći od funkcije”

Izgledaju ovako:

\[\lijevo| f\desno| \gtg\]

Slično prethodnom? Čini se. A ipak se takvi problemi rješavaju na potpuno drugačiji način. Formalno, shema je sljedeća:

\[\lijevo| f\desno| \gt g\Rightarrow \lijevo[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \desno.\]

Drugim riječima, razmatramo dva slučaja:

1. Prvo, jednostavno zanemarimo modul i riješimo uobičajenu nejednadžbu;
2. Zatim, u biti, proširimo modul s predznakom minus, a zatim pomnožimo obje strane nejednadžbe s −1, dok imam predznak.

U ovom slučaju opcije se kombiniraju s uglatom zagradom, tj. Pred sobom imamo kombinaciju dva zahtjeva.

Napominjemo još jednom: ovo nije sustav, nego ukupnost, dakle u odgovoru se skupovi kombiniraju, a ne sijeku. To je temeljna razlika u odnosu na prethodnu točku!

Općenito, mnogi studenti potpuno su zbunjeni sindikatima i raskrižjima, pa riješimo ovo pitanje jednom zauvijek:

• "∪" je znak unije. U biti, ovo je stilizirano slovo "U" koje nam je došlo iz na engleskom i skraćenica je za “Union”, tj. "Udruge".
• "∩" je znak raskrižja. Ovo sranje nije došlo niotkuda, nego se jednostavno pojavilo kao kontrapunkt "∪".

Da biste još lakše zapamtili, samo nacrtajte noge ovim znakovima da napravite naočale (samo me nemojte sad optuživati ​​da promičem ovisnost o drogama i alkoholizam: ako ozbiljno učite ovu lekciju, onda ste već narkoman):

Razlika između presjeka i unije skupova

Prevedeno na ruski, to znači sljedeće: unija (ukupnost) uključuje elemente iz oba skupa, stoga ni na koji način nije manja od svake od njih; ali sjecište (sustav) uključuje samo one elemente koji su istovremeno i u prvom i u drugom skupu. Stoga sjecište skupova nikada nije veće od izvornih skupova.

Tako je postalo jasnije? To je odlično. Prijeđimo na praksu.

Zadatak. Riješite nejednadžbu:

\[\lijevo| 3x+1 \desno| \gt 5-4x\]

Riješenje. Nastavljamo prema shemi:

\[\lijevo| 3x+1 \desno| \gt 5-4x\desna strelica \lijevo[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\lijevo(5-4x \desno) \\\end(align) \ pravo.\]

Rješavamo svaku nejednakost u populaciji:

\[\lijevo[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \desno.\]

\[\lijevo[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \desno.\]

\[\lijevo[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \desno.\]

Svaki dobiveni skup označimo na brojevnoj crti, a zatim ih kombiniramo:

Unija skupova

Sasvim je očito da će odgovor biti $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Odgovor: $x\in \lijevo(\frac(4)(7);+\infty \desno)$

Zadatak. Riješite nejednadžbu:

\[\lijevo| ((x)^(2))+2x-3 \desno| \gt x\]

Riješenje. Dobro? Ništa - sve je isto. Prelazimo s nejednadžbe s modulom na skup od dvije nejednadžbe:

\[\lijevo| ((x)^(2))+2x-3 \desno| \gt x\desna strelica \lijevo[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(align) \desno.\]

Rješavamo svaku nejednačinu. Nažalost, korijeni tamo neće biti baš dobri:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(align)\]

Druga nejednakost je također pomalo divlja:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(align)\]

Sada trebate označiti ove brojeve na dvije osi - po jednu os za svaku nejednadžbu. Međutim, trebate označiti točke ispravnim redoslijedom: što je veći broj, to se točka više pomiče udesno.

I tu nas čeka namještaljka. Ako je sve jasno s brojevima $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (članovi u brojniku prvog razlomak manji od članova u brojniku drugog, pa je i zbroj manji), s brojevima $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ također neće biti poteškoća (pozitivan broj očito više negativan), onda s posljednjim parom sve nije tako jasno. Što je veće: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ ili $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? O odgovoru na ovo pitanje ovisit će raspored točaka na brojevnim pravcima i, zapravo, odgovor.

Pa usporedimo:

\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrica)\]

Izolirali smo korijen, dobili nenegativne brojeve na obje strane nejednadžbe, pa imamo pravo kvadrirati obje strane:

\[\begin(matrix) ((\lijevo(2+\sqrt(13) \desno))^(2))\vee ((\lijevo(\sqrt(21) \desno))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrix)\]

Mislim da nije pametno da $4\sqrt(13) \gt 3$, dakle $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, konačne točke na osi bit će postavljene ovako:

Slučaj ružnih korijena

Dopustite da vas podsjetim da rješavamo skup, tako da će odgovor biti unija, a ne presjek osjenčanih skupova.

Odgovor: $x\in \lijevo(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \desno)\bigcup \lijevo(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

Kao što vidite, naša shema radi izvrsno i za jednostavne i za vrlo teške probleme. Jedina "slaba točka" u ovom pristupu je da morate ispravno usporediti iracionalne brojeve (a vjerujte mi: to nisu samo korijeni). Ali posebna (i vrlo ozbiljna) lekcija bit će posvećena pitanjima usporedbe. I idemo dalje.

3. Nejednakosti s nenegativnim “repovima”

Sada dolazimo do najzanimljivijeg dijela. To su nejednakosti oblika:

\[\lijevo| f\desno| \gt\lijevo| g\desno|\]

Općenito govoreći, algoritam o kojem ćemo sada govoriti ispravan je samo za modul. Radi u svim nejednakostima gdje postoje zajamčeni nenegativni izrazi s lijeve i desne strane:

Što učiniti s tim zadacima? Samo zapamti:

U nejednadžbama s nenegativnim "repovima" obje se strane mogu podići na bilo koju prirodnu potenciju. Neće biti dodatnih ograničenja.

Prije svega, zanimat će nas kvadriranje - spaljuje module i korijene:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\lijevo(\sqrt(f) \desno))^(2))=f. \\\end(align)\]

Samo nemojte ovo brkati s vađenjem korijena iz kvadrata:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\lijevo| f \desno|\ne f\]

Bezbrojne greške su napravljene kada je student zaboravio instalirati modul! Ali ovo je sasvim druga priča (to su, takoreći, iracionalne jednadžbe), pa nećemo sada ulaziti u to. Riješimo bolje nekoliko problema:

Zadatak. Riješite nejednadžbu:

\[\lijevo| x+2 \desno|\ge \lijevo| 1-2x \desno|\]

Riješenje. Odmah primijetimo dvije stvari:

1. Ovo nije stroga nejednakost. Točke na brojevnom pravcu bit će izbušene.
2. Obje strane nejednakosti su očito nenegativne (ovo je svojstvo modula: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Stoga možemo kvadrirati obje strane nejednadžbe kako bismo se riješili modula i riješili problem koristeći uobičajenu metodu intervala:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\lijevo(x+2 \desno))^(2))\ge ((\lijevo(2x-1 \desno))^(2)). \\\end(align)\]

U zadnjem koraku sam malo varao: promijenio sam redoslijed članova, koristeći prednost parnosti modula (zapravo, pomnožio sam izraz $1-2x$ s −1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \lijevo(\lijevo(2x-1 \desno)-\lijevo(x+2 \desno) \desno)\cdot \lijevo(\lijevo(2x-1 \desno)+\lijevo(x+2 \ desno)\desno)\le 0; \\ & \lijevo(2x-1-x-2 \desno)\cdot \lijevo(2x-1+x+2 \desno)\le 0; \\ & \lijevo(x-3 \desno)\cdot \lijevo(3x+1 \desno)\le 0. \\\end(align)\]

Rješavamo metodom intervala. Prijeđimo s nejednakosti na jednadžbu:

\[\begin(align) & \left(x-3 \desno)\lijevo(3x+1 \desno)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(align)\]

Pronađene korijene označavamo na brojevnoj crti. Još jednom: sve su točke osjenčane jer izvorna nejednakost nije stroga!

Uklanjanje znaka modula

Podsjećam za one posebno tvrdoglave: predznake uzimamo iz posljednje nejednadžbe, koja je zapisana prije nego što smo prešli na jednadžbu. I bojimo površine potrebne u istoj nejednadžbi. U našem slučaju to je $\lijevo(x-3 \desno)\lijevo(3x+1 \desno)\le 0$.

OK, sada je sve gotovo. Problem je riješen.

Odgovor: $x\in \lijevo[ -\frac(1)(3);3 \desno]$.

Zadatak. Riješite nejednadžbu:

\[\lijevo| ((x)^(2))+x+1 \desno|\le \lijevo| ((x)^(2))+3x+4 \desno|\]

Riješenje. Sve radimo isto. Neću komentirati - samo pogledajte slijed radnji.

Kvadratirajte:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left | ((x)^(2))+3x+4 \desno| \desno))^(2)); \\ & ((\lijevo(((x)^(2))+x+1 \desno))^(2))\le ((\lijevo(((x)^(2))+3x+4 \desno))^(2)); \\ & ((\lijevo(((x)^(2))+x+1 \desno))^(2))-((\lijevo(((x)^(2))+3x+4 \ desno))^(2))\le 0; \\ & \lijevo(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \desno)\times \\ & \times \lijevo(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \desno)\le 0; \\ & \lijevo(-2x-3 \desno)\lijevo(2((x)^(2))+4x+5 \desno)\le 0. \\\end(align)\]

Metoda intervala:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Desna strelica x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Desna strelica D=16-40 \lt 0\Desna strelica \varništa . \\\end(align)\]

Postoji samo jedan korijen na brojevnoj pravoj:

Odgovor je cijeli interval

Odgovor: $x\u \lijevo[ -1,5;+\infty \desno)$.

Mala napomena o zadnjem zadatku. Kao što je jedan od mojih učenika točno primijetio, oba submodularna izraza u ovoj nejednakosti su očito pozitivna, tako da se znak modula može izostaviti bez štete po zdravlje.

Ali to je sasvim druga razina razmišljanja i drugačiji pristup – to se uvjetno može nazvati metodom posljedica. O tome - u zasebnoj lekciji. Sada prijeđimo na završni dio današnje lekcije i pogledajmo univerzalni algoritam koji uvijek radi. Čak i kada su svi prethodni pristupi bili nemoćni. :)

4. Metoda nabrajanja opcija

Što ako sve ove tehnike ne pomognu? Ako se nejednakost ne može svesti na nenegativne repove, ako je nemoguće izolirati modul, ako općenito postoji bol, tuga, melankolija?

Tada na scenu stupa "teška artiljerija" cijele matematike - metoda grube sile. U odnosu na nejednadžbe s modulom to izgleda ovako:

1. Napišite sve submodularne izraze i postavite ih na nulu;
2. Riješite dobivene jednadžbe i označite pronađene korijene na jednom brojevnom pravcu;
3. Ravna linija bit će podijeljena u nekoliko dijelova, unutar kojih svaki modul ima fiksni znak i stoga se jedinstveno otkriva;
4. Riješite nejednadžbu na svakom takvom odjeljku (možete zasebno razmotriti granice korijena dobivene u koraku 2 - za pouzdanost). Kombinirajte rezultate - to će biti odgovor. :)

Pa kako? Slab? Lako! Samo na duže vrijeme. Da vidimo u praksi:

Zadatak. Riješite nejednadžbu:

\[\lijevo| x+2 \desno| \lt \lijevo| x-1 \desno|+x-\frac(3)(2)\]

Riješenje. Ovo sranje se ne svodi na nejednakosti poput $\left| f\desno| \lt g$, $\lijevo| f\desno| \gt g$ ili $\lijevo| f\desno| \lt \lijevo| g \right|$, tako da djelujemo unaprijed.

Zapisujemo submodularne izraze, izjednačavamo ih s nulom i nalazimo korijene:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\desna strelica x=1. \\\end(align)\]

Ukupno imamo dva korijena koji brojevnu liniju dijele na tri dijela, unutar kojih se svaki modul otkriva jedinstveno:

Rastavljanje brojevnog pravca nulama submodularnih funkcija

Pogledajmo svaki odjeljak zasebno.

1. Neka je $x \lt -2$. Tada su oba submodularna izraza negativna, a izvorna nejednakost će se prepisati na sljedeći način:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \desno) \lt -\lijevo(x-1 \desno)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1,5 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align)\]

Imamo prilično jednostavno ograničenje. Presjecimo ga s početnom pretpostavkom da je $x \lt -2$:

\[\lijevo\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Očito je da varijabla $x$ ne može istovremeno biti manja od −2 i veća od 1,5. U ovoj oblasti nema rješenja.

1.1. Razmotrimo odvojeno granični slučaj: $x=-2$. Zamijenimo ovaj broj u izvornu nejednakost i provjerimo: je li to točno?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \lijevo| -3\desno|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\desna strelica \varništa . \\\end(align)\]

Očito je da nas je lanac izračuna doveo do netočne nejednakosti. Stoga je izvorna nejednakost također netočna, a $x=-2$ nije uključeno u odgovor.

2. Neka je sada $-2 \lt x \lt 1$. Lijevi modul će se već otvoriti s "plusom", ali desni će se i dalje otvoriti s "minusom". Imamo:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\lijevo(x-1 \desno)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(align)\]

Opet se križamo s izvornim zahtjevom:

\[\lijevo\( \begin(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

I opet, skup rješenja je prazan, jer ne postoje brojevi koji su manji od −2,5 i veći od −2.

2.1. I opet poseban slučaj: $x=1$. Zamjenjujemo u izvornu nejednakost:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \lijevo| 3\desno| \lt \lijevo| 0\desno|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0.5\desna strelica \varništa . \\\end(align)\]

Slično prethodnom “posebnom slučaju”, broj $x=1$ očito nije uključen u odgovor.

3. Posljednji dio retka: $x \gt 1$. Ovdje se svi moduli otvaraju znakom plus:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

I opet siječemo pronađeni skup s originalnim ograničenjem:

\[\lijevo\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]

Konačno! Pronašli smo interval koji će biti odgovor.

Odgovor: $x\u \lijevo(4,5;+\infty \desno)$

Za kraj, jedna napomena koja vas može spasiti od glupih pogrešaka pri rješavanju stvarnih problema:

Rješenja nejednadžbi s modulima obično predstavljaju kontinuirane skupove na brojevnom pravcu - intervale i segmente. Izolirane točke su mnogo rjeđe. A još rjeđe se događa da se granica rješenja (kraj segmenta) podudara s granicom raspona koji se razmatra.

Posljedično, ako granice (isti “posebni slučajevi”) nisu uključene u odgovor, tada područja lijevo i desno od tih granica gotovo sigurno neće biti uključena u odgovor. I obrnuto: granica je ušla u odgovor, što znači da će neka područja oko nje također biti odgovori.

Imajte to na umu kada pregledavate svoja rješenja.

Zdravo! Dragi moji studenti, u ovom ćemo članku naučiti kako riješiti eksponencijalne nejednadžbe .

Koliko god vam se eksponencijalna nejednadžba činila kompliciranom, nakon nekih transformacija (o njima ćemo malo kasnije) sve nejednadžbe svode se na rješavanje najjednostavnijih eksponencijalnih nejednadžbi:

a x > b, a x< b I a x ≥ b, a x ≤ b.

Pokušajmo otkriti kako se takve nejednakosti rješavaju.

Potražit ćemo rješenje stroge nejednakosti. Jedina razlika kod rješavanja nestriktnih nejednakosti je da su dobiveni odgovarajući korijeni uključeni u odgovor.

Pretpostavimo da trebamo riješiti nejednadžbu oblika i f (x) > b, Gdje a>1 I b>0.

Pogledajte dijagram za rješavanje takvih nejednakosti (slika 1):

Sada pogledajmo konkretan primjer. Riješite nejednadžbu: 5 x – 1 > 125.

Budući da je 5 > 1 i 125 > 0, dakle
x – 1 > log 5 125, tj
x – 1 > 3,
x > 4.

Odgovor: (4; +∞) .

Što će biti rješenje te iste nejednakosti? i f (x) >b, Ako 0 I b>0?

Dakle, dijagram na slici 2

Primjer: Riješite nejednadžbu (1/2) 2x - 2 ≥ 4

Primjenom pravila (slika 2) dobivamo
2h – 2 ≤ log 1/2 4,
2h – 2 ≤ –2,
2x ≤ 0,
x ≤ 0.

Odgovor: (–∞; 0] .

Pogledajmo opet istu nejednakost i f (x) > b, Ako a>0 I b<0 .

Dakle, dijagram na slici 3:

Primjer rješavanja nejednadžbe (1/3) x + 2 > –9. Kao što smo primijetili, bez obzira koji broj zamijenimo za x, (1/3) x + 2 je uvijek veće od nule.

Odgovor: (–∞; +∞) .

Kako se rješavaju nejednadžbe oblika? i f(x)< b , Gdje a>1 I b>0?

Dijagram na slici 4:

I sljedeći primjer: 3 3 – x ≥ 8.
Budući da je 3 > 1 i 8 > 0, dakle
3 – x > log 3 8, tj
–x > log 3 8 – 3,
x< 3 – log 3 8.

Odgovor: (0; 3–log 3 8) .

Kako se može promijeniti rješenje nejednadžbe? i f(x)< b , na 0 I b>0?

Dijagram na slici 5:

I sljedeći primjer: Riješite nejednadžbu 0,6 2x – 3< 0,36 .

Prateći dijagram na slici 5, dobivamo
2x – 3 > log 0,6 0,36,
2h – 3 > 2,
2x > 5,
x > 2,5

Odgovor: (2,5; +∞) .

Razmotrimo posljednju shemu za rješavanje nejednadžbe oblika i f(x)< b , na a>0 I b<0 , prikazan na slici 6:

Na primjer, riješimo nejednadžbu:

Napominjemo da bez obzira koji broj zamijenimo x, lijeva strana nejednakosti je uvijek veća od nule, au našem slučaju ovaj izraz je manji od -8, tj. i nula, što znači da nema rješenja.

Odgovor: nema rješenja.

Znajući kako riješiti najjednostavnije eksponencijalne nejednakosti, možete nastaviti rješavanje eksponencijalnih nejednadžbi.

Primjer 1.

Pronađite najveću cjelobrojnu vrijednost x koja zadovoljava nejednadžbu

Budući da je 6 x veće od nule (ni pri jednom x nazivnik ne ide na nulu), množenjem obje strane nejednakosti sa 6 x, dobivamo:

440 – 2 6 2x > 8, dakle
– 2 6 2x > 8 – 440,
– 2 6 2h > – 332,
6 2x< 216,
2x< 3,

x< 1,5. Наибольшее целое число из помежутка (–∞; 1,5) это число 1.

Odgovor: 1.

Primjer 2.

Riješite nejednadžbu 2 2 x – 3 2 x + 2 ≤ 0

Označimo 2 x s y, dobijemo nejednadžbu y 2 – 3y + 2 ≤ 0 i riješimo tu kvadratnu nejednadžbu.

y 2 – 3y +2 = 0,
y 1 = 1 i y 2 = 2.

Grane parabole su usmjerene prema gore, nacrtajmo graf:

Tada će rješenje nejednadžbe biti nejednadžba 1< у < 2, вернемся к нашей переменной х и получим неравенство 1< 2 х < 2, решая которое и найдем ответ 0 < x < 1.

Odgovor: (0; 1) .

Primjer 3. Riješite nejednadžbu 5 x +1 – 3 x +2< 2·5 x – 2·3 x –1
Skupimo izraze s istim bazama u jednom dijelu nejednadžbe

5 x +1 – 2 5 x< 3 x +2 – 2·3 x –1

Uzmimo 5 x iz zagrade na lijevoj strani nejednadžbe, a 3 x na desnoj strani nejednakosti i dobivamo nejednadžbu

5 x (5 – 2)< 3 х (9 – 2/3),
3·5 x< (25/3)·3 х

Obje strane nejednadžbe podijelimo s izrazom 3 3 x, predznak nejednakosti se ne mijenja, budući da je 3 3 x pozitivan broj, dobivamo nejednadžbu:

x< 2 (так как 5/3 > 1).

Odgovor: (–∞; 2) .

Ako imate pitanja o rješavanju eksponencijalnih nejednakosti ili želite vježbati rješavanje sličnih primjera, prijavite se na moje lekcije. Učiteljica Valentina Galinevskaya.

web stranice, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvor je obavezna.

rješenje nejednakosti u načinu rada na liniji riješenje gotovo svaka dana nejednakost na liniji. Matematički nejednakosti online rješavati matematiku. Pronađite brzo rješenje nejednakosti u načinu rada na liniji. Web stranica www.site omogućuje vam pronalaženje riješenje gotovo svaki dan algebarski, trigonometrijski ili transcendentalna nejednakost online. Kada proučavate gotovo bilo koju granu matematike u različitim fazama, morate odlučiti nejednakosti online. Da biste odmah dobili odgovor, i što je najvažnije točan odgovor, potreban vam je resurs koji vam to omogućuje. Zahvaljujući stranici www.site rješavanje nejednakosti online trajat će nekoliko minuta. Glavna prednost www.site pri rješavanju matematičkih nejednakosti online- ovo je brzina i točnost pruženog odgovora. Stranica je u stanju riješiti bilo koji algebarske nejednakosti online, trigonometrijske nejednakosti online, transcendentalne nejednakosti online, i nejednakosti s nepoznatim parametrima u modu na liniji. Nejednakosti služe kao snažan matematički aparat rješenja praktični problemi. Uz pomoć matematičke nejednakosti moguće je izraziti činjenice i odnose koji na prvi pogled mogu djelovati zbunjujuće i složeno. Nepoznate količine nejednakosti može se pronaći formuliranjem problema u matematički jezik u obliku nejednakosti I odlučiti primljen zadatak u načinu rada na liniji na web stranici www.site. Bilo koje algebarska nejednakost, trigonometrijska nejednakost ili nejednakosti koji sadrži transcendentalno značajke koje možete jednostavno odlučiti online i dobiti točan odgovor. Studirajući prirodne znanosti, neizbježno se susrećete s potrebom rješenja nejednadžbi. U tom slučaju odgovor mora biti točan i mora se dobiti odmah u načinu rada na liniji. Stoga za rješavati matematičke nejednakosti online preporučamo stranicu www.site koja će postati vaš nezaobilazan kalkulator za rješavanje algebarskih nejednakosti online, trigonometrijske nejednakosti online, i transcendentalne nejednakosti online ili nejednakosti s nepoznatim parametrima. Za praktične probleme pronalaženja online rješenja za razne matematičke nejednakosti resurs www.. Rješavanje nejednakosti online sami, korisno je provjeriti primljeni odgovor pomoću online rješavanje nejednakosti na web stranici www.site. Morate pravilno napisati nejednakost i odmah dobiti online rješenje, nakon čega preostaje samo usporediti odgovor sa svojim rješenjem nejednadžbe. Provjera odgovora neće trajati više od minute, dovoljno je rješavanje nejednakosti online i usporediti odgovore. To će vam pomoći da izbjegnete pogreške u odluka i ispraviti odgovor na vrijeme kada rješavanje nejednakosti online ili algebarski, trigonometrijski, transcendentalno ili nejednakost s nepoznatim parametrima.