Online kalkulator za rješavanje kvadratne nejednakosti. Rješavanje eksponencijalnih nejednadžbi
Rješavanje nejednakosti online
Prije rješavanja nejednadžbi, morate dobro razumjeti kako se rješavaju jednadžbe.
Nije važno je li nejednakost stroga () ili nije stroga (≤, ≥), prvi korak je riješiti jednadžbu zamjenom znaka nejednakosti s jednakošću (=).
Objasnimo što znači riješiti nejednadžbu?
Nakon proučavanja jednadžbi učenik u glavi dobije sljedeću sliku: treba pronaći takve vrijednosti varijable da obje strane jednadžbe imaju iste vrijednosti. Drugim riječima, pronađite sve točke u kojima vrijedi jednakost. Sve je točno!
Kada govorimo o nejednakostima, mislimo na pronalaženje intervala (odsječaka) na kojima nejednakost vrijedi. Ako u nejednadžbi postoje dvije varijable, tada rješenje više neće biti intervali, već neka područja na ravnini. Pogodite sami što će biti rješenje nejednadžbe u tri varijable?
Kako riješiti nejednadžbe?
Univerzalnim načinom rješavanja nejednadžbi smatra se metoda intervala (poznata i kao metoda intervala), koja se sastoji u određivanju svih intervala u čijim granicama će određena nejednadžba biti zadovoljena.
Ne ulazeći u vrstu nejednakosti, u ovom slučaju to nije poanta, potrebno je riješiti odgovarajuću jednadžbu i odrediti njezine korijene, nakon čega slijedi označavanje tih rješenja na brojčanoj osi.
Kako pravilno napisati rješenje nejednadžbe?
Nakon što ste odredili intervale rješavanja nejednadžbe potrebno je ispravno napisati samo rješenje. Postoji važna nijansa - jesu li granice intervala uključene u rješenje?
Ovdje je sve jednostavno. Ako rješenje jednadžbe zadovoljava ODZ i nejednadžba nije stroga, tada se granica intervala uključuje u rješenje nejednadžbe. Inače, ne.
Uzimajući u obzir svaki interval, rješenje nejednadžbe može biti sam interval, ili poluinterval (kada jedna njegova granica zadovoljava nejednadžbu), ili segment - interval zajedno sa svojim granicama.
Važna točka
Nemojte misliti da samo intervali, poluintervali i segmenti mogu riješiti nejednadžbu. Ne, rješenje može uključivati i pojedinačne točke.
Na primjer, nejednadžba |x|≤0 ima samo jedno rješenje - to je točka 0.
I nejednakost |x|
Zašto vam je potreban kalkulator nejednakosti?
Kalkulator nejednakosti daje točan konačni odgovor. U većini slučajeva prikazana je ilustracija brojčane osi ili ravnine. Vidljivo je da li su granice intervala uključene u rješenje ili ne - točke su prikazane kao zasjenjene ili punktirane.
Zahvaljujući online kalkulator Za nejednadžbe možete provjeriti jeste li točno pronašli korijene jednadžbe, označili ih na brojevnoj osi i provjerili na intervalima (i granicama) je li ispunjen uvjet nejednadžbe?
Ako se vaš odgovor razlikuje od odgovora kalkulatora, onda svakako trebate još jednom provjeriti svoje rješenje i identificirati pogrešku.
Što trebate znati o ikonama nejednakosti? Nejednakosti s ikonom više (> ), ili manje (< ) se zovu strog. Sa ikonama više ili jednako (≥ ), manje ili jednako (≤ ) se zovu nije stroga. Ikona nejednak (≠ ) stoji odvojeno, ali također morate stalno rješavati primjere s ovom ikonom. A mi ćemo odlučiti.)
Sama ikona nema puno utjecaja na proces rješenja. Ali na kraju odluke, pri odabiru konačnog odgovora, značenje ikone pojavljuje se u punoj snazi! To je ono što ćemo vidjeti u nastavku u primjerima. Ima tu nekih šala...
Nejednakosti, kao i jednakosti, postoje vjerni i nevjerni. Ovdje je sve jednostavno, bez trikova. Recimo 5 > 2 je prava nejednakost. 5 < 2 - netočno.
Ova priprema djeluje kod nejednakosti bilo koje vrste i jednostavno do užasa.) Trebate samo ispravno izvesti dvije (samo dvije!) elementarne radnje. Ove akcije su svima poznate. Ali, što je karakteristično, greške u tim radnjama su glavna greška u rješavanju nejednadžbi, da... Stoga se te radnje moraju ponavljati. Te radnje nazivaju se ovako:
Identične transformacije nejednadžbi.
Identične transformacije nejednadžbi vrlo su slične identičnim transformacijama jednadžbi. Zapravo, to je glavni problem. Razlike vam idu preko glave i... eto vam.) Stoga ću te razlike posebno istaknuti. Dakle, prva identična transformacija nejednakosti:
1. Isti broj ili izraz možemo dodati (oduzeti) objema stranama nejednadžbe. Bilo koje. Ovo neće promijeniti znak nejednakosti.
U praksi se ovo pravilo koristi kao prijenos članova s lijeve strane nejednadžbe na desnu (i obrnuto) uz promjenu predznaka. S promjenom predznaka pojma, a ne nejednakosti! Pravilo jedan na jedan isto je kao pravilo za jednadžbe. Ali sljedeće identične transformacije u nejednadžbama bitno se razlikuju od onih u jednadžbama. Stoga ih ističem crvenom bojom:
2. Obje strane nejednadžbe mogu se pomnožiti (podijeliti) istom stvaripozitivanbroj. Za bilo kojepozitivan Neće se promijeniti.
3. Obje strane nejednadžbe mogu se pomnožiti (podijeliti) istom stvarinegativan broj. Za bilo kojenegativanbroj. Znak nejednakosti iz ovogapromijenit će se u suprotno.
Sjećate se (nadam se...) da se jednadžba može pomnožiti/podijeliti bilo čime. I za bilo koji broj, i za izraz sa X. Samo da nije nula. To ga čini, jednadžbu, ni vrućim ni hladnim.) Ne mijenja se. Ali nejednakosti su osjetljivije na množenje/dijeljenje.
Čist primjer za dugo pamćenje. Napišimo nejednakost koja ne izaziva sumnju:
5 > 2
Pomnožite obje strane s +3, dobivamo:
15 > 6
Ima li prigovora? Nema prigovora.) A ako obje strane izvorne nejednakosti pomnožimo s -3, dobivamo:
15 > -6
A ovo je čista laž.) Potpuna laž! Obmana naroda! Ali čim promijenite znak nejednakosti u suprotan, sve dolazi na svoje mjesto:
15 < -6
Ne kunem se samo zbog laži i prijevara.) "Zaboravio sam promijeniti znak jednakosti..."- Ovo Dom greška u rješavanju nejednadžbi. Ovo trivijalno i jednostavno pravilo povrijedilo je toliko ljudi! Što su zaboravili...) Dakle, psujem. Možda se sjetim...)
Osobito pažljivi će primijetiti da se nejednakost ne može množiti izrazom s X-om. Poštovanje onima koji su pažljivi!) Zašto ne? Odgovor je jednostavan. Ne znamo znak ovog izraza sa X. Može biti pozitivan, negativan... Dakle, ne znamo koji znak nejednakosti staviti nakon množenja. Trebam li ga promijeniti ili ne? Nepoznato. Naravno, ovo se ograničenje (zabrana množenja/dijeljenja nejednakosti izrazom s x) može zaobići. Ako ti stvarno treba. Ali ovo je tema za druge lekcije.
To su sve identične transformacije nejednakosti. Dopustite mi da vas još jednom podsjetim da oni rade za bilo koji nejednakosti Sada možete prijeći na određene vrste.
Linearne nejednadžbe. Rješenje, primjeri.
Linearne nejednadžbe su nejednadžbe u kojima je x na prvoj potenciji i nema dijeljenja s x. Tip:
x+3 > 5x-5
Kako se takve nejednakosti rješavaju? Vrlo ih je lako riješiti! Naime: uz pomoć smanjujemo najzbunjujuću linearnu nejednadžbu ravno do odgovora. To je rješenje. Istaknut ću glavne točke odluke. Da biste izbjegli glupe pogreške.)
Riješimo ovu nejednadžbu:
x+3 > 5x-5
Rješavamo je na potpuno isti način kao i linearnu jednadžbu. S jedinom razlikom:
Pažljivo pratimo znak nejednakosti!
Prvi korak je najčešći. S X-ovima - lijevo, bez X-ova - desno... Ovo je prva identična transformacija, jednostavna i bez problema.) Samo ne zaboravite promijeniti predznake prenesenih članova.
Znak nejednakosti ostaje:
x-5x > -5-3
Evo sličnih.
Znak nejednakosti ostaje:
4x > -8
Ostaje primijeniti posljednju identičnu transformaciju: obje strane podijeliti s -4.
Podijelite po negativan broj.
Znak nejednakosti će se promijeniti u suprotan:
x < 2
Ovo je odgovor.
Ovako se rješavaju sve linearne nejednadžbe.
Pažnja! Točka 2 nacrtana je bijelo, tj. neobojen. Prazan iznutra. To znači da ona nije uključena u odgovor! Namjerno sam je nacrtao tako zdravu. Takva točka (prazna, nije zdrava!)) u matematici se zove probušena točka.
Preostale brojeve na osi moguće je označiti, ali nije potrebno. Suvišni brojevi koji nisu povezani s našom nejednakošću mogu biti zbunjujući, da... Samo trebate zapamtiti da se brojevi povećavaju u smjeru strelice, tj. brojevi 3, 4, 5 itd. su nadesno su dvojke, a brojevi su 1, 0, -1, itd. - nalijevo.
Nejednakost x < 2 - strog. X je strogo manji od dva. Ako ste u nedoumici, provjera je jednostavna. Sumnjivi broj zamijenimo u nejednakost i pomislimo: "Dva je manje od dva? Ne, naravno!" Točno. Nejednakost 2 < 2 netočno. Uzvratna dvojka nije primjerena.
Je li jedan u redu? Sigurno. Manje... I nula je dobra, i -17, i 0,34... Da, svi brojevi manji od dva su dobri! I to čak 1,9999.... Makar malo, ali manje!
Dakle, označimo sve ove brojeve na brojevnoj osi. Kako? Ovdje postoje opcije. Prva opcija je sjenčanje. Prijeđemo mišem preko slike (ili dodirnemo sliku na tabletu) i vidimo da je područje svih x-ova koji zadovoljavaju uvjet x osjenčano < 2 . To je sve.
Pogledajmo drugu opciju koristeći drugi primjer:
x ≥ -0,5
Nacrtaj os i označi broj -0,5. Kao ovo:
Primjećujete razliku?) Pa, da, teško je ne primijetiti ... Ova točka je crna! Prefarbano. To znači -0,5 uključeno je u odgovor. Ovdje, usput, provjera može nekoga zbuniti. Zamijenimo:
-0,5 ≥ -0,5
Kako to? -0,5 nije više od -0,5! Ima još ikona...
U redu je. U slaboj nejednakosti prikladno je sve što odgovara ikoni. I jednaki dobro i više dobro. Stoga je -0,5 uključeno u odgovor.
Dakle, na osi smo označili -0,5, ostalo je označiti sve brojeve koji su veći od -0,5. Ovaj put označavam područje odgovarajućih x vrijednosti nakloniti se(od riječi luk), umjesto sjenčanja. Lebdimo kursorom iznad crteža i vidimo ovaj luk.
Nema posebne razlike između sjenčanja i krakova. Učini kako učitelj kaže. Ako nema učitelja, nacrtajte lukove. U složenijim zadacima sjenčanje je manje vidljivo. Možete se zbuniti.
Ovako se crtaju linearne nejednadžbe na osi. Prijeđimo na sljedeću značajku nejednakosti.
Zapisivanje odgovora za nejednadžbe.
Jednadžbe su bile dobre.) Pronašli smo x i zapisali odgovor, na primjer: x=3. Postoje dva načina upisivanja odgovora u nejednačine. Jedan je u obliku konačne nejednakosti. Dobro za jednostavne slučajeve. Na primjer:
x< 2.
Ovo je potpun odgovor.
Ponekad morate zapisati istu stvar, ali u drugom obliku, u brojčanim intervalima. Tada snimka počinje izgledati vrlo znanstveno):
x ∈ (-∞; 2)
Ispod ikone ∈ riječ je skrivena "pripada".
Unos glasi ovako: x pripada intervalu od minus beskonačno do dva ne uključujući. Sasvim logično. X može biti bilo koji broj od svih mogućih brojeva od minus beskonačno do dva. Ne može postojati dvostruko X, što nam riječ govori "ne uključujući".
A gdje je u odgovoru jasno da "ne uključujući"? Ova činjenica je navedena u odgovoru krug zagrada odmah iza dva. Da su to dvoje uključeni, zagrada bi bila kvadrat. Kao ova: ]. Sljedeći primjer koristi takvu zagradu.
Zapišimo odgovor: x ≥ -0,5 u intervalima:
x ∈ [-0,5; +∞)
glasi: x pripada intervalu od minus 0,5, uključujući, do plus beskonačno.
Infinity se nikada ne može uključiti. To nije broj, to je simbol. Stoga je u takvim zapisima beskonačnost uvijek uz zagradu.
Ovaj oblik bilježenja pogodan je za složene odgovore koji se sastoje od više razmaka. Ali – samo za konačne odgovore. U međurezultatima, gdje se očekuje daljnje rješenje, bolje je koristiti uobičajeni oblik, u obliku jednostavne nejednadžbe. O tome ćemo se pozabaviti u relevantnim temama.
Popularni zadaci s nejednakostima.
Same linearne nejednadžbe su jednostavne. Stoga zadaci često postaju teži. Trebalo je dakle razmisliti. Ovo, ako niste navikli, nije baš ugodno.) Ali je korisno. Pokazat ću primjere takvih zadataka. Nije da ih ti učiš, nepotrebno je. I da se ne bi bojali pri susretu s takvim primjerima. Samo malo razmislite - i jednostavno je!)
1. Pronađite bilo koja dva rješenja nejednadžbe 3x - 3< 0
Ako nije baš jasno što učiniti, sjetite se glavnog pravila matematike:
Ako ne znate što trebate, učinite što možete!)
x < 1
I što? Ništa posebno. Što nas pitaju? Od nas se traži da pronađemo dva konkretna broja koji su rješenje nejednadžbe. Oni. odgovarati odgovoru. Dva bilo koji brojevima. Zapravo, ovo je zbunjujuće.) Nekoliko 0 i 0,5 su prikladni. Par -3 i -8. Beskonačno je mnogo tih parova! Koji je odgovor točan?!
Odgovaram: sve! Bilo koji par brojeva, od kojih je svaki manji od jedan, bit će točan odgovor. Napiši koju želiš. Idemo dalje.
2. Riješite nejednadžbu:
4x - 3 ≠ 0
Zadaci u ovom obliku su rijetki. No, kao pomoćne nejednakosti, kod nalaženja ODZ, na primjer, ili kod nalaženja domene definicije funkcije, pojavljuju se stalno. Takva linearna nejednadžba može se riješiti kao obična linearna jednadžba. Samo svugdje osim znaka "=" ( jednaki) stavi znak " ≠ " (nejednak). Ovako pristupate odgovoru, sa znakom nejednakosti:
x ≠ 0,75
U više složeni primjeri, bolje je raditi stvari drugačije. Od jednakosti napraviti nejednakost. Kao ovo:
4x - 3 = 0
Mirno ga riješite kako je naučeno i dobijte odgovor:
x = 0,75
Najvažnije je, na samom kraju, kada zapisujete konačni odgovor, ne zaboravite da smo pronašli x, što daje jednakost. I trebamo - nejednakost. Stoga nam zapravo ne treba ovaj X.) I moramo ga zapisati ispravnim simbolom:
x ≠ 0,75
Ovaj pristup dovodi do manje grešaka. Oni koji automatski rješavaju jednadžbe. A za one koji ne rješavaju jednadžbe, nejednakosti, zapravo, ničemu ne služe...) Još jedan primjer popularnog zadatka:
3. Pronađite najmanje cjelobrojno rješenje nejednadžbe:
3(x - 1) < 5x + 9
Prvo jednostavno riješimo nejednadžbu. Otvaramo zagrade, premještamo ih, donosimo slične... Dobivamo:
x > - 6
Zar nije tako ispalo!? Jeste li pratili znakove!? I iza znakova članova, i iza znaka nejednakosti...
Razmislimo još jednom. Moramo pronaći određeni broj koji odgovara i odgovoru i uvjetu "najmanji cijeli broj". Ako vam ne sine odmah, možete uzeti bilo koji broj i smisliti ga. Dva na minus šest? Sigurno! Postoji li odgovarajući manji broj? Naravno. Na primjer, nula je veća od -6. I još manje? Treba nam najmanja moguća stvar! Minus tri je više od minus šest! Već možete uhvatiti obrazac i prestati glupo prolaziti kroz brojeve, zar ne?)
Uzmimo broj bliži -6. Na primjer, -5. Odgovor je ispunjen, -5 > - 6. Je li moguće pronaći neki drugi broj manji od -5, ali veći od -6? Možete, na primjer, -5,5... Stanite! Rečeno nam je cijeli riješenje! Ne kotrlja -5,5! Što je s minus šest? Uh-uh! Nejednakost je stroga, minus 6 ni na koji način nije manji od minus 6!
Dakle, točan odgovor je -5.
Nadam se da je sve jasno s izborom vrijednosti iz općeg rješenja. Još jedan primjer:
4. Riješite nejednadžbu:
7 < 3x+1 < 13
Wow! Ovaj izraz se zove trostruka nejednakost. Strogo govoreći, ovo je skraćeni oblik sustava nejednakosti. Ali takve trostruke nejednadžbe ipak treba rješavati u nekim zadacima... Može se to riješiti i bez ikakvih sustava. Prema istim identičnim transformacijama.
Moramo pojednostaviti, ovu nejednakost dovesti do čistog X. Ali... Što bi trebalo kamo preseliti?! Ovdje je vrijeme da zapamtite da je kretanje lijevo i desno kratki oblik prva transformacija identiteta.
A cijela forma zvuči ovako: Bilo koji broj ili izraz može se dodati/oduzeti objema stranama jednadžbe (nejednakosti).
Ovdje postoje tri dijela. Dakle, primijenit ćemo identične transformacije na sva tri dijela!
Dakle, riješimo se onoga u srednjem dijelu nejednakosti. Oduzmimo jedan od cijelog središnjeg dijela. Da se nejednadžba ne mijenja, od preostala dva dijela oduzimamo jedan. Kao ovo:
7 -1< 3x+1-1 < 13-1
6 < 3x < 12
To je bolje, zar ne?) Ostaje samo podijeliti sva tri dijela na tri:
2 < x < 4
To je sve. Ovo je odgovor. X može biti bilo koji broj od dva (ne uključujući) do četiri (ne uključujući). Ovaj se odgovor također piše u intervalima; takvi će unosi biti u kvadratnim nejednadžbama. Tamo su najčešća stvar.
Na kraju lekcije ponovit ću ono najvažnije. Uspjeh u rješavanju linearnih nejednadžbi ovisi o sposobnosti transformacije i pojednostavljenja linearnih jednadžbi. Ako u isto vrijeme pazi na znak nejednakosti, neće biti nikakvih problema. To je ono što ti želim. Nema problema.)
Ako vam se sviđa ova stranica...
Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učimo - sa zanimanjem!)
Možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.
Nakon što smo dobili početne informacije o nejednadžbama s varijablama, prelazimo na pitanje njihovog rješavanja. Analizirat ćemo rješavanje linearnih nejednadžbi s jednom varijablom i sve metode za njihovo rješavanje s algoritmima i primjerima. Razmatrat će se samo linearne jednadžbe s jednom varijablom.
Što je linearna nejednakost?
Najprije morate definirati linearnu jednadžbu i saznati njezin standardni oblik te kako će se razlikovati od ostalih. Iz školskog tečaja znamo da nema temeljne razlike između nejednakosti, pa je potrebno koristiti nekoliko definicija.
Definicija 1
Linearna nejednadžba s jednom varijablom x je nejednadžba oblika a · x + b > 0, kada se umjesto > koristi bilo koji znak nejednakosti< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .
Definicija 2
Nejednakosti a x< c или a · x >poziva se c, pri čemu je x varijabla, a a i c neki brojevi linearne nejednadžbe s jednom varijablom.
Budući da se ništa ne govori o tome može li koeficijent biti jednak 0, onda je stroga nejednakost oblika 0 x > c i 0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.
Njihove razlike su:
- zapisni oblik a · x + b > 0 u prvom, a · x > c – u drugom;
- dopustivost da je koeficijent a jednak nuli, a ≠ 0 - u prvom, a a = 0 - u drugom.
Smatra se da su nejednadžbe a · x + b > 0 i a · x > c ekvivalentne, jer se dobivaju prijenosom člana iz jednog dijela u drugi. Rješavanje nejednadžbe 0 x + 5 > 0 dovest će do činjenice da će je trebati riješiti, a slučaj a = 0 neće raditi.
Definicija 3
Smatra se da su linearne nejednadžbe u jednoj varijabli x nejednadžbe oblika a x + b< 0 , a · x + b >0, a x + b ≤ 0 I a x + b ≥ 0, gdje su a i b realni brojevi. Umjesto x može stajati običan broj.
Na temelju pravila imamo da je 4 x − 1 > 0, 0 z + 2, 3 ≤ 0, - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 nazivamo svodljivima na linearne.
Kako riješiti linearnu nejednadžbu
Glavni način rješavanja takvih nejednakosti je korištenje ekvivalentnih transformacija za pronalaženje elementarnih nejednakosti x< p (≤ , >, ≥) , p koji je određeni broj, za a ≠ 0, i oblika a< p (≤ , >, ≥) za a = 0.
Za rješavanje nejednakosti u jednoj varijabli možete koristiti metodu intervala ili je grafički prikazati. Bilo koji od njih može se koristiti zasebno.
Korištenje ekvivalentnih transformacija
Za rješavanje linearne nejednadžbe oblika a x + b< 0 (≤ , >, ≥), potrebno je primijeniti ekvivalentne transformacije nejednakosti. Koeficijent može, ali i ne mora biti nula. Razmotrimo oba slučaja. Da biste to saznali, morate se pridržavati sheme koja se sastoji od 3 točke: bit procesa, algoritam i samo rješenje.
Definicija 4
Algoritam za rješavanje linearne nejednadžbe a x + b< 0 (≤ , >, ≥) za a ≠ 0
- broj b će se pomaknuti na desnu stranu nejednadžbe sa suprotnim predznakom, što će nam omogućiti da dođemo do ekvivalenta a x< − b (≤ , > , ≥) ;
- Obje strane nejednakosti podijelit ćemo s brojem koji nije jednak 0. Štoviše, kada je a pozitivan, predznak ostaje; kada je a negativan, mijenja se u suprotan.
Razmotrimo primjenu ovog algoritma za rješavanje primjera.
Primjer 1
Riješite nejednadžbu oblika 3 x + 12 ≤ 0.
Riješenje
Ova linearna nejednadžba ima a = 3 i b = 12. To znači da koeficijent a od x nije jednak nuli. Primijenimo gornje algoritme i riješimo to.
Potrebno je član 12 premjestiti na drugi dio nejednadžbe i promijeniti predznak ispred njega. Tada dobivamo nejednadžbu oblika 3 x ≤ − 12. Oba dijela je potrebno podijeliti sa 3. Predznak se neće promijeniti jer je 3 pozitivan broj. Dobivamo da je (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3, što daje rezultat x ≤ − 4.
Nejednadžba oblika x ≤ − 4 je ekvivalentna. To jest, rješenje za 3 x + 12 ≤ 0 je bilo koji realni broj koji je manji ili jednak 4. Odgovor se zapisuje kao nejednadžba x ≤ − 4, ili numerički interval oblika (− ∞, − 4].
Cijeli gore opisani algoritam napisan je ovako:
3 x + 12 ≤ 0; 3 x ≤ − 12 ; x ≤ − 4 .
Odgovor: x ≤ − 4 ili (− ∞ , − 4 ] .
Primjer 2
Navedite sva dostupna rješenja nejednadžbe − 2, 7 · z > 0.
Riješenje
Iz uvjeta vidimo da je koeficijent a za z jednak - 2,7, a b je eksplicitno odsutan ili je jednak nuli. Ne možete koristiti prvi korak algoritma, već odmah prijeći na drugi.
Obje strane jednadžbe podijelimo s brojem - 2, 7. Budući da je broj negativan, potrebno je obrnuti znak nejednakosti. Odnosno, dobivamo da je (− 2, 7 z) : (− 2, 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .
Zapisat ćemo cijeli algoritam kratki oblik:
− 2, 7 z > 0; z< 0 .
Odgovor: z< 0 или (− ∞ , 0) .
Primjer 3
Riješite nejednadžbu - 5 x - 15 22 ≤ 0.
Riješenje
Prema uvjetu vidimo da je potrebno riješiti nejednadžbu s koeficijentom a za varijablu x koja je jednaka - 5, s koeficijentom b koji odgovara razlomku - 15 22. Nejednadžbu je potrebno riješiti prema algoritmu, a to je: premjestiti - 15 22 na drugi dio suprotnog predznaka, oba dijela podijeliti s - 5, promijeniti predznak nejednadžbe:
5 x ≤ 15 22 ; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22
Tijekom zadnjeg prijelaza za desnu stranu koristi se pravilo dijeljenja brojeva sa različite znakove 15 22: - 5 = - 15 22: 5, nakon čega vršimo dijeljenje obični razlomak prirodnom broju - 15 22: 5 = - 15 22 · 1 5 = - 15 · 1 22 · 5 = - 3 22 .
Odgovor: x ≥ - 3 22 i [ - 3 22 + ∞) .
Razmotrimo slučaj kada je a = 0. Linearni izraz oblika a x + b< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.
Sve se temelji na određivanju rješenja nejednadžbe. Za bilo koju vrijednost x dobivamo numeričku nejednakost oblika b< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.
Sve ćemo prosudbe razmatrati u obliku algoritma za rješavanje linearnih nejednadžbi 0 x + b< 0 (≤ , > , ≥) :
Definicija 5
Brojčana nejednakost oblika b< 0 (≤ , >, ≥) istinito, tada izvorna nejednadžba ima rješenje za bilo koju vrijednost, a netočno je kada izvorna nejednadžba nema rješenja.
Primjer 4
Riješite nejednadžbu 0 x + 7 > 0.
Riješenje
Ova linearna nejednadžba 0 x + 7 > 0 može poprimiti bilo koju vrijednost x. Tada dobivamo nejednadžbu oblika 7 > 0. Posljednja se nejednakost smatra istinitom, što znači da bilo koji broj može biti njezino rješenje.
Odgovor: interval (− ∞ , + ∞) .
Primjer 5
Nađite rješenje nejednadžbe 0 x − 12, 7 ≥ 0.
Riješenje
Zamjenom varijable x bilo kojeg broja dobivamo da nejednadžba ima oblik − 12, 7 ≥ 0. Netočno je. Odnosno, 0 x − 12, 7 ≥ 0 nema rješenja.
Odgovor: nema rješenja.
Razmotrimo rješavanje linearnih nejednadžbi u kojima su oba koeficijenta jednaka nuli.
Primjer 6
Odredite nerješivu nejednadžbu iz 0 x + 0 > 0 i 0 x + 0 ≥ 0.
Riješenje
Zamjenom bilo kojeg broja umjesto x dobivamo dvije nejednakosti oblika 0 > 0 i 0 ≥ 0. Prvo je netočno. To znači da 0 x + 0 > 0 nema rješenja, a 0 x + 0 ≥ 0 ima beskonačno mnogo rješenja, odnosno bilo koji broj.
Odgovor: nejednadžba 0 x + 0 > 0 nema rješenja, ali 0 x + 0 ≥ 0 ima rješenja.
O ovoj se metodi raspravlja u školskom tečaju matematike. Metoda intervala može razriješiti različite vrste nejednakosti, također linearne.
Metoda intervala koristi se za linearne nejednakosti kada vrijednost koeficijenta x nije jednaka 0. Inače ćete morati izračunati pomoću druge metode.
Definicija 6
Metoda intervala je:
- uvođenje funkcije y = a · x + b ;
- traženje nula za podjelu domene definicije na intervale;
- definicija znakova za svoje pojmove o intervalima.
Sastavimo algoritam za rješavanje linearnih jednadžbi a x + b< 0 (≤ , >, ≥) za a ≠ 0 korištenjem metode intervala:
- pronalaženje nula funkcija y = a · x + b za rješavanje jednadžbe oblika a · x + b = 0 . Ako je a ≠ 0, tada će rješenje biti jedan korijen, koji će imati oznaku x 0;
- konstrukcija koordinatnog pravca sa slikom točke s koordinatom x 0, kod stroge nejednakosti točka je označena punktiranom, kod nestroge nejednakosti – zasjenjenom;
- određivanje znakova funkcije y = a · x + b na intervalima; za to je potrebno pronaći vrijednosti funkcije u točkama na intervalu;
- rješavanje nejednadžbe sa znakovima > ili ≥ na koordinatnoj liniji, dodavanje sjenčanja preko pozitivnog intervala,< или ≤ над отрицательным промежутком.
Pogledajmo nekoliko primjera rješavanja linearnih nejednadžbi metodom intervala.
Primjer 6
Riješite nejednadžbu − 3 x + 12 > 0.
Riješenje
Iz algoritma slijedi da prvo treba pronaći korijen jednadžbe − 3 x + 12 = 0. Dobivamo da je − 3 · x = − 12 , x = 4 . Potrebno je povući koordinatnu liniju gdje označavamo točku 4. Bit će probušen jer je nejednakost stroga. Razmotrite crtež u nastavku.
Potrebno je odrediti znakove u intervalima. Za njegovo određivanje na intervalu (− ∞, 4) potrebno je izračunati funkciju y = − 3 x + 12 pri x = 3. Odavde dobivamo da je − 3 3 + 12 = 3 > 0. Predznak na intervalu je pozitivan.
Predznak odredimo iz intervala (4, + ∞), zatim zamijenimo vrijednost x = 5. Imamo da je − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.
Nejednadžbu rješavamo znakom >, a sjenčanje se vrši preko pozitivnog intervala. Razmotrite crtež u nastavku.
Iz crteža je jasno da traženo rješenje ima oblik (− ∞ , 4) ili x< 4 .
Odgovor: (− ∞ , 4) ili x< 4 .
Da bismo razumjeli kako grafički prikazati, potrebno je razmotriti 4 linearne nejednakosti kao primjer: 0, 5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 i 0, 5 x − 1 ≥ 0. Njihova rješenja će biti vrijednosti x< 2 , x ≤ 2 , x >2 i x ≥ 2. Da bismo to učinili, iscrtajmo linearnu funkciju y = 0, 5 x − 1 prikazanu u nastavku.
Jasno je da
Definicija 7
- rješavanje nejednadžbe 0, 5 x − 1< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
- rješenje 0, 5 x − 1 ≤ 0 smatra se intervalom u kojem je funkcija y = 0, 5 x − 1 niža od O x ili se podudara;
- rješenje 0, 5 · x − 1 > 0 smatra se intervalom, funkcija se nalazi iznad O x;
- rješenje 0, 5 · x − 1 ≥ 0 smatra se intervalom u kojem se graf iznad O x ili podudara.
Smisao grafičkog rješavanja nejednadžbi je pronaći intervale koje je potrebno prikazati na grafu. U ovom slučaju nalazimo da lijeva strana ima y = a · x + b, a desna strana ima y = 0, te se podudara s O x.
Definicija 8Iscrtava se graf funkcije y = a x + b:
- dok rješavamo nejednadžbu a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
- pri rješavanju nejednadžbe a · x + b ≤ 0, određuje se interval gdje je graf prikazan ispod O x osi ili se podudara;
- kod rješavanja nejednadžbe a · x + b > 0 određuje se interval gdje je graf prikazan iznad O x;
- Kod rješavanja nejednadžbe a · x + b ≥ 0 određuje se interval gdje je graf iznad O x ili se poklapa.
Primjer 7
Riješi nejednadžbu - 5 · x - 3 > 0 pomoću grafa.
Riješenje
Potrebno je konstruirati graf linearne funkcije - 5 · x - 3 > 0. Ova linija se smanjuje jer je koeficijent x negativan. Za određivanje koordinata točke njegovog sjecišta s O x - 5 · x - 3 > 0, dobivamo vrijednost - 3 5. Prikažimo to grafički.
Rješavajući nejednadžbu sa znakom >, tada treba obratiti pozornost na interval iznad O x. Označimo željeni dio aviona crvenom bojom i dobijemo to
Potrebni razmak je dio O x crveno. To znači da će otvorena brojevna zraka - ∞ , - 3 5 biti rješenje nejednadžbe. Ako bismo prema uvjetu imali nestrogu nejednadžbu, tada bi vrijednost točke - 3 5 također bila rješenje nejednadžbe. I to bi se poklopilo s O x.
Odgovor: - ∞ , - 3 5 ili x< - 3 5 .
Grafičko rješenje se koristi kada lijeva strana odgovara funkciji y = 0 x + b, odnosno y = b. Tada će pravac biti paralelan s O x ili se podudarati u b = 0. Ovi slučajevi pokazuju da nejednadžba možda nema rješenja ili rješenje može biti bilo koji broj.
Primjer 8
Odredite iz nejednakosti 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.
Riješenje
Prikaz y = 0 x + 7 je y = 7, tada će koordinatna ravnina biti dana s linijom paralelnom s O x i smještenom iznad O x. Dakle, 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.
Za graf funkcije y = 0 x + 0 smatra se da je y = 0, odnosno da se ravna linija poklapa s O x. To znači da nejednadžba 0 x + 0 ≥ 0 ima mnogo rješenja.
Odgovor: Druga nejednadžba ima rješenje za bilo koju vrijednost x.
Nejednadžbe koje se svode na linearne
Rješenje nejednadžbi može se svesti na rješenje Linearna jednadžba, koje se nazivaju nejednadžbe koje se svode na linearne.
Te su nejednadžbe razmatrane u školskom tečaju, jer su bile poseban slučaj rješavanja nejednakosti, što je dovelo do otvaranja zagrada i redukcije sličnih članova. Na primjer, uzmite u obzir da je 5 − 2 x > 0, 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x, x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x.
Gore navedene nejednadžbe uvijek se svode na oblik linearne jednadžbe. Zatim se otvaraju zagrade i daju slični pojmovi i prenose iz njih različite dijelove, mijenjajući predznak u suprotan.
Kada nejednadžbu 5 − 2 x > 0 svodimo na linearnu, prikazujemo je tako da ima oblik − 2 x + 5 > 0, a za svođenje druge dobivamo da je 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x . Potrebno je otvoriti zagrade, donijeti slične pojmove, pomaknuti sve pojmove ulijevo i donijeti slične pojmove. Ovako izgleda:
7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ 5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0
To dovodi rješenje do linearne nejednadžbe.
Ove se nejednadžbe smatraju linearnim, jer imaju isti princip rješenja, nakon čega ih je moguće svesti na elementarne nejednadžbe.
Za rješavanje ove vrste nejednakosti potrebno ju je svesti na linearnu. To treba učiniti na sljedeći način:
Definicija 9
- otvorene zagrade;
- sakupiti varijable s lijeve strane i brojeve s desne strane;
- dati slične uvjete;
- podijelite obje strane s koeficijentom x.
Primjer 9
Riješite nejednadžbu 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1.
Riješenje
Otvorimo zagrade i dobijemo nejednadžbu oblika 5 x + 15 + x ≤ 6 x − 18 + 1. Nakon redukcije sličnih članova, imamo da je 6 x + 15 ≤ 6 x − 17. Nakon pomicanja članova slijeva nadesno, nalazimo da je 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0. Stoga postoji nejednakost oblika 32 ≤ 0 iz one dobivene izračunavanjem 0 x + 32 ≤ 0. Vidi se da je nejednakost netočna, što znači da nejednakost dana uvjetom nema rješenja.
Odgovor: nema rješenja.
Vrijedno je napomenuti da postoje mnoge druge vrste nejednakosti koje se mogu svesti na linearne ili nejednadžbe gore prikazanog tipa. Na primjer, 5 2 x − 1 ≥ 1 je eksponencijalna jednadžba koja se svodi na rješenje linearnog oblika 2 x − 1 ≥ 0. Ovi slučajevi će se razmatrati pri rješavanju nejednadžbi ovog tipa.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Pažnja!
Postoje dodatni
materijali u posebnom odjeljku 555.
Za one koji su jako "ne baš..."
I za one koji "jako...")
Što se dogodilo "kvadratna nejednakost"? Nema pitanja!) Ako uzmete bilo koji kvadratnu jednadžbu i u njoj zamijeni predznak "=" (jednak) bilo kojem znaku nejednakosti ( > ≥ < ≤ ≠ ), dobivamo kvadratnu nejednadžbu. Na primjer:
1. x 2 -8x+12 ≥ 0
2. -x 2 +3x > 0
3. x 2 ≤ 4
Pa, razumiješ...)
Nisam uzalud ovdje povezao jednadžbe i nejednadžbe. Poanta je da je prvi korak u rješavanju bilo koji kvadratna nejednakost - riješiti jednadžbu iz koje je ova nejednadžba sastavljena. Iz tog razloga, nemogućnost rješavanja kvadratnih jednadžbi automatski dovodi do potpunog neuspjeha u nejednadžbama. Je li savjet jasan?) Ako ništa drugo, pogledajte kako riješiti bilo koju kvadratnu jednadžbu. Tamo je sve detaljno opisano. A u ovoj lekciji ćemo se baviti nejednakostima.
Nejednadžba spremna za rješavanje ima oblik: s lijeve strane je kvadratni trinom sjekira 2 +bx+c, desno - nula. Znak nejednakosti može biti apsolutno bilo što. Prva dva primjera su ovdje već su spremni donijeti odluku. Treći primjer još treba pripremiti.
Ako vam se sviđa ova stranica...
Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učimo - sa zanimanjem!)
Možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.
U članku ćemo razmotriti rješavanje nejednakosti. Jasno ćemo vam reći o kako konstruirati rješenje nejednadžbi, s jasnim primjerima!
Prije nego što pogledamo rješavanje nejednakosti pomoću primjera, razumijmo osnovne pojmove.
Općenito o nejednakostima
Nejednakost je izraz u kojem su funkcije povezane znakovima relacije >, . Nejednakosti mogu biti numeričke i doslovne.
Nejednadžbe s dva znaka omjera nazivaju se dvostrukim, s tri - trostrukim, itd. Na primjer:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Nejednakosti koje sadrže znak > ili ili - nisu stroge.
Rješavanje nejednadžbe je bilo koja vrijednost varijable za koju će ova nejednakost biti točna.
"Riješite nejednadžbu" znači da trebamo pronaći skup svih njegovih rješenja. Postoje različita metode za rješavanje nejednakosti. Za rješenja nejednakosti Oni koriste brojevni pravac, koji je beskonačan. Na primjer, rješenje nejednakosti x > 3 je interval od 3 do +, a broj 3 nije uključen u taj interval, stoga je točka na liniji označena praznim kružićem, jer nejednakost je stroga. 
+
Odgovor će biti: x (3; +).
Vrijednost x=3 nije uključena u skup rješenja, pa je zagrada okrugla. Znak beskonačnosti uvijek je istaknut zagradom. Znak znači "pripadanje".
Pogledajmo kako riješiti nejednakosti pomoću drugog primjera sa predznakom:
x 2
-
+
Vrijednost x=2 uključena je u skup rješenja, pa je zagrada kvadratna, a točka na liniji označena je popunjenim krugom.
Odgovor će biti: x)
