Kako zbrajati obične razlomke s jednakim nazivnicima. Zbrajanje razlomaka s cijelim brojevima i različitim nazivnicima
Akcije s razlomcima.
Pažnja!
Postoje dodatni
materijali u posebnom odjeljku 555.
Za one koji su jako "ne baš..."
I za one koji "jako...")
Dakle, što su frakcije, vrste frakcija, transformacije - sjetili smo se. Prijeđimo na glavno pitanje.
Što možete učiniti s razlomcima? Da, sve je isto kao i s običnim brojevima. Zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje.
Sve ove radnje sa decimal rad s razlomcima ne razlikuje se od rada s cijelim brojevima. Zapravo, to je ono što im je dobro, decimalni. Jedina stvar je da trebate pravilno staviti zarez.
Mješoviti brojevi, kao što sam već rekao, malo su korisni za većinu radnji. Još ih treba pretvoriti u obične razlomke.
Ali akcije sa obični razlomci bit će lukaviji. I puno važnije! Da vas podsjetim: sve radnje s razlomcima sa slovima, sinusima, nepoznanicama i tako dalje i tako dalje ne razlikuju se od radnji s običnim razlomcima! Operacije s običnim razlomcima temelj su cijele algebre. Upravo iz tog razloga ćemo ovdje vrlo detaljno analizirati svu ovu aritmetiku.
Zbrajanje i oduzimanje razlomaka.
Svatko može zbrajati (oduzimati) razlomke s istim nazivnicima (stvarno se nadam!). Pa da podsjetim one potpuno zaboravne: pri zbrajanju (oduzimanju) nazivnik se ne mijenja. Brojnici se zbrajaju (oduzimaju) da bi se dobio brojnik rezultata. Tip:
Ukratko, općenito:
Što ako su nazivnici različiti? Zatim, koristeći osnovno svojstvo razlomka (evo nam opet dobro dođe!), nazivnike učinimo istima! Na primjer:
Ovdje smo morali napraviti razlomak 4/10 od razlomka 2/5. S jedinom svrhom da nazivnici budu isti. Da napomenem, za svaki slučaj, da su 2/5 i 4/10 isti razlomak! Samo 2/5 nam je neugodno, a 4/10 je sasvim ok.
Usput, to je bit rješavanja bilo kojeg matematičkog problema. Kad smo iz neugodno radimo izraze ista stvar, ali prikladnija za rješavanje.
Još jedan primjer:
Situacija je slična. Ovdje od 16 dobivamo 48. Jednostavnim množenjem s 3. Sve je jasno. Ali naišli smo na nešto poput:
Kako biti?! Teško je od sedam napraviti devetku! Ali pametni smo, znamo pravila! Preobrazimo se svaki razlomak tako da nazivnici budu isti. Ovo se zove "svesti na zajednički nazivnik":
Wow! Kako sam znao za 63? Jako jednostavno! 63 je broj koji je djeljiv sa 7 i 9 u isto vrijeme. Takav se broj uvijek može dobiti množenjem nazivnika. Ako neki broj pomnožimo npr. sa 7, tada će rezultat sigurno biti djeljiv sa 7!
Ako trebate zbrojiti (oduzeti) nekoliko razlomaka, nema potrebe da to radite u paru, korak po korak. Samo trebate pronaći nazivnik zajednički svim razlomcima i svesti svaki razlomak na taj isti nazivnik. Na primjer:
I koji će biti zajednički nazivnik? Možete, naravno, pomnožiti 2, 4, 8 i 16. Dobit ćemo 1024. Noćna mora. Lakše je procijeniti da je broj 16 savršeno djeljiv s 2, 4 i 8. Stoga je iz ovih brojeva lako dobiti 16. Taj će broj biti zajednički nazivnik. Pretvorimo 1/2 u 8/16, 3/4 u 12/16, i tako dalje.
Usput, ako uzmete 1024 kao zajednički nazivnik, sve će uspjeti, na kraju će se sve smanjiti. Ali neće svi doći do ovog kraja, zbog kalkulacija...
Sami dovršite primjer. Ne nekakav logaritam... Trebalo bi biti 29/16.
Dakle, zbrajanje (oduzimanje) razlomaka je jasno, nadam se? Naravno, lakše je raditi u skraćenoj verziji, s dodatnim množiteljima. Ali ovo zadovoljstvo dostupno je onima koji su pošteno radili u nižim razredima... I nisu ništa zaboravili.
A sada ćemo učiniti iste radnje, ali ne s razlomcima, već s frakcijski izrazi. Ovdje će se otkriti novi rake, da...
Dakle, moramo zbrojiti dva razlomka:
Moramo učiniti nazivnike istima. I to samo uz pomoć množenje! To je ono što nalaže glavno svojstvo razlomka. Stoga ne mogu X dodati jedan u prvom razlomku u nazivniku. (to bi bilo lijepo!). Ali ako pomnožite nazivnike, vidite, sve raste zajedno! Dakle, zapišemo redak razlomka, ostavimo prazan prostor na vrhu, zatim ga zbrojimo, a ispod napišemo umnožak nazivnika, da ne zaboravimo:
I, naravno, ništa ne množimo s desne strane, ne otvaramo zagrade! I sada, gledajući zajednički nazivnik na desnoj strani, shvaćamo: da biste dobili nazivnik x(x+1) u prvom razlomku, trebate pomnožiti brojnik i nazivnik ovog razlomka s (x+1) . A u drugom razlomku - do x. Evo što dobivate:
Bilješka! Evo zagrada! To su grablje na koje mnogi ljudi stanu. Ne zagrade, naravno, već njihov nedostatak. Zagrade se pojavljuju jer množimo svi brojnik i svi nazivnik! A ne njihovi pojedinačni komadi...
U brojniku desne strane upišemo zbroj brojnika, sve je kao kod brojčanih razlomaka, zatim otvorimo zagrade u brojniku desne strane, tj. Sve množimo i dajemo slične. Nema potrebe otvarati zagrade u nazivnicima niti bilo što množiti! Općenito, u nazivnicima (bilo koji) proizvod je uvijek ugodniji! Dobivamo:
Pa smo dobili odgovor. Proces se čini dug i težak, ali ovisi o praksi. Kad jednom riješite primjere, naviknete se, sve će postati jednostavno. Oni koji su svojedobno savladali razlomke, sve ove operacije rade jednom lijevom rukom, automatski!
I još jedna napomena. Mnogi se pametno bave razlomcima, ali zapnu na primjerima s cijeli brojevima. Kao: 2 + 1/2 + 3/4= ? Gdje pričvrstiti dvodijelni? Ne trebate ga nigdje pričvrstiti, trebate napraviti razlomak od dva. Nije lako, ali vrlo jednostavno! 2=2/1. Kao ovo. Bilo koji cijeli broj može se napisati kao razlomak. Brojnik je sam broj, nazivnik je jedan. 7 je 7/1, 3 je 3/1 i tako dalje. Isto je i sa slovima. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1, itd. I onda radimo s tim razlomcima prema svim pravilima.
Pa se osvježilo znanje o zbrajanju i oduzimanju razlomaka. Ponovljeno je pretvaranje razlomaka iz jedne vrste u drugu. Možete se i pregledati. Hoćemo li to malo riješiti?)
Izračunati:
Odgovori (u neredu):
71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6
Množenje/dijeljenje razlomaka – na sljedećem satu. Tu su i zadaci za sve operacije s razlomcima.
Ako vam se sviđa ova stranica...
Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učimo - sa zanimanjem!)
Možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.
S razlomcima možete izvoditi razne operacije, na primjer zbrajanje razlomaka. Zbrajanje razlomaka može se podijeliti u nekoliko vrsta. Svaka vrsta zbrajanja razlomaka ima svoja pravila i algoritam djelovanja. Pogledajmo detaljnije svaku vrstu dodavanja.
Zbrajanje razlomaka s jednakim nazivnicima.
Pogledajmo primjer kako zbrajati razlomke sa zajedničkim nazivnikom.
Turisti su krenuli pješačiti od točke A do točke E. Prvog dana su pješačili od točke A do točke B ili \(\frac(1)(5)\) cijele staze. Drugog su dana pješačili od točke B do D ili \(\frac(2)(5)\) cijelim putem. Koliki su put prešli od početka puta do točke D?
Da biste pronašli udaljenost od točke A do točke D, trebate zbrojiti razlomke \(\frac(1)(5) + \frac(2)(5)\).
Zbrajanje razlomaka sa sličnim nazivnicima znači da morate zbrojiti brojnike tih razlomaka, ali će nazivnik ostati isti.
\(\frac(1)(5) + \frac(2)(5) = \frac(1 + 2)(5) = \frac(3)(5)\)
U doslovnom obliku zbroj razlomaka s istim nazivnicima izgledat će ovako:
\(\bf \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a + b)(c)\)
Odgovor: turisti su pješačili \(\frac(3)(5)\) cijelim putem.
Zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima.
Pogledajmo primjer:
Morate zbrojiti dva razlomka \(\frac(3)(4)\) i \(\frac(2)(7)\).
Da biste zbrajali razlomke s različitim nazivnicima, prvo morate pronaći, a zatim upotrijebite pravilo za zbrajanje razlomaka s jednakim nazivnicima.
Za nazivnike 4 i 7, zajednički nazivnik bit će broj 28. Prvi razlomak \(\frac(3)(4)\) mora se pomnožiti sa 7. Drugi razlomak \(\frac(2)(7)\ ) mora se pomnožiti sa 4.
\(\frac(3)(4) + \frac(2)(7) = \frac(3 \times \color(red) (7) + 2 \times \color(red) (4))(4 \ puta \boja(crvena) (7)) = \frac(21 + 8)(28) = \frac(29)(28) = 1\frac(1)(28)\)
U doslovnom obliku dobivamo sljedeću formulu:
\(\bf \frac(a)(b) + \frac(c)(d) = \frac(a \puta d + c \puta b)(b \puta d)\)
Zbrajanje mješovitih brojeva ili mješovitih razlomaka.
Zbrajanje se događa prema zakonu zbrajanja.
Za mješovite razlomke zbrajamo cijele dijelove s cijelim dijelovima i razlomljene dijelove s razlomcima.
Ako razlomci mješovitih brojeva imaju iste nazivnike, tada zbrajamo brojnike, ali nazivnik ostaje isti.
Zbrojimo mješovite brojeve \(3\frac(6)(11)\) i \(1\frac(3)(11)\).
\(3\frac(6)(11) + 1\frac(3)(11) = (\boja(crvena) (3) + \boja(plava) (\frac(6)(11))) + ( \boja(crvena) (1) + \boja(plava) (\frac(3)(11))) = (\boja(crvena) (3) + \boja(crvena) (1)) + (\boja( plava) (\frac(6)(11)) + \boja(plava) (\frac(3)(11))) = \boja(crvena)(4) + (\boja(plava) (\frac(6) + 3)(11))) = \boja(crvena)(4) + \boja(plava) (\frac(9)(11)) = \boja(crvena)(4) \boja(plava) (\frac (9)(11))\)
Ako razlomci mješovitih brojeva imaju različite nazivnike, tada nalazimo zajednički nazivnik.
Izvršimo zbrajanje mješovitih brojeva \(7\frac(1)(8)\) i \(2\frac(1)(6)\).
Nazivnik je drugačiji, pa moramo pronaći zajednički nazivnik, on je jednak 24. Pomnožite prvi razlomak \(7\frac(1)(8)\) s dodatnim faktorom 3, a drugi razlomak \( 2\frac(1)(6)\) puta 4.
\(7\frac(1)(8) + 2\frac(1)(6) = 7\frac(1 \times \color(red) (3))(8 \times \color(red) (3) ) = 2\frac(1\puta \color(red) (4))(6\puta \color(red) (4)) =7\frac(3)(24) + 2\frac(4)(24 ) = 9\frac(7)(24)\)
Povezana pitanja:
Kako zbrajati razlomke?
Odgovor: prvo morate odlučiti koja je to vrsta izraza: razlomci imaju iste nazivnike, različite nazivnike ili mješovite razlomke. Ovisno o vrsti izraza, prelazimo na algoritam rješenja.
Kako riješiti razlomke s različitim nazivnicima?
Odgovor: potrebno je pronaći zajednički nazivnik, a zatim slijediti pravilo zbrajanja razlomaka s istim nazivnicima.
Kako riješiti mješovite razlomke?
Odgovor: cjelobrojne dijelove zbrajamo s cijelim brojevima, a razlomke s razlomcima.
Primjer #1:
Može li zbroj dva rezultirati pravilnim razlomkom? Nepravilan razlomak? Navedite primjere.
\(\frac(2)(7) + \frac(3)(7) = \frac(2 + 3)(7) = \frac(5)(7)\)
Razlomak \(\frac(5)(7)\) je pravi razlomak, rezultat je zbroja dvaju pravih razlomaka \(\frac(2)(7)\) i \(\frac(3) (7)\).
\(\frac(2)(5) + \frac(8)(9) = \frac(2 \puta 9 + 8 \puta 5)(5 \puta 9) =\frac(18 + 40)(45) = \frac(58)(45)\)
Razlomak \(\frac(58)(45)\) je nepravi razlomak, rezultat je zbroja pravih razlomaka \(\frac(2)(5)\) i \(\frac(8) (9)\).
Odgovor: Odgovor na oba pitanja je da.
Primjer #2:
Zbrojite razlomke: a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11)\) b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9)\) .
a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11) = \frac(3 + 5)(11) = \frac(8)(11)\)
b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9) = \frac(1 \times \color(red) (3))(3 \times \color(red) (3)) + \frac(2)(9) = \frac(3)(9) + \frac(2)(9) = \frac(5)(9)\)
Primjer #3:
Napiši mješoviti razlomak kao zbroj prirodnog broja i pravilnog razlomka: a) \(1\frac(9)(47)\) b) \(5\frac(1)(3)\)
a) \(1\frac(9)(47) = 1 + \frac(9)(47)\)
b) \(5\frac(1)(3) = 5 + \frac(1)(3)\)
Primjer #4:
Izračunajte zbroj: a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7)\) b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13 ) \) c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15)\)
a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7) = (8 + 2) + (\frac(5)(7) + \frac(1)(7)) = 10 + \frac(6)(7) = 10\frac(6)(7)\)
b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) = 2 + (\frac(9)(13) + \frac(2)(13)) = 2\frac(11 )(13) \)
c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(2\puta 3)(5\puta 3) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(6)(15) + 3\frac(4)(15) = (7 + 3)+(\frac(6)(15) + \frac(4)(15)) = 10 + \frac (10)(15) = 10\frac(10)(15) = 10\frac(2)(3)\)
Zadatak #1:
Za ručkom smo jeli \(\frac(8)(11)\) od kolača, a navečer za večerom \(\frac(3)(11)\). Mislite li da je kolač u potpunosti pojeden ili ne?
Riješenje:
Nazivnik razlomka je 11, on označava na koliko je dijelova kolač podijeljen. Za ručkom smo pojeli 8 komada kolača od 11. Za večerom smo pojeli 3 komada kolača od 11. Zbrojimo 8 + 3 = 11, pojeli smo komade kolača od 11, odnosno cijelu tortu.
\(\frac(8)(11) + \frac(3)(11) = \frac(11)(11) = 1\)
Odgovor: pojela se cijela torta.
Ova lekcija će pokriti zbrajanje i oduzimanje algebarskih razlomaka s različitim nazivnicima. Već znamo zbrajati i oduzimati obične razlomke s različitim nazivnicima. Da biste to učinili, razlomke je potrebno svesti na zajednički nazivnik. Ispada da algebarski razlomci slijede ista pravila. U isto vrijeme već znamo kako algebarske razlomke svesti na zajednički nazivnik. Zbrajanje i oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima jedna je od najvažnijih i najtežih tema u kolegiju 8. razreda. Štoviše, ova tema će se pojaviti u mnogim temama u tečaju algebre koji ćete učiti u budućnosti. U sklopu lekcije proučit ćemo pravila zbrajanja i oduzimanja algebarskih razlomaka s različitim nazivnicima, a također ćemo analizirati niz tipičnih primjera.
Pogledajmo najjednostavniji primjer za obične razlomke.
Primjer 1. Zbroji razlomke: .
Riješenje:
Prisjetimo se pravila zbrajanja razlomaka. Za početak, razlomke je potrebno svesti na zajednički nazivnik. Zajednički nazivnik za obične razlomke je najmanji zajednički višekratnik(LCM) izvornih nazivnika.
Definicija
Najmanje prirodni broj, koji je istovremeno djeljiv brojevima i .
Da biste pronašli LCM, morate rastaviti nazivnike na proste faktore, a zatim odabrati sve proste faktore koji su uključeni u proširenje obaju nazivnika.
; . Tada LCM brojeva mora sadržavati dvije dvojke i dvije trojke: .
Nakon pronalaženja zajedničkog nazivnika, trebate pronaći dodatni faktor za svaki razlomak (zapravo, podijelite zajednički nazivnik s nazivnikom odgovarajućeg razlomka).
Svaki se razlomak zatim množi dobivenim dodatnim faktorom. Dobivamo razlomke s istim nazivnicima, koje smo naučili zbrajati i oduzimati u prethodnim lekcijama.
Dobivamo: 
.
Odgovor:.
Razmotrimo sada zbrajanje algebarskih razlomaka s različitim nazivnicima. Prvo, pogledajmo razlomke čiji su nazivnici brojevi.
Primjer 2. Zbroji razlomke: .
Riješenje:
Algoritam rješenja je potpuno sličan prethodnom primjeru. Lako je pronaći zajednički nazivnik ovih razlomaka: i dodatne faktore za svaki od njih.
.
Odgovor:.
Dakle, formulirajmo algoritam za zbrajanje i oduzimanje algebarskih razlomaka s različitim nazivnicima:
1. Odredi najmanji zajednički nazivnik razlomaka.
2. Pronađite dodatne faktore za svaki od razlomaka (dijeljenjem zajedničkog nazivnika s nazivnikom zadanog razlomka).
3. Pomnožite brojnike s odgovarajućim dodatnim faktorima.
4. Zbrajati ili oduzimati razlomke prema pravilima za zbrajanje i oduzimanje razlomaka s jednakim nazivnicima.
Razmotrimo sada primjer s razlomcima čiji nazivnik sadrži slovne izraze.
Primjer 3. Zbroji razlomke: .
Riješenje:
Budući da su slovni izrazi u oba nazivnika isti, trebali biste pronaći zajednički nazivnik za brojeve. Konačni zajednički nazivnik izgledat će ovako: . Dakle, rješenje ovog primjera izgleda ovako:.
Odgovor:.
Primjer 4. Oduzmi razlomke: .
Riješenje:
Ako ne možete "varati" pri odabiru zajedničkog nazivnika (ne možete ga rastaviti na faktore niti koristiti skraćene formule množenja), tada kao zajednički nazivnik morate uzeti umnožak nazivnika obaju razlomaka.
Odgovor:.
Općenito, kod rješavanja takvih primjera najteži je zadatak pronaći zajednički nazivnik.
Pogledajmo složeniji primjer.
Primjer 5. Pojednostavite: .
Riješenje:
Kada pronalazite zajednički nazivnik, prvo morate pokušati faktorizirati nazivnike izvornih razlomaka (kako biste pojednostavili zajednički nazivnik).
U ovom konkretnom slučaju:
Tada je lako odrediti zajednički nazivnik: 
.
Određujemo dodatne faktore i rješavamo ovaj primjer:
Odgovor:.
Sada utvrdimo pravila za zbrajanje i oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima.
Primjer 6. Pojednostavite: .
Riješenje:
Odgovor:.
Primjer 7. Pojednostavite: .
Riješenje:
.
Odgovor:.
Razmotrimo sada primjer u kojem se ne dodaju dva, nego tri razlomka (uostalom, pravila zbrajanja i oduzimanja za veći broj razlomaka ostaju ista).
Primjer 8. Pojednostavite: .
Razmotrimo razlomak $\frac63$. Njegova vrijednost je 2, budući da je $\frac63 =6:3 = 2$. Što se događa ako se brojnik i nazivnik pomnože s 2? $\frac63 \times 2=\frac(12)(6)$. Očito, vrijednost razlomka se nije promijenila, tako da je $\frac(12)(6)$ jer je y također jednako 2. Možete množiti brojnik i nazivnik za 3 i dobiti $\frac(18)(9)$, ili za 27 i dobiti $\frac(162)(81)$, ili za 101 i dobiti $\frac(606)(303)$. U svakom od ovih slučajeva vrijednost razlomka koju dobijemo dijeljenjem brojnika s nazivnikom je 2. To znači da se nije promijenio.
Isti se obrazac opaža u slučaju drugih frakcija. Ako su brojnik i nazivnik razlomka $\frac(120)(60)$ (jednak 2) podijeljeni s 2 (rezultat je $\frac(60)(30)$) ili s 3 (rezultat je $\frac(40)(20) $), ili za 4 (rezultat $\frac(30)(15)$) i tako dalje, tada u svakom slučaju vrijednost razlomka ostaje nepromijenjena i jednaka 2.
Ovo pravilo vrijedi i za razlomke koji nisu jednaki cijeli broj.
Ako se brojnik i nazivnik razlomka $\frac(1)(3)$ pomnože s 2, dobiva se $\frac(2)(6)$, odnosno vrijednost razlomka se nije promijenila. I zapravo, ako pitu podijelite na 3 dijela i uzmete jedan od njih, ili je podijelite na 6 dijelova i uzmete 2 dijela, dobit ćete istu količinu pite u oba slučaja. Dakle, brojevi $\frac(1)(3)$ i $\frac(2)(6)$ su identični. Formulirajmo opće pravilo.
Brojnik i nazivnik bilo kojeg razlomka mogu se pomnožiti ili podijeliti s istim brojem bez promjene vrijednosti razlomka.
Ovo se pravilo pokazalo vrlo korisnim. Na primjer, u nekim slučajevima, ali ne uvijek, omogućuje izbjegavanje operacija s velikim brojevima.
Na primjer, možemo podijeliti brojnik i nazivnik razlomka $\frac(126)(189)$ sa 63 i dobiti razlomak $\frac(2)(3)$, s kojim je mnogo lakše izračunati. Još jedan primjer. Brojnik i nazivnik razlomka $\frac(155)(31)$ možemo podijeliti s 31 i dobiti razlomak $\frac(5)(1)$ ili 5, budući da je 5:1=5.
U ovom primjeru prvi put smo se susreli razlomak čiji je nazivnik 1. Takvi razlomci igraju važnu ulogu u izračunima. Treba imati na umu da se bilo koji broj može podijeliti s 1 i da se njegova vrijednost neće promijeniti. Odnosno, $\frac(273)(1)$ je jednako 273; $\frac(509993)(1)$ jednako je 509993 i tako dalje. Dakle, ne moramo dijeliti brojeve s jer se svaki cijeli broj može prikazati kao razlomak s nazivnikom 1.
S takvim razlomcima, čiji je nazivnik 1, možete izvoditi iste aritmetičke operacije kao sa svim ostalim razlomcima: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30)(1 ) $, $\frac(4)(1) \times \frac(3)(1)=\frac(12)(1)$.
Možete se zapitati što je dobro ako cijeli broj predstavimo kao razlomak s jedinicom ispod crte, budući da je praktičnije raditi s cijelim brojem. Ali poanta je u tome da nam predstavljanje cijelog broja kao razlomka daje priliku da učinkovitije izvodimo razne operacije kada se bavimo i cijelim brojevima i razlomcima u isto vrijeme. Na primjer, učiti zbrajati razlomke s različitim nazivnicima. Pretpostavimo da trebamo zbrojiti $\frac(1)(3)$ i $\frac(1)(5)$.
Znamo da možemo zbrajati samo razlomke čiji su nazivnici jednaki. To znači da moramo naučiti kako svesti razlomke na oblik u kojem su im nazivnici jednaki. U ovom slučaju opet će nam trebati činjenica da brojnik i nazivnik razlomka možemo pomnožiti istim brojem bez promjene njegove vrijednosti.
Prvo pomnožite brojnik i nazivnik razlomka $\frac(1)(3)$ s 5. Dobivamo $\frac(5)(15)$, vrijednost razlomka se nije promijenila. Zatim pomnožimo brojnik i nazivnik razlomka $\frac(1)(5)$ s 3. Dobivamo $\frac(3)(15)$, opet se vrijednost razlomka nije promijenila. Prema tome, $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$.
Pokušajmo sada primijeniti ovaj sustav na zbrajanje brojeva koji sadrže i cijele i razlomke.
Trebamo dodati $3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$. Prvo, pretvorimo sve članove u razlomke i dobijemo: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$. Sada sve razlomke trebamo dovesti na zajednički nazivnik, za to množimo brojnik i nazivnik prvog razlomka s 12, drugog s 4, a trećeg s 3. Kao rezultat toga, dobivamo $\frac(36 )(12) + \frac(4 )(12)+\frac(15)(12)$, što je jednako $\frac(55)(12)$. Ako se želite riješiti nepravi razlomak, može se pretvoriti u broj koji se sastoji od cijelog broja i razlomka: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ ili $4\frac(7 )( 12)$.
Sva pravila koja dopuštaju operacije s razlomcima, koje smo upravo proučavali, također vrijede u slučaju negativnih brojeva. Dakle, -1: 3 može se napisati kao $\frac(-1)(3)$, a 1: (-3) kao $\frac(1)(-3)$.
Budući da i dijeljenje negativnog broja s pozitivnim brojem i dijeljenje pozitivnog broja s negativnim rezultiraju negativnim brojevima, u oba će slučaja odgovor biti negativan broj. To je
$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ ili $1: (-3) = \frac(1)(-3)$. Znak minus kada se piše na ovaj način odnosi se na cijeli razlomak, a ne zasebno na brojnik ili nazivnik.
S druge strane, (-1) : (-3) može se napisati kao $\frac(-1)(-3)$, a budući da dijeljenje negativnog broja negativnim brojem daje pozitivan broj, tada $\frac (-1 )(-3)$ može se napisati kao $+\frac(1)(3)$.
Zbrajanje i oduzimanje negativnih razlomaka provodi se prema istoj shemi kao zbrajanje i oduzimanje pozitivnih razlomaka. Na primjer, koliko je $1- 1\frac13$? Predstavimo oba broja kao razlomke i dobijemo $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$. Dovedimo razlomke na zajednički nazivnik i dobijemo $\frac(1 \times 3)(1 \times 3)-\frac(4)(3)$, odnosno $\frac(3)(3)-\ frac(4) (3)$ ili $-\frac(1)(3)$.
U petom stoljeću prije Krista starogrčki filozof Zenon iz Eleje formulirao je svoje poznate aporije, od kojih je najpoznatija aporija “Ahilej i kornjača”. Evo kako to zvuči:Recimo Ahil trči deset puta brže od kornjače i za njom je tisuću koraka. Za vrijeme koje je Ahilu potrebno da pretrči tu udaljenost, kornjača će otpuzati stotinjak koraka u istom smjeru. Kad Ahil pretrči stotinu koraka, kornjača otpuže još deset koraka, i tako dalje. Proces će se nastaviti ad infinitum, Ahil nikada neće sustići kornjaču.
Ovo razmišljanje postalo je logičan šok za sve naredne generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert... Svi su oni na ovaj ili onaj način razmatrali Zenonove aporije. Šok je bio toliko jak da je " ... rasprave traju do danas, znanstvena zajednica još nije uspjela doći do zajedničkog mišljenja o suštini paradoksa ... u proučavanje problematike uključeni su matematička analiza, teorija skupova, novi fizikalni i filozofski pristupi ; nijedan od njih nije postao općeprihvaćeno rješenje problema..."[Wikipedia, "Zenonova aporija". Svi shvaćaju da su prevareni, ali nitko ne razumije u čemu se prijevara sastoji.
S matematičkog gledišta, Zenon je u svojim aporijama jasno pokazao prijelaz s količine na . Ovaj prijelaz podrazumijeva primjenu umjesto trajnih. Koliko ja razumijem, matematički aparat za korištenje promjenjivih mjernih jedinica ili još nije razvijen, ili nije primijenjen na Zenonove aporije. Primjena naše uobičajene logike vodi nas u zamku. Mi, zbog inercije mišljenja, na recipročnu vrijednost primjenjujemo stalne jedinice vremena. S fizičke točke gledišta, ovo izgleda kao da se vrijeme usporava sve dok se potpuno ne zaustavi u trenutku kada Ahilej sustigne kornjaču. Ako vrijeme stane, Ahilej više ne može pobjeći kornjači.
Okrenemo li svoju uobičajenu logiku, sve dolazi na svoje mjesto. Ahilej trči konstantnom brzinom. Svaki sljedeći segment njegovog puta je deset puta kraći od prethodnog. Sukladno tome, vrijeme utrošeno na njegovo prevladavanje je deset puta manje od prethodnog. Ako primijenimo koncept "beskonačnosti" u ovoj situaciji, tada bi bilo ispravno reći "Ahil će beskonačno brzo sustići kornjaču."
Kako izbjeći ovu logičku zamku? Ostanite u konstantnim jedinicama vremena i nemojte prelaziti na recipročne jedinice. Na Zenonovom jeziku to izgleda ovako:
U vremenu koje je potrebno Ahilu da pretrči tisuću koraka, kornjača će otpuzati stotinu koraka u istom smjeru. Tijekom sljedećeg vremenskog intervala jednakog prvom, Ahilej će pretrčati još tisuću koraka, a kornjača će puzati stotinu koraka. Sada je Ahilej osam stotina koraka ispred kornjače.
Ovaj pristup adekvatno opisuje stvarnost bez ikakvih logičkih paradoksa. Ali nije cjelovito rješenje Problemi. Einsteinova izjava o neodoljivosti brzine svjetlosti vrlo je slična Zenonovoj aporiji “Ahil i kornjača”. Ovaj problem još moramo proučiti, promisliti i riješiti. A rješenje se ne mora tražiti u beskonačno velikim brojevima, već u mjernim jedinicama.
Još jedna zanimljiva Zenonova aporija govori o letećoj strijeli:
Strijela koja leti je nepomična, budući da u svakom trenutku vremena miruje, a budući da miruje u svakom trenutku vremena, ona uvijek miruje.
U ovoj se aporiji logički paradoks prevladava vrlo jednostavno – dovoljno je pojasniti da u svakom trenutku leteća strijela miruje na različitim točkama u prostoru, što je, zapravo, gibanje. Ovdje je potrebno napomenuti još jednu stvar. Iz jedne fotografije automobila na cesti nemoguće je utvrditi ni činjenicu njegovog kretanja ni udaljenost do njega. Da biste utvrdili kreće li se automobil, potrebne su vam dvije fotografije snimljene s iste točke u različitim vremenskim točkama, ali ne možete odrediti udaljenost od njih. Za određivanje udaljenosti do automobila potrebne su vam dvije fotografije snimljene s različitih točaka u prostoru u jednom trenutku, ali iz njih ne možete utvrditi činjenicu kretanja (naravno, i dalje su vam potrebni dodatni podaci za izračune, trigonometrija će vam pomoći ). Ono na što posebno želim skrenuti pozornost je da su dvije točke u vremenu i dvije točke u prostoru različite stvari koje ne treba brkati, jer daju različite mogućnosti istraživanja.
Srijeda, 4. srpnja 2018
Razlike između skupa i multiskupa su vrlo dobro opisane na Wikipediji. Da vidimo.
Kao što možete vidjeti, "ne mogu postojati dva identična elementa u skupu", ali ako postoje identični elementi u skupu, takav skup se naziva "multiskup". Razumna bića nikada neće shvatiti takvu apsurdnu logiku. To je razina papiga koje govore i dresiranih majmuna, koji nemaju inteligenciju od riječi "potpuno". Matematičari se ponašaju kao obični treneri, propovijedajući nam svoje apsurdne ideje.
Jednom davno, inženjeri koji su gradili most bili su u čamcu ispod mosta dok su ispitivali most. Ako se most sruši, osrednji inženjer umro je ispod ruševina svoje kreacije. Ako je most mogao izdržati opterećenje, talentirani inženjer izgradio je druge mostove.
Koliko god se matematičari skrivali iza fraze "pamte me, ja sam u kući", odnosno "matematika proučava apstraktne pojmove", postoji jedna pupčana vrpca koja ih neraskidivo povezuje sa stvarnošću. Ova pupčana vrpca je novac. Primijenimo matematičku teoriju skupova na same matematičare.
Odlično smo učili matematiku i sada sjedimo za blagajnom i dajemo plaće. Dakle, matematičar dolazi k nama po svoj novac. Izbrojimo mu cijeli iznos i poslažemo ga na stol u različite hrpe u koje stavimo novčanice istog apoena. Zatim uzmemo po jednu novčanicu iz svake hrpe i damo matematičaru njegov "matematički skup plaće". Objasnimo matematičaru da će preostale račune dobiti tek kada dokaže da skup bez identičnih elemenata nije jednak skupu s identičnim elementima. Ovdje počinje zabava.
Prije svega, proradit će logika zastupnika: "Ovo se može primijeniti na druge, ali ne na mene!" Tada će nas početi uvjeravati da novčanice istog apoena imaju različite brojeve novčanica, što znači da se ne mogu smatrati istim elementima. Dobro, prebrojimo plaće u kovanicama - na kovanicama nema brojeva. Ovdje će se matematičar početi mahnito prisjećati fizike: različite kovanice imaju različite količine prljavštine, kristalna struktura i raspored atoma je jedinstven za svaki novčić...
A sad imam najviše interes Pitaj: gdje je crta iza koje se elementi multiskupa pretvaraju u elemente skupa i obrnuto? Takva crta ne postoji – o svemu odlučuju šamani, znanost tu ni blizu ne laže.
Pogledaj ovdje. Odabiremo nogometne stadione s istom površinom terena. Površine polja su iste – što znači da imamo multiskup. Ali ako pogledamo imena tih istih stadiona, dobivamo mnogo, jer su imena različita. Kao što vidite, isti skup elemenata je i skup i multiskup. Što je točno? I tu matematičar-šaman-šarpist vadi asa aduta iz rukava i počinje nam pričati ili o skupu ili o multiskupu. U svakom slučaju, on će nas uvjeriti da je u pravu.
Da bismo razumjeli kako moderni šamani operiraju s teorijom skupova, povezujući je sa stvarnošću, dovoljno je odgovoriti na jedno pitanje: po čemu se elementi jednog skupa razlikuju od elemenata drugog skupa? Pokazat ću vam, bez ikakvih "zamislivo kao nejedna cjelina" ili "nezamislivo kao jedinstvena cjelina".
Nedjelja, 18.03.2018
Zbroj znamenki broja je ples šamana s tamburom, koji nema veze s matematikom. Da, na satovima matematike nas uče pronaći zbroj znamenki broja i njime se služiti, ali zato su šamani, da svoje potomke pouče svojim vještinama i mudrosti, inače će šamani jednostavno izumrijeti.
Trebate li dokaz? Otvorite Wikipediju i pokušajte pronaći stranicu "Zbroj znamenki broja." Ona ne postoji. Ne postoji formula u matematici koja se može koristiti za pronalaženje zbroja znamenki bilo kojeg broja. Uostalom, brojevi su grafički simboli kojima zapisujemo brojeve, a jezikom matematike zadatak zvuči ovako: “Nađi zbroj grafičkih simbola koji predstavljaju bilo koji broj.” Matematičari ne mogu riješiti ovaj problem, ali šamani to mogu lako.
Shvatimo što i kako radimo da bismo pronašli zbroj znamenki zadanog broja. I tako, neka nam je broj 12345. Što treba učiniti da bismo pronašli zbroj znamenki tog broja? Razmotrimo sve korake redom.
1. Zapišite broj na komad papira. Što smo učinili? Broj smo pretvorili u grafički simbol broja. Ovo nije matematička operacija.
2. Jednu dobivenu sliku režemo na nekoliko slika koje sadrže pojedinačne brojeve. Rezanje slike nije matematička operacija.
3. Pretvorite pojedinačne grafičke simbole u brojeve. Ovo nije matematička operacija.
4. Zbrojite dobivene brojeve. Ovo je matematika.
Zbroj znamenki broja 12345 je 15. Ovo su "tečajevi krojenja i šivanja" koje podučavaju šamani a kojima se služe matematičari. Ali to nije sve.
S matematičkog gledišta nije svejedno u kojem brojevnom sustavu zapisujemo broj. Dakle, u različitim sustavima brojeva zbroj znamenki istog broja bit će različit. U matematici se brojevni sustav označava kao indeks s desne strane broja. S velikim brojem 12345, ne želim zavaravati glavu, razmislimo o broju 26 iz članka o. Zapišimo ovaj broj u binarnom, oktalnom, decimalnom i heksadecimalnom brojevnom sustavu. Nećemo svaki korak promatrati pod mikroskopom; to smo već učinili. Pogledajmo rezultat.
Kao što vidite, u različitim brojevnim sustavima zbroj znamenki istog broja je različit. Ovaj rezultat nema nikakve veze s matematikom. To je isto kao da ste odredili površinu pravokutnika u metrima i centimetrima, dobili biste potpuno drugačije rezultate.
Nula izgleda isto u svim brojevnim sustavima i nema zbroj znamenki. To je još jedan argument u prilog tome da. Pitanje za matematičare: kako se u matematici označava nešto što nije broj? Što, za matematičare ne postoji ništa osim brojeva? Šamanima to mogu dopustiti, ali znanstvenicima ne. Stvarnost nisu samo brojke.
Dobiveni rezultat treba smatrati dokazom da su brojevni sustavi mjerne jedinice za brojeve. Uostalom, ne možemo uspoređivati brojeve s različitim mjernim jedinicama. Ako iste radnje s različitim mjernim jedinicama iste veličine dovode do različitih rezultata nakon njihove usporedbe, onda to nema nikakve veze s matematikom.
Što je prava matematika? To je kada rezultat matematičke operacije ne ovisi o veličini broja, korištenoj mjernoj jedinici i o tome tko tu radnju izvodi.
Oh! Nije li ovo ženski WC?
- Mlada žena! Ovo je laboratorij za proučavanje nedefilske svetosti duša tijekom njihova uzašašća na nebo! Oreol na vrhu i strelica prema gore. Koji drugi WC?
Žensko... Oreol na vrhu i strelica prema dolje su muški.
Ako vam takvo dizajnersko djelo bljesne pred očima nekoliko puta dnevno,
Onda ne čudi da iznenada nađete čudnu ikonu u svom automobilu:
Osobno se trudim vidjeti minus četiri stupnja kod osobe koja kaki (jedna slika) (kompozicija od više slika: znak minus, broj četiri, oznaka stupnjeva). I ne mislim da je ova cura budala koja ne zna fiziku. Ona samo ima jak stereotip percepcije grafičkih slika. A matematičari nas tome stalno uče. Evo primjera.
1A nije "minus četiri stupnja" ili "jedan a". Ovo je "čovjek koji kaki" ili broj "dvadeset šest" u heksadecimalnom zapisu. Oni ljudi koji stalno rade u ovom sustavu brojeva automatski percipiraju broj i slovo kao jedan grafički simbol.
