Množenje i dugo dijeljenje: primjeri. Množenje prirodnih brojeva stupcem, primjeri, rješenja
Množenje stupaca omogućuje vam brzo rješavanje primjera čak i s višeznamenkastim brojevima. Da biste računali, trebate samo znati tablicu množenja napamet.
Kako množiti po stupcu
Kao i kod stupčastog zbrajanja i oduzimanja, kod množenja se brojevi pišu jedan ispod drugog. Svaka znamenka je na svom mjestu: jedinice ispod jedinica, desetice ispod desetica itd. Ispod je povučena vodoravna linija, ispod koje je napisan odgovor.
Uzmimo brojeve 78 i 12. Za bolje razumijevanje: 78 pišemo na vrhu, 12 na dnu. Počinjemo s jedinicom donjeg broja, odnosno s brojem 2.
Prvo brojimo 8×2=16. Pokazalo se da je broj veći od 10, što znači da, osim toga, pišemo posljednju znamenku (6) i imajte na umu jedno. Sada prelazimo na deset, odnosno brojimo 7 × 2 = 14. Imali smo jedinicu u vidu, pa je sada dodamo rezultatu, ispada 14+1=15. Ispod desetica upisuje se broj 5, a 1 ide u novu kategoriju - stotice. Drugim riječima, ispod vodoravne crte treba pisati "156".
Prijeđimo na sljedeću kategoriju. Sada će naš odgovor biti napisan drugačije: posljednja znamenka odgovora trebala bi biti točno ispod gornjih desetica, odnosno ispod broja 5. Ispada da se svaki sljedeći srednji broj pomiče za 1 znamenku ulijevo.
Brojimo 8×1=8. Broj je manji od 10, napišite 8 ispod pet u broju “156”. Brojimo 7×1=7. Sedmica ide u kategoriju stotina, odnosno treba je pisati ispod jedinice u odgovoru “156”. Ispod šestice nije ništa napisano, radi praktičnosti možete tamo staviti nulu.
Dobiveni izraz zbrajamo u stupac: 156+78. Ništa se ne dodaje 6 (0), što znači da ga prepisujemo u prethodnom obliku. Zatim brojimo 5+8=13, napišemo 3, jedno na pamet. Konačno, 1+7=8, zbrojimo jedan - dobivamo 9.
Dakle, odgovor je 936.
Bolje je vježbati na kariranom listu kako biste se navikli na položaj znamenki množitelja
Na isti se način množe i ostali višeznamenkasti brojevi.
Ako u faktorima ima nula, one se ne množe, već se jednostavno prebacuju na desnu stranu konačnog odgovora.
Mogućnosti kartice
Radi jasnoće, možete ispisati kartice s primjerima različitih razina složenosti. Tako će djeca lakše zapamtiti princip brojanja. Primjeri za vježbanje mogu poslužiti i pri prvom učenju množenja i za ponavljanje nakon praznika.
U početku će vam rješavanje primjera oduzeti puno vremena, no postupno će se brzina povećavati. Čak i ako imate kalkulator, bolje je računati rukom: to razvija mentalnu aktivnost.
Fotogalerija: primjeri kartica za lekciju
Video: množenje brojeva u stupcu
Stalno vježbanje je ključ uspjeha, a s vremenom možete naučiti množiti čak i velike brojeve u glavi. Ali, naravno, bolje je započeti s jednostavnim primjerima, postupno povećavajući razinu složenosti.
Ljudi, ponovimo što je jednoznamenkasti, dvoznamenkasti i troznamenkasti broj.
Jednoznamenkasti broj je broj za koji je potreban jedan znak za pisanje.
Na primjer: 1, 3, 5, 4, ...
Vjerojatno ste već pogodili da su jednoznamenkasti brojevi znamenke kada su zapisani kao broj. Sastoje se od jedinica.
Dvoznamenkasti broj je broj za koji su potrebna dva znaka za pisanje. Na primjer, svi brojevi od 10 do 99 su dvoznamenkasti brojevi. Sastoje se od desetica i jedinica.
Kada djeca počinju razbijati brojeve?
Dijeljenje se uvodi u ključnoj fazi 1 kako bi djeca znala da je dvoznamenkasti broj sastavljen od desetica i jedinica. Ideja je da dijete poveže strelice kako bi se brojevi poklopili. Ovo su dvije najčešće korištene metode za zbrajanje velikih brojeva.
Učitelj može početi učiti djecu zbrajati dvoznamenkaste i troznamenkaste brojeve u 3. razredu rastavljajući ih u dijelove. Razlog za to je taj što djeci pomaže u mentalnom zbrajanju višekratnika od deset i višekratnika od 100. Djeca u 3. godini također bi trebala naučiti zbrajati troznamenkaste brojeve uz pomoć, tako da će vaše dijete vjerojatno naići na obje ove metode.
Troznamenkasti broj je broj za koji su potrebna tri znaka. Već ste pogodili da su svi brojevi od 100 do 999 troznamenkasti. Sadrže jedinice, desetice i stotine.
Dečki, odgovorite na pitanje: koliko ima troznamenkastih brojeva?
Prije svega, zapamtite pravilo množenja s nulom i jedan.
Ovo pravilo kaže:
Broj * 0 = 0
Broj * 1 = broj
Dijeljenje u množenju
Djeca 3. godine također trebaju množiti dvoznamenkaste brojeve jednoznamenkastim brojevima. Obično ih se uči ovoj particiji, na primjer. Nakon što su učitelji vrlo sigurni da dijete zna množiti višekratnike deset i sto, često će dopustiti djetetu da prijeđe na bržu metodu stupca.
U 6. godini djeca bi trebala početi računati. Da bi bilo lakše, učitelj im može pokazati kako se dijele decimale. Ovo se čita kao četiri puta šest jednako dvadeset i četiri ili jednostavno četiri puta šest jednako dvadeset i četiri. Poznavanje množenja je vrlo važno. Dakle, ako ste slabi u množenju, trebali biste pokušati dosegnuti razinu znanja u sljedećem "rasporedu vremena".
Primjeri.
5 * 0 = 0;
18 * 0 = 0;
4506 * 0 = 0
1 * 34 = 34;
2384 * 1 = 2384;
1 * 47586 = 47586
Za množenje višeznamenkastih brojeva često se koristi metoda množenja u stupcu, koju ćemo koristiti u našim primjerima.
Pomnožite višeznamenkasti broj s brojem koji nije 0 ili 1.
Pogledajmo primjere.
Uzmimo brojeve 348 i 4. Napišimo ih u stupac da nam bude lakše. Počnimo množenje od krajnjeg desnog stupca i pomnožimo brojeve 4 i 8. Dobijemo broj 32. Broj 2 upisujemo strogo ispod brojeva 8 i 4. A broj 30 prenosimo na susjednu znamenku (deseticu). Prilikom pomicanja broja na višu znamenku, na primjer, iz jedinica u desetice, ovaj broj gubi 0. 
Sada pomnožimo 4 i 4 i dobijemo 16. Dodajmo 3 iz prethodnog množenja. Kao rezultat dobivamo 19. Ispod broja 4 (lijevo od broja 2) upisujemo broj 9, a 1 prenosimo na susjednu znamenku (stotinjak). 
Zatim pomnožimo brojeve 3 i 4 i rezultatu dodamo 1 iz prethodne radnje. Kao rezultat toga, dobivamo 13. Zapisujemo ga u cijelosti, jer ovo je naša zadnja akcija. 
Kao rezultat, dobivamo proizvod brojeva 348 sa 4, što je jednako 1392.
Množenje velikih brojeva
Vaše samopouzdanje i sposobnost učenja matematike uvelike će ovisiti o vašem znanju o reprodukciji. Dakle, trebali biste težiti svladavanju gornjeg "rasporeda vremena".
- Umnožak je rezultat množenja dva broja.
- Da biste izračunali 8 X 9, prisjetite se "tablice osam puta".
Za množenje velikog broja s jednoznamenkastim brojem, unesite znamenke okomito i veći broj će se pomnožiti s manjim brojem. Da biste izračunali 89 X 7, postavite ga uspravno s manjim brojem ispod većeg broja, kao što je prikazano u nastavku. Sada izračunajte 7 X 8 i dodajte 6 da dobijete. Zapisano je kao što je prikazano u nastavku.
Primjeri množenja višeznamenkastog broja dvoznamenkastim brojem
U ovom primjeru razmislite o množenju troznamenkastog broja s dvoznamenkastim brojem. Uzmimo brojeve 925 i 38.Cijeli proces množenja podijeljen je u nekoliko dijelova.
Prvi dio je množenje broja 925 s brojem 8. Radi praktičnosti, napišimo ih u stupac.
Kao i obično, kod množenja po stupcu počet ćemo radnje od krajnjeg desnog stupca. Tu su zapisani brojevi 5 i 8, množenjem kojih dobijemo broj 40. Ispod brojeva 5 i 8 upisujemo broj 0. 
Ne zaboravite pomaknuti 40 na sljedeću znamenku (deseticu). 
Sada množimo brojeve 2 i 8. Dobivamo 16. Ne zaboravite dodati broj 4, koji ostaje nakon izvođenja prethodne radnje (prilikom množenja 8 i 5). Dobijemo broj 20. Ispod broja 3 pored prethodnog broja 0 upišemo broj 0, a 20 premjestimo na sljedeću znamenku (mjesto stotice). 
I zadnja radnja prvog dijela je množenje brojeva 9 i 8. Umnožak tih brojeva je 72. Umnošku pribrojite broj 2 i dobijete broj 74. Zapišite ga u cijelosti. 
Drugi dio je množenje broja 925 s brojem 3. Ovaj dio nećemo razmatrati toliko detaljno kao prethodni, već ćemo jednostavno zapisati rezultat umnoška ovih brojeva.
Kada pišete proizvod brojeva u drugom dijelu, morate zapamtiti da snimanje ne bi trebalo započeti od krajnjeg desnog stupca, već s pomakom za jedan. U našem primjeru, prvi broj mora biti napisan strogo pod brojevima 2, 3.0. Vidi sliku. 
Treći dio je dobivanje zbroja brojeva. Ovaj Završna faza, na kojem trebamo dobiti zbroj od prvog umnoška - 7400 i od drugog umnoška - 2775. Zbrajamo, slijedeći pravila koja se koriste pri zbrajanju u stupcu.
Zadnja slika prikazuje rezultat množenja dvoznamenkastog broja 38 troznamenkastim brojem 925. Najvažnije pravilo s kojim počinjemo proučavati množenje po stupcu:
Rješenje često iznosimo na sljedeći način. Množenje 38 sa 60 brže je od množenja 60 sa 38 jer 60 sadrži nulu. Množenje 385 s 500 brže je od množenja 500 s 385 jer 500 sadrži dvije nule. Da biste pomnožili dva velika broja, napišite brojeve okomito i veći broj će se pomnožiti s manjim brojem, što se naziva množitelj. Koristimo tablicu vremena kako bismo pronašli umnožak većeg broja sa svakom znamenkom u faktoru, zbrajajući rezultate. Na primjer, ako je znamenka množenja u stupcu stotina, dodajte dvije nule za stupac desetica i stupac jedinica.
- Dakle, stavite 3 u stupac jedinica i nosite 6.
- Zatim izračunajte 7 X 8 i dodajte 6 da biste dobili 62.
- Nula se stavlja u stupac jedinica.
- Zatim izračunavamo 6 H 38 kao što je prikazano gore.
- Nula se stavlja u stupac jedinica, kao i stupac desetica.
- Zatim izračunavamo 5 H 385 kao što je prikazano gore.
- Ne zaboravite dodati nulu za svaku mjesnu vrijednost nakon znamenke množenja.
- Da biste pomnožili 269 sa 78, stavite 78 ispod.
- Zatim izračunavamo 8 X 269 i 70 X 269 kao što je prikazano gore.
Množenje stupca dvoznamenkastim brojem
Primjer: 46 puta 73
Ispod broja 46 upisujemo broj 73 prema pravilu:
Jedinice se pišu ispod jedinica, a desetice ispod desetica.
1 Množenje počinjemo s jedinicama.
Pomnožite 3 sa 6. Dobit ćete 18.
- 18 jedinica je 1 desetica i 8 jedinica.
- Ispod jedinica upisujemo 8 jedinica, a 1 deseticu pamtimo i pribrajamo deseticama.
Sada pomnožimo 3 sa 4 desetice. Ispada 12.
Prečac #1: Kvadriranje brojeva u 50-ima
Svatko može biti dobar u matematici s prečacima Mikea Bistera. Sada, ako je broj iz koraka 2 manji od 10, morate staviti nulu ispred njega.
Prečac 2: Množenje dva broja u 90-ima zajedno
Kada pomnožite dva broja u 90-ima zajedno, zagrade pored svakog broja pokazuju koliko je udaljen taj broj.Pomnožite troznamenkasti broj s dvoznamenkastim brojem
Ovo je jedan od mojih omiljenih trikova jer je jednostavan i zadivit će svakoga tko ga vidi. Zamolite nekoga da odabere dva broja ispod 10 i napiše jedan iznad drugog. Zamolite osobu da ih doda i stavi odgovor odmah ispod dva broja. Neka osoba nastavi dodavati donja dva broja u stupac i nastavi zbrajati zbroj dok ne dobijete ukupno deset brojeva. Zatim mu dodajte cijeli stupac. Primjer: netko odabere brojeve 4 i 7 i napiše 4 na vrhu. Sljedeći broj u nizu bit će jer 4 7 = Tada dodavanjem donja dva broja u stupac, sljedeći broj će biti 18 jer 7 11 = On mora nastaviti raditi ovo sve dok ne dobije ukupno deset brojeva i tada će dodaj sve stupce.
12 desetica i još 1, ukupno 13 desetica.
U ovom primjeru nema stotica, pa umjesto stotica odmah pišemo 1.
138 je prvo nedovršeno djelo.
2 Množenje desetica.
7 desetica puta 6 jedinica jednako je 42 desetice.
- 42 desetice su 4 stotine i 2 desetice.
- Ispod desetica zapisujemo 2 desetice. Upamtimo 4 i zbrojimo ga stotinama.
7 desetica pomnoženo sa 4 desetice jednako je 28 stotina. 28 stotica, a još 4 čine 32 stotice.
Kolona bi mogla izgledati otprilike ovako. Bacite brz pogled na brojeve i kažete mu da se svih deset znamenki zbraja. Sve što trebate učiniti je pogledati 76 i dodati mu znamenku desetica, 76 7 = Zatim staviti jednu znamenku 76 na kraj. Ako je osoba odabrala dva velika broja, kao što su 8 i 9, sedmi broj može biti troznamenkasti broj. Kolona će izgledati ovako.
Koje pogreške možete napraviti pri množenju i kako ih izbjeći
Broj sedam u ovom slučaju. Ovdje ćemo pogledati kako množiti dvoznamenkaste brojeve. Prvo sam koristio metodu koja se zove izravna metoda Jacoba Trachtenberga, a drugi - metodu "dva prsta". Obje ove metode funkcioniraju za bilo koju kombinaciju dvoznamenkastih brojeva.
- 32 stotine su 3 tisuće i 2 stotine.
- Ispod stotica pišemo 2 stotice, a 3 tisuće pamtimo i zbrajamo tisućicama.
U ovom primjeru nema tisućica, pa umjesto tisućica odmah pišem 3.
3220 je drugo nedovršeno djelo.
3 Prvi i drugi nepotpuni umnožak zbrajamo prema pravilu zbrajanja u stupcu.
138 plus 3220 jednako je 3358.
Ako vas zanima množenje brojeva do dvanaest, pogledajte ove. Izravna metoda se rijetko poučava u školama, ali je poznata već stoljećima. U školi vas obično uče da rezultat množenja svake znamenke faktora napišete u poseban redak, a zatim zbrojite zbroj.
Množenje višeznamenkastog broja višeznamenkastim brojem
Umjesto toga, napišite samo odgovor. Da biste to učinili, napravite nekoliko izračuna u svakom koraku. Zanemaruju se parovi koji ne znače ništa. Ti se parovi nazivaju vanjski i unutarnji parovi. Vanjski par uvijek povezuje jednu znamenku množitelja sa znamenkom koju trenutno gledamo. Unutarnji par uvijek povezuje znamenke desetica sa znamenkom desno od znamenke na kojoj radimo u množitelju.
Čitamo odgovor: 46 pomnoženo sa 73 jednako je 3358
(Kliknite na sliku)
Komponente radnje množenja
(Kliknite na sliku)
Uzorak obrazloženja
tijekom snimanja
množenje stupaca
Dijeljenje periodičkih razlomaka
Ova metoda je u biti ista kao u vedskoj matematici, gdje se koristi "vertikalna i poprečna" sutra kada se množe dvoznamenkasti brojevi. Stil jednadžbe je jedina prava razlika. U vedskoj matematici jednadžba je napisana u dva retka kao što je prikazano u nastavku. Za izravnu metodu, jednadžba je u istoj liniji kao i odgovor ispod animacije.
Možete pogledati video o izravnom množenju s dvoznamenkastim faktorima ili nastaviti čitati sljedeće primjere. Broj vodećih nula uvijek je isti kao i broj znamenki u množitelju, pa pri množenju dvoznamenkastim brojevima uvijek dodamo 2 vodeće nule. Dalje: Množimo dvije jedinične znamenke.
Pažljivo ga pregledajte i primijenite u svojim postupcima!
Koje su pogreške u množenju?
može se učiniti
kako ih izbjeći
Pažljivo pregledajte
da ne bi pogriješili!
Pravila za ostale slučajeve množenja
Množenje u stupcu jednoznamenkastim brojem
Ovaj korak uključuje množenje znamenke desetica jednog broja s znamenkom jedinica drugog. Kada jednadžbu pišemo na jednom retku, povučemo li zakrivljene spojne linije između umnoženih znamenki, dobivamo vanjski i unutarnji par. Kada jednadžbu zapisujemo u dvije crte, križić dobivamo kada povučemo ravne spojne crte između umnoženih brojeva.
Množenje u stupcu dvaju višeznamenkastih prirodnih brojeva
Zbrajanje rezultata ove dvije jednadžbe daje 14, pa pišemo 4 i prenosimo. U ovom koraku množimo desetke znamenki svakog broja. Kada pišete jednadžbu u jednom retku, vanjski par u ovom koraku povezan je s nulom, tako da je rezultat tog para nula i može se zanemariti. U ovom primjeru, mentalni izračuni koje trebamo napraviti su relativno jednostavni, a budući da radimo manje koraka od tradicionalna metoda množenja, to se događa brže. Međutim, ovaj pristup ima nedostatak, osobito kada su uključeni brojevi veći.
Ovaj primjer može se napisati u stupac.
Ispod broja 34 upisujemo broj 2 prema pravilu:
Ispod broja 68 upisujemo broj 2 prema pravilu:
Množimo dvije jednoznamenkaste brojke. Dakle, pišemo 2 i nosimo. Ovdje postaje teško, pogotovo ako pokušavate mentalno napraviti izračun. Dakle, pišemo 4 i nosimo. Imamo 63 kojima dodajemo nosivost od 14. Zapišimo 7 i nosimo.
Kako množiti stupcem: osnovna pravila
Slijedeći izvornu metodu i razlog za vodeće nule, imamo dodatni korak zbog prijenosa. Dakle, imamo nula plus nosi 7 što pišemo 7 što nam daje naš odgovor. Ovaj se korak može činiti suvišnim i mogli bismo jednostavno napisati prijenos u zadnjem koraku, ali dok učite metodu, najbolje je slijediti cijelu jednadžbu dok ne budete dovoljno upoznati s metodom da koristite male prečace.
Jedinice pišemo pod jedinicama, a desetice, ako su pod deseticama
1 Množenje počinjemo s jedinicama.
Pomnožite 2 s 8. Dobit ćete 16.
- 16 jedinica je 1 desetica i 6 jedinica.
- Ispod jedinica upisujemo 6 jedinica. Upamtimo 1 deseticu i dodamo je deseticama.
Sada pomnožimo 2 sa 6 desetica. Ispada 12.
12 desetica i još 1 za ukupno 13 desetica.
Kao što vidite, kada brojevi sadrže 7, 8 i 9, matematika postaje teža, pogotovo ako je pokušate učiniti mentalno. To je shvatio i Jakov, te si je dao zadatak pronaći lakši način da to postigne. Unesite metodu "dva prsta", kako ju je nazvao, koja pojednostavljuje izračune koje trebate izvesti. Prije nego što prijeđemo na metodu s dva prsta, moramo nabaviti nešto više popratne informacije za jednoznamenkasto množenje.
Primjeri množenja višeznamenkastog broja jednoznamenkastim brojem
Kada se dvije znamenke množe jednom znamenkom, rezultat može biti samo jedna ili dvije znamenke. Stavimo li nulu ispred rezultata bilo koje znamenke, sve rezultate množenja dvaju brojeva s jednom znamenkom možemo obraditi kao dvoznamenkaste rezultate, jedinice i desetice.
- 13 desetica je 1 stotica i još 3 desetice.
- Ispod desetica pišem 3 desetice. Upamtimo 1 stoticu i dodamo je stotinama.
U ovom primjeru nema stotica, pa ćemo umjesto stotica odmah napisati 1.
Čitajući odgovor: 68 pomnoženo s 2 jednako je 136.
Mnogi roditelji čija su djeca završila prvi razred postavljaju si pitanje: kako pomoći djetetu da brzo nauči tablicu množenja. Tijekom ljeta od djece se traži da nauče ovu tablicu napamet, a dijete ne pokazuje uvijek želju za nabijanjem ljeti. Štoviše, ako samo mehanički pamtite i ne konsolidirate rezultat, kasnije možete zaboraviti neke primjere.
U ovom članku pročitajte kako brzo naučiti tablicu množenja. Naravno, to se ne može učiniti u 5 minuta, ali u nekoliko sesija sasvim je moguće postići dobar rezultat.
Također pročitajte članak,
Na samom početku morate djetetu objasniti što je množenje (ako već ne zna). Pokažite značenje množenja na jednostavnom primjeru. Na primjer, 3*2 - to znači da broj 3 treba dodati 2 puta. Odnosno, 3*2=3+3. A 3*3 znači da broj 3 treba dodati 3 puta. Odnosno, 3*3=3+3+3. I tako dalje. Razumijevajući suštinu tablice množenja, djetetu će biti lakše naučiti je.
Djeci će biti lakše percipirati tablicu množenja ne u obliku stupaca, već u obliku Pitagorine tablice. Ovako izgleda:
Objasnite da su brojevi na sjecištu stupca i crte rezultat množenja. Djetetu je mnogo zanimljivije proučavati takvu tablicu, jer ovdje možete pronaći određene uzorke. I, kada pažljivo pogledate ovu tablicu, možete vidjeti da se brojevi označeni istom bojom ponavljaju.
Iz toga će i samo dijete moći zaključiti (a to će već biti razvoj mozga) da se kod množenja, kod zamjene faktora, umnožak ne mijenja. Odnosno, razumjet će da je 6*4=24 i 4*6=24 i tako dalje. Odnosno, morate naučiti ne cijelu tablicu, već pola! Vjerujte mi, kada prvi put vidite cijeli stol (wow, ima toliko toga za naučiti!), vaše će se dijete rastužiti. Ali, shvativši da mora proučiti pola toga, postat će primjetno veseliji.
Isprintajte Pitagorinu tablicu i objesite je na vidljivo mjesto. Svaki put, gledajući ga, dijete će zapamtiti i ponoviti neke primjere. Ova točka je vrlo važna.
Morate početi proučavati tablicu od jednostavnog do složenog: prvo naučite množenje s 2, 3, a zatim drugim brojevima.
Za jednostavno pamćenje tablica koriste se različiti alati: pjesme, kartice, online simulatori, male tajne množenja.
Kartice su jedan od najboljih načina za brzo učenje tablice množenja
Tablica množenja mora se učiti postupno: možete uzeti jedan stupac dnevno za pamćenje. Kada se nauči množenje bilo kojim brojem, potrebno je konsolidirati rezultat uz pomoć kartica.
Kartice možete izraditi sami, a možete i isprintati gotove. Kartice možete preuzeti na poveznici ispod.
Preuzmite kartice za učenje tablice množenja.
Brojevi koji se množe ispisani su na jednoj strani kartice, a odgovor na drugoj. Sve karte su presavijene licem prema dolje. Učenik izvlači jednu po jednu kartu iz špila odgovarajući na zadani primjer. Ako je odgovor točan, karta se stavlja na stranu; ako je učenik u krivu, karta se vraća u opći špil.
Na taj se način vježba vaše pamćenje, a tablica množenja se brže uči. Uostalom, dok se igrate, uvijek je zanimljivije učiti. Kada igrate s kartama, radi i vizualna i slušna memorija (morate izgovoriti jednadžbu). A također učenik želi "pozabaviti se" svim kartama što je brže moguće.
Kad smo malo naučili množenje s 2, igrali smo karte s množenjem s 2. Učili smo množenje s 3, igrali karte s množenjem s 2 i 3. I tako dalje.
Množenje s 1 i 10
Ovo su najlakši primjeri. Ovdje čak ne trebate ništa pamtiti, samo shvatite kako se brojevi množe s 1 i 10. Počnite proučavati tablicu množenjem ovim brojevima. Objasnite svom djetetu da će množenje s 1 rezultirati množenjem istog broja. Množenje s jedan znači uzeti broj jednom. Ovdje ne bi trebalo biti nikakvih poteškoća.
Množenje s 10 znači da morate dodati broj 10 puta. A rezultat će uvijek biti broj 10 puta veći od onog koji se množi. Odnosno, da biste dobili odgovor samo trebate dodati nulu broju koji se množi! Dijete može lako pretvoriti jedinice u desetice dodavanjem nule. Igrajte kartice sa svojim učenikom kako biste mu pomogli da bolje zapamti sve odgovore.
Pomnožite s 2
Dijete može naučiti množenje s 2 u 5 minuta. Uostalom, u školi je već naučio zbrajati jedinice. A množenje s 2 nije ništa drugo nego zbrajanje dva identična broja. Kada dijete zna da je 2*2 = 2+2, a 5*2 = 5+5 i tako dalje, tada mu ovaj stupac nikada neće biti kamen spoticanja.
Pomnožite s 4
Nakon što ste naučili množenje s 2, prijeđite na množenje s 4. Vaše će dijete lakše zapamtiti ovaj stupac nego množenje s 3. Kako biste lakše naučili množenje s 4, recite svom djetetu da je množenje s 4 množenje s 2, samo dvaput . Odnosno, prvo množimo s dva, a zatim dobiveni rezultat s još 2.
Na primjer, 5*4 = 5*2 *2 = 5+5 (kao što pri množenju s 2 trebate zbrojiti iste brojeve, dobivamo 10) + 10 = 20.
Pomnožite s 3
Ako imate poteškoća u proučavanju ove rubrike, možete se obratiti za pomoć poeziji. Možete uzeti gotove pjesme ili možete smisliti vlastite. Djeca imaju dobro razvijeno asocijativno pamćenje. Ako se djetetu pokaže jasan primjer množenja na bilo kojem predmetu iz njegove okoline, tada će lakše zapamtiti odgovor koji će povezati s bilo kojim predmetom.
Na primjer, posložite olovke u 3 hrpe po 4 (ili 5, 6, 7, 8, 9 - ovisno o tome koji primjer dijete zaboravi) komada. Smisli problem: ti imaš 4 olovke, tata ima 4 olovke i mama ima 4 olovke. Koliko ima ukupno olovaka? Prebrojite olovke i zaključite da je 3*4 = 12. Ponekad je takva vizualizacija vrlo korisna za pamćenje “teškog” primjera.
Pomnožite s 5
Sjećam se da mi je ovu kolumnu bilo najlakše zapamtiti. Zato što se svaki sljedeći umnožak povećava za 5. Ako pomnožite paran broj s 5, odgovor će također biti paran broj koji završava s 0. Djeca ovo lako pamte: 5*2 = 10, 5*4 = 20, 5*6 = 30 i sl. Ako pomnožite neparan broj, odgovor će biti neparan broj koji završava s 5: 5*3 = 15, 5*5 = 25 itd.
Pomnožite s 9
Pišem 9 odmah nakon 5, jer množenje s 9 ima malu tajnu koja će vam pomoći da brzo naučite ovaj stupac. Možete naučiti množenje s 9 prstima!
Da biste to učinili, postavite ruke s dlanovima prema gore, ispravite prste. Mentalno numerirajte prste s lijeva na desno od 1 do 10. Savijte prst kojim brojem trebate pomnožiti 9. Na primjer, trebate 9*5. Savijte 5. prst. Svi prsti na lijevoj strani (4 od njih su desetice), prsti na desnoj strani (njih 5) su jedinice. Spojimo desetice i jedinice i dobijemo 45.
Još jedan primjer. Što je 9*7? Savijte sedmi prst. Ostalo je 6 prstiju lijevo, desno 3. Spajamo, dobivamo - 63!
Kako biste bolje razumjeli ovaj jednostavan način učenja množenja s 9, pogledajte video.
Još zanimljiva činjenica o množenju s 9. Pogledajte sliku ispod. Zapišete li množenje s 9 od 1 do 10 u stupac, primijetit ćete da će proizvodi imati određeni uzorak. Prve znamenke bit će od 0 do 9 odozgo prema dolje, druge znamenke će biti od 0 do 9 odozdo prema gore.
Također, ako pažljivo pogledate dobiveni stupac, primijetit ćete da je zbroj brojeva u umnošku 9. Na primjer, 18 je 1+8=9, 27 je 2+7=9, 36 je 3+6 =9 itd.
Drugo zanimljivo opažanje je sljedeće: prva znamenka odgovora uvijek je za 1 manja od broja s kojim se množi 9. To jest, 9 × 5 = 4 5 - 4 je jedan manje od 5; 9×9 =8 1 - 8 je jedan manje od 9. Znajući ovo, lako je zapamtiti kojim brojem počinje odgovor kada se pomnoži s 9. Ako ste zaboravili drugu znamenku, možete je lako prebrojati, znajući da zbroj brojeva u odgovoru je 9.
Na primjer, koliko je 9x6? Odmah razumijemo da će odgovor započeti brojem 5 (jedan manje od 6). Druga znamenka: 9-5=4 (jer je zbroj brojeva 4+5=9). To je 54!
Množenje sa 6,7,8
Kada vi i vaše dijete počnete učiti množenje ovim brojevima, ono će već znati množenje sa 2, 3, 4, 5, 9. Od samog početka ste mu objasnili da je 5x6 isto što i 6x5. To znači da već zna neke odgovore, ne mora ih prvo naučiti.
Preostale jednadžbe treba naučiti. Za bolje pamćenje koristite Pitagorinu tablicu i igraće karte.
Postoji jedan način da izračunate odgovor množenjem sa 6, 7, 8 na prstima. Ali to je složenije od množenja s 9, trebat će vremena za brojanje. No, ako se neki primjer ne želi pamtiti, pokušajte s djetetom brojati na prste, možda će mu biti lakše naučiti te najteže kolone.
Da bi lakše pamtio najviše složeni primjeri iz tablice množenja, s djetetom rješavajte jednostavne zadatke s traženim brojevima, navedite primjer iz života. Sva djeca vole ići u trgovinu sa svojim roditeljima. Zadaj mu problem na ovu temu. Na primjer, učenik se ne može sjetiti koliko je 7x8. Zatim simulirajte situaciju: rođendan mu je. Pozvao je 7 prijatelja u posjet. Svakog prijatelja treba počastiti s 8 bombona. Koliko će bombona kupiti u trgovini za svoje prijatelje? Mnogo će brže zapamtiti odgovor 56, znajući da je to broj poslastica za prijatelje.
Tablicu množenja možete zapamtiti ne samo kod kuće. Ako ste vi i vaše dijete na ulici, onda možete rješavati probleme na temelju onoga što vidite. Na primjer, 4 psa su protrčala pokraj vas. Pitajte svoje dijete koliko šapa, ušiju i repova imaju psi?
Djeca se također vole igrati na računalu. Pa neka igraju profitabilno. Uključite online trener za svog učenika da zapamti tablicu množenja.
Proučite tablicu množenja kada vaše dijete dobro raspoloženje. Ako je umoran i počinje biti hirovit, onda je bolje ostaviti daljnji trening za drugi put.
Koristite metode koje su najprikladnije za vaše dijete i sve će uspjeti!
Želim vam lako i brzo pamćenje tablice množenja!
U školi se te radnje proučavaju od jednostavnih do složenih. Stoga je neophodno temeljito razumjeti algoritam za izvođenje ovih operacija koristeći jednostavne primjere. Tako da kasnije neće biti poteškoća s dijeljenjem decimalnih frakcija u stupac. Uostalom, ovo je najteža verzija takvih zadataka.
Ova tema zahtijeva dosljedno proučavanje. Praznine u znanju su ovdje nedopustive. Ovo bi načelo svaki učenik trebao naučiti već u prvom razredu. Stoga, ako propustite nekoliko lekcija zaredom, gradivo ćete morati svladati sami. U suprotnom, kasnije će se pojaviti problemi ne samo s matematikom, već i s drugim predmetima vezanim uz nju.
Drugi preduvjet za uspješno učenje matematike je prelazak na primjere dugog dijeljenja tek nakon savladavanja zbrajanja, oduzimanja i množenja.
Djetetu će biti teško dijeliti ako nije naučilo tablicu množenja. Usput, bolje ga je podučavati pomoću Pitagorine tablice. Nema ništa suvišno, a množenje je u ovom slučaju lakše naučiti.
Kako se prirodni brojevi množe u stupcu?
Ako se pojave poteškoće u rješavanju primjera u stupcu za dijeljenje i množenje, trebali biste početi rješavati problem s množenjem. Budući da je dijeljenje inverzna operacija množenja:
- Prije nego što pomnožite dva broja, morate ih pažljivo pogledati. Odaberite onaj s više znamenki (duži) i prvi ga zapišite. Stavite drugi ispod njega. Štoviše, brojevi odgovarajuće kategorije moraju biti u istoj kategoriji. To jest, krajnja desna znamenka prvog broja trebala bi biti iznad krajnje desne znamenke drugog.
- Pomnožite krajnju desnu znamenku donjeg broja sa svakom znamenkom gornjeg broja, počevši s desne strane. Odgovor napišite ispod crte tako da zadnja znamenka bude ispod one s kojom ste pomnožili.
- Ponovite isto s drugom znamenkom nižeg broja. Ali rezultat množenja mora biti pomaknut jednu znamenku ulijevo. U ovom slučaju, njegova posljednja znamenka bit će ispod one s kojom je pomnožena.
Nastavite ovo množenje u stupcu dok ne ponestane brojeva u drugom faktoru. Sada ih treba presavijati. Ovo će biti odgovor koji tražite.
Algoritam za množenje decimala
Prvo, trebate zamisliti da zadani razlomci nisu decimalni, već prirodni. Odnosno, uklonite zareze s njih i zatim postupite kao što je opisano u prethodnom slučaju.
Razlika počinje kada se odgovor zapiše. U ovom trenutku potrebno je prebrojati sve brojeve koji se pojavljuju iza decimalnih zareza u oba razlomka. Točno toliko ih treba prebrojati od kraja odgovora i tu staviti zarez.
Pogodno je ilustrirati ovaj algoritam pomoću primjera: 0,25 x 0,33:
Gdje početi učiti dijeljenje?
Prije rješavanja primjera dugog dijeljenja, morate zapamtiti nazive brojeva koji se pojavljuju u primjeru dugog dijeljenja. Prvi od njih (onaj koji se dijeli) je djeljiv. Drugi (podijeljen sa) je djelitelj. Odgovor je privatan.
Nakon toga ćemo na jednostavnom svakodnevnom primjeru objasniti bit ove matematičke operacije. Na primjer, ako uzmete 10 slatkiša, lako ih je jednako podijeliti između mame i tate. Ali što ako ih trebate dati roditeljima i bratu?
Nakon toga možete se upoznati s pravilima dijeljenja i svladati ih na konkretnim primjerima. Prvo jednostavne, a onda prijeđite na sve složenije.
Algoritam za dijeljenje brojeva u stupac
Najprije predstavimo postupak za prirodne brojeve djeljive jednoznamenkastim brojem. Oni će također biti osnova za višeznamenkaste djelitelje ili decimalne razlomke. Tek tada trebate napraviti male promjene, ali o tome kasnije:
- Prije dugog dijeljenja morate odrediti gdje su dividenda i djelitelj.
- Zapišite dividendu. Desno od njega je razdjelnik.
- Nacrtajte kut lijevo i dolje blizu zadnjeg kuta.
- Odredite nepotpunu dividendu, odnosno broj koji će biti minimalan za dijeljenje. Obično se sastoji od jedne znamenke, najviše dvije.
- Odaberite broj koji će biti prvi upisan u odgovoru. To bi trebao biti broj puta koliko se djelitelj uklapa u dividendu.
- Zapiši rezultat množenja tog broja djeliteljem.
- Napišite ga ispod nepotpune dividende. Izvršite oduzimanje.
- Dodajte ostatku prvu znamenku nakon dijela koji je već podijeljen.
- Ponovno odaberite broj za odgovor.
- Ponoviti množenje i oduzimanje. Ako je ostatak nula i dividenda je gotova, tada je primjer gotov. U suprotnom, ponovite korake: uklonite broj, podignite broj, pomnožite, oduzmite.
Kako riješiti dugo dijeljenje ako djelitelj ima više od jedne znamenke?
Sam algoritam u potpunosti se podudara s gore opisanim. Razlika će biti broj znamenki u nepotpunoj dividendi. Sada bi ih trebalo biti najmanje dva, ali ako se ispostavi da su manji od djelitelja, tada morate raditi s prve tri znamenke.
Postoji još jedna nijansa u ovoj podjeli. Činjenica je da ostatak i broj koji mu se dodaje ponekad nisu djeljivi djeliteljem. Zatim morate dodati još jedan broj po redu. Ali odgovor mora biti nula. Ako troznamenkaste brojeve dijelite u stupac, možda ćete morati ukloniti više od dvije znamenke. Zatim se uvodi pravilo: u odgovoru treba biti jedna nula manje od broja uklonjenih znamenki.
Ovu podjelu možete razmotriti na primjeru - 12082: 863.
- Nepotpuna dividenda u njemu ispada da je broj 1208. Broj 863 je stavljen u njega samo jednom. Dakle, odgovor bi trebao biti 1, a pod 1208 upisati 863.
- Nakon oduzimanja, ostatak je 345.
- Trebate mu dodati broj 2.
- Broj 3452 sadrži 863 četiri puta.
- Kao odgovor mora biti zapisano četiri. Štoviše, kad se pomnoži s 4, dobiva se upravo taj broj.
- Ostatak nakon oduzimanja je nula. Odnosno, podjela je završena.
Odgovor u primjeru bio bi broj 14.
Što ako dividenda završi na nuli?
Ili nekoliko nula? U ovom slučaju, ostatak je nula, ali dividenda i dalje sadrži nule. Nema potrebe očajavati, sve je jednostavnije nego što se čini. Dovoljno je jednostavno dodati odgovoru sve nule koje su ostale nepodijeljene.
Na primjer, trebate podijeliti 400 s 5. Nepotpuna dividenda je 40. Pet stane u nju 8 puta. To znači da odgovor treba napisati kao 8. Kod oduzimanja ne ostaje nikakav ostatak. Odnosno, podjela je završena, ali u dividendi ostaje nula. Morat će se dodati odgovoru. Dakle, dijeljenje 400 sa 5 jednako je 80.
Što učiniti ako trebate podijeliti decimalni razlomak?
Opet, ovaj broj izgleda kao prirodan broj, ako nema zareza koji odvaja cijeli dio od razlomka. Ovo sugerira da je podjela decimalnih razlomaka u stupac slična onoj gore opisanoj.
Jedina razlika bit će točka-zarez. Trebalo bi ga staviti u odgovor čim se iz razlomka ukloni prva znamenka. Drugi način da to kažete je sljedeći: ako ste završili s dijeljenjem cijelog dijela, stavite zarez i nastavite rješenje dalje.
Kada rješavate primjere dugog dijeljenja s decimalnim razlomcima, morate zapamtiti da se u dio iza decimalne točke može dodati bilo koji broj nula. Ponekad je to potrebno kako bi se kompletirali brojevi.
Dijeljenje dvije decimale
Možda se čini komplicirano. Ali samo na početku. Uostalom, kako podijeliti stupac frakcija prirodnim brojem već je jasno. To znači da ovaj primjer moramo svesti na već poznati oblik.
Lako je napraviti. Morate pomnožiti oba razlomka s 10, 100, 1000 ili 10 000, a možda i s milijunom ako problem to zahtijeva. Pretpostavlja se da se množitelj bira na temelju toga koliko nula ima decimalni dio djelitelja. To jest, rezultat će biti da ćete razlomak morati podijeliti prirodnim brojem.
A ovo će biti najgori mogući scenarij. Uostalom, može se dogoditi da dividenda od ove operacije postane cijeli broj. Tada će se rješenje primjera s dijeljenjem razlomaka u stupce svesti na najjednostavniju opciju: operacije s prirodnim brojevima.
Kao primjer: podijelite 28,4 s 3,2:
- Prvo ih je potrebno pomnožiti s 10, jer drugi broj ima samo jednu znamenku iza decimalne točke. Množenje će dati 284 i 32.
- Oni bi trebali biti razdvojeni. Štoviše, cijeli broj je 284 puta 32.
- Prvi broj odabran za odgovor je 8. Množenje daje 256. Ostatak je 28.
- Podjela cijelog dijela je završena, au odgovoru je potreban zarez.
- Uklonite do ostatka 0.
- Ponovno uzmite 8.
- Ostatak: 24. Dodajte mu još 0.
- Sada morate uzeti 7.
- Rezultat množenja je 224, ostatak je 16.
- Skinite još 0. Uzmite 5 svaki i dobit ćete točno 160. Ostatak je 0.
Podjela je završena. Rezultat primjera 28.4:3.2 je 8,875.
Što ako je djelitelj 10, 100, 0,1 ili 0,01?
Kao i kod množenja, ovdje nije potrebno dugo dijeljenje. Dovoljno je jednostavno pomaknuti zarez u željenom smjeru za određeni broj znamenki. Štoviše, pomoću ovog principa možete rješavati primjere i s cijelim brojevima i s decimalnim razlomcima.
Dakle, ako trebate podijeliti s 10, 100 ili 1000, tada se decimalna točka pomiče ulijevo za isti broj znamenki za koliko ima nula u djelitelju. To jest, kada je broj djeljiv sa 100, decimalna točka se mora pomaknuti ulijevo za dvije znamenke. Ako je dividenda prirodan broj, tada se pretpostavlja da je zarez na kraju.
Ova radnja daje isti rezultat kao da se broj pomnoži s 0,1, 0,01 ili 0,001. U ovim primjerima, zarez je također pomaknut ulijevo za broj znamenki jednak duljini razlomka.
Kod dijeljenja s 0,1 (itd.) ili množenja s 10 (itd.), decimalna točka treba se pomaknuti udesno za jednu znamenku (ili dvije, tri, ovisno o broju nula ili duljini razlomka).
Vrijedno je napomenuti da broj znamenki navedenih u dividendi možda neće biti dovoljan. Tada se nule koje nedostaju mogu dodati lijevo (u cijelom dijelu) ili desno (iza decimalne točke).
Dijeljenje periodičkih razlomaka
U tom slučaju neće biti moguće dobiti točan odgovor prilikom podjele u stupac. Kako riješiti primjer ako naiđete na razlomak s točkom? Ovdje trebamo prijeći na obične razlomke. A zatim ih podijelite prema prethodno naučenim pravilima.
Na primjer, trebate podijeliti 0.(3) s 0.6. Prvi razlomak je periodičan. Pretvara se u razlomak 3/9, koji kad se reducira daje 1/3. Drugi razlomak je zadnja decimala. Još je lakše zapisati ga kao i obično: 6/10, što je jednako 3/5. Pravilo dijeljenja običnih razlomaka nalaže da se dijeljenje zamijeni množenjem, a djelitelj recipročnim. Odnosno, primjer se svodi na množenje 1/3 sa 5/3. Odgovor će biti 5/9.
Ako primjer sadrži različite razlomke...
Tada je moguće nekoliko rješenja. Prvo, obični razlomak Možete ga pokušati pretvoriti u decimale. Zatim podijelite dvije decimale pomoću gornjeg algoritma.
Drugo, svaki krajnji decimalni razlomak može se napisati kao obični razlomak. Ali ovo nije uvijek zgodno. Najčešće se takve frakcije pokažu ogromnima. A odgovori su glomazni. Stoga se prvi pristup smatra poželjnijim.
Matematički-kalkulator-online v.1.0
Kalkulator izvodi sljedeće operacije: zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje, rad s decimalama, vađenje korijena, potenciranje, izračunavanje postotaka i druge operacije.
Riješenje:
Kako koristiti matematički kalkulator
| Ključ | Oznaka | Obrazloženje |
|---|---|---|
| 5 | brojevi 0-9 | arapski brojevi. Unos prirodnih brojeva, nula. Da biste dobili negativan cijeli broj, morate pritisnuti tipku +/- |
| . | točka i zarez) | Razdjelnik za označavanje decimalnog razlomka. Ako ispred točke (zareza) nema broja, kalkulator će automatski zamijeniti nulu ispred točke. Na primjer: bit će napisano .5 - 0.5 |
| + | znak plus | Zbrajanje brojeva (cijeli brojevi, decimale) |
| - | znak minus | Oduzimanje brojeva (cijeli brojevi, decimale) |
| ÷ | znak podjele | Dijeljenje brojeva (cijeli brojevi, decimale) |
| x | znak množenja | Množenje brojeva (cijeli brojevi, decimale) |
| √ | korijen | Vađenje korijena broja. Kada ponovno pritisnete gumb "root", izračunava se korijen rezultata. Na primjer: korijen od 16 = 4; korijen iz 4 = 2 |
| x 2 | kvadratura | Kvadriranje broja. Kada ponovno pritisnete tipku "kvadriranje", rezultat se kvadrira, na primjer: kvadrat 2 = 4; kvadrat 4 = 16 |
| 1/x | frakcija | Ispis u decimalnim razlomcima. Brojnik je 1, nazivnik je upisani broj |
| % | postotak | Dobivanje postotka broja. Za rad je potrebno unijeti: broj od kojeg će se izračunati postotak, znak (plus, minus, dijeljenje, množenje), koliko posto u numeričkom obliku, gumb "%" |
| ( | otvorena zagrada | Otvorena zagrada za određivanje prioriteta izračuna. Zatvorena zagrada je obavezna. Primjer: (2+3)*2=10 |
| ) | zatvorena zagrada | Zatvorena zagrada za određivanje prioriteta izračuna. Otvorena zagrada je obavezna |
| ± | plus minus | Obrnuti znak |
| = | jednaki | Prikazuje rezultat rješenja. Također iznad kalkulatora, u polju "Rješenje", prikazani su međuizračuni i rezultat. |
| ← | brisanje znaka | Uklanja zadnji znak |
| S | resetirati | Gumb za resetiranje. Potpuno vraća kalkulator na položaj "0" |
Algoritam online kalkulatora pomoću primjera
Dodatak.
Zbrajanje prirodnih cijelih brojeva (5 + 7 = 12)
Zbrajanje cijelih prirodnih i negativnih brojeva ( 5 + (-2) = 3 )
Zbrajanje decimalnih razlomaka (0,3 + 5,2 = 5,5)
Oduzimanje.
Oduzimanje prirodnih cijelih brojeva ( 7 - 5 = 2 )
Oduzimanje prirodnih i negativnih cijelih brojeva ( 5 - (-2) = 7 )
Oduzimanje decimalnih razlomaka (6,5 - 1,2 = 4,3)
Množenje.
Umnožak prirodnih cijelih brojeva (3 * 7 = 21)
Umnožak prirodnih i negativnih cijelih brojeva ( 5 * (-3) = -15 )
Umnožak decimalnih razlomaka ( 0,5 * 0,6 = 0,3 )
Podjela.
Dijeljenje prirodnih brojeva (27 / 3 = 9)
Dijeljenje prirodnih i negativnih cijelih brojeva (15 / (-3) = -5)
Dijeljenje decimalnih razlomaka (6,2 / 2 = 3,1)
Vađenje korijena broja.
Izdvajanje korijena cijelog broja ( root(9) = 3)
Vađenje korijena decimalnih razlomaka (korijen(2,5) = 1,58)
Vađenje korijena zbroja brojeva ( korijen (56 + 25) = 9)
Vađenje korijena razlike između brojeva (korijen (32 – 7) = 5)
Kvadriranje broja.
Kvadriranje cijelog broja ( (3) 2 = 9 )
Kvadriranje decimala ((2,2)2 = 4,84)
Pretvorba u decimalne razlomke.
Izračunavanje postotaka broja
Povećaj broj 230 za 15% ( 230 + 230 * 0,15 = 264,5 )
Smanjite broj 510 za 35% ( 510 – 510 * 0,35 = 331,5 )
18% broja 140 je (140 * 0,18 = 25,2)
