Istraživanje funkcije i crtanje grafa s detaljnim rješenjem. Potpuno funkcionalno istraživanje i crtanje

Za potpunu studiju funkcije i crtanje njenog grafikona preporučuje se korištenje sljedeće sheme:

1) pronaći opseg funkcije;

2) pronaći točke diskontinuiteta funkcije i vertikalne asimptote (ako postoje);

3) istražiti ponašanje funkcije u beskonačnosti, pronaći horizontalnu i kosu asimptotu;

4) istražiti funkciju za parnost (neparnost) i za periodičnost (za trigonometrijske funkcije);

5) pronaći ekstreme i intervale monotonosti funkcije;

6) odrediti intervale konveksnosti i točaka infleksije;

7) pronaći točke presjeka s koordinatnim osima, ako je moguće, i neke dodatne točke koje preciziraju graf.

Proučavanje funkcije provodi se istodobno s izgradnjom njezinog grafikona.

Primjer 9 Istražite funkciju i izgradite grafikon.

1. Domena definicije: ;

2. Funkcija se lomi u točkama
,
;

Istražujemo funkciju prisutnosti vertikalnih asimptota.

;
,
─ vertikalna asimptota.

;
,
─ vertikalna asimptota.

3. Istražujemo funkciju prisutnosti kosih i horizontalnih asimptota.

Ravno
─ kosa asimptota, ako
,
.

,
.

Ravno
─ horizontalna asimptota.

4. Funkcija je parna jer
. Paritet funkcije označava simetriju grafa u odnosu na y-os.

5. Odredite intervale monotonosti i ekstreme funkcije.

Pronađimo kritične točke, tj. točke gdje je derivacija 0 ili ne postoji:
;
. Imamo tri boda
;

. Ove točke dijele cijelu realnu os u četiri intervala. Definirajmo znakove na svakom od njih.

Na intervalima (-∞; -1) i (-1; 0) funkcija raste, a na intervalima (0; 1) i (1; +∞) opada. Pri prolasku kroz točku
derivacija mijenja predznak s plusa na minus, stoga u ovoj točki funkcija ima maksimum
.

6. Nađimo intervale konveksnosti, točke infleksije.

Pronađimo točke gdje je 0, ili ne postoji.

nema pravih korijena.
,
,

bodova
I
realnu os podijeliti na tri intervala. Definirajmo znak u svakom intervalu.

Dakle, krivulja na intervalima
I
konveksan prema dolje, na intervalu (-1;1) konveksan prema gore; nema infleksijskih točaka, jer funkcija u točkama
I
nije utvrđeno.

7. Pronađite točke sjecišta s osi.

s osovinom
graf funkcije siječe se u točki (0; -1), a s osi
graf se ne siječe, jer brojnik ove funkcije nema pravih korijena.

Graf zadane funkcije prikazan je na slici 1.

Slika 1 ─ Grafikon funkcije

Primjena koncepta derivata u ekonomiji. Elastičnost funkcije

Za proučavanje ekonomskih procesa i rješavanje drugih primijenjenih problema često se koristi koncept elastičnosti funkcije.

Definicija. Elastičnost funkcije
naziva se granica omjera relativnog prirasta funkcije relativnom prirastu varijable na
, . (VII)

Elastičnost funkcije pokazuje koliko će se postotaka funkcija promijeniti
pri promjeni nezavisne varijable za 1%.

Elastičnost funkcije koristi se u analizi potražnje i potrošnje. Ako je elastičnost potražnje (u apsolutnoj vrijednosti)
, tada se potražnja smatra elastičnom ako
─ neutralno ako
─ neelastično u odnosu na cijenu (ili prihod).

Primjer 10 Izračunajte elastičnost funkcije
i naći vrijednost indeksa elastičnosti za = 3.

Rješenje: prema formuli (VII) elastičnost funkcije:

Neka je tada x=3
To znači da ako nezavisna varijabla poraste za 1%, tada će vrijednost zavisne varijable porasti za 1,42%.

Primjer 11 Neka potražnja funkcionira što se tiče cijene ima oblik
, Gdje ─ konstantni koeficijent. Odredite vrijednost indeksa elastičnosti funkcije potražnje pri cijeni x = 3 den. jedinice

Rješenje: izračunajte elastičnost funkcije potražnje pomoću formule (VII)

Pretpostavljajući
monetarne jedinice, dobivamo
. To znači da po cijeni
monetarna jedinica povećanje cijene od 1% uzrokovat će smanjenje potražnje za 6%, tj. potražnja je elastična.

Danas vas pozivamo da s nama istražite i iscrtate graf funkcije. Nakon pažljivog proučavanja ovog članka, nećete se morati dugo znojiti da izvršite ovu vrstu zadatka. Nije lako istražiti i izgraditi graf funkcije, posao je obiman, zahtijeva maksimalnu pozornost i točnost izračuna. Kako bismo olakšali percepciju materijala, postupno ćemo proučavati istu funkciju, objasniti sve naše radnje i izračune. Dobrodošli u nevjerojatan i fascinantan svijet matematike! Ići!

Domena

Kako biste istražili i nacrtali funkciju, morate znati nekoliko definicija. Funkcija je jedan od osnovnih (osnovnih) pojmova u matematici. Odražava ovisnost između nekoliko varijabli (dvije, tri ili više) s promjenama. Funkcija također pokazuje ovisnost skupova.

Zamislimo da imamo dvije varijable koje imaju određeni raspon promjene. Dakle, y je funkcija od x, pod uvjetom da svaka vrijednost druge varijable odgovara jednoj vrijednosti druge. U ovom slučaju varijabla y je zavisna i naziva se funkcija. Uobičajeno je reći da su varijable x i y u Radi veće jasnoće ove ovisnosti izgrađen je graf funkcije. Što je graf funkcije? Ovo je skup točaka na koordinatnoj ravnini, gdje svaka vrijednost x odgovara jednoj vrijednosti y. Grafikoni mogu biti različiti - ravna linija, hiperbola, parabola, sinusoida i tako dalje.

Grafikon funkcije ne može se iscrtati bez istraživanja. Danas ćemo naučiti kako provesti istraživanje i iscrtati graf funkcije. Vrlo je važno voditi bilješke tijekom studija. Tako će biti mnogo lakše nositi se sa zadatkom. Najprikladniji plan učenja:

  1. Domena.
  2. Kontinuitet.
  3. Par ili nepar.
  4. Periodičnost.
  5. Asimptote.
  6. Nule.
  7. Postojanost.
  8. Uzlazno i ​​silazno.
  9. Krajnosti.
  10. Konveksnost i konkavnost.

Počnimo s prvom točkom. Pronađimo domenu definicije, odnosno na kojim intervalima postoji naša funkcija: y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). U našem slučaju, funkcija postoji za bilo koju vrijednost x, odnosno domena definicije je R. Ovo se može napisati kao xOR.

Kontinuitet

Sada ćemo istražiti funkciju diskontinuiteta. U matematici se pojam "kontinuitet" pojavio kao rezultat proučavanja zakona gibanja. Što je beskonačno? Prostor, vrijeme, neke ovisnosti (primjer je ovisnost varijabli S i t u problemima gibanja), temperatura zagrijanog predmeta (voda, tava, termometar i tako dalje), kontinuirana linija (to jest, ona koja se može nacrtati bez podizanja olovke s lista).

Graf se smatra kontinuiranim ako se u nekom trenutku ne slomi. Jedan od najočitijih primjera takvog grafa je sinusni val, koji možete vidjeti na slici u ovom odjeljku. Funkcija je kontinuirana u nekoj točki x0 ako je ispunjen niz uvjeta:

  • funkcija je definirana u danoj točki;
  • desna i lijeva granica u točki su jednake;
  • granica je jednaka vrijednosti funkcije u točki x0.

Ako barem jedan uvjet nije ispunjen, kaže se da je funkcija prekinuta. A točke u kojima se funkcija prekida nazivaju se prijelomne točke. Primjer funkcije koja će se "slomiti" kada se prikaže grafički je: y=(x+4)/(x-3). Štoviše, y ne postoji u točki x = 3 (jer ga je nemoguće podijeliti s nulom).

U funkciji koju proučavamo (y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) sve se pokazalo jednostavnim, jer će graf biti kontinuiran.

Parni, neparni

Sada provjerite paritet funkcije. Počnimo s malo teorije. Parna funkcija je funkcija koja za bilo koju vrijednost varijable x (iz raspona vrijednosti) zadovoljava uvjet f (-x) = f (x). Primjeri su:

  • modul x (graf izgleda kao čavka, simetrala prve i druge četvrtine grafa);
  • x na kvadrat (parabola);
  • kosinus x (kosinusni val).

Imajte na umu da su svi ovi grafikoni simetrični kada se gledaju u odnosu na y-os.

Što se onda naziva neparnom funkcijom? To su one funkcije koje zadovoljavaju uvjet: f (-x) \u003d - f (x) za bilo koju vrijednost varijable x. Primjeri:

  • hiperbola;
  • kubična parabola;
  • sinusoida;
  • tangenta i tako dalje.

Imajte na umu da su ove funkcije simetrične u odnosu na točku (0:0), odnosno ishodište. Na temelju onoga što je rečeno u ovom dijelu članka, parna i neparna funkcija moraju imati svojstvo: x pripada skupu definicija i -x također.

Ispitajmo funkciju za paritet. Vidimo da ona ne odgovara ni jednom od opisa. Dakle, naša funkcija nije ni parna ni neparna.

Asimptote

Počnimo s definicijom. Asimptota je krivulja koja je što bliža grafu, odnosno udaljenost od neke točke teži nuli. Postoje tri vrste asimptota:

  • okomito, to jest paralelno s osi y;
  • horizontalno, tj. paralelno s osi x;
  • kosi.

Što se tiče prve vrste, ove linije treba potražiti u nekim točkama:

  • praznina;
  • krajevima domene.

U našem slučaju funkcija je kontinuirana, a domena definicije je R. Dakle, nema okomitih asimptota.

Graf funkcije ima horizontalnu asimptotu, koja ispunjava sljedeći uvjet: ako x teži beskonačnosti ili minus beskonačnosti, a granica je jednaka određenom broju (na primjer, a). U ovom slučaju, y=a je horizontalna asimptota. U funkciji koju proučavamo nema horizontalnih asimptota.

Kosa asimptota postoji samo ako su ispunjena dva uvjeta:

  • lim(f(x))/x=k;
  • lim f(x)-kx=b.

Tada se može pronaći po formuli: y=kx+b. Opet, u našem slučaju nema kosih asimptota.

Funkcijske nule

Sljedeći korak je ispitivanje grafa funkcije za nule. Također je vrlo važno napomenuti da se zadatak povezan s pronalaženjem nula funkcija ne pojavljuje samo u proučavanju i konstrukciji grafa funkcije, već i kao samostalan zadatak, te kao način rješavanja nejednakosti. Možda ćete morati pronaći nule funkcije na grafikonu ili koristiti matematičku notaciju.

Pronalaženje ovih vrijednosti pomoći će vam da točnije nacrtate funkciju. Ako govoriti prostim jezikom, tada je nula funkcije vrijednost varijable x, pri kojoj je y=0. Ako tražite nulte točke funkcije na grafu, tada trebate obratiti pozornost na točke u kojima se graf siječe s osi x.

Da biste pronašli nulte točke funkcije, trebate riješiti sljedeću jednadžbu: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Nakon potrebnih izračuna dobivamo sljedeći odgovor:

postojanost predznaka

Sljedeća faza u proučavanju i konstrukciji funkcije (grafika) je pronalaženje intervala konstantnosti predznaka. To znači da moramo odrediti u kojim intervalima funkcija traje pozitivna vrijednost, a na nekima - negativno. U tome će nam pomoći nule funkcija iz prethodnog odjeljka. Dakle, moramo izgraditi ravnu liniju (odvojeno od grafikona) i rasporediti nule funkcije duž nje ispravnim redoslijedom od najmanje do najveće. Sada morate odrediti koji od dobivenih intervala ima znak "+", a koji ima "-".

U našem slučaju funkcija dobiva pozitivnu vrijednost na intervalima:

  • od 1 do 4;
  • od 9 do beskonačnosti.

Negativno značenje:

  • od minus beskonačno do 1;
  • od 4 do 9.

To je prilično lako odrediti. Zamijenite bilo koji broj iz intervala u funkciju i pogledajte koji je predznak odgovor (minus ili plus).

Funkcija rastuća i opadajuća

Kako bismo istražili i izgradili funkciju, moramo znati gdje će se graf povećati (ići gore na Oy), a gdje će pasti (puzati prema dolje duž y-osi).

Funkcija raste samo ako većoj vrijednosti varijable x odgovara veća vrijednost y. To jest, x2 je veće od x1, a f(x2) je veće od f(x1). A posve suprotan fenomen opažamo u opadajućoj funkciji (što je više x, to je manje y). Da biste odredili intervale povećanja i smanjenja, morate pronaći sljedeće:

  • opseg (već ga imamo);
  • izvod (u našem slučaju: 1/3(3x^2-28x+49);
  • riješite jednadžbu 1/3(3x^2-28x+49)=0.

Nakon izračuna dobivamo rezultat:

Dobivamo: funkcija raste na intervalima od minus beskonačno do 7/3 i od 7 do beskonačno, a opada na intervalu od 7/3 do 7.

Krajnosti

Istraživana funkcija y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) je kontinuirana i postoji za sve vrijednosti varijable x. Točka ekstrema pokazuje maksimum i minimum ove funkcije. U našem slučaju ih nema, što uvelike pojednostavljuje zadatak izgradnje. Inače se također nalaze pomoću funkcije izvoda. Nakon pronalaska ne zaboravite ih označiti na grafikonu.

Konveksnost i konkavnost

Nastavljamo s proučavanjem funkcije y(x). Sada ga moramo provjeriti na konveksnost i konkavnost. Definicije ovih pojmova prilično je teško razumjeti, bolje je analizirati sve s primjerima. Za test: funkcija je konveksna ako je neopadajuća funkcija. Slažete se, ovo je neshvatljivo!

Moramo pronaći izvod funkcije drugog reda. Dobivamo: y=1/3(6x-28). Sada izjednačimo desnu stranu s nulom i riješimo jednadžbu. Odgovor: x=14/3. Pronašli smo točku infleksije, odnosno mjesto gdje se graf mijenja iz konveksnog u konkavni ili obrnuto. Na intervalu od minus beskonačno do 14/3 funkcija je konveksna, a od 14/3 do plus beskonačno je konkavna. Također je vrlo važno napomenuti da točka infleksije na grafikonu treba biti glatka i mekana, ne bi trebalo biti oštrih kutova.

Definicija dodatnih točaka

Naš zadatak je istražiti i iscrtati graf funkcije. Završili smo studiju, neće biti teško sada ucrtati funkciju. Za točniju i detaljniju reprodukciju krivulje ili ravne linije na koordinatnoj ravnini možete pronaći nekoliko pomoćnih točaka. Prilično ih je lako izračunati. Na primjer, uzmemo x=3, riješimo dobivenu jednadžbu i pronađemo y=4. Ili x=5 i y=-5 i tako dalje. Možete uzeti onoliko dodatnih bodova koliko vam je potrebno za izgradnju. Najmanje 3-5 ih se nađe.

Plotanje

Trebali smo istražiti funkciju (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Sve potrebne oznake tijekom proračuna napravljene su na koordinatnoj ravnini. Ostaje samo izgraditi graf, odnosno povezati sve točke međusobno. Spajanje točaka glatko je i točno, to je stvar vještine - malo vježbe i vaš će raspored biti savršen.

Slični postovi