Riješite jednadžbu 2 4. Rješavanje linearnih jednadžbi s primjerima
U predmetu matematika 7. razreda prvi put se susrećemo jednadžbe s dvije varijable, ali se proučavaju samo u kontekstu sustava jednadžbi s dvije nepoznanice. Zato iz vida pada čitav niz problema u kojima se na koeficijente jednadžbe uvode određeni uvjeti koji ih ograničavaju. Osim toga, zanemaruju se i metode za rješavanje zadataka poput "Riješi jednadžbu u prirodnim ili cijelim brojevima", iako se problemi ove vrste sve češće nalaze u materijalima Jedinstvenog državnog ispita i na prijemnim ispitima.
Koju ćemo jednadžbu nazvati jednadžbom s dvije varijable?
Tako su, na primjer, jednadžbe 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 ili xy = 12 jednadžbe u dvije varijable.
Razmotrimo jednadžbu 2x – y = 1. Ona postaje istinita kada su x = 2 i y = 3, tako da je ovaj par vrijednosti varijable rješenje dotične jednadžbe.
Dakle, rješenje bilo koje jednadžbe s dvije varijable je skup uređenih parova (x; y), vrijednosti varijabli koje ovu jednadžbu pretvaraju u pravu numeričku jednakost.
Jednadžba s dvije nepoznanice može:
A) imati jedno rješenje. Na primjer, jednadžba x 2 + 5y 2 = 0 ima jedinstveno rješenje (0; 0);
b) imati više rješenja. Na primjer, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 ima 4 rješenja: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);
V) nemaju rješenja. Na primjer, jednadžba x 2 + y 2 + 1 = 0 nema rješenja;
G) imaju beskonačno mnogo rješenja. Na primjer, x + y = 3. Rješenja ove jednadžbe bit će brojevi čiji je zbroj jednak 3. Skup rješenja ove jednadžbe može se napisati u obliku (k; 3 – k), gdje je k bilo koji realni broj.
Glavne metode za rješavanje jednadžbi s dvije varijable su metode koje se temelje na rastavljanju izraza na faktore, izdvajanju potpunog kvadrata, korištenju svojstava kvadratne jednadžbe, ograničenim izrazima i metodama procjene. Jednadžba se obično transformira u oblik iz kojeg se može dobiti sustav za pronalaženje nepoznanica.
Faktorizacija
Primjer 1.
Riješite jednadžbu: xy – 2 = 2x – y.
Riješenje.
Grupiramo članove u svrhu faktorizacije:
(xy + y) – (2x + 2) = 0. Iz svake zagrade izdvajamo zajednički faktor:
y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;
(x + 1)(y – 2) = 0. Imamo:
y = 2, x – bilo koji realni broj ili x = -1, y – bilo koji realni broj.
Tako, odgovor su svi parovi oblika (x; 2), x € R i (-1; y), y € R.
Jednakost nenegativnih brojeva nuli
Primjer 2.
Riješite jednadžbu: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).
Riješenje.
Grupiranje:
(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Sada se svaka zagrada može presavinuti pomoću formule kvadrata razlike.
(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.
Zbroj dvaju nenegativnih izraza je nula samo ako je 3x – 2 = 0 i 2y – 3 = 0.
To znači x = 2/3 i y = 3/2.
Odgovor: (2/3; 3/2).
Metoda procjene
Primjer 3.
Riješite jednadžbu: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.
Riješenje.
U svakoj zagradi odabiremo cijeli kvadrat:
((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Procijenimo 
značenje izraza u zagradama.
(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 i (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, tada je lijeva strana jednadžbe uvijek najmanje 2. Jednakost je moguća ako:
(x + 1) 2 + 1 = 1 i (y – 2) 2 + 2 = 2, što znači x = -1, y = 2.
Odgovor: (-1; 2).
Upoznajmo se s još jednom metodom rješavanja jednadžbi s dvije varijable drugog stupnja. Ova metoda se sastoji od tretiranja jednadžbe kao kvadrat s obzirom na neku varijablu.
Primjer 4.
Riješite jednadžbu: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.
Riješenje.
Riješimo jednadžbu kao kvadratnu jednadžbu za x. Nađimo diskriminantu:
D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Jednadžba će imati rješenje samo kada je D = 0, odnosno ako je y = 4. Zamijenimo vrijednost y u izvornu jednadžbu i nalazimo da je x = 3.
Odgovor: (3; 4).
Često u jednadžbama s dvije nepoznanice označavaju ograničenja varijabli.
Primjer 5.
Riješite jednadžbu u cijelim brojevima: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.
Riješenje.
Prepišimo jednadžbu u obliku x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Desna strana dobivene jednadžbe kada se podijeli s 5 daje ostatak od 2. Stoga x 2 nije djeljiv s 5. Ali kvadrat a broj nedjeljiv s 5 daje ostatak 1 ili 4. Dakle, jednakost je nemoguća i nema rješenja.
Odgovor: nema korijena.
Primjer 6.
Riješite jednadžbu: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.
Riješenje.
Istaknimo kompletne kvadrate u svakoj zagradi:
((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Lijeva strana jednadžbe uvijek je veća ili jednaka 3. Jednakost je moguća pod uvjetom da je |x| – 2 = 0 i y + 3 = 0. Dakle, x = ± 2, y = -3.
Odgovor: (2; -3) i (-2; -3).
Primjer 7.
Za svaki par negativnih cijelih brojeva (x;y) koji zadovoljavaju jednadžbu
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, izračunaj zbroj (x + y). Molimo vas da u odgovoru navedete najmanji iznos.
Riješenje.
Odaberimo kompletne kvadrate:
(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;
(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Budući da su x i y cijeli brojevi, njihovi kvadrati su također cijeli brojevi. Zbroj kvadrata dva cijela broja jednak 37 dobivamo ako zbrojimo 1 + 36. Dakle:
(x – y) 2 = 36 i (y + 2) 2 = 1 
(x – y) 2 = 1 i (y + 2) 2 = 36.
Rješavajući ove sustave i uzimajući u obzir da su x i y negativni, nalazimo rješenja: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).
Odgovor: -17.
Ne očajavajte ako imate poteškoća s rješavanjem jednadžbi s dvije nepoznanice. Uz malo vježbe, možete se nositi sa svakom jednadžbom.
Još uvijek imate pitanja? Ne znate kako riješiti jednadžbe u dvije varijable?
Za pomoć od mentora, registrirajte se.
Prvi sat je besplatan!
web stranice, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvor je obavezna.
Jednadžba s jednom nepoznanicom koja nakon otvaranja zagrada i donošenja sličnih članova dobiva oblik
ax + b = 0, gdje su a i b proizvoljni brojevi, poziva se Linearna jednadžba s jednom nepoznatom. Danas ćemo otkriti kako riješiti ove linearne jednadžbe.
Na primjer, sve jednadžbe:
2x + 3= 7 – 0,5x; 0,3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - linearno.
Vrijednost nepoznanice koja jednadžbu pretvara u pravu jednakost naziva se odluka ili korijen jednadžbe .
Na primjer, ako u jednadžbi 3x + 7 = 13 umjesto nepoznatog x zamijenimo broj 2, dobivamo ispravnu jednakost 3 2 +7 = 13. To znači da je vrijednost x = 2 rješenje ili korijen jednadžbe.
A vrijednost x = 3 ne pretvara jednadžbu 3x + 7 = 13 u pravu jednakost, budući da je 3 2 +7 ≠ 13. To znači da vrijednost x = 3 nije rješenje ili korijen jednadžbe.
Rješavanje bilo koje linearne jednadžbe svodi se na rješavanje jednadžbi oblika
ax + b = 0.
Pomaknimo slobodni član s lijeve strane jednadžbe na desnu, mijenjajući znak ispred b u suprotan, dobivamo
Ako je a ≠ 0, tada je x = ‒ b/a .
Primjer 1. Riješite jednadžbu 3x + 2 =11.
Pomaknimo 2 s lijeve strane jednadžbe na desnu, mijenjajući znak ispred 2 u suprotan, dobivamo
3x = 11 – 2.
Onda napravimo oduzimanje
3x = 9.
Da biste pronašli x, trebate umnožak podijeliti s poznatim faktorom, tj
x = 9:3.
To znači da je vrijednost x = 3 rješenje ili korijen jednadžbe.
Odgovor: x = 3.
Ako je a = 0 i b = 0, tada dobivamo jednadžbu 0x = 0. Ova jednadžba ima beskonačno mnogo rješenja, budući da kada pomnožimo bilo koji broj s 0 dobijemo 0, ali je i b jednako 0. Rješenje ove jednadžbe je bilo koji broj.
Primjer 2. Riješite jednadžbu 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1.
Proširimo zagrade:
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x ‒ 1.
5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.
Evo nekoliko sličnih pojmova:
0x = 0.
Odgovor: x - bilo koji broj.
Ako je a = 0 i b ≠ 0, tada dobivamo jednadžbu 0x = - b. Ova jednadžba nema rješenja, jer kada pomnožimo bilo koji broj s 0 dobijemo 0, ali b ≠ 0.
Primjer 3. Riješite jednadžbu x + 8 = x + 5.
Grupirajmo pojmove koji sadrže nepoznanice s lijeve strane, a slobodne pojmove s desne strane:
x – x = 5 – 8.
Evo nekoliko sličnih pojmova:
0h = ‒ 3.
Odgovor: nema rješenja.
Na Slika 1 prikazuje dijagram za rješavanje linearne jednadžbe
Napravimo opću shemu za rješavanje jednadžbi s jednom varijablom. Razmotrimo rješenje primjera 4.
Primjer 4. Pretpostavimo da trebamo riješiti jednadžbu
1) Pomnožite sve članove jednadžbe s najmanjim zajedničkim višekratnikom nazivnika, jednakim 12.
2) Nakon redukcije dobivamo
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)
3) Za odvajanje pojmova koji sadrže nepoznate i slobodne pojmove otvorite zagrade:
4x – 16 + 6x + 6 – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86.
4) Grupirajmo u jedan dio članove koji sadrže nepoznanice, a u drugi slobodne članove:
4x + 6x – 30x – 24x + 22x = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.
5) Predstavimo slične pojmove:
- 22x = - 154.
6) Podijelimo s – 22, Dobivamo
x = 7.
Kao što vidite, korijen jednadžbe je sedam.
Općenito takav jednadžbe se mogu riješiti pomoću sljedeće sheme:
a) dovesti jednadžbu u cjelobrojni oblik;
b) otvorite zagrade;
c) grupirati članove koji sadrže nepoznanicu u jednom dijelu jednadžbe, a slobodne članove u drugom;
d) dovesti slične članove;
e) riješiti jednadžbu oblika ah = b, koja je dobivena dovođenjem sličnih članova.
Međutim, ova shema nije potrebna za svaku jednadžbu. Kada rješavate mnogo jednostavnijih jednadžbi, morate krenuti ne od prve, već od druge ( Primjer. 2), treći ( Primjer. 13) pa čak i iz pete faze, kao u primjeru 5.
Primjer 5. Riješite jednadžbu 2x = 1/4.
Pronađite nepoznato x = 1/4: 2,
x = 1/8 .
Pogledajmo rješavanje nekih linearnih jednadžbi koje se nalaze na glavnom državnom ispitu.
Primjer 6. Riješite jednadžbu 2 (x + 3) = 5 – 6x.
2x + 6 = 5 – 6x
2x + 6x = 5 – 6
Odgovor: - 0,125
Primjer 7. Riješite jednadžbu – 6 (5 – 3x) = 8x – 7.
– 30 + 18x = 8x – 7
18x – 8x = – 7 +30
Odgovor: 2.3
Primjer 8. Riješite jednadžbu
3(3x – 4) = 4 7x + 24
9x – 12 = 28x + 24
9x – 28x = 24 + 12
Primjer 9. Nađite f(6) ako je f (x + 2) = 3 7
Riješenje
Budući da trebamo pronaći f(6), a znamo f(x + 2),
onda je x + 2 = 6.
Rješavamo linearnu jednadžbu x + 2 = 6,
dobivamo x = 6 – 2, x = 4.
Ako je x = 4 tada
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27
Odgovor: 27.
Ako još imate pitanja ili želite detaljnije razumjeti rješavanje jednadžbi, prijavite se na moje lekcije u RASPOREDU. Rado ću vam pomoći!
TutorOnline također preporučuje gledanje nove video lekcije naše učiteljice Olge Alexandrovne, koja će vam pomoći razumjeti i linearne jednadžbe i druge.
web stranice, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvor je obavezna.
Analizirajmo dvije vrste rješenja sustava jednadžbi:
1. Rješavanje sustava metodom supstitucije.
2. Rješavanje sustava počlanim zbrajanjem (oduzimanjem) jednadžbi sustava.
Da bismo riješili sustav jednadžbi metodom supstitucije morate slijediti jednostavan algoritam:
1. Izraziti. Iz bilo koje jednadžbe izražavamo jednu varijablu.
2. Zamjena. Dobivenu vrijednost zamijenimo u drugu jednadžbu umjesto izražene varijable.
3. Riješite dobivenu jednadžbu s jednom varijablom. Nalazimo rješenje za sustav.
Riješiti sustav metodom zbrajanja (oduzimanja) po članu moram:
1. Odaberite varijablu za koju ćemo napraviti identične koeficijente.
2. Zbrajamo ili oduzimamo jednadžbe, što rezultira jednadžbom s jednom varijablom.
3. Riješite dobivenu linearnu jednadžbu. Nalazimo rješenje za sustav.
Rješenje sustava su točke presjeka grafova funkcija.
Razmotrimo detaljno rješenje sustava koristeći primjere.
Primjer #1:
Rješavajmo metodom zamjene
Rješavanje sustava jednadžbi metodom supstitucije2x+5y=1 (1 jednadžba)
x-10y=3 (2. jednadžba)
1. Izraziti
Vidi se da u drugoj jednadžbi postoji varijabla x s koeficijentom 1, što znači da je varijablu x najlakše izraziti iz druge jednadžbe.
x=3+10y
2. Nakon što smo to izrazili, zamijenit ćemo 3+10y u prvu jednadžbu umjesto varijable x.
2(3+10y)+5y=1
3. Riješite dobivenu jednadžbu s jednom varijablom.
2(3+10y)+5y=1 (otvorite zagrade)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2
Rješenje sustava jednadžbi su točke presjeka grafova, stoga trebamo pronaći x i y, jer se točka presjeka sastoji od x i y. Nađimo x, u prvoj točki gdje smo ga izrazili zamijenimo y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1
Uobičajeno je da bodove pišemo na prvo mjesto upisujemo varijablu x, a na drugo mjesto varijablu y.
Odgovor: (1; -0,2)
Primjer #2:
Rješavajmo metodom zbrajanja (oduzimanja) po članu.
Rješavanje sustava jednadžbi metodom zbrajanja3x-2y=1 (1 jednadžba)
2x-3y=-10 (2. jednadžba)
1. Odaberemo varijablu, recimo da izaberemo x. U prvoj jednadžbi varijabla x ima koeficijent 3, u drugoj - 2. Moramo učiniti koeficijente istima, za to imamo pravo pomnožiti jednadžbe ili podijeliti bilo kojim brojem. Prvu jednadžbu pomnožimo s 2, a drugu s 3 i dobijemo ukupni koeficijent 6.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. Oduzmite drugu od prve jednadžbe da biste se riješili varijable x. Riješite linearnu jednadžbu.
__6x-4y=2
5y=32 | :5
y=6,4
3. Pronađite x. Pronađeni y zamijenimo u bilo koju od jednadžbi, recimo u prvu jednadžbu.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6
Sjecište će biti x=4,6; y=6,4
Odgovor: (4,6; 6,4)
Želite li besplatno pripremati ispite? Učitelj online besplatno. Bez šale.
