Okomite ravnine je znak okomitosti dviju ravnina. Stereometrija
Definicija. Diedralni kut je lik kojeg čine pravac a i dvije poluravnine sa zajedničkom granicom a, a ne pripada istoj ravnini.
Definicija. Stupanjska mjera diedralnog kuta je mjera stupnja bilo kojeg njegovog linearnog kuta.
Definicija. Za dvije ravnine koje se sijeku kaže se da su okomite ako je kut između njih 90o.
Znak okomitosti dviju ravnina.
Svojstva.
- U kvadaru svih šest lica su pravokutnici.
- Svi diedralni kutovi kvadra su pravi kutovi
- Kvadrat dijagonale pravokutnog paralelepipeda jednak je zbroju kvadrata njegove tri dimenzije.
Zadaci i testovi na temu "Tema 7. "Dihedralni kut. Okomitost ravnine"."
- Diedarski kut. Okomitost ravnine
- Okomitost pravca i ravnine - Okomitost pravaca i ravnina 10 razred
Lekcije: 1 zadatak: 10 kvizova: 1
- Okomito i koso. Kut između linije i ravnine - Okomitost pravaca i ravnina 10 razred
Lekcije: 2 zadatka: 10 Testovi: 1
- Paralelizam ravnine - Paralelnost pravih i ravnina 10. razred
Lekcije: 1 zadaci: 8 testovi: 1
- Okomite linije - Osnovni geometrijski podaci 7. razred
Lekcije: 1 Zadaci: 17 Testovi: 1
Materijal teme sažima i sistematizira podatke o okomitosti linija koje su vam poznate iz planimetrije. Proučavanje teorema o odnosu paralelnosti i okomitosti pravaca i ravnina u prostoru, kao i gradivo o okomici i kosi, poželjno je kombinirati sa sustavnim ponavljanjem relevantnog gradiva iz planimetrije.
Rješenja gotovo svih računskih problema svode se na primjenu Pitagorinog teorema i njegovih posljedica. U mnogim problemima mogućnost primjene Pitagorinog teorema ili njegovih posljedica opravdava se teoremom o tri okomice ili svojstvima paralelizma i okomitosti ravnina.
Ova lekcija pomoći će onima koji žele steći ideju o temi "Znak okomitosti dviju ravnina". Na početku ćemo ponoviti definiciju diedralnog i linearnog kuta. Zatim ćemo razmotriti koje se ravnine nazivaju okomitima, te ćemo dokazati kriterij za okomitost dviju ravnina.
Tema: Okomitost pravaca i ravnina
Lekcija: Znak okomitosti dviju ravnina
Definicija. Diedralni kut je lik kojeg čine dvije poluravnine koje ne pripadaju istoj ravnini, a njihova zajednička ravna crta a (a je brid).
Riža. jedan
Razmotrimo dvije poluravnine α i β (slika 1). Zajednička im je granica l. Ova figura naziva se diedralni kut. Dvije ravnine koje se sijeku tvore četiri diedralna kuta sa zajedničkim bridom.
Diedarski kut mjeri se njegovim linearnim kutom. Biramo proizvoljnu točku na zajedničkom bridu l diedralnog kuta. U poluravninama α i β iz ove točke povučemo okomice a i b na pravu l i dobijemo linearni kut diedralnog kuta.
Prave a i b tvore četiri kuta jednaka φ, 180° - φ, φ, 180° - φ. Podsjetimo da se najmanji od ovih kutova naziva kut između linija.
Definicija. Kut između ravnina najmanji je od diedarskih kutova koje čine te ravnine. φ - kut između ravnina α i β, ako
Definicija. Dvije ravnine koje se sijeku nazivaju se okomite (međusobno okomite) ako je kut između njih 90°.
Riža. 2
Na bridu l bira se proizvoljna točka M (slika 2). Povucimo dvije okomite prave MA = a i MB = b na brid l u ravnini α, odnosno u ravnini β. Dobili smo kut AMB. Kut AMB je linearni kut diedralnog kuta. Ako je kut AMB 90°, tada se za ravnine α i β kaže da su okomite.
Pravac b je po konstrukciji okomit na pravac l. Pravac b okomit je na pravac a, budući da je kut između ravnina α i β 90°. Dobivamo da je pravac b okomit na dva pravca a i l koja se sijeku iz ravnine α. Dakle, pravac b okomita na ravninu α.
Slično, može se dokazati da je pravac a okomit na ravninu β. Pravac a je po konstrukciji okomit na pravac l. Pravac a je okomit na pravac b, jer je kut između ravnina α i β 90°. Dobivamo da je pravac a okomit na dva pravca b i l koja se sijeku iz ravnine β. Dakle, pravac a je okomit na ravninu β.
Ako jedna od dvije ravnine prolazi kroz pravac okomit na drugu ravninu, tada su takve ravnine okomite.
Dokazati:
Riža. 3
Dokaz:
Neka se ravnine α i β sijeku duž prave AC (slika 3). Da biste dokazali da su ravnine međusobno okomite, trebate konstruirati linearni kut između njih i pokazati da je taj kut jednak 90 °.
Pravac AB po uvjetu je okomit na ravninu β, a time i na pravac AC koji leži u ravnini β.
Nacrtajmo pravac AD okomit na pravac AC u ravnini β. Tada je BAD linearni kut diedralnog kuta.
Pravac AB okomit je na ravninu β, a time i na pravac AD koji leži u ravnini β. Dakle, linearni kut BAD je 90°. Dakle, ravnine α i β su okomite, što je trebalo dokazati.
Ravnina okomita na pravu duž koje se sijeku dvije zadane ravnine okomita je na svaku od ovih ravnina (slika 4).
Dokazati:
Riža. 4
Dokaz:
Pravac l okomit je na ravninu γ, a ravnina α prolazi kroz pravac l. Dakle, prema kriteriju okomitosti ravnina, ravnine α i γ su okomite.
Pravac l okomit je na ravninu γ, a ravnina β prolazi kroz pravac l. Dakle, prema znaku okomitosti ravnina, ravnine β i γ su okomite.
TEKST OBJAŠNJENJE LEKCIJE:
Ideja o ravnini u prostoru omogućuje vam da dobijete, na primjer, površinu stola ili zida. Međutim, stol ili zid imaju konačne dimenzije, a ravnina se proteže izvan njihovih granica u beskonačnost.
Razmotrimo dvije ravnine koje se sijeku. Kada se sijeku, tvore četiri diedralna kuta sa zajedničkim rubom.
Prisjetimo se što je diedralni kut.
U stvarnosti se susrećemo s objektima koji imaju oblik diedralnog kuta: na primjer, odškrinuta vrata ili poluotvorena mapa.
Na presjeku dviju ravnina alfa i beta dobivamo četiri diedralna kuta. Neka je jedan od diedralnih kutova jednak (phi), tada je drugi jednak (1800 -), treći, četvrti (1800-).
Razmotrimo slučaj kada je jedan od diedarskih kutova jednak 900.
Tada su svi diedralni kutovi u ovom slučaju jednaki 900.
Uvedemo definiciju okomitih ravnina:
Za dvije ravnine kažemo da su okomite ako je diedralni kut između njih 90°.
Kut između sigma i epsilon ravnine je 90 stupnjeva, što znači da su ravnine okomite
Navedimo primjere okomitih ravnina.
Zid i strop.
Bočni zid i ploča stola.
Formulirajmo znak okomitosti dviju ravnina:
TEOREM: Ako jedna od dvije ravnine prolazi kroz pravac okomit na drugu ravninu, tada su te ravnine okomite.
Dokažimo ovu značajku.
Pod uvjetom je poznato da pravac AM leži u ravnini α, pravac AM okomita na ravninu β,
Dokažite: ravnine α i β su okomite.
Dokaz:
1) Ravnine α i β sijeku se duž prave AR, dok je AM AR, budući da je AM β po uvjetu, odnosno AM okomita na bilo koji pravac koji leži u ravnini β.
2) Nacrtajmo pravac AT okomit na AP u ravnini β.
Dobivamo kut TAM - linearni kut diedralnog kuta. Ali kut TAM = 90°, budući da MA β. Dakle, α β.
Q.E.D.
Iz znaka okomitosti dviju ravnina imamo važnu posljedicu:
POSLJEDICA: Ravnina okomita na pravu duž koje se sijeku dvije ravnine okomita je na svaku od ovih ravnina.
To jest: ako je α∩β=s i γ s, onda γ α i γ β.
Dokažimo ovu posljedicu: ako je gama ravnina okomita na ravnu crtu c, onda je prema znaku paralelnosti dviju ravnina gama okomita na alfu. Slično, gama je okomita na beta.
Preformulirajmo ovaj korolar za diedarski kut:
Ravnina koja prolazi kroz linearni kut diedralnog kuta okomita je na rub i površine ovog diedralnog kuta. Drugim riječima, ako smo konstruirali linearni kut diedralnog kuta, tada je ravnina koja prolazi kroz njega okomita na rub i površine ovog diedralnog kuta.
Zadano: ΔABC, C = 90°, AC leži u ravnini α, kut između ravnina α i ABC = 60°, AC = 5 cm, AB = 13 cm.
Nađi: udaljenost od točke B do ravnine α.
1) Konstruirajmo VC α. Tada je CS projekcija BC na ovu ravninu.
2) BC AS (prema uvjetu), dakle, prema teoremu o tri okomice (TTP), CS AS. Prema tome, VSK je linearni kut diedralnog kuta između ravnine α i ravnine trokuta ABC. To jest, WSC = 60°.
3) Iz ΔBCA prema Pitagorinoj teoremi:
Odgovor VK jednak je 6 korijena od tri cm
Praktična uporaba (primijenjeni karakter) okomitosti dviju ravnina.
Okomitost u prostoru može imati:
1. Dvije ravne linije
3. Dvije ravnine
Razmotrimo redom ova tri slučaja: sve definicije i izjave teorema u vezi s njima. A zatim ćemo raspravljati o vrlo važnom teoremu o tri okomice.
Okomitost dviju linija.
Definicija:
Možete reći: i meni su otvorili Ameriku! Ali zapamtite da u svemiru sve nije isto kao u avionu.
Na ravnini samo takve prave (sijeku) mogu biti okomite:
Ali okomitost u prostoru dva prava može biti čak i ako se ne sijeku. Izgled:
pravac je okomit na pravac, iako ga ne siječe. Kako to? Podsjećamo na definiciju kuta između linija: da biste pronašli kut između linija koje se sijeku i, trebate povući liniju kroz proizvoljnu točku na pravci a. I tada će kut između i (po definiciji!) biti jednak kutu između i.
Sjećali ste se? Pa, u našem slučaju, ako se ispostavi da su linije i okomite, onda se linije i trebaju smatrati okomitima.
Da budemo potpuno jasni, pogledajmo primjer. Neka bude kocka. Od vas se traži da pronađete kut između linija i. Ove linije se ne sijeku – sijeku se. Da biste pronašli kut između i, nacrtajte.
Zbog činjenice da je - paralelogram (pa čak i pravokutnik!), Ispada da. A zbog činjenice da je - kvadrat, ispada da. Pa to znači.
Okomitost pravca i ravnine.
Definicija:
Evo slike:
pravac je okomit na ravninu ako je okomit na sve-sve pravce u ovoj ravnini: i, i, i, pa i! I milijardu drugih redaka!
Da, ali kako onda općenito možete provjeriti okomitost u pravoj liniji i ravnini? Dakle život nije dovoljan! No, na našu sreću, matematičari su nas spasili od noćne more beskonačnosti izumom znak okomitosti pravca i ravnine.
Formuliramo:
Provjerite kako je super:
ako postoje samo dvije linije (u) u ravnini na koju je pravac okomita, tada će se ovaj pravac odmah pokazati okomitom na ravninu, odnosno na sve prave u ovoj ravnini (uključujući i neki pravac koji stoji sa strane ). Ovo je vrlo važan teorem, pa ćemo i njegovo značenje nacrtati u obliku dijagrama.
I pogledajmo opet primjer.
Neka nam je dan pravilan tetraedar.
Zadatak: to dokazati. Reći ćete: to su dvije ravne crte! Kakve veze ima okomitost ravne i ravnine s tim?!
ali pogledaj:
označimo sredinu ruba i nacrtajmo i. Ovo su medijani u i. Trokuti su pravilni i.
Evo ga, čudo: ispostavilo se da, kao i. I dalje, na sve ravne linije u ravnini, i stoga, i. Dokazao. A najvažnija točka bila je upravo uporaba znaka okomitosti ravne i ravnine.
Kad su ravnine okomite
Definicija:
Odnosno (za više detalja, pogledajte temu "diedralni kut"), dvije ravnine (e) su okomite ako se pokaže da je kut između dviju okomica (s) na liniju presjeka ovih ravnina jednak. I postoji teorem koji povezuje pojam okomitih ravnina s pojmom okomitosti u prostoru pravca i ravnine.
Ovaj teorem se zove
Kriterij okomitosti ravnina.
Formulirajmo:
Kao i uvijek, dekodiranje riječi "tada i samo tada" izgleda ovako:
- Ako, onda prolazi kroz okomitu na.
- Ako prolazi kroz okomicu na, onda.
(naravno, ovdje su i avioni).
Ovaj teorem jedan je od najvažnijih u stereometriji, ali, nažalost, jedan od najtežih za primjenu.
Stoga morate biti vrlo oprezni!
Dakle, formulacija je:
I opet, dešifriranje riječi "tada i samo tada". Teorem kaže dvije stvari odjednom (pogledajte sliku):
Pokušajmo primijeniti ovaj teorem da riješimo problem.
Zadatak: dana je pravilna šesterokutna piramida. Pronađite kut između linija i.
Odluka:
Zbog činjenice da u pravilnoj piramidi vrh tijekom projekcije pada u središte baze, ispada da je prava projekcija pravca.
Ali to znamo u pravilnom šesterokutu. Primjenjujemo teorem o tri okomice:
I napiši odgovor:
OKOMETNOST PRAVA U PROSTORU. UKRATKO O GLAVNOM
Okomitost dviju linija.
Dvije linije u prostoru su okomite ako je kut između njih.
Okomitost pravca i ravnine.
Pravac je okomit na ravninu ako je okomit na sve pravce u toj ravnini.
Okomitost ravnine.
Ravnine su okomite ako je diedralni kut između njih jednak.
Kriterij okomitosti ravnina.
Dvije ravnine su okomite ako i samo ako jedna od njih prolazi okomicom na drugu ravninu.
Teorem o tri okomice:
Eto, tema je gotova. Ako čitate ove retke, onda ste jako cool.
Jer samo 5% ljudi je sposobno nešto samostalno svladati. A ako ste pročitali do kraja, onda ste u 5%!
Sad ono najvažnije.
Shvatili ste teoriju na ovu temu. I, ponavljam, to je ... jednostavno je super! Već ste bolji od velike većine svojih vršnjaka.
Problem je što to možda nije dovoljno...
Za što?
Za uspješno položen ispit, za upis u institut na proračunu i, NAJVAŽNIJE, doživotno.
Neću vas u ništa uvjeravati, samo ću jedno reći...
Ljudi koji su stekli dobro obrazovanje zarađuju mnogo više od onih koji ga nisu dobili. Ovo je statistika.
Ali to nije glavna stvar.
Glavno je da su SREĆNIJI (ima takvih studija). Možda zato što se pred njima otvara mnogo više prilika i život postaje svjetliji? ne znam...
Ali razmislite sami...
Što je potrebno da biste bili sigurni da ćete na ispitu biti bolji od drugih i na kraju biti ... sretniji?
NAPUNI RUKU, RJEŠAVAJUĆI PROBLEME NA OVU TEMU.
Na ispitu vas neće tražiti teorija.
Trebat će vam rješavati probleme na vrijeme.
A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje pogriješiti ili jednostavno nećete to učiniti na vrijeme.
To je kao u sportu – potrebno je mnogo puta ponoviti da bi sigurno pobijedio.
Pronađite kolekciju gdje god želite obavezno s rješenjima, detaljnom analizom i odluči, odluči, odluči!
Možete koristiti naše zadatke (nije potrebno) i svakako ih preporučujemo.
Kako biste nam pomogli uz pomoć naših zadataka, morate pomoći produžiti život YouClever udžbenika koji trenutno čitate.
Kako? Postoje dvije opcije:
- Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u ovom članku -
- Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka vodiča - Kupite udžbenik - 899 rubalja
Da, imamo 99 takvih članaka u udžbeniku i pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima može se odmah otvoriti.
Pristup svim skrivenim zadacima omogućen je tijekom cijelog vijeka trajanja stranice.
U zaključku...
Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati s teorijom.
“Razumijem” i “Znam riješiti” potpuno su različite vještine. Trebate oboje.
Pronađite probleme i riješite ih!
Ako jedna od dvije ravnine prolazi kroz pravu liniju okomitu na drugu ravninu, tada su zadane ravnine okomite () (Sl. 28)
α - ravnina, u je pravac okomit na nju, β je ravnina koja prolazi kroz ravnu liniju u, i s je ravna crta duž koje se sijeku ravnine α i β.
Posljedica. Ako je ravnina okomita na liniju presjeka dviju zadanih ravnina, onda je okomita na svaku od ovih ravnina
Zadatak 1. Dokažite da je kroz bilo koju točku pravca u prostoru moguće povući dva različita pravca okomita na nju.
Dokaz:
Prema aksiomu ja postoji točka koja nije na liniji a. Po teoremu 2.1 kroz točku NA i izravna a može se nacrtati ravnina α. (Sl. 29) Prema teoremu 2.3 kroz točku ALI u ravnini α može se povući pravac a. Prema aksiomu C 1, postoji točka S, koji ne pripada α. Po teoremu 15.1 kroz točku S i izravna a može se nacrtati ravnina β. U ravnini β, prema teoremu 2.3, kroz točku a može se povući pravac s a. Pravci u i c po konstrukciji imaju samo jednu zajedničku točku ALI a obje su okomite
Zadatak 2. Gornji krajevi dvaju okomito stojećih stupova, međusobno razmaknutih 3,4 m, povezani su prečkom. Visina jednog stupa je 5,8 m, a drugog 3,9 m. Pronađite duljinu prečke.
AC= 5,8 m, BD= 3,9 m, AB- ? (sl.30)
AE = AC - CE = AC - BD= 5,8 - 3,9 = 1,9 (m)
Po Pitagorinom teoremu iz ∆ AEB dobivamo:
AB 2 = AE 2 + EB 2 = AE 2 + CD 2 \u003d ( 1,9) 2 + (3,4) 2 \u003d 15,17 (m 2)
AB== 3,9 (m)
Zadaci
Cilj. Naučite analizirati u najjednostavnijim slučajevima međusobni dogovor objekata u prostoru, koristiti planimetrijske činjenice i metode pri rješavanju stereometrijskih problema.
1. Dokaži da je kroz bilo koju točku pravca u prostoru moguće povući pravac okomit na nju.
2. Pravci AB, AC i AD u paru su okomiti. Pronađite segment SD ako:
1) AB = 3 cm , Sunce= 7 cm, OGLAS= 1,5 cm;
2) VD= 9 cm, OGLAS= 5 cm, Sunce= 16 cm;
3) AB = c, BC = a, AD = d;
4) BD = c, BC = a, AD = d
3. Točka A je na udaljenosti a iz vrhova jednakostraničnog trokuta sa stranicom a. Pronađite udaljenost od točke A do ravnine trokuta.
4. Dokaži da ako je pravac paralelan s ravninom, onda su sve njegove točke na istoj udaljenosti od ravnine.
5. Telefonska žica dužine 15 m razvučena je od telefonskog stupa, gdje je pričvršćena na visini od 8 m od tla, do kuće, gdje je pričvršćena na visini od 20 m. Nađite razmak između kuće. i stup, pod pretpostavkom da žica ne sagne.
6. Od točke do ravnine povučene su dvije nagnute, jednake 10 cm i 17 cm.Razlika u projekcijama tih nagnutih je 9 cm.Nađi projekcije nagnutih.
7. Od točke do ravnine povučene su dvije nagnute linije od kojih je jedna 26 cm veća od druge. Projekcije kosih su 12 cm i 40 cm. Nađi kose.
8. Od točke do ravnine povučene su dvije nagnute linije. Nađi duljine kosih kostiju ako su u omjeru 1:2, a projekcije kosih su 1 cm i 7 cm.
9. Iz točke u ravninu povučene su dvije nagnute prave, jednake 23 cm i 33 cm.
udaljenost od ove točke do ravnine, ako su projekcije kosog omjera 2:3.
10. Nađite udaljenost od sredine segmenta AB do ravnine koja ne siječe ovaj odsječak, ako su udaljenosti točaka a i B do ravnine: 1) 3,2 cm i 5,3 cm, 7,4 cm i 6,1 cm; 3) a i c.
11. Riješite prethodni zadatak, pod uvjetom da segment AB siječe ravninu.
12. Odsječak dužine 1 m siječe ravninu, njegovi krajevi su udaljeni od ravnine na udaljenosti od 0,5 m i 0,3 m. Nađite duljinu projekcije segmenta na ravninu ..
13. Iz točaka A i B okomice se spuštaju na ravninu. Nađite udaljenost između točaka A i B, ako su okomice 3 m i 2 m, razmak između njihovih baza je 2,4 m, a odsječak AB ne siječe ravninu.
14. Iz točaka A i B, koje leže u dvije okomite ravnine, okomice AC i BD spuštene su na liniju presjeka ravnina. Odredite duljinu odsječka AB ako je: 1) AC = 6 m, BD = 7 m, CD = 6 m; 2) AC = 3 m, BD = 4 m, CD = 12 m; 3) AD = 4 m, BC = 7 m, CD = 1 m; 4) AD = BC = 5 m, CD = 1 m; 4) AC = a, BD = b, CD = c; 5) AD = a, BC = b, CD = c.
15. Iz vrhova A i B jednakostraničnog trokuta ABC podignute su okomice AA 1 i BB 1 na ravninu trokuta. Pronađite udaljenost od vrha C do sredine segmenta A 1 B 1 ako AB = 2 m, CA 1 = 3 m, CB 1 = 7 m i segment A 1 B 1 ne siječe ravninu trokut
16. Iz vrhova A i B oštrih kutova pravokutnog trokuta ABC podignute su okomice AA 1 i BB 1 na ravninu trokuta. Pronađite udaljenost od vrha C do sredine segmenta A 1 B 1 ako je A 1 C = 4 m, AA 1 = 3 m, CB 1 = 6 m, BB 1 = 2 m i segment A 1 B 1 ne siječe ravninu trokuta.
