Razmotrite poligon na koje je oblike podijeljen. pravilan poligon

Što je poligon? Vrste poligona. POLIGON, ravan geometrijski lik s tri ili više strana koje se sijeku u tri ili više točaka (vrhova). Definicija. Poligon je geometrijski lik sa svih strana omeđen zatvorenom isprekidanom linijom, koji se sastoji od tri ili više segmenata (veza). Trokut je definitivno mnogokut. Poligon je lik koji ima pet ili više uglova.

Definicija. Četverokut je ravna geometrijska figura koja se sastoji od četiri točke (vrhova četverokuta) i četiri segmenta koji ih serijski povezuju (stranice četverokuta).

Pravokutnik je četverokut sa svim pravim kutovima. Nazivaju se prema broju stranica ili vrhova: TROKUT (trokut); ČETVORKUTA (četverostrana); PENTAGON (petostrani) itd. U elementarnoj geometriji M. je lik omeđen ravnim linijama koje se nazivaju stranice. Točke u kojima se sijeku stranice nazivaju se vrhovi. Poligon ima više od tri kuta. Dakle prihvaćeno ili dogovoreno.

Trokut je trokut. A četverokut također nije mnogokut, a ne zove se ni četverokut - to je ili kvadrat, ili romb, ili trapez. Činjenica da poligon s tri strane i tri kuta ima svoj naziv "trokut" ne lišava ga statusa poligona.

Pogledajte što je "POLIGON" u drugim rječnicima:

Saznajemo da je ovaj lik omeđen zatvorenom izlomljenom linijom, koja zauzvrat može biti jednostavna, zatvorena. Razgovarajmo o tome da su poligoni ravni, pravilni, konveksni. Tko još nije čuo za tajanstveni Bermudski trokut, gdje brodovi i avioni nestaju bez traga? Ali trokut koji nam je poznat iz djetinjstva prepun je mnogo zanimljivih i tajanstvenih stvari.

Iako se, naravno, lik koji se sastoji od tri kuta također može smatrati poligonom

Ali to nije dovoljno za karakterizaciju figure. Izlomljena crta A1A2…An je lik koji se sastoji od točaka A1,A2,…An i odsječaka A1A2, A2A3,… koji ih spajaju. Jednostavna zatvorena izlomljena crta naziva se poligon ako njezine susjedne veze ne leže na istoj pravoj liniji (slika 5.). Zamijenite u riječ "poligon" umjesto dijela "mnogo" određeni broj, na primjer 3. Dobit ćete trokut. Imajte na umu da kutova ima koliko i stranica, pa bi se ove figure mogle nazvati višestranim.

Neka je A1A2…A n zadani konveksni poligon i n>3. Nacrtajte u njemu (iz jednog vrha) dijagonale

Zbroj kutova svakog trokuta je 1800, a broj tih trokuta je n - 2. Prema tome, zbroj kutova konveksnog n - kuta A1A2 ... A n je 1800 * (n - 2). Teorem je dokazan. Vanjski kut konveksnog poligona u danom vrhu je kut koji je susjedan unutarnjem kutu poligona u tom vrhu.

U četverokutu povucite liniju tako da ga dijeli na tri trokuta

Četverokut nikada nema tri vrha na istoj liniji. Riječ "poligon" označava da sve figure ove obitelji imaju "mnogo uglova". Izlomljena linija naziva se jednostavnom ako nema samosjecišta (sl. 2,3).

Duljina izlomljene linije je zbroj duljina njezinih karika (slika 4). U slučaju n=3 teorem je istinit. Dakle, kvadrat se može nazvati drugačije - pravilni četverokut. Takve figure već dugo zanimaju majstore koji su ukrašavali zgrade.

Broj vrhova jednak je broju stranica. Izlomljena linija naziva se zatvorena ako joj se krajevi podudaraju. Od njih su dobiveni lijepi uzorci npr. na parketu. Naša zvijezda petokraka je pravilna peterokutna zvijezda.

Ali nisu se svi pravilni poligoni mogli koristiti za formiranje parketa. Pogledajmo pobliže dvije vrste poligona: trokut i četverokut. Poligon u kojem su svi unutarnji kutovi jednaki naziva se pravilni mnogokut. Poligoni se nazivaju prema broju njegovih stranica ili vrhova.

U ovoj lekciji ćemo pokrenuti novu temu i uvesti novi koncept za nas - "poligon". Pogledat ćemo osnovne pojmove povezane s poligonima: stranice, vrhovi, kutovi, konveksnost i nekonveksnost. Onda ćemo dokazati ključne činjenice kao što je teorem o zbroju unutarnjih kutova poligona, teorem o zbroju vanjskih kutova poligona. Kao rezultat toga, približit ćemo se proučavanju posebnih slučajeva poligona, koji će se razmatrati u budućim lekcijama.

Tema: četverokuti

Lekcija: Poligoni

Tijekom geometrije proučavamo svojstva geometrijskih oblika i već smo razmotrili najjednostavnije od njih: trokute i krugove. Istodobno, raspravljali smo i o posebnim posebnim slučajevima ovih figura, kao što su pravokutni, jednakokračni i pravilni trokuti. Sada je vrijeme da razgovaramo o općenitijim i složenijim oblicima - poligona.

S posebnim slučajem poligona već smo upoznati - ovo je trokut (vidi sliku 1).

Riža. 1. Trokut

Već sam naziv naglašava da se radi o figuri koja ima tri ugla. Stoga, u poligon može ih biti mnogo, t.j. više od tri. Na primjer, nacrtajmo peterokut (vidi sliku 2), t.j. lik s pet uglova.

Riža. 2. Pentagon. Konveksni poligon

Definicija.Poligon- lik koji se sastoji od nekoliko točaka (više od dvije) i odgovarajućeg broja segmenata koji ih povezuju u seriju. Te se točke nazivaju vrhovima poligon, i segmenti - stranke. U ovom slučaju, dvije susjedne stranice ne leže na istoj pravoj liniji niti se dvije nesusjedne stranice ne sijeku.

Definicija.pravilan poligon je konveksan poligon u kojem su sve strane i kutovi jednaki.

Bilo koji poligon dijeli ravninu na dva područja: unutarnju i vanjsku. Interijer se također naziva poligon.

Drugim riječima, na primjer, kada govore o peterokutu, misle i na cijelo njegovo unutarnje područje i na njegovu granicu. A unutarnje područje također uključuje sve točke koje leže unutar poligona, t.j. točka također pripada peterokutu (vidi sl. 2).

Poligoni se ponekad nazivaju i n-kutovima kako bi se naglasilo da se razmatra opći slučaj s nekim nepoznatim brojem uglova (n komada).

Definicija. Opseg poligona je zbroj duljina stranica mnogokuta.

Sada se trebamo upoznati s vrstama poligona. Dijele se na konveksan i nekonveksan. Na primjer, poligon prikazan na sl. 2 je konveksan, a na Sl. 3 nekonveksna.

Riža. 3. Nekonveksni poligon

Definicija 1. Poligon pozvao konveksan, ako pri povlačenju ravne linije kroz bilo koju od njezinih strana, cijeli poligon leži samo s jedne strane ove linije. nekonveksan su svi ostali poligona.

Lako je zamisliti da pri proširenju bilo koje strane peterokuta na Sl. 2 sve će to biti s jedne strane ove ravne linije, t.j. on je konveksan. Ali kada crtate ravnu liniju kroz četverokut na Sl. 3 već vidimo da ga dijeli na dva dijela, t.j. on je nekonveksan.

Ali postoji još jedna definicija konveksnosti poligona.

Definicija 2. Poligon pozvao konveksan ako su pri odabiru bilo koje dvije njegove unutarnje točke i povezivanju sa segmentom sve točke segmenta također unutarnje točke poligona.

Demonstracija korištenja ove definicije može se vidjeti na primjeru konstruiranja segmenata na Sl. 2 i 3.

Definicija. dijagonala Poligon je svaki segment koji spaja dva nesusjedna vrha.

Za opis svojstava poligona postoje dva najvažnija teorema o njihovim kutovima: teorem o zbroju unutarnjih kutova konveksnog poligona i teorem o zbroju vanjskih kutova konveksnog poligona. Razmotrimo ih.

Teorema. O zbroju unutarnjih kutova konveksnog poligona (n-gon).

Gdje je broj njegovih kutova (strana).

Dokaz 1. Prikažimo na Sl. 4 konveksan n-kut.

Riža. 4. Konveksni n-kut

Nacrtajte sve moguće dijagonale iz vrha. Dijele n-kut na trokute, jer svaka strana poligona tvori trokut, osim stranica koje su susjedne vrhu. Sa slike je lako vidjeti da će zbroj kutova svih ovih trokuta biti jednak zbroju unutarnjih kutova n-kuta. Budući da je zbroj kutova bilo kojeg trokuta , tada je zbroj unutarnjih kutova n-kuta:

Q.E.D.

Dokaz 2. Moguć je i drugi dokaz ovog teorema. Nacrtajmo sličan n-kut na sl. 5 i povežite bilo koju njegovu unutarnju točku sa svim vrhovima.

Riža. 5.

Dobili smo podjelu n-kuta na n trokuta (koliko strana, toliko trokuta). Zbroj svih njihovih kutova jednak je zbroju unutarnjih kutova poligona i zbroju kutova u unutarnjoj točki, a to je kut. Imamo:

Q.E.D.

Provjereno.

Prema dokazanom teoremu, vidi se da zbroj kutova n-kuta ovisi o broju njegovih stranica (na n). Na primjer, u trokutu, a zbroj kutova je . U četverokutu, a zbroj kutova - itd.

Teorema. O zbroju vanjskih kutova konveksnog poligona (n-gon).

Gdje je broj njegovih uglova (strana), a , ..., su vanjski kutovi.

Dokaz. Nacrtajmo konveksni n-kut na sl. 6 i označavaju njezin unutarnji i vanjski kut.

Riža. 6. Konveksni n-kut s označenim vanjskim kutovima

Jer vanjski kut je spojen s unutarnjim kao susjedni, tada a slično i za ostale vanjske kutove. Zatim:

Tijekom transformacija koristili smo se već dokazanim teoremom o zbroju unutarnjih kutova n-kuta.

Provjereno.

Iz dokazanog teorema slijedi zanimljiva činjenica da je zbroj vanjskih kutova konveksnog n-kuta na broj njegovih kutova (stranica). Usput, za razliku od zbroja unutarnjih kutova.

Bibliografija

1. Aleksandrov A.D. itd. Geometrija, 8. razred. - M.: Obrazovanje, 2006.
2. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometrija, 8. razred. - M.: Obrazovanje, 2011.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometrija, 8. razred. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Profmeter.com.ua ().
2. Narod.ru ().
3. Xvatit.com().

Domaća zadaća

§ 1 Pojam trokuta

U ovoj lekciji ćete se upoznati s takvim oblicima kao što su trokut i mnogokut.

Ako tri točke koje ne leže na istoj pravoj liniji spojimo segmentima, dobit će se trokut. Trokut ima tri vrha i tri stranice.

Pred vama je trokut ABC, ima tri vrha (točka A, točka B i točka C) i tri strane (AB, AC i CB).

Usput, te iste strane mogu se nazvati drugačije:

AB=BA, AC=CA, CB=BC.

Stranice trokuta tvore tri kuta na vrhovima trokuta. Na slici vidite kut A, kut B, kut C.

Dakle, trokut je geometrijski lik kojeg čine tri segmenta koji spajaju tri točke koje ne leže na jednoj ravnoj crti.

§ 2 Pojam poligona i njegove vrste

Osim trokuta, postoje četverokuti, peterokuti, šesterokuti i tako dalje. Jednom riječju, mogu se nazvati poligonima.

Na slici vidite DMKE četverokut.

Točke D, M, K i E su vrhovi četverokuta.

Segmenti DM, MK, KE, ED stranice su ovog četverokuta. Baš kao i u slučaju trokuta, stranice četverokuta čine četiri ugla na vrhovima, pogađate, pa otuda i naziv - četverokut. Za ovaj četverokut vidite na slici kut D, kut M, kut K i kut E.

Koje četverokute već znate?

Kvadrat i pravokutnik! Svaki od njih ima četiri ugla i četiri strane.

Druga vrsta poligona je pentagon.

Točke O, P, X, Y, T su vrhovi peterokuta, a segmenti TO, OP, PX, XY, YT su stranice ovog peterokuta. Pentagon ima pet uglova i pet stranica.

Što mislite koliko uglova i koliko stranica ima šesterokut? Tako je, šest! Raspravljajući na sličan način, možemo reći koliko strana, vrhova ili kutova ima određeni poligon. I možemo zaključiti da je trokut također mnogokut, koji ima točno tri kuta, tri stranice i tri vrha.

Dakle, u ovoj lekciji ste se upoznali s pojmovima kao što su trokut i mnogokut. Naučili smo da trokut ima 3 vrha, 3 stranice i 3 kuta, četverokut ima 4 vrha, 4 stranice i 4 kuta, peterokut ima 5 stranica, 5 vrhova, 5 kutova, i tako dalje.

Popis korištene literature:

1. Matematika 5. razred. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I. i dr. 31. izd., ster. - M: 2013.
2. Didaktički materijali iz matematike 5. razred. Autor - Popov M.A. - godina 2013
3. Računamo bez grešaka. Rad sa samoprovjerom u matematici 5-6 razredi. Autor - Minaeva S.S. - godina 2014
4. Didaktički materijali iz matematike 5. razred. Autori: Dorofeev G.V., Kuznetsova L.V. - 2010
5. Kontrolni i samostalni rad iz matematike 5. razred. Autori - Popov M.A. - godina 2012
6. Matematika. 5. razred: udžbenik. za učenike općeg obrazovanja. institucije / I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich. - 9. izd., Sr. - M.: Mnemosyne, 2009

Dio ravnine omeđen zatvorenom izlomljenom linijom naziva se poligon.

Segmenti ove izlomljene linije nazivaju se stranke poligon. AB, BC, CD, DE, EA (slika 1) - stranice poligona ABCDE. Zbroj svih stranica mnogokuta naziva se njegovim perimetar.

Poligon se zove konveksan, ako se nalazi na jednoj strani bilo koje svoje strane, proteže se neograničeno izvan oba vrha.

Poligon MNPKO (slika 1) neće biti konveksan, budući da se nalazi na više od jedne strane prave KP.

Razmotrit ćemo samo konveksne poligone.

Kutovi koje čine dvije susjedne stranice poligona nazivaju se njegovim unutarnje uglovi i njihovi vrhovi - vrhovi poligona.

Odsječak koji povezuje dva nesusjedna vrha poligona naziva se dijagonala poligona.

AC, AD - dijagonale poligona (slika 2).

Kutovi koji se nalaze uz unutarnje kutove poligona nazivaju se vanjskim kutovima poligona (slika 3.).

Ovisno o broju kutova (strana), poligon se naziva trokut, četverokut, peterokut itd.

Za dva poligona se kaže da su jednaka ako se mogu preklopiti.

Upisani i opisani poligoni

Ako svi vrhovi poligona leže na kružnici, tada se poligon naziva upisana u krug, i krug opisano blizu poligona (sl.).

Ako su sve strane poligona tangente na kružnicu, tada se poligon naziva opisano oko kruga, a krug se zove upisana u poligon (sl.).

Sličnost poligona

Dva istoimena poligona nazivaju se sličnima ako su kutovi jednog od njih jednaki kutovima drugog, a slične stranice poligona su proporcionalne.

Poligoni s istim brojem stranica (kutova) nazivaju se istoimeni poligoni.

Stranice sličnih mnogokuta nazivaju se sličnima ako spajaju vrhove odgovarajućih jednakih kutova (sl.).

Tako, na primjer, da bi poligon ABCDE bio sličan poligonu A'B'C'D'E', potrebno je da: E = ∠E' i, osim toga, AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A' .

Omjer perimetra sličnih poligona

Prvo razmotrite svojstvo niza jednakih omjera. Imajmo, na primjer, relacije: 2 / 1 = 4 / 2 = 6 / 3 = 8 / 4 =2.

Nađimo zbroj prethodnih članova ovih relacija, zatim - zbroj njihovih sljedećih članova i nađemo omjer primljenih suma, dobivamo:

$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$

Isto ćemo dobiti ako uzmemo neke druge relacije, na primjer: 2 / 3 = 4 / 6 = 6 / 9 = 8 / 12 = 10 / 15 = 2 / 3 i onda pronađemo omjer tih zbroja , dobivamo:

$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$

U oba slučaja, zbroj prethodnih članova niza jednakih relacija povezan je sa zbrojem sljedećih članova istog niza, kao što je prethodni član bilo kojeg od tih odnosa povezan s njegovim sljedećim.

Ovo svojstvo smo zaključili razmatrajući niz brojčanih primjera. Može se zaključiti strogo i u općem obliku.

Sada razmotrite omjer opsega sličnih poligona.

Neka je mnogokut ABCDE sličan poligonu A'B'C'D'E' (sl.).

Iz sličnosti ovih poligona proizlazi da

AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A'

Na temelju svojstva niza jednakih odnosa koje smo izveli možemo zapisati:

Zbroj prethodnih članova relacija koje smo uzeli je obod prvog poligona (P), a zbroj sljedećih članova ovih relacija je obod drugog poligona (P '), dakle P / P ' = AB / A'B '.

Stoga, perimetri sličnih poligona povezani su kao njihove odgovarajuće stranice.

Omjer površina sličnih poligona

Neka su ABCDE i A'B'C'D'E' slični poligoni (sl.).

Poznato je da ΔABC ~ ΔA'B'C' ΔACD ~ ΔA'C'D' i ΔADE ~ ΔA'D'E'.

Osim,

;

Budući da su drugi omjeri ovih proporcija jednaki, što proizlazi iz sličnosti poligona, onda

Koristeći svojstvo niza jednakih omjera, dobivamo:

Ili

gdje su S i S' površine ovih sličnih poligona.

Stoga, površine sličnih poligona su povezane kao kvadrati sličnih stranica.

Rezultirajuća formula može se pretvoriti u ovaj oblik: S / S '= (AB / A'B ') 2

Područje proizvoljnog poligona

Neka je potrebno izračunati površinu proizvoljnog četverokuta ABDC (slika).

Nacrtajmo u njemu dijagonalu, na primjer AD. Dobivamo dva trokuta ABD i ACD čije površine možemo izračunati. Zatim nalazimo zbroj površina ovih trokuta. Rezultirajući zbroj će izraziti površinu zadanog četverokuta.

Ako trebate izračunati površinu peterokuta, nastavljamo na isti način: izvlačimo dijagonale iz jednog od vrhova. Dobivamo tri trokuta čije površine možemo izračunati. Tako možemo pronaći površinu ovog peterokuta. Isto radimo kada izračunavamo površinu bilo kojeg poligona.

Područje projekcije poligona

Podsjetimo da je kut između pravca i ravnine kut između danog pravca i njegove projekcije na ravninu (slika).

Teorema. Površina ortogonalne projekcije poligona na ravninu jednaka je površini projiciranog poligona pomnoženoj s kosinusom kuta kojeg čine ravnina poligona i ravnina projekcije.

Svaki se poligon može podijeliti na trokute, čiji je zbroj površina jednak površini poligona. Stoga je dovoljno dokazati teorem za trokut.

Neka se ΔABC projicira na ravninu R. Razmotrimo dva slučaja:

a) jedna od stranica ΔABS paralelna je s ravninom R;

b) nijedna stranica ΔABC nije paralelna R.

Smatrati prvi slučaj: neka [AB] || R.

Povucite kroz (AB) ravninu R 1 || R i projicirati ortogonalno ΔABC na R 1 i dalje R(riža.); dobivamo ΔABC 1 i ΔA’B’C’.

Prema svojstvu projekcije, imamo ΔABC 1 (cong) ΔA’B’C’, pa stoga

S ∆ ABC1 = S ∆ A'B'C'

Nacrtajmo ⊥ i odsječak D 1 C 1 . Tada je ⊥, a \(\overbrace(CD_1C_1)\) = φ kut između ravnine ΔABC i ravnine R jedan . Tako

S ∆ ABC1 = 1 / 2 | AB | | C 1 D 1 | = 1 / 2 | AB | | CD 1 | cos φ = S ∆ ABC cos φ

i, prema tome, S Δ A'B'C' = S Δ ABC cos φ.

Prijeđimo na razmatranje drugi slučaj. Nacrtaj avion R 1 || R kroz taj vrh ΔAVS, udaljenost od koje je do ravnine R najmanji (neka je vrh A).

Dizajnirajmo ΔABC na ravnini R 1 i R(riža.); neka su njegove projekcije ΔAB 1 C 1 odnosno ΔA’B’C’.

Neka (BC) ∩ str 1 = D. Tada

S Δ A'B'C' = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ

Ostali materijali