Kombinációk és tulajdonságaik bemutatása. Előadás az algebra és az elemzési elvek leckéhez a "Kombinatorika: mozgások, permutációk, kombinációk" témában

A prezentáció előnézetének használatához hozzon létre egy Google-fiókot, és jelentkezzen be: https://accounts.google.com

Diafeliratok:

Kombinációk

Kombinációk Az m adatból a sorrend figyelembevétele nélkül kiválasztott összes n elem számát m elem kombinációinak számának nevezzük n-nel. Minden kombináció legalább egy elemben különbözik egymástól; Az elemek sorrendje itt nem jelentős; A kombináció és az elrendezés között az a különbség, hogy ha egy elrendezésben átrendezzük az elemeket, akkor más elrendezést kapunk, de a kombináció nem függ a benne szereplő elemek sorrendjétől.

Kombinációk Az m adatból a sorrend figyelembevétele nélkül kiválasztott összes n elem számát m elem kombinációinak számának nevezzük n-nel. Keresés: A kombinációk száma 6-tól 3-ig: A kombinációk száma 4-től 4-ig:

1. számú feladat 20 tanulóból két ügyeletes tisztet kell választani. Hányféleképpen lehet ezt megtenni? Megoldás: Kettőt kell választanunk a 20-ból. Nyilvánvaló, hogy semmi sem függ a választás sorrendjétől, vagyis Ivanov - Petrov vagy Petrov - Ivanov ugyanaz a pár ügyeletes tiszt. Ezért ezek 20 x 2 kombinációi lesznek.

2. feladat. A Minotaurusznak 25 foglya sínylődik a labirintusban. a) Hányféleképpen választhat hármat reggelire, ebédre és vacsorára? b) Hányféleképpen lehet három foglyot szabadon bocsátani? Megoldás: A) A sorrend fontos. B) A sorrend nem fontos

3. számú feladat Az osztályba 27 tanuló jár, közülük hármat kell kiválasztani. Hányféleképpen lehet ezt megtenni, ha: a) az első tanulónak meg kell oldania a feladatot, a másodiknak krétáért, a harmadiknak az ebédlőbe kell szolgálatba állnia; b) kórusban énekeljenek? 6

Hányféleképpen alakítható ki egy kétfős csapat egy matematikaklub hét tagjából, hogy részt vegyen az olimpián? 4. feladat

5. számú feladat Az osztályon 5 vezető és 8 vezető beosztású alkalmazott dolgozik. Két vezető és két vezető kutatót kell üzleti útra küldeni. Hányféleképpen lehet választani?

A 36 lapból álló megkevert pakliból véletlenszerűen 4 lapot húznak. Mennyi annak a valószínűsége, hogy minden húzott lap ász? 6. probléma

7. probléma Egy 50 alkatrészből álló tételben 10 darab hibás. Négy alkatrész véletlenszerűen kerül ki a tételből. Határozza meg annak valószínűségét, hogy mind a 4 alkatrész hibás lesz. Összes eredmény: Kedvező eredmények: Valószínűség.

A „Kombinációk” című előadás vizuális segédlet a „Kombinációk” témakör átgondolásához a kombinatorika alapjainak tanulmányozása során a 9. osztályban. Az oktatási anyagok világos vizuális megjelenítése hozzájárul az óra jobb hatékonyságához és az óra céljainak gyorsabb eléréséhez. Az előadás tartalmaz példákat a fogalom meghatározásához vezető kombinációkra, egy füzetbe íráshoz és memorizáláshoz kiemelt definíciót, áttekintjük a fogalom jellemzőit és jelentésének keresését, matematikai apparátust a kombinációs problémák megoldására, példákat problémamegoldás.

Ebben az előadásban az anyag jobb megértése érdekében példákat használnak, amelyeket az ábrákon jól szemléltetnek. Diák és animáció segítségével strukturálják az anyagot, kiemelik a fontos fogalmakat, részleteket. Általában egy ilyen előadás mentesíti a tanárt attól, hogy más eszközöket és tárgyakat használjon az áttekinthetőség érdekében. Az előadás kísérheti a tanár témáról szóló magyarázatát, világosan és világosan bemutatva a tanult fogalmak jellemzőit.

Az előadás a téma bemutatásával kezdődik. Ezt követően egy olyan probléma megoldását mutatjuk be, amelyben meg kell találni a három rózsából álló csokrok számát, amikor 5 különböző színű rózsa van. A képen 5 különböző színű rózsa látható, melyek a,b,c,d,e felirattal vannak ellátva. Először is figyelembe kell venni az összes olyan lehetőséget, amely sárga rózsával kombinálható. Minden sárga rózsával ellátott csokor felváltva megjelenik a képernyőn. 6 db van, és ha az ilyen csokrokat betűkkel jelöljük, akkor ezek abc, abd, abe, acd, ász, ade. Az alábbiakban bemutatjuk az összes olyan lehetőséget, amely sárga rózsa nélkül hajtható össze. A képernyőn egy piros rózsa, majd három lehetőség látható vörös rózsával. Ha az eredményül kapott kombinációkat betűkkel jelöljük, a kapott opciók a bcd, bce, bde. A maradék három rózsa csak egy csokrot készíthet vörös és sárga rózsa nélkül - cde. A megoldás összefoglalásaként megjegyzendő, hogy a megoldás 10 módon hajtogatható. Az összes lehetséges csokor opció megjelenik a képernyőn. A lehetséges kombinációk számát C 5 3 =10 jelzi. Ez a példa bevezetőül szolgált a kombinatorika kombinációinak fogalmába. Ebben az esetben a kombináció definíciója külön kiemelve a 8. dián, és keretbe van zárva a memorizálás céljából. A kombinációk egy halmaz, amely néhány n elem közül kiválasztott k elemből áll.

A 9. dián a kombinációk egyik fontos jellemzője látható, hogy az elemek sorrendje nem jelentős. Az egyetlen különbség az elemek kombinációi között legalább egy elem különbsége. A matematikában a kombinációkat C n k -vel jelöljük. Ez a jelölés a k n elemének kombinációinak száma. A megjelölés a 10. dián kiemelve és bekeretezve a memorizálás érdekében.

Ezután a vizsgált példa segítségével definiáljuk a kombinációk számának meghatározására szolgáló matematikai apparátust. Az előadás elején tárgyalt rózsacsokrok esetében megállapították, hogy C 5 3 =10. Az n elemből álló kombinációk számának képletének megjelenítéséhez k ≤n esetén, a képernyőn megjelenik a rózsák csokorba helyezésének összes lehetséges lehetősége. Emlékeztetni kell arra, hogy a permutációkat ebben az esetben P 3-ként definiáljuk, és az elhelyezések száma az elfogadott jelölés szerint A 5 3. A kombinációk száma meghatározható egy képletből, amely a kombinációk számát az elhelyezések és permutációk számán keresztül fejezi ki. Megjegyzendő, hogy a kombinációk számát meghatározó képlet a C 5 3 .P 3 =A 5 3 képletből származik. Azt mutatja, hogy a kombinációk száma C 5 3 =(A 5 3)/P 3 lesz.

A 14. dián a kombinációk számának meghatározásához levezetett képlet ebben az esetben a három színű, 5 adott rózsából álló rózsacsokrok számának meghatározásához az általános esetre vonatkozik. Általános esetben az n x k elem kombinációinak számának képletét k≤n esetén a P k permutációk számával és az A n k elhelyezések számával fejezzük ki. Mivel A n k =C n k .P k, így általános esetben a kombinációk számát a C n k =(A n k)/P k képlettel találjuk meg. Ha ebbe a képletbe behelyettesítjük az A n k értékének és P k értékének meghatározásához használt kifejezéseket, akkor általános képletet kapunk a kombinációk számának meghatározására: C n k =n!/k!(n-k)!. Ez a képlet színnel van kiemelve a memorizáláshoz, mivel a problémák megoldásában meg kell találnia a kombinációk számának értékét.

A 16. dia példát mutat egy probléma megoldására, amelyben meg kell találnia a kombinációk számát. A probléma megoldásához meg kell találni, hogy hányféleképpen lehet 3 ceruzát kiválasztani a 12 ceruzakészletből. Nyilvánvaló, hogy ez a művelet egy kombináció, mivel a kiválasztott elemsor sorrendje nem számít. A kombinációk számát a C n k =n!/k!(n-k)! képlet határozza meg. A feladat értékeit behelyettesítve ebbe a képletbe C 12 3 =12!/(3!.9!)=(11/10/12)/(1.2.3)=220.

A 17. dia egy másik probléma megoldását vizsgálja, amelyben meg kell találni, hány módon lehet négy fiút és három lányt kiválasztani a versenyre egy olyan osztályból, ahol 12 lány és 14 fiú van. Nyilvánvaló, hogy a versenycsoportot 14-ből 4 fiú és 12 lányból 3 kombináció alkotja. A kombinációk teljes száma megegyezik a C 14 4 .C 12 3 szorzattal. A számítások elvégzése után a kapott módok száma 220220.

A „Kombinációk” című előadás vizuális segédletként ajánlott a témával kapcsolatos algebraóra levezetéséhez. Ez az anyag távoktatás közben is használható leckék levezetésére. Az anyag világos, részletes magyarázata segít a tanulóknak önállóan megérteni a kombinációk fogalmát és az ilyen problémák megoldását.

2. dia

Kombinációk

1. definíció Az n elem k általi kombinációja az adott n elem közül valamilyen módon kiválasztott, páronként eltérő k elem tetszőleges gyűjteménye. Más szavakkal, a k-kombináció egy n elemű halmaz k elemű részhalmaza. Példa. Sokan adottak. Készítsünk 2 kombinációt:

3. dia

1. Tétel Egy n elemű halmaz k kombinációinak számát a Bizonyítás képlettel számítjuk ki. Minden k-kombinációból minden lehetséges módon átrendezve annak elemeit, k-t kapunk! elhelyezések. Szóval innen

4. dia

Példa

Hányféleképpen választhat 3 tábla csokit a rendelkezésre álló 5 tábla közül? Megoldás. A probléma abból adódik, hogy kiszámoljuk az 5-3 kombinációk számát

5. dia

Kombinációs tulajdonságok

1) Bizonyíték: 2) Bizonyíték:

6. dia

3) Bizonyíték: 4) Bizonyíték:

7. dia

Binomiális tétel

Bizonyíték. A bizonyítást indukcióval hajtjuk végre n-en. Az indukció alapja. n=1 esetén a Newton-binomiális alakja A kifejezést leegyszerűsítve megkapjuk a helyes egyenlőséget 2) Induktív feltevés. Tegyük fel, hogy ha n=t, az egyenlőség teljesül

8. dia

3) Induktív átmenet. Bizonyítsuk be, hogy n=t+1 esetén fennáll az egyenlőség, ehhez szorozzuk meg az induktív hipotézis bal és jobb oldalát ezzel. Kapunk

9. dia

Nyissuk meg az egyenlőség jobb oldalán lévő zárójeleket Mutassunk be hasonlókat Használjuk a kombinációk számának tulajdonságait

10. dia

Következmények a Newton-binomiálisból

Newton binomiálisból kapott a Newton binomiálisból 1) egyenlőség 2) egyenlőség

11. dia

Kombinációk ismétlésekkel

12. dia

Kombináció ismétlésekkel

1. definíció Az n elem k kombinációja az adott n elem közül valamilyen módon kiválasztott k elem tetszőleges gyűjteménye. Példa: Adott egy A = halmaz. Készítsünk 2 kombinációt ismétlésekkel:

13. dia

A kombinációk száma ismétlésekkel

1. tétel. Az n elemű halmaz ismétlődő k-kombinációinak számát a Bizonyítás képlettel számítjuk ki. Lemma. A k egységből álló 0 és 1 rendezett halmazok száma egyenlő. A lemma bizonyítéka. A 0-k és 1-ek rendezett halmazát egyedileg határozza meg a helyválasztás. Az egységek k helyének kiválasztására szolgáló különböző lehetőségek számát a képlet segítségével számítjuk ki.A lemma bizonyított.

14. dia

A halmaz elemeiből ismétlésekkel k-kombinációkat építünk, minden ilyen halmazban először típusú elemeket rendezünk, majd típusokat stb. Minden ismétléses k-kombinációhoz n+k-1 hosszúságú 0 és 1-es sorozatot rendelünk, ebben a sorozatban az egyesek száma k, a nullák száma n-1. Mindegyik 0 különböző típusú halmazokat választ el. Minden ismétléses k-kombináció egyedileg határozza meg a megadott sorrendet, és fordítva. A lemma szerint léteznek ilyen sorozatok. Eszközök,

15. dia

Példa

Az üzletben 4 féle sütemény kapható. Hányféleképpen vásárolhat 7 tortát? Megoldás. Az ismétléses kombinációk számának képletét használjuk, mivel a vásárlás ismétlődő tortafajtákat tartalmaz.

16. dia

Pivot tábla

17. dia

Problémamegoldás

18. dia

Feladatok

1) A posta 5 féle internetes kártyát árul. Hányféleképpen vásárolhat 3 különböző kártyát? Hányféleképpen vásárolhat 3 kártyát? Megoldás. Az első kérdésre az ismétlés nélküli kombinációk számának képletével válaszolunk, mivel a kártyák különbözőek, a második kérdésre pedig az ismétléses kombinációk számának képletét használjuk, mivel nem mondják, hogy a kártyák különböző típusú, ami azt jelenti, hogy a kártyatípusok megismételhetők

19. dia

2) 8 fiú és 9 lány van az osztályban. Hányféleképpen lehet kiválasztani egy 4 fiúból és 3 lányból álló gyerekcsoportot? Megoldás. 8-ból négy fiút, 9-ből három lányt választunk. A szorzási szabályt használva kapjuk

20. dia

3) A Newton-binomiális használatával nyissa ki a zárójeleket. Megoldás.

21. dia

4) Hányféleképpen osztható el 6 egyforma narancs három gyerek között? Megoldás. Mivel a narancsok ugyanazok, egyáltalán nem használhatók a készlet 6 különböző elemeként. Vegyünk egy készletet, amely három gyermekből áll. A gyerekeket narancsra választjuk. Az ismétléses kombinációk számának képletét használjuk, mivel egy gyerek több narancsot is kaphat, vagy nem.

22. dia

5) Hányféleképpen osztható szét 5 egyforma nyomtató, 3 telefonkészülék, 7 monitor 4 cég között? Megoldás. Először a nyomtatókat osszuk ki, majd a telefonokat, végül a monitorokat. A szorzási szabályt használva azt kapjuk

23. dia

6) Hányféleképpen kódolható egy ajtó, ha bizonyos számú különböző szám egyidejű lenyomásával nyílik ki? A kód állhat 1, 2, vagy ... vagy 10 számjegyből. Egyjegyű kódnál többféle lehetőség van, kétjegyű kódnál ..., tízjegyű kódnál. Az összeadási szabályt használva azt kapjuk, hogy a Newton-binomiális következményét használtuk.

24. dia

Kérdések: Hasonlítsa össze a kifejezéseket C A Számítsa ki C k n n k 8 2

Az összes dia megtekintése

Átrendezések Elhelyezések Kombinációk Valószínűség

Városi oktatási intézmény középiskola No. 30, Volgograd

Matematika tanár Skleinova N.I.

Faktoriális

1. definíció

A faktoriális az első n természetes szám szorzata

n! = 1*2*2*…(n-2)(n-1)n

2!=1*2=2

3!=1*2*3=6

4!= 1*2*3*4=24

5!=1*2*3*4*5=120

Átrendezések

2. definíció

Az n elemből álló permutáció ezen elemek minden egyes elrendezése egy bizonyos sorrendben P=n!

1. példa

A döntő futam 8 résztvevője hányféleképpen helyezhető el nyolc futópadon?

R 8 =8!=1*2*3*4*5*6*7*8= 40320 (módok)

Elhelyezések

3. definíció

Egy n elemű elrendezés k-val (k≤ n) olyan halmaz, amely az adott n elemből meghatározott sorrendben felvett k elemből áll.

2. példa

A második osztályos tanulók 8 tárgyat tanulnak. Hányféleképpen lehet egy napra ütemtervet készíteni úgy, hogy az 4 különböző tantárgyat tartalmazzon?

A 8 4 =8*7*6*5= 1680 (módok)

A n k =

Kombinációk

4. definíció

K n elemének kombinációja bármely halmaz, amely az adott n elem közül kiválasztott k elemből áll

VAL VEL n k =

3. példa

A turistacsoport 15 tagjából három ügyeletes tisztet kell kiválasztani. Hányféleképpen lehet ezt a választást meghozni?

VAL VEL 15 3 =15!/(3!*12!)=(13*14*15)/(1*2*3)= 455 (módok)

Valószínűség

5. definíció

Az A esemény valószínűsége a teszt kedvező kimeneteleinek N(A) számának és az egyenlően lehetséges N kimenetelek számának az aránya

P (A) \u003d N (A) / N

4. példa

A 25 geometriából készült vizsgadolgozatból 11 első és 8 utolsó dolgozatot készített a hallgató. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a vizsgán olyan jegyet kap, amit nem ő készített?

P(A)=(25-11-8)/25= 0,24

Valószínűségek összeadása

6. definíció

Ha a C esemény azt jelenti, hogy két összeférhetetlen esemény egyike következik be: A vagy B, akkor a C esemény valószínűsége egyenlő az A és B események valószínűségének összegével

P(C)=P(A)+P(B)

Az ellentétes események valószínűségeinek összege 1

P(A)+P( A )=1

Valószínűségek szorzása

7. definíció

Ha a C esemény két független A és B esemény együttes előfordulását jelenti, akkor a C esemény valószínűsége egyenlő az A és B események valószínűségének szorzatával

P(C)=P(A)*P(B)

Valószínűség

Valószínűségek összege

Két esemény valószínűségének összege egyenlő ezen események szorzatának valószínűségének és ezen események összegének valószínűségének összegével

P(A)+P(B)= P(A*B) +P(A+B)

Az összeg valószínűsége

Két esemény összegének valószínűsége egyenlő ezen események valószínűségeinek összege és ezen események valószínűségeinek szorzata közötti különbséggel

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)*P(B)

1. probléma

Megoldás

Feltétel

Mindegyik valószínűsége találatokat egyenlő 0,8.

Egy biatlonista 5-ször lő célba. Annak a valószínűsége, hogy egy lövéssel eltaláljuk a célt, 0,8. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a biatlonos az első 3 alkalommal eltalálta a célokat, és az utolsó 2 alkalommal eltévedt. Az eredményt kerekítse a legközelebbi századra.

Mindegyik valószínűsége hiányzik egyenlő 1-0,8= 0,2 .

A valószínűségi szorzási képlet segítségével azt kapjuk

P(A )=0,8*0,8*0,8*0,2*0,2

P(A )= 0,02048 0,02

Válasz: 0,02

2. probléma

Feltétel

Megoldás

A Meseországban kétféle időjárás létezik: jó és kiváló, és a reggel kialakult időjárás egész nap változatlan marad. Ismeretes, hogy 0,6 valószínűséggel holnap ugyanolyan lesz az időjárás, mint ma. Ma szeptember 18-a van, a Meseországban jó az idő. Határozza meg annak valószínűségét, hogy szeptember 21-én remek idő lesz Tündérországban.

Mivel szeptember 18-án jó az idő, ezért szeptember 19-én 0,6-os valószínűséggel jó, 0,4-es valószínűséggel kiváló.

Ha szeptember 19-én jó az idő, akkor szeptember 20-án a jó idő valószínűsége 0,6*0,6=0,36

A kiváló időjárás valószínűsége 0,6*0,4=0,24

Hasonlóképpen, ha szeptember 19-én kiváló az idő, akkor 0,4 * 0,6 = 0,24 valószínűséggel szeptember 20-án is kiváló lesz. A jó idő valószínűsége szeptember 20-án 0,4*0,4=0,16.

Hasonlóan érvelve azt találjuk, hogy a szeptember 21-i kiváló időjárás valószínűsége egyenlő lesz az összeg valószínűségével: 0,6*0,24+ +0,6*0,24+0,4*0,16+0,6*0,24= 0,496

3. feladat

Feltétel

Megoldás

Az automata vonal akkumulátorokat gyárt. Annak a valószínűsége, hogy egy kész akkumulátor hibás, 0,02. Csomagolás előtt minden akkumulátor átmegy egy vezérlőrendszeren. 0,98 annak a valószínűsége, hogy a rendszer blokkolja a hibás akkumulátort. 0,03 annak a valószínűsége, hogy a rendszer tévedésből blokkolja a működő akkumulátort. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott akkumulátort blokkol a vezérlőrendszer.

Legyen az A = esemény (az akkumulátor blokkolva lesz), akkor ennek az eseménynek a valószínűsége megtalálható az események metszéspontjainak uniójaként.

P(A)=0,02*0,98+0,98*0,03

P(A)=0,98 (0,02+0,03)

P(A)=0,98*0,05= 0,049

Válasz: 0,049

Irodalom

• Makarychev Yu.N. Algebra: statisztika és valószínűségszámítás elemei: tankönyv. általános iskolai tanulók juttatása. Intézmények. "Prosveshcheniye" kiadó, 2003

• Mordkovich A.G., Semenov P.V. Algebra és a matematikai elemzés kezdete. 1. rész. Tankönyv általános oktatási szervezetek számára. "Mnemosyne" kiadó, 2015

• Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu. Matematika. Felkészülés a 2016-os egységes államvizsgára. "Legion" LLC kiadó, 2015

• Viszockij I.R., Jascsenko I.V. Egységes államvizsga 2016. Matematika. Valószínűségi elmélet. Munkafüzet. MCNMO kiadó, 2016