Az a egyenes metszi a két metsző közül az egyiket. Az egyenes vonalak típusai

az l1 és l2 egyeneseket ferdeségnek nevezzük, ha nem ugyanabban a síkban fekszenek. Legyen a és b ezeknek az egyeneseknek az irányvektorai, és legyenek az M1 és M2 pontok az l1 és l2 egyenesekhez tartoznak.

Ekkor az a, b, M1M2> vektorok nem egysíkúak, ezért vegyes szorzatuk nem egyenlő nullával, azaz (a, b, M1M2>) =/= 0. A fordított állítás is igaz: ha (a, b) , M1M2> ) =/= 0, akkor az a, b, M1M2> vektorok nem egysíkúak, ezért az l1 és l2 egyenesek nem egy síkban fekszenek, azaz metszik egymást. Így két egyenes metszi egymást akkor és csak akkor, ha feltétel(a, b, M1M2>) =/= 0, ahol a és b az egyenesek irányvektorai, M1 és M2 pedig az ezekhez az egyenesekhez tartozó pontok. Az (a, b, M1M2>) = 0 szükséges és elégséges feltétele annak, hogy az egyenesek egy síkban legyenek. Ha az egyeneseket kanonikus egyenleteik adják

akkor a = (a1; a2; a3), b = (b1; b2; b3), M1 (x1; y1; z1), M2 (x2; y2; z2) és a (2) feltétel a következőképpen íródik:

A keresztező vonalak közötti távolság

ez a távolság az egyik metsző egyenes és egy vele párhuzamos, egy másik egyenesen átmenő sík között. A metsző egyenesek távolsága az egyik metsző egyenes valamely pontjától az elsővel párhuzamos másik egyenesen átmenő síkig terjedő távolság. vonal.

26.Ellipszis definíciója, kanonikus egyenlet. A kanonikus egyenlet levezetése. Tulajdonságok.

Az ellipszis azon pontok geometriai lokusza egy síkon, amelyekre a sík két fókuszált F1 és F2 pontja távolságának összege állandó érték. Ebben az esetben az ellipszis fókuszpontjainak egybeesése nincs kizárva. Ha az ízek egybeesnek, akkor az ellipszis egy kör. Bármely ellipszishez találhat egy derékszögű koordinátarendszert, amelyre az ellipszist az egyenlet (az ellipszis kanonikus egyenlete) írja le:

Olyan ellipszist ír le, amelynek középpontja az origóban van, és amelynek tengelyei egybeesnek a koordinátatengelyekkel.

Ha a jobb oldalon van egy mínuszjelű egység, akkor a kapott egyenlet:

képzeletbeli ellipszist ír le. Valós síkban ilyen ellipszist nem lehet ábrázolni, jelöljük a fókuszokat F1 és F2-vel, a köztük lévő távolságot 2c-vel, az ellipszis tetszőleges pontjától a fókuszpontok távolságának összegét pedig 2a-val.

Az ellipszis egyenletének levezetéséhez az Oxy koordinátarendszert választjuk úgy, hogy az F1 és F2 fókuszok az Ox tengelyen helyezkedjenek el, az origó pedig egybeessen az F1F2 szakasz közepével. Ekkor a fókuszpontok a következő koordinátákkal rendelkeznek: és Legyen M(x;y) az ellipszis tetszőleges pontja. Ekkor az ellipszis definíciója szerint, i.e.

Ez lényegében egy ellipszis egyenlete.

27. Hiperbola definíciója, kanonikus egyenlet. A kanonikus egyenlet levezetése. Tulajdonságok

A hiperbola egy olyan síkon lévő pontok geometriai lokusza, amelyre a sík két rögzített F1 és F2 pontja közötti távolságkülönbség abszolút értéke állandó érték. Legyen M(x;y) tetszőleges a hiperbola pontja. Ekkor az |MF 1 – MF 2 |=2a vagy MF 1 – MF 2 =±2a hiperbola definíciója szerint,

28. Parabola definíciója, kanonikus egyenlet. A kanonikus egyenlet levezetése. Tulajdonságok. A parabola egy olyan sík HMT-je, amelynél a sík valamely rögzített F pontjának távolsága megegyezik valamely rögzített egyenes távolságával, amely szintén a vizsgált síkban található. F – a parabola fókusza; a rögzített egyenes a parabola irányítója. r=d,

r=; d=x+p/2; (x-p/2) 2 +y 2 = (x+p/2) 2; x 2 -xp+p2/4+y2 =x 2 +px+p2/4; y 2 =2px;

Tulajdonságok: 1. A parabolának van szimmetriatengelye (parabolatengelye); 2.Minden

a parabola az Oxy-sík jobb oldali félsíkjában p>0-nál, a bal oldalon található

ha p<0. 3.Директриса параболы, определяемая каноническим уравнением, имеет уравнение x= -p/2.

"

Ha a térben két egyenesnek van közös pontja, akkor azt mondjuk, hogy ez a két egyenes metszi egymást. A következő ábrán az a és b egyenesek az A pontban metszik egymást. Az a és c egyenesek nem metszik egymást.

Bármely két egyenesnek vagy csak egy közös pontja van, vagy nincs közös pontja.

Párhuzamos vonalak

A térben lévő két egyenest párhuzamosnak nevezzük, ha egy síkban fekszenek és nem metszik egymást. A párhuzamos vonalak jelöléséhez használjon speciális ikont - ||.

Az a||b jelölés azt jelenti, hogy az a egyenes párhuzamos a b egyenessel. A fenti ábrán az a és c egyenesek párhuzamosak.

Párhuzamos egyenesek tétele

A tér bármely pontján, amely nem egy adott egyenesen fekszik, az adott egyenessel párhuzamos egyenes halad át, ráadásul csak egy.

Keresztező vonalak

Két, egy síkban fekvő egyenes metszi egymást vagy párhuzamos lehet. De a térben két egyenesnek nem kell ugyanahhoz a síkhoz tartoznia. Két különböző síkban helyezkedhetnek el.

Nyilvánvaló, hogy a különböző síkban elhelyezkedő egyenesek nem metszik egymást, és nem párhuzamos egyenesek. Két olyan egyenest nevezünk, amelyek nem esnek ugyanabban a síkban egyenes vonalak keresztezése.

A következő ábrán két egymást metsző a és b egyenes látható, amelyek különböző síkban helyezkednek el.

Teszt és tétel ferde egyenesekről

Ha két egyenes közül az egyik egy bizonyos síkban fekszik, és a másik egyenes egy olyan pontban metszi ezt a síkot, amely nem az első egyenesen fekszik, akkor ezek az egyenesek metszik egymást.

Tétel a ferde egyenesekről: a két egymást metsző egyenes mindegyikén a másik egyenessel párhuzamos sík halad át, ráadásul csak egy.

Így a vonalak térbeli relatív helyzetének minden lehetséges esetét figyelembe vettük. Csak három van belőlük.

1. A vonalak metszik egymást. (Azaz egyetlen közös pontjuk van.)

2. Az egyenesek párhuzamosak. (Azaz nincs közös pontjuk, és egy síkban fekszenek.)

3. Egyenes vonalak keresztezik egymást. (Azaz különböző síkban helyezkednek el.)

Tétel. Ha egy egyenes egy adott síkban fekszik, és egy másik egyenes ezt a síkot az első egyeneshez nem tartozó pontban metszi, akkor ez a két egyenes metszi egymást. Keresztező vonalak jele Bizonyíték. Legyen a síkban fekvő a vonal, a b egyenes pedig metszi azt a síkot a B pontban, amely nem tartozik az a egyeneshez. Ha az a és b egyenesek ugyanabban a síkban feküdnének, akkor ebben a síkban lenne a B pont is.Mivel csak egy sík halad át az egyenesen és egy pont ezen az egyenesen kívül, akkor ennek a síknak síknak kell lennie. De akkor a b egyenes feküdne a síkban, ami ellentmond a feltételnek. Következésképpen az a és b egyenesek nem fekszenek ugyanabban a síkban, azaz. fajtákat keresztez.

Hány olyan ferde vonalpár van, amely egy szabályos háromszög prizma éleit tartalmazza? Megoldás: Az alapok minden éléhez három olyan él tartozik, amelyek metszik egymást. Minden oldalsó élhez két borda van, amelyek metszik azt. Ezért a szükséges számú ferde vonalpár az 5. gyakorlat

Hány olyan ferde vonalpár van, amely egy szabályos hatszögletű prizma éleit tartalmazza? Megoldás: Az alapok minden éle 8 pár keresztező vonalban vesz részt. Mindegyik oldalsó él 8 pár keresztező vonalban vesz részt. Ezért a szükséges számú ferde vonalpár a 6. gyakorlat

Előadás: Metsző, párhuzamos és keresztező vonalak; vonalak merőlegessége

Metsző vonalak

Ha több egyenes van a síkon, akkor ezek előbb-utóbb tetszőlegesen, vagy derékszögben metszik egymást, vagy párhuzamosak lesznek. Nézzük meg az egyes eseteket.

A metsző egyenesek azok az egyenesek, amelyeknek legalább egy metszéspontja van.

Felmerülhet a kérdés, hogy legalább egy egyenes miért nem metszi egymást kétszer vagy háromszor. Igazad van! De az egyenes vonalak teljesen egybeeshetnek egymással. Ebben az esetben végtelen számú közös pont lesz.

Párhuzamosság

Párhuzamos meg lehet nevezni azokat a vonalakat, amelyek soha nem metszik egymást, még a végtelenben sem.

Más szóval, párhuzamosak azok, amelyeknek nincs egyetlen közös pontjuk. Kérjük, vegye figyelembe, hogy ez a meghatározás csak akkor érvényes, ha az egyenesek ugyanabban a síkban vannak, de ha nincs közös pontjuk, különböző síkban vannak, akkor egymást metszőnek tekintjük.

Példák párhuzamos vonalakra az életben: a monitor képernyőjének két ellentétes széle, vonalak a notebookokban, valamint sok más négyzet, téglalap és egyéb formájú rész.

Ha írásban akarják megmutatni, hogy az egyik egyenes párhuzamos a másodikkal, akkor a következő a||b jelölést kell használni. Ez a bejegyzés azt mondja, hogy az a egyenes párhuzamos a b egyenessel.

A téma tanulmányozásakor fontos megérteni még egy állítást: a sík egy olyan pontján keresztül, amely nem tartozik egy adott egyeneshez, egyetlen párhuzamos egyenes húzható. De figyelj, a korrekció ismét a gépen van. Ha a háromdimenziós teret vesszük figyelembe, akkor végtelen számú vonalat lehet rajzolni, amelyek nem metszik egymást, hanem metszik egymást.

A fent leírt állítást ún párhuzamos egyenesek axiómája.

Függőlegesség

Közvetlen vonalak csak akkor hívhatók meg, ha merőleges, ha 90 fokkal egyenlő szögben metszik egymást.

A térben az egyenes egy bizonyos pontján keresztül végtelen számú merőleges egyenes húzható. Ha azonban síkról beszélünk, akkor az egyenes egy pontján keresztül egyetlen merőleges egyenest húzhatunk.

Keresztezett egyenes vonalak. Metsző

Ha egyes egyenesek egy adott pontban tetszőleges szögben metszik egymást, akkor hívhatók keresztezés.

Minden metsző vonalnak van függőleges és szomszédos szöge.

Ha a két egymást metsző egyenes által alkotott szögek egyik oldala közös, akkor ezeket szomszédosnak nevezzük:

A szomszédos szögek 180 fokosak.